3.5 Kortv˚ agsapproximationer
3.5.2 Fysikalisk-optik-approximationen
Fysikalisk-optik-approximationen (f o) kan anv¨andas om kr¨okningsradien p˚a reflek-torn (spridaren) ¨ar stor j¨amf¨ort med v˚agl¨angden. Vi kan i s˚a fall anta att reflektionen mot reflektorn lokalt sker som vid reflektion av en plan v˚ag mot en plan metallisk yta. Detta fall behandlade vi i avsnitt 3.5.1. Vi fann att ytstr¨omt¨atheten p˚a metal-lytan Ss i fysikalisk-optik-approximationen ¨ar, se (3.33)
JS = ˆn × H = ˆn × (Hi+ Hs) = 2 ˆn × Hi Detta leder till att fj¨arrf¨altsamplituden i (3.27) blir
Ff o(ˆr) = −ik2η0η 2π r ׈
h ˆr ×
Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0 i
(3.34)
vilket kan ber¨aknas s˚a snart det infallande (matande) f¨altet kan ber¨aknas p˚a ytan Ss.
Uttrycket f¨or fj¨arrf¨altsamplituden med fysikalisk-optik-approximationen ovan g¨aller ¨aven om den infallande v˚agen inte ¨ar en plan v˚ag. Approximationen inneb¨ar endast att reflektionen lokalt sker som vid planv˚agsreflektion mot en plan metal-lisk yta. Denna approximation st¨ammer b¨ast f¨or korta v˚agl¨angder och f¨oruts¨atter att spridarens (reflektorns) kr¨okningsradie skall vara stor. Vi kan d¨arf¨or f¨orv¨anta oss s¨amre noggrannhet om reflektorn har kanter eller h¨orn. N¨ara kanter och h¨orn
¨ar f¨alten singul¨ara. Ett approximationsf¨orfarande som inkluderar ¨aven kant- och h¨orneffekter ¨ar den s.k. geometriska diffraktionsteorin (GTD).
Vi avslutar nu fysikalisk-optik-approximationen med att explicit anta att det infallande f¨altet ¨ar en plan v˚ag. Vi kan d˚a tala om en explicit bak˚atriktning f¨or spridningen, dvs. ˆr = −ˆki. I m˚anga tekniska till¨ampningar, t.ex. radar, kan man endast observera rakt bak˚at. I bak˚atriktningen kan vi f¨orenkla fj¨arrf¨altsamplituden ytterligare. Anv¨and BAC-CAB-regeln p˚a integranden ovan med ˆr = −ˆki.
r × [ˆˆ r × ( ˆn(r0) × Hi(r0))] = ˆki×
hkˆi× ( ˆn(r0) × Hi(r0)) i
= −
³kˆi× Hi(r0)
´ ³kˆi· ˆn(r0)
´
= 1
η0ηEi(r0)
³kˆi· ˆn(r0)
´
eftersom ˆki· Hi(r0) = 0 och η0ηˆki× Hi(r0) = −Ei(r0) f¨or en planv˚ag i ett isotropt material. L˚ater vi det infallande elektriska f¨altet ha formen
Ei(r) = E0eikˆki·r
blir fj¨arrf¨altsamplituden i bak˚atriktningen Ff o(−ˆki) = −ik2
2πE0 Z Z
Ss+
³kˆi· ˆn(r0)
´
e2ikˆki·r0dS0 (3.35)
Vi noterar genast att med denna approximation ¨ar fj¨arrf¨altsamplitudens polarisation parallell med det infallande elektriska f¨altets polarisation E0, dvs. inga korspolari-sationseffekter uppst˚ar i bak˚atriktningen med fysikalisk-optik-approximationen. Det differentiella spridningstv¨arsnittet, (3.16), evaluerat i bak˚atriktningen ˆr = −ˆki, blir
dσ
dΩ(−ˆki, ˆki) = k2 4π2
¯¯
¯¯
¯¯
¯ Z Z
S+s
³kˆi· ˆn(r0)
´
e2ikˆki·r0dS0
¯¯
¯¯
¯¯
¯
2
Exempel 3.1
Vi skall i detta exempel ber¨akna det total spridningstv¨arsnittet σt mha. fysikalisk-optik-approximationen och det optiska teoremet. Som utg˚angspunkt v¨aljer vi (3.34)
