3.3 Limträpelare utsatt för samtidigt tryck och böjmoment
3.3.2 Andra ordningens teori med finita elementmetoden
I avsnitt 2.5.2 togs beslutet att använda finita elementmetoden som beräkningsmetod för samtidigt tryck och böjmoment då andra ordningens teori beaktas. Detta görs likt avsnitt 3.2.4, d.v.s. pelaren delas in i n noder och (n−1) element. Normalkrafterna och momentet i pelaren beräknas för varje nod, där den kritiska punkten finns i pelarens mittpunkt, då momentet är som störst där för en ledat infäst pelare, enligt [8]. Även samma brottvillkor används, ekvation 3.6, där normalkraften och momentet i pelarmitten räknas ut direkt genom iterativa beräkningar. Skillnaden är att den transversella lasten beaktas, i Calfem, genom den fördefinierade funktionen eq.
En f or-loop ställs upp i Matlab där brottlasten räknas ut för ett antal värden på den transversella lasten, eq, enligt
f or transvers = 0 : 1 : 4.5
där “transvers” är multiplikationsfaktorn för den utbredda lasten som itereras. Grundvärdet, eq0 , för den utbredda lasten är 103 i N/m. Positivt värde definieras i modellen, enligt figur 3.4. Den högra illustrationen i figuren visar att pelaren är definierad nerifrån och upp, vilket ger positiv riktning åt höger för eq. Därefter multipliceras värdena enligt
eq = transvers · eq0
q
P a
a! a"
a#
a$ a%
1 n$ n#
Figur 3.4: Figuren till vänster visar de axiella och transversella laster som påverkar pelarelementet.
Figuren till höger definierar positiva riktningar för pelarelementet och dess frihetsgrader. Frihetsgra-derna betecknas av a1till a6 och noderna betecknas av n1 och n2.
I figur 3.5 visas interaktionsdiagrammet för RP 1 och i figur 3.6 visas interaktionsdiagrammet för RP 2, i båda fallen med transversell last, q, på den horisontella axeln.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 q [N/m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5
P [N]
105
Figur 3.5: Interaktionsdiagram för RP 1, beräknat med finita elementmetoden, där den transversella lasten, q, jämförs med den axiella lasten, P .
Man kan i figur 3.5 se att kurvan är något olinjär. På grund av brottkriteriets utformning förväntas interaktionsdiagrammet vara linjärt då det ritas med P och M på axlarna. Eftersom momentet får ett tillskott p.g.a. initialkrokighet blir det inte linjärt i detta fall då den transversella lasten visas på den horisontella axeln. RP 2 testas också med finita elementmetoden där sambandet i detta fall borde bli mer linjärt eftersom initialkrokigheten är mindre och pelaren mindre slank.
0 2 4 6 8 10 12 14 16
q [N/m] 104
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P [N]
105
Figur 3.6: Interaktionsdiagram för RP 2, beräknat med finita elementmetoden, där den transversella lasten, q jämförs med den axiella lasten, P .
I figur 3.6 kan man se inte se någon nämnvärd effekt av initalkrokigheten.
I beräkningarna enligt första ordningens teori, avsnitt 3.3.1, jämförs momentet mot brottlasten. För att jämföra de båda metoderna visas sambandet mellan momentet och brottlasten för andra ordningens teori i figurerna 3.7 och 3.8.
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
M [Nm] 104
0 0.5 1 1.5 2 2.5
P [N]
105
Figur 3.7: Interaktionsdiagram för RP 1, beräknat med finita elementmetoden, där momentet jämförs mot lasten.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
M [N/m] 104
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P [N]
105
Figur 3.8: Interaktionsdiagram för RP 2, beräknat med finita elementmetoden, där momentet jämförs mot lasten.
För både RP 1 och RP 2 erhålls ett linjärt samband mellan P och M , enligt brottkriteriets utform-ning. När q sätts till 0 fås ändå ett moment p.g.a. initialkrokigheten, därför går inte kurvan ner till M = 0. Ur figur kan man urskilja skillnaden i moment då momentet är som lägst, d.v.s. då pelaren inte påverkas av någon transversell last. RP 1 har ett högre moment medan RP 2 har ett något lägre moment, vilket är rimligt då den maximala initiala deformationen av initialkrokigheten hos RP 1 är större, på grund av dess längd.
3.3.3 Resultat
Då många iterationer görs för att bestämma brottlasten i förhållande till den utbredda lasten pre-senteras resultatet lämpligast i diagram. De olika metoderna ställs upp i samma diagram för respektive referenspelare, där momentet jämförs mot brottlasten. Värt att notera är att elementindelningen, en avgörande faktor för noggrannheten enligt avsnitt 3.2.4, avgränsas till 10 element för samtliga dia-gram i denna uppsats. Detta valet beror främst på att iterationerna blir alldeles för tidskrävande för 100 element, men även att noggrannheten för 10 element, enligt tabell 3.2, anses vara tillräcklig då tre korrekta värdesiffror erhålls. Skillnaden mellan tre, och fem korrekta värdesiffror gör sig inte synliga i ett diagram.
I figur 3.9 och 3.10 jämförs sambandet mellan brottlasten och momentet beräknat med första och andra ordningens teori, för RP 1 respektive RP 2. Den övergripande skillnaden är att beräkning enligt andra ordningens teori, ger två helt olika resultat beroende på vilken referenspelare som undersöks.
Då beräkningar görs för RP 1 ger metoden enligt andra ordningens analys en högre bärförmå-ga i förhållande till första ordningens analys. I punkten där metod enligt första och andra ordningen sammanfaller är normalkraften noll, vilket gör att de båda uttrycken blir likvärdiga. Detta beror på att andra ordningens effekter i denna punkt saknas, initialkrokigheten ger inget moment, och P = 0.
Kurvorna är för P 6= 0 inte direkt jämförbara. För första ordningens teori avser M första ordning-ens moment av transversell last, medan för andra ordningordning-ens teori avses andra ordningordning-ens moment, inklusive moment p.g.a. initialkrokighet.
För RP 2 erhålls ett annat samband, där istället beräkningen enligt andra ordningen underskattar bärförmågan, jämfört med beräkningen enligt [3]. Detta p.g.a. att träets plasticering vid tryck, till viss del tas hänsyn till i ekvation 2.23 medan beräkningarna enligt andra ordningens teori ej gör det. Här hade ytterligare tester behövts göras för att undersöka hur träets plasticering ska tas hänsyn till vid andra ordningens analys.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
M [Nm] 104
0 0.5 1 1.5 2 2.5
P [N]
105
1:a ordn., kcy 2:a ordn.
Figur 3.9: Interaktionsdiagram för beräkningar enligt första och andra ordningens teori, för RP 1.
Variant 1 och 2 syftar på de olika metoderna som används i ekvation 2.24.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
M [Nm] 104
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P [N]
105
1:a ordn.
2:a ordn.
Figur 3.10: Interaktionsdiagram för beräkningar enligt första och andra ordningens teori, för RP 2.
4. Parameterstudie
I följande kapitel undersöks olika parametrar som påverkar bärförmågan hos en limträpelare. Ka-pitlet delas upp i två huvudsektioner, en där pelaren utsätts för rent axiellt tryck, och en där pelaren utsätts samtidigt tryck och böjmoment. Resultaten visas i diagram och analyseras därefter i texten.
Där inget annat anges används indata enligt tabell 3.1.