Linköpings universitet | Matematiska institutionen Produktionsuppsats, 15 hp | Ämneslärarprogrammet (Gymnasiet) - Matematik Vårterminen 2020 | LiU-LÄR-MA-A--2020/07--SE
Hur förhåller sig innehållet i
svenska läromedel i
matematik till
gymnasieelevers
matematiska svårigheter
med andragradsekvationer?
– En kvalitativ innehållsanalys av uppgifter i svenska
läromedel i matematik på gymnasiet
How Does the Content in Swedish Mathematics
Textbooks Relate to Upper Secondary Students
Mathematical Difficulties with Quadratic Equations?
– A Content Analysis of the Tasks in Swedish
Mathematic Books in Upper Secondary School
Gustaf Ekström Jakob Emanuelsson
Handledare: Björn Textorius
Examinator: Jonas Bergman Ärlebäck
Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden 013-28 10 00, www.liu.se
Matematiska Institutionen 581 83 LINKÖPING
Seminariedatum
Språk (sätt kryss före) Rapporttyp ISRN-nummer (fyll i löpnr)
X Svenska/Swedish Engelska/English
Examensarbete avancerad nivå
LiU-LÄR-MA-A--2020/07--SE
Titel
Hur förhåller sig innehållet i svenska läromedel i matematik till gymnasieelevers matematiska svårigheter med andragradsekvationer?
Title
How Does the Content in Swedish Mathematics Textbooks Relate to Upper Secondary Students Mathematical Difficulties with Quadratic Equations?
Författare
Gustaf Ekström Jakob Emanuelsson
Sammanfattning
I denna studie, som är en fortsättning av vår föregående litteraturstudie om vilka svårigheter som gymnasieelever har med andragradsekvationer, undersöks några allmänt använda läromedel i matematik för gymnasiet
för att klargöra om det finns ett samband mellan elevers svårigheter och innehållet i läromedlen. Utifrån
resultatet i vårt tidigare examensarbete kodades uppgifterna i läromedlen för att skapa statistik över deras innehåll. Statistiken jämfördes sedan med resultaten i föregående studie för att se hur fördelningen av uppgifter förhåller sig till elevers svårigheter med andragradsekvationer.
Totalt kodades 435 uppgifter ur fyra olika läromedel, dessa uppgifter kodades utifrån vilken lösningsmetod som ska användas samt uppgiftens karaktär. I föregående litteraturstudie framkom att elever ser andragradsekvationer som formler och beräkningar som endast ska lösas utan ett sammanhang. Resultatet i denna studie stärker detta eftersom 77,9 % av uppgifterna är standarduppgifter, uppgifter där eleverna endast ska utföra en beräkning utan större krav på förståelse eller tolkning av uppgiften. Den stora andelen standarduppgifter riskerar att få konsekvensen att eleverna försöker memorera lösningsmetoder istället för att få förståelse för matematiken. Av de analyserade uppgifterna skulle endast 6 % av uppgifterna lösas med kvadratkomplettering, medan den s.k. pq-formeln förekom i 32,2 % av uppgifterna. Dessa resultat indikerar att elever får svårt att välja mellan olika lösningsmetoder vid fullständiga andragradsekvationer eftersom de troligtvis endast är trygga med en lösningsmetod.
Utifrån resultaten hävdar vi att lärare behöver vara försiktiga vid sin användning av läroböckerna eftersom
vi ser brister i fördelningen mellan olika typer av uppgifter, framförallt en brist på verklighetsförankrade textuppgifter. Dessutom kan lärare eventuellt behöva komplettera lärobokens innehåll med ytterligare material,
exempelvis i form av övningar med tekniska hjälpmedel. Vidare forskning behövs om hur läromedel påverkar elevers inlärning i matematik samt hur lärare undervisar om andragradsekvationer.
Nyckelord
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Bakgrund ... 2
2.1 Definition av andragradsekvationer ... 2
2.2 Andragradsekvationer i matematikkurserna på gymnasiet ... 2
2.3 Lösningsmetoder till andragradsekvationer... 2
2.4 Gymnasieelevers svårigheter med andragradsekvationer ... 3
2.4.1 Kategori 1 - Svårigheter med att hantera algebra (K1) ... 4
2.4.2 Kategori 2 - Svårigheter med förståelsen av begreppet andragradsekvationer (K2) . 4 2.4.3 Kategori 3 - Svårigheter att välja lösningsmetod (K3) ... 5
2.4.4 Kategori 4 - Svårigheter att använda kvadratkomplettering som lösningsmetod (K4) ... 5
2.4.5 Kategori 5 - Svårigheter att använda faktorisering som lösningsmetod (K5) ... 5
2.4.6 Kategori 6 - Svårigheter att använda kvadratrotsmetoden korrekt (K6) ... 6
2.4.7 Kategori 7 - Svårigheter att använda pq-formeln som lösningsmetod (K7) ... 6
2.5 Upplägget i läroböcker i matematik på gymnasiet ... 6
3 Syfte och frågeställning ... 8
4 Metod ... 9
4.1 Kvantitativ innehållsanalys ... 9
4.1.1 Tillämpning av kvantitativ innehållsanalys ... 9
4.2 Urval ... 10
4.3 Kodning ... 12
4.3.1 Sammanfattning av kodningen ... 15
5 Resultat ... 18
5.1 Fördelning av olika uppgiftstyper ... 18
6 Diskussion ... 26 6.1 Metoddiskussion ... 26 6.2 Resultatdiskussion ... 29 6.3 Vidare forskning ... 33 6.4 Avslutande tankar ... 34 Referenslista ... 35
1 Inledning
Många elever på gymnasiet uppfattar idag ämnet matematik som svårt och besvärligt. Detta syns exempelvis i resultaten på de nationella proven i kursen Matematik 2b. Statistik från Skolverket (u. å.) visar att år 2019 fick 50,4 % av eleverna underkänt på det nationella provet i den kursen. Innehållet i Matematik 2b består av både matematik som elever stött på tidigare samt matematik som de inte stött på tidigare. Ett av dessa nya områden är
andragradsekvationer, där metoder från algebra kombineras för att möjliggöra lösning av dessa ekvationer (Skolverket, 2011). Andragradsekvationer är ett område inom matematiken som ligger till grund för senare studier inom området algebra. De kunskaper som eleverna tillgodogör sig inom detta område bidrar till att stärka elevernas kunskaper inom algebra och ökar deras möjligheter att lära sig efterföljande delar i Matematik 2b. Enligt Höjer (2016) har kunskaperna om andragradsekvationer blivit lägre under de senaste åren bland studenter vid Chalmers Tekniska universitet. Dessa studenter kan anses representera de gymnasieelever som är mer kunniga i matematik, vilket gör att det är troligt att de gymnasieelever som inte läser vidare på ingenjörsprogram på universitet har ännu sämre kunskaper inom området andragradsekvationer. Med anledning av dessa resultat inses att det finns ett behov av att förbättra och se över undervisningen inom området andragradsekvationer.
Tidigare didaktikforskning visar att gymnasieelever har ett antal matematiska svårigheter vid hantering av andragradsekvationer. I vårt föregående examensarbete genomförde vi en sammanställning av olika studiers forskningsresultat gällande elevers svårigheter med andragradsekvationer. Dessa svårigheter kategoriserades i sju olika kategorier (Ekström & Emanuelsson, 2019). I samband med detta arbete studerades dock inte hur undervisningens utformning kan påverka eller relateras till dessa svårigheter men detta är enligt oss ett intressant område att studera. Matematikundervisningen i Sverige baseras i stor grad på läroböcker och deras utformning (Holmlund, 2013; Johansson, 2006), således påverkar läroböckernas utformning elevers kunskapsinlärning i hög grad. Utifrån detta undersöker vi i denna studie om och i så fall hur uppsättningen av uppgifter i några svenska läromedel i matematik på gymnasiet kan relateras till de tidigare identifierade kategorierna av svårigheter.
2 Bakgrund
I följande avsnitt presenteras definitioner, begrepp och lösningsmetoder, som ligger till grund för examensarbetet och som läsaren behöver ha kunskap om för att förstå studiens
tillvägagångssätt och resultat.
2.1 Definition av andragradsekvationer
En andragradsekvation är en polynomekvation 𝑝(𝑥) = 0, där p är ett andragradspolynom. Detta brukar formuleras på följande sätt 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 där a, b och c är reella (eller komplexa) tal och 𝑎 ≠ 0. Detta kan ses som standardformeln för en andragradsekvation. Värt att notera är att b och c får vara noll (Persson & Böiers, 2010). En andragradsekvation där a,
b och c är skilt från noll kallas för en fullständig andragradsekvation oavsett på vilken form
den är skriven.
