• No results found

Fysikalisk-optik-approximationen

3.5 Kortv˚ agsapproximationer

3.5.2 Fysikalisk-optik-approximationen

Fysikalisk-optik-approximationen (f o) kan anv¨andas om kr¨okningsradien p˚a reflek-torn (spridaren) ¨ar stor j¨amf¨ort med v˚agl¨angden. Vi kan i s˚a fall anta att reflektionen mot reflektorn lokalt sker som vid reflektion av en plan v˚ag mot en plan metallisk yta. Detta fall behandlade vi i avsnitt 3.5.1. Vi fann att ytstr¨omt¨atheten p˚a metal-lytan Ss i fysikalisk-optik-approximationen ¨ar, se (3.33)

JS = ˆn × H = ˆn × (Hi+ Hs) = 2 ˆn × Hi Detta leder till att fj¨arrf¨altsamplituden i (3.27) blir

Ff o(ˆr) = −ik2η0η r ׈

h ˆr ×

Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0 i

(3.34)

vilket kan ber¨aknas s˚a snart det infallande (matande) f¨altet kan ber¨aknas p˚a ytan Ss.

Uttrycket f¨or fj¨arrf¨altsamplituden med fysikalisk-optik-approximationen ovan g¨aller ¨aven om den infallande v˚agen inte ¨ar en plan v˚ag. Approximationen inneb¨ar endast att reflektionen lokalt sker som vid planv˚agsreflektion mot en plan metal-lisk yta. Denna approximation st¨ammer b¨ast f¨or korta v˚agl¨angder och f¨oruts¨atter att spridarens (reflektorns) kr¨okningsradie skall vara stor. Vi kan d¨arf¨or f¨orv¨anta oss s¨amre noggrannhet om reflektorn har kanter eller h¨orn. N¨ara kanter och h¨orn

¨ar f¨alten singul¨ara. Ett approximationsf¨orfarande som inkluderar ¨aven kant- och h¨orneffekter ¨ar den s.k. geometriska diffraktionsteorin (GTD).

Vi avslutar nu fysikalisk-optik-approximationen med att explicit anta att det infallande f¨altet ¨ar en plan v˚ag. Vi kan d˚a tala om en explicit bak˚atriktning f¨or spridningen, dvs. ˆr = −ˆki. I m˚anga tekniska till¨ampningar, t.ex. radar, kan man endast observera rakt bak˚at. I bak˚atriktningen kan vi f¨orenkla fj¨arrf¨altsamplituden ytterligare. Anv¨and BAC-CAB-regeln p˚a integranden ovan med ˆr = −ˆki.

r × [ˆˆ r × ( ˆn(r0) × Hi(r0))] = ˆki×

hkˆi× ( ˆn(r0) × Hi(r0)) i

= −

³kˆi× Hi(r0)

´ ³kˆi· ˆn(r0)

´

= 1

η0ηEi(r0)

³kˆi· ˆn(r0)

´

eftersom ˆki· Hi(r0) = 0 och η0ηˆki× Hi(r0) = −Ei(r0) f¨or en planv˚ag i ett isotropt material. L˚ater vi det infallande elektriska f¨altet ha formen

Ei(r) = E0eikˆki·r

blir fj¨arrf¨altsamplituden i bak˚atriktningen Ff o(−ˆki) = −ik2

2πE0 Z Z

Ss+

³kˆi· ˆn(r0)

´

e2ikˆki·r0dS0 (3.35)

Vi noterar genast att med denna approximation ¨ar fj¨arrf¨altsamplitudens polarisation parallell med det infallande elektriska f¨altets polarisation E0, dvs. inga korspolari-sationseffekter uppst˚ar i bak˚atriktningen med fysikalisk-optik-approximationen. Det differentiella spridningstv¨arsnittet, (3.16), evaluerat i bak˚atriktningen ˆr = −ˆki, blir

dΩ(−ˆki, ˆki) = k2 2

¯¯

¯¯

¯¯

¯ Z Z

S+s

³kˆi· ˆn(r0)

