NATURVETENSKAP–MATE MATIK–SAMHÄLLE
Självständigt arbete i Matematik och lärande
15 högskolepoäng, grundnivå
Språkutveckling i matematiken
Language development in mathematics
Nadia Amjadi
Sara Marknäs
Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i årskurs 7-9, 270 högskolepoäng
Självständigt arbete i Matematik och lärande, 15 högskolepoäng
2021-01-22
Examinator: Peter Bengtsson
Förord
Detta arbete är ett samarbete mellan två studenter som båda har valt ingången matematik på ämneslärarutbildningen vid Malmö universitet. Vi har sökt efter källor på varsitt håll och presenterat för varandra, läst varandras förslag och skrivit sammanfattningar på det material vi har valt att använda. Utifrån upphittade källor har vi sedan fört en diskussion om vad som är relevant, vad som berör våra frågor och vad vi kan dra för slutsatser. Båda två har bidragit under hela arbetets gång med att samla in information och diskutera sinsemellan. I rådande tider, med COVID-19 som härjar världen över, har det varit svårt att få till muntliga
diskussioner. Trots detta har vi kunnat ta fram och dra slutsatser från varandras idéer och uppslag, vi har kunnat skriva fram en gemensam diskussion och anser oss ha besvarat våra inledande frågor.
Abstract
This paper is an overview of current research on teaching mathematics. The question to answer through studying research on the matter is how are language development strategies used in mathematical learning? The subsequent questions that we posed were why is it important with language development to learn math, how do students learn the language in mathematics, how does the use of language affect the possibility to learn mathematic and finally how are multilingual students’ possibilities to learn mathematics affected? The method used is reading and discussing various sources of research in the field, using a few key words and refining the search as sources are used to find new keywords.
Through the research we have been able to answer the posed questions. Our main question is impossible to answer in one sentence, but what can be said is that there are language
development strategies that play a role in mathematics learning and that they may vary from school to school, or even teacher to teacher. It is clear, however, that language development and using the language in education is crucial for learning new concepts and to communicate ideas, solutions and understanding in mathematics. In order for this development to take place it is necessary to actively use and practise using the language during mathematics learning. The teacher plays an important role to communicate this precise language and to encourage its students to practise to use it in order to communicate effectively.
Keywords: mathematics education, language development, reading comprehension, mathematical language, bilingual mathematics learners.
Innehåll
Abstract 2
1 Inledning 4
1.1 Syfte och frågeställning 5
2 Metod 6
2.1 Sökvägar 7
3 Resultat 10
3.1 Resultat av sökvägar 10
3.1.1 A Situated and Sociocultural Perspective on Bilingual Mathematics Learners. 10 3.1.2 Mer än matematik: Om språkliga dimensioner i matematikuppgifter. 10 3.1.3 Flerspråkiga matematikklassrum: Diskurser i grundskolans matematikundervisning. 11 3.1.4 På tal om matematik. (Matematiken, vardagen och den matematikdidaktiska diskursen). 12
3.1.5 How Can Reading Abilities Explain Differences in Maths Performances? 13 3.1.6 Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i läsprocessen. 13 3.1.7 Kognitiva och metakognitiva perspektiv på läsförståelse inom matematik 14 3.1.8 The Language of Mathematics: The Importance of Teaching and Learning
Mathematical Vocabulary. 15
3.1.9 The interplay between language, gestures, dragging and diagrams in bilingual learners’
mathematical communications. 15
3.1.10 Supporting Mathematical Language through the Frayer Board. 16 3.1.11 Ariel's cycles of problem solving: An adolescent acquires the mathematics register. 18 3.1.12 Teaching Mathematics in Multilingual Classrooms. 18 3.1.13 Language Use in a Multilingual Mathematics Classroom in South Africa: A Different
Perspective. 19
4 Diskussion 21
4.1 Hur arbetar man språkutvecklande i matematik? 21
4.2 Varför är det viktigt att arbeta språkutvecklande i matematikundervisning? 22 4.3 Hur lär sig elever att använda sig av språket i matematikundervisningen? 23 4.4 Hur påverkar språkanvändningen (elevernas och lärarens) i klassrummet elevernas
förutsättning att lära sig matematik? 23
4.5 Hur påverkas flerspråkiga elevers förutsättning i matematik? 24
5 Slutsats 26
1 Inledning
Matematik är logikens språk, eller det är något som ofta sägs om ämnet. Matematiken känns för många elever i svårigheter som komplicerat och för abstrakt för att de ska kunna greppa undervisningen. De uppfattar inte att matematiken som ett språk och sällan används samma metoder inom undervisning i matematik som vid språkinlärning. De definitioner, samband och begrepp som tillsammans med regler bygger upp matematikens vokabulär och grammatik är väl lika abstrakt som att lära sig att läsa och skriva? Beror missförstånd på att språkbruket i matematikundervisningen innebär att välbekanta ord från vardagen får ny innebörd inom matematiken och blandas med främmande ord och symboler? Introduceras begreppen och symbolerna inom matematikundervisningen på liknande sätt som i språkundervisningen? Kan matematiklärare dra nytta av språklärares tekniker för att bygga upp ett nytt ordförråd, nytt symbolspråk och regler att följa inom matematiken?
Efter TIMSS 2019 rapporteras en marginell ökning för svenska elevers matematikkunskaper, knappt statistiskt signifikant. Det som är oroväckande är att Sveriges elever i snitt presterar sämre än OECD/EU och att de svåraste uppgifterna - problemlösningsuppgifter - endast löstes av 8 % av eleverna (Feldreich, 2020). Detta kan jämföras med ett land som Singapore där lösningsfrekvensen för samma uppgifter uppgick till hela 54 %. Singapore utvecklade en ny läroplan för några år sen, i och med det togs den så kallade Singaporemodellen i bruk. I Singaporemodellen i matematik betonas den sociala aspekten av att lära sig matematik, eleverna ska uppmanas att samtala och reflektera över problem de ställs inför istället för att försöka mata in regler mekaniskt (Aagardh & Reijler, u.å.). För att lära sig ett språk och dess regler samt att få ett flyt i tal och text krävs övning - samtal och språkutvecklande uppgifter i klassrummet. Hade svenska elever också gynnats av modellen att gå från konkret, via det visuella till det abstrakta - inte bara i de lägre årskurserna?