2.2 Andragradsekvationer i matematikkurserna på gymnasiet
Andragradsekvationer förekommer i det centrala innehållet i matematikkurserna 2a, 2b och 2c på gymnasiet. Dessa kurser har inte samma matematiska innehåll, utan kursen 2c har mest innehåll och 2a minst innehåll. I fråga om andragradsekvationer är kurserna dock ganska lika, även om det står mest om andragradsekvationer i kursen 2c. Den största skillnaden är att endast kurserna 2b och 2c innehåller komplexa tal vid lösning av andragradsekvationer. Det mest centrala kring andragradsekvationer i de tre kurserna är dock att eleverna ska få lära sig att lösa andragradsekvationer både grafiskt och algebraiskt samt med och utan tekniska hjälpmedel (Skolverket, 2011).
2.3 Lösningsmetoder till andragradsekvationer
I gymnasieskolan får eleverna lära sig några olika metoder för att lösa en andragradsekvation där olika metoder passar olika bra för olika typer av andragradsekvationer. I tabell 1 nedan presenteras de fyra lösningsmetoder som Ekström och Emanuelsson (2019) i sin tidigare litteraturstudie fann att elever ofta stöter på. Se den studien för en detaljerad beskrivning av dessa lösningsmetoder.
Ekvation av formen Lösningsmetod Lösningar 𝑎𝑥2+ 𝑐 = 0, 𝑐 ≤ 0 (*) Kvadratrotsmetoden 𝑥 = ±√−𝑐 𝑎 (𝑝1𝑥 + 𝑞1)(𝑝2𝑥 + 𝑞2) = 0 samt 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 = 0, 𝑑. 𝑣. 𝑠. 𝑐 = 0 Faktorisering (Nollprodukt) 𝑝1𝑥 + 𝑞1= 0 ⇔ 𝑥 = −𝑞1 𝑝1 eller 𝑝2𝑥 + 𝑞2= 0 ⇔ 𝑥 = − 𝑞2 𝑝2 respektive 𝑥 = 0 eller 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇔ 𝑥 = −𝑏 𝑎 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Kvadratkomplettering (𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2= (𝑏 2𝑎) 2−𝑐 𝑎⇔ 𝑥 = −𝑏 2𝑎± √( 𝑏 2𝑎)2− 𝑐 𝑎 (**) 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 pq-formeln 𝑥 = −𝑏 2𝑎± √( 𝑏 2𝑎) 2 −𝑐 𝑎 (**)
Tabell 1: Beskrivning av de olika lösningsmetoderna till andragradsekvationer och när de används.
(*) om 𝑐 > 0 har ekvationen inga reella rötter (**) om (2𝑎𝑏)2−𝑐
𝑎≥ 0; annars har ekvationen inga reella rötter
2.4 Gymnasieelevers svårigheter med andragradsekvationer
Ekström och Emanuelsson (2019) har studerat forskningslitteraturen över vilka matematiska svårigheter gymnasieelever har med andragradsekvationer, totalt studeras nio olika studier. Av dessa studier genomfördes två i Sverige (Olteanu & Holmqvist, 2012; Olteanu & Olteanu, 2012), fyra i Turkiet (Didis, 2018; Didis, Bas & Erbas, 2011; Didis & Erbas, 2015; Memnun, Aydın, Dinç, Çoban & Sevindik, 2015), en i Thailand (Vaiyavutjamai & Clements, 2006), en i Indonesien (Zakaria & Maat, 2010) och en i Tyskland (Block, 2015).
En sammanställning gjordes över vilka övergripande typer av matematiska svårigheter som eleverna har med andragradsekvationer och dessa svårigheter resulterade i sju olika
kategorier av svårigheter. Nedan ges en översiktlig beskrivning av innebörden i varje kategori utifrån de resultat som Ekström och Emanuelsson (2019) kom fram till. En hänvisning ges till
de studier där en viss svårighet identifierades. För en mer detaljerad beskrivning av innehållet i varje kategori se Ekström och Emanuelsson (2019) samt de aktuella forskningsstudierna. De sju kategorierna är:
2.4.1 Kategori 1 - Svårigheter med att hantera algebra (K1)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Didis et al. (2011); Block (2015); Didis (2018); Vaiyavutjamai och Clements (2006); Olteanu och Holmqvist (2012); Didis och Erbas (2015); Memnun et al. (2015).
Kategorin består av följande svårigheter:
● Elever gör felaktiga eller otillåtna matematiska operationer i samband med ekvationslösning
● Elever vet inte vad en obekant är
● Elever har svårigheter med att skilja på uttryck och ekvationer ● Elever gör räknefel i samband med förenkling av uttryck
2.4.2 Kategori 2 - Svårigheter med förståelsen av begreppet andragradsekvationer (K2)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Didis et al. (2011); Vaiyavutjamai och Clements (2006); Zakaria och Maat (2010); Block (2015); Didis och Erbas (2015); Didis (2018); Olteanu och Olteanu (2012).
Kategorin består av följande svårigheter:
● Elever har svårt att beskriva vad en andragradsekvation är och förklara vad som gör en andragradsekvation till en andragradsekvation
● Elever har svårt att tolka textuppgifter och lösa textuppgifter ● Elever har svårt att ställa upp andragradsekvationer
● Elever ser andragradsekvationer endast som symboler, formler och beräkningar samt kan inte koppla det till verkligheten
2.4.3 Kategori 3 - Svårigheter att välja lösningsmetod (K3)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Olteanu och Holmqvist (2012); Didis och Erbas (2015); Block (2015); Didis (2018).
Kategorin består av följande svårigheter:
● Elever har svårt att välja en lämplig lösningsmetod beroende på uppgiftens utseende ● Elever har svårt att hantera andragradsekvationer som inte är skrivna på standardform ● Elever skriver om ekvationen till standardform innan de löser den istället för att
använda sig av mer lämpliga och effektiva lösningsmetoder direkt
2.4.4 Kategori 4 - Svårigheter att använda kvadratkomplettering som lösningsmetod (K4)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Didis (2018); Didis och Erbas (2015); Vaiyavutjamai och Clements (2006); Zakaria och Maat (2010).
Kategorin består av följande svårigheter: ● Elever minns inte hur metoden går till
● Elever är osäkra på metoden och undviker den om möjlighet finns
● Elever försöker minnas lösningsmetoden istället för att ha förståelse hur matematiken i metoden fungerar
2.4.5 Kategori 5 - Svårigheter att använda faktorisering som lösningsmetod (K5)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Didis och Erbas (2015); Didis et al. (2011).
Kategorin består av följande svårigheter:
● Elever vet inte när faktorisering är en möjlig lösningsmetod
● Elever gissar en rot fel och faktoriserar därför andragradsekvationen fel ● Elever har svårt att faktorisera andragradsekvationer som inte är skrivna på
2.4.6 Kategori 6 - Svårigheter att använda kvadratrotsmetoden korrekt (K6)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Didis och Erbas (2015); Vaiyavutjamai och Clements (2006); Memnun et al. (2015).
Kategorin består av följande svårigheter:
● Elever glömmer en lösning, oftast den negativa lösningen ● Elever har svårt att förstå hur det kan bli två lösningar
2.4.7 Kategori 7 - Svårigheter att använda pq-formeln som lösningsmetod (K7)
Denna kategori baseras på resultatet i studierna: Didis och Erbas (2015); Memnun et al. (2015); Olteanu och Holmqvist (2012).
