Geometrisk-optik-approximationen

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 107

30 -80

-60 -40 -20 0

60 90

30 60

90 θ

dB

E-planet H-planet

Figur 3.15: J¨amf¨orelse mellan fysikalisk-optik-approximationen och geometrisk-optik-approximationen i H-planet (x-z-planet eller φ = 0-planet) och E-planet (y-z-planet eller φ = π/2-planet). Heldragen kurva representerar fysikalisk-optik-approximationen, se exempel 3.3, medan bruten kurva representerar geometrisk-optik-approximationen, se exempel 3.7. a = 0.4 m, F = 0.5 m, och frekvensen f = 11 GHz.

S_a ˆ n

kˆ_go

Rˆ ˆ

n

Figur 3.16: Konstruktion av det spridda f¨altet i geometrisk-optik-approxima-tionen.

satisfiera planv˚agssambanden

E_sgo = −η₀ηˆk_go× H_sgo Hsgo = 1

η₀ηkˆgo× Esgo

och f˚as genom geometrisk konstruktion i enlighet med de str˚aloptiska lagarna (in-fallsvinkel = reflektionsvinkel, och ˆn × (E_i+ E_sgo) = 0 p˚a ytan S_s⁺), se figur 3.16.

L¨agg m¨arke till att ingen integration kr¨avs f¨or att konstruera det spridda f¨altet.

Vidare antar vi att det infallande f¨altets bidrag till ytintegralen i (3.28) kan f¨orsummas j¨amf¨ort med det spridda f¨altets bidrag. Det infallande f¨altet interfer-erar destruktivt i reflektorns fram˚atriktning, ˆkgo, om ˆkgo ¨ar motsatt riktad mot det infallande f¨altets utbredningsriktning ˆk_i, se exempel 3.4 f¨or ytterligare detaljer i fallet med en infallande planv˚ag. Det spridda f¨altet d¨aremot f¨orst¨arks i reflektorns fram˚atriktning. Fj¨arrf¨altet i (3.28) blir d˚a endast en integral ¨over det spridda f¨altet.

F_go(ˆr) = ik² 4πr ׈

Z Z

Sa

h ˆ

n(r⁰) × E_sgo(r⁰) − η₀ηˆr ס ˆ

n(r⁰) × H_sgo(r⁰)¢i

e^−ikˆr·r0dS⁰ (3.53) Vi kan f¨orenkla detta uttryck genom att inf¨ora ytterligare approximationer. Re-flektorn ¨ar vanligtvis konstruerad s˚a att det spridda f¨altets riktning, ˆk_go, som ¨ar konstruerad genom str˚alg˚angsoptik, varierar mycket litet. D¨arf¨or kan vi i de fles-ta fall l˚ata ˆk_go vara en konstant vektor. Vidare ¨ar f¨altstyrkan intensivast i denna riktning, dvs. i riktningen ˆr = ˆk_go. D˚a g¨aller

H_sgo ≈ 1

η₀ηˆr × E_sgo

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 109

Upprepad anv¨andning av BAC-CAB-regeln ger (ˆr · Esgo ≈ 0) r׈ ©

ˆr ×£ n ׈ ¡

r × Eˆ sgo

¢¤ª = ˆr ש ˆr ×£

rˆ¡

n · Eˆ sgo

¢− Esgo( ˆn · ˆr)¤ª

= −ˆr ש

ˆr × E_sgo( ˆn · ˆr)ª

= −© ˆ r¡

ˆ

r · E_sgo¢

− E_sgoª

( ˆn · ˆr)

= E_sgo( ˆn · ˆr) = −ˆr ס ˆ

n × E_sgo¢ Fj¨arrf¨altet kan d¨arf¨or approximeras till

F_go(ˆr) = ik² 2πˆr ×

Z Z

Sa

ˆ

n(r⁰) × E_sgo(r⁰)e^−ikˆr·r0dS⁰, ˆr ≈ ˆk_go (3.54)

