Gymnasieelevers synpunkter på matematiksvårigheter : en fallstudie

Examensarbete i Matematik

D-nivå, Matematikdidaktik, 20 poäng Handledare: Britt-Marie Stocke Examinator: Johan Lithner Författare: Birgit Gustafsson Höstterminen 2004

Gymnasieelevers synpunkter på

matematiksvårigheter

- En fallstudie -

Tack

Jag vill först och främst tacka Gudrun Malmers stiftelse som gjorde det möjligt för mig att få arbeta med detta intressanta ämne. Jag vill också rikta mitt tack till min handledare Britt-Marie Stocke som hela tiden stöttat och uppmuntrat mig att arbeta på. Jag vill tacka min examinator Johan Lithner som hjälpt mig när jag suttit fast och inte vetat hur jag ska fortsätta. Jag vill även tacka alla mina elever som ställt upp på att bli intervjuade, utan er hade inte detta arbete blivit av.

Jag vill sist men inte minst tacka alla snälla och uppmuntrade människor som funnits runt omkring mig som familjen, kollegor och personalen på matematiska institutionen, Umeå. Ni är alla fantastiska.

Sammanfattning

Syftet med denna uppsats är att undersöka matematiksvårigheter ur elevernas perspektiv. Vilken karaktär har svårigheterna, vilka är orsakerna till dessa och finns det förslag på åtgärder?

Eleverna som deltagit i undersökningen har haft mer eller mindre svårigheter att klara av Matematik B men har inga svårigheter att klara av övriga kurser på programmet. Det är 15 elever som har intervjuats och samtliga går samhällsprogrammet på en gymnasieskola i Örnsköldsvik. De har i samband med intervjun även fått lösa en eller två uppgifter. Detta för att om möjligt se om det finns svårigheter de själva inte kan uttrycka. Utifrån dessa elever kan man naturligtvis inte generalisera utan det som kommer fram i uppsatsen är enbart de intervjuades åsikter.

Det är ett flertal svårigheter som kommer fram vid undersökningen. Det som eleverna anser skapa störst svårigheter är algebra och problemlösning. De flesta anser att matematik är roligt och intressant så länge de förstår vad de gör. När de inte förstår blir det tråkigt och ointressant och då orkar de inte engagera sig mer. Några anser att orsakerna till dessa svårigheter är för dåliga förkunskaper. De flesta eleverna anser dock att deras matematiksvårigheter beror på att de får för lite hjälp och att de därför saknar förståelse. Det beror även på inställning, engagemang, koncentration, motivation och vilja om man lyckas eller inte, anser eleverna. Förslagen på åtgärder var inte så många men att de vill ha mer hjälp och att gemensamma genomgångar är bra ansåg några av eleverna. När de löste uppgifterna visade det sig att de flesta har mer eller mindre brister i förståelsen. Flera visar osäkerhet och vågar inte lita på de kunskaper de har. De saknar strategier och kontroll på vad de gör men har även svårigheter med det rent matematiska kunnandet. De använder sig av s.k. nyckelord vilket innebär att de tar fasta på ett ord och utifrån detta ord försöker de lösa uppgiften. Orsakerna till dessa problem tyder på bristande rutin, osäkerhet samt bristande abstraktionsförmåga.

Abstract

The purpose of this composition is to investigate mathematical difficulties from the students` point of view. What is the character of the difficulties, what causes them and are there any proposals that can reduce them?

Students who have participated in the investigation have more or less difficulties to pass the B-course of Mathematics but have no trouble to get through the other courses on the program. There are 15 students of upper secondary school that have been interviewed and all of them are enrolled in the social science program at Nolaskolan, Örnsköldsvik. In addition to the interview they have also been asked to solve one or two mathematical problems in order to, if possible, see if there are difficulties they cannot express by themselves. From this you cannot, of course, generalize but what comes out from this composition is exclusively the opinions from the interviewed students.