´

e2ikˆki·r0dS0

¯¯

¯¯

¯¯

¯

2

Exempel 3.1

Vi skall i detta exempel ber¨akna det total spridningstv¨arsnittet σt mha. fysikalisk-optik-approximationen och det optiska teoremet. Som utg˚angspunkt v¨aljer vi (3.34)

Ff or) = −ik2η0η r ׈

h r ׈

Z Z

Ss+

n(rˆ 0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0 i

med infallande planv˚ag

Ei(r) = E0eikˆki·r

Vi evaluerar detta uttryck i fram˚atriktningen f¨or att senare kunna utnyttja det optiska teoremet. Eftersom

η0ηHi(r) = ˆki× Ei(r) = ˆki× E0eikˆki·r g¨aller f¨or plana v˚agor, f˚ar vi

Ff oki) = −ik2 2πkˆi×

hkˆi× Z Z

S+s

ˆ n(r0) ×

³kˆi× E0

´ dS0

i

Vi f¨orenklar nu integranden mha. BAC-CAB-regeln kˆi×

( kˆi×

h ˆ n ×

³kˆi× E0

´

| {z }

kˆi( ˆn·E0)−E0( ˆn·ˆki)

i)

= − ˆki×

³kˆi× E0

´

| {z }

kˆiki·E0)−E0

( ˆn · ˆki) = E0( ˆn · ˆki)

ty ˆki· E0= 0. Vi f˚ar

Ff oki) = −ik2 2πE0

Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) · ˆkidS0

Integralen i detta uttryck ¨ar den projicerade tv¨arsnittsarean, A(ˆki), av den belysta delen, se figur 3.10. Definitionsm¨assigt har vi

A(ˆki) = − Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) · ˆkidS0 (3.36)

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 99

S

s

² µ

S+

s

Vsi

ˆ n

Figur 3.10: Spridaren med belyst och skuggsida.

och

Ff oki) = ik2

2πE0A(ˆki) Det optiska teoremet, (3.25), ger nu

σt= k2 Im

(

E0· Ff oki)

|E0|2 )

= 2A(ˆki)

Detta generella resultat g¨aller, trots att det har h¨arletts med fysikalisk-optik-approxi-mationen, f¨or en stor klass spridare. Resultatet kallas ibland f¨or utsl¨ackningsparadoxen, pga. att det totala spridningstv¨arsnittet ¨ar dubbla tv¨arsnittsarean A(ˆki). Med geometrisk optik (str˚alar) och reflektion av dessa kan man f¨orklara en faktor A(ˆki)—svarande mot spridarens tv¨arsnittsarea—till det totalt spridningstv¨arsnittet. Man kunde f¨orv¨anta sig att detta v¨arde skulle g¨alla b¨attre och b¨attre f¨or allt h¨ogre frekvenser. Ist¨allet visar fysikalisk-optik-approximationen att det totala spridningstv¨arsnittet n¨armar sig det dub-bla v¨ardet. F¨orklaringen ligger i att geometrisk optik inte tar med de diffraktionsfenomen som bygger upp skuggzonsgr¨ansen. Dessa diffraktionseffekter f¨or sm˚a spridningsvinklar n¨ara skuggzonsgr¨ansen bidrar med ytterligare en faktor A(ˆki) till utsl¨ackningen, vilket ocks˚a fysikalisk-optik-approximationen visar.

Exempel 3.2

En perfekt ledande reflektor har formen av en parabelformad cylindersektor. Orienteringen av den cylindriska reflektorn illustreras i figur 3.11. Mediet utanf¨or reflektorn ¨ar luft, vilket vi approximerar med ² = µ = 1. Reflektorn skall generera en huvudlob vars lobbredd (definieras som vinkeln mellan de punkter i huvudloben d¨ar effektfl¨odest¨atheten halverats j¨amf¨ort med lobens maximala effektfl¨odest¨athet) ¨ar mindre ¨an 4 i x-z-planet (H-planet) och i y-z-planet (E-planet) vid frekvensen 4 GHz. Vi kommer att anv¨anda fysikalisk-optik-approximationen f¨or att l¨osa detta problem. Motsvarande ber¨akningar med geometrisk-optik-approximationen ges i exempel 3.6 p˚a sidan 113.

