Elementär logik och mängdlära

Elementär

logik och

mängdlära

1

Mängd

En mängd är en “ihopsamling” av noll eller flera “saker”, där ordningen mellan de ihopsamlade sakerna är oväsentlig. “Sakerna” kallas för mängdens element.

{1, 2, 4, 8, 16, 32} eller {32, 16, 8, 4, 2, 1} = {0, 1, 2, 3, …} De naturliga talen. ! = {…, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} De hela talen. In[1]:= Table@3n,8n, 0, 10<D Out[1]=81, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049< ! " # EXEMPEL 2

Element i en mängd

När vi skriver x ! A menar vi

att x är ett element i mängden A.

EXEMPEL 8 ! {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

x A

Uttalas: “x tillhör A”

3

Presentation av en mängd

EXEMPEL {2k | k ! och k!5}

Mängden {1, 2, 4, 8, 16, 32}.

!

Vanligtvis presenteras en mängd genom att man anger vilka egenskaper som mängdens element har: {x | villkor} = mängden av de x som uppfyller villkor

Presentation av en mängd

EXEMPEL {n ! ! | n är delbar med 2}

En variant

Det är vanligt att en del av villkoret flyttas till vänster om separatorn “|”.

5

Kardinalitet

Antalet element i en mängd A kallas för A:s

kardinalitet och betecknas med |A|

EXEMPEL |{1, 4, 16, 64}| = 4

6

Delmängd

När vi skriver D " A menar vi att varje

element som tillhör D också tillhör A: För alla x gäller

x ! D ⇒ x ! A

Uttalas: “D är en delmängd av A”

D A EXEMPEL {1, 4, 16} " {1, 2, 4, 8, 16, 32}. OBS {x} " A ó x ∈ A. 7

Antalet delmängder

EXEMPEL Mängden {1, 2, 3} har åtta delmängder:

{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Som synes är antalet delmängder av {1, 2, 3} lika med 2|{1, 2, 3}|_.

Allmänt gäller för varje ändlig mängd A att A har 2|A| delmängder.

Detta följer av multiplikationsprincipen. Hur då?

Om B inte är en delmängd av A

Om B inte är en delmängd av A – vi skriver B "A – så finns det något

element inutiB som ligger utanför A.

A B

Den s.k. tomma mängden ! = { } är innehållslös. Om # " A skulle det ju finnas

något element inuti #.

Därmed följer för varje mängd A att den tomma mängden # är en

delmängd avA.

!

Se !_.

9

Union, snitt, differens

A $ B = {x | x ! A eller x ! B} A % B = {x | x ! A och x ! B} A ╲ B = {x | x ! A och x & B} B A 13 ! G ru n d lä g g a n d e m ä n g d b e g re p p !

noteras uttalas betyder

Venn-diagram

a tillh ö r A a är ett elem ent i A

a tillh ö r in te A a är in te ett elem ent i A

D är en d elm ä n g d av A eller D är in te en del-m ängd av A A är lik a m ed B och D är en ä k ta delm ängd av A m en a ! A a " A D # A %x x(( ! D ) $ (x ! A )) A = D D A/# 'x x(( ! D ) & (x " A )) A = B A # B B # A D ( A D # A D ) A 14 ! T o m m a m ä n g d e n D en to m m a m ängden är

innehållslös – m en inte utan betydelse.

Tom m a m ängden är en delm ängd av varje m ängd:

V arför? Jo annars skulle

dvs

som betyder

O ch då skulle det fin n a s något elem ent x så

att och . M en detta m otsägs av

att den tom m a m ängden är just to m .

* = { } A *_{( #} A ₎ % A *( # A ) % ¬ A (¬(* # A )) ' A * A( /# ) ' x _{! *} x _" A * 15 ! A v m ä n g d e r k a n m a n sk a p a n y a m ä n g d e r

noteras uttalas betyder

Venn-diagram A union B A snitt B A förutom B eller k o m p lem en tet av B m ed avseende på något s.k. univers U

den k a rte sisk a

p ro d u k ten

av A och B

dvs elem enten i är

(ordnade) par av elem ent från i tur och ordning A och B

eller p o ten s-m ä n g d en av A dvs elem enten i är A :s delm ängder A + B {x x( ! A ) , (x ! B)} A - B {x x( ! A ) & (x ! B)} A – B {x x( ! A ) & (x " B)} B B U – B A . B a b, ( ) a( ! A ) & (b ! B) { } A . B /A 2A D D _# A { } /A 16 ! N å g ra sm å m ä n g d e r o ch d e ra s p o te n sm ä n g d e r E X E M P E L

O m D u räknar antalet elem ent i A resp. ,

finner D u en intressant hypotes (som synes förklara nam net “potensm ängd” och

notationen ):

h a r e le m e n t o m A h a r n e le m e n t.

Ö V N IN G Ä r några av de tre m ängderna lika?

Ö V N IN G Sant eller falskt?