F¨ordelen med detta uttryck och (3.53) ¨ar att vi kan v¨alja aperturyta fritt, s˚a att integralen blir l¨att att ber¨akna. Geometrisk-optik-approximationen kr¨aver vanligen h¨ogre frekvenser ¨an fysikalisk-optik-approximationen f¨or motsvarande noggrannhet, eftersom approximationen ¨ar gr¨ovre. Notera ocks˚a att dessa uttryck p˚a fj¨arrf¨alts-amplituden inte kan anv¨andas i det optiska teoremet, eftersom uttrycket p˚a F_go(ˆr) inte g¨aller i det infallande f¨altets fram˚atriktning, utan endast f¨or ˆr = ˆk_go, som ofta sammanfaller med infallande f¨altets bak˚atriktning.

Exempel 3.4

Vi skall h¨ar visa att det infallande f¨altets bidrag till integralen (3.28) ¨over aperturytan S_a¨ar f¨orsumbart utom i fram˚atriktningen ˆr = ˆk_i. Vi skall med andra ord visa att

I(ˆr) = ik² 4πr ׈

Z Z

Sa

h ˆ

n(r⁰) × E_i(r⁰) − η₀ηˆr ס ˆ

n(r⁰) × H_i(r⁰)¢i

e^−ikˆr·r0dS⁰

d¨ar (

E_i(r) = E₀e^ikˆki·r η₀ηH_i(r) = ˆk_i× E_i(r)

¨ar f¨orsumbar utom d˚a ˆr ≈ ˆk_i. Ins¨attning av f¨alten Ei och H_i ger I(ˆr) = ik²

4πr ׈ Z Z

Sa

h ˆ

n(r⁰) × E₀− ˆr ×

³ ˆ

n(r⁰) × [ˆk_i× E₀]

´i

e^{ik(ˆki−ˆr)·r0}dS⁰

F¨or h¨oga frekvenser, kd À 1 (d spridarens diameter), oscillerar integranden kraftigt pga. exponentialtermen utom d˚a ˆr ≈ ˆk_i, vilket ¨ar fram˚atriktningen. Oscillationen medf¨or att integrandens olika bidrag tar ut varann; en effekt som st¨ammer b¨attre och b¨attre ju h¨ogre frekvensen ¨ar. S˚alunda ¨ar I(ˆr) f¨orsumbar utom i fram˚atriktningen ˆr = ˆk_i.

Vi ber¨aknar nu v¨ardet p˚a I(ˆr) i fram˚atrikningen, och skriver om integranden mha.

BAC-CAB-regeln. Anv¨ander vi ˆk_i· E₀ = 0 kan vi skriva om integranden p˚a f¨oljande s¨att:

kˆ_i× ( ˆn × E₀)

| {z }

−E0(ˆki· ˆn)

−ˆk_i×

³kˆ_i×

³

n × [ˆˆ k_i× E₀]

| {z }

ˆki( ˆn·E0)−E0(ˆki· ˆn)

´´

= −E₀(ˆk_i· ˆn) + ˆk_i× (ˆk_i× E₀)(ˆk_i· ˆn) = −2E₀(ˆk_i· ˆn)

Tv¨arsnittsarean, se (3.36), kan skrivas om enligt (se figur 3.8 f¨or definition av ytnormalerna p˚a S_s⁺ och S_a):

A(ˆk_i) = − Z Z

S⁺s

ˆ

n(r⁰) · ˆk_idS⁰ = − Z Z

Sa

ˆ

n(r⁰) · ˆk_idS⁰

eftersom ∇⁰· ˆk_i = 0. Vi f˚ar I(ˆk_i) = −ik²

2πE₀ Z Z

Sa

kˆ_i· ˆn(r⁰) dS⁰ = ik²

2πE₀A(ˆk_i)

I en omgivning n¨ara fram˚atriktningen ˆr = ˆk_i approximerar vi integranden med ˆ

r × h

ˆ

n(r⁰) × E₀− ˆr ×

³ ˆ

n(r⁰) × [ˆk_i× E₀]

´i

≈ −2E₀(ˆk_i· ˆn(r⁰))

enligt r¨akningarna ovan. Exponenten skriver vi om genom att inf¨ora en transversell koor-dinat till riktningen ˆk_i enligt:

r⁰= r⁰_⊥+ z⁰kˆ_i, kˆ_i· r⁰_⊥= 0 F¨oljande approximation ¨ar l¨amplig:

(ˆk_i− ˆr) · r⁰ = z⁰− ˆr · r⁰_⊥− z⁰ˆr · ˆ| {z }k_i

≈1

≈ −ˆr · r⁰_⊥

Vi f˚ar f¨oljande approximation n¨ara fram˚atriktningen ˆr ≈ ˆk_i: I(ˆr) = −ik²

2πE₀ Z Z

Sa

(ˆk_i· ˆn(r⁰))e^{−ikˆr·r0⊥}dS⁰

Notera att integralen i h¨oger led ger samma v¨arde f¨or alla spridare med samma belysta yta S_s⁺, eftersom ∇⁰· (ˆk_ie^{−ikˆr·r0⊥}) = 0.

Exempel 3.5

Vi skall i detta exempel studera geometrisk-optik-approximationen f¨or en h¨ornreflektor (dieder), som belyses av en vinkelr¨att infallande planv˚ag. Geometrin och koordinataxlarna visas i figur 3.17. H¨ojden betecknas med h och den projecerade bredden med b.

I detta speciella exempel kan vi l¨att f˚a aperturf¨altet genom en enkel geometrisk be-traktelse med spegling, men det kan vara v¨ardefullt att i detta enkla fall g˚a igenom det allm¨anna konstruktionsf¨orfarandet, ¨aven om vissa moment nu blir on¨odigt kr˚angliga.

Vi b¨orjar med att notera att alla v˚agor f¨orblir plana v˚agor efter reflektion i h¨ornref-lektorns plana ytor. Vidare inf¨or vi h¨ornrefh¨ornref-lektorns tv˚a ytor S₁ och S₂, vars koordinat-framst¨allningar ¨ar

(S₁(x, y) = ˆxx + ˆyy + ˆz(l + x), 0 ≤ x ≤ b/2, −h/2 ≤ y ≤ h/2 S₂(x, y) = ˆxx + ˆyy + ˆz(l − x), −b/2 ≤ x ≤ 0, −h/2 ≤ y ≤ h/2

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 111

x y

z h

b

S_a S1

S2

Figur 3.17: H¨ornreflektorgeometri f¨or exempel 3.5.

d¨ar l ¨ar en parameter som anger ytans l¨age j¨amf¨ort med origo. Normalvektorerna till

ytorna ¨ar 









nˆ₁ = −ˆx + ˆz

√2 nˆ₂ = x + ˆˆ z

√2

F¨or att kunna anv¨anda geometrisk-optik-approximationen, skall vi f¨orst best¨amma det spridda f¨altet p˚a aperturytan S_a med str˚alg˚angsoptik. Till aperturyta v¨aljer vi ett plan z = ξ.

Det infallande f¨altet ¨ar i v˚art fall (ˆk_i = −ˆz, E₀· ˆk_i= 0), E_i(r) = E₀e^ikˆki·r = E₀e^−ikz

Detta f¨alt reflekteras mha. reflektionssambanden i avsnitt 3.5.1, se (3.32)







kˆ_s= R · ˆk_i E_s= −R · E_i H_s= R · H_i

I v˚art fall delar vi upp reflektionen i tv˚a delar, beroende p˚a om reflektionen f¨orst sker i ytan S₁ eller S₂. Reflektionsdyaden ¨ar olika f¨or de b˚ada ytorna.

R_i = I − 2 ˆn_inˆ_i, i = 1, 2

Vi kommer nu till konstruktion av aperturf¨altet. I det f¨orsta fallet sker reflektionen f¨orst i ytan S1. Reflektionen sker enligt f¨oljande sekvens av reflektioner:¹⁷

Infallande f¨alt −→ S1 −→ S₂ −→ Aperturf¨alt p˚a S_a F¨or varje delmoment g¨aller:

17I mer komplicerade fall av str˚alg˚ang m˚aste man best¨amma reflektionspunkterna i omv¨and ordning.