Kategorin består av följande svårigheter:
● Elever kommer ihåg pq-formeln fel
● Elever vet inte vilka villkor som måste vara uppfyllda för att de ska få tillämpa lösningsmetoden
● Elever har svårt att tillämpa formeln om andragradsekvationen inte är skriven på standardform
● Elever gör ofta enkla räknefel när de tillämpar pq-formeln
2.5 Upplägget i läroböcker i matematik på gymnasiet
De flesta läroböcker i matematik på gymnasiet har ett liknande upplägg för hur de presenterar matematiken som ska behandlas. Läroböckerna är uppdelade i ett antal kapitel där varje kapitel behandlar en sammanhängande del matematik. Dessa kapitel är sedan uppdelade i ett antal avsnitt där varje avsnitt behandlar olika delar inom matematiken som bygger på
varandra. Varje avsnitt börjar vanligtvis med en genomgång av matematiken som ska
behandlas i avsnittet och därefter följer några exempel på uppgifter där det presenteras hur de kan lösas. Efter detta följer själva uppgifterna som hör till avsnittet där det börjar enkelt och blir successivt svårare där de sista uppgifterna vanligtvis är de svåraste. I början är ofta uppgifterna endast ekvationer som ska lösas för att efterhand bli mer och mer textuppgifter och i slutet är det ofta endast textuppgifter (Alfredsson, Bråting, Erixon & Heikne, 2012; Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012; Szabo, Larson, Viklund, Dufåker & Marklund, 2012; Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012). Ovanstående är endast en förenkling av hur det ser ut, självklart är det skillnad mellan böckerna och skillnad inom böckerna beroende på
vilken matematik som ska behandlas. Exempelvis har boken Matematik Origo 2b (Szabo et al., 2012) ett eget kapitel för andragradsekvationer medan Ma 5000 kurs 2b Grön lärobok (Alfredsson et al., 2012) behandlar andragradsekvationer i kapitlet som heter “Algebra och
linjära modeller”. En annan skillnad är att Ma 5000 kurs 2b Grön lärobok (Alfredsson et al.,
2012) har speciella avsnitt där tillämpningar av matematiken som behandlats i de senaste avsnitten behandlas. I Matematik Origo 2b (Szabo et al., 2012) behandlas istället
tillämpningar av matematiken under de avsnittet där den matematiken presenteras och således har den boken inte egna avsnitt med tillämpningar.
3 Syfte och frågeställning
I vårt tidigare examensarbete sammanställdes ur forskningslitteraturen vilka svårigheter gymnasieelever har med andragradsekvationer (Ekström & Emanuelsson, 2019). Det övergripande syftet med denna studie är att få ökad insikt om möjliga orsaker till de svårigheter med andragradsekvationer som sammanställdes i föregående examensarbete. Beroende på hur lärare undervisar om andragradsekvationer är det rimligt att anta att elevers svårigheter med andragradsekvationer påverkas. Forskningen tyder på att undervisningen styrs mycket av läromedlen (Holmlund, 2013; Johansson, 2006), därför är det av intresse att studera innehållet i läromedlen för att få insikt om hur undervisningen om
andragradsekvationer ser ut. Utifrån detta är syftet med denna studie att undersöka fördelningen av olika uppgiftstyper som behandlar andragradsekvationer i några svenska läromedel och hur denna fördelning förhåller sig till de svårigheter som elever har med andragradsekvationer.
Detta utmynnar i följande frågeställning:
● Hur är fördelningen av uppgifter om andragradsekvationer med olika karaktär i några allmänt använda svenska läromedel?
4 Metod
Som metod valdes en kvantitativ innehållsanalys eftersom den ansågs bäst kunna besvara forskningsfrågorna. Först beskrivs metoden generellt och därefter beskrivs hur metoden har tillämpats i denna studie. Avslutningsvis beskrivs vilket urval som gjorts samt hur kodningen av läroböckerna har gjorts.
4.1 Kvantitativ innehållsanalys
Kvantitativ innehållsanalys är en metod som används för att räkna, kategorisera och analysera något i ett visst material, detta kan exempelvis vara ord i en text (Krippendorff, 2013). I den här studien innebär detta att antalet uppgifter som behandlar andragradsekvationer räknas, kategoriseras och analyseras i svenska läromedel i matematik. Metoden inleds med att forskaren avgränsar möjligt material, i detta fall läromedel, ner till ett hanterbart antal att undersöka under de ramar som förekommer i aktuell studie. För en stor studie innebär det till exempel att ett stort antal läromedel studeras, medan ett mindre antal studeras i en mindre studie. Ett urval görs utifrån det möjliga materialet oberoende av studiens storlek. Det är viktigt att materialet som väljs av forskaren kan anses representera området i stort som undersöks för att på så sätt kunna bidra till studiens syfte (Krippendorff, 2013).
Därefter ska forskaren utifrån kvantitativ innehållsanalys bestämma hur det valda materialet ska kodas i studien. Detta innebär att forskaren bestämmer hur materialet som studeras ska räknas och kategoriseras. Hur den här kodningen ska gå till bestäms utifrån vissa specifika definitioner som ser olika ut beroende på forskningens syfte och vad för material det är som ska undersökas (Krippendorff, 2013). I den här studien innebär denna del att kodningen kommer bestämmas utifrån studiens syfte men även utifrån forskningssammanställningen angående elevers svårigheter med andragradsekvationer som Ekström och Emanuelsson (2019) genomfört. När det är bestämt hur kodningen ska gå till genomförs analysen av det bestämda materialet. Därefter ska materialet sammanställas på ett tydligt sätt för att på bästa möjliga vis besvara frågeställningen (Krippendorff, 2013).
4.1.1 Tillämpning av kvantitativ innehållsanalys
Enligt resultaten på de nationella proven är kursen Matematik 2b den matematikkurs som flest elevers misslyckas med (Skolverket, u.å). På grund av detta ansågs den kursen mest intressant att studera i denna studie och till studien valdes fyra läroböcker i den kursen.I de
valda läromedlen analyserades endast de sidor som berör området andragradsekvationer. Därefter skapades definitioner kring vad som skulle kodas i de olika läroböckerna för att tydliggöra hur kodningen skulle genomföras. Definitionerna skapades utifrån studiens syfte och frågeställning samt utifrån tidigare forskning kring elevers svårigheter med
andragradsekvationer. Efter definitionerna hade skapats kodades materialet och
sammanställdes i tabellform samt jämfördes med de svårigheter som tidigare forskning visat (Ekström & Emanuelsson, 2019), vilket därmed blev svaret på forskningsfrågorna.
4.2 Urval
Till denna undersökning valdes följande fyra läroböcker: Matematik M 2b (Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012), Matematik Origo 2b (Szabo et al., 2012), Ma 5000 kurs 2b
Grön lärobok (Alfredsson et al., 2012), Exponent: Matematik för gymnasiet 2b (Gennow,
Gustafsson & Silborn, 2012). Anledningen till att dessa fyra läromedel valdes var för att de är böcker i fyra allmänt använda läromedelsserier inom matematik på gymnasiet. Dessutom är våra erfarenheter från både praktik och arbete på gymnasieskolor att dessa läromedel används flitigt inom gymnasieskolan. Dessa fyra läroböcker ansågs därför som representativa för de läromedel som används i svenska gymnasieskolor i kursen Matematik 2b.
I varje bok har avsnitten om andragradsekvationer studerats, dock har några avgränsningar gjorts. Avsnitten som behandlar komplexa tal i samband med andragradsekvationer har ej studerats. Den avgränsningen gjordes även i sammanställningen av elevers svårigheter med andragradsekvationer som denna studie bygger på (Ekström & Emanuelsson, 2019) vilket gör denna avgränsning naturlig även i den här studien. Dessutom har avsnitten om konjugatregeln och kvadreringsreglerna ej studerats i böckerna Matematik M 2b (Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012) samt Ma 5000 kurs 2b Grön lärobok (Alfredsson et al., 2012) eftersom de avsnitten behandlas separat från andragradsekvationer. I övriga läromedel behandlas
kvadreringsreglerna och konjugatregeln i samband med lösning av andragradsekvationer (Szabo et al., 2012; Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012) och därför inkluderades de avsnitten i dessa två böcker. En liknande avgränsning görs gällande faktorisering. Endast de avsnitt som behandlar faktorisering som lösningsmetod i samband med andragradsekvationer inkluderas i de olika läromedlen. I tabell 1 redovisas de olika sidor som har analyserats. På grund av böckernas olika struktur inkluderas avsnitt om tillämpningar och problemlösning i böckerna Matematik M 2b (Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012) och Ma 5000 kurs
uppgifter i samband med de andra avsnitten som behandlar andragradsekvationer (Szabo et al., 2012; Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012). I samtliga böcker som kommer studeras finns det även med avsnitt som kallas “Blandade övningar” eller liknande (Alfredsson et al., 2012; Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012; Szabo et al., 2012; Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012). Dessa avsnitt har ej inkluderats i studien eftersom våra erfarenheter som lärare är att uppgifterna i dessa avsnitt oftast inte brukar ingå i de uppgifter som lärare anger i planeringen att elever ska räkna på lektionstid.
Slutligen valdes att inte inkludera samtliga uppgifter på de sidor som studerats. Det beror på att vissa uppgifter som finns på de studerade sidorna inte behandlar ämnet
andragradsekvationer eller att uppgifterna inte kretsar kring lösningsmetoder utan snarare om mer avancerad problemlösning, exempelvis genomförandet av olika matematiska bevis. Ett exempel på en uppgift som inte räknas med är följande:
“Det finns två samband mellan rötterna till en andragradsekvation och koefficienterna till ekvationen.
