Svårigheter med matematisk problemlösning ur ett
elev- och lärarperspektiv
-En kvalitativ studie i årskurs 1-2 om elevers svårigheter i
problemlösning samt hur lärare förebygger och följer upp
elevernas svårigheter.
Difficulties with mathematical problem solving from a pupil- and teacher perspective -A qualitative study in grades 1-2 about pupils' difficulties in problem solving and how
teachers prevent and follow up the pupils' difficulties.
Lisa Arverot och Kristine Winge
Akademin för utbildning, kultur Handledare: Maria Larsson och kommunikation
Examinator: Jan Olsson Examensarbete i lärarutbildningen
Avancerad nivå
Akademin för utbildning EXAMENSARBETE
kultur och kommunikation Kurskod MAA017 15 hp
Termin VT År 2020
SAMMANDRAG
Arverot, L. & Winge, K.
Svårigheter med matematisk problemlösning ur ett elev-och lärarperspektiv
-En kvalitativ studie i årskurs 1-2 om elevers svårigheter i problemlösning samt hur lärare förebygger och följer upp elevernas svårigheter.
Årtal 2020 Antal sidor: 32
Syftet med föreliggande studie är att fördjupa kunskapen om vilka svårigheter som kan uppstå vid problemlösning i matematikundervisningen och hur lärare förebygger och följer upp elevernas svårigheter. Vi har använt oss av en kvalitativ ansats och ett ramverk hämtat ur Mölleheds (2001) avhandling. Vi har genomfört observationer av elever och lärare och semistrukturerade intervjuer med lärarna. Resultatet visar vilka svårigheter elever har i problemlösningsuppgifter samt hur lärare förebygger och följer upp
elevernas svårigheter. Elever visar svårigheter med att kombinera föremål, motivera sina lösningar, förstå matematiska begrepp, förstå texten, separera räknesätten, att ha fokus på rätt detaljer och att de gjorde slarvfel. Lärares förebyggande och uppföljande arbete inkluderade varierande introduktioner, förklaring av begrepp, kartläggande av elevers svårigheter, erbjuda individuellt stöd, och använda helklassdiskussionen som ett sätt att reda ut befintliga svårigheter som uppkommit, genom att lyfta olika strategier.
Slutsatsen är att elevers svårigheter är att kombinera föremål, textförståelse,
matematiska begrepp, att motivera sina lösningar, räkneförmåga och att behålla fokus på uppgiften. Lärare förebygger elevers svårigheter i problemlösning genom varierande introduktioner, genomgångar, att förklara begrepp och genom att kartlägga elevers svårigheter. Lärare följer upp elevers svårigheter genom att erbjuda individuellt stöd både i och utanför undervisningen i klassrummet och diskutera elevers svårigheter, möjliga lösningar och möjliga strategier i helklassdiskussioner.
____________________________________________________________ Nyckelord: problemlösning, svårigheter, förebyggande insatser, uppföljande arbete
School of Education, Culture Course code MAA017 15 credits
and Communication Spring semester Year 2020
ABSTRACT
Arverot, L. & Winge, K.
Difficulties with mathematical problem solving from a pupil- and teacher perspective -A qualitative study in grades 1-2 about pupils' difficulties in problem solving and how teachers prevent and follow up the pupils' difficulties.
Year 2020 Number of pages: 32
____________________________________________________________ The purpose of this study is to deepen the knowledge of the difficulties that can arise in problem solving in mathematics teaching and how teachers prevent and follow up students' difficulties. We have used a qualitative approach and a framework derived from Möllehed's (2001) thesis. We conducted observations of students and teachers and semi-structured interviews with the teachers. The result shows what difficulties students have in problem solving tasks as well as how teachers prevent and follow up students' difficulties. Pupils show difficulty combining objects, motivating their solutions, understanding mathematical concepts, understanding the text, separating the
calculations, focusing on the right details and making mistakes. Teacher prevention and follow-up work included varied introductions, explanation of concepts, mapping of student difficulties, offering individual support, and using the whole-class discussion as a way to identify existing difficulties that arose, by highlighting different strategies. The conclusion is that pupils’ difficulties are to combine objects, textual understanding, mathematical concepts, to justify their solutions, calculating ability and to keep focus on the task. Teachers prevent pupils’ difficulties in problem solving through various
different introductions, reviews, explaining concepts and by charting lifting difficulties. Teachers follow up pupils difficulties by offering individual support both inside and outside the classroom and discussing the pupils’ difficulties, possible solutions and possible strategies in whole class discussions.
____________________________________________________________ Keywords: problem solving, difficulties, preventive measures, follow-up work.
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
1.1 Syfte och forskningsfrågor ... 2
2 Litteraturgenomgång ... 3
2.1 Problemlösning ... 3
2.2 Elevers svårigheter vid problemlösning i matematik ... 4
2.3 Lärares förebyggande insatser och uppföljande arbete vid svårigheter i problemlösning ... 5
2.4 Kombinatorik... 6 3 Teoretiskt perspektiv ... 7 4 Metod... 9 4.1 Metodologi ... 9 4.2 Genomförande ... 9 4.2.1 Datainsamlingsmetod ... 9
4.2.2 Urval av elever och lärare ... 10
4.2.3 Problemformulering och anpassning ... 10
4.2.4 Databearbetning... 11
4.2.5 Tolkning av empirin ... 12
4.3 Etiska överväganden... 13
4.3.1 Validitet och reliabilitet ... 13
5 Resultat ... 14 5.1 Empiri ... 14 5.1.1 Observationer av eleverna ... 14 5.1.2 Intervjuer av lärarna ... 18 5.1.3 Observationer av lärarna ... 21 5.2 Tolkning av empirin ... 23
5.2.1 Svårigheterna eleverna i årskurs 1-2 visade vid problemlösning i matematikundervisningen ... 23
5.2.2 Hur två lärare förebygger och följer upp elevernas svårigheter i problemlösning i årskurs 1-2 samt hur lärare resonerar kring det ... 25
5.3 Resultatsammanfattning ... 26 6 Diskussion ... 28 6.1 Metoddiskussion ... 28 6.2 Resultatdiskussion ... 28 6.2.1 Slutsats... 32 6.2.2 Framtida forskningsfrågor ... 32 Referenslista ... 33
Bilaga 1 - Observationsschema elever ... 35
Bilaga 2 - Observationsschema lärare ... 40
Bilaga 3 - Intervjuguide lärare... 42
Bilaga 4 - Glassproblem 1 i årskurs ett ... 43
Bilaga 5 - Glassproblem 2 i årskurs två ... 44
Bilaga 6 - Nalleproblemet ... 45
Bilaga 7 - Missivbrev Lärare ... 46
Tabellförteckning
Tabell 1. ………..8 Tabell 2. ……….11 Tabell 3. ……….12
1
1 Inledning
Matematik brukar generellt anses som ett ämne i skolan där elever enbart löser rutinuppgifter, men ämnet är mer komplext än så och kräver att elever kan resonera, lösa problem och veta vilken matematisk metod som är lämplig att använda i uppgiften (Ryve, 2006). Matematik i skolan är generellt ett svårt ämne för eleverna, eftersom det kräver att många förmågor är befästa innan ett nytt område inom matematiken kan påbörjas (Jiménez-Fernández, 2016). I och med matematikämnets komplexitet och att det innehåller mer delar än enbart rutinuppgifter, kräver det mycket av eleverna enligt författaren. Jiménez-Fernández (2016) beskriver att problemlösning är ett matematiskt område som kräver taluppfattning, räkneförmåga och textförståelse. Författaren
framhåller att taluppfattning är grunden till att kunna genomföra aritmetiska
beräkningar och lösa problem. Hon menar även att för att kunna lösa ett problem är det nödvändigt att skapa en mental bild av problemets innehåll. Under vår
verksamhetsförlagda utbildning (VFU) såg vi att elever ofta har svårigheter med
problemlösningsuppgifter. Svårigheterna som eleverna visade var till exempel att kunna avgöra vad i texten som är relevant för att kunna lösa uppgiften och vad som egentligen är frågan. Flera av eleverna under VFU-perioderna hade även svårigheter med att välja ett lämpligt räknesätt eftersom de inte kunde förstå vad i texten som var frågan. Det har tidigare utförts forskning om problemlösning i matematikundervisningen och vad som påverkar eleverna vid dessa situationer. Enligt Möllehed (2001) kan
problemlösningsuppgifter upplevas som svåra för en del elever. Svårigheterna kan ligga i att eleverna har bristande förkunskaper. Läsförståelse, taluppfattning och matematiska begrepp kan också påverka att eleverna gör misstag, påpekar författaren.