Matematiken kan visserligen betraktas som ett logikens språk, men det är invävt i ett undervisningsspråk och det går inte att komma undan. För att kunna lösa matematiska problem måste eleverna besitta läskunnighet i språket, men även en speciell typ av
läskunnighet specifik för matematiken. Att lösa matematiska problem handlar om att kunna översätta vardagens betydelse till ett logiskt uttalande i form av matematiska uttryck. Det
verkar som att språkbruket i matematiken ofta är för svårt för våra elever och vi vill i detta arbete undersöka detta vidare.
1.1 Syfte och frågeställning
Syftet med detta arbete är att besvara vår forskningsfråga: Hur arbetar man språkutvecklande i matematik? I forskningsöversikten diskuterar vi även följande underfrågor:
Varför är det viktigt att arbeta språkutvecklande i matematikundervisning? Hur lär sig elever att använda sig av språket i matematikundervisningen?
Hur påverkar språkanvändningen (elevernas och lärarens) i klassrummet elevernas förutsättning att lära sig matematik? Ger ökad verbal kommunikation i matematik under lektionerna eleverna djupare förståelse?
2 Metod
För att besvara de ställda frågorna görs en forskningsöversikt för att få en bild av hur forskningen kring ämnet ser ut i dagsläget. Vår inledande sökning är bred för kunna läsa igenom många abstracts och hitta de som berör våra forskningsfrågor. Vi begränsar sökningen till artiklar och arbeten från 2000-talet eftersom det känns mest relevant med aktuell forskning. Vi använder oss av både svenska och internationella källor eftersom språkutveckling är relevant i alla länder, dock begränsas språket till svenska eller engelska. Målgruppen är elever i grundskolan, eftersom vi anser att det är av intresse hur språket används i klassrummen när elever introduceras för nya matematiska begrepp.
För att sålla i sökresultaten inspekteras först titeln, sedan ämnesord och slutligen abstract. I sökningen väljs resultat som är äldre än 2000, källor som inte är peer reviewed, källor som rör en annan målgrupp och källor som på annat sätt inte har berört våra forskningsfrågor bort. När vi hittar en intressant artikel, uppsats eller annan text går vi vidare med att söka efter de referenser som har använts och vi använder då sökmotorerna för att se om referensen är peer reviewed. Om referensen är det har vi gått vidare med den på samma vis som med andra sökresultat: inspektera ämnesord, abstract och till viss del metod innan vi bestämmer oss för om källan är relevant eller inte. Därför läser vi även en del populärvetenskapliga artiklar och en del uppsatser på universitetsnivå.
Vi använder oss av sökmotorerna LIBSEARCH, DiVa, ERIC, ERC och Google scholar. Efter den inledande sökningen förfinas sökorden enligt nedan för att hitta fler källor med tydlig anknytning till det vi vill forska om. De nya sökorden hittas bland annat i ämnesorden för en intressant artikel.
Våra första sökfraser är: mathematics AND ”language development” och översättningen språk och matematik, i LIBSEARCH och DiVa via Malmö universitet. Resultatet begränsas till peer reviewed och från år 2000 till nutid. Andra sökningar sker i databasen ERIC via EBSCO med sökfrasen “mathematics AND ”reading comprehension”, “learning mathematics language” och begränsas till peer reviewed med ändring av subject till mathematics.
Sökningen fortsätter sedan i databasen ERIC med sökfrasen “mathematical language” vilket ger 293 sökträffar varav tre anses relevanta för detta arbete. Sökfrasen “Language of
Mathematics vocabulary” ger 32 sökträffar. Sökfrasen “Developing mathematical language” ger inga sökresultat i databasen ERIC, men i databasen ERC ger det två träffar, varav en ansågs relevant.
Sökning på ”matematik och språk” på DiVa ger ett examensarbete av Johansson och Persson (2011) vilket i sin tur ledde vidare till källorna Norén (2010) , Roe och Taube (2006),
Riesbeck (2008) och Myndigheten för skolutveckling (2008). Vi väljer att ta med denna myndighetstext eftersom myndigheten arbetar med beprövad erfarenhet som grund och denna källa berör just klassrumspraktiken i relation till den språkliga utvecklingen inom matematik. Utifrån en genomläsning av en doktorsavhandling av Jöran Petersson (2017) söker vi vidare till Moschkovich (2002).
2.1 Sökvägar
Tabell 1 sammanställer vilka databaser och sökord som har använts, antalet sökträffar och vilka artiklar som valdes.
Tabell 1: sammanställning av sökbaser, antal träffar och valda artiklar. Databa
s
Sökord Antal förslag Artikeln
ERIC Bilingual mathematics learners
7 artiklar Moschkovitch, Judit (2002). A Situated and Sociocultural Perspective on Bilingual Mathematics Learners.
Diva ________ _______ Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik: Om språkliga dimensioner i
matematikuppgifter. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. Diva Flerspråkiga matematikklassr um 6 texter (student and doctoral thesis)
Eva Norén (2010) - Flerspråkiga
matematikklassrum: Diskurser i grundskolans matematikundervisning.
Diva Matematik och språk
21 doctoral thesis
Eva Riesbeck (2008)- på tal om matematik. (Matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen).
Diva _______ _________ Roe, Astrid & Taube, Karin (2006). How Can Reading Abilities Explain Differences in Maths Performances? i Mejding, Jan & Roe, Astrid: Nordic Lights on PISA 2003 – a reflection from the Nordic countries.
Diva matematiska texter
55 texter (artiklar och avhandlingar)
Magnus Österholm (2004)- Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i
läsprocessen. Diva läsförståelse inom matematik 40 texter (artiklar och avhandlingar)
Magnus Österholm (2006)- Kognitiva och metakognitiva perspektiv på läsförståelse inom matematik.
ERIC Language of Mathematics vocabulary
32 artiklar Riccomini, Smith, Hughes och Fries (2015) - The Language of Mathematics: The Importance of Teaching and Learning Mathematical
Vocabulary. (Reading & Writing Quarterly) Scientific level 1
ERIC mathematical language
293 artiklar Oi-Lam Ng (2015) -The interplay between language, gestures, dragging and diagrams in bilingual learners’ mathematical
communications.
