Situationer av kunnande i matematik och deras potential att utgöra ett stöd för elevers lärande

Malmö högskola

Lärarutbildningen

NMS

Examensarbete

10 poäng

Situationer av kunnande i matematik och deras

potential att utgöra ett stöd för elevers lärande

– en fallstudie av elevers och deras matematiklärares uppfattningar

om bedömning i skolår sex

Situations of knowledge in mathematics, and their potential for

being supportive in learning for pupils – a case study on points of

views from pupils and their teacher concerning assessment in

school year six

Anna Klingberg

Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2005

Examinator: Per Jönsson Handledare: Anders Jönsson

Sammanfattning

Syftet med denna studie är att analysera situationer av kunnande i matematik utifrån en specifik undervisningskontext med stora drag av aktiv inlärning. Den är upplagd som en fallstudie och genom observation av klassrumsmiljön samt genom intervjuer av

matematikläraren och sju elever i skolår sex analyseras i vilken mån den undervisning som bedrivs kan utnyttjas vid en bedömning som stärker elevernas lärande.

Huvudresultatet av studien pekar på att den undervisningskontext som utmärker detta fall, där bedömning till stora delar görs utifrån intuition, inte ger eleverna möjligheten att visa läraren vad de kan, utan snarare vad de inte kan utifrån elevens synvinkel. När prov infördes blev bedömningen mer strukturerad och eleverna fick större möjligheter att visa vad de kan i matematik. Studien visar på nödvändigheten av fortsatt forskning om vad läraren lokalt behöver för att kunna föra en undervisning baserad på aktiva elever som själva får sätta sina mål.

Nyckelord: aktiv inlärning, bedömning, matematikundervisning, metakognition, självbedömning

Innehåll

Sammanfattning 3

Bakgrund 7

Teoretisk bakgrund 9

Kursplaner och styrdokument 9

Metakognition 10

Arbetsmetoder i skolan som tränar och förutsätter en hög användning av de

metakognitiva kvaliteterna 12

Bedömning - en potentiell faktor för att stärka elevens lärande 16 Tidigare studier med utgångspunkt från elevperspektiv vid bedömning

i matematik 18

Syfte och frågeställningar 20

Metod 21

Val av metod 21

För- och nackdelar med fallstudiemetoden 21

Val av design 22 Observation 22 Lärarintervju 23 Elevintervjuer 24 Etiska principer 26 Urval 26 Analysmetod 27 Studiens reliabilitet 28 Studiens validitet 28 Studiens generaliserbarhet 29 Resultat 29 Kontextbeskrivning 29 Observationsresultat 30

Lärarintervjun – ett porträtt 33

Elevintervjuerna 38

Elevernas självvärderingar av matematiska förmåga 38 Elevernas uppfattningar om situationer av kunnande i matematik 40 Elevernas uppfattningar om matematik och om bedömning i matematik 43

Diskussion och slutsatser 44

Undervisningskontexten 44

Lärarens bedömning och dess potential att utgöra ett stöd för elevernas lärande 47 Elevernas möjligheter att använda självbedömning för att stödja lärande 50

Eleverna uppfattningar om bedömningssituationerna 53

Elevernas uppfattningar relativt deras självbedömningar 54

Brister och felkällor i den genomförda undersökningen 55

Avslutande reflektioner och förslag på framtida forskning 55

Referenser 57

Bilaga 1: Missiv till föräldrar i klass 6X

Bilaga 2: Tabell 4. Eleven arbetar ensam i matematikboken

Bilaga 3: Tabell 5. Eleven arbetar tillsammans med andra i matematikboken Bilaga 4: Tabell 6-8. Eleven ”pratar matte” med andra, eleven sitter med på en genomgång respektive eleven har prov

Bilaga 5: Tabell 9. Eleven har matematik utomhus i MaNO eller Ma

Bakgrund

Bedömning inom matematik är ett ämne som kommer upp till debatt närhelst svenska elever deltar i internationella studier som mäter kunskap. Just nu pågår en debatt huruvida betyg ska införas redan i årskurs tre för att säkerställa landets kunskapsnivå och denna debatt förs företrädesvis av våra politiker. Betygen görs till garant för att säkerställa kvaliteter i skolan. Debatten som förs är förenklad och tar inte hänsyn till det faktum att betyg är ett aggregerat mått på uppmätt kunskap, som måste sättas i relation till vad man mäter. Betyget i sig är därför ett trubbigt instrument som inte utan en direkt kommunikation mellan elev och lärare säger eleven någonting om var den befinner sig i sin lärandeprocess. På detta sätt kan man säga att betygen är tillbakablickande och har en funktion att summera vad eleven hittills lärt sig.

I skolans styrdokument uttrycker regeringen sina kvalitetsaspekter på bedömning. Elevens förmåga att själv bedöma sina resultat och att kunna relatera dessa till den egna arbetsprestationen betonas. Därför är det vid sidan av de bedömningsmetoder som har en summerande funktion, ett stort behov av att ta fram nya bedömningsinstrument som kan svara upp mot målet att lära eleven lära. Tyvärr verkar det som om denna

utveckling går långsamt. När skolverket under 2001-2002 lät granska skolornas

matematikundervisning i rapporten ”Lusten att lära med fokus på matematik” visade det sig att provkulturen fortfarande dominerade klassrumspraktiken:

”Att den uttalade provkulturen inom matematikundervisningen, både till form och innehåll, påverkar elevernas syn på kunskap och lärande i mycket hög grad är uppenbart. Det som kommer på provet är också det som är värt att lära sig och ägna uppmärksamhet åt. Detta var uppenbart vid granskningen, är väl belagt i forskning och är närmast ett trivialt påstående. Det är därför angeläget att utforma fler och vidare former för utvärdering som lyfter fram olika kvalitéer i elevers lärande” (Skolverket 2003:34).

På uppdrag av Nordiska rådet startades 1999 ett projekt under arbetsnamnet Nordlab. Det hade som syfte att stimulera nya undervisningformer. I Norge hade man redan varit igång med ett arbete inom ett OECD-projekt med titeln ”Vurdering som bindeledd mellom undervisning og laering”. Erfarenheterna från det projektet som genomfördes i

fem skolor i årskurs 8-10 under 1993 till 1996 i Norge blev goda. Systematisk träning i självbedömning visades ha positiv effekt på elevernas inlärning, men man såg också att det var en lång och krävande process att träna elever till att inse nyttan av

självbedömning, och att denna därför bör påbörjas i tidigare årskurser. Därför ville man från norsk sida arbeta vidare med de idéer som OECD-projektet gett upphov till, när Nordlab projektet startade. Nu engagerades ett antal skolor så att alla årskurser från förskoleklass ända upp till lärarutbildningen i Norge, skulle täckas. Sammanlagt deltog nio skolor och 21 lärare i projektet som varade från 2000 till 2002. Projektets syfte var att göra matematikämnet mer meningsfullt och nyttigt för alla elever och studenter. Därför lade de involverade lärarna vikt vid att aktivera eleverna genom att försöka göra ämnet meningsfullt och verklighetsbaserat och bedömning användes som medel för att motivera eleverna till att öka sina ansträngningar. Självbedömning knöts till de flesta aktiviteterna och på det sättet fick eleverna insikt i hur de utvecklade sig i ämnet (Utdanningsdirektoratet 2005).

Varför dröjer då utvecklingen av bedömningsformer som kan hjälpa eleverna att utveckla kunskap om sitt eget lärande i matematik, från Nordlab projektet finns det en uppsjö av erfarenheter att ta del av? Bedömningens praktik hänger tätt ihop med den undervisning som bedrivs. Denna är i sin tur en spegling av den specifika lärarens syn på kunskap och lärande, samt av hur läraren lokalt tillsammans med skolans personal och elever har tolkat de nationella styrdokumenten. Här har tidigare studier visat att skolorna främst har inriktat sina lokala styrdokument efter mål att uppnå i kursplanerna. Dessa mål formulerades dock med avsikten att användas som indikatorer på kunnande. Målen som ska avspegla kunskapskvaliteterna i undervisningen och som står under mål att sträva mot har inte synliggjorts i de lokala målstyrningsdokumenten (Carlgren 2002).

För att kunna studera hur bedömning bedrivs måste man därför utgå från det lokala perspektivet. Som en avgränsning inom ramen för ett examensarbete väljer jag att studera bedömning inom matematik utifrån elevens infallsvinkel. För att kunna värdera och relatera en studie utifrån elevperspektiv, måste denna dock sättas i sitt sammanhang.

