Procentprojektet. Ett undervisningsförsök i matematik i skolår 6 med fokus på elever i matematiksvårigheter

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Examensarbete

10 poäng

Procentprojektet

Ett undervisningsförsök i matematik i skolår 6 med fokus på

elever i matematiksvårigheter

The Percentage Project

Experimental teaching in mathematics in school year 6 focused on

pupils in special needs in mathematics

Gunilla Edman

Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning 60 p Vårterminen 2007

Examinator: Birgitta Lansheim Handledare: Elsa Foisack

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning

Abstract

Edman, Gunilla. (2007). Procentprojektet. Ett undervisningsförsök i matematik i skolår 6 med fokus på elever i matematiksvårigheter. (The Percentage Project. Experimental teaching in mathematics in school year 6 focused on pupils in special needs in mathematics.)

Syftet med följande arbete är att studera elevers lärande i matematik med fokus riktat mot elever i behov av särskilt stöd. Undersökningsmetoden är ett undervisningsförsök. Undervisningens ämnesinnehåll är introduktion av begreppet procent i skolår 6. Försöket utgår från matematisk modellering som teori.

Först görs en genomgång av faktorer som kan bidra till gynnsamma villkor för elevers lärande. Sedan belyses inkludering av elever i behov av särskilt stöd. Därefter studeras undervisning om procenträkning genom observationer och intervjuer i två klasser år 7. Dessa data ligger till grund för ett undervisningsförsök som genomförs i skolår 6 om procent.

Studien visar, att lärare kan skapa situationer, där elever i matematiksvårigheter kan uppleva undervisningen i matematik mer meningsfull. Undervisningsförsök utifrån matematisk modellering visade sig ge elever i behov av särskilt stöd erfarenheter och upplevelser av ett samband mellan verklighet och matematik i ett inkluderande sammanhang.

Nyckelord: baskunnande i matematik, elever i behov av särskilt stöd, elevers lärande, inkludering, procent, undervisningsförsök.

Gunilla Edman Handledare: Elsa Foisack Sällerås 6705 Examinator: Birgitta Lansheim 28040 Skånes Fagerhult

FÖRORD

Mitt intresse för matematikundervisning för barn förändrades genomgripande, då jag lyssnade på en föreläsning av Dagmar Neuman i början av 90-talet om små barns talutveckling. Jag blev då medveten om, att genom att samtala med barn och försöka förstå hur de tänker, kunde jag lära mig mer om hur barn lär. Det ledde vidare till att jag valde en kompletteringsutbildning i matematik.

Den andra stora kompetenshöjaren i matematik var en veckolång världskongress i Köpenhamn 2003 om matematikundervisning. Då insåg jag, att matematik handlar om oändligt mycket mer än det som presenteras i elevernas lärobok.

Den senaste utmaningen handlar om att få alla elever, att behärska tillräckligt mycket matematik, för att skapa sig ett bra liv både som individ och samhällsmedborgare. Detta var en av anledningarna till att jag började på specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, för att därigenom fördjupa mina kunskaper om undervisning och skolutveckling. Livslångt lärande har därmed blivit en realitet också för mig personligen.

Matematikundervisning blev det naturliga valet för mitt examensarbete.

Många människor har på olika sätt bidragit till att jag kunnat studera. Jag är djupt tacksam och glad för det och hoppas kunna ge tillbaka på olika sätt.

Slutligen vill jag varmt tacka min familj, för att jag fått möjlighet att ägna den tid som krävts för att studera. Ni har alltid varit förstående och visat hänsyn på kvällar och helger de senaste åren, då jag varit upptagen av böcker och skrivande. Ni har också kritiskt granskat mina arbeten, haft kloka synpunkter, stöttat mina ambitioner, uppmuntrat mig i mina svackor och berömt mina uppnådda resultat. Tack Krister, Torbjörn och Viveka utan er hade detta arbete aldrig blivit till!

INNEHÅLL

1. BAKGRUND 9

2. SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR 11

3. LITTERATURGENOMGÅNG 13 3.1. Elevers lärande 13 3.1.1. Socialkonstruktivism 13 3.1.2. Sociokulturellt perspektiv 14 3.1.3. Fenomenografi 14 3.2. Specialpedagogik 15 3.3. Matematikdidaktik 16 3.3.1. Livsprojekt 17 3.3.2. Ämneskompetens 17 3.3.3. Ämnesinnehåll 18 3.3.4. Baskunskaper om procent 18 4. TEORI 21 4.1. Aktionsforskning 21 4.2. Lesson studies 21 4.3. Matematisk modellering 22 5. METOD 25 5.1. Allmänt om teorier 25 5.2. Val av metod 26 5.2.1. Fallstudie 26 5.2.2. Intervju 27 5.2.3. Undervisningsförsök 27 5.3. Urval 27 5.4. Etik 29 5.5. Tillförlitlighet 30

6. FÖRSTUDIE 31 7. PROCENTPROJEKTET 33 7.1. Delstudie 34 7.2. Genomförande av procentprojekt 34 7.2.1. Tankekarta 34 7.2.2. Gruppsamtal 35 7.2.3. Introduktion av procentprojektet 35 7.2.4. Procentkurs 36 7.2.5. Uppdrag 36 7.2.6. Redovisning 37 7.2.7. Utvärdering 37 8. RESULTAT 39 8.1. Förstudie 39 8.2. Procentprojektet 41 8.2.1. Delstudie 41 8.2.2. Tankekarta 41 8.2.3. Gruppsamtal 42 8.2.4. Introduktion av procentprojektet 42 8.2.5. Procentkurs 42 8.2.6. Uppdrag 42 8.2.7. Redovisning 42 8.2.8. Utvärdering 44 8.2.9. Sammanfattning av resultat 46 9. ANALYS 49 9.1 Elevernas förkunskaper 49 9.2 Elevernas begreppsbildning 50 9.3 Elevernas redovisning 50

9.4 Erfarenheter som lärare 51

10. DISKUSSION 53

10.2 Matematikdidaktik 54 10.3 Specialpedagogik 55 FORTSATT FORSKNING 59 REFERENSER 61 BILAGA 63

1 BAKGRUND

Matematikämnets betydelse, har de senaste åren på nytt lyfts fram i Sverige. I de internationella kunskapsstudierna PISA 2003 (Skolverket, 2004b) och TIMSS 2003 (Skolverket, 2004c) presterar svenska elever knappt medelmåttiga resultat i jämförelse med övriga deltagande länders elever. Eftersom svenska elever visar goda resultat i läsfärdighet i PISA-undersökningen och läsförståelse i PIRLS 2001 (IEAs undersökning Progress in International Reading Literacy Study), borde förutsättningarna för att höja elevernas kunskapsnivå i matematik vara fullt möjliga ur ett elevperspektiv.

I Skolverkets utvärdering av grundskolan NU-03 (Skolverket 2004a), avviker matematikämnet jämfört med andra ämnen och visar på elevernas försämrade kunskaper i matematik. I en fördjupad studie om matematik i skolår 9 (Skolverket 2005) har mätningar av elevers kunskaper och färdigheter fokuserat graden av måluppfyllelse kopplat till läroplaner och kursplaner. Särskilt viktigt var att få underlag för att belysa situationen för de elever, som inte når målen. Hos elevgrupperna 2001- 2003 nådde mellan tio och femton procent ej upp till godkändnivån på nationella ämnesprovet. En mindre andel runt 6,5 procent gick ut grundskolan utan slutbetyg i matematik.

Läroplanen Lpo94 formulerar det övergripande målet för matematikämnet så här:

Skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola …behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet, … (s.10).

Det betyder att det åligger de vuxna att skapa goda förutsättningar för elevernas kunskapsutveckling. Då behöver lärare aktuella kunskaper om elevers lärande. Dessa insikter ska sedan omsättas praktiskt i matematikundervisningen. Det krävs också matematikdidaktik, som belyser vad eleverna ska lära sig i skolan, varför och hur. Elevernas begreppsutveckling är nödvändig för förståelsen, men de måste också behärska vissa räknefärdigheter för att matematiken ska vara ett användbart redskap. Undervisningen behöver förankras i en konkret vardag som kan förstås av eleverna.

Efter samtal med några lärare och elever, om vilka begrepp i matematikämnet som eleverna har stora problem med, har jag valt att studera procenträkning i år 6 och 7. Procent nämns inte i mål att uppnå i skolår 5, men finns med i skolår 9. Ordet procent är latin och betyder per hundra eller av hundra. Det brukar översättas till hundradel. Fördelen med att beskriva andelar i procent är att stora tal kan hanteras på ett enkelt och enhetligt sätt. Procent är ett begrepp, som ofta används för att beskriva omvärlden, samhälle, ekonomi m.m. Därför är procent en viktig vardagskunskap. Vi möter dagligen procentuttrycket i olika sammanhang inte minst från information via media.

