• No results found

Vilka bakomliggande skäl kan kopplas till elevers användande av en speci fik strategi?

För att resultatet av denna studie ska kunna användas vidare är det viktigt att föra en diskussion kring de identifierade strategiernas bakomliggande orsaker och därtill strategiernas användbarhet. En uppdelning mellan generellt gångbara och icke generellt gångbara strategier har upprättats då det kan fungera som ett stöd för lärare (se figur 23). Det som skiljer de generellt gångbara strategierna från de icke generellt gång-

30 bara strategierna är elevernas förståelse av tal i bråkform. De strategier som bygger på en korrekt förståelse av tal i bråkform har bedömts som generella förutsatt att de utförts på ett riktigt sätt, medan de strategier som representerar en felaktig förståelse därmed bedömts som icke generellt gångbara.

Figur 23. Strategierna har delats upp utifrån sin gångbarhet, det vill säga utifrån förståelsen för tal i bråkform. Under varje övergripande kategori återfinns därmed denna uppdelning.

Vid analysen av undersökningsmaterialet har det visat sig att svårigheter med att behandla allmänna tal i bråkform förekommer såväl inom generellt gångbara strategier som inom icke generellt gångbara strate- gier. I en sådan situation bortser eleven från täljarens värde och ombildar ett allmänt bråkuttryck till ett stambråk, exempelvis då enbart ägg av markerats även om efterfrågas (se figur 13). Svårigheten kan enligt Kullberg och Runesson (2011) bero på att det är lättare att hantera täljaren vid ett stambråk än vid ett allmänt tal i bråkform. Denna stambråksproblematik, har bland elever kunnat kopplas samman med flera av de identifierade strategierna. Den bildar därför inte någon egen strategi utan återkommer i diskuss- ionen nedan vid flera tillfällen.

Generellt gångbara strategier

Nedan nämnda strategier anser vi är generellt gångbara och utgör därmed möjliga vägar för elever vid be- handling av tal i bråkform. Genom att som lärare vara medveten om vilka strategier som är generellt gångbara och resonemangen bakom dessa, vidgas möjligheterna till att anpassa undervisningen till att stödja elevers kunskapsutveckling mot generella tankemönster.

Elevstrategier

Heltals- tillämpning av tal i bråkform

Generell generell Icke

Täljare eller nämnare som antal Nyttjande av givna tal Formation av helhet Generell Nämnaren som utgångs- punkt Icke generell Ny helhets- bildning Formation av enhet Generell Gruppering som enskilda enheter Gruppering med markering Tanke- mässigt konstruerad gruppering Icke generell Oberoende gruppering av delar Gruppering utan hänsyn till lika delar Operation på och med tal i bråkform Generell Multi- plikation och/eller division Icke generell Fördubbling eller halvering

31 Vi finner två olika slags tankemönster hos elever med nämnaren som utgångspunkt. Dels återfinns de elevlös- ningar som bevarar helheten och använder nämnaren som instrument för delning till exempel då helheten delas in i tre delar vid tredjedelar. Resonemanget är generellt gångbart, dock kan stambråksproblematiken förekomma, vilket visas i resultatet (se avsnitt 5.2). Dels finns de lösningar där helheten grupperas efter nämnarens storlek i vad man skulle kunna kalla delhelheter. En delhelhet bildas då eleven t.ex. grupperat helheten i grupper om tre då efterfrågas. De bildade grupperna hjälper sedan eleven att identifiera det allmänna bråkuttrycket inom varje delhelhet. Elever med ovan nämnda resonemang har förmodligen svårt att se helheten men löser problemet genom att se till varje delhelhet för sig, vilket gör resonemanget gene- rellt gångbart.