Ff o(ˆr) = −ik2η0η 2π r ׈
h r ׈
Z Z
Ss+
n(rˆ 0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0 i
med infallande planv˚ag
Ei(r) = E0eikˆki·r
Vi evaluerar detta uttryck i fram˚atriktningen f¨or att senare kunna utnyttja det optiska teoremet. Eftersom
η0ηHi(r) = ˆki× Ei(r) = ˆki× E0eikˆki·r g¨aller f¨or plana v˚agor, f˚ar vi
Ff o(ˆki) = −ik2 2πkˆi×
hkˆi× Z Z
S+s
ˆ n(r0) ×
³kˆi× E0
´ dS0
i
Vi f¨orenklar nu integranden mha. BAC-CAB-regeln kˆi×
( kˆi×
h ˆ n ×
³kˆi× E0
´
| {z }
kˆi( ˆn·E0)−E0( ˆn·ˆki)
i)
= − ˆki×
³kˆi× E0
´
| {z }
kˆi(ˆki·E0)−E0
( ˆn · ˆki) = E0( ˆn · ˆki)
ty ˆki· E0= 0. Vi f˚ar
Ff o(ˆki) = −ik2 2πE0
Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) · ˆkidS0
Integralen i detta uttryck ¨ar den projicerade tv¨arsnittsarean, A(ˆki), av den belysta delen, se figur 3.10. Definitionsm¨assigt har vi
A(ˆki) = − Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) · ˆkidS0 (3.36)
Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 99
S−
s
² µ
S+
s
Vs kˆi
ˆ n
Figur 3.10: Spridaren med belyst och skuggsida.
och
Ff o(ˆki) = ik2
2πE0A(ˆki) Det optiska teoremet, (3.25), ger nu
σt= 4π k2 Im
(
E∗0· Ff o(ˆki)
|E0|2 )
= 2A(ˆki)
Detta generella resultat g¨aller, trots att det har h¨arletts med fysikalisk-optik-approxi-mationen, f¨or en stor klass spridare. Resultatet kallas ibland f¨or utsl¨ackningsparadoxen, pga. att det totala spridningstv¨arsnittet ¨ar dubbla tv¨arsnittsarean A(ˆki). Med geometrisk optik (str˚alar) och reflektion av dessa kan man f¨orklara en faktor A(ˆki)—svarande mot spridarens tv¨arsnittsarea—till det totalt spridningstv¨arsnittet. Man kunde f¨orv¨anta sig att detta v¨arde skulle g¨alla b¨attre och b¨attre f¨or allt h¨ogre frekvenser. Ist¨allet visar fysikalisk-optik-approximationen att det totala spridningstv¨arsnittet n¨armar sig det dub-bla v¨ardet. F¨orklaringen ligger i att geometrisk optik inte tar med de diffraktionsfenomen som bygger upp skuggzonsgr¨ansen. Dessa diffraktionseffekter f¨or sm˚a spridningsvinklar n¨ara skuggzonsgr¨ansen bidrar med ytterligare en faktor A(ˆki) till utsl¨ackningen, vilket ocks˚a fysikalisk-optik-approximationen visar.
Exempel 3.2
En perfekt ledande reflektor har formen av en parabelformad cylindersektor. Orienteringen av den cylindriska reflektorn illustreras i figur 3.11. Mediet utanf¨or reflektorn ¨ar luft, vilket vi approximerar med ² = µ = 1. Reflektorn skall generera en huvudlob vars lobbredd (definieras som vinkeln mellan de punkter i huvudloben d¨ar effektfl¨odest¨atheten halverats j¨amf¨ort med lobens maximala effektfl¨odest¨athet) ¨ar mindre ¨an 4◦ i x-z-planet (H-planet) och i y-z-planet (E-planet) vid frekvensen 4 GHz. Vi kommer att anv¨anda fysikalisk-optik-approximationen f¨or att l¨osa detta problem. Motsvarande ber¨akningar med geometrisk-optik-approximationen ges i exempel 3.6 p˚a sidan 113.