Reflektorn matas med en ”in phase line source”. Denna best˚ar av ett stort antal korta linj¨ara antenner upplinjerade i parabelns fokallinje, se figur 3.11. Antennerna drivs i fas och d¨armed kan en cylindrisk v˚ag genereras, vars elektriska f¨alt ¨ar riktat i y-riktningen.

x y

z h

b

Figur 3.11: Geometrin hos den cylindriska reflektorn i exempel 3.2.

De elektriska och magnetiska f¨alten fr˚an matningen ges av





Ei(r) = E0H0(1)(kp

x2+ z2y Hi(r) = −iE0

0∇ ×

³

H0(1)(kp

x2+ z2y

´

= iE0

η0H0(1)0(kp

x2+ z2) xz − ˆˆ zx

√x2+ z2

d¨ar funktionen H0(1) ¨ar Hankelfunktionen av f¨orsta slaget, se appendix A.1. Dipolernas fj¨arrf¨alt (kr À 1) ges av (se appendix A.1 f¨or de asymptotiska utvecklingarna av Hankel-funktioner av f¨orsta slaget)











Ei(r) = E0 s

2 iπk√

x2+ z2eikx2+z2yˆ Hi(r) = −E0

η0 s

2 iπk√

x2+ z2eikx2+z2 xz − ˆˆ zx

√x2+ z2

(3.37)

Vi v¨aljer F = 1 m. D˚a g¨aller vid f = 4 GHz att kF = 2πfF/c0 ≈ 84 À 1, dvs.

approximationen ovan ¨ar giltig.

Parabolreflektorn ¨ar orienterad s˚a att dess ekvation ¨ar x2 = 4F (z + F ), d¨ar F > 0 ¨ar reflektorns fokalavst˚and. Den projicerade ytan i x-y-planet ¨ar en rektangel, parametriserad av −b/2 ≤ x ≤ b/2, −h/2 ≤ y ≤ h/2. Vi definierar den vektorv¨arda funktionen S(x, y) = r0 som beskriver ytan Ss+ genom

S(x, y) = ˆxx + ˆyy + ˆz µx2

4F − F

,

( − b/2 ≤ x ≤ b/2

− h/2 ≤ y ≤ h/2

F¨or varje (x, y)-v¨arde utg¨or v¨ardet av S(x, y), tolkat som en punkt i rummet, en punkt p˚a reflektorytan.

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 101

a vi deriverar S(x, y) med avseende p˚a parametrarna x och y f˚ar vi tangentvektorerna till reflektorytan. 





τ1(x, y) = ∂S

∂x(x, y) = ˆx + ˆz x 2F τ2(x, y) = ∂S

∂y(x, y) = ˆy

Normerar vi vektorprodukten av dessa tangentvektorer erh˚aller vi normalvektorn till ytan, ˆ

n(x, y) = τ1(x, y) × τ2(x, y)

1(x, y) × τ2(x, y)| = −ˆxx + ˆz2F

√x2+ 4F2 (3.38)

Avst˚andet fr˚an mataren till reflektorn ges av

ρ(x) = |S(x, 0)| = s

x2+ µx2

4F − F

2

= x2+ 4F2

4F (3.39)

Vidare ¨ar parabelns ytelement dS lika med dS =

¯¯

¯¯∂S

∂x(x, y) × ∂S

∂y(x, y)

¯¯

¯¯ dxdy =

√x2+ 4F2

2F dxdy (3.40)

Den infallande riktningen, ˆki(x), som tr¨affar en punkt p˚a ytan, parametriserad av (x, y), ¨ar

kˆi(x) = S(x, 0)

|S(x, 0)| =

xx + ˆˆ z

³x2 4F − F

´ r³x2

4F − F

´2 + x2

= x4F x + ˆˆ z¡

x2− 4F2¢

x2+ 4F2 (3.41)

vilken ¨ar oberoende av y.