A /A { } _{{{ }}} a₁ { } {{ }, {a₁}} a₁, a₂ { } {{ }, {a₁}, {a₂}, {a₁, a₂}} a₁, a₂, a₃ { } { } {a1} {a2 } {a3} {a1, a2} a₁, a₃ { {a}₃, a₂ {a}₁, a₂, a₃} , , , , , , , { } /A 2A /A 2n *, { }* , {{ }* } 13 ! G ru n d lä g g a n d e m ä n g d b e g re p p !

noteras uttalas betyder

Venn-diagram

a tillh ö r A a är ett elem ent i A

a tillh ö r in te A a är in te ett elem ent i A

D är en d e lm ä n g d av A eller D är in te en del-m ängd av A A är lik a m ed B och D är en ä k ta delm ängd av A m en a ! A a " A D # A %x x(( ! D ) $ (x ! A)) A = D D A/# 'x x(( ! D ) & (x " A )) A = B A # B B # A D ( A D # A D ) A 14 ! T o m m a m ä n g d e n D en to m m a m ängden är

innehållslös – m en inte utan betydelse.

Tom m a m ängden är en delm ängd av varje m ängd:

V arför? Jo annars skulle

dvs

som betyder

O ch då skulle det fin n a s något elem ent x så

att och . M en detta m otsägs av

att den tom m a m ängden är just to m .

* = { } A *( # A ) % A *( # A ) % ¬ A (¬(* # A)) ' A * A( /# ) ' x ! * x " A * 15 ! A v m ä n g d e r k a n m a n sk a p a n y a m ä n g d e r

noteras uttalas betyder

Venn-diagram A union B A snitt B A förutom B eller k o m p le m e n te t av B m ed avseende på något s.k. univers U

den k a rte sisk a

p ro d u k te n

av A och B

dvs elem enten i är

(ordnade) par av elem ent från i tur och ordning A och B

eller p o te n s-m ä n g d e n av A dvs elem enten i är A :s delm ängder A + B {x x( ! A ) , (x ! B )} A - B {x x( ! A ) & (x ! B )} A – B {x x( ! A ) & (x " B )} B B U – B A . B a b, ( ) a( ! A ) & (b ! B) { } A . B /A 2A D D _# A { } /A 16 ! N å g ra sm å m ä n g d e r o ch d e ra s p o te n sm ä n g d e r E X E M P E L

O m D u räknar antalet elem ent i A resp. ,

finner D u en intressant hypotes (som synes förklara nam net “potensm ängd” och

notationen ):

h a r e le m e n t o m A h a r n e le m e n t.

Ö V N IN G Ä r några av de tre m ängderna lika?

Ö V N IN G Sant eller falskt?

A /A { } _{{{ }}} a₁ { } {{ }, {a₁}} a_1, a₂ { } {{ }, {a₁}, {a₂}, {a₁, a₂}} a₁, a₂, a₃ { } { } {a1} {a2} {a3} {a1, a2} a₁, a₃ { {a}₃, a₂ {a}₁, a₂, a₃} , , , , , , , { } /A 2A /A 2n *, { }* , {{ }* } 13 ! G ru n d lä g g a n d e m ä n g d b e g re p p !

noteras uttalas betyder

Venn-diagram

a tillh ö r A a är ett elem ent i A

a tillh ö r in te A a är in te ett elem ent i A

D är en d e lm ä n g d av A eller D är in te en del-m ängd av A A är lik a m ed B och D är en ä k ta delm ängd av A m en a ! A a " A D _# A _%x x_{(( !} D _{) $ (}x _! A ₎₎ A = D D A/# 'x x(( ! D ) & (x " A )) A = B A # B B # A D ( A D # A D ) A 14 ! T o m m a m ä n g d e n D en to m m a m ängden är

innehållslös – m en inte utan betydelse.

Tom m a m ängden är en delm ängd av varje m ängd:

V arför? Jo annars skulle

dvs

som betyder

O ch då skulle det fin n a s något elem ent x så

att och . M en detta m otsägs av

att den tom m a m ängden är just to m .

* = { } A *( # A ) % A *( # A ) % ¬ A (¬(* # A )) ' A * A( /# ) ' x ! * x " A * 15 ! A v m ä n g d e r k a n m a n sk a p a n y a m ä n g d e r

noteras uttalas betyder

Venn-diagram A union B A snitt B A förutom B eller k o m p le m e n te t av B m ed avseende på något s.k. univers U

den k a rte sisk a

p ro d u k te n

av A och B

dvs elem enten i är

(ordnade) par av elem ent från i tur och ordning A och B

eller p o te n s-m ä n g d e n av A dvs elem enten i är A :s delm ängder A + B {x x( ! A ) , (x ! B)} A _- B {x x( ! A ) & (x ! B)} A – B {x x( ! A ) & (x " B)} B B U – B A _. B a b_, ( ) a( ! A ) & (b ! B ) { } A . B /A 2A D D _# A { } /A 16 ! N å g ra sm å m ä n g d e r o ch d e ra s p o te n sm ä n g d e r E X E M P E L

O m D u räknar antalet elem ent i A resp. ,

finner D u en intressant hypotes (som synes förklara nam net “potensm ängd” och

notationen ):

h a r e le m e n t o m A h a r n e le m e n t.