Jiménez-Fernández (2016) skriver attelever som har svårt med förståelsen av en uppgift ofta får ytterligare repetitionsuppgifter av läraren. Författaren påpekar vikten av att inte ge fler övningar utan att läraren visar och berättar om vilka strategier som behövs i problemlösningen. I ämnet kombinatorik, som är en sorts problemlösning, behöver elever strategier för att lösa problemen genom att kombinera olika objekt (English, 1991). Jiménez-Fernández (2016) skriver att lärare ofta fokuserar på själva uträkningen i problemet och inte på den språkliga delen. Elever behöver förstå ord som sammanlagt, skillnad, hälften och mer eller mindre, menar författaren och om den grundläggande taluppfattningen inte finns, är det där vi ska börja. I Skolverkets (2019a) nationella bedömningsstöd, beskrivs vikten av att kartlägga hur långt eleverna har kommit i sin matematikutveckling. Detta ger ett underlag för att kunna planera och individanpassa undervisningen för eleverna. Bedömningsstödet fokuserar på grundläggande begrepp och färdigheter, vilket är olika verktyg som elever behöver för problemlösning. Det är därför angeläget att undersöka vilka svårigheter som kan uppstå i problemlösning i matematikundervisningen och hur lärare förebygger och följer upp elevernas svårigheter eftersom det kan bidra till att lärare kan få en inblick i vilka svårigheter elever visar i problemlösning och därigenom kan lärarna planera en förebyggande och uppföljande undervisning (Jiménez-Fernández, 2016; Möllehed, 2001; Skolverket, 2019a). Det är intressant att veta hur lärare arbetar med svårigheterna som kan uppstå vid
problemlösningsuppgifter i matematikundervisningen och vilka förebyggande insatser som görs eftersom problemlösning är både ett centralt innehåll och en förmåga i
2
läroplanen (Skolverket, 2019b). Det är därför viktigt för andra att ta del av denna undersökning, speciellt för lärare som undervisar i matematik.
Utifrån Mölleheds (2001) avhandling förhåller vi oss till forskningen genom att beskriva vad eleverna uppvisar för svårigheter i samband med problemlösningsuppgifter.
Avhandlingen är riktad mot elever i grundskolans senare år och det finns därför
möjlighet att utföra en studie som till viss del har utgångspunkt i avhandlingen men som riktar sig mot elever i grundskolans tidigare år. Denna uppsats tillför ny kunskap om hur lärare hanterar de beskrivna svårigheterna, samt fokuserar på yngre elever i årskurserna 1-2. Eftersom Mölleheds (2001) avhandling behandlar elevers svårigheter i årskurserna 4-9, finns det en otydlighet i vilka svårigheter som finns i årskurserna 1-3. En
problematik som kan uppstå i och med otydligheten kan vara att lärare inte kan sätta in lämpliga förebyggande och uppföljande insatser. Vår studie undersöker därför vilka svårigheter som elever i årskurserna 1-2 visar i problemlösning med koppling till kombinatorik, samt vilka förebyggande och uppföljande insatser lärare sätter in.
1.1 Syfte och forskningsfrågor
Syftet med föreliggande studie är att fördjupa kunskapen om vilka svårigheter som kan uppstå vid problemlösning i matematikundervisningen och hur lärare förebygger och följer upp elevernas svårigheter. För att besvara syftet kommer följande forskningsfrågor undersökas:
1. Vilka svårigheter visar 23 elever vid problemlösning i matematikundervisningen i årskurserna 1-2?
2. Hur förebygger och följer två lärare upp elevers svårigheter vid problemlösning i årskurserna 1-2 och hur resonerar dessa lärare kring det?
Vi använder oss av en kvalitativ ansats och ett ramverk hämtat ur Mölleheds (2001) avhandling som ibland benämns som Möllehed-ramverket.
3
2 Litteraturgenomgång
I följande kapitel beskrivs litteratur som är relevant för studien. Vi har fyra underrubriker som är Problemlösning, Elevers svårigheter i problemlösning i matematik, Lärares förebyggande insatser och uppföljande arbete vid svårigheter i problemlösning och Kombinatorik. Dessa underrubriker behandlar vad olika forskare och författare skriver inom dessa områden.
2.1 Problemlösning
Flera författare (Möllehed, 2001; Pólya, 1945; Taflin, 2007) menar att en problemlösningsuppgift inte har en given lösningsmetod på förhand och att en ansträngning krävs för att lösa uppgiften. Motsatsen till problemlösningsuppgifter är rutinuppgifter eftersom individen vet hur problemet ska lösas. Rutinuppgifter kan inte benämnas som ett problem eftersom uppgifterna inte leder till några svårigheter (Taflin, 2007). Flera författare menar att det som kan vara ett problem för en elev, kan vara en rutinuppgift för en annan, på grund av att den ena kan ha utvecklat förståelse för en lämplig metod för att lösa uppgiften och inte den andra. Olika personer kan också tolka samma uppgift på olika sätt. En uppgift som varit ett problem som blivit löst är nästan aldrig ett problem vid ett senare tillfälle (Möllehed, 2001; Ryve, 2006; Taflin, 2007). Det är viktigt att eleverna får söka lösningar, utforska mönster och göra hypoteser och inte bara göra övningar och lära sig metoder och formler utantill.När undervisningen speglar dessa punkter, får eleverna möjlighet till att studera matematik som ett utforskande, dynamiskt och utvecklande ämne (Schoenfeld, 2016). Detta går i linje med Pólyas (1945) tankar om problemlösning. Han har utvecklat fyra faser som en individ behöver gå igenom när ett matematiskt problem ska lösas. I första fasen behöver problemet förstås och därmed se tydligt vad som efterfrågas. I andra fasen krävs att se hur de olika delarna hänger ihop, hur det okända är kopplat till uppgifterna, för att utveckla idén om
lösningen, för att skapa en plan. I tredje fasen genomförs planen och i fjärde fasen
behöver individen gå tillbaka till den färdiga lösningen, genom att granska och diskutera den.
Jiménez-Fernández (2016) anser att problemlösning är ett komplext matematiskt område som kräver taluppfattning, räkneförmåga och textförståelse. För att kunna lösa ett problem är det nödvändigt att skapa en mental bild av problemets innehåll. Pólya (1945) skriver i enighet med detta att för att försöka hitta lösningen på ett problem kan man upprepade gånger ändra sin synvinkel och sitt sätt att titta på problemet. Man måste ändra sitt perspektiv om och om igen. Ens uppfattning av problemet kommer troligen att vara ganska ofullständig när man börjar arbetet; synen förändras när man har gjort några framsteg; uppfattningen är också annorlunda när man nästan har fått lösningen. Möllehed (2001) beskriver att det finns olika varianter av problem. Det kan vara verkliga problem som eleverna kan stöta på i vardagslivet, det kan vara öppna problem och pussel-liknande problem. Problemen som eleverna kan stöta på i verkliga livet kan ge motivation till lärande. Svårigheten påpekar Möllehed är att hitta dessa typer av problem som kan upplevas som verkliga för alla elever. Flera författare anser att problemlösning ska leda vidare mot att träna eleverna att själva formulera och
4
erfarenheter (Möllehed, 2001; Taflin, 2007). Öppna problem kan formuleras av en bild eller händelse och leder till många olika problem med olika lösningar och varierande svar vilket är viktigt enligt både Möllehed (2001) och Taflin (2007).
Wester (2015) anser att matematikundervisningen i Sverige karaktäriseras av att
eleverna ska räkna ett visst antal uppgifter i ett visst tempo. När en uppgift är löst väntar nästa. Detta utgör normen för många skolor och därför förväntar sig eleverna att alla uppgifter i skolan ska ske på samma vis. Författaren skriver också att lärares
förväntningar på eleverna ökar ju fler uppgifter de lyckas lösa. Detta gör att eleverna börjar jämföra sig med varandra, vilket leder till att eleverna börjar tävla om vem som kan göra flest uppgifter med rätt svar. Skillnaden mellan elevers uppfattningar och lärares intentioner påverkar elevernas möjligheter till lärande enligt författaren. Eleverna har en annan uppfattning av klassrumsnormernas betydelse vilket påverkar överenskommelserna som kan skapas gemensamt mellan lärare och elever (Wester, 2015). Taflin (2007) och Schoenfeld (2016) skriver om ”belief” som är den enskilda individens inställning samt föreställning av den matematiska världen. Detta är
individens uppfattning om vad som är matematik och elevens egen förväntan på sig själv som med andra ord handlar om individens självförtroende.