Teoretisk bakgrund

Kursplaner och styrdokument

Skolans verksamhet styrs av läroplanerna tillsammans med skollagen. Läroplanerna fastställs av regeringen och skollagen av riksdagen. I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet (Lpo 94) klarläggs skolans värdegrund och uppdrag samt mål och riktlinjer. Målen för respektive ämne eller ämnesblock uttrycks i kursplaner. I både Lpo 94 samt i kursplanerna formuleras målen under två skilda rubriker:

• Mål att sträva mot - anger inriktningen på skolans arbete dvs en önskad kvalitetsutveckling i skolan

• Mål att uppnå – anger vad eleverna minst skall ha uppnått när de lämnar skolan I Lpo 94 under avsnitt 2.7 Bedömning och betyg, framgår vilken kvalitet skolan åläggs att sträva mot i sitt bedömningsarbete. ”Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar ett allt större ansvar för sina studier” samt att ”…varje elev utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat och ställa egen och andras bedömning i relation till de egna arbetsprestationerna och förutsättningarna”.

I kursplanen i matematik framgår under avsnittet bedömningens inriktning, vilka kunskapskvaliteter som ska bedömas. Avsnittet är skrivet så att det speglar målen i kursplanen under mål att sträva mot. Dessa är skrivna för att utgöra det främsta underlaget för läraren vid sin planering av undervisning. På så sätt säkerställs att den planerade undervisningen kan utvärderas. Bedömningens inriktning är specificerad under tre rubriker:

• Förmågan att använda, utveckla och uttrycka kunskaper i matematik Under denna rubrik betonas förmågan att använda och utveckla

matematikkunskaper för att kunna tolka och hantera situationer i skola och samhälle och förmågan att uttrycka sina tankar muntligt och skriftligt

• Förmågan att följa, förstå och pröva matematiska resonemang

Under denna rubrik tas förmågan att kunna använda information upp, att kunna lyssna följa och pröva andras argument och att kritiskt ta ställning till

matematiskt grundade beskrivningar.

• Förmågan att reflektera över matematikens betydelse för kultur- och samhällsliv Här tas förmågan att inse matematikens värden och begränsningar som verktyg

upp liksom kunskaper om matematikens betydelse historiskt.

Metakognition

Styrdokumentens betoning på elevens aktiva roll som inlärare och på att eleven ska utveckla förmåga att själv bedöma sina resultat, handlar om att eleven utvecklar sin metakognitiva förmåga. Men vad är då metakognition?

Metakognition handlar om den kunskap individen har om sin kunskap och om sig själv och andra som kunskapshanterare samt om individens förmåga att tillämpa dessa kunskaper (Allwood & Jonsson 1999).

Vilka skäl finns det för att utveckla den metakognitiva förmågan i skolan? Man har kunnat påvisa att elever som utvärderar sin egen kunskapshantering förbättrat sitt inlärningsresultat. När elever utvärderar sitt lärande ökar deras kunskap om den egna mentala processen. Om man vänder på det skulle man också kunna uttrycka det annorlunda. För att en självstyrd inlärning med god kvalitet skall kunna äga rum krävs det att eleven är medveten om och kan utnyttja sin metakognitiva förmåga. Elever som inte byggt upp denna medvetenhet har i studier visats ha problem med att disponera sina resurser i form av tid utifrån olika uppgifters svårighetsgrad. Genom att eleven

medvetandegörs om och kan utnyttja sin metakognitiva förmåga får den lättare att välja ut relevant information, välja inlärningsstrategi och att kunna bedöma när ett material är inlärt (Allwood & Jonsson 1999).

Utvecklandet av den metakognitiva förmågan sker inte automatiskt. Därför bör elever göras medvetna om den egna metakognitiva förmågan, uppmuntras att utnyttja den egna metakognitiva förmågan vid inlärning samt ges tydliga återkopplingar på realismen i de

egna metakognitiva bedömningarna. Genom att ge återkopplingar på och testa de metakognitiva färdigheterna hos elever, kommer elevernas inlärningsprocess att styras mot en ökad uppmärksamhet mot de metakognitiva aspekterna av det egna lärandet (a.a.).

De processer som har betydelse för bedömning av inlärning och prestation presenteras nedan i tabell 1 (a.a.).

Tabell 1. Metakognitiva processer med betydelse för bedömning av inlärning och prestation (Allwood & Jonsson 1999).

Bedömningssituation Bedömningen kan syfta till

Vid inlärning:

Kunskapsinhämtning inom ett visst område Kontroll av studiebehov

Svårighet att lära sig Kontroll av tid och fördelning av kognitiva resurser

Om kunskapsnivån har uppnåtts Kontroll av avslutande av studieansträngning Vid erinring:

Kunskapskänsla Kontroll av specifik fördelning av

kognitiva resurser Bedömning av en specifik prestation

(konfidenskänsla) Kontroll av resursfördelning

Bedömning av total prestation (frekvensbedömning)

Kontroll av resursfördelning

Vid inlärning fattar eleven de beslut för att kontrollera sin inlärning som beskrivs i tabell 1. Den första metakognitiva process som tas upp gäller situationen när eleven fattar beslut om vilken kunskap som måste inhämtas relativt ett specifikt område. Här måste eleven bedöma sin egen kunskapsnivå relativt den önskvärda för att kunna avväga vilket studiebehovet är. Vidare tas situationen upp när eleven måste fatta beslut om hur eleven ska fördela tiden och sina kognitiva resurser när hon/han möter svårigheter att lära sig. Den tredje metakognitiva processen som tas upp under inlärning handlar om situationen när eleven måste bedöma om kunskapsnivån uppnåtts. Bland annat har i studier visats att om eleven skjuter upp bedömningen av om ett stoff är tillräckligt inlärt ökar utsikten för att bedömningen är korrekt. Detta förklaras med att kunskapsstoffet som skall bedömas hunnit förflyttas från korttidsminnet till långtidsminnet. I situationen

när eleven senarelägger bedömningen plockas det inlärda materialet fram ur långtidsminnet och elevens möjligheter att på ett rättvisande sätt bedöma det egna kunskapsstoffet ökar. Detta tillvägagångssätt måste påtalas eleven och tränas in så att eleven under några minuter efter kunskapsinhämtandet väljer att rikta sin

uppmärksamhet på något helt annat innan bedömningen sker (a.a.).

Förutom vid inlärningssituationer har en bedömning av de metakognitiva processerna betydelse när ett minnesmaterial ska plockas fram, vid erinran. Under den nedre avdelningen i tabell 1 tas bedömning av denna kompetens upp fördelat på tre specifika situationer. Den första, kunskapskänsla, handlar om elevens känsla av att kunna något även om eleven inte kan få fram det i ögonblicket. Om eleven bedömer sig ha känslan av att kunna innebär det att hon/han kommer att fortsätta sitt framplockningsförsök. Nästa situation handlar om att eleven ska kunna bedöma en specifik prestation. Det innebär att eleven skattar hur säker eleven är på att den framplockade kunskapen är korrekt i förhållande till uppgiften. Upplevd nivå av konfidens påverkar i sin tur om eleven kommer att fortsätta sitt försök att plocka fram kunskapen eller inte. Den sista situationen som tas upp i tabell 1 behandlar elevens bedömning av hur stor del av en helhet som är korrekt. Om eleven som exempel inte bedömer att kunna få godkänt på en tentamen efter att ha gått igenom och löst uppgifterna en gång, väljer eleven kanske att sätta in en extra kraftansträngning i form av tid och kognitiva resurser för att försöka förbättra sina svar (a.a.).

Om en elevs konfidensbedömningar är realistiska betyder det att det finns ett samband mellan elevens bedömning av om ett givet svar är korrekt och det faktiska resultatet. En konfidensbedömning som inte är realistisk kan antingen vara ett utslag av överkonfidens eller underkonfidens. Överkonfidens innebär att individen tror sig ha rätt oftare än vad den faktiskt har. Underkonfidens kallas det när individen presterar bättre än vad den faktiskt tror sig göra. Bristande realism i samband med konfidensbedömningar är ett problem som skolan bör ägna uppmärksamhet åt eftersom forskningen har visat att det finns stor variation mellan individer och mellan innehållsområden vad gäller hur realistiska deltagarna i studierna är i sina konfidensbedömningar (Allwood & Jonsson 1999).