Eftersom jag tidigare undervisat yngre elever i matematik, saknar jag egna erfarenheter av att introducera och undervisa om procent. Därför var det särskilt intressant, att få ta del av erfarna matematiklärares undervisningsmetoder, samt välja och prova en metod som bygger på nya kunskaper och insikter. Fokus riktas på elever i behov av stöd, för att därigenom följa hur de utvecklas kunskapsmässigt.

Matematisk modellering, fick jag höra talas om på en konferens för matematikutvecklare anordnad av NCM (Nationellt Centrum för Matematikutbildning, Göteborgs Universitet) i samarbete med Myndigheten för Skolutveckling den 8 mars 2007 i Malmö. Matematisk modellering, som jag uppfattade det på föreläsningen, syftar till att hos eleverna skapa samband mellan verklighet och matematik. Detta sker genom kommunikation, undervisning, reflektion och slutprodukt. Föreläsarna undervisade med matematisk modellering i ett projekt i samarbete med en högskola och har utvärderats. Utvärderingen visade på att elevernas attityder till matematikundervisningen förbättrats signifikant.

Centrala begrepp: baskunnande i matematik, elever i behov av särskilt stöd, elevers lärande, inkludering, undervisningsförsök, matematisk modellering.

2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR

Studiens syfte är att undersöka hur det är möjligt att göra undervisningen i matematik mer meningsfull för alla elever och speciellt för elever i matematiksvårigheter. Min strävan är att utveckla kunskap, som kan bidra till att utveckla matematikundervisningen, så att fler elever uppnår läroplanens mål.

● Hur kan elever i matematiksvårigheter uppleva undervisningen i matematik mer meningsfull?

● Kan undervisning utifrån matematisk modellering gynna alla elevers lärande i matematik? ● På vilket sätt gynnas elever i svårigheter av undervisning inspirerad av matematisk modellering?

Studien utgår från matematisk modellering, som tillämpas i ett undervisningsförsök om procent i skolår 6, med inkludering av elever i behov av särskilt stöd.

3 LITTERATURGENOMGÅNG

För att genomföra studien behövde jag veta mer om elevers lärande, inkludering av elever i behov av särskilt stöd, lämpliga undervisningsteorier, baskunnande i matematik och procentbegreppet.

3.1 Elevers lärande

Först beskriver jag tre övergripande teorier om lärande, som har betydelse för förståelsen av hur elever lär. Teorierna är socialkonstruktivism, sociokulturellt perspektiv samt fenomenografi.

3.1.1 Socialkonstruktivism

Dysthe (1998) beskriver ett arbetssätt i en klass där elevers olika perspektiv medvetet framträder. Författaren kallar det för det flerstämmiga klassrummet. Alla elever får röst och arbetssättet blir då ett sätt att inkludera alla elever. Klassens arbete med skrivande och samtal med varandra blir viktiga verktyg i elevernas lärande. Det flerstämmiga klassrummet inspirerade mig, att tänka vidare på hur man kunde använda samtalet, som ett redskap i utvecklandet av begrepp i matematikundervisningen.

Samma författare anser också det dialogiska klassrummet vara en förutsättning för ett demokratiskt samhälle. Det dialogiska klassrummet blir då ett alternativ till det monologiska. Skillnaderna beskrivs av Dysthe (2003). Den dialogiskt organiserade undervisningen kontra den monologiskt organiserade undervisningen kan i korthet beskrivas med kännetecken som diskussion istället för lärarstyrt samtal, omvandling av den egna förståelsen kontra överföring av kunskap. Dialogism, där kunskap är något som skapas genom interaktion mellan olika röster i motsats till objektivism, där kunskap är något givet. Vidare är källan för önskvärd kunskap i det dialogiska klassrummet något som inkluderar den lärandes tolkningar och personliga erfarenheter medan den monologiska betraktar lärare och lärobok som auktoriteter och exkluderar den lärande.

handlande varelse. Lärande och mening skapas, när individen samtalar och samverkar med andra. Språket innehar därför en central funktion. Lärandet är en livslång process, som bygger på erfarenheter.

3.1.2 Sociokulturellt perspektiv

Kommunikationens betydelse är också central i ett sociokulturellt perspektiv, som beskrivs av Säljö (2000). Det är genom samtal om händelser med människor i omgivningen, som barnet blir invigt i hur världen förstås av dessa människor. Barnet kan sedan använda kunskaperna i sina kontakter med andra. Mänskligt samspel bygger då på kunskaper och insikter som överförts eller lånats av andra. Att behärska ett ämne innebär att man klart och tydligt kan förklara för andra med lämpligt språk. Genom språket kan vi förutom att dela erfarenheter också utveckla kunskaper i form av begrepp och symboler. Handlingar och kunskaper relateras till sammanhang och verksamheter. Värderingar, känslor och attityder kan härledas till den kultur man upplevt och erfarit. Lärande är inte bara kunskap, färdighet och förståelse utan också förmågan att urskilja vad som är relevant i en given situation.

Författaren utvecklar därefter, hur svårigheter att hantera och tillgodogöra sig texter i läroboken, inte ska ses som orsakade av individens egenskaper eller kognitiva förmåga, utan snarare som ett ökat krav på språkligt lärande och förväntningar på att lärande ska ske genom text. Särskilt tydliga blir svårigheterna att tillgodogöra sig information via text, när läroboken intar en central ställning i undervisningen. Enligt Skolverkets Rapport nr 221 (2003), spelar läroboken en dominerande roll i matematikundervisningen i grundskolans senare år. 79 procent av eleverna anger, att de arbetar enskilt vid varje eller nästan varje lektion i matematik (Skolverket, 2004b).

Säljö (2000) beskriver skolan som den utvecklingszon, som samhället erbjuder. Politiska samtal måste avgöra, hur olika intressen skall tillgodoses, när människor med olika bakgrund och skiftande förutsättningar möts för att tillägna sig delar av de kunskapssystem som utvecklats.

3.1.3 Fenomenografi

Fenomenografin utgår från att beskriva fenomen i världen utifrån hur andra betraktar dem. Medvetandet beskriver lika mycket världen, som det beskriver personen. I pedagogiska

sammanhang kan det vara relevant, att beskriva variationer i kvalitativt skilda sätt att erfara eller förstå fenomen (Marton & Booth, 2000).

Lärandet liknas vid ofullständiga och ursprungliga idéer liknande frön som kan växa. Ytinriktat lärande t.ex. komma ihåg text, kan utvidgas till giltig kunskap och djupinriktat lärande, då man kan förstå idén eller begreppet. Lärandet är ett resultat av att ha en del erfarenhet. Människans erfarande är alltid ofullständigt och olika människor erfar världen olika. Om vi lär oss hur världen framstår för andra, kommer vi att lära oss hur världen ser ut och hur den skulle kunna se ut. I allmänhet är erfarandet ett förmedlat erfarande. Vi står inte inför fenomenet som sådant, utan fenomenet såsom andra beskriver det. Alltså om vi skapar det flerstämmiga klassrummet får vi flera samtidiga aspekter, som i sin tur kan bidra till en mer avgränsad definition av ett fenomen.

3.2 Specialpedagogik

Inkluderingsbegreppet utgår ifrån centrala värden som delaktighet och gemenskap och markerar en ny syn på elever i behov av särskilt stöd. I skolan uttrycks detta när man talar om en skola för alla.

Hänsyn ska tas till elevernas olika förutsättningar och behov. Det finns olika vägar att nå målet. Skolan har ett särskilt ansvar för de elever som av olika anledningar har svårigheter att nå målen för utbildningen. Därför kan undervisningen aldrig utformas lika för alla (Lpo 94, s. 6).

Inkludering skiljer sig från integrering, genom att skolan i sin utformning ska utgå från elevers olika förutsättningar, medan integrering mer handlar om att elever ska anpassas till en skolsituation, som i egentlig mening inte är anpassad för dem (Nilholm, 2006). Författaren tar också upp dilemmat i skolan då alla elever ska lära sig samma sak, samtidigt som man måste anpassa sig till elevers olikheter. Specialpedagogik är ett sätt för utbildningssystemet att hantera problemet, men det innebär också att man fortsätter att göra skillnad mellan elever. Ahlberg (2001) skriver om det individinriktade perspektivet där specialundervisningen ska kompensera individens brister. Skolan ska erbjuda eleven hjälp för att nå upp till skolans krav. Följden blir ofta en kategorisering av elever som leder till särskiljande undervisning. Ofta går eleverna i ”liten grupp”. Det deltagarinriktade perspektivet med inkluderande undervisning

innebär, att det är en rättighet för eleven att ingå i den sociala gemenskapen på sina egna villkor. Det är skolan och inte eleverna som ska anpassas och förändras.

Ahlberg (2001) menar att de båda beskrivna perspektiven är alltför enkelriktade orsaksmodeller. Hon för fram ett tredje perspektiv, ett kommunikativt relationsteoretiskt perspektiv. Utgångspunkten är att se komplexiteten i skolans verksamhet. Det gäller att studera hur skolan möter elever i behov av särskilt stöd. Det är då samspelet mellan skolans organisation och verksamhet och den enskilda eleven som är centralt.