Om x1 och x2 är lösningar till ekvationen x2 + px +q = 0, så är x1 + x2 = -p och x1 * x2 = q Visa att
a) x1 + x2 = -p
b) x1 * x2 = q ” (Szabo et al., 2012, s. 54, uppgift 2215)
Boktitel Författare Avsnitt i kapitel Sidor Ej inkluderade uppgifter Exponent: Matematik för gymnasiet 2b Susanne Gennow Ing-Mari Gustafsson Bo Silborn
Reela tal och räkneregler, Enkla andragradsekvationer, Andragradsekvationer i faktoriserad form, Lösning med hjälp av faktorisering, En formel för att lösa andragradsekvationer, Konjugat- och kvadreringsregeln i samband med 104-119 3006, 3007, 3016, 3035, 3042, 3053, 3054, 3059, 3068
ekvationslösning Matematik Origo 2b Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Dufåker Mikael Marklund Enkla andragradsekvationer, Faktorisering som lösningsmetod, Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna, Kvadratkomplettering , pq-formeln, 38-41, 44-54 2109, 2122, 2137, 2215, 2216 Ma 5000 kurs 2b Grön lärobok Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne Enkla andragradsekvationer, En lösningsformel, Tillämpningar och problemlösning 95-102, 110-112 2229, 2230, 2253
Matematik M 2b Martin Holmström Eva Smedhamre Jonas Sjunnesson Enkla andragradsekvationer, Kvadratkomplettering , Fullständiga andragradsekvationer, Problemlösning med ekvationer, Faktorisering och ekvationer 36-48, 61-63 1164, 1170, 1187, 1191, 1192, 1194, 1197
Tabell 2: Sammanställning av urvalet av de läromedlen som inkluderats i studien.
4.3 Kodning
Kodningen som tillämpas i den här kvantitativa innehållsanalysen bygger på resultatet av Ekström och Emanuelssons (2019) sammanställning av befintlig forskning om elevers
svårigheter med andragradsekvationer. Det innebär att de sju kategorierna som skapades i den sammanställningen var vägledande för den här studien. Fokus i det här arbetet ligger dock på sex av dessa kategorier. Författarna till denna studie valde att inte fokusera på kategorin som behandlar algebraiska fel som eleverna gör i samband med lösning av andragradsekvationer.
Skälet till detta är att dessa fel till stor del beror på bristande kunskaper inom andra områden än andragradsekvationer. Då denna studies syfte är att undersöka elevers svårigheter med just andragradsekvationer är inte de matematiska svårigheter som elever har med annan
matematik av intresse. I ett försök att få insikt i hur läromedlens utformning förhåller sig till de svårigheter som elever har med andragradsekvationer enligt Ekströms och Emanuelssons (2019) sammanställning görs kodningen i flera steg. Den genomförda kodningen beskrivs nedan.
Fyra av de sju kategorierna sammanfattar fel vid tillämpning av en given lösningsmetod och en kategori sammanfattar elevers svårigheter att välja korrekt lösningsmetod (Ekström & Emanuelsson, 2019). Med anledning av detta var det första steget i kodningen att skilja mellan uppgifter som ska lösas med angiven lösningsmetod samt uppgifter där eleverna får välja lösningsmetod. De uppgifter som hör till ett specifikt avsnitt om en specifik
lösningsmetod räknas som att de ska lösas med den lösningsmetoden om inte annat anges. Anledningen till att den definitionen väljs beror på att lärare enligt författarnas erfarenhet utgår ifrån att uppgifterna i ett sådant avsnitt ska lösas med avsnittets lösningsmetod. I de avsnitt som inte behandlar en lösningsmetod (exempelvis tillämpningsavsnitt) antas eleverna själva få välja lösningsmetod om det inte står i uppgiften att de ska använda en specifik lösningsmetod. Varje deluppgift räknas som en uppgift för att få en mer rättvis bild mellan de olika läromedlen beroende på deras struktur. I böckerna finns några uppgifter som ska lösas med två olika metoder. I de fallen kodas uppgiften som en uppgift som ska lösas med båda metoderna. Ett exempel på en sådan uppgift är:
“Lös ekvationen på två olika sätt, med lösningsformeln och med nollproduktsmetoden. a) x2-12x=0 (Alfredsson et al., 2012, s. 102, uppgift 2220).
Den här uppgiften kodas både som en uppgift som ska lösas med pq-formeln (kallas lösningsformeln i uppgiften) och som en uppgift som ska lösas med faktorisering (kallas nollproduktsmetoden i uppgiften). Följden av detta blir således att vissa uppgifter förekommer på två platser i resultatet.
I sammanställningen av Ekström och Emanuelsson (2019) framgår att elever har svårt med textuppgifter i samband med andragradsekvationer. Därför var steg två i kodningen att skilja på textuppgifter och ekvationsuppgifter. Det innebär att först skiljs uppgifterna åt beroende på lösningsmetod och därefter beroende på om det är en ekvationsuppgift eller textuppgift.
Ekvationssuppgifter definieras som uppgifter där endast en given ekvation ska lösas och svar anges. Textuppgifter definieras som uppgifter där det står i text vad eleven ska göra,
exempelvis lösa ett problem eller ställa upp en ekvation. Textuppgifter skiljer sig från ekvationsuppgifter genom att eleven exempelvis måste tolka uppgiften, förklara något mer djupgående eller bevisa något matematiskt. En uppgift kodas antingen som ekvationsuppgift eller textuppgift, vilket innebär att alla uppgifter som inte kodas som ekvationsuppgifter kodas som textuppgifter.
I föregående examensarbete identifierades även två andra svårigheter med
andragradsekvationer hos elever, dels att eleverna endast upplevde andragradsekvationerna som formler, siffror och beräkningar som skulle utföras, dels att eleverna hade svårt att ställa upp ekvationer utifrån en beskrivning (Ekström & Emanuelsson, 2019). Utifrån dessa
svårigheter införs en kodning som innebär att en uppdelning görs om textuppgifterna har en koppling till verkligheten eller inte. Detta är en del av det tredje steget i kodningen.
En textuppgift, som är kopplad till verkligheten, är exempelvis:
“Ammar ska lägga klinker kring sin 4 x 8 meter stora pool. Han har 58 m2 klinker och klinkergången ska vara lika bred överallt. Beräkna bredden på klinkergången om allt klinker går åt.” (Szabo et al., 2012, s. 54, uppgift 2214).
En textuppgift, som inte är kopplad till verkligheten, är exempelvis:
“I en rektangel är höjden 7 cm kortare än basen. Bestäm rektangelns omkrets, om dess area är 40 cm2.” (Szabo et al., 2012, s. 54, uppgift 2210).
Eftersom forskningen visade att elever hade svårt att ställa upp andragradsekvationer studeras därför även hur många av textuppgifterna som består av att eleverna ska ställa upp
andragradsekvationer. En sådan uppgift kan vara kopplad till verkligheten men behöver inte vara det. I båda uppgifterna som är formulerade ovan ska eleven skapa en egen
andragradsekvation, men det är endast den första som har en koppling till verkligheten. Ett exempel på en textuppgift där ekvationen är given och som har en koppling till verkligheten är:
”Ekvationen y = 1,7+x - 0,1x2 beskriver Annas stöt med kula, där y är kulans höjd i meter då den har färdats x meter horisontellt.
a) Hur högt håller Anna kulan när hon stöter iväg den?
b) Hur långt stöter hon?” (Szabo et al., 2012, s. 54, uppgift 2211).
I sammanställningen av Ekström och Emanuelsson (2019) framkom att elever tenderar att se området andragradsekvationer som en uppsättning formler och regler som ska följas i
samband med att en beräkning ska utföras. I steg tre i kodningen genomförs även en kodning som syftar till att förtydliga hur stor andel av uppgifterna som är av standardkaraktär.
Uppgifter av standardkaraktär innebär uppgifter som fokuserar på rutinmässiga operationer, exempelvis att lösa en given ekvation med en specifik lösningsmetod. Textuppgifter som inte består av att eleven ska skapa egen matematik eller inte är kopplade till verkligheten kodas därför som standarduppgifter. Dessutom kodas samtliga ekvationsuppgifter som
standarduppgifter ty i de uppgifterna ska endast en ekvation lösas.
4.3.1 Sammanfattning av kodningen
För att sammanfatta och förtydliga kodningen presenteras nedan två bilder över hur kodningsprocessen går till. Slutligen presenteras ett exempel på en kodningsprocess av en uppgift ur ett av läromedlen.