(Educational Studies in Mathematics) Scientific level 2
ERC Developing mathematical language.
två artiklar Sigley and Wilkinson (2015)- Ariel's cycles of problem solving: An adolescent acquires the mathematics register.
(Journal of Mathematical Behavior) Scientific
level 2
ERIC mathematical language
293 artiklar Eyers, Bragg och Reich (2020)- Supporting Mathematical Language through the Frayer Board.
ERIC mathematical language
293 artiklar GORGORIÓ and PLANAS (2001) - Teaching Mathematics in Multilingual Classrooms.
ERIC Multilingual Mathematics Classroom
24 artiklar Setati (2003) - Language Use in a Multilingual Mathematics Classroom in South Africa: A Different Perspective.
3 Resultat
3.1 Resultat av sökvägar
Nedan följer en mer detaljerad sammanställning av valda texter.
3.1.1 A Situated and Sociocultural Perspective on Bilingual Mathematics
Learners.
Moschkovitch, Judit (2002).
Nyckelord: bilingual education, minority students, education United states
Moschkovitch har undersökt språkbruket inom matematikundervisning, genom videostudier och intervjuer med elever i årskurs 6-8 på en sommarkurs. Hur språket har använts av
eleverna vid lösning och presentation av uppgifter har varit huvudfokuset. Eleverna har ställts inför ett problem och sedan har deras diskussioner transkriberats. Moschkovitch lyfter fram tesen att språkbruket i matematiken kan delas upp i tre delar att behärska. Den första är att tillförskansa sig vokabuläret i matematiken. Detta är grundläggande för att förstå och förmedla matematiken. Nästa del innebär att förstå ords dubbla betydelse; användningen till vardags och användningen i matematiken. Den sista, och mest komplexa delen i att lära sig matematikens språkbruk är att delta i matematisk diskurs. Detta innebär att kunna röra sig i en situationsbunden sociokulturell kontext utanför vardagen. För att delta i matematisk diskurs behövs alla dessa tre delar, menar Moschkovitch: situationsbunden betydelse eller användning av begrepp, resurser utanför språket (symboler, figurer, kroppsspråk, modersmål i fallet av tvåspråkighet, etc) samt diskursen som används.
3.1.2 Mer än matematik: Om språkliga dimensioner i matematikuppgifter.
Myndigheten för skolutveckling (2008).Nyckelord: matematik och läsförståelse,
Myndigheten för skolutveckling lyfter fram vikten av att aktivt arbeta med språkutveckling inom matematiken och diskuterar vikten av hur språket används vid utformning av uppgifter. Myndigheten betonar att det matematiska språket ändras och formaliseras från åk 4-6, något som sker parallellt med att intresset för matematik generellt sjunker hos eleverna.
Det har visat sig att textförståelse är tätt förknippat med lösningsfrekvens på matematiska problemlösningsuppgifter, självförtroende inom matematik och i förlängningen intresset för ämnet i stort. Det som är svårast för eleverna är att ta ut implicit information från uppgifterna för att påbörja en lösning. För att öka läsförståelsen måste eleverna övas i att tala, läsa och skriva matematik, därför bör elever uppmuntras och övas i att använda språket i matematiken.
En annan viktig aspekt för att underlätta för eleverna är kontexten. En välkänd kontext kan spela en viktig roll i att kunna underlätta förståelsen av uppgifter, medan en kontextuellt obunden uppgift eller en uppgift utan vardagsanknytning blir svårare. Det går att öka den kognitiva belastningen i uppgiften mer om eleverna har en kontext att förhålla sig till.
För att utveckla elevernas språkförståelse inom matematik är det viktigt att bearbeta matematisk betydelse av ord parallellt med den vardagliga betydelsen av ordet. När
användningen av det matematiska språket stärks och preciseras kan texter i uppgifter bli mer lättförståeliga för eleven och hen kan fokusera på det matematiska snarare än det språkliga.
Det finns tvetydigheter i hur ord används olika beroende på situation och för de som inte har svenska som modersmål är det desto viktigare att använda alla de språkliga regler som kan undantas i vanligt tal. Myndigheten tar upp följande tips för att arbeta med språket i
matematikklassrummet:
Försäkra dig om att eleverna förstår all information i uppgiften innan de ger sig i kast med själva lösningen.
Ge eleverna många tillfällen till att reflektera, såväl muntligt som skriftligt, kring olika möjliga lösningar till matematiska problem.
Använd frågeställningar som kan skapa kommunikation kring matematiken.
Par- och smågruppsarbete skapar möjligheter till språkande och är därför viktigt för att förbättra språkbruket.
3.1.3 Flerspråkiga matematikklassrum: Diskurser i grundskolans
matematikundervisning.
Eva Norén (2010).
Syftet med denna avhandling var att undersöka och analysera olika diskurser i matematiken och dess påverkan i flerspråkiga klassrum i grundskolor i Sverige. Genom att använda etnografiska metoder, främst deltagarobservation, samlades data in från ett antal flerspråkiga matematikklassrum i förortsområden i en större stad. Datan samlades in genom
fältanteckningar, intervjuer och informella samtal med elever, lärare och skoladministratörer. En huvudsaklig slutsats var att framgång eller misslyckande för flerspråkiga studenter i flerspråkiga matematikklassrum inte kunde förklaras med enbart språkliga eller kulturella faktorer utan bara i förhållande till diskurs och till sociala och politiska förhållanden i samhället i stort.
3.1.4 På tal om matematik. (Matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen).
Eva Riesbeck (2008).
Nyckelord: matematikundervisning och matematikstudier, diskurs, matematikdidaktik.
Forskningsfrågan är att “hur kan diskurs som teoretiskt - didaktiskt begrepp bidra till att utveckla matematikundervisningen”? Med hjälp av video- och ljudinspelningar av lärare och elevers samtal i ett matematikklassrum där de arbetar med problemlösning, samlades data in för att undersöka hur elever lär och utvecklar sin förståelse av matematik. Resultatet visade att samtalet befinner sig i både en matematisk och en vardaglig diskurs och växlingen däremellan ofta sker omedvetet. Eleverna (och lärarna) skiftade mellan det matematiska språket och det vardagliga språket för att nå ut med sina lösningar.