2.2 Elevers svårigheter vid problemlösning i matematik
Möllehed (2001) menar att problemlösningsuppgifter kan upplevas som komplicerat för många elever. Svårigheterna kan ligga i att eleverna inte vet vad uppgiften kräver för lösningsmetod eller bristande förkunskaper. Möllehed (2001) beskriver 16 faktorer som påverkar problemlösning i årskurserna 4-9. Faktorerna är textförståelse, visuellförståelse, verklighetsuppfattning, uppmärksamhet, separation, relationer mellan
helheten och dess delar, kombinationsförmåga, logik, proportionell förståelse, konstans, matematiska begrepp, talförståelse, räkneförmåga, samband mellan storheter, samband mellan enheter och noggrannhet. Jiménez-Fernández (2016) menar i motsats till detta att elever som är i svårigheter ofta har problem med taluppfattning, räkneförmåga och problemlösning. Eleverna som har svårt med förståelsen av en uppgift får ofta fler repetitionsuppgifter av läraren. Författaren anser dock att det är viktigt att inte ge fler övningar, utan att läraren visar och berättar om vilka strategier som behövs i
problemlösningen.Hagland, Hedrén och Taflin (2005) anser i motsats till detta, att de inte tror på att läraren ska undervisa om de olika strategierna inom problemlösning. De anser istället att läraren ska klargöra och uppmärksamma strategierna i samband med problemlösningsprocessen, exempelvis när eleverna redovisar sina lösningar.För att lösa ett problem är det nödvändigt att bygga en mental representation av
problemställningen, det vill säga att eleven måste förstå termerna i vilka problemet uttrycks och relatera till dem enligt författarna.
Flera författare (Taflin,2007; Jiménez-Fernández, 2016; Möllehed, 2001; Schoenfeld, 2016) är eniga om att i vissa problemlösningsuppgifter finns det språk utöver det
matematiska. Texten i problemlösningsuppgifterna kan därför vid vissa tillfällen utgöra en svårighet eftersom eleverna inte förstår språket i texten. Svårigheten är att eleverna inte kan översätta språket i problemlösningsuppgifterna till det matematiska språket, enligt författarna. Jiménez-Fernández (2016) anser att det är viktigt att lyfta fram att
5
några av de elever som har svårigheter att lösa problem också har problem med läsförståelsen. Hon menar att bristen på läsförståelse förklarar det faktum att dessa elever vanligtvis gör aritmetiska operationer och algoritmer korrekt men gör misstag när de översätter problemet.
2.3 Lärares förebyggande insatser och uppföljande
arbete vid svårigheter i problemlösning
Flera författare (Jiménez-Fernández, 2016; Möllehed, 2001) är eniga om att lärares insatser för elevers svårigheter med problemlösning är att dokumentera och kartlägga elevernas svårigheter och brister för att kunna ha en översikt vad eleven specifikt
behöver utveckla. Läraren kan efter det sätta individuella mål för den specifika eleven för att säkerställa så att utvecklingen går åt rätt håll för att sedan följa upp målen. Taflin (2007) menar dock att eleverna behöver arbeta mer varierat och få tillfälle att använda sig av olika metoder för att kunna lösa olika sorters problemlösningsuppgifter som en förebyggande insats. Jiménez-Fernández (2016) anser att eleverna behöver
språkkunskaper inom problemlösning eftersom det är en av de vanligaste svårigheterna. Författaren har beskrivit i samband med detta att det är texten i
problemlösningsuppgifterna som är svår att översätta till det matematiska språket. Möllehed (2001) har i enlighet med detta skrivit att det borde finnas ett
träningsprogram för eleverna där de lär sig tolka och läsa olika texter för att sedan återberätta för varandra. På så vis blir eleverna tryggare med att tolka olika texter och kan ta sig an problemlösningsuppgifterna på ett bättre sätt, enligt författaren.
Jiménez-Fernández (2016) anser att en förebyggande åtgärd läraren kan behöva göra för att minska svårigheterna som uppstår, är att se till att tidigare kunskaper är befästa. För att eleverna ska kunna lära sig ett nytt innehåll behöver de tidigare kunskaperna vara befästa eftersom kunskaperna bygger på varandra. Det är viktigt att eleverna får
möjlighet till individuella uppgifter som stödjer specifika svårigheter. Samtidigt menar författaren att det är viktigt att läraren stödjer och visar olika strategier för eleven. Det är även viktigt att elever som har svårigheter erbjuds mer tid att arbeta med matematiska uppgifter antingen i skolan eller hemma.Några viktiga moment för att förebygga elevernas svårigheter kan vara att läraren erbjuder stöd och demonstrerar
problemlösning för eleverna och sedan låter dem försöka på egen hand (Jiménez-Fernández, 2016). Taflin (2007) skriver i enlighet med detta att läraren behöver ge eleverna utrymme att tillsammans få lösa olika problemlösningsuppgifter och utforska olika lösningar och läraren ska finnas där och uppmuntra eleverna och erbjuda muntliga genomgångar. Eleverna behöver en inlärningsprocess som bygger på sekvenser som går från det konkreta till det abstrakta (Jiménez-Fernández, 2016). I enighet med detta menar Möllehed (2001) att eleverna inte bara behöver goda muntliga instruktioner utan även laborativt material för att eleverna är i behov av att se vad som sker för att inse sambandet. Jiménez-Fernández (2016) anser att lärare måste utvärdera, bearbeta och identifiera vilka svårigheter som finns i de olika uppgifterna innan eleverna får ta del av dem. Lärare behöver göra detta för att eleverna fullt ut ska kunna behärska de olika matematiska områdena (Jiménez-Fernández, 2016). I denna uppsats är kombinatorik det matematiska området för problemlösning.
6
2.4 Kombinatorik
Enligt Lockwood (2012) behöver eleverna få erfarenhet av kombinatorik för att inte utveckla svårigheter i framtiden. Det är därför viktigt att tidigt introducera ämnet kombinatorik i skolan och kontinuerligt arbeta med det vilket även English (1991) uttrycker. Lockwood (2012) skriver om uppgifter, när målet är att bestämma hur många alternativ som finns för en specifik situation kallas för ”counting problems” och är en gren av kombinatorik. Det innebär att kombinera objekt med varandra för att skapa ett visst antal kombinationer. Denna gren inom kombinatorik är relativt lätt att förstå men överraskande svårt att lösa. English (1991) menar i enighet med detta att kombinatorik är ett av de mest intressanta och mångsidiga ämnena inom matematik i skolan. I Mölleheds (2001) avhandling står det att eleverna i årskurserna 4-9 hade blandade resultat gällande kombinatorisk problemlösning. Detta visar att kombinatorik kan anses vara enkelt att förstå för vissa men inte för andra. Resultatet som Möllehed beskriver, visar att kombinatorik är ett väldigt komplext område inom matematiken, vilket både Lockwood (2012) och English (1991) instämmer i. Möllehed (2001) menar att vissa elever nöjer sig med några få kombinationer och uppfattar inte att det finns fler
möjligheter och de blir nöjda om de hittar några konkreta fall som uppfyller de ställda kraven, men inte alla. English (1991) beskriver elevers olika lösningsstrategier gällande en problemlösningsuppgift om nallar och kombinationer av kläder. Det finns sex olika lösningsstrategier och de börjar med att elever gör slumpmässiga urval av föremål. Vidare beskriver English hur eleverna utvecklar sitt tänkande kring kombinatorik och börjar införa en trial-and-error-procedur för att sedan försöka hitta ett system som hjälper dem att skapa möjliga kombinationer. Eleverna börjar sedan i nästa strategi att upprepa valet av ett objekt tills alla möjliga kombinationer har bildats med det objektet. I sista strategin förklarar English hur eleverna väljer ut varje konstant objekt i tur och ordning och alla möjliga kombinationer bildas till sist med det objektet. Det är en stegrande skala och går från det osystematiska till det systematiska. Elever kan gå från att slumpmässigt generera olika möjligheter mot mer specifika strategier för att
7
3 Teoretiskt perspektiv
Möllehed (2001) menar att problemlösningsuppgifter kan upplevas som komplicerat för många elever. Svårigheterna kan ligga i att eleverna inte vet vad uppgiften kräver för lösningsmetod eller bristande förkunskaper. Ramverket som behandlar både elevers svårigheter och lärares förebyggande insatser och uppföljande arbete är hämtade i Mölleheds (2001) avhandling. Möllehed beskriver 16 påverkansfaktorer i
problemlösning i grundskolans senare år. Dessa är Textförståelse, Visuell förståelse, Verklighetsuppfattning, Uppmärksamhet, Separation, Relationer mellan helheten och dess delar, Kombinationsförmåga, Logik, Proportionell förståelse, Konstans,
Matematiska begrepp, Talförståelse, Räkneförmåga, Samband mellan storheter,
Samband mellan enheter och Noggrannhet. Utifrån dessa 16 svårighetskategorier valde vi ut 10 av dem till vårt observationsschema för eleverna (Bilaga 1) på grund av
faktorernas relevans för de yngre årskurserna samt till ämnet kombinatorik.
