2. Hur undervisar man om begrepp?
2.5 Begreppskartor
Det började med att jag blev tipsad om en artikel om begreppskartor, skriven av Andreas Ryve, i Nämnaren. Utifrån det jag läste har jag testat lite olika varianter av kartor och hur man kan använda dem i undervisningen. Frågeställningen här är:
• Kan man använda begreppskartor för att skapa en förståelse för hur olika begrepp hänger ihop med varandra?
2.5.1 Olika användningsområden för begreppskartor
Andreas Ryve, universitetslektor i matematik vid Mälardalens högskola, har studerat
matematikundervisning och kommit fram till att förekomsten av begreppsliga ramverk har stor betydelse för om eleverna ska kunna nå en djupare matematisk förståelse.
Begreppsförståelse handlar, enligt Ryve, dels om elevernas förmåga att passa in matematiska
begrepp och metoder i en helhet och dels om deras förmåga att representera matematiska idéer på flera sätt.78 För att undervisa i matematik krävs att läraren har en djup begreppsförståelse och en idé
om hur matematikens olika delar hänger ihop. Läraren behöver reflektera över innehållet i kursen för att få en mer målmedveten undervisning.79
I Nämnaren 2002:2 skriver Ryve om begreppskartor. Begreppskartor består av ett antal, hierarkiskt ordnade, begrepp som är förbundna med namngivna länkar som tillsammans bildar påståenden80.
Begreppskartor kan ge en överblick över större eller mindre områden inom matematiken och hjälper till att ge förståelse för olika begrepp och visar samband mellan dem.81 Begreppskartorna liknar
Mindmaps men skillnaden är att begreppskartorna är mer formella, de är hierarkiskt ordnade och
begreppen länkas ihop med varandra med hjälp av länkord.
Begreppskartor kan användas i undervisningen på olika sätt för att hjälpa elever och lärare att få en helhetsbild av hur begrepp hänger ihop:
• De kan användas som uppgifter, enskilt eller som grupparbeten. Eleverna kan exempelvis först konstruera egna begreppskartor, kanske utifrån en lista med begrepp, och därefter delas in i grupper för att diskutera och enas om ett gemensamt förslag. Ett annat alternativ kan vara att ge eleverna en färdig karta där vissa begrepp eller länkord tagits bort.
• De kan användas i genomgångar, som introduktion av ett avsnitt eller som repetition.
• Läraren kan också konstruera dem som hjälp i planeringen av ett avsnitt eller en lektion.82
Begreppskartor kan vara ett sätt att synliggöra elevernas kunskaper och missuppfattningar som läraren sedan får en chans att rätta till. Ryve menar att det ofta är nyttigt att konstruera flera kartor för samma område eftersom de senare brukar bli bättre än de första. Det finns även möjligheter för elever att bygga vidare på en karta vid ett senare tillfälle.83
Ryve har studerat grupparbeten där eleverna ska konstruera begreppskartor, i kursen Linjär algebra på universitetet. Tanken med grupparbetena är att studenterna tillsammans ska reflektera över sin 78 D.v.s. använda olika åskådningsformer
79 Ryve (2006) 80 Se bilaga D 81 Andersson (2002) 82 Andersson (2002) 83 Andersson (2002)
begreppsförståelse och Ryves hypotes är att arbetssättet ska skapa en bättre förståelse hos
studenterna. Slutsatsen han drar är att grupparbetena är både effektiva och matematiskt produktiva. Uppgiften att konstruera begreppskartor uppmuntrar verkligen studenterna att fokusera på
begreppen och hur de hänger ihop. Studenterna får också många möjligheter att kommunicera matematik. I Ryves studie var alla studenter aktiva i diskussionerna.84
2.5.2 Hur jag har arbetat med begreppskartor
En måndag i september gjorde jag ett första försök med begreppskartor. Jag hade gjort en egen karta på området algebra, med tomma hål, och ville att eleverna skulle fylla i den med begrepp från en lista.85 Metoden liknade ett korsord där rätt ord skulle passas in på rätt ställe.