I avhandlingen poängterades att ett specifikt och preciserat samtal i matematik underlättar för att nå gemensam förståelse, vilket kan bidra till att lärare och elever kan bli mer delaktiga i lärandet. Slutsatsen var att orden behöver användas för att tala, tänka, skriva, lyssna och läsa i matematik, då skulle lärare och elever kunna bli bättre på att växelverka kring begrepp, tecken, ord, symboler, situationer och företeelser i den vardagliga och den matematiska diskursen och förståelse skulle lättare kunna äga rum i matematik.
3.1.5 How Can Reading Abilities Explain Differences in Maths Performances?
Roe, Astrid & Taube, Karin (2006).Nyckelord: PISA, reading comprehension, mathematics education, problem solving
Frågeställningen handlar om hur läsförståelse korrelerar med matematisk förmåga. Metoden var en jämförelse av statistik i PISA 2003 mellan matematiska problemlösningsuppgifter och läsförståelsetestet. Resultat från PISA visade att studenter med en annan etnisk bakgrund gjorde sämre ifrån sig inom naturvetenskap och matematik än infödda studenter. Resultatet i PISA 2003 påvisade fortfarande en stor könsskillnad i läsning, där flickor fått betydligt bättre resultat än pojkar.
Slutsatsen var att det finns ett samband mellan kontextuell förståelse, läsförståelse och att kunna lösa problem. Störst samband fanns i uppgifter rörande förändringar och relationer mellan olika storheter och minst samband fanns när uppgiften berörde geometriska figurer.
3.1.6 Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i läsprocessen.
Magnus Österholm (2004).Nyckelord: matematiska texter, matematiska symboler, läsförståelse
Huvudforskningen i uppsatsen var på läsprocessen och behandlade läsning av matematiska texter; hur och vad man förstår och lär sig vid läsningen; för att testa och utveckla en befintlig, allmän teori kring läsprocessen.
Metoden i avhandlingen byggdes upp av en empirisk studie bland gymnasieelever och universitetsstuderande genom att varje deltagare fick läsa en matematisk text och en historietext samt fick besvara frågor om texternas innehåll. Den matematiska texten var antingen skriven i löpande text eller kompletterad med symboler.
Resultatet från undersökningen visade att den grupp av personer som läste den matematiska texten utan symboler hade bättre resultat på frågor om texterna än den grupp som läste texten med symboler. Detta, menade författaren, kan bero på att läsning av matematiska texter med symboler är en speciell förmåga som man kan behöva öva upp innan man läser sådana texter.
Det fanns likheter i läsningen av den matematiska texten utan symboler och historietexten, trots vitt skilda ämnen behandlas texten ändå lika av läsaren. Slutsatsen var att det
matematiska innehållet inte påverkar läsprocessen i någon större omfattning. Det viktiga var snarare hur innehållet presenteras för eleven. Det krävdes annan verksamhet i hjärnan för att översätta det matematiska symbolspråket till konkret information.
3.1.7 Kognitiva och metakognitiva perspektiv på läsförståelse inom matematik
Magnus Österholm (2006).Nyckelord: läsförståelse inom matematik, Kognitiva och metakognitiva perspektiv, kognition, läsförståelse.
Huvudforskningen var att undersöka om det krävs speciella kunskaper eller förmågor för att läsa matematiska texter. Metoden för undersökningen var att testa studerandes läsning av olika typer av matematiska texter från grundläggande universitetsnivå. Undersökningen fokuserade på två olika perspektiv: det första var det kognitiva som hur läsförmåga och ämneskunskaper relateras till läsförståelse det andra var det metakognitiva som innefattar vilka uppfattningar läsaren har och hur man avgör om man har förstått en text.
Resultatet visade att studenterna har använt en speciell typ av läsförmåga för matematiska texter där de fokuserat på symbolerna i en text. För matematiska texter utan symboler var en mer allmän läsförmåga användbar, det vill säga den typ av förmåga som också används för texter med innehåll från en annan domän. Den speciella typen av läsförmåga som används för texter inklusive symboler i matematiken påverkar läsförståelsen olika beroende på om texten fokuserar på konceptuell eller procedurell kunskap. Det verkar finnas ett behov av att
fokusera på läsning och läsförståelse i matematikutbildning då resultat i denna avhandling visade att kurser vid gymnasienivå (kurs E) och på universitetsnivå (i algebra och analys) inte påverkade den specifika läsförmågan. Slutsatsen utifrån de studerande som deltagit verkade dock vara att det inte finnas någon anledning att betrakta läsning av matematiska texter som en process som kräver särskilda läsförmågor.
3.1.8
The Language of Mathematics: The Importance of Teaching and Learning
Mathematical Vocabulary.
Riccomini, Smith, Hughes och Fries (2015).
Nyckelord: mathematical language, the Language of Mathematics vocabulary, teaching and learning of mathematics.
Huvudsyftet i denna artikel var att ge lärare en övergripande förståelse för effekten av ett matematisk ordförråd på skicklighet och för att ge specifika strategier för vetenskapliga
instruktioner för att främja inlärningen av grundläggande ordförråd i matematik. Artikeln byggde på aktuell forskningsbaserad bevisning av att (a) tillhandahålla en grund för undervisning i ordförråd, (b) erbjuda en genomgång av forskning som stöder vikten av att undervisa i matematiskt ordförråd, och (c) beskriva specifika strategier för undervisning i matematiskt ordförråd.
Eftersom matematikens språk fortsätter att bli en tonvikt i utvecklingen av matematisk kunskap, menade författarna att det inte är en fråga om vikten av att spendera
undervisningstid för att undervisa i matematikens ordförråd. Ordförråd inom matematikens språk är en aspekt av instruktioner som kräver särskild uppmärksamhet. Medan ordförråd fortsätter att framstå som en väsentlig aspekt av språkutvecklingen i matematik, måste resurser som stöder matematikens vokabulär bli vanligare inom matematik.
Slutsatsen var att utveckling och förståelse av matematikens ordförråd är viktigt för att studenter ska kunna aktivt engagera sig i matematik i undervisning eller vid vardagliga beräkningsproblem. Författarna lyfte fram att läraren har det yttersta ansvaret att ge elever instruktioner för att på bästa sätt stödja lärande, akademisk framgång och livslång framgång samt ge eleverna en grundlig förståelse och meningsskapande i undervisningen. Läraren behöver ge eleverna instruktioner och sådan hjälp av strategierna och teknikerna för att tillgodogöra sig undervisningen och för att öka förståelsen av styrkan i matematik som språk.
