Då en våg färdas genom ett material så sker en absorption. Den yttrar sig genom en dämpning av vågen där vågenergi omvandlas till värme. Ett mycket bra exempel på detta fenomen är då mikrovågorna i en mikrovågsugn färdas genom maten och gör den varm. Dämpningens storlek beror mycket på frekvens och våghastighet.
Dämpningsföreteelsen är av central betydelse inom jorddynamiken. Dämpningen delas upp i två olika typer, geometrisk- och materialdämpning. Vid analyser av dynamiska effekter är dessa parametrar viktiga då dessa bidrar till avklingningen av den dynamiska processen med avståndet från källan. (Möller et al., 2000)
Materialdämpningen, även kallad inre dämpning, uttrycks ofta med dämpningsfaktorn . Denna dämpning beror framförallt på storleken på skjuvdeformationen och jordmaterialstyp. Den grundar sig även på effektivspänningsnivå och den aktuella jordens vattenmättnadsgrad.
Den geometriska dämpningen redogör för hur amplituden avtar med ökat avstånd, , från vibrationskällan utifrån att vibrationerna sprids över större volymer. Detta är intressant vid en bedömning av en vibrationskällas påverkan på omgivningen, till exempel vibrationer inom grundläggningsprojekt, från pålslagning och hur de påverkar omgivande konstruktioner. Gällande ytvågor minskar amplituden i teorin med 1⁄ ⁄ . Motsvarande för volymvågor i en helsfär, minskar amplituden med är1⁄ , där är radien som ger avståndet från vibrationskällan.
Den sammanslagna effekten i fält av materialdämpningen och den geometriska dämpningen ger sambandet:
= ( ) (2.50)
där och är svängningsamplituder i två punkter belägna på avståndet och från vibrationskällan. Faktorn beskriver vågens utseende där = 1 gäller för en volymvåg i helsfär, = 2 för en volymvåg i ytan av en helsfär och = ½ för ytvågor. är den naturliga logaritmens bas och är absorptionskoefficienten, vilken beskriver materialets inre dämpning. Sambandet gäller enbart för homogena förhållanden och stort djup till berg. (Möller et al., 2000)
Modellering av dämpning i PLAXIS
Materialdämpning i dynamiska beräkningar uppstår tillföljd av jordmaterialets viskösa egenskaper, friktion och tillväxten av plastiska töjning. Alla plastiska modeller i PLAXIS 2D kan skapa plastiska töjningar, och kan då skapa materialdämpning. Denna typ av dämpning är dock inte tillräcklig för att simulera verklig dämpning i jorden. De flesta jordmodeller påvisar ett rent elastiskt beteende vid cyklisk avlastning och pålastning vilket inte skapar någon typ av dämpning alls. Följaktligen krävs ytterligare dämpning för att skapa verkliga förhållanden i den dynamiska beräkningen. Till detta kan Rayleighdämpning användas.
Rayleighdämpning är en numerisk funktion i vilken dämpningsmatrisen C är skapad genom att slå ihop en del av massmatrisen M och en del av styvhetsmatrisenK:
= + (2.51)
där parametrarna och är Rayleigh koefficienter. är parametern som beräknar påverkan av massan vid dämpning, ju högre desto lägre frekvenser dämpas. kontrollerar hur dämpningsberäkningen styrs av styvheten. Om ökar kommer också högre frekvenser att dämpas. I PLAXIS 2D så kan dessa parametrar anges i varje materials materialspecifikationer för såväl jord som gränsytor och konstruktionselement.
Trots det omfattande forskningsarbete inom området dynamik som gjort, har inte mycket åstadkommits vad gäller framtagning av en generell metod för utvärdering av dämpningsparametrar. Däremot har studier gjorts utifrån
fältmätningar för att kunna bedöma dämpning. En vanligt använd konstruktionsparameter är dämpningskvoten . Dämpningskvoten är definierad såsom att då = 1 kallas det för kritisk dämpning, dvs. den exakta mängd dämpning som behövs för att dämpa en vibration, i en riktning, som släpps från en ursprunglig nivå med ett jämt stopp utan svängningar. Dämpningskvotens inverkan vid vibrationer kan ses i Figur 2-10.
Med hänsyn till Rayleighdämpning kan ett förhållande tecknas mellan dämpningskvoten och Rayleighs dämpningskoefficienter och :
+ = 2 (2.52)
där är vinkelfrekvensen i / ges av
= 2 (2.53)
i vilken är frekvensen i Hz.
Figur 2-10 Dämpningskvotens inverkan vid en vibration i en riktning (Brinkgreve et al., 2012)
Vid lösning av Ekvationerna 2.52 och 2.53 för två olika målfrekvenser och deras motsvarande dämpningskvoter ges de nödvändiga Rayleigh dämpningskoefficienterna:
= 2 (2.54)
= 2 (2.55) Dämpningskoefficienterna kan genereras i PLAXIS med hjälp av insättning av ett mål för dämpningskvoten samt ett mål för frekvenserna som skall omfattas dämpningen. (Brinkgreve et al., 2012)
Finita elementmetoden 2.3
Människan har en begränsad förmåga att kunna förstå omgivningens komplexa beteende. För att möjliggöra förståelse kan därför en enskild modell uppdelas i ett system som i sig består av enskilda komponenter. Där var och en av komponenterna är lättförstådd. För att sedan bygga ihop dessa komponenter till ett helt system som sedan beter sig naturligt och blir lättförstått för den som skall hantera systemet.