Arbetsmetoder i skolan som tränar och förutsätter en hög användning av

de metakognitiva kvaliteterna

Under 1994 inleddes inom OECD ett projekt för att utvärdera klassrum som

praktiserade aktiv inlärning med delsyfte att studera sambanden mellan elever och lärare i dessa miljöer. Aktiv inlärning definieras av Simons (1997) som inlärning som är mer aktiv genom att inläraren själv fattar beslut om vissa aspekter av lärandeprocessen samt att graden av aktivitet har att göra med i vilken utsträckning som inläraren utmanas att använda sin mentala möjlighet medan den lär sig. I studien deltog sammanlagt 28 skolor från åtta länder, däribland Finland och Danmark. Som motiv till studien hänvisades till de krav som framtidens arbetskraft kommer att ställas inför, i en världsekonomi som kännetecknas av allt snabbare rörlighet av information och kapital. Detta i sin tur ställer krav på att grundläggande utbildning fostrar till nyfikenhet och att eleverna får

möjlighet att utveckla förmågan att ta ansvar för sitt lärande (Stern 1997).

Studien genomfördes med utgångspunkt från ett standardiserat observationsprotokoll och de huvudpunkter som observerades var:

• Elevernas involvering i att bestämma mål

• Struktureringen av uppgifter dvs. vad, hur och vem som bestämde • Elevernas tillgång på information

• Arbets- och inlärningsprocessen • Resultatet av arbetet

• Bedömningen av vad man lärt och lärandeprocessen

De kvalitativa resultaten från studien sammanfattas av Huber (1997). I de klassrum som observerades var det sällsynt att eleverna involverades när målen skulle sättas, även om aktiv inlärning praktiserades. Om lärarna frågade eleverna vad de ville lära sig riktade dessa oftare sina frågor direkt till enskilda elever snarare än till grupper av elever. I vissa fall praktiserade lärarna individuell målsättning genom att använda sig av loggböcker och dagböcker där eleverna formulerade sina mål. Uppgifternas strukturering innehöll aldrig några moment som tränade eleverna att uppskatta

tidsåtgång för en avsedd uppgift. Huber (1997) drar slutsatsen att detta troligen beror på att tiden i skolan redan är schemasatt och att den därför uppfattas som förutbestämd. Tankekartor användes flitigt för att aktivera bakgrundskunskap hos eleverna och för att synliggöra deras kunskapsluckor. Elevernas tillgång på information utgjordes i de flesta fallen av material som läraren tillhandahållit. Under genomförandefasen av uppgifterna

använde sig eleverna ofta av begreppskartor för att strukturera lösryckt information. En annan strategi som användes för att stödja genomförandet var att införa ”learning centres”. De kunde utgöras av speciella bord där läraren samlat material för att serva och stödja elevernas självständiga arbete.

Vad gäller studiens resultat med avseende på bedömning kunde inget sammanhängande mönster av utvärderande praktiker som understödjer självbedömning och

självförstärkande färdigheter hos eleverna iakttas. Genom intervjuer av elever kunde iakttas att de använde sig av en mängd olika strategier för att få reda på sin egen kunskaps- och kompetensnivå och dessa inbegrep någon av metoderna att fråga andra eller att jämföra sig med sina klasskamrater. Det man kunde se var dock att elever som var bättre på att självreglera sin inlärning också var bättre på att få feed-back kring sin utveckling om var de skulle lägga sina studieansträngningar. Elever som inte kommit så långt tenderade att förlita sig mer på förhärskande utvärderingsmetoder som gav eleven en mer summativ feed-back kring elevens relativa status. Slutsatsen som dras av detta är att de elever som har problem med att prestera i skolan förmodligen saknar motiv för att utforska sina prestationer i termer av självbedömning (Huber 1997).

Dilemmat som läraren ställs inför och som diskuteras av Huber (1997), är att samtidigt som läraren förväntas stödja lärandet ska den assistera sina elever så att de blir

oberoende av detta stöd. Om läraren reglerar lärandeprocessen, fattas besluten om hur undervisningen ska läggas upp på basis av uppnående faktorer, dvs. hur eleven presterar i form av output. Om däremot eleven ska stödjas till ett oberoende lärande måste läraren grunda sina beslut på input från eleverna och detta utesluter precisa lektionsplaneringar samt förutbestämda krav på elevprestationer från lärarens sida.

Vilka är då dessa inputs som kan tjäna aktiv inlärning? Huber (1997) refererar till Tough (1977) som genomförde en studie där han intervjuade 40 college studenter kring de problem som hade uppkommit under ett studieprojekt. Tough fick fram en lista på aktiviteter som innehöll en potentiell motsättning mellan lärarkontrollerad och självreglerad inlärning. Dessa listas nedan ordnade efter hur ofta de förekom i studieprojektet:

• Beslut om vilka aktiviteter som är nödvändiga för att klara av ett avsett studieprojekt

• Uppskattning av redan uppnådd kunskaps- och kompetensnivå • Hantering av motgångar under lärandeprocessen

• Tillhandahållande av läranderesurser (bibliotek, experter) • Val av mål för lärande

• Beslutsfattande om tidsåtgång för studieprojektet

• Hantering av tvivel kring hur framgångsrika de egna ansträngningarna är • Hantering av ogillande av speciella aktiviteter

• Beslutsfattande om en passande plats för inlärning

• Hantering av olust att lära efter att studieprojektet påbörjats • Beslutsfattande om att fortsätta lära sig eller inte

• Beslutsfattande om hur mycket pengar som ska läggas på studieprojektet

Faktorer som begränsar införandet av en självreglerande inlärning diskuteras också i OECD-rapporten. Alla elever tycker inte om utmaningar och Dolin & Ingerslev (1997) refererar till Huber et al. (1992) som urskiljer två typer av elever med hänsyn till deras vilja att exponera sig för risk. De som är osäkerhetsorienterade är intresserade av att utforska sig själva och gränserna för den egna kapaciteten samt den omgivande miljön. De motiveras av att handskas med kontroversiella frågor och konflikter i

lärandesituationen. För de som är säkerhetsorienterade gäller det omvända. De är inte intresserade av att finna nya inre insikter så länge som en sådan skakar om deras egen uppfattning om sig själva eller deras föreställningar om yttre företeelser. Dessa båda typer av elever motiveras därför av skilda lärandeprocesser och frågeställningar, där de osäkerhetsorienterade föredrar aktiv inlärning medan de säkerhetsorienterade föredrar mer traditionella lärandeprocesser med klart strukturerade situationer och mycket vägledning av läraren.

På liknande sätt kan även lärarna kategoriseras efter deras grad av orientering mot säkerhet och detta kan sättas i samband med många lärares motstånd mot nya undervisningformer eftersom de upplever sig tappa kontrollen över vad som sker i klassrummet. Vad som händer är att läraren, när den observerar att eleverna inte klarar av att hantera inlärningen själva, ofta känner sig tvingad att ingripa och tar över

kontrollen. Genom detta agerande hindras eleverna att utveckla förmågan att själva reglera sin inlärning. Många lärare identifierar sig också i första hand främst som representanter för sitt ämne och i andra hand som professionella kommunikatörer och utbildare. De lär sig mer om hur de ska lära ut sitt ämne och mindre om hur elevens eget

lärande kan underlättas. Slutsatsen som dras av detta är att det krävs en didaktisk anpassning till skillnader mellan individer både för lärare och elever för att främja aktiv själreglerad inlärning (Simons 1997).

Andra faktorer som kan verka hindrande på utvecklingen och som diskuteras är bristen på läromedel som stimulerar eleven att självreglera sin inlärning och att därför läraren själv måste utveckla sitt eget material, vilket tar mycket tid och energi. Skolans organisation kan också utgöra ett hinder. Många skolor är uppbyggda av en samling lärare som arbetar individuellt. För att ändra undervisningens inriktning så att eleverna blir aktiva inlärare krävs det en annan organisation där lärarna samarbetar med

varandra. Skolan måste själv bli en lärande organisation (Simons 1997).

