När vi nu vet vad en sannolikhet är och hur vi kan beräkna den, ska vi undersöka några mer komplicerade situationer.
Om vi kastar en vanlig tärning med sex sidor, hur stor är då sannolikheten att vi får en 3:a?
Vi använder oss av definitionen av sannolikhet, som är kvoten mellan antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall. Det finns bara ett gynnsamt utfall, eftersom vi bara är intresserade av fallet då tärningen visar en 3:a. Eftersom tärningen har 6 sidor och det är lika troligt att respektive sida kommer upp när vi kastar tärningen, finns det 6 möjliga utfall.
Därför kan vi beräkna sannolikheten för att få en 3:a när vi kastar tärningen, så här:
P(3) = antal gynnsamma utfall / antal möjliga utfall = 16 ≈
16,7%
Sannolikheten för att få en 3:a var alltså en sjättedel, vilket är ungefär 16,7 %. Hur stor är sannolikheten för att inte få en 3:a, när vi kastar tärningen?
Även denna gång använder vi oss av definitionen av sannolikhet. I detta fall är det ett gynnsamt utfall om tärningen visar något annat än en 3:a, vilket ju är när tärningen visar 1, 2, 4, 5 eller 6. Alltså finns det i det här fallet 5 stycken gynnsamma utfall. Antalet möjliga utfall är fortfarande 6 stycken, eftersom tärningen har 6 sidor.
Därför kan vi beräkna sannolikheten för att inte få en 3:a när vi kastar tärningen, så här:
P (inte 3) = antal gynnsamma utfall / antal möjliga utfall = 56 ≈
83,3%
Vi kan också komma ihåg att sannolikheten för att en händelse sker eller inte sker alltid är 1, vilket vi ser här:
P(3) + P(inte3) =
= 16 + 56 =
= 1 + 56 =
= 66 => 1 = 100%
Om du kastar en sexsidig tärning, hur stor är sannolikheten för att du får en 5:a eller en 6:a? När vi ska beräkna sannolikheten börjar vi med att undersöka vilka som är våra gynnsamma utfall.
I det här fallet är de gynnsamma utfallen att tärningen visar antingen en 5:a eller en 6:a. Antalet gynnsamma utfall är därför 2 stycken.
Hur många möjliga utfall finns det? Eftersom tärningen har 6 sidor finns det 6 möjliga utfall när tärningen kastas en gång.
Därför kan vi beräkna sannolikheten för att få en 5:a eller en 6:a, så här:
P (5 eller 6) = antal gynnsamma utfall / antal möjliga utfall =
26 / 2 = 13 ≈ 33,3%
Sannolikheten att vi får antingen en 5:a eller en 6:a är alltså en tredjedel, vilket är ungefär 33,3 %.
Om du kastar en sexsidig tärning, hur stor är sannolikheten för att du får en jämn siffra eller en 1:a?
Den här situationen är lite komplicerad, men vi kan beräkna sannolikheten om vi först undersöker de möjliga utfallen och de gynnsamma utfallen.
Tärningen är sexsidig, så det finns 6 möjliga utfall.
De jämna siffrorna är 2, 4 och 6. Därför är de gynnsamma utfallen 1, 2, 4 och 6, vilket är 4 stycken gynnsamma utfall.
Därför kan vi beräkna sannolikheten för att få antingen en jämn siffra eller en 1:a när du kastar tärningen, så här:
P (jämn eller 1) = antal gynnsamma utfall / antal möjliga utfall
= 46 / 2 = 23 ≈ 66,7%
Sannolikheten att få antingen en jämn siffra eller en 1:a är alltså två tredjedelar, vilket är ungefär 66,7 %.
Kombinatorik
Handlar om att räkna på hur många olika sätt man kan välja eller ordna något.
Multiplikationsprincipen
Om vi har två mängder A och B, och vill veta på hur många olika sätt som vi kan välja ett element från mängd A och ett element från mängd B, då har vi användning för multiplikationsprincipen.
