49 Låt oss betrakta den nakna uppgiften 64 – 26 som användes som exempeluppgift i samtliga

Vidare forskning

49 Låt oss betrakta den nakna uppgiften 64 – 26 som användes som exempeluppgift i samtliga

beskrivningar av beräkningsstrategier. Den uppgiften innehåller ingen information som gör att det går att säga vilken situation inom subtraktion som den hör hemma i. När jag ska bestämma en beräkningsstrategi för att lösa den kan jag välja att tänka mig att jag har 64 kronor och handlar för 26 kronor och vill räkna ut hur mycket jag har kvar, det vill säga en

minskningssituation. Jag kan lika gärna välja att tänka mig att jag har 64 kronor och en vän har 26 kronor och att jag vill veta hur mycket mer jag har, det vill säga en jämförelsesituation. Jag kan utifrån denna valfrihet kanske enklare bestämma mig för en lämplig strategi till exempel genom att direktmodellera min tänkta situation. Enligt Carpenter m.fl. (1999) är

direktmodellering något som barn i förskola och de tidigaste skolåren spontant klarar av så länge de får uppgifter beskrivna i en kontext (situation) och inte behöver översätta det konkreta modellerandet till matematiskt symbolspråk.

Viktigt att beakta är dock att om jag väljer minskningssituationen ovan som utgångspunkt kan jag fortfarande välja mellan samtliga beräkningsstrategier. Samma sak gäller förstås om jag väljer jämförelsesituationen. Kanske är det dock troligare att ett yngre barn använder kompensationsstrategier med lika tillägg till båda termerna om de utgår från en

jämförelsesituation än om de utgår från en minskning? Jag vill dock poängtera att samtliga beräkningsstrategier kan användas oberoende av situation och just detta är något som matematikundervisningen ska hjälpa eleverna att inse (Carpenter m.fl., 1999). Det vore ett mycket intressant område att studera hur relationen mellan situationer och beräkningsstrategier behandlas i undervisningen av olika lärare.

Effektiva beräkningsstrategier

Om stegvisa beräkningar är effektivare än talsortsvisa beräkningar för subtraktion vilket mycket forskning pekar på (Beishuizen, 1993; Foxman & Beishuizen, 2002; Fuson m.fl., 1997), hur kommer det sig då att vi undervisar om talsortsvisa beräkningar? Kan vi inte använda resultat från andra västeuropeiska länder? Vilken grundforskning behövs? Kan vi bygga vidare på resultat från andra länder eller är resultaten kulturellt betingade? Kan man i Sverige, så som Verschaffel m.fl. (2007) beskriver att man gjorde i ett projekt i USA, sätta en snöboll i rullning genom att delge de forskningsresultat som finns om beräkningsstrategier till verksamma lärare?

Sammanfattning av idéer för fortsatt forskning

Om jag får möjlighet vill jag vidareutveckla temat undervisning i subtraktion och addition genom att studera vidare i något eller några av nedanstående spår. Med undervisning i

subtraktion och addition menar jag såväl situationer inom räknesätten, utvecklande av talfakta, beräkningsstrategier, som problemlösning.

- Sammanställa den internationella och nationella forskning som finns inom detta område.

- Undersöka verksamma lärares undervisning inom detta område.

- Undersöka lärarutbildares undervisning inom detta område.

- Utifrån det vi vet skapa interventionsprojekt där undervisning prövas och utvärderas.

Referenser

Algoritm (2011). I Nationalencyklopedin. Hämtad 26 februari 2011 från Nationalencyklopedin:

Uppslagsverk, Svensk ordbok, http://www.ne.se/sok/algoritm?type=NE Alm, L. (2008). Matematik. Stockholm: Skolverket.

Alm, L. (2010). Ämnesprovet i matematik för årskurs 5 vårterminen 2009. Stockholm:

Skolverket.

Anghileri, J. (2001). Contrasting approaches that challenge tradition. In J. Anghileri (Ed.), Principles and practices in arithmetic teaching. (pp. 4-14). Buckingham, U.K.: Open University Press.