Gruppering som enskilda enheter innefattar de lösningar som tyder på att eleven har räknat varje ingående del

av helheten. Lösningarna visar i många fall att eleven inte kan skapa sig konstruktioner av nya enheter. Gruppering med markering och tankemässigt konstruerad gruppering kan betraktas som mentala progressioner av ovanstående strategi eftersom eleverna inom dessa strategier kan bilda nya enheter. Genom att eleverna med hjälp av markering grupperar helheten efter nämnarens storlek, kan vi inom strategin gruppering med

markering se att de förstår innebörden hos ett tal i bråkform. Denna typ av gruppering har nära koppling

till användandet av stambråk eftersom varje markerad grupp av helheten utgör ett sådant. Ytterligare ett kognitivt steg kan, som tidigare nämnts, ses hos de elever som tankemässigt grupperar helheten. Att det finns skillnader i elevernas mentala konstruktioner visas i resultatet från diagnosen då det fanns elever som kunde bilda nya enheter när de färglagda rutorna (se uppgift 3 & 7, bilaga 2) var ordnade på samma rad, men inte när de var spridda över hela figuren. Om dessa elever verkligen bildat nya enheter mentalt är, då vi inte kunnat ställa följdfrågor, svårt att avgöra. Tidigare studier av Behr et al (1988) och Engström (1997) styrker dock förekommandet av sådana tankemönster.

Multiplikation och/eller division är av oss framställd som en operationsstrategi utifrån aritmetiska resonemang.

Det innebär inte att aritmetiska tankegångar inte förekommer inom andra strategier, men i analysen har det inte varit möjligt att konstatera om sådana resonemang förts i de fall där det saknas anteckningar om på de inlämnade diagnoserna. För elever med stambråksproblematik kan strategin enligt oss vara en möjlig väg för att kunna operera med allmänna tal i bråkform, då kan uttryckas som . Vi vill dock poäng- tera att tyngdpunkten även i denna strategi måste ligga i elevernas förståelse och inte bli en processfokuse- rad metod.

32 Nedanstående strategier anses icke generellt gångbara då de bygger på missuppfattningar om tal i bråk- form. För att i en undervisningssituation kunna motverka felaktiga strategier krävs en insikt i de bakomlig- gande resonemang som elever inom dessa strategier för.

Strategierna täljare eller nämnare som antal och nyttjande av givna tal bygger båda två på att eleverna till stor del saknar förståelse för bråkuttryckets innebörd och istället tolkar de ingående siffrorna som heltal. Resone- mang likt de som förs i strategierna ovan kan enligt tidigare forskning förklaras med en N-distraktion, där de naturliga talen stör elevers tolkning av bråkuttryck, och med de svårigheter som kan uppstå vid över- gången från naturliga tal till rationella tal i bråkform (Engström, 1997; Lamon, 2005; McIntosh, 2008; Streefland, 1993).

Inom strategin ny helhetsbildning klarar inte eleverna av att bevara den givna helheten då de löser uppgiften utan bildar en ny helhet utifrån nämnarens storlek, stambråksproblematiken visar sig därigenom konkret. Enligt Empson (1999) beror resonemang likt dem inom ny helhetsbildning på att eleverna har en föreställ- ning om att helheten endast utgörs av exempelvis fem objekt då uppgiften behandlar femtedelar, en före- ställning som tyder på ett undervisningsmissförstånd. Strategin ovan kan även observeras i de fall en upp- gift innehåller flera deluppgifter likt diagnosuppgift 8 (se bilaga 2). Eleven kan då i första deluppgiften se till helheten, men i efterföljande deluppgift ser eleven endast till den del av helheten som inte använts tidi- gare.

Hos elever som använder strategin oberoende gruppering av delar och gruppering utan hänsyn till lika delar är av- saknaden av förståelse för innebörden hos ett tal i bråkform stor. Likt Engströms (1997) resonemang i

schema c, har eleverna inom oberoende gruppering av delar svårt att bevara helheten och relaterar endast till de

olika delarna var för sig. De skapar en egen relation och grupperar på ett för dem relevant sätt. För elever med denna strategi finns det troligtvis inte någon betydelse för hur uttrycket formuleras, det vill säga om det i svaret står eller eftersom delarna inte relaterar till helheten. Strategin gruppering utan hänsyn till lika