Genom ett nordiskt samarbetsprojekt under arbetsnamnet Nordlab, har i praktiskt klassrumsarbete i Norge metoder för att utveckla elevernas metakognitiva kompetens inom matematikinlärning prövats. I rapporten från Norge är delar av de olika

arbetsmetoderna redovisade. Den gemensamma utgångspunkten för projektet var att få eleven att bli bättre på att reflektera över sitt eget arbete och att bedöma sin egen utveckling. Vidare ville man förbättra elevens förmåga att göra realistiska bedömningar av den egna förmågan och att utveckla elevens självtillit genom att låta eleven själv planera sitt arbete. De arbetsmetoder som användes gick ut på att aktivera eleverna i undervisningen. Uppläggen var ofta verklighetsanknutna och frågeställningarna öppna. Eleverna fick göra egna uppgifter, lägga upp och planera projekt och skriva olika typer av loggböcker. Självbedömning användes i samband med allt detta arbete. Nya

provformer prövades, däribland prov där eleven själv fick välja vilka uppgifter den ville besvara och där eleven fick motivera sina val (Utdanningsdirektoratet 2005).

Bedömning - en potentiell faktor för att stärka elevens lärande

Vad krävs då av en bedömning för att den ska stödja elevens lärande? Bedömning indelas traditionellt i olika kategorier efter när den görs och efter vilket syfte den har. En bedömning som har med utvärdering att göra och som utförs vid arbetets slut benämns summativ. Dess syfte är att summera lärandet och görs vid ett visst tillfälle. Den summativa bedömningen ligger nära begreppet produktbedömning. Om bedömningen syftar till att löpande utvärdera arbetet kategoriseras den som formativ. Den äger ofta

rum i samband med undervisning och används för att forma lärandet. Den formativa bedömningen har beröringar med begreppet processutvärdering. (Lindqvist 2003)

Gipps (1994) som refereras av Lindström (2005) påpekar att det väsentliga för att utreda huruvida en bedömning främjar lärande eller inte, egentligen inte har att göra med när bedömningen sker, utan varför. Om det huvudsakliga syftet under loppet av en kurs är att kontrollera vad en elev lärt sig tillhör bedömningen likväl kategorin summativ bedömning. Om ett prov används så att man ser själva provtillfället som ett tillfälle till lärande, har en sådan bedömning formativa inslag eftersom syftet både är att kontrollera vad en elev lärt sig och att underlätta lärande.

Oavsett om bedömningen kategoriseras som summativ eller formativ har den stor påverkan på elevers lärande. Lindqvist (2003) refererar till Bendz (1998) som pekar på den styrande effekt på lärande och undervisning som prov av summativ karaktär visats ha. Vad skiljer då de båda kategorierna åt beträffande påverkan på lärande? Kan båda sägas påverka lärande, men att enbart den formativa bedömningen främjar lärande? Här hjälper oss Skolverket (2001) att reda ut begreppen. Frågan om att befrämja lärande måste sättas i relation till inom vilken kunskapssyn utvärderingen av lärandet sker. Om man ser kunskap och lärande som samlande av enskilda kunskapselement, kan en summativ bedömning sägas främja lärandet. Om däremot kunskapssynen är den, att var och en betraktas som sin egen resurs i lärandet och att kunskap på det här sättet

konstrueras av människan för att försöka förstå, förklara och ge mening åt sina iakttagelser, kan endast en formativ bedömning främja lärandet.

Bedömningens påverkan på lärande är både direkt och indirekt, både genom vad som bedöms och vad som inte bedöms. Pettersson (2005) analyserar väsentliga faktorer kring bedömning och vad som kännetecknar bedömning som stödjer lärande med utgångspunkt från den kunskapssyn som präglar rådande styrdokument. Hennes slutsats är att en bedömning för att stödja och stimulera lärande kräver att elevens kunnande analyseras och värderas i syfte att stärka elevens tilltro till sin egen förmåga. Om denna analys uteblir tenderar istället bedömning att uppfattas som en dom. Översatt till praktiken innebär detta enligt Pettersson att en lärandemiljö, för att vara effektiv, måste vara flexibel både beträffande undervisning och bedömning. Det är därför av vikt att eleverna får visa vad de kan både muntligt, skriftligt och i handling. Sålunda krävs att

eleverna ställs inför olika situationer som möjliggör för eleverna att visa vad de kan. Förutom en flexibel lärandemiljö krävs att analysen av elevens kunnande återkopplas till eleven samt att eleven involveras i bedömningsprocessen på så sätt att eleven får kännedom i både hur bedömningsprocesser går till och hur hon/han lär sig.

I praktiken finns det en del som kan gå fel så att bedömningsprocessen inte fungerar. Pettersson (2005) refererar till Wiliam (1992) som pekar på det problem som uppstår om eleven inte visar sina kunskaper, fastän hon/han kan, och som måste lösas för att bedömningsprocessen ska fungera. Orsakerna till att detta sker kan vara av psykologisk natur, att eleven inte vill eller inte uppfattar skolans frågor som relevanta. Ibland är orsaken av kommunikativ art, att eleven helt enkelt inte förstår frågornas innehåll.

Även om eleven visar sin kunskap kan det gå fel i bedömningsprocessen. Pettersson (2005) refererar till Wiliam (1992) som anger tre felkällor:

• Kunskapen visas, men den tolkas inte och dokumenteras inte • Kunskapen visas, dokumenteras, men tolkas fel eller inte alls • Kunskapen visas, tolkas rätt, men dokumenteras inte

Av dessa tre felkällor är den förstnämnda den vanligaste, eftersom det som bedöms alltid utgör ett urval. Det som valts bort hamnar då under denna kategori.

Tidigare studier med utgångspunkt från elevperspektiv vid bedömning i

matematik

Inom ramen för en C-uppsats genomfördes under 2002 en studie som behandlar elevers uppfattningar och upplevelser av bedömning i matematik i skolår fem. Studien var upplagd som en fallstudie och dess övergripande syfte var att undersöka de i studien ingående elevernas inställning till bedömning och olika bedömningsformer samt hur eleverna själva ville att bedömningen skulle utformas. Sammanlagt intervjuades nio elever från samma klass. Kontexten utgjordes av en lärare som var skeptisk mot de ”nya bedömningsformerna”. Läraren såg de skriftliga proven som de mest fördelaktiga bedömningsunderlagen eftersom de var enkla att rätta och genom att de förmedlade ett budskap till eleverna i form av ett konkret resultat, dvs. en siffra utifrån antal rätt eller fel (Lindqvist 2003).

Bedömning i studien uppfattades av eleverna i första hand som skriftliga prov. I andra hand kom hur de arbetade med uppgifterna i läroboken och att läraren då bedömde hur fort de arbetade samt hur många fel de haft. Vissa elever uttryckte tveksamhet kring vad läraren grundade sin bedömning på. Eftersom eleverna främst uppfattade lärarens formella bedömning drar Lindqvist slutsatsen att eleverna ibland var omedvetna om att en bedömning skedde när läraren hade för avsikt att bedöma dem (a.a.).

Elevernas uppfattningar om varför läraren bedömde dem varierade. Bedömning uppfattades som ett sätt för läraren att kontrollera deras kunskaper i matematik och att proven hade betydelse för deras framtid. Proven uppfattades också som ett instrument för läraren att kunna göra en differentiering för att kunna sätta in extralärare. Eleverna gav också uttryck för att en av bedömningens funktioner var att utgöra underlag för lärarens information till föräldrarna (a.a.).

I intervjuerna framkom också hur eleverna skulle önska att bedömningen gick till. Elevernas utsagor speglade uppfattningarna att läraren inte borde se till hur snabbt de räknade och hur många uppgifter de gjort. De uttryckte också tankar om att

bedömningen borde fokusera på hur de löst uppgifterna. Eleverna önskade också ett mer individuellt samtal, där kommentarer skulle ges till provet och att resultatet inte skulle offentliggöras. När eleverna fick en förfrågan om vilket sätt de föredrog att bli bedömda på gav de dock uttryck för att vara relativt nöjda med de skriftliga proven som

huvudsaklig bedömningsform. Lindqvist drar slutsatsen att orsaken till detta förmodligen berodde på att eleverna saknade erfarenhet av alternativa bedömningsformer (a.a.).

Förslag till vidare forskning anges i studien. Eftersom elevernas uppfattningar och upplevelser av bedömning troligen är kopplade till undervisningskontexten skulle även studier av elevernas uppfattningar i andra undervisningskontexter vara motiverade (Lindqvist 2003).