Reflektorn matas med en ”in phase line source”. Denna best˚ar av ett stort antal korta linj¨ara antenner upplinjerade i parabelns fokallinje, se figur 3.11. Antennerna drivs i fas och d¨armed kan en cylindrisk v˚ag genereras, vars elektriska f¨alt ¨ar riktat i y-riktningen.
x y
z h
b
Figur 3.11: Geometrin hos den cylindriska reflektorn i exempel 3.2.
De elektriska och magnetiska f¨alten fr˚an matningen ges av
Ei(r) = E0H0(1)(kp
x2+ z2)ˆy Hi(r) = −iE0
kη0∇ ×
³
H0(1)(kp
x2+ z2)ˆy
´
= iE0
η0H0(1)0(kp
x2+ z2) xz − ˆˆ zx
√x2+ z2
d¨ar funktionen H0(1) ¨ar Hankelfunktionen av f¨orsta slaget, se appendix A.1. Dipolernas fj¨arrf¨alt (kr À 1) ges av (se appendix A.1 f¨or de asymptotiska utvecklingarna av Hankel-funktioner av f¨orsta slaget)
Ei(r) = E0 s
2 iπk√
x2+ z2eik√x2+z2yˆ Hi(r) = −E0
η0 s
2 iπk√
x2+ z2eik√x2+z2 xz − ˆˆ zx
√x2+ z2
(3.37)
Vi v¨aljer F = 1 m. D˚a g¨aller vid f = 4 GHz att kF = 2πfF/c0 ≈ 84 À 1, dvs.
approximationen ovan ¨ar giltig.
Parabolreflektorn ¨ar orienterad s˚a att dess ekvation ¨ar x2 = 4F (z + F ), d¨ar F > 0 ¨ar reflektorns fokalavst˚and. Den projicerade ytan i x-y-planet ¨ar en rektangel, parametriserad av −b/2 ≤ x ≤ b/2, −h/2 ≤ y ≤ h/2. Vi definierar den vektorv¨arda funktionen S(x, y) = r0 som beskriver ytan Ss+ genom
S(x, y) = ˆxx + ˆyy + ˆz µx2
4F − F
¶ ,
( − b/2 ≤ x ≤ b/2
− h/2 ≤ y ≤ h/2
F¨or varje (x, y)-v¨arde utg¨or v¨ardet av S(x, y), tolkat som en punkt i rummet, en punkt p˚a reflektorytan.
Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 101
D˚a vi deriverar S(x, y) med avseende p˚a parametrarna x och y f˚ar vi tangentvektorerna till reflektorytan.
τ1(x, y) = ∂S
∂x(x, y) = ˆx + ˆz x 2F τ2(x, y) = ∂S
∂y(x, y) = ˆy
Normerar vi vektorprodukten av dessa tangentvektorer erh˚aller vi normalvektorn till ytan, ˆ
n(x, y) = τ1(x, y) × τ2(x, y)
|τ1(x, y) × τ2(x, y)| = −ˆxx + ˆz2F
√x2+ 4F2 (3.38)
Avst˚andet fr˚an mataren till reflektorn ges av
ρ(x) = |S(x, 0)| = s
x2+ µx2
4F − F
¶2
= x2+ 4F2
4F (3.39)
Vidare ¨ar parabelns ytelement dS lika med dS =
¯¯
¯¯∂S
∂x(x, y) × ∂S
∂y(x, y)
¯¯
¯¯ dxdy =
√x2+ 4F2
2F dxdy (3.40)
Den infallande riktningen, ˆki(x), som tr¨affar en punkt p˚a ytan, parametriserad av (x, y), ¨ar
kˆi(x) = S(x, 0)
|S(x, 0)| =
xx + ˆˆ z
³x2 4F − F
´ r³x2
4F − F
´2 + x2
= x4F x + ˆˆ z¡
x2− 4F2¢
x2+ 4F2 (3.41)
vilken ¨ar oberoende av y.