Bild 1: Beskrivning av den primära kodningen
I bild 1 beskrivs hur det första steget i kodningen går till när en uppgift ska kodas. Det första steget i kodningen består av att dela in uppgifterna beroende på vilken lösningsmetod som ska tillämpas i uppgiften, alternativt om det är ospecificerat. Således kommer samtliga uppgifter kodas som något av de fem alternativen enligt bilden. Efter denna kodning kommer uppgiften att kodas enligt bild 2, detta oberoende av vilket alternativ den kodades som enligt
den primära kodningen. I bild 2 visas hur kodningsprocessen ser ut om uppgiften ska lösas med lösningsmetoden kvadratrotsmetoden men samma princip tillämpas oavsett vilken lösningsmetod som ska användas i uppgiften eller om lösningsmetoden är ospecificerad.
Bild 2: Beskrivning av hur en uppgifts egenskaper kodas
Steg två i kodningen består av att uppgiften kodas som antingen en textuppgift eller en ekvationsuppgift. Är uppgiften en textuppgift kodas den därefter beroende på dess karaktär, vilket utgör steg tre i kodningen. Den kategoriseras i detta steg antingen som standarduppgift, som verklighetsförankrad och/eller som en uppgift där eleven ska skapa en egen ekvation. Viktigt här är att en textuppgift både kan vara verklighetsförankrad och bestå av att eleven ska skapa en egen ekvation men att den också endast kan ha en av dessa egenskaper. Om uppgiften kategoriseras som en ekvationsuppgift kodas den dessutom alltid som en standarduppgift. Standarduppgifter består således av både ekvationsuppgifter och textuppgifter. Däremot består uppgifter som är verklighetsförankrade och uppgifter där eleven ska skapa egen ekvation endast av textuppgifter.
För att konkretisera kodningsprocessen följer här ett exempel på hur en uppgift kodas. Uppgiften lyder såhär:
“Stoppsträckan s m för en bil som kör med farten v km/h kan beräknas med sambandet s = 0,25v + 0,010v2. Vilken fart hade en bil som behövde en
stoppsträcka på 26 m?” (Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012, s. 116, uppgift
3049)
Den här uppgiften ligger under avsnittet som behandlar pq-formlen, därför kodas den som en uppgift som ska lösas med pq-formlen. Därefter kodas den som en textuppgift eftersom det är en uppgift som beskrivs av text och inte bara en ekvation. Sedan kodas uppgiften som att den är kopplad till verkligheten eftersom den handlar om en stoppsträcka för en bil. Slutligen så kodas den inte som en uppgift där eleven ska skapa en andragradsekvation eftersom
5 Resultat
Här redovisas resultaten av den kvantitativa innehållsanalysen som gjorts av läromedlen. I avsnitt 5.1 besvaras studiens frågeställning:
● “Vilken är fördelningen av uppgifter med olika karaktär i kapitlen om
andragradsekvationer i några allmänt använda läroböcker för gymnasiet?”
5.1 Fördelning av olika uppgiftstyper
I tabell 3 presenteras sammanställningen över samtliga uppgifter som kodades i de fyra olika läroböckerna. I tabellen presenteras fördelningen av olika uppgiftstyper för respektive lärobok, både explicit antal men även hur många procent det motsvarar i läromedlet. I tabellen redovisas även den totala fördelningen sett över alla läroböcker tillsammans. I tabellen så betyder “verklighet” uppgifter som är verklighetsanknutna, “skapa egen” betyder uppgifter där eleven ska ställa upp ekvationer. “Verklighet & skapa egen” innebär uppgifter som både är verklighetsförankrade och där eleven ska ställa upp ekvationer.
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Totala antalet uppgifter 135 82 105 113 435 Ekvations- Uppgifter 104 (77,0%) 44 (53,7%) 80 (76,2%) 67 (59,3%) 295 67,8 Textuppgifter 31 (23,0%) 38 (46,3%) 25 (23,8%) 46 (40,7%) 140 32,2 Verklighet 11 (8,1%) 13 (15,9%) 6 (5,7%) 8 (7,1%) 38 8,7 Skapa egen 22 (16,3%) 16 (19,5%) 16 (15,2%) 19 (16,8%) 73 16,8 Verklighet & Skapa egen 7 (5,2%) 3 (3,7%) 3 (2,9%) 2 (1,8%) 15 3,4 Standard-uppgifter 109 (80,7%) 56 (68,3%) 86 (81,9%) 88 (77,9%) 339 77,9 Tabell 3: Sammanställning över samtliga uppgifter.
I tabell 3 framkommer att 295 av de kodade uppgifterna var ekvationsuppgifter och 140 uppgifter var textuppgifter. Det motsvarar en fördelning på 67,8 % respektive 32,2 %. Av uppgifterna var 38 verklighetsförankrade och 73 innebar att eleverna skulle ställa upp ekvationer. Detta innebär att den procentuella andelen av totala antalet uppgifter som är verklighetsförankrade respektive uppgifter där eleverna ska ställa upp ekvationer blir 8,7 % respektive 16,8 %. Utöver detta ses också att 15 uppgifter eller 3,4 % av totala antalet
uppgifter är av typen att de både är verklighetsförankrade och kräver att eleven ska ställa upp ekvationer.
I tabell 4 presenteras fördelningen mellan uppgifter där de olika lösningsmetoderna ska tillämpas samt uppgifter där eleven får välja själv. Både antalet uppgifter och den procentuella andelen av totala antalet uppgifter redovisas i tabellen, både för respektive läromedel och för alla studerade uppgifter.
Fördelning mellan olika lösningsmetoder
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Kvadratrots- metoden 36 (26,7%) 9 (11,0%) 35 (33,3%) 33 (29,2%) 113 26,0 Faktorisering 54 (40,0%) 23 (28,0%) 23 (21,9%) 30 (26,5%) 130 29,9 Kvadrat- komplettering 0 (0%) 0 (0%) 6 (5,7%) 20 (17,7%) 26 6,0 Pq-formeln 45 (33,3%) 32 (39,0%) 33 (31,4%) 30 (26,5%) 140 32,2 Ospecificerad lösningsmetod 0 (0%) 18 (22,0%) 8 (7,6%) 0 (0%) 26 6,0 Totalt 135 82 105 113 435
Tabell 4: Sammanställning över hur många uppgifter som ska lösas med respektive lösningsmetod.
I tabell 4 ses att av de 435 uppgifter som kodades i de fyra läroböckerna så skulle
kvadratrotsmetoden tillämpas på 113, faktorisering på 130, kvadratkomplettering på 26, pq-formeln på 140 och på 26 uppgifter var lösningsmetoden ospecificerad. Detta motsvarar en procentuell fördelning av uppgifterna mellan lösningsmetoderna på 26,0 % med kvadratroten, 29,9 % med faktorisering, 6,0 % med kvadratkomplettering, 32,2 % med pq-formeln och i 6,0 % av uppgifterna är lösningsmetoden ospecificerad.
I tabell 5-9 presenteras en sammanställning av kodningen som genomförts av de fyra läromedlen beroende på lösningsmetod. Dessa tabeller är uppbyggda på samma sätt som tabell 3.
Kvadratrotsmetoden
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Totala antalet uppgifter 36 9 35 33 113 Ekvations- Uppgifter 26 (72,2%) 8 (88,9%) 23 (65,7%) 26 (78,8%) 83 73,5 Textuppgifter 10 (27,8%) 1 (11,1%) 12 (34,3%) 7 (21,2%) 30 26,5 Verklighet 2 (5,5%) 0 (0%) 3 (8,6%) 0 (0%) 5 4,4 Skapa egen 7 (19,4%) 1 (11,1%) 10 (28,6%) 5 (15,2%) 23 20,4 Verklighet & Skapa egen 1 (2,7%) 0 (0%) 3 (8,6%) 0 (0%) 4 3,5 Standard-uppgifter 28 (77,8%) 8 (88,9%) 25 (71,4%) 28 (84,8%) 89 78,8 Tabell 5: Sammanställning över de uppgifter där lösningsmetoden kvadratroten ska tillämpas.
I tabell 5 framgår att 113 uppgifter ska lösas med kvadratrotsmetoden. Av dessa uppgifter var 73,5 % ekvationsuppgifter och 26,5 % textuppgifter. En verklighetsförankring identifierades i 4,4 % av uppgifterna och i 20,4 % av uppgifterna skulle eleverna ställa upp ekvationer. Av uppgifterna som skulle lösas med kvadratrotsmetoden var 3,5 % av sådan karaktär att de både var kopplade till verkligheten och innebar att eleverna skulle ställa upp ekvationer.