Multiplikationsprincipen säger oss att om det finns x sätt att göra ett första val och y sätt att göra ett andra val, då finns det xy möjliga sätt att sammantaget göra dessa båda val på.
Om vi ser det första valet som att vi ska välja ett element ur en mängd A och det andra valet som att vi ska välja ett element ur en mängd B, då kommer vi att kunna välja ett element ur mängden A på |A| olika sätt och ett element ur mängden B på |B| olika sätt (där |A| och |B| betecknar kardinaliteten för mängden A respektive B, det vill säga antalet element i respektive mängd). Enligt multiplikationsprincipen kommer vi alltså att kunna välja ett element ur A och ett element ur B på |A|∙|B| sätt.
Om vi till exempel ska välja ett element ur A = {a, b, c} och ett element ur B = {1, 2, 3, 4} kan detta göras på följande sätt:
(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2),(a,3),(b,3),(c,3),(a,4),(b,4),(c,4)
där t.ex. (c, 3) innebär att vi väljer elementet c ur mängden A och elementet 3 ur mängden B.
Genom denna uppräkning ovan ser vi att antalet olika sätt är 12, men vi kunde även ha beräknat detta direkt med hjälp av de båda mängdernas kardinalitet:
|A|⋅|B| = 3⋅4 = 12
Vi kan illustrera denna situation med hjälp av ett träddiagram, där vi först väljer ett element ur A och sedan ett element ur B, på följande sätt:
I detta exempel var det två val som skulle göras (ett element skulle väljas ur respektive mängd), men multiplikationsprincipen utvidgas enkelt till fler än två val. Ska vi till exempel välja ett element ur var och en av mängderna A, B och C, kan det första valet göras på |A| sätt, det andra på |B| sätt, och det tredje på |C| sätt, vilket ger oss att ett element ur A, B respektive C kan väljas på |A|∙|B|∙|C| olika sätt.
Vi inser också att när vi bara är intresserade av att beräkna antalet sätt som vi kan göra dessa val på, då spelar det ingen roll i vilken ordning vi gör valen, eftersom t.ex. |A|∙|B| = |B|∙|A| gäller.
Anton har två par byxor, fyra skjortor och tre slipsar. På hur många olika sätt kan han välja ett par byxor, en skjorta och en slips?
Det här problemet kan vi lösa med hjälp av multiplikationsprincipen.
Vi betecknar mängden av byxor med A, mängden av skjortor med B och mängden av slipsar med C. Vi vet att mängden A har två element, mängden B har fyra element och mängden C har tre element. Kardinaliteten för respektive mängd är alltså |A| = 2, |B| = 4 respektive |C| = 3.
Antalet sätt som vi sammantaget kan göra dessa tre val beräknar vi med multiplikationsprincipen på följande sätt:
Det finns alltså i det här fallet 24 olika sätt som Anton kan välja ett par byxor, en skjorta och en slips.
Produktkoder
Ett företag bestämmer sig för att införa ett system där varje produkt ges en kod, så att man lätt kan identifiera varje produkt enbart utifrån denna kod. På företaget tänker man sig att produktkoderna ska bestå av två bokstäver följt av fem siffror, men man vet inte till hur många produkter dessa koder kommer att räcka.
Hur många produkter kan unikt identifieras med hjälp av detta system? Vi antar att de bokstäver som får användas är alla bokstäver i det svenska alfabetet förutom å, ä och ö, och att de siffror som får användas är 0 till 9.
Lösningsförslag:
Enligt det sätt som koderna är uppbyggda ska vi först välja en bokstav, sedan ytterligare en bokstav, och slutligen göra fem val av siffror 0 till 9.
Vi kan se det som att vi har två mängder A och B, där elementen i A utgörs av de tillåtna bokstäverna och elementen i B utgörs av de tillåtna siffrorna. Vad vi ska göra är alltså först två val av element ur mängden A och sedan fem val av element ur mängden B.