Nilholm (2006) har utifrån befintlig forskning inte kunnat dra några slutsatser om huruvida elever i behov av särskilt stöd gynnas av att vara i inkluderande miljöer. Betydelsefulla faktorer hos läraren som lyfts fram för att öka inkluderingen är attityder till olikheter, förmåga att anpassa undervisningen till olikheter, erfarenhet, anpassning av kursplanerna, tillgång till specialistkunskap och förmåga att stärka elevernas sociala relationer.

Lärarens betydelse kan jämföras med elevernas uppfattningar om lärare som undervisar bra, som sammanfattats i den fördjupade ämnesrapporten om matematik i skolår 9 (Skolverket, 2005). Bra undervisning kännetecknas av lärare som är bra på att förklara, kan knyta matematiken till samhället utanför skolan och skapar engagemang och intresse för ämnet. Eleverna får veta vad som krävs enligt kursplan och betygskriterier och de har inflytande i planering, innehåll och arbetssätt. Läraren har höga förväntningar på eleverna, visar tilltro till deras förmåga, stöttar och uppmuntrar dem. Eleverna får genom samtal med läraren veta vad de är bra på och hur de kan förbättra sig. Vidare känner eleverna sig sedda och kommunikationen mellan lärare och elev är vanligt förekommande. Lektionerna är lugnare, enskilt arbete varvas med andra arbetsformer och läroboken är inte totalt dominerande utan andra arbetsuppgifter förekommer. Undervisningen är mer varierad med diskussioner och grupparbeten. Läraren tar reda på vad eleverna kan, inte bara genom skriftliga prov utan också genom muntliga förhör, samtal i klassen och redovisning av grupparbete.

3.3. Matematikdidaktik

Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer,

för att tolka och använda det ökade flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället (Skolverket, 2000. s. 26).

Didaktik är det systematiska studiet av undervisningens innehåll och dess förutsättningar (Johansson & Svedner, 2004). Viktiga frågor att besvara är vad som ska läras, hur det ska ske och varför det är betydelsefullt.

Myndigheten för Skolutveckling (2003) har givit ut ett stödmaterial där baskunnandet i matematik belyses ur tre olika perspektiv nämligen som ett livsprojekt, en ämneskompetens och ett ämnesinnehåll. De tre perspektiven presenteras nedan och därefter beskrivs baskunskaper i procent eftersom procentbegreppet ingår i denna studie.

3.3.1 Livsprojekt

Matematikkunnande som livsprojekt kategoriseras som demokratisk kompetens, det livslånga och livsvida lärandet av individen. Matematiken bidrar också till bildning och personlighetsdanande, som betonar vem man är (Myndigheten för Skolutveckling, 2003).

3.3.2 Ämneskompetens

När det gäller matematikkunnande som ämneskompetens enligt nuvarande läroplan har kompetenserna dubbel innebörd, dels som förmågan att använda matematisk kunskap, dels som förmågan att utveckla matematisk kunskap. Eftersom den undervisningsteori jag använder, i det undervisningsförsök jag beskriver längre fram, enligt min åsikt är väl lämpad för att använda och utveckla kompetenserna, redogör jag här för ämneskompetenserna så som de uttrycks av Myndigheten för skolutveckling (2003).

För att matematikkunnande ska vara ett livsprojekt måste matematik upplevas som meningsfull, användbar och värdefull. Individen måste ha en stark tilltro till sin förmåga att använda matematik i sitt vardagsliv, samhällsliv, kommande studier och yrkesliv. Matematiken har också ett egenvärde och betydelse sett i ett historiskt, kulturellt och samhälleligt helhetsperspektiv. Nödvändiga kompetenser i matematik är förståelse av matematiska begrepp och operationer och deras samband. Genom samspel mellan begreppsförståelse och behärskande av olika slags räkneprocedurer läggs en grund för problemlösning. Förmågan att lösa matematiska problem innebär att kunna formulera, modellera, representera och hitta lösningar såväl inom matematiken som från vardagsliv, yrkesliv och andra ämnen. För att

kunna diskutera sina tankar och frågeställningar och argumentera för sina lösningar krävs viss kommunikationsförmåga både i tal och i skrift.

3.3.3 Ämnesinnehåll

Matematikkunnande som ämnesinnehåll beskrivs som stråk från förskola till gymnasium och utvidgas enligt gällande kursplaner. Ämnesinnehållet är inte skilt från ämneskompetens utan de båda samverkar. Följande fem områden är presenterade: tal och operationer, geometri och visualisering, sambandsrepresentationer och symbolförtrogenhet, mätning och enheter samt statistik och sannolikhet (Myndigheten för skolutveckling, 2003).

Skolverket (2005) sammanfattar kursplanens mål att uppnå i sex övergripande målområden nämligen taluppfattningsmålet, algebramålet, beräkningsmålet, geometrimålet, statistikmålet och sannolikhetsmålet

Löwing och Kilborn (2002) har tolkat baskunskaper i matematik som det minimum av kunskaper eleverna måste förvärva för att dels kunna beskriva och hantera situationer, dels lösa sådana problem som vanligen förekommer i hem och samhälle. Vidare ska eleverna förvärva nödvändiga kunskaper i matematik för att kunna tolka och bearbeta information från andra skolämnen. Eleverna ska även ha de matematikkunskaper som behövs såsom grund för fortsatt utbildning.

3.3.4 Baskunskaper om procent

Eleverna behöver få en säkerhet och förståelse för hur man räknar ut procent av något i huvudet, muntligt och skriftligt. Unenge (1988) beskriver två metoder att beräkna 12% av 300 kr.

1) Man multiplicerar procenttalet uttryckt i decimalform med antalet kronor, dvs 0,12 x 300 kr.

2) Man räknar ut hur många kronor 1 % motsvarar av 300 kr (3 kr), alltså antalet kronor per procent. Då måste 12 % vara 12 gånger så mycket, dvs 12 x 3 kr.

Unenge menar att Metod 2 är naturligast att utgå från i den elementära undervisningen för barn. Den första metoden är mer rationell och blir så småningom nödvändig i gymnasieskolan. Löwing och Kilborn (2002) varnar för att den ovan beskrivna Metod 1 kan bli en

procedurräkning utan mening, om förståelse för begreppet procent som en andel av en helhet saknas. De menar att det är viktigt att konkretisera, för att så många som möjligt ska förstå begreppet procent. Olika elever lär på olika sätt och konkretisering kan därför göras på olika sätt. Rutnät, pengar och procentskiva är exempel på tre olika modeller som presenteras utförligt av Löwing och Kilborn (2002).

För elever i svårigheter är det viktigt att avväga inriktningen mot procedurräkning och olika tekniker, eftersom de ofta glöms bort om de inte är grundade i förståelse (Ahlberg, 2001). Enligt författaren är en väg att skapa förståelse, att ge eleverna möjlighet, att själva formulera problem och uppgifter av olika svårighetsgrad. Genom att eleverna får rika tillfällen att använda olika uttryckssätt kan de utveckla sin förståelse. Samtal och reflektioner kring egna och andras problem och uppgifter som anknyter till elevernas eget vardagsliv bidrar också till ökad förståelse.

4 TEORI

Studien utgår från de tidigare beskrivna övergripande teorier, som ser elevers lärande som en process, där kunskap konstrueras dels genom samtal, dels beroende av kontexten, sammanhanget och även erfarandet. Teorierna kommer till uttryck i ett sociokulturellt perspektiv samt genom fenomenografin.

I detta kapitel redogör jag för tre teorier, som är vanligt förekommande inom matematikundervisning, och som jag övervägde att använda i min studie nämligen aktionsforskning, Lesson Studies och matematisk modellering. Teorierna innebär att samtliga elever kan inkluderas i undervisningen. Eftersom matematisk modellering var en för mig helt ny teori blev jag mycket intresserad av att undersöka just den. Därför valde jag till sist matematisk modellering och beskriver denna utförligare än de andra.

4.1 Aktionsforskning

Aktionsforskning, är ett tillvägagångssätt som går ut på att utveckla och pröva något nytt, samtidigt som man forskar om vad som händer under processen och följer upp resultatet (Johansson & Svedner, 2004). Eleverna deltar i försökets uppläggning och genomförande. Man förändrar som regel inget under försökets gång. Metoden innebär att forskaren kan vara medspelare i undervisningen, men också distansera sig för att kunna iaktta vad som händer i klassrummet. Här behövs det en lärare och en forskare som samarbetar. Fördelar med aktionsforskning är att alla är delaktiga, den är praktisk och inriktad på problemlösning. Nackdelar är att metoden är svår att generalisera och att det kan vara svårt att urskilja vad i processen som åstadkommit resultatet man fick.