3.1.9 The interplay between language, gestures, dragging and diagrams in
bilingual learners’ mathematical communications.
I det här arbetet har diskuterats vikten av att beakta tvåspråkiga elevers icke-språkliga kommunikationsformer för att förstå deras matematiska tänkande. En detaljerad analys av kommunikation gjordes på ett par tvåspråkiga elever på gymnasiet under en utforskande aktivitet där en pekskärmsbaserad dynamisk geometri-miljö (DGE) var använd. Fokuset var på ordanvändning, gester och kommunikation kring matematiska begrepp för beräkningar när eleverna interagerade med pekskärmen.
Resultatet visar att eleverna förlitade sig på gester och drag över skärmen på en läsplatta som icke-språkliga drag av den matematiska diskursen för att kommunicera dynamiska aspekter av kalkylen. Genom att undersöka samspelet mellan språk, gester, drag och diagram var det möjligt för att identifiera tvåspråkiga elevers kompetens inom matematisk kommunikation. Studien visade att icke-språklig kommunikation som gester kan användas för att
komplettera språklig kommunikation för att på så vis minska språkkraven för tvåspråkiga elever i matematisk kommunikation. Användningen av visuella medlare skulle kunna minska antalet ord eller till och med ersätta de ord som behöver sägas i en mening, vilket i sin tur minskar språkkraven på eleverna.
3.1.10 Supporting Mathematical Language through the Frayer Board.
Eyers, Bragg och Reich (2020).Nyckelord: mathematics teacher, cognitive learning, language, mathematical notation. Huvudforskningen i den här artikel var hur Frayer Board kan användas som ett verktyg för att tillägna sig språk och i sin tur stödja utvecklingen av studenter för att kommunicera
matematiskt. Syftet med denna uppsats var att bygga vidare på tidigare råd om användningen av Frayer Boards. Frayer Board är ett systematiserat sätt att beskriva koncept eller
terminologi och består i sin enklaste form av ett pappersark med 4 fält: ”karaktäristiskt för begreppet”, ”min definition”, ”exempel” och ”icke-exempel” (exakt formulering av rubriker kan självklart varieras). Med hjälp av en sådan kan elever (ensamma eller i grupp) bygga upp förståelsen för nytt vokabulär. Eleven ska själv beskriva hur den uppfattat begreppet och läraren kan se om det finns missuppfattningar i klassrummet.
Matematisk kommunikation kräver kunskaper i matematisk terminologi och när förståelsen för språket och förmågan att använda det för att kommunicera effektivt överbryggas klyftan mellan individer. Detta möjliggör en förbättrad överföring av information och kunskap och skapar förutsättningar för gemensam reflektion och lösning av problem. Det matematiska språket har en struktur och kod som användarna måste knäcka för att få en gemensam förståelse för språket (precis som alla andra språk med grammatiska regler och nya ord). Matematiskt språk inkluderar matematiska notationer med symboliska representationer (som =, +, y, 2), visuella representationer (t.ex. diagram och figurer) och teknisk terminologi (t.ex. platsvärde, sekvens, faktor). Utforskningen som krävs för att förstå samspelet mellan dessa element i matematiskt språk stärker elevens potential att kommunicera. En Frayer Board är ett verktyg som används i klassrummet för att öka läskunnighet, och betraktas som ett verktyg som främjar samspelet i det matematiska språket. Den används för att stödja elevernas matematiska språk och i förlängningen förbättra den matematiska
kommunikationen.
Det Frayer-modellen hjälper eleverna med är att identifiera de unika egenskaper ett begrepp eller en term besitter. Den ska också hjälpa eleverna att särskilja detta från andra begrepp. När eleverna kan göra klart för sig själva vad begreppen innebär kan de separera det konceptet från liknande begrepp eller ord, och senare finna stöd för att lokalisera dess förhållande och samband med andra koncept och begrepp.
Slutsatsen var att kommunikationsförmågan inte bara är ett viktigt mål för utbildningen - det är också ett bra riktmärke för att se hur elevernas förståelse utvecklas över tid. Nyckeln till matematisk förståelse är kommunikation. Nyckeln till kommunikation är språkförvärv. Detta måste vara ett mål för lärare i alla klassrum. Uppgifterna med Frayer Board ger ett effektivt verktyg för att eleven ska kunna tillägna sig språket vilket i sin tur ökar deras kapacitet att kommunicera matematiskt. Eleverna uppmanas att aktivt kommunicera sina inlärning genom att dela och rättfärdiga sitt tänkande med sina kamrater under dessa meningsfulla uppgifter. Eleverna kan med hjälp av metoden visa sin förståelse för det språkliga i matematiken samtidigt som läraren kan få en översikt över möjliga hinder eller svårigheter inom området.
3.1.11 Ariel's cycles of problem solving: An adolescent acquires the
mathematics register.
Sigley och Wilkinson (2015).
Nyckelord: Mathematics register, Language, Discourse and Problem solving.
Analysen illustrerade det ömsesidiga beroende mellan att utveckla matematisk förståelse och att använda det specialiserade språket som är unikt för disciplinen för att uttrycka de
förståelse som använder matematik registret. Metoden var att i analysen fokusera på Ariel, en tvåspråkig student från 7:e klass. Analysen skedde under en period på 18 månader. Ariel utvecklade under denna tid sina kunskaper i både matematik och språket, både muntligt och skriftligt för att lyckas med problemlösning och kunna kommunicera denna process. Under analysen har tre frågor behandlats: Hur visar Ariel sin matematiska förståelse under
problemlösning? Hur använder Ariel matematik registret när han löser problemet? Vilka representationssystem, inklusive språk både muntligt och skriftligt tar Ariel med sig för att lösa problemet?