Eleverna var ovana vid att arbeta på det viset och flera behövde stöd för att komma igång. Det tog längre tid för dem än vad jag hade trott och efter ett tag gick vi igenom kartan tillsammans på tavlan. Jag hade gjort flera misstag; det var för många begrepp på listan, eleverna behärskade inte riktigt begreppen, även om de kanske lärde sig en del under övningen, och strukturen i tankekartan var min och inte elevernas. Tillsammans gjorde detta att övningen blev för svår för eleverna.
Tanken jag hade var att om jag visar eleverna en tankekarta som jag gjort skulle de förstå idén och sedan kunna utveckla egna tankekartor senare. Arbetssättet kom dock in för sent i momentet, den var på ett för stort område med för många begrepp. Istället tror jag att man ska börja tillsammans och sedan ha mindre övningar kontinuerligt.
Tankekartan fyllde dock en viktig funktion, den gav mig som lärare struktur över begreppen på ett sätt som jag inte tidigare hade arbetat. Jag drog därför slutsatsen att det är bra att arbeta utifrån en karta när man planerar ett ämnesområde. Först ska man ge strukturen under undervisningens gång och sedan bryta av med mindre begreppskartor för eleverna för att skapa sammanhang. Man kan också lära eleverna att göra begreppskartor redan i A-kursen, genom att låta dem arbeta med begrepp som de är säkra på.
Jag gjorde ett nytt försök med begreppet ekvationssystem. Jag gjorde först en större tankekarta över området.86 Sedan bröt jag ner denna skiss till lektioner med lagom mycket innehåll. När jag var
färdig med momentet försökte jag samla ihop det genom att ge eleverna en mindre karta för att skapa en bild över hur allt hängde ihop.
Efter detta började jag göra begreppskartor för mig själv. På så sätt blev det tydligare vad jag ville att eleverna skulle lära sig under ett moment, vilket ledde till en mycket tydligare struktur på planeringen och ett större fokus i undervisningen. Jag har också vid flera tillfällen använt begreppskartor i genomgångar. Till exempel gjorde jag en begreppskarta som precisering av funktionsbegreppet för att visa de olika åskådningsformerna87 och en annan för att visa de olika
fyrhörningarna. Det är ett bra arbetssätt inom området geometri.
Jag har även börjat arbeta med begreppskartor i min filosofiundervisning. Ett exempel på detta är när vi inom etiken gått igenom ett antal teorier med olika begrepp. Jag hade då gjort en lista på de nya begreppen och visade på tavlan hur man kunde börja en begreppskarta. Sedan fick eleverna fortsätta och göra kartor för sig själva och sedan visa varandra i smågrupper.
2.5.3 Diskussion
Om man vill få en helhet i sin undervisning och skapa sammanhang mellan olika begrepp kan man använda begreppskartor. Begreppskartor är bra både för lärare som får en bättre struktur på sin undervisning och för elever som får en bättre begreppsförståelse.
84 Ryve (2004) 85 Se bilaga E 86 Se bilaga D 87 Se bilaga F
Man kan använda begreppskartor i genomgångar och som uppgifter, enskilt eller i grupp. När Andreas Ryve studerade grupparbeten där grupperna skulle konstruera begreppskartor fann han att de var effektiva och att eleverna fokuserade på och kommunicerade kring de matematiska
begreppen.
För att undervisa i matematik krävs, enligt Andreas Ryve, att läraren har en djup begreppsförståelse och en idé om hur matematikens olika delar hänger ihop. Jan Thompson menar att man får en djupare förståelse för begreppen genom att studera dess historia. Därför lämnar vi nu de mer grundläggande pedagogiska teorierna om begrepp och fortsätter med att studera några olika idéer om matematikens historia och särskilt den som rör funktionsbegreppet.
3 Historia
För att verkligen förstå funktionsbegreppet vill jag göra en fördjupande studie om hur funktionerna har utvecklats historiskt. Jag ska först studera olika allmänna matematikhistoriska teorier och jämföra dessa med pedagogiska idéer. På det sättet tror jag att jag kommer att få en bättre grund för att arbeta med begreppsinlärning. Sedan går jag in på funktionernas historia för att, på ett liknande sätt, skapa en bättre förståelse för funktionsbegreppet. Frågeställningarna är:
• Vad finns det för olika idéer om matematikens idéhistoria?
• Vad har dessa idéer för pedagogisk betydelse när man ska undervisa om begrepp?
• Hur har funktionsbegreppet utvecklats?