4.2 Lesson Studies

Lesson Studies är en metod som är en del av den japanska undervisningskulturen (NCM, 2001). Metoden innebär att lärare lär av varandra. Den bygger på att några lärare gemensamt studerar och planerar ett matematikområde. Därefter genomför en lärare den planerade lektionen, medan de övriga lärarna observerar elevernas lärande och förståelse. Sedan utvärderas lektionen och förbättras. Den reviderade lektionen genomförs nu av någon annan

upprepade gånger tills alla är nöjda (www.ncm.gu.se/matematikutvecklare). Fördelar med Lesson Studies är att lärare lär gemensamt och att den slutliga lektionen är väl utprövad och kan användas flera gånger. En nackdel kan vara att det är tidskrävande i inledningsskedet med planeringar, auskultationer och utvärderingar.

4.3. Matematisk modellering

Matematisk modellering beskrivs av Blomhøj (2006) som en undervisningspraktik där man

utgår från relationen mellan verklighet och matematik. Modelleringsaktiviteter kan stödja motivationen i inlärningsprocessen och stödja bildandet av viktiga matematiska begrepp. Enligt författaren är det möjligt att se matematisk modellering som en teori för undervisning och lärande och att använda den som en bas för utveckling av matematikundervisningen.

Teorin har utvecklats och utvecklas fortlöpande genom interaktion mellan teoretiska reflektioner och utveckling av undervisningens praktik, och den kan därför betraktas som ett paradigmatiskt exempel på teoretisk utveckling i forskningen kring matematikens didaktik (Blomhøj, 2006, s. 94).

Viktiga delar av teorin är begreppen ”matematisk modell” och ”modellering”. Blomhøj (2006) definierar matematisk modell som ”relationen mellan matematiska objekt och dess relationer samt en situation eller ett fenomen av icke-matematisk natur”. Enklare uttryckt matematiktillämpning på en vardagssituation. Genom att göra modellens relationer synliga och diskutera möjliga tillämpningar, kan övervägande kring matematiska begrepp, representationer och innebörd i sammanhanget göras. Eleverna får också möjlighet att kritiskt granska modellen och argumentera för och emot sina ståndpunkter.

För att skapa och använda en matematisk modell är det nödvändigt att genomföra en modelleringsprocess. Den beskriver Blomhøj i följande sex delprocesser:

1) Formulering av en uppgift (mer eller mindre explicit) som ger vägledning för att identifiera kännetecken hos den uppfattade verklighet som ska modelleras.

2) Val av relevanta objekt, relationer etc. från det aktuella undersökningsområdet, samt en idealisering av dessa för att möjliggöra en matematisk representation.

3) Översättning av objekt och relationer från ursprungliga representationer till matematik.

4) Användning av matematiska metoder för att få matematiska resultat och slutsatser.

5) Tolkning av dessa som resultat och slutsatser med hänsyn till undersökningsområdet.

6) Utvärdering av modellens giltighet genom jämförelser med data, observerade eller förutspådda, och med kunskap (teoribaserad eller baserad på gemensamma eller personliga erfarenheter).

Modelleringsprocessen ska inte ses som en linjär process utan snarare som en cyklisk process, där var och en av delprocesserna kan leda till förändringar av de andra delarna. Basen för alla delprocesser är teoretisk kunskap och empiriska data.

Läraren måste skapa en situation för modellering så att eleverna kan arbeta med fenomen eller situationer från verkligheten och därigenom använda sig av sina matematikkunskaper i modelleringsprocessen. Detta innebär att läraren noggrant måste planera, undervisa, observera och analysera ett undervisningsmoment. Det är också möjligt att inrikta eleverna mot modelleringsaktiviteter som omfattar matematiska begrepp, fenomen eller problem, men uppgiftsorienteringen kan begränsa elevernas motivation och fria val i processen.

Sammanfattningsvis anger Blomhøj tre viktiga argument för matematisk modellering som centralt moment i matematikundervisningen, redan från tidiga åldrar.

För det första överbryggar modellering gapet mellan elevers erfarenheter av verkligheten och matematiken. Den stimulerar dem att lära sig matematik, skapar kognitivt stöd för begrepp och placerar matematik i kulturen som ett sätt att beskriva och förstå verkliga situationer. För det andra är kompetensen att ställa upp, analysera och kritisera matematiska modeller av avgörande betydelse i högteknologiska samhällens utveckling. Detta gäller såväl för individen som för samhället. För det tredje spelar matematiska modeller av olika slag och komplexitet en betydande roll för hur högteknologiska samhällen fungerar och formas. Det innebär att såväl expertens som lekmannens kompetens att kritisera modeller och sätten de används på blir allt viktigare för att bevara och utveckla demokratin.

Nackdelar med matematisk modellering kan vara att eleverna har bristande erfarenhet eller kunskap om det område som modelleringsaktiviteterna gäller. Eleverna kan ha svårigheter framförallt med översättningen till matematik och användningen av matematiska metoder. Problem för läraren kan vara att formulera uppgiften och hitta lämplig verklighetsanknytning till området. Det kan också uppstå problem om några elever har samarbetssvårigheter eller om det uppstår bristande intresse hos eleverna inför arbetet.

5 METOD

Syftet är som tidigare nämnts att studera elevers lärande i matematik med inriktning mot elever i behov av särskilt stöd i matematik. Jag valde att genomföra ett undervisningsförsök, i samband med att procent introduceras som ett nytt begrepp i skolår 6. Med undervisningsförsök menar jag, att planera undervisning om begreppet procent, genomföra momentet, beskriva hur det gick praktiskt och utvärdera resultatet.

5.1 Allmänt om metod

En metod för att studera elevers lärande är att göra en fallstudie. Genom att djupintervjua en elev med behov av stöd skulle fallstudien kunna gagna förståelsen för just den enskilde elevens specifika svårigheter och öka förståelsen för elevens behov. Fallstudien skulle också kunna bidra till nya kunskaper om elevers lärande. Nackdelen med en fallstudie är att den beskriver endast individens upplevelse och värdet av resultatet kan bli tveksamt som underlag för några mer generella slutsatser om elevers lärande (Merriam, 1994).

Enkät kan vara en metod för att kartlägga elevers förförståelse av ett kunskapsområde och för att göra en jämförande mätning av elevers kunskaper efter genomförd undervisning. Svaren på enkäten kan kategoriseras och bilda olika undergrupper. Svårigheterna med enkätundersökningar är att formulera lämpliga frågor. Fördelar med enkäter är att man snabbt kan få in ett omfattande underlag. En nackdel är att informationen lätt blir ytlig (Johansson & Svedner, 2004).

För att studera lärares undervisning kan man välja en observationsmetod. Denna kan variera från strikt strukturerad observationsmall med kategorischema till mycket öppen observation med löpande protokoll eller dagboksanteckningar (Johansson & Svedner, 2004). Fördelen med observation är att man får mycket information på kort tid och att man får en beskrivning av vad som faktiskt sker i en särskild undervisningssituation. Lärandet kan bandas eller filmas för att senare skrivas ut och analyseras. En nackdel kan vara att den observerade lärarens beteende påverkas av medvetenheten om att bli studerad av en utomstående.

Observation kan med fördel kompletteras med kvalitativ intervju för att få djupare information eller för att förtydliga det observerade. Intervjuer kan utformas som strukturerade

intervjuer och svaren blir lätta att bearbeta och jämföra med varandra. Svårigheten är att utforma relevanta frågor som kan besvaras av alla. Det finns också risk för att intervjuaren är partisk i val av frågor eller missar oförutsedd information. Intervjun kan även vara ostrukturerad och utgå från några huvudfrågor, men för övrigt anpassas efter den intervjuade och de svar som ges. På så vis kan helt ny information komma fram. Svaren kan bli svårare att jämföra än i den strukturerade intervjun. En nackdel med intervjuer är att de är tidskrävande att genomföra och skriva ut (Stukát, 2005).

Ytterligare en metod som kan vara användbar är undervisningsförsök, som innebär att man planerar, genomför och utvärderar något undervisningsområde. Planeringen av undervisningsförsöket bör vara noggrann, särskilt när det gäller materialinsamlingen. Det kan vara lämpligt att göra en enkel enkät som förmätning och eftermätning. Undervisningen kan dokumenteras genom anteckningar och insamlande av lektionsplaneringar. Utvärderingen kan göras muntligt eller skriftligt. Matrialinsamlingen kan bli omfattande och tidskrävande. En lämplig metod för bearbetning av materialet kan vara kategorisering eventuellt med undergrupper. Brister i undervisningsförsök kan vara att datainsamlingsmetoderna är alltför allmänna och att resultaten redovisas ofullständigt (Johansson & Svedner, 2004).

5.2 Val av metod

Jag övervägde tre olika metoder för att studera elevers lärande nämligen fallstudie, intervju och undervisningsförsök.