Baroody, A. J. (2003). The development of adaptive expertise an flexibility: The integration of conceptual and procedural knowledge. In A. J. Baroody & A. Dowker (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise.

Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Baroody, A. J., & Dowker, A. (2003). The development of adaptive expertise an flexibility: The integration of conceptual and procedural knowledge. In A. J. Baroody & A. Dowker (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Beishuizen, M. (1993). Mental strategies and materials or models for addition and subtraction up to 100 in Dutch second grades. Journal for Research in Mathematics Education, 24(4), 294-323.

Beishuizen, M. (2001). Different approaches to mastering mental calculation strategies. In J.

Anghileri (Ed.), Principles and practices in arithmetic teaching. (pp. 119-130).

Buckingham, U.K.: Open University Press.

Bryman, A. (2002). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber ekonomi.

Bryman, A. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. (2. uppl.). Malmö: Liber.

Buys, K. (2001). Progressive mathematization: Sketch of a learing strand. In J. Anghileri (Ed.), Principles and practices in arithmetic teaching. (pp. 107-118). Buckingham, U.K.:

Open University Press.

Carpenter, T. P., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L., & Empson, S., B. (1999). Children's mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.

Carroll, W. M., & Porter, D. (1997). Invented strategies can develop meaningful mathematical procedures. Teaching Children Mathematics, 3(7), 370-374.

Cobb, P. (1995). Cultural tools and mathematical learning: A case study. Journal for Research in Mathematics Education, 26(4), 362-385.

Cox, L. S. (1975). Systematic errors in the four vertical algorithms in normal and handicapped populations. Journal for Research in Mathematics Education, 6(4), 202-220.

Denzin, N. K., & Lincoln, Y. S. (2000). Introduction: The discipline and practise of qualitative research. In N. K. Denzin & Y. S. Lincoln (Eds.), Handbook of qualitative research.

Thousand Oaks, Calif.: Sage.

Doverborg, E., & Emanuelsson, G. (2006). Små barns matematik: Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn 1-5 år och deras lärare. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Emanuelsson, J. (2001). En fråga om frågor: Hur lärares frågor i klassrummet gör det möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i matematik och naturvetenskap. Doktorsavhandling,Göteborgs universitet. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.

Engström, A., Engvall, M., & Samuelsson, J. (2007). Att leda den tidiga

matematikundervisningen. Linköping: Skapande vetande, Linköpings universitet.

51 Foxman, D., & Beishuizen, M. (2002). Mental calculation methods used by 11-year-olds in

different attainment bands: A reanalysis of data from the 1987 APU survey in the UK.

Educational Studies in Mathematics, 51(1-2), 41-69.

Frisk, S. (2009). Subtraktion i läromedel för åk 2. Nämnaren, 36(3), 10-15.

Fuson, K. C. (1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York:

Macmillan.

Fuson, K. C., Wearne, D:, Hiebert, J.C., Murray, H.G., Human, P.G., Olivier, A.I., …Fennema, E. (1997). Children's conceptual structures for multidigit numbers and methods of multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 28(2), 130-162.

Hammersley, M. (1992). What's wrong with ethnography: Methodological explorations.

London: Routledge.

Hedrén, R. (1999). Kan elever hitta på egna skriftliga beräkningsmetoder?. Nämnaren, 23(4), 8-15.

Heirdsfield, A. M., & Cooper, T. J. (2002). Flexibility and inflexibility in accurate mental addition and subtraction: Two case studies. The Journal of Mathematical Behavior, 21(1), 57-74.

Heirdsfield, A. M., & Cooper, T. J. (2004). Factors affecting the process of proficient mental addition and subtraction: Case studies of flexible and inflexible computers. The Journal of Mathematical Behavior, 23(4), 443-463.

Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn?. Doctoral thesis, University of Gothenburg. Göteborg: Acta

Universitatis Gothoburgensis.