Syfte och frågeställningar

Med detta arbete vill jag utifrån en undervisningskontext som inte präglas av prov ta reda på vilka situationerna i skolan relaterade till elevers kunnande i matematik är. Jag ser då kunnandet som avhängigt situationen. Vad är då kunnande och när kan man en sak? För att kunna vet det måste man först veta vad man inte kan för att kunna lära sig det, men detta kräver samtidigt att man redan kan det. Detta är en paradox som först myntades av Menos. Med kunnande i det här arbetet avser jag inget objektivt begrepp, utan det ska relateras till personen som bedömer. Om en lärare bedömer att en elev kan något är det sant utifrån lärarens utgångspunkt. Om eleven bedömer sig kunna något är också detta sant, men utifrån elevens utgångspunkt. Situationen definierar jag som en händelse begränsad av tid och rum. Varför är det intressant att studera situationer i relation till elevers kunnande? Situationen som eleven uppfattar som en situation av kunnande kan också bedömas av läraren. Om elevens uppfattning om vilken situation som bedöms inte stämmer med lärarens faktiska bedömning, har inte bedömningen synliggjorts för eleven. Den kan därmed inte fullt ut utgöra ett stöd för elevens inlärning. Mer preciserat vill jag utifrån en specifik undervisningskontext ha svar på följande frågor:

• I vilka situationer i skolan visar eleverna sitt kunnande i matematik enligt läraren och bedöms dessa så att bedömningen kan utgöra en faktor för att stärka elevernas lärande?

• I vilka situationer i skolan visar eleverna sitt kunnande i matematik enligt eleverna och i vilken mån kan dessa användas vid elevernas aktiva inlärning på så sätt att en självbedömning kan göras som stärker elevernas inlärning?

• Hur uppfattar eleverna dessa situationer?

• Skiljer sig elevernas uppfattningar åt med hänsyn till hur de skattar sin

matematiska förmåga och efter hur väl elevernas skattning av förmågan stämmer med omvärldens bild av elevernas förmåga dvs. efter en indikation på elevernas grad av realism i sina självvärderingar?

Metod

Val av metod

Eftersom detta arbete syftar till att förstå det unika i en situation och samspelet som finns i denna utifrån det faktum att den utgör en del av en viss kontext och att syftet inte är att förutsäga vad som kan hända i framtiden, kan angreppssättet sägas vara

kvalitativt. Den metod som passar bäst är då fallstudien. Utifrån en given situation kan metoden försvaras eftersom den är användbar, anpassningsbar och mer utvecklingsbar än andra metoder. Resultatet från en fallstudie kan då bedömas utifrån hur begripligt och tillämpligt det är (Merriam 1994).

Fallstudier delas in i olika typer beroende på ämnesmässig inriktning samt om

slutprodukten av studien till huvudsaklig del är beskrivande, tolkande eller värderande. Eftersom arbetets syfte fokuserar frågor som rör undervisning och inlärning är den pedagogisk. Slutprodukten kommer att innehålla både beskrivningar och tolkningar av den information om frågeställningen som samlats in. Denna fallstudie kommer därför att inrymmas inom den kategori som benämns pedagogisk tolkande fallstudie (Merriam 1994).

För- och nackdelar med fallstudiemetoden

Fallstudien har precis som andra metoder sina för- och nackdelar. Valet av metod förutsätter att fördelarna med metoden ansetts uppväga nackdelarna.

Fördelarna med fallstudien sammanställs av Merriam (1994):

”Fallstudier innebär ett sätt att studera komplexa sociala enheter som består av multipla variabler som kan vara av betydelse för att förstå företeelsen i fråga. Metoden är

förankrad i verkliga situationer och därför resulterar fallstudier i en rikhaltig och holistisk redogörelse av företeelsen. Metoden ger bokstavlig insikt och upplysning på ett sätt som vidgar läsarens kunskaper. Dessa insikter kan också utvecklas till tentativa hypoteser som kan bidra till att strukturera framtida forskning. Därför spelar fallstudier en viktig roll även när det gäller att utveckla kunskapsbasen inom ett visst område. Tack

vare sin styrka och sina fördelar kan fallstudier passa särskilt bra inom tillämpade delar av pedagogiken” (a.a.: 46).

Dilemmat man ställs inför när man väljer fallstudien som metod är att de speciella egenskaper som utgör grunden för att välja den också innebär begränsningar av dess tillämpning. Metoden förutsätter en rik och tät beskrivning av kontexten något som är tidskrävande och därmed kostsamt. Det kan också innebära en risk för att mottagarna av rapporten drunknar i beskrivningen och därmed förlorar metoden i kommunicerbarhet (Merriam 1994).

Ytterligare begränsningar utgör det faktum att metoden bygger på att forskaren utgör en del av studien. Det är genom forskarens ögon och öron all information samlas in, och det är forskaren som tolkar det insamlade materialet (Merriam 1994).

Val av design

Under en fallstudie måste beslut fattas om vilka metoder som ska användas för att samla in den information som krävs för att få problemet belyst. En djup och detaljerad

information kan bara fås om man kommer nära den företeelse som studeras. Det innebär att kvalitativa studier ofta citerar källorna och detta ska ses som ett åtagande att göra deltagarna rättvisa med deras egna ord. Som en följd av detta blir en kvalitativ studie av människor i deras verklighet en upptäckande process (Merriam 1994).

Observation

För att zooma in problemområdet och kunna ge en rikhaltig beskrivning av

undervisningskontexten kommer datainsamling först att ske genom en observation. Observationen har den fördelen att den på ett direkt sätt visar hur någon i faktisk handling gör, vilket inte alltid behöver vara överensstämmande med hur personen tror att den gör. På detta sätt är den en bra metod för att fånga upp faktorer som är mindre uppenbara som t ex icke-verbala budskap i kommunikationen. Genom observationen kan man också studera miljön och hur deltagarna som observeras samverkar med miljön. Observationer kan registreras på olika sätt och med olika grad av systematik, där

den yttersta formen av systematik innebär att man använder ett i förväg konstruerat schema för sina observationer (Patel & Davidsson 1991).

Eftersom syftet med observationen är att erhålla så mycket information som möjligt kommer inget särskilt observationsschema att användas. Den kan därmed sägas vara osystematisk. Observationen kommer att äga rum under en matematiklektion. Denna får då representera en typisk matematiklektion utifrån den valda undervisningskontexten. Eftersom min förkunskap om det valda fallet är god kan jag utnyttja detta för att välja vilka situationer som ska registreras och hur det ska ske. Registrering kommer att ske med hjälp av anteckningar och ljudbandsinspelning av valda episoder. Eftersom min närvaro som observatör kommer att vara känd och rollen som observatör kommer att vara överordnad rollen som deltagare, kan relationen mellan mig som observatör och de som observeras beskrivas som en icke deltagande känd observation (Patel & Davidsson 1991).

Lärarintervju

När observationen utförts och bearbetats följer nästa steg i processen, att beskriva det sammanhang vari problemområdet befinner sig. För att kunna inta och beskriva lärarens perspektiv och syn på kunskap, lärande och bedömning samt för att få svar på de frågor som formulerats i syftet väljer jag att använda mig av intervjun. En intervju innebär att intervjuaren samlar in information med utgångspunkt från frågor som ställs till

respondenten. Respondenten utgör en informant om den är en person som har förmåga att uttrycka känslor och tankar samt ett eget perspektiv på det ämnesområde man talar om. Intervjun gör det möjligt att få reda på saker som inte direkt kan iakttas som t ex vad som har hänt i förfluten tid eller respondentens tankar (Merriam 1994).

Intervjuer kan beskrivas utifrån sin utformning och då i relation till vilken grad av frihet intervjuaren respektive respondenten ges. Intervjuarens frihet beskrivs i termer av standardiseringsgrad. Om intervjun är helt standardiserad innebär det att identiska frågeformuleringar ställs i samma ordning till samtliga respondenter och detta förfarande möjliggör att frågorna kan hanteras på ett kvantifierbart sätt samt ligga till grund för eventuella generaliseringar. Om däremot syftet med intervjun är att utreda frågeställningar av kvalitativ art där man utgår från att individuella respondenter

definierar sin verklighet på skilda sätt finns det ingen anledning att standardisera frågorna. De ges då en lägre grad av standardisering. Respondentens frihet beskrivs i termer av struktureringsgrad. Om respondenten enbart ges möjlighet att svara utifrån ett antal fasta svarsalternativ är struktureringsgraden hög och motsvaras av slutna frågor. Om frågorna istället är öppna ökar respondentens svarsutrymme och

struktureringsgraden sjunker (Patel & Davidsson 1991).