5.2.1 Fallstudie

Då jag regelbundet och enskilt undervisar en elev i år 8, som har svårigheter att nå kunskapsmålen i matematik, började jag samtala med honom om procent. Eftersom hans begrepp om procent var oklara, skulle han kunna bidra till min förståelse för hur en fallstudie skulle kunna utformas. Hans erfarenheter av procent uttryckte han som att det var svårt och att han inte fattade hur man räknade procent. Det var svårt att få honom att säga något mer. Jag märkte också hur komplicerat det var att hitta lämpliga frågor att ställa om vad det innebär att lära och att behärska procent. Detta sammantaget bidrog till att jag avstod från att göra en fallstudie.

5.2.2 Intervju

För att involvera fler elever i undersökningen skulle jag kunna genomföra intervjuer med ett antal elever. Metoden kräver att intervjufrågorna är väl anpassade i förhållande till det man ska undersöka. Eftersom jag skulle studera hur elevers lärande bildas i samband med begreppsbildning tyckte jag det var svårt att hitta relevanta frågor. Om intervjuerna blev alltför öppna skulle svaren vara svåra att jämföra och om de var alltför preciserade var risken stor att missa faktorer av betydelse för lärandet. Några elever skulle kanske inte vilja delta i intervjuer och studien skulle då kunna bli alltför begränsad. Att fånga en lärprocess kan också bli mycket tidskrävande om intervjuerna ska spelas in och senare skrivas ut.

5.2.3 Undervisningsförsök

Den tredje metoden ett undervisningsförsök (Johansson & Svedner, 2004) blev den metod jag valde för att den bäst passade för matematisk modellering. Matematisk modellering som beskrivits tidigare syftar till att sammanföra verkligheten och matematiken till ett begripligt sammanhang för eleverna, för att därigenom underlätta förståelsen av ett begrepp. I ett undervisningsförsök skulle jag kunna fokusera på elever i behov av särskilt stöd i deras naturliga läromiljö i klassen. Eleverna skulle interagera med mig som lärare utifrån sitt vanliga förhållningssätt. Problemet med försöket var att det skulle bli svårt att både undervisa och observera samtidigt. Detta kunde delvis lösas genom att assistenten, som oftast var med på matematiklektionerna, skulle samarbeta med mig. Att jag kände eleverna underlättade planeringen av undervisningsförsöket. En nackdel var naturligtvis att jag bar med mig föreställningar om eleverna grundade på tidigare erfarenheter jag fått som deras lärare. Jag hade också vissa farhågor när det gällde att introducera ett nytt arbetssätt samtidigt med ett nytt begrepp. Resultatet skulle kunna bli svårtolkat och effekterna svåra att bedöma. Trots det ville jag genomföra ett undervisningsförsök för att därigenom kunna omsätta matematisk modellering till egen praktik och på så vis få nya insikter och kunskaper. Dessa skulle kunna bidra till att utveckla och förbättra matematikundervisningen så att även elever i behov av särskilt stöd når målen.

5.3 Urval

jag arbetar. Det är en F-9 skola med en klass t.o.m. år 5 och två klasser från år 6-9 där elever från två andra små byskolor tillkommer. Skolan är belägen i en mindre ort i en liten landsortskommun. Kommunens befolkning har i jämförelse med riksgenomsnittet låg utbildningsnivå, låg arbetslöshet och få invandrare. Den största arbetsgivaren är kommunen, följt av bygg- och småindustrier.

Totalt har 76 elever, 3 matematiklärare och 2 elevassistenter deltagit i studien.

Eleverna som ingår i studien tillhör två klasser i år 6 och två klasser i år 7. Samtliga fyra klasser består av 19 elever. Jag valde år 6 för undervisningsförsöket eftersom jag undervisar den ena klassen i matematik. Den andra sjätteklassen blev då en lämplig kontrollgrupp. Klasserna har valts ut för att man arbetar med procent för första gången i år 6 och för att procenträkning återkommer i år 7. En mellanstadielärare och en 4-9 Ma/No-lärare, som undervisar i varsin årskurs 7, observerades när de undervisade om procent.

När det gällde vilka elever som var i behov av särskilt stöd, blev det svårt att göra klara avgränsningar, vilket kan ha viss betydelse för tillförlitligheten. Jag kommer att redovisa antalet elever, som undervisande matematiklärare bedömde som elever i behov av särskilt stöd samt egna överväganden. Min utgångspunkt var att identifiera minst tre elever från varje klass. 12 elever av 76 skulle kunna representera de elever, som kan befaras vara i riskzonen för matematiksvårigheter, om man jämför med de tio till femton procent elever, som enligt rapporten NU –03 (Skolverket, 2005) ej uppnådde godkänt resultat åren 2001- 2003 på de nationella ämnesproven i matematik i år 9. Jag grundade urvalet av elever på följande två kriterier. Det ena var att eleven ej uppnått målen i år 5 kopplat till resultatet på det nationella ämnesprovet i matematik för skolår 5. Det andra kriteriet var undervisande lärares bedömning av elever i matematiksvårigheter. Alla elever i behov av särskilt stöd är inkluderade i klasserna. En elevassistent arbetar i vardera årskurs 6.

I Tabell 5.1 redovisar jag 3 eller 4 elever per klass, beroende på hur många som bedömdes kunna var i riskzonen för matematiksvårigheter. Bokstaven P står för pojke och F för flicka. Klassen som deltar i undervisningsförsöket kallas 6 U och kontrollgruppen 6 K. För klasserna i år 7 blir det 7 A och 7 B. Frågetecknen betyder att läraren är osäker på om eleven behöver stöd. Det kan variera beroende på vilket matematiskt område som behandlas.

Tabell 5.1 Elever i riskzonen för matematiksvårigheter.

Elev Klass Ej uppnått målen år 5 Lärarens bedömning Annat

1 6 U F X Nyinflyttad 2 6 U P X Elevassistent som stöd 3 6 U P X 4 6 K F X 5 6 K P X 6 6 K F X 7 6 K P X 8 7 A F ? Nyinflyttad 9 7 A F X 10 7 A F X 11 7 A P X 12 7 B F X 13 7 B F X 14 7 B F X

I undersökningsgruppen hade en elev, som flyttat till skolan innevarande år inte gjort det nationella provet i matematik för år 5. En elev hade klarat det nationella provet och godkänts med minsta möjliga marginal. En tredje elev har klarat det nationella provet men haft låga poäng på diagnoser och provräkningar under läsåret och är ofta i behov av stöd i matematikämnet. Eleverna i undersökningsgruppen kommer att kallas Nina, Rikard och Mike.

I kontrollgruppen har två elever inte uppnått målen i år 5. Övriga elever hade godkänt på de nationella ämnesproven och bedömdes ha uppnått målen i matematik för år 5.

5.4 Etik

Först berättade jag för berörda lärare om min C-uppsats och innehållet. Jag frågade om jag fick besöka deras klasser och observera introduktionen av procent i år 7. Vi kom överens om lämplig tid, bandupptagning med Mp3 spelare på läraren, anonymitet och tillgång till det skrivna i C-uppsatsen. Lärarna godkände också att eleverna skulle skriva tankekartor som fördiagnos.

Jag besökte de fyra klasserna för att muntligt delge eleverna studiens syfte. Först presenterade jag mig själv, berättade om mina studier på högskolan, förklarade vad undersökningen skulle användas till och vilka som skulle läsa den. Vidare betonade jag betydelsen av undersökningen och att jag var tacksam, om eleverna kunde bidra till mitt examensarbete. Eleverna försäkrades konfidentiell behandling av uppgifterna, informerades om att det var frivilligt att delta och att de hade rätt att när som helst avbryta sitt deltagande, om de så önskade. Namnen på eleverna i undersökningsklassen är fingerade.

5.5 Tillförlitlighet

För att undervisningsförsöket skulle bli framgångsrikt studerade jag erfarna lärares undervisning i procent i en förstudie. Jag diskuterade procenträkning med flera olika lärare. För att både jag och eleverna skulle testa matematisk modellering, genomförde vi den på det kända begreppet area. En elevassistent som arbetade som stöd åt en elev i år 6 blev en medhjälpare och samtalspartner under den tid, som undervisningsförsöket pågick. Trots dessa förberedelser är jag medveten om att studiens resultat inte kan generaliseras eftersom underlaget är alltför begränsat, men jag tror samtidigt att undersökningsförsöket kan bidra till nya kunskaper om matematikundervisning med fokus på elever i behov av särskilt stöd.

6. FÖRSTUDIE

Eftersom syftet med försöket var att utveckla matematikundervisningen så att alla elever når målen, var det angeläget att samla information om gynnsamma faktorer för elevers lärande. Detta gjorde jag genom litteraturstudier, som jag sammanfattat och redovisat i kapitel 3, samt genom att observera hur två erfarna lärare undervisade, när de introducerade procent i år 7.