Avslutningsvis kodades 78,8 % av uppgifterna som skulle lösas med kvadratrotsmetoden som standarduppgifter.
Faktorisering
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Totala antalet uppgifter 54 23 23 30 130 Ekvations- Uppgifter 47 (87,0%) 14 (60,9%) 20 (87,0%) 16 (53,3%) 97 74,6 Textuppgifter 7 (13,0%) 9 (39,1%) 3 (13,0%) 14 (46,7%) 33 25,4 Verklighet 1 (1,9%) 0 (0%) 0 (0%) 1 (3,3%) 2 1,5 Skapa egen 4 (7,4%) 7 (30,4%) 2 (8,7%) 5 (16,7%) 18 13,8 Verklighet & Skapa egen 1 (1,9%) 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 1 0,8 Standard-uppgifter 50 (92,6%) 16 (69,6%) 21 (91,3%) 24 (80,0%) 111 85,4 Tabell 6: Sammanställning över de uppgifter där lösningsmetoden faktorisering ska tillämpas.
I tabell 6 ses att 130 uppgifter ska lösas med faktorisering. Av de 130 uppgifterna var 74,6 % ekvationsuppgifter och 25,4 % textuppgifter. En verklighetsförankring fanns i 1,5 % av uppgifterna medan eleverna skulle ställa upp ekvationer i 13,8 % av uppgifterna. I 0,8 % av uppgifterna skulle eleverna både ställa upp ekvationer och uppgiften hade en koppling till verkligheten. Slutligen var 85,4 % av uppgifterna som skulle lösas med faktorisering standarduppgifter.
Kvadratkomplettering
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Totala antalet uppgifter 0 0 6 20 26 Ekvations- Uppgifter 0 0 6 (100%) 10 (50,0%) 16 61,5 Textuppgifter 0 0 0 (0%) 10 (50,0%) 10 38,5 Verklighet 0 0 0 (0%) 1 (5,0%) 1 3,8 Skapa egen 0 0 0 (0%) 6 (30,0%) 6 23 Verklighet & Skapa egen 0 0 0 (0%) 1 (5,0%) 1 3,8 Standard-uppgifter 0 0 6 (100%) 14 (70,0%) 20 76,9 Tabell 7: Sammanställning över de uppgifter där lösningsmetoden kvadratkomplettering ska tillämpas.
Kvadratkomplettering identifierades som lösningsmetod i 26 uppgifter. Av dessa var 38,5 % textuppgifter och 61,5 % ekvationsuppgifter. En verklighetsförankring identifierades i 3,8 % av uppgifterna och 23 % av uppgifterna innebar att eleverna skulle ställa upp någon ekvation. Av de studerade uppgifterna innebar endast en uppgift, motsvarande 3,8 % av uppgifterna, att eleverna skulle ställa upp ekvationer och att uppgiften var verklighetsförankrad. Av de 26 uppgifterna var 76,9 % standarduppgifter.
pq-formeln
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Totala antalet uppgifter 45 32 33 30 140 Ekvations- Uppgifter 31 (68,9%) 22 (68,8%) 31 (93,9%) 15 (50,0%) 99 70,7 Textuppgifter 14 (31,1%) 10 (31,3%) 2 (6,1%) 15 (50,0%) 41 29,3 Verklighet 8 (17,8%) 1 (3,1%) 0 (0%) 6 (20,0%) 15 10,7 Skapa egen 11 (24,4%) 1 (3,1%) 0 (0%) 3 (10,0%) 15 10,7 Verklighet & Skapa egen 5 (11,1%) 0 (0%) 0 (0%) 1 (3,3%) 6 4,3 Standard-uppgifter 31 (68,9%) 30 (93,8%) 33 (100%) 22 (73,3%) 116 82,9 Tabell 8: Sammanställning över de uppgifter där lösningsmetoden pq-formeln ska tillämpas.
I tabell 8 framgår att i 140 uppgifter skulle lösningsmetoden pq-formeln tillämpas. Av dessa uppgifter var 70,7 % ekvationsuppgifter och 29,3 % textuppgifter. Andelen av uppgifterna som innebar att eleverna skulle ställa upp ekvationer respektive att uppgiften var kopplad till verkligheten var lika stora, nämligen 10,7 %. I 4,3 % av uppgifterna identifierades båda dessa egenskaper, att uppgiften var verklighetsförankrad och att eleven skulle ställa upp ekvationer. Avslutningsvis kodades 82,9 % av uppgifterna som standarduppgifter.
Ospecificerad lösningsmetod
Exponent 2b
Ma 5000 2b M 2b Origo 2b Totalt Procentuell andel av alla uppgifter Totala antalet uppgifter 0 18 8 0 26 Ekvations- Uppgifter 0 0 (0%) 0 (0%) 0 0 0 Textuppgifter 0 18 (100%) 8 (100%) 0 26 100 Verklighet 0 12 (66,7%) 3 (37,5%) 0 15 57,7 Skapa egen 0 7 (38,9%) 4 (50,0%) 0 11 42,3 Verklighet & Skapa egen 0 3 (16,7%) 0 (0%) 0 3 11,5 Standard-uppgifter 0 2 (11,1%) 1 (12,5%) 0 3 11,5 Tabell 9: Sammanställning över de uppgifter där eleven ska välja lösningsmetod.
I tabell 9 ses att 26 uppgifterna identifierades ha en ospecificerad lösningsmetod. Av dessa uppgifter kodades inga som ekvationsuppgifter vilket innebar att 100 % av dessa uppgifter var textuppgifter. Av de kodade uppgifterna var 11,5 % standarduppgifter. I tabellen framgår även att 57,7 % av uppgifterna har en verklighetsanknytning, samt att 42,3 % av uppgifterna innebär att eleverna ska ställa upp ekvationer. Slutligen innebar 11,5 % av uppgifterna att eleverna både skulle ställa upp ekvationer och att uppgiften var verklighetsförankrad.
6 Diskussion
I avsnitt 6.1 diskuteras metoden som användes i denna studie och i avsnitt 6.2 diskuteras resultatet som erhölls. Därefter ges några förslag på vidare forskning i avsnitt 6.3.
Avslutningsvis i avsnitt 6.4 ges några avslutande tankar kring hur resultatet kan användas i en skolkontext.
6.1 Metoddiskussion
Genom att analysera läromedel har studien undersökt hur fördelningen ser ut av olika uppgiftstyper i fyra av de allmänt använda läromedlen i den svenska gymnasieskolan. Metoden som användes var en kvantitativ innehållsanalys av läromedlen, men en inledande tanke var även att utföra intervjuer med lärare som ett komplement till läromedelsanalysen. Dessa intervjuer skulle kretsa kring hur lärare använder läromedlen samt hur de undervisar om andragradsekvationer. Att kombinera dessas två idéer bedömdes dock vara för stort och tidskrävande för denna studie och därför valdes att endast fokusera på läromedelsanalysen i denna studie. Att komplettera läromedelsanalysen med intervjuer hade troligtvis gett ett mer heltäckande resultat över hur läroböckerna påverkar elevers svårigheter med
andragradsekvationer.
På gymnasiet ingår området andragradsekvationer i flera kurser och flera olika läromedel hade kunnat väljas som underlag för denna studie. Troligtvis ser dessa böcker olika ut beroende på vilken matematikkurs de behandlar och till vilka gymnasieprogram de riktar sig till. Hade andra böcker studerats hade således resultatet troligtvis blivit annorlunda. Dock anser författarna till denna studie att de fyra böcker som valdes ger en bra representation av de läromedel som används i Sverige på gymnasieskolor idag, dock baseras detta endast på författarnas egna erfarenheter. För att inte göra studien för stor och för att öka tydligheten i resultaten ansågs det nödvändigt att avgränsa studien till en av gymnasiets matematikkurser, vilket gjorde att kursen Matematik 2b valdes. Troligtvis hade ett annat resultat erhållits om en annan kurs studerats eller om samtliga kurser studerats som behandlar området
andragradsekvationer. Utifrån våra erfarenheter som framtida matematiklärare samt vilka elevgrupper som de olika matematikkurserna riktar sig till bör förekomsten av
kvadratkomplettering skilja sig åt mellan dessa kurser. Framförallt är vår erfarenhet att kvadratkomplettering förekommer i större utsträckning i kursen Matematik 2c, då den är mer avancerad än de andra kurserna och har det största centrala innehållet (Skolverket, 2011).