Eftersom syftet med att intervjua läraren är att få reda på dennes tankar och

uppfattningar om kunskap, lärande och bedömning kommer respondenten att ges största möjliga utrymme att svara, men frågorna kommer att ha ett tydligt fokus på matematik. Intervjun kommer därför att klassificeras som en intervju med låg grad av

standardisering och strukturering. Registrering kommer att ske med hjälp av

anteckningar och ljudupptagning med bandspelare. Anteckningar kommer att föras för att intervjuarens egna reflektioner som kommer upp under intervjun ska kunna bevaras, samtidigt som de tjänar syftet att ge intervjun några välbehövliga pauser.

Ljudbandsupptagning för registrering av intervjuer har enligt Merriam (1994) både för- och nackdelar. Genom att spela in på ljudband kan intervjun bevaras och därmed säkerställs att respondentens tankar kan återges på ett korrekt sätt. Fördelen är också att intervjuaren har möjlighet att ta ställning till sin egen insats och kan då lära sig av sina misstag, samtidigt som kvaliteten på intervjun kan bedömas. Målet är att intervjuaren ska vara så neutral som möjligt för att inte respondentens svar ska påverkas, samtidigt som respondenten ska fås att känna sig så trygg att svaren ska spegla dennes tankar på ett så rikt sätt som möjligt. Nackdelarna med ljudbandsupptagning är den stress som de flesta respondenter känner över att låta sig spelas in på band och som därför påverkar intervjusituationen negativt. Här bedömer jag alltså att fördelarna överväger

nackdelarna.

Elevintervjuer

Efter insamlingen av kontexbeskrivningarna måste val av insamlingsmetod, för att få reda på elevernas syn på vilka situationer av kunnande i matematik i skolan är enligt eleverna och hur de uppfattar dessa, göras. Eftersom syftet är att få del av elevernas olika tankar och uppfattningar passar intervjumetoden bäst. Avvägningen mellan att kunna göra intervjuerna jämförbara samtidigt som önskan är att ge eleverna största

möjliga svarsutrymme måste beaktas vid valet av design. Därför kommer intervjuerna att få en viss grad av både standardisering och strukturering. Eftersom respondenterna i det här fallet kommer att vara barn är det detta som kommer att styra utformningen av intervjuerna. Frågeformuleringarna måste kunna begripas av samtliga barn och det kräver att intervjuaren intar barnens perspektiv. Största möjliga ansträngning måste göras för att få eleverna att känna sig trygga, då de befinner sig i ett underordnat läge jämfört med en vuxen i samma situation.

För att få del av elevernas tankar kommer intervjun att läggas upp som en diskussion kring en film som visar när eleven har matematik i skolan. Vad skulle jag kunna få se på den filmen? På detta sätt visualiserar jag frågan för eleven och det är eleven som styr innehållet i filmen. Utefter var och en av de händelser som eleven för fram kommer däremot jag att styra vilka frågor jag vill ha svar på. Detta för att kunna jämföra

elevernas svar. Dessa frågor kommer att uppehålla sig kring kunnandet i matematik och kommer att formuleras som:

• ”Tycker du att du får reda på vad du kan i matte när…?” • ”Tycker du att du får reda på vad du inte kan i matte när…?” • ”Får dina kompisar reda på vad du kan i matte när…?” • ”Får dina kompisar reda på vad du inte kan i matte när…?” • ”Kan (namnet på läraren) se vad du kan i matte när…?”

Individuella följdfrågor kommer att ställas, för att anpassa varje intervju så att så

mycket information som möjligt ska kunna erhållas. Liksom med lärarintervjun kommer anteckningar och ljudbandsinspelningar att äga rum och av samma skäl. Intervjuerna kommer att genomföras med eleverna en och en. Här värderar jag värdet av en oberoende åsikt som högre än elevernas trygghetskänsla. Emellertid uppfattar jag att samtliga elever känner sig bekväma med mig. Däremot tycker de inte om att få sina röster inspelade på band.

För att få reda på om elevernas uppfattningar skiljer sig åt med hänsyn till hur de skattar sin matematiska förmåga och efter hur väl skattningen av förmågan stämmer med omvärldens bild av elevens förmåga dvs. en indikation på elevens grad av realism i konfidensbedömningarna kommer intervjun att avslutas med ett antal frågor av sluten karaktär. Varje elev kommer att få skatta sin förmåga i matematik, efter skala 1-5, där ett betyder att eleven tycker att hon/han är ”jättebra på matte” och fem att hon/han är

”jättedålig på matte”. Eleven ska sedan ge sin uppfattning på hur eleven tror

klasskamraterna respektive matematikläraren uppfattar elevens förmåga. Slutligen får eleven redogöra för vilken typ eller vilka typer av matematikuppgifter hon/han föredrar. Valet står mellan lätta uppgifter, lite svårare uppgifter och uppgifter som man måste fundera över.

Etiska principer

Eftersom valda metoder går ut på att synliggöra enskilda elevers och deras lärares uppfattningar måste deras intressen diskuteras och vägas mot det intresse som själva studien gör anspråk på. För att skydda informanterna är det tre krav som, enligt Stukát (2005), måste tillgodoses. Dessa är kraven på information, samtycke och

konfidentialitet visavi de som deltar i studien. Inledningsvis kommer läraren att informeras om studien och dess syften samt tillfrågas om han önskar delta och vill avlägga tid för en intervju. Därefter kommer jag att besöka klassen för att först informera samtliga elever om syftet med undersökningen och på vilket sätt individens bidrag kommer att användas. Eftersom alla uppgifter kommer att behandlas

konfidentiellt riskerar ingen som deltar i studien att dess identitet kommer att röjas. Det måste också framgå att det är frivilligt att delta och att förutsättningen för elevernas deltagande är ett godkännande från målsman.

Urval

Fallet är valt utifrån min egen tillgång till en miljö som inte präglas av prov i matematik och som jag har en god förförståelse av. Studien kommer att genomföras i en klass sex, som består av 17 elever. Jag har utifrån egna erfarenheter en bild av hur elevernas matematikundervisning har varit från skolår noll. Elevernas matematiklärare har jag på egen hand kunnat följa under elevernas skolår fyra och fem. För att försöka fånga frågeställningarna kommer elever som informerats om undersökningen och som fått målsmans godkännande (se bilaga 1) att plockas ut enligt följande. Med utgångspunkt från en rangordning efter hur lätt eleverna har för matematik som klassens

matematiklärare gjort på min begäran, kommer elever från samtliga grupper: lätt, ganska lätt och svårt för matematik, att plockas ut för intervjuer. Urvalet kommer att ske slumpvis för varje kategori av elever och på så sätt att båda könen representeras. Ett

rimligt antal elever med hänsyn till studiens omfattning anser jag två elever från varje kategori vara. Med hänsyn till i vilken grad den intervjuade eleven utgör en informant kan antalet elever som intervjuas komma att utökas. Minst sex elever kommer att intervjuas.

Analysmetod

För att få svar på de frågeställningar som formulerats i syftet kommer följande analyser av insamlade data att göras.

Observationen kommer att till utvalda delar transkriberas och de anteckningar som förts kommer att granskas för att utröna vad som är specifikt med den utvalda

undervisningskontexten. Här kommer då en jämförelse att göras med de aktiviteter som Tough, refererad i Huber (1997), identifierat som potentiella inputs för aktiv inlärning.

Lärarintervjun kommer att avlyssnas och transkriberas till de delar som valts ut av mig. Svaren på de frågor som ställts kommer att analyseras och jämföras med de faktorer som av Pettersson (2005) identifierats som väsentliga för en bedömning som stödjer lärande.

När samtliga elevintervjuer transkriberats kommer de att analyseras dels utifrån svaren på elevernas uppfattningar om den egna matematiska förmågan, dels utifrån vilka situationer av kunnande i matematik som eleverna tar upp under intervjuerna. För att göra det hela överskådligt kommer svaren att sättas in i matriser, där de frågor som är gemensamma för samtliga elever redovisas. En jämförelse kommer att göras med de metakognitiva processer som, enligt Allwood & Jonsson (1999), kopplas in i samband med inlärning och erinran. Slutligen kommer också en matris att göras som jämför elevernas uppfattningar om matematik och bedömning i matematik. Dessa svar kommer att kontrasteras med den studie som genomfördes av Lindqvist (2003) och där elevernas undervisningsmiljö var starkt präglad av prov i matematik.

