Sammanfattande diskussion

I dokument Begreppsinlärning genom ett humanistiskt förhållningssätt (sidor 47-50)

4. Avslutning

4.1 Sammanfattande diskussion

Vad är ett begrepp?

Genom att lyfta fram viktiga begrepp i matematikundervisning kan man förbättra elevernas förståelse. Detta kan man göra genom att arbeta med olika termers mening och referens. Vad betyder de matematiska orden som vi använder och vilka objekt refererar de till?

Det finns inte bara en typ av definition utan flera olika beroende på vad syftet med definitionen är. En del definitioner siktar in sig på att förklara ordens mening och en del beskriver referensen. Man kan också skilja på formella definitioner, som används vid bevisföring, pedagogiska definitioner, som kan användas i undervisning, och personliga definitioner som elever själva använder för att förklara sin begreppsuppfattning.

David Tall och Shlomo Vinner skiljer mellan hur matematiska begrepp definieras formellt och de mentala bilder som hör till begreppen. De använder ordet begreppsbild för alla de processer som är knutna till ett begrepp. För att elever ska förstå ett begrepp bör de dels ha korrekta begreppsbilder och dels många kopplingar mellan begreppsbild och definition. Då blir eleverna bra problemlösare. 151 Spengler (1996) (s. 102) skriver att under antiken var aritmetik och geometri fullständiga vetenskaper. I vår kultur är aritmetik och geometri verktyg för vardagligt räknande. Funktioner däremot är en viktig del av den vetenskapliga matematiken.

Något som kan ställa till det för eleverna är att begrepp utvecklas under deras skolgång och den mentala bild som passar på grundskolan kanske inte passar på gymnasiet. Tall & Vinner tar

exemplet subtraktion. I början ses kanske subtraktionen som en skillnad som alltid är positiv medan denna bild inte passar när differensen även kan bli negativ.

Jan Thompson menar att det är viktigt att gå från det konkreta till det abstrakta. I början ska man försöka använda konkreta bilder och handlingar samt ett mer vardagligt språk. När eleverna fått ett större grepp om begreppen kan man gå mot mer symboler och strukturella metoder. Han skriver om fyra olika tankenivåer; handling, föreställning, symbolisk skrivning och symbolisk skrivning med algebra. Eleverna måste ta kognitiva språng när de går mellan dessa nivåer och det är lärarens uppgift att underlätta sprången.

Enligt Tall & Vinner sker begreppsinlärningen i fyra olika faser:

A Vi träffar på och använder begreppen, utan att vi har definierat dem formellt.

B Vi generaliserar erfarenheten och skapar oss mentala bilder av objekten som hjälper oss i problemlösning.

C Vi använder bilderna i olika sammanhang och löser olika problem.

D Begreppet preciseras. Vi får kanske ett namn eller en symbol som gör att vi kan kommunicera med varandra. Eventuellt får begreppet också en formell definition

Om vi kombinerar Tall & Vinners och Thompsons idéer så kan vi tänka oss att i fas A ska eleverna först träffa på begreppen utifrån konkreta bilder och handlingar. I fas B, när eleverna är trygga med de konkreta bilderna, kan man generalisera dem och gå mot en mer strukturell metod. Efter fas C då eleverna har använt sina begreppsbilder så kan man ytterligare öka abstraktionsnivån och precisera begreppet på olika sätt.

Vad jag har lärt mig av undervisning i humanistiska ämnen

Tanken med projektet var att jag skulle hämta inspiration från undervisning i filosofi och språk och även få ett idéhistoriskt perspektiv på matematiken.

Det jag har lärt mig av filosofiundervisning är att jag ska fokusera på begreppen i min undervisning, lyfta fram dem på olika sätt och prata om dem. Om man vill ha bra diskussioner med eleverna så måste dessa planeras och det är viktigt att man har rätt diskussionsämnen.

Om vi vill att eleverna ska använda begreppen aktivt, både muntligt och skriftligt, har

matematikundervisningen mycket att lära av hur man arbetar i svenska som andraspråk. Pauline Gibbons pekar på hur man kan få eleverna att gå från ett vardagligt språk till ett mer vetenskapligt152

språk genom att använda effektiva grupparbeten där: 1) Eleverna i grupp får arbeta med praktiska övningar. 2) Läraren introducerar viktiga nyckelord.

3) Grupperna får redovisa muntligt. 4) Eleverna gör skriftliga redovisningar.

När jag testade att låta eleverna arbeta utifrån punkterna 1 – 3 så fick jag ett positivt resultat i klassrummet. I fortsättningen vill jag använda detta arbetssätt mer och då även låta eleverna skriva redogörelser efteråt.