Observationerna skulle ge information som jag kunde ha nytta av när jag planerade undervisningsförsöket om procent. Först gjorde jag en kartläggning av elevernas förkunskaper i år 7, genom att eleverna fick göra en tankekarta om procent. Sedan gjorde jag en observation under en lektion med löpande protokoll i den ena klassen, samt bandinspelningar av två lektioner, som senare skrevs ut, från den andra klassen. Lärarna fick i öppna intervjuer berätta om sina metoder och tankar kring procentberäkning dels före, under och efter procentmomentet.

Lärobokens totala dominans (Skolverket 2003) bekräftades då jag gjorde bandinspelning i år 7. En elev frågade innan genomgången. ”Vilken sida är det?” Läraren visade två lösningsmetoder på tavlan. Den ena utgick från att procent kunde omvandlas till förenklade bråk. Den andra utgick från att man räknar ut 1 % genom att dela det hela med 100, alltså Metod 2 (Unenge, 1988). Den senare betonades av läraren som en säker metod för den osäkre. Endast några av de säkraste eleverna deltog aktivt i genomgången, genom att svara på lärarens frågor. Tiden mellan fråga och svar var kort. Utbytet för de elever som inte kunde svara direkt är oklart. En av de elever som finns med i Tabell 5.1, sa till läraren efter genomgången då hon arbetade med lärobokens uppgifter. ”Jag förstod inte det där på tavlan. Det var helt krångligt!”

Däremot var det ingen dominans av det tysta räknandet. Eleverna diskuterade med varandra och läraren gick runt och samtalade hela tiden med någon elev och någon gång med flera, om de hade samma problem. De osäkraste eleverna lotsades av läraren till rätt svar eller fick rätt svar av läraren i mycket högre grad än de som visade viss förståelse. De senare uppmanades till mer eget tänkande och räknande.

Ordet rabatt var inte helt klarlagt för alla. En elev trodde att en vara som kostat 100 kr kostade 70 kr när det var 70 % rabatt. Möjligen var det procentbegreppet, som var oklart. Procentavsnittet avslutades efter tre veckor med lärobokens diagnos.

Därefter gjorde jag observation med löpande protokoll i den andra klassen år 7. Läraren konkretiserade procenträkning till en jacka han tänkte köpa på rea. Nivån på procenträkningen var mer avancerad och handlade om hur man räknar ut ökning resp. minskning av ett pris i procent. Läraren presenterade olika sätt att räkna på tavlan. Endast ett fåtal av eleverna svarade på frågor. Eleverna lyssnade en hel lektion på genomgången. Läraren berättade på ett personligt sätt om sina inköpsbestyr, vilket gjorde att eleverna lyssnade koncentrerat och ibland spontant fällde relevanta kommentarer. Även denna klass arbetade sedan enskilt med läroboken.

Eleverna fick efter två veckor i uppdrag av mig, att i grupper producera ett arbete, som kunde visa elever i år 6 vad procent är. Procentavsnittet avslutades efter den tredje veckan med samma diagnos som den andra klass 7.

Kontrollklassens elever i år 6 hade traditionell undervisning om procent med matteboken som läromedel. Eleverna hade först gjort en tankekarta om vad de visste om procent. Lärarens introduktionen utgick från rea.

7 PROCENTPROJEKTET

Min utgångspunkt var att jag skulle introducera procent i år 6, där jag normalt undervisar. Jag funderade på hur undervisningen om procent skulle kunna introduceras i klassen, så att den skulle gynna alla elevers lärande och på så vis bidra till att öka elevernas möjligheter att uppnå målen. Eftersom elever med behov av särskilt stöd undervisas i klassen, ville jag med min studie få möjlighet att studera elevers lärande i en klass, där elever i matematiksvårigheter är inkluderade. Genom att göra ett undervisningsförsök om procent skulle jag kunna få egna erfarenheter om hur dessa elevers lärande utvecklas i matematik.

Efter att ha lyssnat på en föreläsning om matematisk modellering, bedömde jag denna undervisningsteori som fullt möjlig att genomföra på egen hand i år 6, i samband med introduktionen av procent. Föreläsarnas entusiasm och presentation av sina erfarenheter av matematisk modellering bidrog starkt till att jag valde matematisk modellering i mitt undervisningsförsök. Teorin stämmer överens med de tankar om lärande i matematik, som jag tidigare läst om, genom att den bygger på samtal och erfarenheter från verkligheten kopplade till matematiken. Matematisk modellering utgår inte från läroboken utan från elevernas behov. Undervisningsförsöket kommer därmed att svara mot ett av Skolverkets förslag till förbättringar av kvalitén på matematikundervisningen.

En minskning av lärobokens närmaste totala dominans i undervisningen till förmån för olika läromedel och undervisningsmaterial för att nå de nationella målen (Skolverket, 2003, s. 56).

Datainsamlingen skedde genom att jag efter lektionerna antecknade vad jag iakttagit genom att lyssna på och samtala med eleverna och observera deras arbetsprocess. I klassen fanns en elevassistent, som kunde hjälpa mig att observera, anteckna och även fungera som en diskussionspartner. Assistenten fungerade ibland som vikarie i matematik i klassen och eleverna var vana att använda henne som en resurs i klassen.

Elevernas skriftliga arbeten var ett annat underlag för min studie. Eleverna skulle enskilt skriva ner tankekartor om procent före och efter försöket, genomföra ett uppdrag i grupp,

samt inför klassen redovisa muntligt och skriftligt om procent. De skulle också enskilt utvärdera skriftligt med tre positiva och tre negativa tankar om procentprojektet.

Först redogör jag för en delstudie. Därefter beskriver jag genomförandet av ett undervisningsförsök med arbetsnamnet Procentprojektet.

7.1 Delstudie

Delstudien i år 6 genomförde jag för att testa matematisk modellering. Eleverna fick arbeta med area. Resultatet av att använda matematisk modellering i en delstudien ledde till att jag mycket noggrannare och mer genomtänkt planerade undervisningsförsöket, både när det gällde innehåll och organisation, men också när det gällde att anpassa undervisningen till elevernas olika förutsättningar.

7.2 Genomförande av procentprojektet

När jag planerade undervisningsförsöket utgick jag från att eleverna skulle få nya erfarenheter av procent genom att ta del av klasskamraternas kunskaper, få gemensam klassundervisning och genomföra ett uppdrag i grupp, som skulle redovisas. Genom samtal om händelser och verksamheter, där man kan använda procent, skulle eleverna få vidgade kunskaper om procentbegreppet. Olika gruppers erfarenheter av procenträkning i olika sammanhang skulle bidra till att utvidga elevernas förståelse för procentbegreppets användbarhet. Redovisningarna enskilt och i grupp skulle gynna elevernas lärande. Lärandet skulle bygga på matematisk modellering. Jag ville undersöka om matematisk modellering var lämplig för elever i behov av särskilt stöd. Eleverna jag bedömt vara i behov av särskilt stöd har jag kallat Mike, Nina och Rikard.

7.2.1 Tankekarta

Efter överenskommelse med eleverna, gav jag muntliga instruktioner om en öppen skrivuppgift i klassen, för att se vilka förkunskaper eleverna hade om procent. Eleverna fick i uppgift att enskilt på ett papper göra en skriftlig tankekarta med ordet procent i mitten. Sedan skulle de individuellt rita och skriva ner allt de tänkte, visste, hört och sett som handlade om procent. På så sätt kunde jag senare anknyta undervisningen till deras tidigare erfarenheter. Båda klasserna i år 6 gjorde en tankekarta.

7.2.2 Gruppsamtal

Undersökningsklassen fick sedan redovisa sina tankekartor i klassen, för att kunna ta del av klasskamraternas erfarenheter. Gruppsamtal är en metod där elever gemensamt redovisar olika tankar i ett ämne. Det är ett sätt att få del av elevernas erfarenheter och associationer och förmåga att utrycka dessa. Läraren får också möjlighet att be eleverna förtydliga vissa goda exempel, men också att genom kritiska frågor få eleverna att utveckla sina tankar. En annan fördel med gruppsamtal är att den kan bidra till större delaktighet för eleverna. Alla fick redovisa sina tankekartor i samtal i ring. För att se vad eleverna uppfattade från gruppsamtalet, fick de avslutningsvis skriva ner på ett papper, vad de nu visste om procent som de tidigare inte känt till. Jag ville veta hur mycket de hade anammat och om det var något speciellt som många kom ihåg.

7.2.3 Introduktion av procentprojektet

Först fick klassen muntlig presentation av undervisningsförsöket, som fick arbetsnamnet ”Procentprojektet”.

Eleverna hade till denna lektion haft som hemuppgift, att skriva ner ett exempel på vad de äter till mellanmål. Vi hade en diskussion om innehållet i mat och att man kan se t.ex. fetthalten uttryckt i procent på förpackningar. Nu fick de veta att en grupp skulle arbeta med att undersöka sockermängden eller fetthalten i olika mellanmål.

