Analysen av de 78 genomförda diagnoserna resulterade i elva strategier som användes av elever vid be- handling av diskreta mängder (se figur 8, s. 19). Dessa strategier har grupperats i fyra övergripande katego- rier utan att hänsyn tagits till strategiernas gångbarhet. Flera av de strategier som identifierats i denna stu- die liknar i olika grad de strategier av Behr et al. (1988), Engström (1997) och Lamon (1996) som lyfts fram i bakgrunden, vilket redovisas nedan. För att inom avsnitt 6.1 skilja de i studien identifierade strategi- erna från de strategier som framkommit i tidigare forskning har studiens strategier markerats med fet kur- siverad stil medan övriga strategier enbart kursiverats.
Heltalstillämpning
Inom strategin täljare eller nämnare som antal liksom i Engströms (1997) schema d använder sig eleverna antingen av täljaren eller av nämnaren som ett antal för att lösa uppgiften. I likhet med strategierna adde-
rande och multiplicerande beskrivna av Behr et al. (1988) utför eleverna inom nyttjande av givna tal aritme-
tiska operationer med de i uppgiften givna talen. Inom nyttjande av givna tal förekommer dock, till skillnad från de av Behr et al. beskrivna strategierna ovan, lösningar där elever använt sig av tal i både ett och flera bråkuttryck vilket möjligtvis kan bero på de olika studiernas skilda uppgiftskaraktär. Ytterligare en strategi som påminner om ovanstående resonemang men där objekten skiljs åt och alltså inte adderas, är isomorf representation (Behr et al.) där eleverna på t.ex. skilda rader markerar både två objekt och sex ob- jekt då efterfrågas, till skillnad från addition då åtta sammanhängande objekt vanligtvis markeras.
Formation av helhet
Utan att ta hänsyn till den i uppgiften givna helheten bildar eleven en ny helhet i strategin ny helhetsbild- ning. Liksom i omdefiniering av enheten (Behr et al., 1988) koncentrerar sig eleverna i ovanstående strategi endast på en del av helheten. Inom nämnaren som utgångspunkt avgör storleken på nämnaren hur
många delar helheten ska delas in i. Jämfört med tidigare forskning omfattar ovanstående strategi två av de strategier som Behr et al. beskriver, dels uppdelande där helheten delas upp i grupper vilka till antal stämmer överens med nämnarens storlek och dels uppdelning av nämnare där objekten istället delas upp i grupper där antalet objekt i varje grupp överensstämmer med nämnarens storlek. Beroende på hur uppdelningen uti- från nämnarens storlek sker inom strategin nämnaren som utgångspunkt kan även vissa likheter ses med Lamons (1996) distribution strategy där elever fördelar en enhet i taget i rätt antal grupper.
28 Formation av enhet
Överensstämmelsen är hög är mellan strategin oberoende gruppering av delar och schema c hos Eng-
ström (1997). Båda strategierna visar hur eleverna fokuserar på relationen mellan de i uppgiften skilda en- heterna av objekt. Strategin gruppering utan hänsyn till lika delar där helheten delas in i delar där antal objekt i varje del inte är lika till antal, kan inte direkt kopplas till tidigare funna strategier. Strategin bör snarare ses som ett resultat av missuppfattningar kring hur helheter ska grupperas vid behandling av tal i bråkform, vilket diskuteras vidare i avsnitt 6.3. Inom gruppering som enskilda enheter ses liksom i
Engströms schema a varje enskilt objekt i helheten som en enhet och samlas inte i en större sammanhäng- ande grupp. Elever inom denna strategi formar inte enheter utan räknar antalet enskilda enheter av objekt i både delen och helheten. Ytterligare ett exempel där paralleller till tidigare studier finns är mellan grup- pering med markering och den av Lamon (1996) kallad mark-all strategy. Lamons beskrivning av sin stra-
tegi baseras främst på delning av en kontinuerlig mängd, men i båda strategier markeras de ingående ob- jekten i enheter oavsett om det är relevant för lösningen eller inte. Tankemässigt konstruerad gruppe- ring är en strategi där eleverna kan se och bilda en ny enhet i en given situation. Liknande resonemang kan man hitta i Lamons preserved-pieces strategy där eleverna bevarar de enheter de inte behöver dela på som hel- heter, och endast delar upp det som är nödvändigt och i Engströms schema b där eleverna formar en enhet och genom det kan förenkla bråkuttryck.
Operation på och med tal i bråkform
Strategin fördubbling eller halvering och då främst fördubbling är ett exempel som påminner om strate- gin diskret som beskrivits av Behr et al. (1988). Likheten mellan strategierna är att båda eftersträvar lik- nämnighet med helheten, men en stor skillnad ligger i att fördubblingsstrategin inte är generell då den all- tid grundas på en faktor av två. Strategin multiplikation och/eller division inom vilken ett eller flera aritmetiska resonemang förs liknar strategin generaliserande (Behr et al.) på så vis att eleverna genom en form av beräkning löser en uppgift. Inom den generaliserande strategin bygger resonemanget på ett abstrakt tänkande till skillnad från strategin multiplikation och/eller division där enbart redovisade tankegångar har kategoriserats. Möjligen har studiens utformning varit avgörande för skillnaden då det i en skriftlig diagnos saknas möjlighet till att tolka elevers abstrakta tankegångar.
Vid jämförelse mellan tidigare forskning och studiens resultat kan alltså flera likheter ses. Trots att tidigare studier till stor del grundat sina slutsatser på diagnos- eller intervjuuppgifter med objekt av enbart samma färg, storlek och form, och där objekten vanligtvis varit ordnade i t.ex. rader finns en överensstämmelse med de strategier som denna studie resulterat i. Samstämmighet med tidigare forskning tyder på att de i studien identifierade strategierna är de som elever inom denna ålderskategori använder vid behandling av diskreta mängder.
29