Vi skall dimensionera reflektorn, dvs. b och h, s˚a att lobbredden blir 4 i b˚ade x-z- och y-z-planet. Fysikalisk-optik-approximationen av fj¨arrf¨altsamplituden ges av (3.34) (η = 1)

Ff or) = −ik2η0 ˆr ×

h ˆ r ×

Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) × Hi¡ r0¢

e−ikˆr·r0dS0 i

(3.42)

d¨ar integrationen sker ¨over reflektorytans belysta del. Vi inf¨or beteckningen I f¨or ytinte-gralen i (3.42). Fr˚an (3.40) f˚ar vi

I = Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0

= Z b/2

−b/2

dx Z h/2

−h/2

dy

√x2+ 4F2

2F ( ˆn(x, y) × Hi(S(x, y))) e−ikˆr·S(x,y) Fr˚an (3.37) och (3.38) f˚ar vi

n(x, y) × Hˆ i(S(x, y)) = −E0 η0

s 2

iπkρ(x)eikρ(x)−ˆxx + ˆz2F

√x2+ 4F2 × xˆ¡

x2/4F − F¢

− ˆzx x2/4F + F

Resultatet av vektorprodukten blir ˆ

n(x, y) × Hi(S(x, y)) = E0 η0

s 2

iπkρ(x)eikρ(x) 2F

√x2+ 4F2yˆ

˚Aterst˚ar argumentet i exponentialfunktionen. Denna blir ˆ

r · S(x, y) = x sin θ cos φ + y sin θ sin φ + µx2

4F − F

cos θ d¨ar observationsriktningen ges av ˆr = ˆx sin θ cos φ + ˆy sin θ sin φ + ˆz cos θ.

Ytintegralen I kan nu ber¨aknas med (3.39) I = ˆyE0

η0 Z b/2

−b/2

dx Z h/2

−h/2

dy s

8F

iπk(x2+ 4F2)eik((4Fx2+F )−x sin θ cos φ−y sin θ sin φ−(4Fx2−F ) cos θ)

och fj¨arrf¨altsamplituden i fysikalisk-optik-approximationen, (3.42), blir Ff or) = − ik2E0

eikF (1+cos θ)ˆr × (ˆr × ˆy)

· Z b/2

−b/2

dx Z h/2

−h/2

dy s

8F

iπk(x2+ 4F2)eik(4Fx2(1−cos θ)−x sin θ cos φ−y sin θ sin φ)

och genom f¨orenklingen ˆr × (ˆr × ˆy) = −ˆθ cos θ sin φ − ˆφ cos φ f˚ar vi Ff or) =ik2E0

eikF (1+cos θ)θ cos θ sin φ + ˆφ cos φ)

· Z b/2

−b/2

dx Z h/2

−h/2

dy s

8F

iπk(x2+ 4F2)eik(4Fx2(1−cos θ)−x sin θ cos φ−y sin θ sin φ)

Integrationen i y-led g¨ors l¨att analytiskt mha.

Zh/2

−h/2

e−iαydy = hsin2

2

(3.43)

Vi f˚ar

Ff or) =ik2E0h

eikF (1+cos θ)θ cos θ sin φ + ˆφ cos φ)sin(kh2 sin θ sin φ)

kh2 sin θ sin φ

· Z b/2

−b/2

s

8F

iπk(x2+ 4F2)eik(x24F(1−cos θ)−x sin θ cos φ)dx

I fram˚atriktningen f¨or reflektorn, θ = 0, kan fj¨arrf¨altsamplituden ber¨aknas analytiskt.