delar beror på missuppfattningar om hur helheter ska grupperas, vilka kan se olika ut. För en del elever

handlar det om att antalet inte är lika i de skapade grupperna. För andra elever är det den diskreta mäng- den som utgör en svårighet eftersom de fokuserar på delarnas utseende och inte på antalet, vilket enligt Behr et al. (1988) och Lamon (2005) är det centrala när det gäller diskreta mängder. Båda dessa missupp- fattningar tyder på att eleverna saknar grundläggande förståelse för tal i bråkform och mer specifikt bety- delsen av lika delning. Ytterligare en aspekt av strategin är många elevers problem med delningar som inte går jämnt ut, t.ex. delat på till vilken orsaken skulle kunna vara att eleverna använder sig av kort di- vision, en i skolan vanligt förekommande metod. Då erhålls kvoten med en rest på , vilken inte hante- ras vidare inom metoden och därmed inte heller av elever inom denna strategi. Elever borde dock ha kommit i kontakt med situationer i sitt vardagsliv där tal inte enbart representeras som heltal. Möjligtvis är det uppgifternas kontext som avgör hur elever bemöter uppgifter av detta slag, till exempel är elever för- modligen mer vana vid att dela upp en pizza än en karamell.

33

Fördubbling eller halveringsstrategin är en form av multiplikation eller division där faktorn vid operationen all-

tid är två. Denna strategi är inte generellt gångbar då den enbart är användbar i vissa speciella situationer, de fall där det går att förkorta eller förlänga med en faktor av två. Strategin är troligtvis beroende av hur bråkuttrycket introduceras. McIntosh (2008) menar att elever lär sig att till exempel fjärdedelar erhålls ge- nom att man delar på hälften och sedan på hälften en gång till. Enligt Cramer och Wyberg (2009) är det ett problem att många elever, likt de i strategin ovan, lär sig en regel utan att förstå att denna regel endast fungerar under vissa förhållanden.

Den centrala skillnaden mellan de elever som använder generellt gångbara strategier och de elever vars strategier inte är generellt gångbara är genomgående förståelsen för bråkbegreppets innebörd. Bråkbe- greppet innefattar enligt oss de grundläggande aspekter som beskrivs av McIntosh (2008). De för studien uppmärksammade aspekterna är framförallt förståelsen för att alla bråkdelar ska vara lika stora, att nämna- ren visar antalet delar av helheten och att täljaren anger antalet bråkdelar av helheten. Missuppfattningar kring någon av ovanstående aspekter leder till att elever skapar sig felaktiga uppfattningar för hur tal i bråkform kan uttryckas och användas. Det intressanta är likväl orsakerna bakom. Är det möjligtvis så att matematikundervisningen lägger större vikt vid förståelsen för de naturliga talen än för de rationella talen där tal uttryckta i bråkform innefattas? Enbart att förstå begreppet helhet kräver att elever kan se att hel- heten, beroende på kontext, kan variera i storlek, form, färg och antal. Mötet med tal i bråkform kräver att elever har förmågan att tolka ett bråkuttrycks många sidor samtidigt. Därtill är utformningen av undervis- ningen om tal i bråkform avgörande för vilken förståelse elever får. Tidigare studier visar att enkla mo- deller ofta används vid introduktion av bråkuttryck (Cramer & Wyberg, 2009; Engström, 1997). Att som lärare visa på att olika modeller kan användas för att illustrera samma tal i bråkform kan därmed vara ett tillvägagångssätt för att stärka elevers uppfattning av tal i bråkform. Bråkbegreppet är ett mångfacetterat begrepp och trots att denna studie främst berör underkonstruktionen del - helhet anser vi att det för en hel- hetsbild och en vidare matematisk uppfattning är viktigt att elever får förståelse för och kan växla mellan de fem underkonstruktionerna; del - helhet, mätning, division/kvot, operator och förhållande (Behr et al. 1983; Kieren 1976; 1980).

Related documents