1. Det infallande f¨altet propagerar till ytan S1 d¨ar f¨altet ¨ar E₀e^ikˆki·S1

Reflektionspunkten beskrivs av S₁(x₀, y₀), 0 ≤ x₀ ≤ b/2, −h/2 ≤ y₀≤ h/2.

2. Detta f¨alt reflekteras i ytan S1 mha. reflektionsdyaden R₁. Resultatet blir (−R₁) · E₀e^ikˆki·S1

3. Detta f¨alt propagerar i riktningen ˆk₁ = R₁· ˆk_i = −ˆx till ytan S₂ (reflektionspunkt S₂(−x₀, y₀)) d¨ar f¨altet har v¨ardet

e^{ikˆk1·(S2−S1)}· (−R₁) · E₀e^ikˆki·S1

d¨ar kˆk₁· (S₂− S₁) ¨ar fasdifferensen mellan str˚alarna p˚a respektive yta.

4. Reflektionen i ytan S₂ sker med reflektionsdyaden R₂. (−R₂) · e^{ikˆk1·(S2−S1)}· (−R₁) · E₀e^ikˆki·S1

5. Den slutliga propagationen till punkten r p˚a aperturytan S_asker i riktningen ˆk_go= R₂· ˆk₁= R₂· R₁· ˆk_i= ˆz.

e^{ikˆkgo·(r−S2)}· (−R₂) · e^{ikˆk1·(S2−S1)}· (−R₁) · E₀e^ikˆki·S1 Aperturf¨altet Ea(r) = E_sgo(r) blir s˚alunda:

E_a(r) = e^{ikˆkgo·(r−S2)}· (−R₂) · e^{ikˆk1·(S2−S1)}· (−R₁) · E₀e^ikˆki·S1 Vektordelarna kan f¨orenklas med

R₂· R₁· E₀ = E₀− 2ˆx(E₀· ˆx) = E₀− 2ˆxE_0x

eftersom R₂· R₁= I − 2ˆxˆx − 2ˆzˆz och E₀· ˆz = 0. Hela reflektionen blir d¨arf¨or E_a(x, y) = (E₀− 2ˆxE_0x) e^ik(ξ−2l)

eftersom

e^{ikˆkgo·(r−S2)}e^{ikˆk1·(S2−S1)}e^ikˆki·S1 = e^{ik(ξ−(l+x0)−(−x0−x0)−(l+x0))}= e^ik(ξ−2l)

Konstruktionen av den andra delen i aperturf¨altet d¨ar reflektionen f¨orst sker i ytan S₂, dvs.

Infallande f¨alt −→ S2 −→ S₁ −→ Aperturf¨alt p˚a S_a

blir identisk med det f¨orsta fallet eftersom de b˚ada reflektionsdyaderna R_i, i = 1, 2 kom-muterar (g¨aller d˚a ˆn₁· ˆn₂= 0).

Den allm¨anna formeln p˚a fj¨arrf¨altsamplituden f¨or geometrisk-optik-approximationen, se (3.53) (η = 1)

F_go(ˆr) = ik² 4πr ׈

Z Z

Sa

h ˆ

n(r⁰) × E_sgo(r⁰) − η₀ˆr ס ˆ

n(r⁰) × H_sgo(r⁰)¢i

e^−ikˆr·r0dS⁰

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 113

f¨orenklas f¨or h¨ornreflektorn. Vi b¨orjar med att skriva om integranden (notera att p˚a S_a g¨aller att z = ξ och ˆn = ˆz)

ˆ

n(r⁰) × E_sgo(r⁰) − η₀ˆr ס ˆ

n(r⁰) × H_sgo(r⁰)¢

= (ˆz + ˆr) × E_a(x, y) eftersom η₀z × Hˆ _sgo= −E_sgo= −E_a. Vi f˚ar

F_go(ˆr) = ik²

4πeik(ξ(1−cos θ)−2l)r × [(ˆˆ z + ˆr) × (E₀− 2ˆxE_0x)]