Antalet bokstäver i det svenska alfabetet förutom å, ä och ö är 26 stycken. Alltså finns det 26 element i mängden A, det vill säga |A| = 26.
Siffrorna 0 till 9 är 10 stycken siffror, så detta är antalet element i mängden B, det vill säga |B| = 10.
Bokstäverna kan därför väljas på 262 olika sätt, eftersom det är två val ur en mängd som innehåller 26 element som ska göras.
Var och en av de fem siffrorna i koden kan väljas på 10 olika sätt, eftersom siffrorna 0 till 9 används. Det innebär att det finns 105 olika sätt att välja de fem siffrorna på. Sammanlagt är det alltså sju val (två bokstäver och fem siffror) som ska göras oberoende av varandra, så multiplikationsprincipen säger oss att vi kan göras dessa val på så här många olika sätt:
|A|
2⋅|B|
5= 26
2⋅10
5= 676⋅100000 = 67600000
Detta innebär alltså att systemet kan skapa 67,6 miljoner produktkoder. Om företaget räknar med att inte ha fler produkter än så kommer antalet produktkoder att räcka för företagets behov.
I det förra avsnittet bekantade vi oss med multiplikationsprincipen, som kan användas när vi ska beräkna på hur många olika sätt vi kan göra på varandra följande val.
I det här avsnittet introducerar vi begreppet permutation och i vilka situationer dessa förekommer, och lär oss hur vi kan beräkna antalet permutationer. Kunskap om hur vi beräknar antalet permutationer kommer vi även att använda oss av i nästa avsnitt, då vi beräknar antalet kombinationer.
Permutationer
Tänk dig att det står tre olika böcker på ett hyllplan i en bokhylla. På hur många olika sätt kan du ordna dessa böcker bredvid varandra på hyllplanet?
Vi kan tänka så här: en av böckerna kommer att stå längst till vänster, en i mitten och en längst till höger. Om vi börjar med att välja vilken av de tre böckerna som ska stå längst till vänster, har vi alltså tre böcker att välja på. När vi sedan har valt den bok som ska stå längst till vänster återstår två böcker; en av dessa två böcker ska stå i mitten. Sedan vi valt vilken bok som ska stå till vänster och vilken som ska stå i mitten återstår bara en bok, så den boken får då stå längst till höger på hyllplanet. Det här innebär att vi först ska välja ett element av tre, sedan ett element av två och slutligen ett element av ett. Därför finns det sex olika möjliga sätt att ordna böckerna bredvid varandra, vilket vi kommer fram till med hjälp av multiplikationsprincipen:
3⋅2⋅1 = 6
Om vi betecknar böckerna a, b och c, har vi alltså följande sätt att ordna böckerna från vänster till höger på hyllplanet: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Dessa olika sätt att ordna böckerna kallar vi permutationer av tre element ur mängden {a, b, c}.
n-fakultet
När vi räknar med antalet permutationer stöter vi ofta på beräkningar av typen
3⋅2⋅1
För att underlätta våra beräkningar används skrivsättet 3! när vi menar
3⋅2⋅1
Detta utläses "3-fakultet". På motsvarande sätt är till exempel 5! samma sak som
vilket utläses "5-fakultet".
Allmänt gäller för naturliga tal n att n! (vilket utläses "n-fakultet") är definierat som
{n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅3⋅2⋅10! =1 om n≥1 om n=0
Detta innebär att t.ex. 5! tolkas på följande sätt:
5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120
Vi kan se n-fakultet som en talföljd med elementen
1,2,6,24,120,...
för n ≥ 1.