Genom att lyfta fram var begreppen kommer ifrån så får eleverna en känsla för begreppen. Hur användes de historiskt och varför? Vad har hänt sedan dess? Imre Lakatos tar upp exempel som visar hur det egentligen gick till vid några matematiska upptäckter och att begrepp förändras genom historien. Han menar att det sätt som matematiken ofta beskrivs hindrar kreativiteten och döljer den 152 Läs matematiskt

historiska bakgrunden. Vi borde visa eleverna hur matematiken har utvecklats. Därför är det viktigt att vi lärare har kunskap om matematikens och matematikbegreppens historia.

Detta arbete hade inte fungerat om jag inte samtidigt som jag försökte arbeta med humanistiska arbetssätt i matematiken även läst mer matematikdidaktik. Jag behövde koppla ihop olika arbetssätt med en grundläggande förståelse för hur matematikinlärning går till och hur olika metoder kan användas tillsammans för att skapa en röd tråd som följer elevernas inlärning.

Varför mina elever inte lärde sig funktioner

I titeln på den här rapporten frågar jag mig varför mina elever inte lärde sig funktioner. Framförallt hade många elever svårt för räta linjen och k-värdet. Under det här arbetet tycker jag mig ha funnit svar på denna fråga.

När jag tidigare undervisat i kursen Matematik A har jag inte vetat vilka kunskaper eleverna behövde ha med sig i B-kursen. När vi dessutom tog funktionsavsnittet sist i A-kursen och, på grund av tidsbrist, hastade igenom momentet blev följden att eleverna inte fick tillräckliga

förkunskaper. Jag upptäckte, när jag började arbeta mer begreppsfokuserat i B-kursen, att eleverna hade för dåliga kunskaper om tallinjen. Detta medförde att de fick svårt att förstå koordinatsystemet och de blandade ihop de områden där axlarna var negativa med ett negativt k-värde. Många elever har dåliga kunskaper med sig från grundskolan om negativa tal. Därför måste vi ägna mer tid åt negativa tal i A-kursen.

Innan projektet visste jag inte heller vad eleverna behövde veta om funktioner. Jag hade en vag aning om att de skulle kunna rita grafer men förstod inte de olika åskådningsformerna; situation, formel, tabell och graf. En stor del av de arbetsuppgifter som eleverna arbetar med under

lektionerna bör ha som syfte att de ska kunna gå mellan olika åskådningsformer. Om eleverna lär sig detta i A-kursen och om de också får med sig tillräckliga kunskaper om negativa tal och koordinatsystemet så kommer de lättare klara B-kursen.

Funktionsbegreppet bygger på ett talbegrepp som växte fram på 1600-talet. Medan det antika talbegreppet utgick från sinnesintrycken är det västerländska talbegreppet istället ett rent resultat av mänskligt tänkande. En av de saker som är specifika i den västerländska matematiken är idén om oändligheten och när man frigör matematiken från det konkreta och ändliga bäddar man för rationella och irrationella tal.

Jag tror att vi, i matematikundervisning, hoppar mellan olika talbegrepp. I vissa situationer bygger vi vårt resonemang på ett konkret talbegrepp som liknar det man använde under antiken. När vi arbetar med att lösa ekvationer kanske vi snuddar vid det arabiska, mystiska, talbegreppet och när vi håller på med funktioner använder vi en västerländsk taluppfattning, som bygger på tallinjen. Om man som elev tycker att det är svårt med matematik så gör inte de olika talbegreppen det lättare att förstå.

Fram till 1800-talet användes funktionerna till att beskriva verkliga samband. Det var först under 1800-talet som man började studera funktionerna i sig och man utvecklade funktionsbegreppet mot ett mer generaliserat och abstrakt begrepp där det fanns en strävan att göra innebörden av

funktionsbegreppet oberoende av icke-matematiska begrepp. Om rekapitulationstesen är korrekt bör man därför introducera funktioner med hjälp av exempel som är kopplade till en verklighet. Man kan börja med konkreta samband och göra tabeller och rita grafer utifrån dem. Först när eleverna behärskar dessa exempel kan man gå vidare till att studera funktioner mer abstrakt.

Jag har i det här arbetet fått en större förståelse för hur inlärning går till och hur man kan planera undervisning för att eleverna ska förstå begrepp. Jag har fått många idéer till bra övningar som främjar begreppsinlärning och hur jag ska få dessa att hänga ihop till en röd tråd. Jag har också fått en större förståelse för funktionsbegreppet och varför mina elever tidigare haft problem med funktioner.

I dokument Begreppsinlärning genom ett humanistiskt förhållningssätt (sidor 47-50)