Johansson, B. (2006). Elever har rätt att få lära sig räkna. Nämnaren, 33(1), 28-31.

Kiselman, C. O., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Klein, A. S. (1998). Flexibilization of mental arithmetic strategies on a different knowledge base: The empty number line in a realistic versus gradual program design. Doctoral thesis, Rijksuniversitet te Leiden. Leiden: Leiden University.

Klein, A. S., Beishuizen, M., & Treffers, A. (1998). The empty number line in Dutch second grades: Realistic versus gradual program design. Journal for Research in Mathematics Education, 29(4), 443-464.

Larsson, K. (2010). Vad handlar subtraktion om?. Stockholms universitet, Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik.

Leinhardt, G. (1987). Development of an expert explanation: An analysis of a sequence of subtraction lessons. Cognition and Instruction, 4(4), 225-282.

Lemaire, P., & Callies, S. (2009). Children's strategies in complex arithmetic. Journal of Experimental Child Psychology, 103(1), 49-65.

Liljestrand, J., & Runesson, U. (2006). Interaction, organisation, tasks and possibilities for learning about mathematical relationshios: A swedish classroom compared with a US Classroom. In D. Clarke, J. Emanuelsson, E. Jablonka & I. A. C. Mok (Eds.), Making connections: Comparing mathematics classrooms around the world. Rotterdam: Sense Publishers.

Lincoln, Y. S., & Guba, E. G. (1985). Naturalistic inquiry. Beverly Hills, Calif.: Sage.

Löwing, M., & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning: En inkörsport till matematiken. Lund:

Studentlitteratur.

Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers' understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter.

Lund: Studentlitteratur.

Marton, F., & Booth, S. (1997). Learning and awareness. Mahwah, N.J.: Erlbaum.

Marton, F., & Tsui, A. (2004). Classroom discourse and the space of learning. Mahwah, N.J.:

Lawrence Erlbaum.

52 McIntosh, A. (1998). Teaching mental algorithms constructively. In L. J. Morrow & M. J.

Kenney (Eds.), The teaching and learning of algorithms in school

mathematics:Yearbook/National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA:

National Council of Teachers of Mathematics.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: En handbok. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NMC), Göteborgs universitet.

McNamara, D., & Pettitt, D. (1991). Can research inform classroom practice?: The particular case of buggy algorithms and subtraction errors. Teaching and Teacher Education, 7(4), 395-403.

Menne, J. (2001). Jumping ahead: An innovative teaching programme. In J. Anghileri (Ed.), Principles and Practices in Arithmetic Teaching. (pp. 79-94). Buckingham, U.K.: Open University Press.

Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget.

Peters, G., De Smedt, B., Torbeyns, J., Ghesquière, P., & Verschaffel, L. (2010). Adults’ use of subtraction by addition. Acta Psychologica, 135(3), 323-329.

Rousham, L. (2003). The empty number line: A model in search of a learning trajectory?. In I.

Thompson (Ed.), Enhancing primary mathematics teaching. Maidenhead: Open Univ.

Press.

Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik: Skilda sätt att behandla ett matematiskt innehåll.

Doktorsavhandling, Göteborgs universitet. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.

Runesson, U., & Kullberg, A. (2010). Learning from variation: Differences in learners' ways of experiencing differences. In B. Sriraman, C. Bergsten, S. Goodchild, G. Pálsdóttir, B.

Dahl & L. Haapasalo (Eds.), The first sourcebook on Nordic research in mathematics education: Norway, Sweden, Iceland, Denmark, and contributions from Finland. (pp.

299-317). Greenwich, CT, US: IAP Information Age Publishing.

Selter, C. (1998). Building on children's mathematics: A teaching experiment in grade three.

Educational Studies in Mathematics, 36(1), 1-27.

Skolverket. (2000a). Analysschema i matematik för åren före skolår 6. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. (2000b). Kursplan för Matematik. Hämtad 26 februari 2011, från Skolverket, http://www.skolverket.se/sb/d/2386/a/16138/func/kursplan/id/3873/titleId/MA1010%20 -%20Matematik.