Hade läromedel till kursen Matematik 2c studerats hade antagligen fler uppgifter som ska lösas med kvadratkomplettering förekommit.
Kodningen som genomfördes i denna studie byggdes på de resultat som framkommit i sammanställningen i tidigare examensarbete kring elevers svårigheter med
andragradsekvationer (Ekström & Emanuelsson, 2019). Ett annat möjligt alternativ är att istället basera kodningen på innehållet i kursplanerna för matematik och därmed undersöka hur väl läromedlen stämmer överens med innehållet i kursplanerna. Detta hade gett
ytterligare insikt i hur läromedlen är uppbyggda och deras styrkor respektive svagheter i förhållande till kursplanerna. Däremot skulle en sådan studie inte undersöka eventuella orsaker till elevers svårigheter med andragradsekvationer, vilket är denna studies syfte. Med anledningen av detta valdes därför att utgå från det resultat som Ekström och Emanuelsson (2019) kommit fram till i sin sammanställning av forskningsresultat gällande elevers matematiska svårigheter med andragradsekvationer eftersom det ansågs svara bättre mot studiens syfte. En läromedelsanalys med fokus på kursplanerna i matematik är dock en möjlighet om syftet är att undersöka hur väl läroböckerna speglar kursplanerna i matematik.
I kodningen skiljer författarna mellan textuppgifter och ekvationsuppgifter. Dessutom delas textuppgifterna in i tre underkategorier för att ge ökad insikt kring hur de uppgifterna är uppbyggda och därmed bättre kunna koppla dem till de svårigheter som forskningen visade (Ekström & Emanuelsson, 2019). Ekvationsuppgifterna har dock inte delats in i några underkategorier eftersom det bedömdes vara svårt att definiera en entydig tolkning av olika ekvationstyper. Författarna till denna studie är medvetna om att olika ekvationer kan ha olika svårighetsgrad och ställa olika krav på eleven. Forskningen tyder exempelvis på att
ekvationer som inte är skrivna på standardform är svårare för eleverna än ekvationer som inte är skrivna på standardform (Ekström & Emanuelsson, 2019). Att det inte gjorts en
särskiljning mellan olika ekvationer är således en begränsning i denna studie eftersom dessa svårigheter inte kan undersökas närmare. Således kan direkt en del av de svårigheter som presenteras i Ekström och Emanuelsson (2019) inte studeras närmare, vilket gör att denna studie inte kan studera hur samtliga svårigheter som gymnasieelever har med
andragradsekvationer förhåller sig till uppgiftsfördelningen i de studerade läromedlen.
I samband med analysen av läromedlen gjordes ett urval kring vilka uppgifter som skulle räknas med. Det valdes att ej inkludera uppgifter under avsnitten Blandade uppgifter i de olika läromedlen eftersom vår erfarenhet som lärare är att dessa avsnitt inte brukar anges som
uppgifter som eleverna ska räkna på lektionstid. Författarna till de läromedlen som studeras kan dock ha haft en annan tanke vilket gör att analysen av de olika läromedlen eventuellt visar på en annan fördelning av uppgiftstyper än vad författarna avsåg att läromedlet skulle innehålla. Det är även möjligt att vissa lärare brukar använda sig av dessa uppgifter i sin undervisning. Utöver denna avgränsning gjordes även avgränsningen att endast studera uppgifter som är i direkt anslutning till området andragradsekvationer, men det är rimligt att anta att även uppgifter från andra områden i matematiken kan bidra till att öka elevernas förståelse av andragradsekvationer. Dessutom valdes det i samband med analysen att inte räkna med ett antal av uppgifterna ur varje bok som finns under de studerade avsnitten utifrån en bedömning att de inte behandlar relevant matematik för studiens syfte. Dessa
avgränsningar har eventuellt påverkat resultatet men ansågs nödvändiga utifrån författarnas erfarenhet för att säkerhetsställa att uppgifterna motsvarar innehållet som behandlas i undervisningen.
En av de svårigheter som framkommit i tidigare forskning är att elever har svårt att välja den mest lämpliga lösningsmetoden till en andragradsekvation (Ekström & Emanuelsson, 2019). Av den anledningen var det naturligt att koda de uppgifter där eleven skulle välja
lösningsmetod. Något som är värt att fundera kring är om de uppgifter som angetts som “ospecificerad lösningsmetod” i resultatet verkligen innebär att eleven får välja
lösningsmetod själv. De 26 uppgifter, se tabell 9, där lösningsmetoden är ospecificerad förekommer uteslutande i de avsnitt som handlar om tillämpningar i två av böckerna,
Matematik M 2b (Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012) samt Ma 5000 kurs 2b Grön lärobok (Alfredsson et al., 2012). I Matematik M 2b förekommer sex uppgifter som ska lösas
med kvadratkomplettering och i Ma 5000 kurs 2b Grön lärobok förekommer inte en enda uppgift som ska lösas med kvadratkomplettering, se tabell 7. Detta får konsekvensen att pq-formeln får en klar prioritering i båda dessa böcker för lösning av fullständiga
andragradsekvationer. När en fullständig andragradsekvation förekommer i avsnittet om tillämpningar blir lösningsmetoden därför i praktiken inte valfri för eleven eftersom eleven troligtvis endast är trygg med att använda pq-formeln för att lösa en fullständig
andragradsekvation. Eleverna kan såklart lösa dessa uppgifter med kvadratkomplettering om de har läroboken Matematik M 2b eftersom det i den boken finns sex uppgifter som behandlar den lösningsmetoden. Dock finns det 33 (se tabell 8) uppgifter i Matematik M 2b som ska lösas med pq-formeln, vilket således är en klar övervikt för pq-formeln. Detta gör det betydligt troligare att elever lär sig den lösningsmetoden jämfört med kvadratkomplettering.
Således är det problematiskt att ange dessa uppgifter som uppgifter med en ospecificerad lösningsmetod.
Avslutningsvis bör det noteras att ett läromedel består av fler delar än endast
övningsuppgifter, bland annat teorigenomgångar och exempeluppgifter. Detta gör att lärares och elevers upplevelse samt bild av ett läromedel även påverkas av dessa delar och inte bara av de olika övningsuppgifterna som analyserats i denna studie. Dessa delar av böckerna kräver dock ett annat sätt att analysera materialet än metoden som tillämpades i denna studie. Med anledning av detta har inte övriga delar utöver uppgifterna i de olika läroböckerna analyserats i denna studie. Det är dock möjligt att dessa delar skulle komplettera uppgifterna som studerats i respektive läromedel och ge en något mer heltäckande bild av området.
6.2 Resultatdiskussion
I resultatet framkom tydliga skillnader mellan de olika läroböckerna, dessa analyserades inte noggrannare eftersom syftet med denna studie inte är att komma fram till vilken lärobok som är den mest lämpliga att använda i kursen Matematik 2b. Resultatet beskriver hur
fördelningen ser ut i alla böckerna tillsammans vilket gör att eventuella avvikelser mellan böckerna synliggörs mindre. Våra avgränsningar och urvalet som gjorts i böckerna gällande vilka avsnitt som skulle kodas har även de påverkat resultat. Detta främst beroende på att de olika läromedlen behandlar innehållet i kursen Matematik 2b på olika sätt. Exempelvis innebar detta att avsnitten om kvadreringsreglerna och konjugatregeln inte räknades med i
Ma 5000 kurs 2b grön lärobok samt i Matematik M 2b, men dessa avsnitt inkluderades i de
andra läromedlen. Detta påverkade resultatet bland annat genom att påverka antalet uppgifter som kodats ur respektive läromedel. Noterbart är att antalet kodade uppgifter är lägst för Ma
5000 kurs 2b grön lärobok och Matematik M 2b, se tabell 3 och 4, vilket kan bero på att
avsnitten om kvadreringsreglerna och konjugatregeln inte inkluderades i dessa läromedel. Om avsnitten om kvadreringsreglerna och konjugatregeln hade inkluderats i samtliga läromedel hade resultatet således blivit annorlunda.