· Z _b/2

−b/2

dx Z _h/2

−h/2

dy e−ik(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ)

d¨ar de sf¨ariska vinklarna θ och φ som vanligt definieras av riktningsvektorn ˆr ˆ

r = ˆx sin θ cos φ + ˆy sin θ sin φ + ˆz cos θ Med hj¨alp av (3.43) f˚ar vi

F_go(ˆr) = ik²bh

4π eik(ξ(1−cos θ)−2l)ˆr × [(ˆz + ˆr) × (E₀− 2ˆxE_0x)]

·sin¡_kb

2 sin θ cos φ¢

kb2 sin θ cos φ

sin¡_kh

2 sin θ sin φ¢

kh2 sin θ sin φ

(3.55)

Det ¨ar intressant att j¨amf¨ora detta uttryck med det f¨orenklade uttrycket vi ber¨aknade i n¨ara fram˚atriktningen, se (3.54).

F_go(ˆr) = ik²bh

2π eik(ξ(1−cos θ)−2l)r × [ˆˆ z × (E₀− 2ˆxE_0x)]

·sin¡_kb

2 sin θ cos φ¢

kb2 sin θ cos φ

sin¡_kh

2 sin θ sin φ¢

kh2 sin θ sin φ , ˆr ≈ ˆz Det differentiella spridningstv¨arsnittet ¨ar

dσ

dΩ(ˆr, ˆk_i) = |F (ˆr)|² k²|E₀|² vilket f¨orenklas mha. (3.55) till, se ¨ovning 3.10,

dσ

dΩ(ˆr, ˆk_i) = k²b²h² 4π²

(1 + cos θ)² 4

¯¯

¯¯

¯ sin¡_kb

2 sin θ cos φ¢

kb2 sin θ cos φ

¯¯

¯¯

¯

2¯¯

¯¯

¯ sin¡_kh

2 sin θ sin φ¢

kh2 sin θ sin φ

¯¯

¯¯

¯

2

vilket ¨ar oberoende av polarisationen p˚a det infallande f¨altet.

Vid den numeriska ber¨akningen ¨ar det l¨ampligt att normera det differentiella sprid-ningstv¨arsnittet med (kbh/2π)². Halvv¨ardesbredden p˚a huvudloben som funktion av frek-vensen visas i figur 3.18. Det differentiella spridningstv¨arsnittet (antenndiagrammet) visas i figur 3.19.

Exempel 3.6

Vi genomf¨or h¨ar i detta exempel ber¨akningarna med geometrisk-optik-approximationen f¨or den cylindriska reflektorn i exempel 3.2 p˚a sidan 99. M˚anga av uttrycken som beh¨ovs f¨or dessa ber¨akningar liksom definitioner h¨amtar vi fr˚an exempel 3.2.

GHz

20 40 60 80 100 120 140

0 2 4 6 8 10 12

Halvv¨ardesbredd(grader)

Figur 3.18: Halvv¨ardesbredd f¨or h¨ornreflektorn i exempel 3.5. Huvudlobens halvv¨ardesbredd visas i x-z-planet (φ = 0). Numeriska data ¨ar b = 20/√

2 cm, och h = 20 cm.

Det generella uttrycket f¨or fj¨arrf¨altsamplituden i geometrisk-optik-approximationen

¨ar, se (3.53) (η = 1) F_go(ˆr) = ik²

4πr ׈ Z Z

Sa

£n(rˆ ⁰) × E_sgo(r⁰) − η₀r × ( ˆˆ n(r⁰) × H_sgo(r⁰))¤

e^−ikˆr·r0dS⁰ (3.56)

d¨ar integrationen sker ¨over aperturytan Sa.

F¨or att best¨amma fj¨arrf¨altet fr˚an reflektorn ber¨aknar vi f¨orst det elektriska f¨altet i aperturplanet, som vi l˚ater sammanfalla med planet z = ξ > b²/16F − F (egentligen en rektangul¨ar skiva z = ξ, −b/2 ≤ x ≤ b/2, −h/2 ≤ y ≤ h/2) framf¨or reflektorn. F¨or varje punkt i aperturplanet finns en entydig str˚alg˚angsv¨ag till origo, d¨ar antennen ¨ar placerad.

