Funktionsbegreppets historia

Jan Thompson menar, i Wahlströms och Widstrands matematiklexikon, att funktionsbegreppet är intuitivt förankrat i antikens uppfattning om orsak och verkan, det som kallas kausalitetsprincipen. Han skriver också att de babyloniska astronomerna utnyttjade funktionsbegreppets idé när de kartlade himlakropparnas rörelser. Thompson får här ses som en representant för det traditionella renässansperspektivet, att grunden för vår matematiska kultur är en pånyttfödelse av den antika matematiken.127

Om Oswald Spengler har rätt så är det dock en väsenskillnad mellan den antika matematiken och den västerländska och funktionsbegreppet är då något specifikt för vår västerländska kultur. Man skulle inte kunnat komma på funktioner under antiken eftersom man vid denna tid hade en annan världsbild.128

För att kunna förstå funktionsbegreppet är det viktigt att ta ställning i frågan om ursprunget finns i antikens eller i 1600-talets matematik. Därför kommer jag kort att beskriva de delar av antikens matematik som är mest lik vår idé om funktioner, de som handlar om kurvor och

kausalitetsprincipen, för att sedan gå vidare med hur funktionerna har utvecklats från 1600-talet och framåt.

3.2.1 Den antika matematiken

Kurvor

126 Förhoppningsvis får de först arbeta med nivå 1 och 2 innan de börjar med symboler. 127 Thompson (1991): 131

När de antika grekerna studerade kurvor så var det sådana som hade en geometrisk koppling, till exempel kägelsnitten; cirklar, ellipser, hyperblar och parabler, vars geometriska bakgrund består i att de framställs när man skär en kon eller en dubbelkon.129130

Apollonius (ca 262-190 f.Kr.) skrev i sitt verk Konica om hur man hittar

tangenter till kägelsnitten, varje kägelsnitt krävde sin egen tangentkonstruktion. Arkimedes (ca 287-212 f.Kr.) bestämde tangenter till en annan typ av kurva, spiralen.131132

Kausalitetsprincipen

Om man slår upp kausalitet i Nationalencyklopedin så står det att man kan skilja mellan två slags kausalitet, en som var aktuell under antiken och en som kom på 1600-talet:

Under antiken kunde kausalitet exemplifieras med det förhållande som råder mellan en viljestyrd handling och dess konsekvenser, orsak och verkan. Denna typ av kausalitet ligger till grund för Aristoteles teori om de fyra typerna av orsaker:

• Den verkande orsaken är den agent som frambringar ett ting, till exempel en skulptör som skapar en staty.

• Ändamålsorsaken är avsikten med händelsen, till exempel att en staty skapas för att ställas upp i ett tempel.

• Den materiella orsaken är tingets substans, till exempel att statyn är gjord av brons.

• Den formella orsaken är den struktur som skiljer materialet från andra ting av samma material, till exempel den mänskliga form som statyn har.133

3.2.2 Den västerländska matematiken växer fram

Kausalitetsprincipen under 1600-talet

Den andra typen av kausalitet definierades av bland annat René Descartes (1596-1650), Isaac Newton (1643-1727) och David Hume (1711-1776) i samband med den moderna vetenskapens uppkomst:

• Descartes uppfattade den materiella världen som mekanisk. Universum, liksom naturen, kunde liknas vid en maskin som kunde förklaras.

• Newton ville förstå orsakssammanhang genom att upptäcka de lagar som dessa följde. Därmed frikopplades orsakssambandet från en viljestyrd handling.

• Hume kritiserade idén om ett nödvändigt samband mellan orsak och verkan. Han menade att det enda vi kan observera är att en orsak A följs av en effekt B, aldrig att det föreligger 129 Lund (1995): 6

130 Bilden är hämtad på http://matmin.kevius.com/kagelsnitt.php 2010-12-14 131 Lund (1995): 6

132 Bilden finns på http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/Lessons/spiral1/spiral1_fig3.jpg 2010-12-14 133 Nationalencyklopedin (1990): kausalitet

någon kraft hos A som framkallar B.134

Enligt Spengler är varje talbegrepp förknippat med en typ av kausalitet, talet är en symbol för den kausala nödvändigheten. Med det menar han att matematiken är ett verktyg för att strukturera världen, beskriva dess lagbundenhet och kausalitet. Talbegreppet är det som är grunden i

matematiken och därför är talbegreppet starkt beroende av världsbilden och kausaliteten i den kultur där den har uppkommit.135

