Lecture_4_Introduction_Geometri_i_planet_Polynom.pdf: MVE605 Inledande matematik

Föreläsning 4 i Intromatematik för Automation och

mekatronik/Teknisk design. Analytisk geometri i

planet. Polynom.

1

Kartesiska koordinatsystem i planet.

René Descartes

Koordinatsystemet infördes av den franske …losofen och matematikern René Descartes (1596 –1650), vars namn latiniseras som Renatus Cartesius.

Ett kartesiskt koordinatsystem, är ett koordinatsystem som i planet består av en x-axel (horisontell) och en y-axel (vertikal) som skär varandra i rät vinkel. Skärn-ingspunkten kallas origo.

Genom gradering av axlarna med en enhetslängd de…nieras ett rutnät.

1.1

Koordinater av punkter

Koordinaterna för en viss punkt är tal som anger avståndet från origo till punktens vinkelräta projektion på respektive axel. I det tvådimensionella fallet anges först x-koordinaten och sedan y-koordinaten.

2

Avståndet mellan punkter i planet med hjälp

av koordinater.

Det följer från Pythagorsatsen och geometriska egenskaper hos kartesiska koor-dinater:

3

Räta linjens ekvationer

m = tan( ) = y1 y2 x1 x2

= y x x = x1 x2; y = y1 y2

Delta är en grekisk bokstav istället för d. är en grekisk bokstav och uttalas "alpha".

Den formeln medför direkt en ekvation för en rät linje som går genom punkt P2

och har vinkelkoe¢ cient m(!!!)

Adams använder den beteckning i sin bok. Det är bra om vi gör samma.

m = tan( ) = y1 y2 x1 x2

y y2 = m (x x2)

Parallella och ortogonala linjer.

Parallella räta linjer i planet har samma vinkelkoe¢ cient (lutning).

Det är lite mindre tydligt att om två linjer har lutning m1 och m2 och dessa linjer

utgör vinkeln 90 grader (är orthogonala eller vinkelräta mot varandra), så gäller det att

m2 =

1 m1

A Bx + B By + C B = 0 y = A B x C B där m = A_B

Exempel. Betrakta ekvationen

( 2) x + 3y + 11 = 0

Ange ekvationen med vinkelkoe¢ cient för motsvarande linjen.

( 2=3) x + y + (11=3) = 0

y = (2=3)x (11=3) tan( ) = (2=3)i det fallet. Vinkeln = arctan(2=3).

Interceptformen för ekvationen till en rät linje.

Vi förutsäger här att linjen inte går genom origo (punkten (0; 0)) här, d.v.s C 6= 0

Ax + By + C = 0 Ax + By = C A C x + B C y = 1 Låt a = C A ; b = C B x a + y b = 1

Observera att punkterna (a; 0) och (0; b) ligger på linjen. De uppfyller ekvatio-nen. Dessa två punkter ligger på koordinataxlarna x och y !!!!! Talen a och b är punkter på x och y axlar där linjen skär dessa axlar.

Normalformen för en rät linje

x cos( ) + y sin( ) = d cos2( ) + sin2( ) = 1

där avståndet mellan räta linjen och origo. Vinkeln är vinkeln mellan x axeln och sträckan mellan origo och linjen som är vinkelrät mot linjen.

y y1 =

y1 y2

x1 x2

(x x1)

Vi har bara samlat här formeln med vinkelkoe¢ cienten y y1 = m (x x1)

med formeln för lutningen, eller vinkelkoe¢ cienten

m = tan( ) = y1 y2 x1 x2

4

Polynom. Rötter till polynom och

polynoms-faktorisering.

Polynom är en funktion P som beräknas enligt formeln:

P (x) = anxn+ an 1xn 1+ ::: + a2x2+ a1x + a0

där n är naturligt tal och an, an 1, ..., a2; a1; a0 är reella tal som kallas koe¢

-cienter av polynomet.

5

Division av polynom

Man får betrakta rationella funktioner på formen: P (x)_Q(x) där P och Q är två polynom. Om P har högre grad än Q så är det möjligt att dividera P med Q på samma sätt som vanliga decimala tal. Man kan då framställa P (x)_Q(x) som summan av ett polynom och en residual som är en enklare rationell funktion.

Exempel

Dividera ett polynom med ett lägregradspolynom. 2x3 3x2 + 3x + 4 x2_{+ 1} Metod 1. Lång stoldividering 2x 3 (x2_{+ 1) 2x}3 _3x2_{+ 3x + 4} 2x3_{+ :::::: + 2x} ::::: 3x2+ x + 4 ::::: 3x2_{::::: 3} :::::::::::::x + 7 2x3 _3x2_{+ 3x + 4} x2 _{+ 1} = 2x 3 + x + 7 x2_{+ 1}

Addera lägre grads termer till täljaren så att första termer i så att nämnaren ( (x2_{+1)i exemplet) skulle kunna faktoriseras från första termer i täljaren. Subtrahera}

sedan adderade termer för att hålla balans.

2x3 3x2+ 3x + 4 = z2x3+ 2x}|_|{z}{z3x}|2 3{

|{z}+3x + 4|{z}2x+ 3|{z} = z2x(x}|2+ 1){ z }| {3(x2+ 1) +x + 7

Den beräkningen medför att

2x3 _3x2_{+ 3x + 4}

x2 _{+ 1} = 2x 3 +

x + 7 x2_{+ 1}

6

Rötter till polynom.

Et tal x är en rot till ett polynom P i fall P (x) = 0:

Algebranshuvudsats påstår att varje polynom har åtminstone en rot (kanske som komplext tal).

7

Faktorsatsen.

Talet r är en rot till polynom P (x) av grad n 1; om och endast om (x r) är en faktor i P (x)

Det bevisas genom dividering: P (x)

(x r) = Q(x) + c (x r)

där resterande polynom Q har grad n 1. Vi observerar då att

P (x) = (x r)Q(x) + c

och att P (r) = 0 om och endast om c = 0: I det fallet är P (x) = (x r)Q(x):

8

Olika speciella metoder att faktoprisera ett

poly-nom

(a) hitta en gemensam faktor: ax2+ bx = x(ax + b)

(b) andragradskonjugatregeln: x2 _a2 _{= (x a)(x + a)}

(c) tredjegradskonjugatregeln: x3 _a3 _{= (x a)(x}2_{+ ax + a}2₎

(d) allmänna konjugatregeln: (e) trinomial faktorisering:

x2+ (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) x2 (p + q)x + pq = (x p)(x q) Man ibland gissa rötter.

Exempel 4

P (x) = x2 5x + 6

p = 3; q = 2; pq = 6; p + q = 5 x2 5x + 6 = (x 3)(x 2)

Exempel 5 (a) Bestäm rötter till följande polynom. x3 x2 4x + 4 = x2 (x 1) 4 (x 1) a(b + c) = ba + ca : distributiva_lagen = (x 1)(x2 4) = (x 1)(x2 22) = (x 1)(x 2)(x + 2) x3 x2 4x + 4 (x 1) = (x 2 ₄₎

Exempel (b) Bestäm rötter till följande polynom: x4 + 3x2 4

är trinomial med avseende på x2 _:

x4+ 3x2 4

= (x2+ 4)(x2 + ( 1)) = (x 1)(x + 1)(x2+ 4)

komplexa tal:::::