Vi skall dimensionera reflektorn, dvs. b och h, s˚a att lobbredden blir 4◦ i b˚ade x-z- och y-z-planet. Fysikalisk-optik-approximationen av fj¨arrf¨altsamplituden ges av (3.34) (η = 1)
Ff o(ˆr) = −ik2η0 2π ˆr ×
h ˆ r ×
Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) × Hi¡ r0¢
e−ikˆr·r0dS0 i
(3.42)
d¨ar integrationen sker ¨over reflektorytans belysta del. Vi inf¨or beteckningen I f¨or ytinte-gralen i (3.42). Fr˚an (3.40) f˚ar vi
I = Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0
= Z b/2
−b/2
dx Z h/2
−h/2
dy
√x2+ 4F2
2F ( ˆn(x, y) × Hi(S(x, y))) e−ikˆr·S(x,y) Fr˚an (3.37) och (3.38) f˚ar vi
n(x, y) × Hˆ i(S(x, y)) = −E0 η0
s 2
iπkρ(x)eikρ(x)−ˆxx + ˆz2F
√x2+ 4F2 × xˆ¡
x2/4F − F¢
− ˆzx x2/4F + F
Resultatet av vektorprodukten blir ˆ
n(x, y) × Hi(S(x, y)) = E0 η0
s 2
iπkρ(x)eikρ(x) 2F
√x2+ 4F2yˆ
˚Aterst˚ar argumentet i exponentialfunktionen. Denna blir ˆ
r · S(x, y) = x sin θ cos φ + y sin θ sin φ + µx2
4F − F
¶ cos θ d¨ar observationsriktningen ges av ˆr = ˆx sin θ cos φ + ˆy sin θ sin φ + ˆz cos θ.
Ytintegralen I kan nu ber¨aknas med (3.39) I = ˆyE0
η0 Z b/2
−b/2
dx Z h/2
−h/2
dy s
8F
iπk(x2+ 4F2)eik((4Fx2+F )−x sin θ cos φ−y sin θ sin φ−(4Fx2−F ) cos θ)
och fj¨arrf¨altsamplituden i fysikalisk-optik-approximationen, (3.42), blir Ff o(ˆr) = − ik2E0
2π eikF (1+cos θ)ˆr × (ˆr × ˆy)
· Z b/2
−b/2
dx Z h/2
−h/2
dy s
8F
iπk(x2+ 4F2)eik(4Fx2(1−cos θ)−x sin θ cos φ−y sin θ sin φ)
och genom f¨orenklingen ˆr × (ˆr × ˆy) = −ˆθ cos θ sin φ − ˆφ cos φ f˚ar vi Ff o(ˆr) =ik2E0
2π eikF (1+cos θ)(ˆθ cos θ sin φ + ˆφ cos φ)
· Z b/2
−b/2
dx Z h/2
−h/2
dy s
8F
iπk(x2+ 4F2)eik(4Fx2(1−cos θ)−x sin θ cos φ−y sin θ sin φ)
Integrationen i y-led g¨ors l¨att analytiskt mha.
Zh/2
−h/2
e−iαydy = hsinhα2
hα2
(3.43)
Vi f˚ar
Ff o(ˆr) =ik2E0h
2π eikF (1+cos θ)(ˆθ cos θ sin φ + ˆφ cos φ)sin(kh2 sin θ sin φ)
kh2 sin θ sin φ
· Z b/2
−b/2
s
8F
iπk(x2+ 4F2)eik(x24F(1−cos θ)−x sin θ cos φ)dx
I fram˚atriktningen f¨or reflektorn, θ = 0, kan fj¨arrf¨altsamplituden ber¨aknas analytiskt.