Resultatet visade att Ariel försökte att lösa ett specifikt algebraiska problem genom identifiera mönster. Hans matematiska inlärning och språkinlärning följdes från ett första antagande, till en omformulering och slutligen generalisering till en regel. Arton månader senare, efter att ha studerat algebra, skötte Ariel systemen för representation, inklusive både det muntliga och skriftliga uttrycket i matematikregistret. Resultaten underströk påståendet att eleverna kanske inte är i full kontroll för framställning och förståelse av
matematikregistret förrän de förstår den grundläggande matematiken.
Slutsatsen var att lärare bör uppmuntras att skapa situationer där eleverna drar fördel av och får lov att leverera en varierad repertoarer av matematikkunskaper och färdigheter. De instruktionsuppgifter som finns och används med elever bör utvecklas för att förfina användningen av matematikregistret.
3.1.12 Teaching Mathematics in Multilingual Classrooms.
Gorgorió and Planas (2001).Nyckelord: Mathematics education; Language; Multilingualism; Mathematics teachers; Teachers; Learning; Mathematical problems; Language minorities; Cultural conflict; Linguistics
Forskningen som helhet belyste den integrerade karaktären av de sociala, kulturella och språkliga aspekterna av matematikundervisning och -inlärning. Projektet fokuserade på två aspekter, språket som ett socialt verktyg inom matematik klassrummet och språket som ett fordon i konstruktionen av matematisk kunskap.
Forskningsmetoden byggde på att introducera uppgift inom dessa två aspekter vilket gav en grund för forskningsmetodik. Det handlade också om att inte undvika en uppgifts
tillkortakommanden, utan snarare använda sådana exempel för att lyfta vilka svårigheter man har stött på. Med tanke på språk som ett verktyg för att dela idéer, matematiskt eller inte, kan det användas både för att förstå och till viss del motverka sociala och kulturella konflikter. Sociala och kulturella konflikter kan uppstå efter språkförbistringar. Forskningen visade att konflikterna som upplevdes av elever i språklig minoritet inte alltid var beroende av ett språkligt hinder, förstått på ett restriktivt sätt, det berodde snarare på ett bredare hinder i kommunikationen. Många gånger, visade det sig, kan elever hjälpas åt att lösa problem om de får utnyttja sitt modersmål, även om det är skilt från undervisningsspråket. När elever möter ord de inte känner igen eller ord de inte känner till (den matematiska) betydelsen av kan deras tankeprocess hämmas och problemet förblir olöst.
Slutsatsen var att olika språk och kulturer kan och bör utnyttjas i undervisningen, där språket ska vara bryggan som ger möjlighet att kommunicera erfarenheter och skapa en gemensam norm. Språkförbistringar har gett utslag i sämre matematikkunskaper för elever som inte har engelska som modersmål (där engelska är undervisningsspråket) och författarna menade att myten om matematik som ett universellt språk sätter käppar i hjulet för att utveckla
mångspråkiga elevers kunskaper och möjligheter inom utbildning.
3.1.13
Language Use in a Multilingual Mathematics Classroom in South
Africa: A Different Perspective.
Setati (2003).
Denna artikeln utforskade det komplexa förhållandet mellan språk och undervisning och lärande av matematik i flerspråkiga klassrum i Sydafrika. Forskningsfrågorna var hur är
matematikinlärning aktiverad eller begränsad i dessa flerspråkiga klassrum? och vilka typer av matematik diskurser är dominerande? Metoden för arbetet var kvalitativ insamling av data
och involverar sex mellanstadielärare i matematik. Språket för lärande och undervisning i Sydafrikas klassrum är engelska, ett av de elva officiella språken i Sydafrika. Datan har samlats in under två år och i arbetet ingår lärarintervjuer, lektionsobservationer,
elevintervjuer, en fokusgrupp-intervju och en reflekterande gruppkonversation med lärare. Resultatet har visat att matematik och engelska har båda symbolisk makt, och slutsaten blir att procedurell diskurs dominerar över konceptuell diskurs i matematik undervisning och lärande. Elever med annat modersmål än engelska kunde, när de fick diskutera på sitt modersmål, utveckla sitt matematiska språk och på så sätt ges möjlighet till problemlösning och gemensamt tänkande.
4 Diskussion
De utvalda artiklarna som behandlade våra frågor har alla snarlika slutsatser men har nått dit via olika metoder. Alla insamlade texter tyder på att det är viktigt att arbeta språkutvecklande inom matematik för att kunna tillgodogöra sig all undervisning och för att ha en chans på lite klurigare problemlösningsuppgifter.
4.1 Hur arbetar man språkutvecklande i matematik?
Det alla källor verkar vara överens om är i att elever behöver öva genom att aktivt använda språket i matematiken. Detta leder in till huvudfrågan för arbetet: hur arbetar man
språkutvecklande inom matematikundervisningen? Det korta svaret är: det skiljer från lärare till lärare.
Eyers, Bragg och Reich (2020) använder sig av en Frayer board i matematikundervisningen för att verkligen arbeta med de matematiska begreppen och termerna. Detta menar dem befäster kunskapen hos eleverna. Enligt författarna är matematikundervisningen beroende av kommunikation och därför tar de fram förslag på hur kommunikationen ska ta större plats i matematikundervisningen.
Myndigheten för skolutveckling (2008) och Riccimini m.fl. (u.å.) lyfter vikten av kommunikation och pratar om lärarens roll att skapa tillfällen där elever samtalar med varandra, till detta ska läraren konstruera frågor som öppnar för diskussion. Genom sin forskning har även Sigley och Wilkinson (2015) dragit slutsatsen att elever måste få öva sitt matematiska språk, men att det är lärarens roll att se till att eleven får lösa problemet med varierande metoder och förklaringar. Det kan dröja innan eleven uttrycker sig precist i matematiken, vilket kan bero på att kunskaperna inom matematiken inte är helt säkra ännu. Det viktiga är att fortsätta utmana, fortsätta ställa frågor och fortsätta be eleven att förklara sina tankegångar.
4.2 Varför är det viktigt att arbeta språkutvecklande i
matematikundervisning?
För att öva upp sin förståelse krävs språk, men det krävs också språk för att visa sin förståelse, påpekar Sigley och Wilkinsson (2015). De lyfter upp hur språket får en dubbel användning i matematik, där det ena benet är att språket används för att utveckla sin förståelse. Genom språket sker diskussioner, kopplingar till tidigare erfarenheter och avgränsningar kan göras för att särskilja ett koncept från ett annat. Det är därför viktigt att arbeta med språket i matematikundervisningen. Det andra benet är att språk krävs för att förklara förståelse för ett koncept, en lösning, en idé. Utan språk finns ingen möjlighet att förmedla kunskap.