Därigenom inser vi även att vi kan beräkna värdet på det n:te elementet i denna talföljd med hjälp av en rekursiv formel. Om vi t.ex. känner till värdet på 4! kan vi lätt beräkna värdet på 5!, om vi känner till värdet på 3! beräknar vi lätt värdet på 4!, och så vidare ner till 0! (värdet på 0! är ju per definition lika med 1):
5!=5⋅4!=
=5⋅4⋅3!=
=5⋅4⋅3⋅2!=
=5⋅4⋅3⋅2⋅1!=
=5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅0!=
=5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅1=
=120
Antal permutationer
I vårt tidigare exempel med böckerna på hyllplanet undersökte vi på hur många sätt vi kan ordna om samtliga dessa böcker.
Ett mer allmänt fall av detta är att vi har n böcker och vill välja ut k av dessa böcker, och undersöka på hur många olika sätt vi kan göra detta, om vi tar hänsyn till den ordning som de utvalda böckerna hamnar i.
Till exempel kan vi ha 5 böcker i hyllan och ska välja ut 2 av dessa böcker. Då kan vi välja den första boken på 5 olika sätt. Därefter finns det 4 böcker kvar att välja
mellan. Alltså kan vi göra dessa båda val på så här många sätt (antal permutationer när 2 element av 5 element väljs):
5⋅4=20
Allmänt gäller att när vi väljer ut k element från en mängd bestående av n element och vi tar hänsyn till ordningen elementen hamnar i, vilket vi skriver P(n, k), kan antalet sätt att göra detta beräknas på följande sätt:
P(n,k) = n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)
där 0 ≤ k ≤ n.
Detta kan vi förenkla till följande formel, med vars hjälp vi enkelt kan beräkna antalet permutationer då k element av n element väljs:
P(n,k) = n!(n−k)!
där 0 ≤ k ≤ n.
När vi till exempel beräknar antalet sätt att välja 2 böcker av 5 böcker och tar hänsyn till ordningen dessa böcker hamnar i, räknar vi alltså så här:
P(5,2)=5!(5−2)!=5!3!=5⋅4⋅3!3!=5⋅4=20
När vi beräknar antalet permutationer finns det några specialfall som är bra att känna till:
P(n,n) = n!
P(n,1) = n
P(n,0) = 1
Det första specialfallet, att P(n, n) = n!, motsvarar situationen i vårt första exempel i det här avsnittet, där vi undersökte på hur många sätt vi kan ordna om 3 böcker (alltså 3 av 3 böcker väljs), vilket visade sig vara 3!.
Vi kan härleda antalet permutationer i det första specialfallet genom att använda den allmänna formeln, där vi låter k = n gälla:
Det andra specialfallet, att P(n, 1) = n, innebär att vi väljer ett element av n element. Att detta kan ske på n olika sätt kan framstå som självklart, men vi kan härleda att detta gäller genom att använda den allmänna formeln, där vi låter k = 1 gälla:
P(n,1) = n!(n−1)! = n⋅(n−1)!(n−1)! = n
Det tredje specialfallet, att P(n, 0) = 1, innebär helt enkelt att det finns ett enda sätt att inte välja något element av n element (och det är att inte välja något element). Även detta kan vi härleda med hjälp av den allmänna formeln, där k = 0 gäller:
P(n,0) = n!(n−0)! = n!n! =1
Tolka och beräkna följande antal permutationer:
1. P(7, 3)
P(7, 3) tolkar vi som antalet permutationer när vi väljer 3 element av 7 element. Vi beräknar antalet permutationer så här:
P(7,3) = 7!(7−3)! = 7!4! =
= 7⋅6⋅5⋅4!4! = 7⋅6⋅5 = 210
Antalet permutationer då vi väljer 3 element av 7 element är alltså 210.
2. P(7, 7)
P(7, 7) tolkar vi som antalet permutationer när vi väljer 7 element av 7 element, det vill säga samtliga sju element.