Resultatet ¨ar

Ff oz) =iˆyk2E0h ei2kF

r8F iπk

Z kb/2

−kb/2

dt

t2+ 4k2F2

=iˆyk2E0h ei2kF

r8F iπk ln

√k2b2+ 16k2F2+ kb

√k2b2+ 16k2F2− kb

=iˆyk2E0h π ei2kF

r8F iπk ln

à b 4F +

r b2 16F2 + 1

!

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 103

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 2 4 6 8 10

E-planet H-planet

hv(grader)

m

Figur 3.12: Lobbredd i grader som funktion av b och h f¨or en cylindrisk reflektor i exempel 3.2. Ber¨akningarna ¨ar gjorda med fysikalisk-optik-approximationen. I H-planet (x-z-H-planet) best¨ams b med h = F = 1 m, medan i E-H-planet (y-z-H-planet) best¨ams h med b = F = 1 m. Frekvensen f = 4 GHz. J¨amf¨or figur 3.20 d¨ar ber¨akningarna ¨ar utf¨orda med geometrisk-optik-approximationen.

F¨or en godtycklig riktning, m˚aste integrationen i x-variabeln utf¨oras numeriskt. Be-loppet av fj¨arrf¨altsamplituden i kvadrat blir

|Ff or)|2 =2k3|E0|2h2F

π3 (cos2θ sin2φ + cos2φ)

¯¯

¯¯

¯

sin(kh2 sin θ sin φ)

kh2 sin θ sin φ

¯¯

¯¯

¯

2

·

¯¯

¯¯

¯ Z kb/2

−kb/2

dt

t2+ 4k2F2ei(4kFt2 (1−cos θ)−t sin θ cos φ)

¯¯

¯¯

¯

2

I fram˚atriktningen f¨or reflektorn, θ = 0, f˚ar vi

|Ff oz)|2 = 8k3|E0|2h2F π3

¯¯

¯¯

¯ln Ã

b 4F +

r b2 16F2 + 1

!¯¯

¯¯

¯

2

Halvv¨ardesbredden eller lobbredden unders¨oks numeriskt. I H-planet (x-z-planet) be-st¨ams halva halvv¨ardesbredden, θhv, genom l¨osning av f¨oljande ekvation:

|Ff ohv, φ = 0)|2 = 0.5 |Ff oz)|2

medan i E-planet (y-z-planet) g¨aller p˚a samma s¨att att halva halvv¨ardesbredden best¨ams av

|Ff ohv, φ = π/2)|2 = 0.5 |Ff oz)|2

Resultaten finns illustrerade i figur 3.12, vilket visar att b = h = 1 m ger en lobbredd som

¨ar ungef¨ar 4 vid f = 4 GHz. Vi noterar att skillnaderna mellan halvv¨ardesbredderna i E- och H-planen inte ¨ar stor.

Numeriska ber¨akningar p˚a fj¨arrf¨altsamplituden har utf¨orts f¨or h = b = 1 m och F = 1 m, vid frekvensen 4 GHz. I figur 3.13 ¨ar beloppet av fj¨arrf¨altsamplituden i kvadrat

30 60 90 30

60 90

-60 -40 -20 0

θ dB

E-planet H-planet

Figur 3.13: J¨amf¨orelse av fj¨arrf¨altsamplituden mellan fysikalisk-optik-approxima-tionen och geometrisk-optik-approximafysikalisk-optik-approxima-tionen i E-planet (y-z-planet) respektive H-planet (x-z-planet). Heldragen kurva representerar fysikalisk-optik-approxima-tionen, se exempel 3.2, medan bruten kurva representerar geometrisk-optik-appro-ximationen, se exempel 3.6. h = b = F = 1 m, och frekvensen f = 4 GHz.

(normerad med amplituden i fram˚atriktningen) uppritad som funktion av θ i b˚ade E- och H-planen.