Resultatet ¨ar
Ff o(ˆz) =iˆyk2E0h 2π ei2kF
r8F iπk
Z kb/2
−kb/2
√ dt
t2+ 4k2F2
=iˆyk2E0h 2π ei2kF
r8F iπk ln
√k2b2+ 16k2F2+ kb
√k2b2+ 16k2F2− kb
=iˆyk2E0h π ei2kF
r8F iπk ln
à b 4F +
r b2 16F2 + 1
!
Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 103
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 2 4 6 8 10
E-planet H-planet
2θhv(grader)
m
Figur 3.12: Lobbredd i grader som funktion av b och h f¨or en cylindrisk reflektor i exempel 3.2. Ber¨akningarna ¨ar gjorda med fysikalisk-optik-approximationen. I H-planet (x-z-H-planet) best¨ams b med h = F = 1 m, medan i E-H-planet (y-z-H-planet) best¨ams h med b = F = 1 m. Frekvensen f = 4 GHz. J¨amf¨or figur 3.20 d¨ar ber¨akningarna ¨ar utf¨orda med geometrisk-optik-approximationen.
F¨or en godtycklig riktning, m˚aste integrationen i x-variabeln utf¨oras numeriskt. Be-loppet av fj¨arrf¨altsamplituden i kvadrat blir
|Ff o(ˆr)|2 =2k3|E0|2h2F
π3 (cos2θ sin2φ + cos2φ)
¯¯
¯¯
¯
sin(kh2 sin θ sin φ)
kh2 sin θ sin φ
¯¯
¯¯
¯
2
·
¯¯
¯¯
¯ Z kb/2
−kb/2
√ dt
t2+ 4k2F2ei(4kFt2 (1−cos θ)−t sin θ cos φ)
¯¯
¯¯
¯
2
I fram˚atriktningen f¨or reflektorn, θ = 0, f˚ar vi
|Ff o(ˆz)|2 = 8k3|E0|2h2F π3
¯¯
¯¯
¯ln Ã
b 4F +
r b2 16F2 + 1
!¯¯
¯¯
¯
2
Halvv¨ardesbredden eller lobbredden unders¨oks numeriskt. I H-planet (x-z-planet) be-st¨ams halva halvv¨ardesbredden, θhv, genom l¨osning av f¨oljande ekvation:
|Ff o(θhv, φ = 0)|2 = 0.5 |Ff o(ˆz)|2
medan i E-planet (y-z-planet) g¨aller p˚a samma s¨att att halva halvv¨ardesbredden best¨ams av
|Ff o(θhv, φ = π/2)|2 = 0.5 |Ff o(ˆz)|2
Resultaten finns illustrerade i figur 3.12, vilket visar att b = h = 1 m ger en lobbredd som
¨ar ungef¨ar 4◦ vid f = 4 GHz. Vi noterar att skillnaderna mellan halvv¨ardesbredderna i E- och H-planen inte ¨ar stor.
Numeriska ber¨akningar p˚a fj¨arrf¨altsamplituden har utf¨orts f¨or h = b = 1 m och F = 1 m, vid frekvensen 4 GHz. I figur 3.13 ¨ar beloppet av fj¨arrf¨altsamplituden i kvadrat
30 60 90 30
60 90
-60 -40 -20 0
θ dB
E-planet H-planet
Figur 3.13: J¨amf¨orelse av fj¨arrf¨altsamplituden mellan fysikalisk-optik-approxima-tionen och geometrisk-optik-approximafysikalisk-optik-approxima-tionen i E-planet (y-z-planet) respektive H-planet (x-z-planet). Heldragen kurva representerar fysikalisk-optik-approxima-tionen, se exempel 3.2, medan bruten kurva representerar geometrisk-optik-appro-ximationen, se exempel 3.6. h = b = F = 1 m, och frekvensen f = 4 GHz.
(normerad med amplituden i fram˚atriktningen) uppritad som funktion av θ i b˚ade E- och H-planen.