De sex kategorierna vi valde bort från början var Relationer mellan helheten och dess delar, Proportionell förståelse, Konstans, Separation, Samband mellan storheter och Samband mellan enheter. Relationer mellan helhet och dess delar har en viss koppling till proportionalitet eftersom helheten och dess delar kan förändras och relateras till varandra. Proportionell förståelse valdes bort eftersom den handlar om ett
proportionalitetstänk där delarna proportionellt förändras. Relationer mellan helhet och dess delar och Proportionell förståelse valdes därför bort eftersom våra
problemlösningsuppgifter är kombinatoriska problem och inte proportionella problem. Konstans valdes bort eftersom våra kombinatoriska problem inte handlar om att räkna objekt beroende på föremålets placering det vill säga antalskonstans. Separation, Samband mellan storheter och Samband mellan enheter valdes bort på grund av relevansen till våra kombinatoriska problem och eftersom alla kategorier på ett eller annat sätt handlar om att separera enheter med antingen storheter eller andra enheter, vilket inte våra problem innehöll.
Vi insåg efter att vi genomfört observationerna att vissa utvalda kategorier inte var applicerbara i vår studie. Vi valde därför att ta bort kategorierna Visuell förståelse, Verklighetsuppfattning, Talförståelse och Noggrannhet. Visuell förståelse valdes bort eftersom vi insåg efter att vi hade genomfört observationerna att eleverna inte visade svårigheter med att korrekt uppfatta alla element. Vi valde bort Verklighetsuppfattning eftersom eleverna inte visade några svårigheter med verklighetsuppfattningen under observationerna och i elevlösningarna eftersom de använde inte orealistiska värden. Talförståelse valdes också bort eftersom den kategorin handlar om rationella tal och decimaltal, dock kan vi koppla talförståelse till naturliga tal som är fokus i tidigare åldrar i matematiken. Eftersom vi hade valt kombinatoriska problem var det svårt att urskilja talförståelsen i de problemen. Till sist valdes kategorin Noggrannhet bort eftersom eleverna inte gjorde onödiga uppskattningar under observationerna. Vi använde slutligen kategorierna Kombinationsförmåga, Logik, Matematiska begrepp, Textförståelse, Räkneförmåga och Uppmärksamhet.
8
En tabell över vilka påverkansfaktorer som vi valde ut ifrån Mölleheds (2001)
avhandling och som är ramverket för vår studie som ibland benämns som Möllehed-ramverket:
Tabell 1.
Kategori Beskrivning
Kombinationsförmåga Eleverna har svårt med att finna rätta kombinationer och grupperingar.
Logik Eleverna har svårigheter med att dra slutsatser av givna förutsättningar.
Matematiska begrepp Eleverna missförstår betydelsen för vissa matematiska begrepp.
Textförståelse Eleverna missförstår på olika sätt den information som ges i texten, feltolkar vissa detaljer eller förstår inte
sammanhanget i meningarna.
Räkneförmåga Eleverna gör olika räknefel med hela tal, decimaltal och rationella tal samt vid tidsberäkningar. Eleverna kan också göra olika algoritmfel och kan ha svårt att separera
räknesätten.
Uppmärksamhet Eleverna gör slarvfel av olika slag. Eleven borde vid
påpekande inse sitt misstag och kunna korrigera det själv. Mölleheds (2001) avhandling är relevant för vår studie eftersom att den på ett tydligt sätt redovisar elevernas brister i problemlösning. Genom att Möllehed beskriver
elevernas olika brister och när de kan uppstå så kan det även användas som ett ramverk för lärarnas förebyggande insatser. Detta leder till att det blir tydligt vad det är i
undervisningen eller i uppgifterna som gör att eleverna inte får förståelse för
problemlösning. Möllehed (2001) anser att hans påverkansfaktorer kan användas för att visa vilka fel eleverna gör i problemlösningsuppgifter, på så sätt kan läraren sätta in förebyggande insatser för att motverka elevernas misstag genom att använda ett annat tillvägagångssätt. Författaren föreslår även ett träningsprogram för eleverna för att stärka upp deras läsförståelse eftersom det är elevernas största brister i
problemlösningsuppgifterna enligt honom. Eleverna behöver utveckla mer kunskap om hur de ska tolka olika texter och kunna översätta texten som är i
problemlösningsuppgifterna till matematikspråk. Eleverna kan inte tolka eller förstå olika begrepp som nämns i texten och kan därför inte ta ut de viktiga detaljerna för att kunna lösa problemet. Detta leder även till att eleverna får svårt att välja ut lämpliga metoder och strategier för att kunna lösa problemet (Möllehed, 2001).
9
4 Metod
I kapitlet beskriver vi valet av vetenskaplig metod. Metodologiavsnittet 4.1 handlar om valen vi gjort med metodlitteraturens vägledning. I avsnittet 4.2 Genomförande, beskriver vi de valda metoderna och urvalet av informanter och
problemlösningsuppgifter. I 4.3 som är det avslutande avsnittet redovisas det forskningsetiska i hur vi uppfyllt de forskningsetiska principerna och säkerställer validiteten och reliabiliteten.
4.1 Metodologi
Metodologin som används i denna studie beskrivs av Denscombe (2018) och Bryman (2018). Syftet med föreliggande studie är att fördjupa kunskapen om vilka svårigheter som kan uppstå vid problemlösning i matematikundervisningen och hur lärare
förebygger och följer upp elevernas svårigheter. Eftersom vi både vill undersöka elevernas svårigheter samt lärares förebyggande och uppföljande insatser valdes kvalitativa elev- och lärarobservationer, kvalitativa lärarintervjuer och insamlingar av elevlösningar för att samla in en fyllig datamängd. Det är lämpligt att använda intervjuer när forskare är intresserade av informanternas uppfattningar, erfarenheter och åsikter (Denscombe, 2018). Observationer valdes eftersom vi ville iaktta vilka svårigheter eleverna visade och säkerställa att lärarnas tankar kring vilka svårigheter som eleverna visade stämde. Vi ville även säkerställa att lärarna gjorde som de sa, angående de förebyggande och uppföljande insatserna för eleverna. Bryman (2018) beskriver att det finns en risk att respondenterna inte är helt sanningsenliga eller minns fel när de berättar om sitt eller andras beteende och därför är observationer ett bra komplement till intervjuer. Eftersom vi använder flera olika insamlingsmetoder leder det till att det blir en triangulering. Genom triangulering kan man enligt Denscombe (2018) förstå ett forskningsämne bättre om det betraktas ur mer än ett perspektiv.
4.2 Genomförande
I detta avsnitt beskrivs genomförandet av metodologin för den föreliggande studien. I fem underavsnitt presenterar, beskriver och diskuterar vi hur vi samlat in data, hur vi gjort urvalen av både informanter och problemlösningsuppgifterna, hur analysprocessen gick till och hur empirin har tolkats.
4.2.1 Datainsamlingsmetod
För att samla in information till studien har vi använt oss av datainsamlingsmetoderna kvalitativa observationer, kvalitativa semistrukturerade intervjuer och elevlösningar. Vi har observerat två klasser i årskurserna 1-2 för att se hur eleverna tar sig an
problemlösningsuppgifter och för att ta reda på vilka svårigheter eleverna visade. Vi observerade eleverna för att se vilka svårigheter eleverna visade i
problemlösningsuppgifterna. Observationsschemat (se Bilaga 1) var inspirerat av Mölleheds (2001) påverkansfaktorer och användes som en utgångspunkt för elevernas svårigheter. Observationsschemat innehöll tio utvalda faktorer från Mölleheds (2001) avhandling och användes som ett dokumentationsunderlag för elevernas svårigheter under observationerna.
Vi samlade även in elevlösningar som en insamlingsmetod och vi fick in 23 elevlösningar eftersom att det var dessa elever som godkände samtycke till att vara delaktiga i studien.