I många situationer kan en lämplig modell erhållas genom att använda ett ändligt antal väldefinierade komponenter, dessa benämns som en diskret procedurer. I andra fall är uppdelningen av komponenter oändlig och problemet kan bara lösas med den matematiska uppställningen av ett oändligt litet tal. Detta leder till differentialekvationer eller likvärdiga utsagor vilka innefattar ett oändligt antal komponenter, dessa typer av system kallas kontinuerliga system.
Med hjälp av datorer så kan de diskreta problemen lösas trots att antalet komponenter är väldigt stort. Eftersom datorer har en begränsad kapacitet kan kontinuerliga problem enbart lösas då en exakt matematisk manipulation är utförd. De tillgängliga matematiska teknikerna för exakta lösningar begränsar för de mesta möjligheterna till att förenkla olika beräkningssituationer.
För att lösa de svårhanterliga, realistiska och kontinuerliga problemen används olika metoder för att överföra matematiska problem till ett beräkningsbart problem med ändligt antal variabler med hjälp av mängder utav approximeringar. Dessa metoder kallas för diskretisering. (Zienkiewicz et al., 2005)
För att lösa dessa typer av problem har matematiker tagit fram generella tekniker där en direkt tillämpning av differential ekvationer sker såsom finita differensapproximationer, diverse viktade residualprocedurer, eller approximativa tekniker för beräkning av stationära eller ordentligt definierade funktioner. Ingenjörer däremot angriper problemet mer rakt på genom att skapa
ett riktigt förhållande mellan riktiga diskreta element och ändligt antal delar av ett sammanhängande område.
Utifrån ingenjörens tankesätt om hur ett problem kan förminskas och ändå motsvara ett stort problem så har termen finita element fötts. Finta element metoden kan förklaras såsom ett allmänt diskretiseringsförfarande av ett kontinuerligt problem med fastställda matematiska uttryck.
Vid förenkling av problem men fortfarande nyttjande av avancerade beräkningsmodeller har det lett till något som kallas för ett allmänt diskret problem. Förekomsten av ett enhetlig förfarande med allmänna diskreta problem leder till en definition utav den finita element-processen som en metod för approximation av kontinuerliga problem
a) det kontinuerliga är delat i ändligt antal delar, uppträdandet specificeras av ändligt antal parametrar, och
b) lösningen av hela systemet som en enhet av sina delar följer precis samma regler som de som appliceras i allmänna diskreta problem. (Zienkiewicz et al., 2005)
2.3.1 Konstruktionsdelar och konstruktionssystem
För att förenkla beskrivningen av ett generellt koncept för beräkning av diskreta system används här ett byggkonstruktionsexempel med linjär elastiskt beteende.
Figur 2-11 representerar en plan struktur skapad utav enskilda delar och är sammankopplad vid noderna 1 till 6. Lederna i noderna, i detta fall, är fastklämda så att momenten inte kan bli överförda.
Till att börja med görs antagandet att genom en enskild beräkning, eller laborationsförsök, är materialparametrarna för alla delar kända. Därmed, om delen märkt (1) undersöks och sätts i samband med noderna 1, 2, 3, så kommer krafterna verksamma i noderna vara unikt definierade utav förskjutningen i dessa noder, den utbredda lasten (p) verksam på delen samt dess initiala töjning. Den initiala töjningen beror bland annat på temperatur, krympning, eller bara dålig passform. Krafterna och de motsvarande förskjutningarna är definierade med lämpliga komponenter (U, V och u, v) i ett koordinatsystem (x, y)
Figur 2-11 Typstruktur uppbyggd av sammankopplade element (Zienkiewicz et al., 2005)
Nu kan krafterna som verkar i noderna listas som en matris
= (2.56)
där
= , osv (2.57)
och för den motsvarande förskjutningen i noden
= (2.58)
där
= , osv (2.59)
Linjär elastiskt beteende är antaget för delen, det karakteristiska sambandet kommer alltid vara av formen
= + (2.60) i vilken motsvarar nodkrafterna som krävs för att balansera någon eventuell koncentrerad eller utbredd last som verkar på delen. Den första termen motsvarar krafterna som skapas på grund utav förskjutningar i noderna. Matrisen är känd som styvhetsmatrisen för delen (e). Ekvation 2.60 visar på ett exempel med en del med tre noder med en sammankoppling som enbart kan överföra krafter i två olika komponenter.
Utifrån samma skäl och samma definition går den ovanstående formuleringen att göra generell. Del (2) av den antagna strukturen innehåller enbart två stycken sammankopplingar; andra kan ha mycket större antal sammankopplingar än så. För att generalisera
= ⋮ (2.61)
och
= ⋮ (2.62)
med varje och innehållandes samma antal komponenter och frihetsgrader. Styvhetsmatriserna av delarna kommer tydligt formas som en kvadratisk matris enligt
= ⋱ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ (2.63)
I vilken , , osv. är delmatriser vilka också är kvadratiska med storleken × , där är antalet kraft – och förskjutningskomponenter att ta hänsyn vid i varje nod. Delarnas individuella egenskaper antas följa ett enkelt linjärt förhållande. Liknande förhållanden kan, i princip, skapas för icke-linjära material. (Zienkiewicz et al., 2005)