Studiens reliabilitet

Tillförlitligheten hos det resultat som är följden av en fallstudie kan, enligt Patel & Davidsson (1991), inte mätas om inte ett mätinstrument som resulterar i att varje individ får en poäng används. Eftersom denna form av mätinstrument inte använts i denna undersökning får tillförlitligheten prövas på annat sätt. För att tillförlitligheten av en intervju eller observation ska bli så hög som möjligt krävs det att den som utför intervjuerna och observationerna är tränad. För att inte frågor ska misstolkas måste deras formuleringar vara noga utprövade innan intervjun genomförs. Samtliga frågor som riktar sig till barn i den här undersökningen har av mig prövats ut på mina egna barn. Genom ljudbandsinspelningarna ges möjligheten att värdera intervjuarens skicklighet och därmed kan denna del av studiens reliabilitet prövas. Yttre störningar och dagsformen hos de som intervjuas kommer också att registreras.

Studiens validitet

Eftersom grunden för kvalitativ forskning bygger på att verkligheten uppfattas som att den är uppbyggd av flera dimensioner samt att den hela tiden förändras, måste

validiteten bedömas utifrån detta. Validiteten är svårfångad och bygger på att forskaren hela tiden ställer sig frågan om den mäter det som den avser att mäta. Den måste därför bedömas via tolkningar av forskarens erfarenheter. Enligt Merriam (1994:177), som refererar till Ratcliff (1983) måste man alltid tänka på att ”informationen inte talar för sig själv, det finns alltid en uttolkare…, man inte kan observera eller mäta en företeelse utan att förändra den…” och att ”…ord är abstrakta, symboliska representationer av verkligheten, inte verkligheten i sig”. Med dessa begränsningar i åtanke finns det ändå ett antal strategier som forskare inom den kvalitativa grenen kan använda sig av för att säkerställa validiteten. Under studieförloppet kommer min handledare att ge sina kommentarer och synpunkter på resultatet. Dessa synpunkter kommer att påverka upplägget av den här studien. Genom denna strategi har jag låtit studien granskas och kritiseras horisontellt. För att klargöra skevheter som jag har med mig in i

undersökningen har jag i min redogörelse hela tiden strävat efter att explicit uttrycka mina utgångspunkter och underliggande antaganden (Merriam 1994).

Studiens generaliserbarhet

För vem kan studiens resultat gälla? Syftet med studien är inte att få fram några generaliserbara fakta, men att utifrån en rik kontextbeskrivning kunna göra resultatet relaterbart för var och en som kan relatera sina egna erfarenheter till studien. Detta kan enligt Stukát (2005) sägas var en svagare form av generalisering.

Resultat

Kontextbeskrivning

Skolan som utgör bakgrund till studien, är belägen i ett mindre samhälle några kilometer från kommunens centralort. Upptagningsområdet utgörs av ett tvådelat villasamhälle, där den ena delen kan beskrivas som bostadsområde med enklare villor som till större delen bebos av medelinkomsttagare och den andra delen som ett bostadsområde med exklusivare villor som bebos av invånare med en genomsnittligt högre inkomst än det förra. Skolan är en F-9 skola med två parallella spår. Föräldrarna väljer själva till vilket av spåren deras barn ska gå när eleven börjar i förskoleklass. Det förefaller som att de föräldrar som gör aktiva val väljer det spår som eleverna i

föreliggande undersökning ingår i. I åren F-3 är det ”vattentäta skott” mellan spåren. I åren 4-6 förändras detta arbetssätt och ett samarbete sker över spåren i ett arbetslag som utgörs av samtliga lärare som arbetar med eleverna i de aktuella årskurserna.

I arbetslaget arbetar man utifrån mottot att hålla samtliga elever inom gemensamma ramar för normer och gränssättningar. Matematikläraren är tongivande i det här arbetet. Skolans lokala målöversikt i matematik är uppbyggd som en stegmodell i 13 steg. Sammanlagt innehåller stegen 147 målformuleringar varar fyra innehåller verbet förstår följt av ett substantiv och 100 verbet kan, följt av ett substantiv. Dessa kan

formuleringar säger ingenting om vad det är man ska bedöma för att se om eleven kan. Matematikämnets kommunikativa syfte som betonas i kursplanen i matematik är inte alls synliggjort i skolans målöversikt. Det förefaller alltså som om de som arbetat lokalt för att bryta ner de nationella styrdokumenten har koncentrerat sig på mål att uppnå, medan mål att sträva mot som ska tydliggöra vilka kvaliteter som undervisningen ska tillgodose tappats bort.

Observationsresultat

Eleverna har ett eget klassrum. Längs med ena kortsidan och långsidan mittemot tavlan är bänkarna är placerade utefter väggarna så att eleverna är vända bort från rummets mitt. Överst på tavlan står ett citat som myntats av en av klassens elever: ”Det är lugnt tiden finns, bara man utnyttjar den väl. Låt stå!”. Den aktuella matematiklektionen inleds med en diskussion kring förra veckans mål och riktar sig främst till de elever som använder sig av X-boken. Något fler än hälften av klassen använder ALMA –

läromedlet och resterande del av eleverna X-boken. Läraren förklarar varför de använder två olika böcker: ”… jag satte upp mål som var för högt satta mål egentligen, så jag fick gå på backning ungefär. Men det var vissa som hade redan nått dom målen och det testade jag med ett prov, det var frivilligt prov, dom som ville, så att alla i den här gruppen dom gjorde prov – alla utom en gjorde provet och så fick det ett utslag så kanske lite mindre än hälften klarade provet och dom får jobba med X-boken för dom är redan klara med det här kapitlet i ALMA boken”. Läraren riktar frågor till var och en av dessa elever som handlar om hur det gått med de mål som de hade satt upp föregående vecka. En elev berättar att hon gjorde till och med mer. Läraren uppmanar henne att fundera över hur mycket hon ska planera för den här veckan. Läraren öppnar för en diskussion med eleverna om de tycker det är lagom stora mål de satt. De uppmanas därefter att fundera över vilka mål de ska sätta för innevarande vecka. De elever som arbetar med ALMA-boken sätter inte själva sina mål, utan denna vecka kommer dessa elever att skriva in sidan 55-64 i sina loggböcker.

Därefter följer en genomgång. Det är frivilligt att delta. De elever som inte anser sig behöva en genomgång uppmanas att gå in i ett angränsande rum för att arbeta i sina läroböcker, varav sju lämnar rummet. De observeras inte under den tid genomgången tar. Tio elever stannar kvar. De uppmanas att komma närmare och genomgången inleds. Läraren skriver 0,88*20 på tavlan och ber en första elev komma med ett förslag hur han löser uppgiften. Eleven beräknar 0,88*10=8,8 och sedan 8,8*2=17,6 med uppställning genom att läraren antecknar det som eleven säger på tavlan. Läraren bekräftar elevens lösning genom att säga ”ja, helt rätt, det kan man skriva som en enda rad när man håller på och räknar, man behöver inte göra olika rader”. Eleven frågar hur man gör då och läraren bollar över frågan till gruppen. Läraren får inget gensvar utan får själv besvara frågan ”jag skrev det förra gången förra veckan 0,88*2*10 =8,8*2”. Läraren leder

vidare samtalet genom att ställa frågan hur man skriver 0,88*20, om man ska göra en uppställning. En andra elev föreslår att man tar 0,88*0,2 för att det blir lättare så. Läraren ifrågasätter och eleven ändrar sig och förslår att man tar 0,88*20,0 istället. Läraren svarar att så behöver man inte göra. Läraren går tillbaka till den första elevens uppställning av 8,8*2 och diskuterar hur han hade gjort sin uppställning. Utifrån denna återgår läraren till frågan hur man hade ställt upp om det hade varit gånger 20 istället för gånger 2. En tredje elev prövar att lösa uppgiften och tar först 8*0, men uppmanas av läraren att helst börja med nollan och säga 0*8. Därefter väljer eleven att multiplicera 8 med 2 varpå läraren svarar: ”Då har du glömt bort det här när vi gjorde uppställning förut, och det är intressant vad är det som har gjort att du har glömt bort det, för du kunde det förut?”. Eleven svarar: ”Ja, är det inte högst först?”, varpå läraren svarar att det är en viss ordning, inte högst först. En fjärde elev griper in för att lösa uppgiften. När alla kolumner summerats inleder läraren ”nu kommer vi till det här som man måste göra när man har räknat ut det, vad ska man titta efter då?”. Frågan riktas till en femte elev. Läraren sammanfattar: ”sammanlagt har du två decimaler alltså måste du ha två decimaler i svaret”. Sedan visar läraren en annan uppställning av samma tal, där nollan i 20 hamnar utanför kolumnerna av tal som ska multipliceras. Genomgången avslutas med att läraren säger till eleverna: ”Så dom här talen som kommer dom kan ni ställa upp allihopa om ni vill om det passar er eller så kan ni göra som (den första eleven i dagens genomgång) gjorde 0,88*2*10 och räkna ut det”.