10
De gav sitt samtycke genom att eleven och dess vårdnadshavare skrev sina underskrifter i ett missivbrev (se Bilaga 8). Det var fem elever från årskurs ett och sju elever från årskurs två som medverkade under de genomförda observationerna. En elev i årskurs två var enbart med vid ett av observationstillfällena, vilket resulterade i 23 elevlösningar totalt efter alla genomförda observationer. Vi genomförde intervjuer med två lärare i årskurserna 1-2 för att ta reda på hur de synliggör svårigheterna och vad de gör för att förebygga och följa upp elevernas svårigheter. Vi gjorde det för att ta reda på lärarnas tankar och värderingar utifrån elevobservationerna och de insamlade elevlösningarna. Dessa intervjuer tog fem respektive 30 minuter. De korta intervjuerna handlade om vad lärarna förväntade sig att se för svårigheter hos eleverna och de långa intervjuerna handlade om vilka svårigheter som eleverna visade och hur de förebygger och följer upp elevernas svårigheter. Intervjufrågorna i intervjuguiden (se Bilaga 3) utgick till stor del från Mölleheds (2001) faktorer vilket följdfrågorna också gjorde eftersom de utgick från elevernas visade svårigheter. Under intervjuerna lät vi informanterna tala fritt utifrån deras egna erfarenheter och våra intervjufrågor och ställde som tidigare nämnt även följdfrågor utifrån elevernas visade svårigheter.
Vi har även observerat lärarna för att se om de under lektionerna genomförde förebyggande arbete kring de svårigheterna som eleverna uppvisade. Under observationerna av lärarna användes ett annat observationsschema (se Bilaga 2). Observationsschemat var utformat efter vissa utvalda delar i Mölleheds (2001)
avhandling och användes som ett dokumentationsunderlag för att se vilka förebyggande insatser lärarna använder sig av samt hur de följer upp elevernas svårigheter.
Informanternas identiteter är fullständigt skyddade och kan inte spåras i denna studie. Vi informerade detta till eleverna och lärarna som deltog, innan vi genomförde
intervjuerna och observationerna.
4.2.2 Urval av elever och lärare
Studien är formad utifrån frivilligt deltagande. Urvalet riktar sig mot elever i årskurserna 1-2 och på grund av lämpligt avstånd från hemmet, valdes dessa elever ut på grund av bekvämlighetsskäl. Dessa elever uttryckte att problemlösning var svårt innan studien och därför användes också ett riktat urval eftersom elevers svårigheter var det vi eftersökte. Denscombe (2018) beskriver att detta kallas för ett riktat urval. Bryman (2018) skriver att det blir ett målstyrt urval när forskaren inte väljer
undersökningsdeltagare på slumpmässig basis, utan väljer deltagare på ett strategiskt sätt för att vara relevanta för forskningsfrågorna. Lärarna som valdes ut och deltog i studien valdes också ut på grund av bekvämlighetsskäl och riktat urval. Båda lärarna är förstelärare och har stor arbetserfarenhet i skolans värld vilket var en stor anledning till varför de valdes. Läraren i årskurs ett har arbetat i 12 år och är utbildad lärare i
årskurserna F-6. Läraren i årskurs två har arbetat i 19 år och är utbildad lärare i
lågstadiet. Alla deltagare i studien, både eleverna och lärarna kontaktades personligen av oss. I studien valdes elever och lärare från två olika skolor för att erhålla ett så fylligt och brett informationsfält som möjligt.
4.2.3 Problemformulering och anpassning
Vi valde att använda oss av kombinatoriska problemlösningsuppgifter med glassar och nallar. Anledningen till att vi valde dessa problemlösningar är för att de är kopplade till
11
elevnära situationer. Problemlösningsuppgifterna anpassades sedan i samtal med
klasslärarna och därav skiljer sig glassproblemen mellan årskurs ett och två åt. Läraren i årskurs två ansåg att hennes elever behövde en lite mer komplicerad variant än läraren i årskurs ett. Glassproblemen ett och två finns som bilagor (se Bilaga 4 och 5).
Nalleproblemet anpassades inte efter de olika årskurserna eftersom att båda lärarna ansåg att svårighetsnivån verkade lämplig för eleverna i deras klasser (se Bilaga 6).
4.2.4 Databearbetning
Efter att vi hade genomfört observationerna av eleverna gick vi igenom
observationsschemat. Vi jämförde våra observationsscheman som var från två klasser och fyra lektioner och valde ut det som eleverna hade svårigheter med. Vi skrev alla observerade svårigheter i ett gemensamt dokument och färgkodade de olika
svårigheterna. Vi färgkodade dem för att se vilka svårigheter som blev synliggjorda utifrån observationsschemat. Efter det gick vi igenom alla 23 insamlade elevlösningar och jämförde dessa med observationerna av elevernas svårigheter. Därefter valdes elevlösningar ut som illustrerar de observerade svårigheterna. Vi gick sedan tillbaka till Möllehed (2001) och analyserade vår data genom hans kategorier och valde därefter ut våra kategorier från elevernas observationer och elevernas lösningar. Här visas ett exempel på hur arbetet med kategorin Kombinationsförmåga från observationer av elever gick till:
Tabell 2.
Observerade svårigheter Bild Kategori
Några elever gjorde för många kombinationer, vilket ledde till dubbletter
Kombinationsförmåga
Några elever gjorde för få
12
Nästa steg var att lyssna igenom de inspelade intervjuerna och transkribera. Efter det fokuserade vi på hur innehållet kunde tolkas utifrån vår valda teori. Vi gick sedan
igenom observationerna av lärarna och intervjuerna med lärarna för att analysera vad de sa att de gjorde och vad de egentligen gjorde. Vi gick igenom intervjuerna som visade lärares upplevda svårigheter hos eleverna. Vi gick också igenom observationerna och intervjuerna för att kunna selektera ut vilka förebyggande insatser lärarna gör och vad de gör för att följa upp elevernas svårigheter. Vi gick även igenom lärares upplevda svårigheter hos eleverna och dessa formades till kategorier. Vi jämförde intervjuerna, observationerna och elevernas uppgifter ytterligare en gång för att säkerhetsställa att de gemensamma nämnarna skulle skapa ett relevant innehåll. Fokus hamnade efter det på att varje kategori skulle fånga upp det viktiga och relevanta utifrån våra
forskningsfrågor. Här visas exempel på hur arbetet med kategorin Lärares åtgärder från intervjuerna gick till:
Tabell 3.
Informant Utsaga Citat Initial kod
Läraren i årskurs två
161 ”När jag har många olika typer av genomgångar så fångar man in olika svårigheter”
Olika genomgångar fångar upp svårigheter
Läraren i årskurs ett
169 ”Då jobbar man extra med den eleven. Det brukar oftast lösa sig om de får sitta med mig eller
fritidspedagogen, under lektionstid”
Individuellt stöd
Läraren i
årskurs ett 170 ”I jätteextrema fall och jag märker att det här är ju någonting mer än bara lite svårt att förstå så måste de träffa en specialpedagog”
Särskilt stöd som åtgärd
4.2.5 Tolkning av empirin
Med hjälp av Mölleheds (2001) avhandling har vi tolkat, utvecklat en förståelse och tilldelat mening åt empirin. Kategorierna är delar av samma helhet och framstår som koherent, rimlig och är allmänt formulerad enligt en bärande princip. Detta leder till att sanningskriterierna blir uppfyllda (Tivenius, 2015). Svaren på forskningsfrågorna
kommer från studiens tolkning av Mölleheds avhandling. Tolkningen genomfördes på så vis att vi jämförde vår data med Mölleheds kategorier och förtydligade vår data genom analysen. Empirin utgörs av 13 kategorier som belyser det vi uppfattat utifrån
observationer, intervjuer och elevlösningar, som elevers svårigheter och hur lärare förebygger och följer upp elevernas svårigheter. Forskningsfrågorna besvaras genom att uppfatta kategorierna ur det teoretiska ramverket ytterligare en gång. De två
13
hjälp av teorin. Eftersom observationsschemat och intervjuguiden utgick från Mölleheds (2001) avhandling synliggjordes elevers svårigheter och lärares förebyggande och
uppföljande arbete redan i vår data, men tydliggjordes genom analysen.
4.3 Etiska överväganden
I vår studie tillämpas Vetenskapsrådets (2017) forskning om etiska principer utifrån det Bryman (2018) skrivit. Under hela studien följs principen om att ingen person ska kunna pekas ut eller igenkännas och inte heller skadas av forskningen. Bryman (2018) menar att det som ska beaktas vid forskning är informationskravet, konfidentialitetskravet, nyttjandekravet och frivillighetskravet. Kraven går kortfattat ut på att informanterna ska informeras om studiens förutsättningar. Informanterna ska inte kunna igenkännas eller identifieras av studiens läsare. Informanterna ska veta om studiens avsikt och hur den ska nyttjas och att deltagandet är frivilligt och kan avbrytas utan konsekvenser under hela studiens gång. Vi har under hela studiens gång tillämpat dessa etiska principer genom att ge information om studiens förutsättningar till informanterna i ett missivbrev till lärarna och ett till eleverna (se Bilaga 7 och 8). Vi har även informerat de deltagande eleverna och lärarna om att konfidentialitetskravet ska respekteras utan undantag. Detta har tydliggjorts för informanterna för att de ska känna sig trygga med att uttala sig fritt utan att behöva oroa sig för att bli igenkända i studien.