Därefter visades årets majblommor och vi diskuterade elevernas förtjänst, som är 10 % av försäljningssumman. Nytt för året var att även 10 % av försäljningsresultatet skulle tillfalla den egna skolan. Eleverna fick veta att alla skulle arbeta i en grupp och att gruppen skulle utföra ett uppdrag för att lära mer om procent. Uppdragen var Affären, Banken, Majblommor, Motocross och Vårkläder. Ny hemuppgift blev att bestämma vilket uppdrag de ville arbeta med under procentprojektet.

Nästa lektion fick eleverna en skriftlig instruktion (bilaga 1) på uppgiften, som presenterats muntligt dagen innan. De läste tyst igenom papperet och frågade om vissa ord. Gruppindelningarna skulle vara så jämna som möjligt och eleverna kom fram till att de då skulle vara fyra eller fem i grupperna. Grupperna skrevs på tavlan och elevernas namn skrevs utifrån deras val. Affärsgruppen skulle få fråga butiksföreståndaren på plats vid behov.

skulle stanna kvar på skolan och arbeta i ett grupprum. Motocrossgruppen skulle handledas av en försäljare i en motorcykelaffär. Gruppen med vårkläder skulle arbeta i klassrummet med kataloger. Avslutningsvis fick eleverna veta att klassen nästa lektion skulle få en kort kurs om procent.

7.2.4 Procentkurs

Eleverna fick ca 20 minuters genomgång av procent. Det som nämndes var ordets ursprung och betydelse, att 100 % är det hela, exempel på olika helheter. Hälften är 50 %, att hälften kan vara olika mycket, hälften av klassen fick resa sig, hälften av pojkarna o.s.v. 1 %, en hundradel, 1/100. Eleverna skulle göra anteckningar i sitt räknehäfte med stöd av mina tavelanteckningar. Eleverna uppmanades att vara uppmärksamma på att procentbegreppet kan hittas och höras varje dag i t.ex. reklam, tidningar, affären, nyheter på radio och tv.

7.2.5 Uppdrag

Eleverna placerade sig i grupper utifrån sina val. De fick presentera sina grupper och uppgifter för en elev som varit borta en vecka. Klassen fick också redogöra för vad de visste om procent från den gemensamma genomgången. Detta blev ett naturligt tillfälle för eleverna att repetera. För mig blev det en möjlighet att kontrollera vad eleverna kunde återge. Därefter fick eleverna muntligt gruppvis diskutera vilka frågor de ville ha svar på eller annat som gällde uppdragets utformande. De fick skriva ner sina frågor, och bestämma vem som frågade vad.

Nästa lektion började grupperna arbeta med sina uppgifter i ”verkligheten”. Både Mike och Rikard hade valt, att ingå i gruppen som skulle blanda viss procent olja i bensin, och gick på studiebesök i motorcykelaffären. Elevassistenten följde med och antecknade vad som skedde. Gruppen fick av affärens försäljare också veta att de har 10 % rabatt i affären, om de var medlemmar i den lokala motorklubben.

Nina valde gruppen som skulle gå till Affären. Därmed ingick hon i den grupp där hon har sina tjejkompisar.

Följande matematiklektion fick eleverna muntligt berätta om sina erfarenheter från sina uppdrag. Vi pratade om att olika innehåll i matvaror brukar anges i antal gram av 100 gram. 1 gram socker är 1 hundradel av 100 gram. 1 hundradel kan också uttryckas som 1 procent,

eftersom det här är samma betydelse. Alltså kan man också säga att det finns 1 % socker. 2 gram socker av 100 gram är 2 hundradelar, men kan också sägas som 2 % socker osv. Jag berättade om min honungsburk, som jag först trodde innehöll 100 % socker, men där det istället stod att man garanterade max 20 % vatten. Vi diskuterade varför det fanns vatten i honungen och hur mycket socker respektive vatten det kunde vara på 100 gram i burken. Eleverna uppmanades att titta efter innehållsdeklarationer på matvaror.

Nu följde en tid då eleverna i sina grupper bestämde hur de skulle redovisa sina gruppuppgifter, skrev sina egna berättelser ”En eftermiddag i april”, utformade sin affisch och fördelade redovisningsuppgiften. Detta arbete präglades av att eleverna fick eget ansvar för bearbetning och frihet i utformandet av redovisning av procentprojektet. De vuxna fungerade som handledare åt eleverna. Mike skrev av mycket från de andra i gruppen. Han valde att renskriva för hand medan de andra skrev ut sina berättelser på datorn.

7.2.6 Redovisning

De olika grupperna redovisade sina arbeten inför klassen. Affischerna sattes upp i klassrummet och på biblioteket.

Skriftlig tankekarta visar en begränsad del av elevernas kunskaper, särskilt när det gäller elever som undviker att uttrycka sig skriftligt. Därför valde jag att direkt efter lektionen med de tre första redovisningarna göra en individuell intervju först med Mike (M) och sedan med Rikard (R), för att bättre fånga deras kunskaper. De fick svara muntligt och jag antecknade svaren efterhand som de berättade.

7.2.7 Utvärdering

Som avslutning fick eleverna skriva en ny tankekarta om vad de lärt sig om procent och tankar om procent. Procentprojektet utvärderades genom en metod där eleverna enskilt skriver ner tre positiva och tre negativa tankar om arbetet. Innehållet i elevernas tankekartor kunde jag dela upp i sex kategorier. Utvärderingen redovisade jag muntligt i klassen.

8 RESULTAT

Först redogör jag för några resultat från förstudien i år 7 och kontrollklassen, därefter relevanta resultat från delstudien i år 6 och till sist resultat från undervisningsförsöket i år 6 med fokus på elever i behov av stöd.

8.1 Förstudie

Genom auskultationer kunde jag konstatera, att de lärare som undervisade år 7 arbetade övervägande traditionellt. Den traditionella och vanligaste undervisningsmetoden enligt NU – 03 (Skolverket, 2004a) kännetecknas av att läraren först har genomgång i klassen om ett nytt moment, därefter arbetar eleverna individuellt med läroboken, läraren går runt och hjälper eleverna och avsnittet avslutas efter en viss tid med bokens diagnos. Läroboken dominerar

.

Resultatet på diagnosen i 7A visade att 4 flickor hade 3, 8, 8 resp. 11 poäng av 40 möjliga. Enligt läraren hade de samtliga hög frånvaro och gjorde inte läxorna. Två elever har hela skoltiden haft svårigheter med matematik, en elev är nyinflyttad och en elev bedöms av läraren ha god förmåga att lära matematik men visar ointresse och bristande koncentration på lektionerna. De övriga eleverna hade 20 poäng eller mer. En pojke som bedömts ofta ha behov av stöd hade mer än 20 poäng, vilket var en glad överraskning enligt läraren.

I 7 B visade resultatet på diagnosen att 2 flickor hade under 10 poäng. De bedömdes av läraren ha haft svårigheter även tidigare i ämnet, men att de gör sitt bästa. De andra eleverna hade 20 poäng eller mer. En flicka som före procentavsnittet bedömts av läraren ha behov av stöd hade mer än 20 poäng.

Jag fick genom intervju med lärarna efter lektionerna veta, att de var övertygade om att deras metoder var bra. Efter diagnoserna redogjorde lärarna var för sig för vilka elever, som ej klarat diagnoserna tillfredställande. På frågan vad de tänkte eller önskade göra åt det, svarade båda ingenting med motiveringen att procent kommer igen både i år 8 och år 9. Min följdfråga blev om de lär sig procent då och båda svarade jakande. Ingen av lärarna tänkte skriva in i elevernas IUP (individuella utvecklingsplaner), att de aktuella eleverna saknade tillräckliga

kunskaper i procent. Anledningen enligt båda lärarna var att procent var så liten del av elevernas matematiksvårigheter.

De första tankekartorna i kontrollklassen i år 6 visade på olika områden där eleverna kände till att procent förekom. Liksom i undersökningsklassen och klasserna i år 7 var det några elever som saknade kunskaper och erfarenheter av procent. I kontrollklassen var det två elever. Efter procentavsnittet fick eleverna skriva en ny tankekarta. De fick skriva allt vad de visste om procent och när man använder procent i verkligheten. Resultatet presenterar jag i Tabell 8.1.

Tabell 8.1 Kontrollelevernas procentkunskaper

Elev Förkunskaper Tankekarta efter undervisning Kunskaper

När används procent i verkligheten

4 Inget 50 %, 25 % ___

5 Tv, datorn, politik Hundradel Köpa kläder, rea 6 %, man delar något,

halva priset 50 %

1/5 = 20 %, om jag har en hundralapp och ska betala 10 % så får jag ge en tia.

Rea

7 Röstar Kan vara hälften, en fjärdedel, 50 % av 20 är 10

Rea

En elev

sjuk Vet inte Vet inte

Kontrollklassen har efter genomförd undervisning om procent fortfarande två elever som inte vet när man tillämpar procenträkning.