Detta motsvarar det första specialfallet som vi tog upp ovan, så vi vet att antalet permutationer blir
P(7,7) = 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5040
Antalet permutationer då vi väljer 7 element av 7 element är alltså 5040.3. P(7, 1)
P(7, 1) tolkar vi som antalet permutationer när vi väljer ett element av 7 element. Detta motsvarar det andra specialfallet ovan, så vi vet att antalet permutationer är lika
många som antalet element, det vill säga 7:
P(7,1) = 7
Vill vi ändå beräkna P(7, 1) med den allmänna formeln för antalet permutationer, får vi följande:
P(7,1) = 7!(7−1)! = 7!6! = 7⋅6!6! = 7
Antalet permutationer då vi väljer ett element av 7 element är alltså 7.4. P(7, 0)
P(7, 0) tolkar vi som antalet permutationer när vi väljer noll element av 7 element. Detta motsvarar det tredje specialfallet ovan, så vi vet att antalet permutationer är ett, eftersom vi kan välja noll element på bara ett enda sätt:
P(7,0) = 1
Vill vi ändå beräkna P(7, 0) med den allmänna formeln för antalet permutationer, få vi följande:
P(7,0) = 7!(7−0)! = 7!7! = 1
Antalet permutationer då vi väljer noll element av 7 element är 1.I nästa avsnitt introducerar vi det närliggande begreppet kombination och går igenom hur vi beräknar antalet kombinationer.
Kombinationer
När vi i det förra avsnittet studerade permutationer utgick vi från en mängd
bestående av n stycken element och valde sedan ut k av dessa element, och tog hänsyn till ordningen som de utvalda elementen hamnade i. Detta antal
permutationer betecknade vi P(n, k) och beräknade på följande sätt:
där 0 ≤ k ≤ n.
Har vi till exempel en mängd {a, b, c, d} och ska välja tre av dessa fyra element, då kan vi med hjälp av formeln ovan beräkna att antalet permutationer är 24. Av dessa 24 permutationer kommer bland annat följande val av element alla att innehålla samma tre element, men utgöra separata permutationer av dessa tre element: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Om vi däremot bara är intresserade av vilka element som väljs ut, inte i vilken ordning valen av element görs, då har vi att göra med en annan situation.
Jämför vi med vårt exempel ovan, där vi valde tre av de fyra elementen i mängden {a, b, c, d}, då kommer vi att inse att bland annat de sex permutationerna abc, acb, bac, bca, cab och cba ju består av samma tre element. Därför ska dessa
permutationer bara räknas en gång när vi enbart är intresserade av vilka element som väljs ut, inte i vilken ordning valen gjorts.
Ett val av k element från en mängd bestående av n element, när vi inte tar hänsyn till ordningen som elementen står i, kallar vi en kombination.
Antalet kombinationer med k element från en mängd bestående av n element betecknar vi C(n, k) eller
(
nk)
, där(
nk)
uttalas "n över k", och beräknas på följande sätt:C(n,k) = (nk) = P(n,k)k! = n!(n−k)!⋅k!
där 0 ≤ k ≤ n.
Enligt denna formel beräknar vi alltså antalet kombinationer C(n, k) genom att vi först beräknar antalet permutationer P(n, k) och sedan dividerar detta antal med k! för att bli av med de permutationer som annars räknas flera gånger.
Vi har fem olika böcker i en bokhylla och tänker ta med oss två av dessa böcker när vi ska ut och resa.
På hur många olika sätt kan vi välja två av de fem böckerna, om vi bara bryr oss om vilka böcker vi får med oss, inte i vilken ordning vi valde böckerna?
Eftersom vi inte bryr oss om i vilken ordning vi väljer böckerna, är det antalet kombinationer som vi är intresserade av att beräkna. Vi har fem element (olika böcker) att välja mellan och ska välja ut två av dessa element (böcker).
Därför räknar vi så här:
= 5!3!⋅2! =
= 5⋅4⋅3!3!⋅2 = 10
Vad vi har kommit fram till är alltså att vi kan välja vilka de två böckerna är på tio olika sätt.