4.3.1 Validitet och reliabilitet
Intervjuerna, observationerna och elevernas lösningar ligger till grund för vår studie och används för att stärka studiens trovärdighet. Intervjufrågorna var till stor del öppet formulerade och lärarna fick uttala sig fritt om frågorna vilket ledde till att
informationen var uppriktigt inlämnad. Följdfrågorna som ställdes var kopplade till elevobservationerna och elevlösningarna. Intervjuerna skedde i direkt anknytning till dessa observationer, vilket kan ha genererat i att lärarna mer uppriktigt kunnat delge deras tankar och värderingar utan att tidsförloppet ändrat deras minne eller syn kring lektionerna. I intervjuerna gav informanterna till stor del svar på det vi efterfrågade utifrån våra frågeställningar och därför anser vi att studien lyckades mäta det som vi skulle mäta (Bryman, 2018). Bryman (2018) anser att man som observatör behöver vara van vid sitt observationsschema, vilket vi inte var, men för att validiteten skulle öka närvarade vi båda två under observationerna. Detta kallas för interbedömarreliabilitet (Bryman, 2018). I en kvalitativ studie handlar interbedömarreliabilitet mer om det intressanta som kan framkomma genom att två observatörer betraktar samma fenomen och tolkar detta. Att vi båda närvarade vid observationerna och intervjuerna ökar
14
5 Resultat
I första delen av detta kapitel beskrivs empirin i avsnittet 5.1 Empiri, som utgörs av tre delar. Första delen innehåller sju olika kategorier som beskriver observationer av elevers svårigheter samt elevlösningsexempel. Den andra delen innehåller fyra kategorier, som utgår från lärares intervjuer och den tredje delen innehåller två kategorier, som
behandlar observationerna av lärarna. Dessa 13 kategorier blir beskrivna i avsnitt 5.1 Empiri. Därefter, i 5.2 Tolkning, beskrivs tolkningen av denna empiri för att kunna besvara våra två forskningsfrågor. Till sist kommer delen 5.3 som är
Resultatsammanfattning, det är sammanfattningen av resultatet som i sin tur återfinns i resultatdiskussionen.
5.1 Empiri
5.1.1 Observationer av eleverna
Här redovisas sju kategorier som utgår från observationer av eleverna. Kategorierna
Kombinationsförmåga, Logik, Matematiska begrepp, Textförståelse, Räkneförmåga och Uppmärksamhet innehåller en tolkning av elevobservationerna genom Mölleheds
kategorier. Fokus framgick genom vår data som självständig, utan relation till Mölleheds kategorier. De sju kategorierna handlar om elevernas uppvisade svårigheter i
problemlösning.
Kombinationsförmåga
Eleverna visade på olika grad av svårighet när det gällde att kombinera nallar och glassar. Några elever gjorde inte tillräckligt många kombinationer och hade inte
förståelse för att det kunde finnas fler kombinationer. Många elever hade inte utvecklat en metod för att kunna kombinera varken nallarna eller glassarna på ett bra sätt, vilket resulterade i antingen dubbletter eller för få kombinationer. Några elever hade inte utvecklat förståelsen för att dubbletter inte var en ny kombination och ansåg att det viktigaste var att få flest kombinationer. Många elever i årskurs två hade inga tydliga svårigheter med att kunna kombinera föremålen.
(Årskurs 2, glassproblem 2) (Årskurs 1, nalleproblem) Eleven har enbart gjort två kombinationer, En elev duplicerade samma vilket inte är alla möjliga kombinationer. kombinationer flera gånger.
15
Logik
Flera av eleverna hade svårigheter med att motivera sina lösningar eftersom att de inte förstod vad som förväntades av dem i uppgiften. Några av eleverna i ena klassen började skriva av eleven som satt bredvid under båda problemlösningslektionerna och hade därför svårt att motivera sina svar eftersom de själva inte hade några uträkningar eller svar på grund av att de inte hade förstått uppgiften. Några hade inte skrivit någon uträkning eller visat hur de tänkte och hade enbart ett svar, på grund av att eleven hade använt huvudräkning. Många av eleverna som hade svårt att motivera sina svar hade även problem i andra kategorier som till exempel Textförståelse.
(Årskurs 2, glassproblem 2)
En elev ritade enbart kombinationerna och kunde inte motivera sitt svar, varken skriftligt eller muntligt. Matematiska begrepp
Eleverna i båda klasserna hade svårt med begreppet kombination och vad det stod för. När läraren sedan förklarade och visade på tavlan vad kombination betydde kunde eleverna skapa en förståelse för begreppet och arbeta vidare. I glassproblemet visade eleverna i årskurs två svårigheter för att förstå begreppet matematiskt uttryck, när läraren förklarade i introduktionen att eleverna skulle skriva ett matematiskt uttryck. Väldigt många elever i årskurs två förstod inte begreppet och kunde inte arbeta vidare trots upprepade förklaringar och synonymer från läraren. Eleverna hade fastnat vid ordet och kunde därför inte förstå vad uppgiften krävde.
Textförståelse
Många elever missförstod informationen i problemen och kunde inte visa förståelse för vad de skulle räkna ut. Vissa elever feltolkade enstaka detaljer, till exempel vad som innefattade en ny glass, om det var glasskulorna eller strutarna som de skulle räkna och om glasskulans position avgjorde någon skillnad. Några av eleverna skrev av grannen under båda problemlösningslektionerna och gjorde inte egna uträkningar eller skrev svar på grund av att de inte hade förstått uppgiften. Några av eleverna som hade svårigheter att förstå texten hade också svårigheter i kategorin Logik.
16
(Årskurs 1, nalleproblem)
Eleven förstod inte texten, trots tydliga instruktioner och skrev därför av grannen.
Räkneförmåga
Några elever gjorde räknefel i problemlösningsuppgifterna. En elev blandade ihop addition med multiplikation och gjorde därför räknefel. En annan elev har räknat med fel räknesätt och menar egentligen addition när hen skrev subtraktion. Denna elev skulle addera 3+4+15 som är lika mycket som 22, men skrev istället 22-15-4-3=0. Båda dessa elever hade även svårigheter med kategorin Kombinationsförmåga.
(Årskurs 2, glassproblem 2) (Årskurs 2, glassproblem 2) Uppmärksamhet
Flera elever ville inte korrigera sina slarvfel som de hade skrivit på sitt papper. De kunde diskutera med läraren och med varandra men inte ändra sina uträkningar på pappret, även fast de visste att deras eget svar var fel. En elev hade till en början inte skrivit ut glasskulornas namn eller ritat med färg, vilket gjorde det omöjligt att se vilka olika kombinationer hen hade gjort. När läraren sedan påpekade detta insåg hen sitt misstag och skrev första bokstaven för respektive smak i varje glasskula. Hen kunde därmed korrigera sitt slarvfel.
17
(Årskurs 2, glassproblem 2)
Båda bilderna visar samma elevs lösning men i olika skeenden under arbetets gång. Bilden till vänster visar slarvfelet och bilden till höger visar när eleven hade korrigerat sitt misstag.
Fokus
Under observationerna upptäcktes det ytterligare en svårighet som tillkom utöver Mölleheds (2001) faktorer. Eleverna ansåg att rita nallarna eller glassarna var det viktigaste. Fokus hamnade på att måla nallarna och glassarna så noggrant de kunde för några elever. På grund av att dessa elever fokuserade på att måla noggrant ledde det till att några inte kombinerade alla möjliga kombinationer. En del elever använde linjal för att måla glasstrutarna och ansåg att det var viktigt. Vissa elever använde målandet som förklädnad eftersom de inte visste vad de skulle göra. Detta blev tydligt eftersom
eleverna upprepade gånger frågade om uppgiften och fick tydliga förklaringar men valde trots det att fokusera på ritandet i uppgiften. Detta visar på svårigheter i Textförståelse.
(Åk 1, glassproblem 1) (Åk 2, nalleproblem)
Eleverna lade ner extra mycket tid på att rita bilder istället för att räkna ut kombinationerna.