Exempel 3.3

En cirkul¨ar, perfekt ledande reflektor har formen av en axialsymmetrisk parabol, se fig-ur 3.14. Den projicerade cirkul¨ara ytan i x-y-planet har radien a. Parabolen belyses med en kort dipolantenn som ¨ar monterad i reflektorns fokalpunkt. Dipolen ¨ar orienterad l¨angs y. Mediet utanf¨or reflektorn ¨ar luft, vilket vi approximerar med ² = µ = 1. Vi skallˆ best¨amma fj¨arrf¨altet fr˚an parabolreflektorn med fysikalisk-optik-approximationen. Mot-svarande ber¨akning med geometrisk-optik-approximationen ges i exempel 3.7 p˚a sidan 116.

Fj¨arrf¨altet fr˚an dipolen ¨ar, se ¨ovning 2.2, Ei= pk2

²0 eikr

4πrr0× (ˆy × ˆr0)) (3.44) d¨ar p ¨ar styrkan hos dipolen, k = ω/c0, och ˆr0 ¨ar observationsriktningen fr˚an antennen.

Det magnetiska fj¨arrf¨altet ges i sin tur av Hi = kωpeikr

4πrr0× ˆy) (3.45)

Parabolreflektorn ¨ar orienterad s˚a att dess ekvation ¨ar x2+ y2 = 4F (z + F ), d¨ar F > 0

¨ar reflektorns fokalavst˚and. Vi definierar den vektorv¨arda funktionen S (ρ, α) = r0 s˚asom S (ρ, α) = ˆρρ + ˆz¡

ρ2/4F − F¢

(3.46) d¨ar vi inf¨ort de pol¨ara koordinaterna ρ och α i x-y-planet s˚a att vinkeln α m¨ats positiv fr˚an x-axeln mot y-axeln, dvs.



 ˆ

ρρ = ˆxx + ˆyy ρ = ˆˆ x cos α + ˆy sin α α = −ˆˆ x sin α + ˆy cos α

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 105

x y

z

Figur 3.14: Geometri ¨over parabolreflektorn i exempel 3.3.

Denna vektorv¨arda funktion S (ρ, α) beskriver reflektorytan. Varje (ρ, α)-v¨arde ger en punkt p˚a reflektorytan. D˚a vi deriverar S (ρ, α) med avseende p˚a ρ och α f˚ar vi tan-gentvektorerna till reflektorytan.







τ1(ρ, α) = ∂S

∂ρ (ρ, α) = ˆρ + ˆzρ/2F τ2(ρ, α) = ∂S

∂α (ρ, α) = ˆαρ

Normerar vi vektorprodukten av dessa tangentvektorer erh˚aller vi normalvektorn till re-flektorytan,

ˆ

n(ρ, α) =

∂S∂ρ ×∂S∂α

¯¯

¯∂S∂ρ ×∂S∂α

¯¯

¯

= zρ − ˆˆ ρρ2/2F

pρ2+ ρ4/4F2 = −ˆρρ + ˆz2F

pρ2+ 4F2 (3.47)

Avst˚andet fr˚an dipolen till reflektorn ¨ar r0(ρ) = |S (ρ, α)| =

q

ρ2+ (ρ2/4F − F )2 = ρ2/4F + F (3.48) som ¨ar oberoende av α.

Fysikalisk-optik-approximationen av fj¨arrf¨altsamplituden ges av (3.34) (η = 1) Ff or) = −ik2η0

r ׈ h

ˆ r ×

Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0 i

(3.49)

d¨ar integrationen sker ¨over reflektorytans belysta del. Vi inf¨or beteckningen I f¨or ytinte-gralen i (3.49). Definitionsm¨assigt har vi

I = Z Z

Ss+

ˆ

n(r0) × Hi(r0)e−ikˆr·r0dS0

= Z a

0

Z

0

dα ˆn(ρ, α) × Hi(S (ρ, α)) e−ikˆr·S(ρ,α)

¯¯

¯¯∂S

∂ρ ×∂S

∂α

¯¯

¯¯

Enkla r¨akningar ger ytelementet p˚a parabolen

¯¯

¯¯∂S

∂ρ ×∂S

∂α

¯¯

¯¯ =

pρ2+ ρ4/4F2= ρp

r0(ρ)/F (3.50)