Efter genomgångens slut förflyttar sig eleverna till olika rum för att arbeta. Sammanlagt utnyttjas fem olika lokaler under matematiklektionen. Dessa är förutom klassrummet, ett intilliggande grupprum som kallas tysta rummet, ett angränsande klassrum, en genomgångshall, ett bibliotek som ligger i anslutning till genomgångshallen samt lokaler på Fritids dit en elev med en hjälpassistent senare går. Eleverna grupperar sig på olika sätt och är rörliga under lektionen. Under lektionen är det bara sex av de 17 eleverna som behåller sina ursprungliga platser och grupperingar. Det är genomgående lugnt och en låg ljudvolym i de lokaler som observeras. De elever som vill ha hjälp skriver upp sig på en kölista på tavlan. I genomgångshallen sitter elever från andra klasser i 4-6-laget och arbetar vid datorerna. De tar också hjälp av matematikläraren när denna går förbi. I det intilliggande klassrummet utspelar sig följande samtal mellan matematikläraren och de två elever som sitter där:

L: Ja men snacka inte ni hade kommit mycket längre ni hade kommit dubbelt så långt då i matteboken

E1,2: Ja (tveksamt)

L: Men ni hade fattat hälften så mycket E: Va?

L: Ni hade fattat hälften så mycket E: Ja

L: Nu är frågan vad ni vill göra E: Fast vi gör inte så

L: Men då undrar jag så här. Hur samarbetar ni då?

E1: Jo kolla här (fniss), så gör vi och så när inte någon fattar så får man förklara för den andra.

L: Okej ………

L: Så allting ni gör är bara för provens skull

E2: Nej för oss själva också… för att vi ska lära oss någonting. L: Men vad har ni för nytta av matte då?

E1: Matte?

L: När skjutsicken ska du hålla på och räkna ut hur mycket blod hjärtat pumpar? E1: Det kanske är mer räknesättet.

E2: Om man ska jobba i en affär eller nåt sånt.

L: Ja, men då räcker det väl med plus. Så har ni miniräknare. Så scannar man ju bara priserna.

E1: Ja, fast du kanske är en sån när man blir stor så kanske man är en sån som måste räkna ut alla blodtrycken och sånt.

L: Räkna ut blodtryck, det tar man, direkt och så får man reda på det direkt.

E2: Men man kanske vill bli mattelärare. Då måste man ju kunna det. Förklara det inför dem andra.

L: Ja men herregud det behöver man ju inte kunna, kunna förklara för andra. E2: Varför inte?

L: Nej för man har ju elever som bara hjälper varandra hela tiden. Det behöver man ju inte vara mattelärare till och..

E1: Jamen åh när inte nån av dem fattar så behöver man ju en lärare. L: Okej så ni har bara matte för att matteläraren ska ha någonting att göra.

E1,2: Ja

L: Okej, ja det är ju tacksamt att ni ger mig jobb.

Lärarintervjun – ett porträtt

Läraren har varit verksam i elva år och har på sin nuvarande skola undervisat i

matematik, NO, idrott och bild. Arbetssättet är utpräglat reflektivt, där läraren ständigt utvärderar sina undervisningsformer. Detta kommer bland annat till uttryck i den intervju som jag genomför med honom, där han rikligen delar med sig av sina tankar. Genom åren har läraren prövat många olika modeller att organisera sin

matematikundervisning. Under den tid som jag har kunnat följa undervisningen har den till större delen varit uppbyggd kring boken som läromedel. Så har det även varit under den tid som eleverna som ingår i undersökningen har haft läraren. Läraren har aldrig samlat in elevernas böcker för rättning och kontroll, utan eleverna har själva rättat sina uppgifter med hjälp av facit. Under elevernas skolår 4 och 5 har de, när de arbetat med matematikboken, arbetat i sin egen takt. Från början räknade eleverna kapital efter kapitel som avslutades med ett diagnostiskt prov som rättades av läraren. Klarade inte eleven provet fick den fortsätta att arbeta med det område som den visats ha problem med innan den på nytt fick göra om diagnosen. Därefter förändrade läraren upplägget på så sätt att eleverna började ett nytt kapitel genom att göra det diagnostiska provet direkt. Om eleven klarade av det fick den sedan fortsätta till nästa prov i det påföljande

kapitlet. På detta sätt blev det stor spridning mellan vad eleverna kom att arbeta med i matematik och genomgångar med eleverna blev därför sparsamma. Några prov i vanlig bemärkelse förekom inte alls. Nu i år 6 har läraren återigen ändrat på undervisningens utformning ”jag har testat väldigt många olika modeller, att dom har jobbat med olika saker, problemet var att, eftersom det krävs att man ger dom nytt material och checkar av dom så här så blir det för mycket att du går in i matteböckernas struktur för att kunna ha så många i gång på olika ställen och då blir matematikboken styrande”. En annan orsak till att läraren bytte undervisningsform var att ”när de valde uppgifter själva så upptäckte de ganska snart att det här kan jag, så hoppade de vidare till nästa område, men dom hade inte fått ner det i ryggraden. Då ville de bara komma vidare i boken. Det var det som var intressant inte kunskaperna”. Numera arbetar samtliga elever inom samma område, men på olika nivåer. Läraren har också infört vanliga prov och helt slopat de diagnostiska proven. Över alla tre åren som eleverna har haft läraren har denne

ibland helt lagt undan boken och då och då har matematikämnet integrerats med andra ämnen. Detta har ibland skett helt i lärarens egen regi, som t ex när eleverna i grupper fått hitta på egna lekar med regler och poängräkning som de sedan fått praktisera under vardera ett idrottspass. I NO undervisningen har läraren denna höst integrerat moment med mätning, statistik och beräkning av skala, i samband med att eleverna studerade växter och deras olika utseende samt livsmiljöer. I samarbete med arbetslaget

genomförs teman, där matematikämnet integreras. Senast arbetade de med design och eleverna fick i uppgift att bygga lägenheter och göra rum utifrån skala och på ritningen rita in el- och vattenledningar. Förutom en ritning som visade lägenheten ovanifrån fick eleverna göra en ritning över lägenheten från sidan. Detta integrerande arbetssätt är möjligt eftersom skolan slopat timplanen och genom att alla i arbetslaget känner samtliga elever.

Lärarens syn på lärande och kunskap synliggörs under intervjun. Enligt läraren är det i första hand behovet som styr lärande. Det bästa sättet att lära enligt läraren är genom att ta vara på de resurser som finns och genom något som han kallar trial- and error

metoden. Han drar här paralleller med ett TV-program som skildrar hur några personer hamnar på en öde ö. Målet för lärarens matematikundervisning är att eleverna ska kunna hitta olika vägar för att lösa ett problem, där formen får vika för syftet att hitta en lösning. Läraren säger också att målet är att vissa kunskaper ska automatiseras, men att eleven först måste ha förståelsen innan detta kan ske. Eleverna behöver dock inte förstå hela sammanhanget, utan ibland handlar det bara om att automatisera utan att man egentligen ska fundera på saker och ting. Problemet i skolan idag anser läraren vara att det går för snabbt. Det som tog tusentals år att komma fram till ska eleven anamma på kort tid. Detta får till följd att det som lärs in inte är förankrat utifrån elevernas egna erfarenheter. För att motverka detta använder sig läraren av en speciell teknik. Den går ut på att bryta elevernas föreställningsmönster för att tvinga dem att tänka på ett nytt sätt ”när dom anser att dom verkligen kan en sak, så ifrågasätter jag deras lösning”.

Eleverna måste då argumentera för sin lösning inför läraren. Läraren säger sig lägga mycket fokus på att diskutera. Den största utmaningen enligt läraren ligger i att

motivera eleverna ”att lära eleverna ämnena är inte problemet, det största problemet det är att eleverna först och främst ska få sådan självinsikt att de ska inse att de har nytta av sina kunskaper… en elev som känner att detta bara är påtvingat från skolan, den gör ju saker utan att lära sig”.