18
5.1.2 Intervjuer av lärarna
Här redovisas fyra kategorier som utgår från lärarnas intervjuer. Första kategorin
Lärares upplevda svårigheter hos eleverna innehåller en tolkning av lärarnas upplevda
svårigheter genom Mölleheds kategorier. Klassrumsnormer framkom ur vår data som självständig. Lärares upplevda förebyggande insatser handlar om lärares
introduktioner, genomgångar och förklaringar av begrepp för att förebygga elevernas svårigheter. Lärares upplevda uppföljande arbete handlar om lärares uppföljande arbete genom individuellt stöd och genom helklassdiskussioner.
Lärares upplevda svårigheter hos eleverna
Eleverna uppmärksammade att de tänkte olika vid problemlösningsuppgifterna vilket resulterade i att en tävling mellan eleverna inleddes. Fokus hamnade istället på vem som kunde göra flest kombinationer. Det gjorde att många av eleverna gjorde många
dubbletter. Detta visar på svårigheter inom kategorin Kombinationsförmåga.
Att det ska vara en tävling på hur många glassar man kan göra. Det är väldigt mycket tävling hela tiden (läraren i årskurs två).
En del elever förstod inte att en glass med samma smaker, men med olika placeringar på smakerna, fortfarande var samma glass. Detta ledde även till dubbletter och samma problem gällde vid nalleproblemet för många elever. De flesta eleverna hade svårigheter med att kombinera och gjorde antingen färre eller fler kombinationer än de möjliga kombinationerna. Många elever hade svårigheter med att förstå begreppet kombinera. Eleverna visade därför svårigheter med att kombinera, vilket kan kopplas till våra kategorier Kombinationsförmåga och Matematiska begrepp.
Han ville ha så många kombinationer som möjligt. Sen när jag visade att den står med dubbelt, då förstod ju han att han har ju bara skrivit massor (läraren i årskurs ett).
Flera av eleverna förstod inte begreppet matematiskt uttryck. Även fast läraren
förklarade betydelsen för matematiskt uttryck så kunde eleverna inte arbeta vidare på grund av att förståelsen för begreppet saknades. Detta medförde att flera elever inte visade en uträkning eller skrev inte någonting i svarsrutan. Detta kan också kopplas till
Matematiska begrepp.
Det var inte kombinatoriken som var det svåra med det här utan det var att skriva ett matematiskt uttryck. Att skriva ett matematiskt uttryck, var svårt för eleverna. Eleverna kunde inte förstå när jag förklarade vad det betydde med koppling till frågan (läraren i årskurs två).
Många elever fokuserade på själva ritandet i uppgiften istället för att komma fram till ett svar. En del elever fokuserade på att rita så noggrant de bara kunde och några använde en linjal för att rita glasstrutarna. Problemet med detta är att eleverna inte har fokus på uppgiften och frångår syftet med uppgiften. Detta kan kopplas till vår kategori Fokus.
De fokuserade på fel sak. De ritade strutarna med en linjal och ritade alldeles för noggrant. Uppgiften handlade mer om att rita än att komma fram till ett svar (läraren i årskurs ett). En del elever hade svårt att motivera sina lösningar, vilket kan kopplas till kategorin
Logik. Några elever skrev samma svar och ritade likadant som eleven i bänken bredvid
och hade därför svårigheter med att motivera sina svar. En del elever hade svårigheter att motivera sina svar eftersom de inte förstod begreppen kombination och matematiskt uttryck. Några elever använde huvudräkning som metod och kunde inte berätta hur de hade tänkt. En del elever hade inte skrivit ett svar och kunde därför inte heller motivera
19
hur de hade tänkt. Att kunna resonera om sin lösning är svårt för eleverna och kräver arbete.
Alla har svårt att motivera sina lösningar. De har aldrig arbetat med det och de är så små. De behöver lite mer tid och det är en ganska svår uppgift (lärare i årskurs två).
Lärares upplevda svårigheter hos eleverna handlar om att lärarna upplevde att
eleverna hade svårigheter med kombinationsförmågan, matematiska begrepp, ha fokus på syftet med uppgiften och att kunna motivera sina lösningar.
Klassrumsnormer
Eleverna söker konstant bekräftelse om de tänkt rätt. De vill veta om det är rätt eller fel under lektionens gång och vill inte gå vidare förrän de erhållit bekräftelsen. Alla elever vill lyckas men ett flertal förlorar självförtroendet när det blir svårt och ger upp istället, för att inte känna sig misslyckade. Elevernas behov av att konstant få bekräftelse handlar om normer som är etablerade i klassrummet.
Det var många som hade tänkt rätt men som ändrade sig, för att de inte trodde att summan skulle vara så liten. Många tror inte att de kan så mycket som de kan. De nöjer sig om de har kommit på ett alternativ och vill inte göra något mer. De vill inte misslyckas (läraren i årskurs två).
Många elever vågade inte tänka om eller försöka andra sätt att lösa uppgiften på eftersom de vill göra allt rätt på första försöket. Eleverna har svårt att lita på sitt eget omdöme samt matematiska kunskaper. De låser sig vid ett svar och kan inte utveckla sitt svar eller tänka om efter att de har låst sig. Detta kan också kopplas till elevers
förväntningar på undervisningen och därmed klassrumsnormer.
Bara för att hon inte förstod att det var kulorna så ville hon sudda, det var ju därför hon blev sur också. Hon vill att det ska vara korrekt och riktigt (läraren i årskurs två).
Eleverna vill veta vad det är läraren är ute efter för svar innan de börjar med uppgiften. Under uppgiftens gång vågar inte eleverna visa hur de tänker eftersom de vill ge det svar som läraren anser är korrekt. Eleverna vill gärna svara rätt för att känna sig duktiga och tillgodose lärarens förväntningar. Eleverna vill gärna svara det som läraren är ute efter, eftersom det är dessa normer som råder.
De vill veta vad är det vi vill att de ska svara. De vill ju gärna svara rätt, så vad är det jag är ute efter (läraren i årskurs ett).
Klassrumsnormer handlar om att elevernas ständiga behov av att veta om de gör rätt
utgjorde en svårighet i arbetet med problemlösning. Många elever hade dåligt
självförtroende och vågade inte ge ett svar på problemlösningen utan bekräftelsen från läraren. Flera av eleverna var oroliga för att svara fel och enligt dem misslyckas med uppgiften vilket ledde till att eleverna inte kunde utveckla sina svar eller tänka om samt försöka med andra möjliga lösningar. Allt detta kan kopplas till elevernas och lärarens förväntningar i undervisningen och klassrumsnormer (Wester, 2015).
Lärares upplevda förebyggande insatser
Elevernas svårigheter ledde till olika insatser, beroende på vilka svårigheter eleverna visade. Som en förebyggande insats genomför lärarna många olika typer av
introduktioner på varierande sätt inom varje nytt område i läromedlet som till exempel addition, subtraktion och problemlösning. Lärarna använder sig av olika sätt att
20
framföra samma innehåll. De använder ibland digitala verktyg i undervisningen för att fånga upp eleverna som eventuellt inte förstått första introduktionen. Vid andra tillfällen har läraren praktiska genomgångar med exempelvis laborativt material.
Introduktionerna har ofta syftet att förebygga elevernas svårigheter i problemlösning genom att bearbeta varje nytt område i läromedlet.
Först så har jag flera typer av genomgångar. Att man liksom har på tavlan eller digitalt. Man får förklara många, många gånger och så är det vissa som förstår på en gång. När jag har många olika typer av genomgångar så fångar jag in olika svårigheter. En del kanske förstår när jag pratar vid tavlan men en del kanske inte förstår alls. Men en del kanske förstår när de får se filmen (läraren i årskurs ett).
Med koppling till problemlösningsuppgifterna blev det tydligt att lärarna insåg vikten av att kunna förklara olika begrepp som till exempel kombinera och matematiskt uttryck, för att eleverna skulle förstå hur de skulle genomföra uppgiften. Lärarna ansåg att begreppsuppfattningen är central för att förstå en text och därför också läsförståelsen.
Det är ju väldigt viktigt att förklara vad matematiskt uttryck betyder i den här uppgiften eftersom att eleverna var så förvirrade för att de inte förstod och förstår man inte orden kan man inte förstå uppgiften (läraren i årskurs två).
Lärarna anser att de ger eleverna möjlighet till att använda laborativt material vid problemlösningslektioner som ett redskap att underlätta för eleverna och som en förebyggande insats. Det är viktigt att eleverna kan visualisera problemet för att få inre bilder av hur de kan räkna ut problemet. Det laborativa materialet gör att problemet blir mer konkret och kan därför underlätta när eleverna ska lösa problemet.