Vi noterar att, se (3.45)

Hi(S (ρ, α)) = kωpeikr0(ρ) 4πr0(ρ)

³kˆi× ˆy

´

= kωpeikr0(ρ) 4πr0(ρ)

³kˆi× (ˆρ sin α + ˆα cos α)

´

d¨ar den infallande riktningen ¨ar

kˆi(ρ, α) = S (ρ, α)

|S (ρ, α)| = ρ4F ρ + ˆˆ z¡

ρ2− 4F2¢

ρ2+ 4F2 (3.51)

Det ¨ar naturligtvis v¨asentligt att skilja p˚a enhetsvektorerna ˆr och ˆki. Enhetsvektorn ˆr

¨ar riktningsvektorn f¨or fj¨arrf¨altets observationspunkt, medan ˆki ¨ar riktningsvektorn fr˚an origo (antennen) till en punkt p˚a reflektorn (reflektionspunkt). Det magnetiska f¨altet kan nu skrivas

Hi(S (ρ, α)) = kωpeikr0(ρ) 4πr0(ρ)

z4F ρ cos α − ˆˆ x¡

ρ2− 4F2¢

ρ2+ 4F2 (3.52)

Genom att utveckla vektorprodukten ˆn × Hi mha. (3.47) f˚ar vi ˆ

n(ρ, α) × Hi(S (ρ, α)) = kωp (4F )3/2

eikr0(ρ) 4π (r0(ρ))5/2

h ˆ y¡

4F ρ2cos2α − 2F (ρ2− 4F2

− ˆx4F ρ2sin α cos α − ˆzρ sin α(ρ2− 4F2) i

eller f¨orenklat genom att identifiera komponenter av S, se (3.46) f˚ar vi ˆ

n(ρ, α) × Hi(S (ρ, α)) = kωp

√4F

eikr0(ρ) 4π (r0(ρ))5/2

·£ yˆ¡

Sx2(ρ, α) − 2F Sz(ρ, α)¢

− ˆxSx(ρ, α)Sy(ρ, α) − ˆzSy(ρ, α)Sz(ρ, α)¤ Ytintegralen I kan nu skrivas

I = kωp 2F

Z a

0

ρ dρ Z

0

dαeik(r0(ρ)−ˆr·S(ρ,α)) 4π (r0(ρ))2

·£ ˆ y¡

Sx2(ρ, α) − 2F Sz(ρ, α)¢

− ˆxSx(ρ, α)Sy(ρ, α) − ˆzSy(ρ, α)Sz(ρ, α)¤ De komplexa talen Ix, Iy och Iz best¨ams mha. numerisk integration f¨or varje riktning ˆ

r = ˆx sin θ cos φ + ˆy sin θ sin φ + ˆz cos θ. N¨ar v¨al ytintegralen I ¨ar k¨and best¨ams fj¨arrf¨alts-amplituden enkelt mha. (3.49).

Numeriska ber¨akningar har utf¨orts f¨or a = 0.4 m och F = 0.5 m, vid frekvensen 11 GHz. I figur 3.15 ¨ar beloppet av fj¨arrf¨altsamplituden i kvadrat (med l¨amplig normering) uppritad som funktion av θ. Amplituden i fram˚atriktningen kan ber¨aknas analytiskt, se

¨ovning 3.11.

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 107

30 -80

-60 -40 -20 0

60 90

30 60

90 θ

dB

E-planet H-planet

Figur 3.15: J¨amf¨orelse mellan fysikalisk-optik-approximationen och geometrisk-optik-approximationen i H-planet (x-z-planet eller φ = 0-planet) och E-planet (y-z-planet eller φ = π/2-planet). Heldragen kurva representerar fysikalisk-optik-approximationen, se exempel 3.3, medan bruten kurva representerar geometrisk-optik-approximationen, se exempel 3.7. a = 0.4 m, F = 0.5 m, och frekvensen f = 11 GHz.

Related documents