Om han har rätt finns det en kausalitet, på samma sätt som det finns ett talbegrepp, i varje kultur. Funktionsbegreppet har därför inget att göra med den teori om orsak och verkan som fanns under antiken. Däremot bygger begreppet på den kausalitetsprincip som växte fram under 1600-talet.136 Förutsättningar för funktionsbegreppet

En förutsättning för att funktionsbegreppet skulle kunna utvecklas var att det vid den här tiden hade kommit nya matematiska verktyg:

Det uppstod ett nytt symbolspråk som gjorde att bland annat Francois Viète (1540-1603) kunde använda bokstäver för obekanta och konstanta storheter i ekvationer. Detta medförde att man kunde undersöka ekvationer av typen ax2 _{+ bx = c generellt.}137

Descartes utformade den analytiska geometrin, vilket gjorde att det blev möjligt att studera kurvor i koordinatsystem. I den analytiska geometrin studerar man främst ekvationer mellan koordinaterna x och y, som till exempel ”x2 _{+ y}2 _{= 1”. För varje fixt x-värde ger ekvationen ett eller flera y-värden.}

Låter man x variera kontinuerligt ändras också y och de punkter, vars koordinater uppfyller ekvationen beskriver en kurva i planet.138

3.2.3 Funktionsbegreppets utveckling under 1700-talet

Termen funktion introducerades 1694 av Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Han knöt funktionen till en kurva som bestäms av de två variablerna x och y. Som ett exempel kan vi betrakta parabeln given av ekvationen y2 _{– x = 0. Leibniz tänkte sig}

att kurvan bestod av en oändlig mängd oändligt små linjestycken. Dessa linjestycken motsvarar en följd av tätt liggande punkter.139

Alla är dock inte överens om att Leibniz verkligen arbetade med funktioner. Han studerade ju egenskaper hos kurvor som var geometriska objekt och inte grafer till funktioner på det sätt som vi menar idag. Johan Häggström, forskarstuderande i ämnesdidaktik, lärarutbildare vid Göteborgs universitet och redaktör för Nämnaren, skriver i artikeln Begreppet

funktion i historisk belysning att man kanske kan säga att Leibniz använde funktioner på ett

134 Lund (1995): 13, Nationalencyklopedin (1990): kausalitet 135 Spengler (1996): 86

136 Spengler (1996): 82-83, 101 137 Lund (1995): 6-7

138 Lund (1995): 7, Nationalencyklopedin (1990): analytisk geometri 139 Thompson (1991): 131, Lund (1995): 36

informellt och intuitivt sätt.140 141

Här kan vi se två ytterligheter: Thompson menade att man redan under antiken arbetade med funktioner, i alla fall funktionernas idé. Andra menar att inte ens Leibniz arbetade med funktioner eftersom begreppet inte var färdigutvecklat vid denna tid.142

Behovet av att utvidga och precisera funktionsbegreppet blev tydligt i ett gräl mellan Leonhard Euler (1707-83), Jean d'Alembert (1717-83) och Daniel Bernoulli (1700-82). Konflikten handlade om ett problem med vibrerande strängar som löstes på olika sätt. Bernoulli ansåg att en funktion skulle kunna skrivas med endast en formel medan d'Alemberts lösning innehöll flera formler.143

1718 definierade Bernoulli en funktion som en varierande storhet, eller en storhet som är

sammansatt av den varierande storheten och konstanter. Man kan ana begreppet variabel i denna definition.144

1748 skriver Euler att en funktion av en varierande storhet är ett analytiskt uttryck, som på något sätt är sammansatt av variabeln i fråga och tal eller konstanta storheter. Detta är den första av Eulers definitioner och innebörden är att en funktion ska kunna skrivas med hjälp av en formel. Euler inför också skrivsättet f(x) och definierar analysen som läran om funktioner.145

Senare generaliserar Euler sitt funktionsbegrepp. 1755 har han bytt sin ursprungliga definition mot en annan:

En kvantitet ska kallas en funktion om och endast om den beror av en annan kvantitet på ett sådant sätt att om den senare förändras så förändras också den första.