Man pratar mycket matematik och att man visar med material, med laborativt material. De behöver ju det här att man visar med pengar och lägger upp olika alternativ. Att man visar, för de behöver se det dem gör, när de löser problem (läraren i årskurs två).
Lärarna anser att det är viktigt att tillåta laborativt material och de insåg i efterhand att det skulle underlättat ännu mer för eleverna under problemlösningslektionen om de hade visat i genomgången bilder på vad eleverna skulle kombinera, för att tydliggöra desto mer.
Vi kanske skulle haft utklippta bilder på de olika smakerna. För då kanske de hade sett tydligare att det var samma glass, men det berodde på tidsbrist. Vi kompenserade med att de fick papper att rita på istället (läraren i årskurs två).
Lärares upplevda förebyggande insatser handlar om att lärare upplever att de
förebygger svårigheter inom problemlösning genom att genomföra introduktioner i olika former och på olika sätt och att ge förklaringar på begrepp. Lärarna anser även att
laborativt material hjälper eleverna i undervisningen.
Lärares upplevda uppföljande arbete
Lärarna anser att svårigheter inom problemlösning och matematik kan följas upp genom att den enskilda eleven får mängdträna enskilt med läraren eller fritidspedagogen. Det är också viktigt att läraren erbjuder mer tid inom ett arbetsområde för eleven som är i behov av extra stöd på grund av svårigheterna. Eleven kan behöva mer tid till att förstå ett arbetsområde som till exempel problemlösning.
Då jobbar man extra med den eleven. Det brukar oftast lösa sig om de får sitta med mig eller fritidspedagogen, under lektionstid. Vissa elever behöver mer tid på sig och då behöver man låta de som förstår få jobba på och de som inte förstår direkt får man anpassa sig efter och stötta (läraren i årskurs ett).
21
Det är viktigt att svårigheterna inom problemlösning följs upp anser lärarna. Elevernas svårigheter behöver dokumenteras och följas upp för att se om insatserna fungerar. Om svårigheterna inte minskar efter insatserna, anser lärarna att en specialpedagog behöver sättas in och ge särskilt stöd till dessa elever.
Jag tror att vi är väldigt bra på att följa upp. I jätteextrema fall och jag märker att det här är ju någonting mer än bara lite svårt att förstå så måste de träffa en specialpedagog (läraren i årskurs ett).
Helklassdiskussionen utgör en lärandesituation eftersom läraren tar upp flera olika lösningar och det möjliggör att eleverna får kunskap om att det inte finns en enda rätt metod för att lösa uppgiften. I helklassdiskussionen lyfte lärarna elevernas olika
lösningar och tankar, för att komma fram till att det inte bara finns ett rätt sätt att tänka på eller en metod för att komma fram till rätt svar. Detta kan kopplas till
klassrumsnormer eftersom det handlar om elevernas förväntningar på att det endast ska finnas ett rätt svar. Helklassdiskussionen är ett bra verktyg för läraren att följa upp elevernas svårigheter som de visade. Elevernas svårigheter följs upp genom att diskutera och visa möjliga lösningar och metoder.
Vi lyfter olika lösningar i helklassdiskussionen. Det finns inga fel och inga rätt, man får säga det man känner. Man lär sig av sina misstag och de lär sig väldigt mycket av varandra (läraren i årskurs två).
Lärares upplevda uppföljande arbete handlar om att elever som visar svårigheter inom
problemlösning kräver dokumentation och uppföljning för att se om åtgärderna fungerar. Fritidspedagoger kan också följa upp elevernas svårigheter. När vissa elever behöver mer stöd än vad läraren och fritidspedagogen kan ge, kan extra arbete med den enskilda eleven sättas in efter skoltid. Även specialpedagoger kan bli inblandade för att kunna erbjuda eleverna extra stöd. Helklassdiskussioner kan användas i uppföljande syfte genom att lärare lyfter elevernas svårigheter samt vilka metoder eleverna använder och därigenom försöker ändra klassrumsnormen som råder.
5.1.3 Observationer av lärarna
Här redovisas två kategorier som utgår från observationer av lärarna. De två
kategorierna Lärares förebyggande insatser och Lärares uppföljande arbete är tolkade genom Mölleheds kategorier och dessutom använde vi ytterligare kategorier sprungna ur vår data för att tolka lärarobservationerna, dessa kategorier var Klassrumsnormer och
Fokus.
Lärares förebyggande insatser
I intervjuerna upplevde lärarna att de upprepade sina introduktioner på flera olika sätt för att nå ut till eleverna, vilket vi anser överensstämde med våra genomförda
observationer. Lärarna beskrev uppgifterna många gånger, med olika formuleringar under introduktionerna. De ritade även bilder på tavlan för att tydliggöra uppgifterna. Observationerna visade att lärarna vid flera tillfällen upprepade svåra begrepp och gav exempel där de orden fanns med, vilket stämde överens med intervjuerna. Lärarna förklarade de svåra begreppen och använde synonymer för att skapa en bredare
förståelse hos eleverna. Exempelvis förklarade båda lärarna ordet kombination. Lärarna beskrev begreppet kombination på flera olika sätt och satte in ordet kombination i olika
22
sammanhang. Lärarna förklarade begreppet kombinera genom att exempelvis förklara “hur många glassar kan du göra” eller “hur många olika slags glassar kan du göra om du har fyra/fem olika många smaker”. Ordet matematiskt uttryck förklarade ena läraren var en synonym på att skriva ett svar. Att lärarna förklarade dessa begrepp kan kopplas till Mölleheds (2001) påverkansfaktor Matematiska begrepp. Lärarna skrev även problemen på tavlan och använde sig av bilder för att visualisera glassarna för eleverna. Detta kan kopplas till Mölleheds påverkansfaktor Visuell förståelse. Lärarna kopplade problemen till verkligheten genom att berätta korta historierna om hur det gick till när de skulle köpa glass eller att tre nallar skulle sitta på olika platser i soffan, vilket kan kopplas till Mölleheds påverkansfaktor Verklighetsuppfattning. Under intervjuerna ansåg lärarna att laborativ material var en förebyggande insats men detta synliggjordes inte under observationerna.
Lärares förebyggande insatser handlar om hur lärarna i sin undervisning upprepar och
formulerar sina introduktioner på olika sätt för att kunna nå ut till fler elever. Lärarna beskriver även uppgifterna på många olika sätt och går igenom väsentliga begrepp samt ritar upp problemet på tavlan för att försöka skapa en förståelse för uppgiften hos eleverna.
Lärares uppföljande arbete
Under helklassdiskussionen frågade lärarna eleverna hur de hade tänkt och visade på tavlan olika sätt att lösa problemen. Lärarna tog upp olika representationsformer som eleverna hade använt för att lösa uppgifterna. Många elever hade ritat både glassarna och nallarna, medan andra elever skrev första bokstaven på nallens färg som
representation för varje nalle eller ritade glassar och skrev smakens första bokstav i varje glasskula. Detta tog läraren upp i helklassdiskussionen. Lärarna berättade och visade skriftligt olika lösningar eftersom det inte fanns enbart ett sätt att lösa problemet på. Lärarna tog också upp vanliga misstag och svårigheter som eleverna gjorde och förklarade även varför de lösningarna inte var korrekta. De vanliga misstagen som eleverna gjorde var att göra samma kombination flera gånger och att de inte motiverade sina lösningar. Att läraren lyfte elevernas svårigheter i helklassdiskussionen kan kopplas till att läraren försökte skapa en klassrumsnorm att man lär sig av sina misstag.
I helklassdiskussionen diskuterade lärarna i båda årskurserna med eleverna om att vissa elever hade gjort dubbletter. Några elever i årskurs ett fick demonstrera praktiskt och representera var sin nalle. Eleverna fick stå i ett led och läraren tillsammans med resterande elever i klassen uppmanade eleverna att byta plats med varandra en efter en och skapa alla möjliga kombinationer. På tavlan skrev läraren upp alla tidigare gjorda kombinationer med hjälp av färgade pennor. Detta gjorde läraren för att tydligt redogöra för alla möjliga kombinationer utan att göra dubbletter. Läraren i årskurs två ritade istället upp de fyra olika glassmakerna och följde upp en av elevernas strategier som handlade om att dra streck mellan de olika smakerna. När läraren hade dragit streck till tre smaker skrev hon upp de tre smakerna på tavlan som en kombination. Sedan drog läraren streck mellan de två första smakerna från den tidigare kombinationen och drog efter det streck till en ny smak och detta bildade en annan kombination. Sedan fortsatte läraren med proceduren tills alla möjliga kombinationer var gjorda. Anledningen till att