Ö V N IN G Ä r några av de tre m ängderna lika?

Ö V N IN G Sant eller falskt?

A /A { } _{{{ }}} a₁ { } {{ }, {a₁}} a₁, a₂ { } {{ }, {a₁}, {a₂}, {a₁, a₂}} a₁, a₂, a₃ { } { } {a1} {a2} {a3} {a1, a2} a₁, a₃ { {a}₃, a₂ {a}₁, a₂, a₃} , , , , , , , { } /A 2A /A 2n *, { }* , {{ }* } 10 A " B = {(a, b) | a ! A och b ! B}

Cartesiska produkten

EXEMPEL {0, 1} ╳ {1, 4, 16} = {(0, 1), (0, 4), (0, 16), (1, 1), (1, 4), (1, 16)}.

Namnet “Cartesiska produkten” och

beteckningen “ A " B” kommer sig av att storleken på

en Cartesisk produkt är lika med produkten av de ingående mängdernas storlekar:

| A " B | = |A|·|B|

11

En modell för

datorskärmen

Betrakta för enkelhets skull en svartvit skärm med 1024 punkter (pixlar) horisontellt och 768 stycken vertikalt.

En svartvit bild på en sådan skärm kännetecknas av att vissa av punkterna är svarta och att resten är vita. Mängden av svarta punkter “är” vad ögat uppfattar som själva bilden.

Hela skärmen kan beskrivas av den cartesiska produkten D = H ╳ V där H = {n ! | 0 ! n < 1024} och V = {n ! | 0 ! n < 768}.

En modell för

datorskärmen

! !

Varje delmängd av D representerar en bild på skärmen.

13

En modell för

datorskärmen

Det betyder att antalet bilder som den svartvita skärmen kan visa är lika med antalet delmängder av

D. Hur stort är detta antal?

Svaret ges av följande beräkning 2|D| _{= 2}|V ╳ H| _{= 2}|V| · |H| _{= 2}1024 · 768

= 2786432 _{" 4.18·10}236739

Det skulle ta ca 10236721 _{miljarder år att se dem om}

man skulle se 50 stycken varje sekund.

14

Resonemang (utsagor, påståenden)

hävdar att individer och eller objekt har vissa egenskaper eller är relaterade till varandra på något sätt.

Logik

15

EXEMPEL

Exempel på utsagor

•

Lejonet Elsa är farlig.

•

Lejonet Elsa är inte farlig.

•

Lejonet Elsa spelar fiol.

•

Lejonet Elsa spelar fiol men inte flöjt.

•

Lejonet Elsa spelar fiol eller flöjt.

•

Om lejonet Elsa spelar fiol, så applåderar jag.

•

Lejon(Elsa) ∧ Farlig(Elsa)

•

Lejon(Elsa) ∧¬ Farlig(Elsa)

•

Lejon(Elsa) ∧ SpelarFiol(Elsa)

•

Lejon(Elsa) ∧ SpelarFiol(Elsa) ∧¬ SpelarFlöjt(Elsa)

•

Lejon(Elsa) ∧ (SpelarFiol(Elsa) ∨ SpelarFlöjt(Elsa))

•

(Lejon(Elsa) ∧ SpelarFiol(Elsa))ö Applåderar(jag)

Formalisering

tillräckligt villkor nödvändigt villkor

17

negation disjunktion konjunktion

P Q ¬_{P P} ∨ _{Q P} ∧ _Q S S F S S S F F S F F F S F F F S S S F

Semantik

med sanningstabell

18 P Q Pö _Q S S S S F F F F S F S S

Semantiken för ö

19 P Q Pö _{Q Q¤ŸP ŸQ}ö _ŸP S S S S S S F F F F F F S S S F S S S S ó ó

Tre ekvivalenta formler

Om du vill,

så kan du. Eller så vill du inte.Du kan! Om du inte kan, så vill du inte.

Aristoteles fyra grundformer

1. Alla P är Q 2. Något P är Q 3. Inget P är Q 4. Något P är inte Q 21 x(Lejon(x) öFarlig(x)) x(Lejon(x) Farlig(x)) ¬ x(Lejon(x) Farlig(x)) x(Lejon(x) ¬Farlig(x))

Kvantifiering

ANM.

När man säger att något lejon är farligt menar man

att det finns något farligt lejon – minst ett.

När man säger att att alla

lejon är farligamenar man

inte att det måste finns något

lejon – bara att om det finns något så är det farligt.

x P(x) 1. Alla lejon är farliga

2. Något lejon är farligt 3. Inget lejon är farligt 4. Något lejon är inte farligt

x P(x) allkvantorn existenskvantorn variabel SEMANTIK x P(x)sann i en värld

om någon individ i världen har egenskapen _P

x P(x)sann i en värld

om alla individer i världen har egenskapen _P

SYNTAX