I denna definition finns inte längre kravet att en funktion ska kunna uttryckas med endast en formel.146

Fram till 1800-talet användes funktionerna till att beskriva verkliga samband eftersom de ledande fysikerna och matematikerna var samma personer. Det var först under 1800-talet som man började studera funktionerna i sig. Man fortsatte utveckla funktionsbegreppet mot ett mer generaliserat och abstrakt begrepp. Det fanns en strävan att göra innebörden av funktionsbegreppet oberoende av icke-matematiska begrepp.147

Jan Thompson menar att det moderna funktionsbegreppet skapades 1837 av Lejeune Dirichlet (1805-9):148

If a variable y is so related to a variable x that whatever a numerical value is assigned to x there is a rule according to which a unique value of y is determined, then y is said to be a function of the independent variable x.149

Detta innebär att det för varje x-värde finns ett unikt y-värde. I och med detta övergår funktioner från att handla om beroendesamband till att bli ett godtyckligt samband mellan reella tal.150

140 Bergsten m.fl. (1997): 106 141 Häggström (2005): 87

142 Enligt formalismen så förändras inte matematiken och tror man på detta så måste den begreppsuppfattning som fanns innan begreppet utvecklades vara felaktig. Som jag har skrivit tidigare så vänder sig både Spengler och Lakatos emot denna inställning.

143 Häggström (2005): 87 144 Thompson (1991): 131 145 Thompson (1991): 131, Häggström (2005): 87 146 Häggström (2005): 87-88 147 Häggström (2005): 88 148 Thompson (1991): 132 149 Häggström (2005): 89 150 Häggström (2005): 89

3.2.4 Diskussion

Jag har svårt att se några likheter mellan den matematik som man höll på med under antiken och funktionsbegreppet, som det ser ut i dagens matematik. Eventuellt kan man tolka om antikens matematik i våra termer men egentligen handlar det om ett annat sätt att se på världen, som vi inte riktigt kan förstå. Funktionsbegreppets utveckling i den västerländska matematiken beror på ett nytt synsätt inom vetenskapen, den moderna synen på kausalitet är inte samma sak som när man under antiken pratar om orsak och verkan. Man använder samma ord, kausalitet, för olika begrepp. Funktionerna vilar på ett nytt talbegrepp som är kontinuerligt och kopplat till tallinjen. Tallinjen är sedan en förutsättning för koordinatsystemet. En annan förutsättning för att kunna arbeta med funktioner är att man är väl hemmastadd med symbolräkning, det vill säga algebra. Den

vetenskapliga matematiken som vi använder idag har uppstått i den västerländska kulturen. Det är viktigt att ta hänsyn till detta när vi använder rekapitulationstesen. Det är viktigare att studera matematikhistoria från 1600-talet och framåt än att studera antikens matematik om syftet är att vi vill förstå elevernas individuella begreppsutveckling.

Det är ett rejält språng som eleverna ska ta när de börjar arbeta med funktioner: från det vardagliga räknandet med aritmetik och geometri till det mer vetenskapliga räknandet med funktioner.151 _Ett

språng som förutsätter att eleverna har ett väl utvecklat talbegrepp, som utgår från tallinjen och koordinatsystemet, och att de dessutom behärskar algebra. Vi måste också tänka på att efter det att Leibniz introducerade termen funktion tar det mer än 100 år innan begreppet har fått en innebörd som liknar den betydelse som begreppet har idag. Därför måste det få ta tid för eleverna att förstå funktioner.

Historiskt sätt har funktionsbegreppet länge varit kopplat till den fysikaliska verkligheten. Först på 1800-talet började man studera funktioner rent matematiskt. Därför bör man introducera funktioner med hjälp av exempel, kopplade till en verklighet. Man kan börja med konkreta samband och göra tabeller och rita grafer utifrån dem. Först när eleverna behärskar dessa exempel kan man gå vidare till att studera funktioner mer abstrakt.