Exempel 3.3
En cirkul¨ar, perfekt ledande reflektor har formen av en axialsymmetrisk parabol, se fig-ur 3.14. Den projicerade cirkul¨ara ytan i x-y-planet har radien a. Parabolen belyses med en kort dipolantenn som ¨ar monterad i reflektorns fokalpunkt. Dipolen ¨ar orienterad l¨angs y. Mediet utanf¨or reflektorn ¨ar luft, vilket vi approximerar med ² = µ = 1. Vi skallˆ best¨amma fj¨arrf¨altet fr˚an parabolreflektorn med fysikalisk-optik-approximationen. Mot-svarande ber¨akning med geometrisk-optik-approximationen ges i exempel 3.7 p˚a sidan 116.
Fj¨arrf¨altet fr˚an dipolen ¨ar, se ¨ovning 2.2, Ei= pk2
²0 eikr
4πr (ˆr0× (ˆy × ˆr0)) (3.44) d¨ar p ¨ar styrkan hos dipolen, k = ω/c0, och ˆr0 ¨ar observationsriktningen fr˚an antennen.
Det magnetiska fj¨arrf¨altet ges i sin tur av Hi = kωpeikr
4πr(ˆr0× ˆy) (3.45)
Parabolreflektorn ¨ar orienterad s˚a att dess ekvation ¨ar x2+ y2 = 4F (z + F ), d¨ar F > 0
¨ar reflektorns fokalavst˚and. Vi definierar den vektorv¨arda funktionen S (ρ, α) = r0 s˚asom S (ρ, α) = ˆρρ + ˆz¡
ρ2/4F − F¢
(3.46) d¨ar vi inf¨ort de pol¨ara koordinaterna ρ och α i x-y-planet s˚a att vinkeln α m¨ats positiv fr˚an x-axeln mot y-axeln, dvs.
ˆ
ρρ = ˆxx + ˆyy ρ = ˆˆ x cos α + ˆy sin α α = −ˆˆ x sin α + ˆy cos α
Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 105
x y
z
Figur 3.14: Geometri ¨over parabolreflektorn i exempel 3.3.
Denna vektorv¨arda funktion S (ρ, α) beskriver reflektorytan. Varje (ρ, α)-v¨arde ger en punkt p˚a reflektorytan. D˚a vi deriverar S (ρ, α) med avseende p˚a ρ och α f˚ar vi tan-gentvektorerna till reflektorytan.
τ1(ρ, α) = ∂S
∂ρ (ρ, α) = ˆρ + ˆzρ/2F τ2(ρ, α) = ∂S
∂α (ρ, α) = ˆαρ
Normerar vi vektorprodukten av dessa tangentvektorer erh˚aller vi normalvektorn till re-flektorytan,
ˆ
n(ρ, α) =
∂S∂ρ ×∂S∂α
¯¯
¯∂S∂ρ ×∂S∂α
¯¯
¯
= zρ − ˆˆ ρρ2/2F
pρ2+ ρ4/4F2 = −ˆρρ + ˆz2F
pρ2+ 4F2 (3.47)
Avst˚andet fr˚an dipolen till reflektorn ¨ar r0(ρ) = |S (ρ, α)| =
q
ρ2+ (ρ2/4F − F )2 = ρ2/4F + F (3.48) som ¨ar oberoende av α.