Österholm (2004) tar upp en viktig aspekt vad gäller användningen av språk i matematik, nämligen att problemlösning ofta kräver en djupare kognitiv användning av språket. I problemlösning ska eleven inte bara läsa och förstå innebörden i texten, utan även kunna omvandla detta till något matematiskt. Österholm (2006) har även påvisat att det är enklare för (gymnasie- och universitets-) studerande att läsa en ren text för att översätta till
matematiska koncept och problemlösning än att läsa samma typ av uppgift med symboler istället för text för givna koncept. Detta tyder på att elever måste anstränga sig mer för att läsa symbolspråk, där matematiken ibland ses som något främmande. Elever behöver därför träning för att utveckla det matematiska språket parallellt med undervisningsspråket. Myndigheten för skolutveckling (2008) lyfte upp att textförståelse samspelade med
lösningsfrekvens på matematiska problem, vilket antyder att eleverna behöver öva i att läsa matematiska texter. I matematisk problemlösning krävs att text översätts till det symbolspråk som används i matematiken, något som inte kommer av sig själv. I uppgifter som kräver en mer abstrakt konceptuell förståelse, så som samband och förändring, påvisar Roe och Taube (2006) att det finns en starkare korrelation mellan läsförståelse och lösningsgrad. För mer visuella områden, som geometri, visade sig sambandet vara mindre markant. Detta i samband med Österholms upptäckter pekar mot att elever bör övas i att ta ut information ur
matematiska texter - både de framställda på undervisningsspråket (exempelvis på svenska) och med den mer specifika matematiska framställningen, där symboler och figurer får en mer framträdande roll. Roe och Taube (2006) ger också en stark indikation på att det är enklare
för elever att lösa matematiska problem när de får ta del av visuella hjälpmedel för att förklara sambanden beskrivna i texten, exempelvis figurer och bilder som är vanligt förekommande i geometri.
4.3 Hur lär sig elever att använda sig av språket i
matematikundervisningen?
Riesbeck (2008) intervjuade och studerade lärare och elever med slutsatsen att förståelsen ökade när matematikundervisningen arbetade mer explicit med de olika delarna tala, tänka, skriva, lyssna och läsa matematik. För att öka förståelsen behöver ett gemensamt, mer precist, språk användas för att beskriva och lösa matematiska problem. Detta språk kommer inte av sig själv, det måste utvecklas, tränas och användas (av såväl elev som lärare). Även
Myndigheten för skolutveckling (2008) påpekar att elever måste öva på att läsa, skriva och prata matematik för att utveckla förståelsen. Det är även viktigt att befästa olika matematiska begrepp i förhållande till ordens vardagliga innebörd. Myndigheten föreslår i sina tips till lärare att elever ges tid att reflektera över frågor som ställs kring uppgiften för att vara säker på att uppgiften är tydlig för eleven. Genom att kontinuerligt reflektera för att använda och utveckla språket kommer elever, särskilt de med annat modersmål, att gynnas i sin
matematiska utveckling.
Matematiken är ett språk men existerar inte i ett vakuum, det styrs till stor del av
undervisningsspråket, särskilt vid inlärning. Därför behöver elever inte bara lära sig att räkna matte, de behöver lära sig att prata matte. Moschkovitch (2002) tar upp hur ord får en
situationsbunden betydelse inom matematiken och hur elever även använder andra resurser (figurer, gester och dylikt) för att förmedla en lösning. Moschkovitch pratar om tre
nödvändiga ben för att kunna kommunicera matematik: den situationsbundna betydelsen av ord, resurserna utöver orden och den matematiska diskursen.
4.4 Hur påverkar språkanvändningen (elevernas och lärarens)
i klassrummet elevernas förutsättning att lära sig matematik?
Det som går att säga om matematik och språk är att språket stöttar elevers lärande av
matematiska koncept, men då krävs att läraren använder olika metoder för språkanvändning i klassrummet. Vi ser att det är viktigt att eleverna får öva på att förstå matematiska texter (med eller utan symboler) för att kunna ta ut information och kunna besvara frågor eller lösa problemet. Språket är bäraren av förståelsen; för att kunna vinna förståelse och för att kunna uttrycka sin förståelse behöver eleverna använda språket.
Eleverna ska alltså tränas in i det matematiska språket. Riccomini mfl (u.å.) lyfter lärarens roll i klassrummet som en ledare och en guide för eleverna att lära sig språket. De pratar om hur viktigt det är att aktivt arbeta med språket och hur elever ska kunna ta till sig
instruktioner - där huvudansvaret ligger på läraren. Utan språket kan vi inte kommunicera och med brister i språket uppstår lätt konflikter, både sociala och inre konflikter när nya begrepp och koncept konkurrerar med tidigare erfarenheter och föreställningar, detta påpekar Georgio och Planas (2001) när de talar om språkets sociala och kulturella tyngd i klassrummet.
4.5 Hur påverkas flerspråkiga elevers förutsättning i
matematik?
Detta leder oss osökt vidare till hur det är för flerspråkiga elever i klassrummet. Norén (2010) påpekar att flerspråkiga elevers förutsättningar inte enbart beror på språket eller kulturen i skolan, utan ser även ett sociopolitiskt ansvar för att komma till bukt med elevernas förutsättningar att klara sig vidare i utbildning. Det sociopolitiska ansvaret kan anses ligga utanför lärarens direkta roll, men i klassrummet är det viktigt med insikten att eleverna kommer in med helt olika förutsättningar.
Ng (2016) lyfter problematiken med att undervisningsspråket kan ställa till det för elever med annat modersmål, men betonar att när eleverna ges möjlighet att kommunicera icke-verbalt - med gester, figurer, diagram osv - kan de visa sina kunskaper och tillägna sig undervisningen bättre. Ng påpekar att det annars blir ett extra hinder för dessa elever, först ska de förstå på undervisningsspråket för att lösa ett problem och sedan ska de förmå att förmedla lösningen på samma språk. Att låta de eleverna kommunicera även med gester kan därför avlasta dem. Ng har främst studerat elever med annat modersmål, men den språkliga belastningen av att samtala matematiskt kan ställa till det även för de som undervisas på sitt modersmål. Även
elever som av andra skäl har svårt att kommunicera matematiskt hade kunnat hjälpas av att få förklara sina tankegångar och lösningar med hjälp av fler kanaler än den skriftliga
matematiska. Hade denna avlastning hjälpt elever att fokusera eller hade det i längden stjälpt elever när de inte får öva språket i samma utsträckning?