Skolverket. (2007). Hur går det för eleverna i årskurs 5 på de nationella proven 2007:

Resultat från insamling av ämnesproven i engelska, matematik och svenska och svenska som andraspråk i årskurs 5, 2007. Stockholm: Skolverket.

Skolverket. (2008). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007. Stockholm: Skolverket Skolverket. (2010). Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan. Hämtad 26 mars 2011,

från Skolverket http://www.skolverket.se/content/1/c6/02/38/94/Matematik.pdf.

Skolverket. (2011). Kunskapskrav till kursplanen i matematik. Hämtad 26 mars 2011, från Skolverket

http://www.skolverket.se/content/1/c6/02/38/94/Matematik_kunskapskrav.pdf.

Sterner, G., & Johansson, B. (2006). Räkneord, uppräkning och taluppfattning. I E. Doverborg

& G. Emanuelsson (Red.), Små barns matematik: Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn 1-5 år och deras lärare. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Thompson, I. (1999). Getting your head around mental calculation. In I. Thompson (Ed.), Issues in teaching numeracy in primary schools. (pp. 145-156). Buckingham, U.K.: Open University Press.

Thompson, J., Martinsson, T., Martinsson, P.-G., & Thompson, J. (1991). Wahlström &

Widstrands matematiklexikon. Stockholm: Wahlström & Widstrand.

Torbeyns, J., De Smedt, B., Ghesquière, P., & Verschaffel, L. (2009). Acquisition and use of shortcut strategies by traditionally schooled children. Educational Studies in

Mathematics, 71(1), 1-17.

53 Torbeyns, J., De Smedt, B., Stassens, N., Ghesquiere, P., & Verschaffel, L. (2009). Solving

subtraction problems by means of indirect addition. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 11(1-2), 79-91.

Torbeyns, J., Ghesquiere, P., & Verschaffel, L. (2009). Efficiency and flexibility of indirect addition in the domain of multi-digit subtraction. Learning and Instruction, 19(1), 1-12.

Unenge, J. (1989). Kan man slopa algoritmerna?. Nämnaren, 16(2), 20-22.

Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2007). Whole number concepts and operations. In F.

K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. (pp. 667, 641). Charlotte, NC: Information Age Pub.

Verschaffel, L., Torbeyns, J., De Smedt, B., Luwel, K., & Van Dooren, W. (2007). Strategy flexibility in children with low achievement in mathematics. Educational and Child Psychology. Special Issue: Arithmetical difficulties: Developmental and instructional perspectives, 24(- 2), 16-27.

Bilagor

Bilaga 1

Undersökt litteratur

Ahlberg, A., & Wallby, K. (Red.). (2000). Matematik från början. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Ahlström, R. (Red.). (1996). Matematik: Ett kommunikationsämne. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Alm, L. (2004). På upptäcktsfärd i elevernas värld av tal. I Att visa vad man kan: en samling artiklar om ämnesproven i år 5. Stockholm: Skolverket.

Anderberg, B., & Källgården, E.-S. (2007). Matematik i skolan: Didaktik, metodik och praktik.

Stockholm: Bengt Anderberg läromedel.

Bergius, B., Emanuelsson, L., & Emanuelsson, G. (2008). Hur många prickar har en gepard?:

Unga elever upptäcker matematik. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Bergsten, C., Häggström, J., & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2007). A problem solving approach to mathematics for elementary school teachers (9^th ed.). Boston, Mass.: Addison Wesley.

Björklund, L. (2004). Pedagogisk bedömning i matematik. I Att visa vad man kan: en samling artiklar om ämnesproven i år 5. Stockholm: Skolverket.

Boesen, J. (Red.). (2006). Lära och undervisa matematik: Internationella perspektiv. Göteborg:

Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Claesson, S. (2007). Spår av teorier i praktiken: Några skolexempel. Lund: Studentlitteratur.