Den reflekterade (spridda) riktningen ges av kˆ_s(x, y) = ˆk_i(x) − 2 ˆn(x, y)

³

n(x, y) · ˆˆ k_i(x)

´

d¨ar ˆk_i(x) ges av (3.41) och ˆn(x, y) av (3.38). Enkla r¨akningar ger kˆ_s(x, y) = ˆk_s= x4F x + ˆˆ z¡

x²− 4F²¢

x²+ 4F² + 2−ˆxx + ˆz2F

√x²+ 4F²

√ 2F

x²+ 4F² = ˆz dvs. vi har en planv˚ag efter reflektionen i reflektorn, precis som vi f¨oreskrivit.

Det reflekterade (eller spridda) f¨alten Es(S(x, y)) och H_s(S(x, y)) p˚a reflektorytan kan enkelt best¨ammas mha. reflektionssambanden i avsnitt 3.5.1, se (3.32).

(E_s(S(x, y)) = −E_i(S(x, y)) + 2 ˆn(x, y) ( ˆn(x, y) · E_i(S(x, y))) H_s(S(x, y)) = H_i(S(x, y)) − 2 ˆn(x, y) ( ˆn(x, y) · H_i(S(x, y)))

d¨ar E_i(S(x, y)) och H_i(S(x, y)) ges av (3.37). Avst˚andet fr˚an mataren till reflektorn,

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 115

dB

θ

x-z-planet y-z-planet

5 10 15 20 25 30

-60 -40 -20

5 10 15 20 25

30 0

Figur 3.19: Differentiella spridningstv¨arsnittet f¨or h¨ornreflektorn i exempel 3.5.

Det differentiella spridningstv¨arsnittet normerat med (kbh/2π)², kb = 50, kh = 100.

ρ(x), ges av (3.39). Resultatet blir













E_s(S(x, y)) = −E₀ s

8F

iπk(x²+ 4F²)e^{ik(x2+4F2)/4F}yˆ H_s(S(x, y)) = E₀

η₀ s

8F

iπk(x²+ 4F²)e^{ik(x2+4F2)/4F}xˆ

(3.57)

ty, ˆn(x, y) · ˆy = 0, och x(xˆ ²− 4F²) − ˆz4F x

x²+ 4F² − 2−ˆxx + ˆz2F

√x²+ 4F²

µ−ˆxx + ˆz2F

√x²+ 4F² ·x(xˆ ²− 4F²) − ˆz4F x x²+ 4F²

¶

= −ˆx Nu ˚aterst˚ar endast att best¨amma str¨ackan fr˚an reflektionspunkten till aperturplanet.

Denna str¨acka ¨ar ξ −¡

x²/4F − F¢

och f¨alten i aperturplanet, Ea= E_sgooch H_a= H_sgo,

kan skrivas (

E_a(x, y) = E_s(S(x, y))e^ik(ξ−(x²/4F −F)) H_a(x, y) = H_s(S(x, y))e^ik(ξ−(x²/4F −F)) d¨ar E_s(S(x, y)) och H_s(S(x, y)) ges av (3.57).

P˚a aperturytan S_a i (3.56) ¨ar ˆn = ˆz. Vi har dessutom att η₀ˆz × H_a(x, y) = −E_a(x, y) vilket ger f¨oljande f¨orenklingar i (3.56):

F_go(ˆr) = ik² 4πr ׈

Z _b/2

−b/2

dx Z _h/2

−h/2

dy [(ˆz + ˆr) × E_a(x, y)] e−ik(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ+ξ cos θ)

d¨ar vi inf¨ort de sf¨ariska vinklarna θ och φ f¨or observationspunkten, dvs. ˆr = ˆx sin θ cos φ + ˆ

y sin θ sin φ + ˆz cos θ. Ins¨attning av alla uttryck ger F_go(ˆr) = −iE₀k²

4πeikξ(1−cos θ)+2ikFr × [(ˆˆ z + ˆr) × ˆy]

· Z _b/2

−b/2

dx Z _h/2

−h/2

dy s

8F

iπk(x²+ 4F²)e−ik(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ)