Georgió och Planas (2001) påpekar att elever med annat modersmål än undervisningsspråket ofta begränsas i sin kommunikation och detta påverkar deras möjlighet att ta till sig kunskap, men kanske ännu mer begränsade blir de i framställningen av sina lösningar och vid lösning av problem. De har tittat på språket och kan se att elever som tillåts att diskutera på ett gemensamt språk - eventuellt skilt från undervisningsspråket - har en större chans att nå förståelse och nå ut med sina lösningar. I Sydafrika har Setati (2003) kunnat visa att den dominerande diskursen hos elever med annat modersmål än engelska är procedurell och inte konceptuell. Detta antyder att eleverna inte fullt ut behärskar att använda språket för att diskutera abstrakta idéer och frågan som bör ställas vid sådana situationer är om eleven har förstått konceptet och inte kan förmedla det, eller om det finns missuppfattningar som inte är språkberoende. Matematiken har i Sydafrika betraktats som ett universellt språk, men här har elever med annat modersmål än engelska haft en klar nackdel i matematikundervisningen.
5 Slutsats
Hur exakt eleverna lär sig språket inom matematiken är inte glasklart, men något som är säkert är att läraren har en viktig roll i klassrummet för att denna språkutveckling ska kunna ske. Eleverna måste lära sig situationsbunden betydelse av ord, nya matematiska termer och den matematiska diskursen för att kunna förmedla sin förståelse för matematiken. Läraren måste arbeta aktivt för att denna inlärning och användningen av språket ska kunna ske. Vi har sett några olika exempel på konkreta strategier som lärare använder för detta: Frayer Board, visuella hjälpmedel, att eleverna får diskutera i par/smågrupper för att lösa problem och att läraren skapar meningsfulla problem för att uppmuntra till att öva språket genom
diskussioner. Utredande frågor, påståenden, följdfrågor och möjlighet att använda olika metoder för lösningar är mer övergripande hjälp vid utformning av språkutvecklande matematikundervisning. Det löper trots spretiga resultat en röd tråd genom valda texter och det är att eftertänksam språkanvändning i klassrummet (både lärarens och elevernas) är avgörande för att elever ska kunna lära sig den matematiska diskursen. Det kan vara bra att använda konkreta och visuella hjälpmedel även i högre åldrar för att kunna lyfta elevers förståelse. Det är också viktigt att här poängtera att prat för pratandets skull inte
nödvändigtvis hjälper elever att förstå konceptet, precisionen i språkbruket är viktig för att utveckla elevernas användning av korrekta termer. Lärare och elev måste gemensamt kommunicera matematik med precision och här är lärarens roll för guidning avgörande. För vidare studier på området kan man undersöka effekten av att välja en viss metod eller hur man kan utveckla vidare olika hjälpmedel för att stärka språkandet i
Referenser
Aagardh, P. & Reijler, J. (u.å.). Lärarens guide till Singaporemodellen. Natur och Kultur. Eyers, A. M., Bragg, L. A., & Reich, M. (2020). Supporting mathematical language through
the frayer board. Australian Primary Mathematics Classroom, 25(2), 9.
Feldreich, S. (2020, 9 dec). Matteprofilernas krav efter Timss-resultatet. Ämnesläraren. Hämtad från
https://www.lararen.se/amneslararen-matte-no/elevmatningar-pisatimss/varfor-inte-lara-av-de -basta
Johansson, A., & Persson, J. (2011). Matematik och språk: Viktigt samspel genom kommunikation (Examensarbete). Malmö högskola/Lärande och samhälle. Hämtad från
http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:mau:diva-34800
Moschkovich, J. (2002). A Situated and Sociocultural Perspective on Bilingual Mathematics Learners. Mathematical Thinking and Learning, 4(2/3), 189–212.
Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik: Om språkliga dimensioner i matematikuppgifter. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling.
Ng, O. L. (2016). The interplay between language, gestures, dragging and diagrams in
bilingual learners’ mathematical communications. Educational Studies in Mathematics,
91(3), 307-326.
Norén, E. (2010). Flerspråkiga matematikklassrum: Diskurser i grundskolans
matematikundervisning (Doktorsavhandling, Institutionen för matematikämnets och
naturvetenskapsämnenas didaktik, Stockholms universitet)
Gorgorió, N., & Planas, N. (2001). Teaching mathematics in multilingual classrooms.
Petersson, J. (2017). Mathematics achievement of early and newly immigrated students in
different topics of mathematics (Doktorsavhandling, Department of Mathematics and Science
Education, Stockholm University).
Riccomini, P. J., Smith, G. W., Hughes, E. M., & Fries, K. M. (2015). The language of
mathematics: The importance of teaching and learning mathematical vocabulary. Reading
and Writing Quarterly, 31(3), 235-252.
Riesbeck, E. (2008). På tal om matematik: matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen (Doktorsavhandling, Studentlitteratur).
Roe, Astrid & Taube, Karin (2006). How Can Reading Abilities Explain Differences in Maths Performances? I Jan Mejding & Astrid Roe (Red.), Northern lights on PISA 2003: A
reflection from the Nordic countries (ss. 145-157). Köpenhamn: Nordic Council of Ministers.
Setati, M. (2003). Language Use in a Multilingual Mathematics Classroom in South Africa: A Different Perspective. International Group for the Psychology of Mathematics Education, 4, 151-158.
Sigley, R., & Wilkinson, L. C. (2015). Ariel's cycles of problem solving: An adolescent
acquires the mathematics register. The Journal of Mathematical Behavior, 40, 75-87.
Österholm, M. (2004). Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i läsprocessen
(Doktorsavhandling, Matematiska institutionen).
Österholm, M. (2006). Kognitiva och metakognitiva perspektiv på läsförståelse inom