Fysikalisk-optik-approximationen av fj¨arrf¨altsamplituden ges av (3.34) (η = 1) Ff o(ˆr) = −ik2η0
2π r ׈ h
ˆ r ×
Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0 i
(3.49)
d¨ar integrationen sker ¨over reflektorytans belysta del. Vi inf¨or beteckningen I f¨or ytinte-gralen i (3.49). Definitionsm¨assigt har vi
I = Z Z
Ss+
ˆ
n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0
= Z a
0
dρ Z 2π
0
dα ˆn(ρ, α) × Hi(S (ρ, α)) e−ikˆr·S(ρ,α)
¯¯
¯¯∂S
∂ρ ×∂S
∂α
¯¯
¯¯
Enkla r¨akningar ger ytelementet p˚a parabolen
¯¯
¯¯∂S
∂ρ ×∂S
∂α
¯¯
¯¯ =
pρ2+ ρ4/4F2= ρp
r0(ρ)/F (3.50)
Vi noterar att, se (3.45)
Hi(S (ρ, α)) = kωpeikr0(ρ) 4πr0(ρ)
³kˆi× ˆy
´
= kωpeikr0(ρ) 4πr0(ρ)
³kˆi× (ˆρ sin α + ˆα cos α)
´
d¨ar den infallande riktningen ¨ar
kˆi(ρ, α) = S (ρ, α)
|S (ρ, α)| = ρ4F ρ + ˆˆ z¡
ρ2− 4F2¢
ρ2+ 4F2 (3.51)
Det ¨ar naturligtvis v¨asentligt att skilja p˚a enhetsvektorerna ˆr och ˆki. Enhetsvektorn ˆr
¨ar riktningsvektorn f¨or fj¨arrf¨altets observationspunkt, medan ˆki ¨ar riktningsvektorn fr˚an origo (antennen) till en punkt p˚a reflektorn (reflektionspunkt). Det magnetiska f¨altet kan nu skrivas
Hi(S (ρ, α)) = kωpeikr0(ρ) 4πr0(ρ)
z4F ρ cos α − ˆˆ x¡
ρ2− 4F2¢
ρ2+ 4F2 (3.52)
Genom att utveckla vektorprodukten ˆn × Hi mha. (3.47) f˚ar vi ˆ
n(ρ, α) × Hi(S (ρ, α)) = kωp (4F )3/2
eikr0(ρ) 4π (r0(ρ))5/2
h ˆ y¡
4F ρ2cos2α − 2F (ρ2− 4F2)¢
− ˆx4F ρ2sin α cos α − ˆzρ sin α(ρ2− 4F2) i
eller f¨orenklat genom att identifiera komponenter av S, se (3.46) f˚ar vi ˆ
n(ρ, α) × Hi(S (ρ, α)) = kωp
√4F
eikr0(ρ) 4π (r0(ρ))5/2
·£ yˆ¡
Sx2(ρ, α) − 2F Sz(ρ, α)¢
− ˆxSx(ρ, α)Sy(ρ, α) − ˆzSy(ρ, α)Sz(ρ, α)¤ Ytintegralen I kan nu skrivas
I = kωp 2F
Z a
0
ρ dρ Z 2π
0
dαeik(r0(ρ)−ˆr·S(ρ,α)) 4π (r0(ρ))2
·£ ˆ y¡
Sx2(ρ, α) − 2F Sz(ρ, α)¢
− ˆxSx(ρ, α)Sy(ρ, α) − ˆzSy(ρ, α)Sz(ρ, α)¤ De komplexa talen Ix, Iy och Iz best¨ams mha. numerisk integration f¨or varje riktning ˆ
r = ˆx sin θ cos φ + ˆy sin θ sin φ + ˆz cos θ. N¨ar v¨al ytintegralen I ¨ar k¨and best¨ams fj¨arrf¨alts-amplituden enkelt mha. (3.49).
Numeriska ber¨akningar har utf¨orts f¨or a = 0.4 m och F = 0.5 m, vid frekvensen 11 GHz. I figur 3.15 ¨ar beloppet av fj¨arrf¨altsamplituden i kvadrat (med l¨amplig normering) uppritad som funktion av θ. Amplituden i fram˚atriktningen kan ber¨aknas analytiskt, se
¨ovning 3.11.
Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 107
30 -80
-60 -40 -20 0
60 90
30 60
90 θ
dB
E-planet H-planet
Figur 3.15: J¨amf¨orelse mellan fysikalisk-optik-approximationen och geometrisk-optik-approximationen i H-planet (x-z-planet eller φ = 0-planet) och E-planet (y-z-planet eller φ = π/2-planet). Heldragen kurva representerar fysikalisk-optik-approximationen, se exempel 3.3, medan bruten kurva representerar geometrisk-optik-approximationen, se exempel 3.7. a = 0.4 m, F = 0.5 m, och frekvensen f = 11 GHz.