Integralen i y-variabeln utf¨ors analytiskt, se (3.43). Resultatet blir F_go(ˆr) = − iE₀k²h

4π eikξ(1−cos θ)+2ikFsin(^kh₂ sin θ sin φ)

kh2 sin θ sin φ ˆr × [(ˆz + ˆr) × ˆy]

· Z _b/2

−b/2

s

8F

iπk(x²+ 4F²)e−ikx sin θ cos φdx

(3.58)

Integrationen i x-variabeln m˚aste utf¨oras numeriskt. Liksom f¨or fysikalisk-optik-appro-ximationen kan fram˚atriktningen l¨osas analytiskt. Vi f˚ar identiskt samma v¨arde som i fysikalisk-optik-approximationen.

F_go(ˆz) =iˆyE₀k²h 2π

r8F iπke^2ikF

Z _kb/2

−kb/2

√ dt

t²+ 4k²F²

=iˆyk²E₀h π

r8F

iπke^2ikFln à b

4F + r b²

16F² + 1

!

Beloppet av fj¨arrf¨altsamplituden (3.58) i kvadrat kan skrivas

|F_go(ˆr)|² =k³|E₀|²h²F 2π³

¯¯

¯¯

¯

sin(^kh₂ sin θ sin φ)

kh2 sin θ sin φ

¯¯

¯¯

¯

2

(1 + cos θ)²

·

¯¯

¯¯

¯ Z _kb/2

−kb/2

√ dt

t²+ 4k²F²e−it sin θ cos φ

¯¯

¯¯

¯

2

genom f¨orenklingen, se ¨ovning 3.10, |ˆr × [(ˆz + ˆr) × ˆy] |² = (1 + cos θ)². I fram˚atriktningen f¨or reflektorn, θ = 0, f˚ar vi

|F_go(ˆz)|² =2k³|E₀|²h²F π³

¯¯

¯¯

¯ Z _kb/2

−kb/2

√ dt

t²+ 4k²F²

¯¯

¯¯

¯

2

=8k³|E₀|²h²F π³

¯¯

¯¯

¯ln Ã

b 4F +

r b² 16F² + 1

!¯¯

¯¯

¯

2

Halvv¨ardesbredden ber¨aknad med geometrisk-optik-approximationen finns illustrerad i figur 3.20, vilken kan j¨amf¨oras med motsvarande ber¨akningar med fysikalisk-optik-appro-ximationen i figur 3.12. Ber¨akningar p˚a fj¨arrf¨altsamplituden visas i figur 3.13. Resultatet visar att de b˚ada metoderna i stort sett ger samma resultat. Det ¨ar f¨orst n¨ar vinkeln mellan huvudloben och observationspunkten ¨ar 45^◦, eller st¨orre, n˚agon n¨amnv¨ard skillnad uppst˚ar. Sidlobsniv˚an ¨ar ca. −13 dB i b˚ade E- och H-planet.

Exempel 3.7

I detta exempel genomf¨or vi motsvarande ber¨akningar som i exempel 3.3 p˚a sidan 104 f¨or geometrisk-optik-approximationen. Beteckningar och ber¨akningar h¨amtar vi fr˚an ex-empel 3.3.

F¨or att best¨amma fj¨arrf¨altet fr˚an parabolreflektorn med geometrisk-optik-approxima-tionen best¨ammer vi f¨orst det elektriska f¨altet ¨over ett t¨ankt aperturplan (egentligen en cirkul¨ar skiva med radie a) framf¨or reflektorn. F¨or varje punkt i aperturplanet finns en

Avsnitt 3.5 Kortv˚agsapproximationer 117

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 2 4 6 8 10

E-planet H-planet

2θhv(grader)

m

Figur 3.20: Lobbredd i grader som funktion av b och h f¨or en cylindrisk reflektor i exempel 3.6. Ber¨akningarna ¨ar gjorda med geometrisk-optik-approximationen. I H-planet (x-z-planet) best¨ams b med h = F = 1 m, medan i E-planet (y-z-planet) best¨ams h med b = F = 1 m. Frekvensen f = 4 GHz. J¨amf¨or figur 3.12 d¨ar ber¨akningarna ¨ar utf¨orda med fysikalisk-optik-approximationen.

entydig str˚alg˚angsv¨ag till origo, d¨ar antennen ¨ar placerad. Vi l˚ater aperturplanet samman-falla med planet z = ξ > a²/4F − F .