Doverborg, E., & Emanuelsson, G. (Red.). (2006). Små barns matematik: Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn 1-5 år och deras lärare. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Emanuelsson, J. (2002). Berätta vad du tänker! Två berättelser om rätt och fel svar. Nämnaren 29(3). Göteborg: NCM, Göteborgs universitet.

Emanuelsson, G. (Red.).(1995). Matematik: Ett kärnämne. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Englund, T. Pettersson, A. & Tambour, T. (Red.). (2007). Matematikdidaktiska texter:

Beprövad erfarenhet och vetenskaplig grund. Stockholm: PRIM-gruppen, Institutionen för undervisningsprocesser, kommunikation och lärande, Lärarhögskolan i Stockholm.

Engström, A., Engvall, M., & Samuelsson, J. (2007). Att leda den tidiga

matematikundervisningen. Linköping: Skapande vetande, Linköpings universitet.

Grevholm, B. (Red.). (2001). Matematikdidaktik: Ett nordiskt perspektiv. Lund:

Studentlitteratur.

Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: Inspiration till variation. Stockholm: Liber.

Hedrén, R. (1999). Kan elever hitta på egna skriftliga beräkningsmetoder? Nämnaren, 26(4), 8-15.

Hodgen, J. & Wiliam, D. (2006). Mathematics inside the black box: Assessment for learning in the mathematics classroom. London: nferNelson.

55 Holmqvist, M. (2006). Lärande i skolan: Learning study som skolutvecklingsmodell. Lund:

Studentlitteratur.

Kilborn, W. (1989). Didaktisk ämnesteori i matematik: Del 1, Grundläggande aritmetik.

Stockholm: Utbildningsförlaget.

Kompendium. Avdelningen för matematik, Lärarhögskolan i Stockholm.

Kullberg, B. (2004). Etnografi i klassrummet. Lund: Studentlitteratur.

Lundberg, I., & Sterner, G. (2006). Räknesvårigheter och lässvårigheter under de första skolåren: Hur hänger de ihop? Stockholm:Natur och kultur ;.

Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik: Matematikdidaktik för lärare. Lund:

Studentlitteratur.

Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds förlag.

Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla: Nödvändig för elever med inlärningssvårigheter.

Lund: Studentlitteratur.

McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal: En handbok. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NMC), Göteborgs universitet.

Myndigheten för skolutveckling.(2007). Matematik: En samtalsguide om kunskap, arbetssätt och bedömning. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling.

Myndigheten för skolutveckling. (2008). Mer än matematik: Om språkliga dimensioner i matematikuppgifter. (2008). Stockholm: Myndigheten för skolutveckling.

Pettersson, A. (2004). Räkneförmåga och matematisk kompetens. I Att visa vad man kan: En samling artiklar om ämnesproven i år 5. Stockholm: Skolverket.

Rönnberg, I., & Rönnberg, L. (2001). Minoritetselever och matematikutbildning: En litteraturöversikt. Stockholm: Statens skolverk.

Skolverket (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet. Tillgänglig på Internet: http://www.skolverket.se/publikationer.

Skolverket (1998). Läroplan för förskolan. Tillgänglig på Internet:

http://www.skolverket.se/publikationer.

Skolverket (2000). Grundskolans Kursplaner och betygskriterier.Tillgänglig på Internet:

http://www.skolverket.se/publikationer.

Skolverket. (2000). Analysschema i matematik för åren före skolår 6. Stockholm: Skolverket.

Solem, I. H., Reikerås, E. K. L., Andersson, S., & Tronshart, B. (2004). Det matematiska barnet. Stockholm: Natur och kultur.

Sterner, G., & Lundberg, I. (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik.

Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.

Stigler, J. W., & Hiebert, J. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world's teachers for improving education in the classroom. New York: Free Press.

Wistedt, I. (1991). Om vardagsanknytning av skolmatematiken. I G. Emanuelsson, B. Johansson

& R. Ryding (Red.), Problemlösning. Lund: Studentlitteratur.

Bilaga 2

Kurslitteratur som inte alls har med något om subtraktionssituationer