Övriga elever skriver att man använder procent när det är rea, i affären och kläder. Lärarens introduktion har förmodligen påverkat dem. Två elever skriver när man har matte. Fyra elever anger flera exempel då procent används. Flera elever skriver sambandet 1/5 = 20 % och ¼ = 25 %.

8.2 Procentprojektet

För att följa de tre elevernas arbete med att förstå procent har jag valt att redovisa resultaten med samma rubriker som redovisats i undervisningsförsökets genomförande. Sist presenteras en sammanfattning av undervisningsförsökets resultat. Nina var sjuk halva tiden och deltog därför mer passivt i gruppen. Eftersom Nina var borta så mycket blev det endast två elever att följa genom hela undervisningsförsöket.

8.2.1 Delstudie

Positiva erfarenheter från delstudien var, att det var väldigt lätt att få eleverna aktiva. De valde snabbt grupp, men två valde att göra ett eget arbete. Diskussionerna startade direkt och eleverna kom med förslag, lyssnade på varandra och hade mycket kreativa idéer. Nackdelar var att det saknades skriftliga instruktioner, som gjorde att eleverna ställde många frågor om uppgiften. Tidsramar saknades, vilket gjorde att arbetet svällde ut. Eleverna kom in på andra sidospår än den ursprungliga uppgiften och de hade därför svårt att avsluta uppgiften i rimlig tid. Andra lärare i bild och slöjd fick förfrågan om temaövergripande samarbete alldeles för sent för att delta. Eleverna saknade tillräckliga kunskaper för att kunna göra skalenliga ritningar. Det fanns inga uppgifter planerade för de elever, som blev klara före andra.

Mike, som annars har svårigheter med att lösa lärobokens uppgifter visade sin konstnärliga talang och förmåga att se proportioner genom att göra gruppens ritning. Nina, som ofta ber om hjälp och visar ängslan för att hon inte förstår, tog självständigt ansvar för arbetet, när hennes samarbetspartner blev sjuk. Hon tog också på eget initiativ med material hemifrån. Rikard hade svårigheter att hitta samarbetspartner och saknade matematiska kunskaper för att överföra verkligheten till matematiskt uttryck. Han behövde mycket hjälp av assistenten för att arbeta med uppgiften. Effekterna av elevernas lärande var svår att mäta, men delstudien gav eleverna en viss erfarenhet av att arbeta med matematisk modellering. Delstudien gav mig många nya insikter att använda inför undervisningsförsökets upplägg.

8.2.2 Tankekarta

Elevernas förkunskaper skrivna på tankekartor första dagen visade vad eleverna spontant kände till om procent. De som skrivit minst var Mike som skrev procenttecknet %. Nina

100 %, ”När vi har en svår match skall vi ge 100 %”, eller 50 % ”Min katt är 50 % angora och 50 % norsk skogskatt”.

8.2.3 Gruppsamtal

Nya kunskaper om procent från klasskamrater var nerskrivna efter gruppsamtal. Mikes lapp: procent bomull i tröjan, procent olja i bensinen, 75 % av hundra. Rikards lapp: 100 % rent silver, guld, koppar. Nina är sjuk.

8.2.4 Introduktion av procentprojekt

Mike och Rikard har egna erfarenheter av att köra motocross och väljer direkt gruppen Motocross.

8.2.5 Procentkurs – teori

Mike skriver snyggt, och skriver lätt av från tavlan. Rikard har stora problem med att skriva även när det gäller att skriva av. Han skriver överskriften Procent och symboltecknet % sedan slutar han skriva och gungar istället på stolen.

8.2.6 Uppdrag

I motorcykelaffären är Rikard aktiv och villig att prova på och blanda olja i bensin. Visar viss förståelse för procenträkning. Efter resonemang i gruppen om att 3 % av10 liter är 3 dl, så säger Rikard snabbt att då är det 6 dl till 20 liter eftersom det är dubbelt så mycket. Lite mer osäker när det blev praktisk övning 3 % olja till 20 liter bensin. Frågade den vuxne innan om han tänkt rätt, om det blev rätt mängd. När de fick veta att de hade 10 % rabatt snappade Rikard kvickt upp tankesättet 10 % rabatt, på 1000 kr är 100 kr rabatt o.s.v. Rikards kommentar: ”Stryk en nolla.”

Mike gömmer sig bakom de andra för att slippa uppdrag och frågor. Han skrattar nervöst, är okoncentrerad och verkar ha svårt att tro på sin förmåga. Mike fick i uppdrag att blanda som de andra och klarade det men gjorde det på ett oengagerat sätt. Gjorde axelryckningar och frågade de andra eleverna hur han skulle göra. Han var tillbakadragen och tyst.

Vid de muntliga huvudräkningarna deltog Rikard aktivt i motsats till Mike som ställde sig bakom de andra och inte deltog i resonemangen. På promenaden tillbaka till skolan visade

Mike inget intresse för att samtala om besöket eller något om procent. Rikard däremot sa att han tyckte att procent inte var så svårt och visade tilltro till sin förmåga att lära genom att tillägga: ”Det gäller bara att tänka efter.”

Vid den muntliga gruppredovisningen i klassen om uppdragen såg Rikard glad ut. Han fick börja berätta hur de blandat bensin med olja, att man räknar med procent i momsen på varorna och att man fick 10 % rabatt om man var medlem i ortens motorklubb. Att redovisa muntligt är Rikards starka sida. Han lyssnade även koncentrerat på de andra. Mike var mer okoncentrerad och redovisade inget utan hänvisade till de andra i gruppen.

När det gäller samtalet om honungsburken och hur mycket socker det skulle kunna vara i den, föreslog Mike 83 % socker. Andra kunde då svara på hur mycket vatten det då fanns i burken. Rikard som har en vana att ”imponera” och ibland fabulera, sa att han visste att de hade haft honung hemma, som innehöll 100 % socker och inget vatten. Rikard visade därmed på en viss förståelse för att helheten är 100 %.

8.2.7 Redovisning

Först redovisade gruppen från banken, sedan motocrossgruppen och majblommegruppen. Mike och Rikard framförde sina redovisningar säkert genom att läsa sina berättelser. Mike hade inte sålt majblommor eller ritat stapeldiagram. Rikard hade inte heller ritat stapeldiagram, som visade hur man blandar olja i förhållande till mängden bensin, som de två andra i gruppen gjort.

Rikard var säker på hur man räknade ut 10 % förtjänst på sin majblommeförsäljning, men kunde också räkna ut 10 % om han hade sålt för mer eller mindre. Han hade också skrivit att 9 % av alla han frågat om de ville köpa majblommor hade handlat. Det visade sig att det var 9 personer som handlat men han visste inte hur många han frågat utan tänkte att alla han frågat tillsammans var 100 %. Här kommer sambandet mellan bråk och procent in som en hitintills bristfällig räkneförmåga.

Nedan återges resultatet av intervjuerna, som jag (I) genomförde med Mike (M) och Rikard (R) efter deras gruppredovisningarna.

I: När har man nytta av att kunna procent?

M: När man skall blanda soppa (slanguttryck för bensin). När man jobbar i affär, hur mycket rabatt. Banken.

I: Vad är rabatt? K: Jag får det billigare.

I: När använder man procent på banken?

K: Kanske när man räknar pengar, jag vet inte. Hur många procent man har på banken. Om man har 100 000 kronor på banken och resten någon annanstans. Nu kan jag inte mer.

Mike, som på sin första tankekarta endast skrivit symbolen %, nämner tre olika verksamheter där man använder procent, tre matematiska procentuttryck och förståelse för rabatt. Han gör också en egen hypotes om att man kan ha en viss procentdel av sina pengar på banken. Mikes förståelse bygger på enkla fakta.

I: Rikard vad vet du om procent?

R: Det är hundradelar. Att man kan använda det till i princip allt. Hälften är 50 %. Majblommorna, får behålla 10 %, 150 är 15.

I: Hur gör du för att veta vad 10 % är? R: Tar bort nollan eller sätter kommatecken. I: Hur sätter du kommatecken?

R visar på papper 1234 sätter decimalkomma mellan 3 och 4. I: När har man nytta av procent?

R: När man handlar, moms, rabatt, bra att räkna med.

Rikards förståelse för procent är djupare än Mikes. Det visar sig då han generaliserar

användandet av procent till ”… i princip allt”. Rikard nämner också tre matematiska uttryck, men exemplifierar och visar säkerhet när det gäller att räkna ut 10 % i huvudet.

8.2.8 Utvärdering

Resultatet i elevernas tankekartor redovisas i Tabell 8.2. Innehållet delade jag upp i sex kategorier. Ord som skrivits av eleverna fungerar som undergrupper. Resultatet av Mikes (M), Ninas (N) och Rikards (R) tankekartor redovisas med deras bokstav efter undergruppen. Siffrorna inom parantes anger svarsfrekvensen från eleverna i klassen, som var 18 eftersom en elev var sjuk.