Vi k¨anner b˚ade det infallande f¨altet och normalvektorn till reflektorytan, se (3.44), (3.52) och (3.47).



















E_i(S (ρ, α)) = − k

²₀ωkˆ_i× H_i(S (ρ, α)) H_i(S (ρ, α)) = kωpe^ikr0(ρ)

4πr⁰(ρ) ˆ

z4F ρ cos α − ˆx¡

ρ²− 4F²¢ ρ²+ 4F²

ˆ

n(ρ, α) = −ˆρρ + ˆz2F pρ²+ 4F²

d¨ar ˆk_i och r⁰(ρ) ¨ar, se (3.51) och (3.48)







kˆ_i(ρ, α) = ρ4F ρ + ˆˆ z¡

ρ²− 4F²¢ ρ²+ 4F² r⁰(ρ) = ρ²/4F + F

Det reflekterade (eller spridda) f¨altet Esp˚a reflektorytan kan enkelt best¨ammas mha.

relationen

E_s(S(ρ, α)) = −E_i(S(ρ, α)) + 2 ˆn(ρ, α) ( ˆn(ρ, α) · E_i(S(ρ, α)))

Nu ˚aterst˚ar endast str¨ackan fr˚an reflektionspunkten till aperturplanet. Denna str¨acka ¨ar ξ −¡

ρ²/4F − F¢

och f¨altet i aperturplanet, Ea, kan skrivas E_a(ρ, α) = E_s(S(ρ, α))e^ik(^ξ−(^{ρ2/4F −F}))

ka

≈ 10−20 0 ≈ 0.1

Rayleigh Resonansregionen GTD, fo, go

Figur 3.21: Olika approximationers frekvensomr˚aden. Spridarens typiska l¨angd-skala ¨ar a, och k = 2π/λ.

Geometrisk-optik-approximationen av fj¨arrf¨altsamplituden ges av

F_go(ˆr) = ik² 4πr ׈



(ˆz + ˆr) × Z Z

Sa

E_a¡ r⁰¢

e^−ikˆr·r0dS⁰



 (3.59)

eftersom η₀z ×Hˆ _a(ρ, α) = −E_a(ρ, α) och d¨ar integrationen sker ¨over aperturskivan Sa. Vi inf¨or de sf¨ariska vinklarna θ och φ f¨or observationspunkten. Integrationen i (3.59) m˚aste utf¨oras numeriskt. Vi noterar att Ea inte har n˚agon z-komponent i aperturplanet och definierar G_x(ˆr) och G_y(ˆr) enligt

Z Z

Sa

E_a¡ r⁰¢

e^−ikˆr·r0dS⁰= ˆxG_x(ˆr) + ˆyG_y(ˆr)

d¨ar de komplexa funktionerna Gx(ˆr) och G_y(ˆr) best¨ams med hj¨alp av numerisk integration f¨or varje θ och φ. Vi har, se ¨ovning 3.10,

|ˆr × [(ˆz + ˆr) × (ˆxG_x(ˆr) + ˆyG_y(ˆr))]|²=

³

|G_x(ˆr)|²+ |G_y(ˆr)|²

´

(1 + cos θ)² och beloppet av fj¨arrf¨altsamplituden (3.59) i kvadrat kan skrivas

|F_go(ˆr)|² = µk²

4π

¶₂³

|G_x(ˆr)|²+ |G_y(ˆr)|²

´

(1 + cos θ)²

Ber¨akningar p˚a fj¨arrf¨altsamplituden visas i figur 3.15. Resultatet visar att de b˚ada metoderna v¨asentligen ger samma resultat f¨or sm˚a observationsvinklar. Amplituden i fram˚atriktningen kan ber¨aknas analytiskt, se ¨ovning 3.12.

In document Spridningsteori med antenntillämpningar Kristensson, Gerhard (Page 118-129)