Undersökningen visar enligt tabell 3 att 77,9 % av uppgifterna i läromedlen är av standardkaraktär. I samma tabell framgår även att av samtliga uppgifter var 8,7 % verklighetsförankrade och 16,8 % av uppgifterna innebar att eleverna ska ställa upp ekvationer. Dessutom framkom att av de kodade uppgifterna innebar endast 3,4 % av uppgifterna att eleven både skulle ställa upp en ekvation och att uppgiften var
standardkaraktär jämfört med uppgifter som är av annan karaktär. En möjlig konsekvens av detta är att eleverna riskerar att uppfatta området andragradsekvationer som endast
standarduppgifter, alltså uppgifter som innebär att endast en beräkning ska utföras. Här ses en likhet med en av svårigheterna som beskrivs i K2, nämligen att eleverna tenderar att uppfatta andragradsekvationer som symboler, formler och beräkningar som ska utföras. I tabell 3 ses även att av de kodade uppgifterna var 32,2 % textuppgifter, vilket innebär att var tredje uppgift är en textuppgift men hur detta förhåller sig till elevers svårigheter med att lösa textuppgifter är svårt att utifrån studiens resultat säga något om. Av de kodade uppgifterna var som sagt 77,9 % standarduppgifter, se tabell 3. De resterande uppgifterna, 22,1 %, innebär att eleverna ska tolka och lösa textuppgifter. En av svårigheterna som framkom i K2 innebar att eleverna har svårt med att tolka textuppgifter. Utifrån denna studies resultat är det svårt att se något samband. Eleverna ges möjlighet att öva på deras förmåga att tolka
textuppgifter men huruvida detta resulterar i att eleverna lär sig de nödvändiga kunskaperna går inte att säga något om.
I tabell 4 ses att av samtliga uppgifter skulle lösningsmetoden kvadratroten tillämpas i 26,0 %, faktorisering i 29,9 %, kvadratkomplettering i 6,0 %, pq-formeln i 32,2 % och i 6,0 % av uppgifterna var lösningsmetoden ospecificerad. Här framkommer tydligt att lösningsmetoden kvadratkomplettering får väldigt lite utrymme i läromedlen vilket minskar sannolikheten att eleverna ska behärska metoden. I två av böckerna förekommer dessutom
kvadratkomplettering inte överhuvudtaget vilket innebär att vissa elever eventuellt inte kommer i kontakt med metoden alls. Eftersom en lösningsmetod får begränsat med utrymme jämfört med de andra samt att endast 6,0 % av uppgifterna innebär att eleverna själva ska välja lösningsmetod är det troligt att eleverna får svårt att välja den mest lämpliga
lösningsmetoden till varje uppgift, vilket var en av svårigheterna i K3. I kursplanen för Matematik 2b (Skolverket, 2011) framgår att eleverna ska lära sig algebraiska
lösningsmetoder för andragradsekvationer. Lösningsmetoden kvadratkomplettering står inte explicit i kursplanen vilket kan tolkas som att elever inte behöver lära sig
kvadratkomplettering. Det är således möjligt att den låga andelen uppgifter som ska lösas med kvadratkomplettering inte är ett problem i förhållande till kursplanen.
Som redan framkommit så skulle 6,0 % av de kodade uppgifterna lösas med hjälp av
kvadratkomplettering och dessa uppgifter förekommer endast i två av böckerna. På grund av det begränsade underlaget är det svårt att utifrån de analyserade läroböckerna uttala sig om
hur elevernas svårigheter med kvadratkomplettering som lösningsmetod, K4, och läroböckernas innehåll förhåller sig till varandra.
Av de kodade uppgifterna skulle 29,9 % lösas med hjälp av faktorisering, se tabell 4. Lösningsmetoden faktorisering ges i princip samma utrymme som flera andra
lösningsmetoder. En av svårigheterna med faktorisering är att elever inte vet när faktorisering var en möjlig lösningsmetod, se K5. Eftersom faktorisering har ett betydande utrymme i läromedlen är det rimligt att eleverna bör ges möjlighet att få förståelse för när faktorisering är en möjlig lösningsmetod. Således ses här ingen koppling mellan elevernas svårighet med att veta när faktorisering är en möjlig lösningsmetod och innehållet i läromedlen. De övriga svårigheterna som forskningen visat på gällande faktorisering, se K5, är svårigheter som metoden i denna studie inte har möjlighet att undersöka.
Elevers svårigheter med kvadratrotsmetoden, K6, innebär att eleverna glömmer en lösning och inte förstår varför det kan bli två lösningar. De svårigheter som forskningen beskriver att elever har med att använda pq-formeln och som ryms i K7 är bland annat att elever har svårt att komma ihåg formeln samt att elever har svårt att veta när de får tillämpa den.
Svårigheterna i K6 och K7 som nämns ovan är svåra att studera enbart genom att undersöka hur fördelningen ser ut av olika uppgiftstyper. Om en annan metod hade tillämpats är det möjligt att studien hade kunnat undersöka hur innehållet i läromedlen förhåller sig till dessa svårigheter.
Resultatet visar på en tydlig skillnad i fördelningen av olika uppgiftstyper sett över de analyserade läromedlen. Främst syns en tydlig skillnad på uppgifter som behandlar
kvadratkomplettering jämfört med de andra lösningsmetoderna, vilket gör att eleverna i vissa läromedel inte kommer i kontakt med kvadratkomplettering överhuvudtaget. Detta gör att eleverna endast lär sig en lösningsmetod för att lösa fullständiga andragradsekvationer, nämligen pq-formeln. Eftersom pq-formeln är ett resultat som erhålls av
kvadratkomplettering riskerar bristen på kvadratkomplettering i läromedlen medföra att pq-formeln uppfattas som endast en formel som ska memoreras och tillämpas. Detta stödjer ännu mer resultaten i K2 gällande elevers bristande förståelse för andragradsekvationer och
speciellt deras svårighet att se andragradsekvationer i ett sammanhang och som något mer än en formel eller en beräkning som ska utföras. Ett ytterligare problem med att elever inte får lära sig kvadratkomplettering är att när eleverna ska lösa en fullständig andragradsekvation som har en ospecificerad lösningsmetod blir det i praktiken så att hen måste använda
pq-formeln för att det är den enda lösningsmetod som eleven känner till. Detta medför att flera av de uppgifter som kodats som en ospecificerad lösningsmetod egentligen endast har en möjlig lösningsmetod. Detta stärker ytterligare sambandet som ses mellan läromedlens innehåll och svårigheter som elever har med att välja en lämplig lösningsmetod enligt K3, eftersom andelen uppgifter som har en ospecificerad lösningsmetod i själva verket är mindre än 6,0 % som kodningen visade. En konsekvens av detta blir dessutom att pq-formeln får ännu mer utrymme i läromedlen än vad resultaten visar.
Utgångspunkten för denna studie är hämtad i sammanställningen utifrån forskningen av elevers svårigheter med andragradsekvationer. I sammanställningen ingår nio olika studier, av dessa studier är två utförda i Sverige och resten utomlands (Ekström & Emanuelsson, 2019). Något som är värt att fundera kring är om de svårigheter som elever visar i andra delar av världen även existerar hos svenska elever. Ett exempel är svårigheterna i samband med faktorisering eftersom dessa svårigheter är hämtade från två olika studier utförda i Turkiet (Didis et al., 2011; Didis & Erbas, 2015). Det finns inget som garanterar att de svårigheter som finns hos elever i Turkiet eller i andra länder även finns hos svenska gymnasieelever vilket skapar osäkerhet i studiens resultat. Med anledning av detta blir det således svårt att koppla samtliga svårigheter till hur innehållet ser ut i svenska läromedel i matematik.
I resultatet, enligt tabell 3, framkom att det var 8,7 % av uppgifterna som var
verklighetsförankrade och i 16,8 % av uppgifterna skulle eleverna ställa upp ekvationer. Dessa uppgifter förekommer oftast i slutet av varje avsnitt (Alfredsson et al., 2012; Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012; Szabo et al., 2012; Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012) vilket troligtvis får konsekvensen att en del elever inte kommer till de uppgifterna. Detta stämmer även med våra erfarenheter från gymnasieskolan som
lärarstudenter men också från vår egen gymnasietid. Detta stärker således bilden de svagare eleverna kommer få av andragradsekvationer som endast formler, symboler och beräkningar som ska genomföras utan någon koppling till verkligheten, vilket bekräftar
forskningsresultaten i Ekström och Emanuelssons (2019) sammanställning. I början av varje avsnitt är det en tydlig övervikt av ekvationsuppgifter för att därefter bli mer och mer
textuppgifter (Alfredsson et al., 2012; Holmström, Smedhamre & Sjunnesson, 2012; Szabo et al., 2012; Gennow, Gustafsson & Silborn, 2012). Dessa uppgifter har olika karaktär och ger därmed eleverna möjlighet att träna på olika matematiska färdigheter. Om en elev endast gör de inledande uppgifterna kommer hen därmed kanske inte stöta på textuppgifterna och därför eventuellt inte lära sig alla olika matematiska färdigheter. Utifrån Skolverket (2011) ska