There are a several difficulties that emerge from the investigation. The students consider that the main difficulties occur when working with algebra and problem solving. Most of them think that mathematics is enjoyable and interesting as long as they understand what they are doing. When they do not understand, mathematics gets boring and they quickly lose their interest. Some of them consider that previous knowledge of mathematics is poor. However, most of the students think that their difficulties depend on the fact that they cannot get the necessary help causing the lack of understanding. They also think it depends on the attitude, engagement, concentration, motivation and will if it turns out a success or not. The

suggestions for what can be done to improve the situation were quite few. But some of the students think that they need more help and also that it is good when the teacher lectures. When the students solved the problems the all had more or less lack of understanding. Some of them are insecure and do not dare to trust what they know. They do not have any strategies and control over what they are doing but they also have difficulties with the mathematics. They use “keywords” which means that they have a word in mind and from that word they try to solve the problem. The causes of these difficulties indicate a lack in routine, as well as a feeling of insecurity and finally the ability to think in abstract terms

Innehållsförteckning

1 Inledning

Syfte och frågeställningar 1

2 Bakgrund

”

3

Metod

Urval av elever 6

Intervjuerna 7

Uppgifterna 8

Analys 10

4

Resultat och analys

4.1 Chris 10 4.2 Dennis 11 4.3 Jane 14 4.4 Jan 15 4.5 Jim 17 4.6 Jon 19 4.7 Kate 21 4.8 Kasper 23 4.9 Moa 24 4.10 Mats 26 4.11 Max 28 4.12 Nina 29

5

Sammanställning och diskussion

5.1 Sammanställning av intervjuer 31 Arbetsmiljö 31 Intresse 31 Specifika problemområden 32 Förkunskaper 33 Läromedel 33 Stress 33

Varför lyckas eller misslyckas man 33

5.2 Sammanställning av uppgiftslösning 34

Svårigheternas karaktär 34

Svårigheternas orsaker 35

5.3 Diskussion av intervjuer och uppgiftslösning 36

Svårigheternas karaktär 36

Svårigheternas orsaker 38

Åtgärder 38

Slutsats 39

1

Inledning

Kunskaper i matematik är viktiga, både för samhället och för den enskilda individen. Behovet av matematiska kunskaper i yrkeslivet är för många en självklarhet men vi behöver även dessa kunskaper för att tolka, värdera och kritiskt granska information i vardagslivet. Matematiska kunskaper ger självförtroende och större möjligheter att påverka vår omgivning. När man pratar med skolelever är de ofta medvetna om detta. De anser att matematik är ett viktigt ämne och om man är ”duktig” i matematik så visar det att man är, som de uttrycker det, intelligent eller smart. Trots detta, anser många att det är ett tråkigt ämne och känslomässigt bär de med sig negativa erfarenheter av ständiga misslyckande. Det är ingen idé att försöka. Man misslyckas säkert ändå nästa gång.

Elevers matematiksvårigheter är ett ofta förekommande diskussionsämne i gymnasieskolan. Vad skall/kan vi göra? Vad är det som är svårt? Frågorna är många men även om lärarna på skolorna är oerhört duktiga och innovativa så har vi fortfarande problemet kvar. Alldeles för många elever examineras från kurserna i matematik med betyget icke godkänd (IG). Beror då detta på att våra elever har större inlärningssvårigheter än tidigare? Det finns inget som tyder på det. Det måste även bero på andra faktorer. Ett flertal matematikdidaktiska studier visar istället att elevens övertygelse och inställning spelar en viktig roll för hur man lyckas med sina studier i ämnet. Man har även påvisat att motivation och självtillit är viktiga faktorer som påverkar elevernas inlärning. Det finns inte någon entydig lösning på problemet. Det finns ingen perfekt undervisningsform utan varje situation är unik. Ibland är individuell undervisning perfekt och en annan gång är det gemensam genomgång som passar bäst. Allt beroende på hur den aktuella situationen ser ut.

Syfte och frågeställningar

Syftet med denna uppsats är att genom elevernas synpunkter på sina matematiksvårigheter få kunskap om vad det är, som är så problematiskt för dem. I en tidigare uppsats om lärares och elevers åsikter om elevernas matematiksvårigheter (Gustafsson, 2001) visade det sig i en enkätundersökning att eleverna hade en hel del synpunkter på vilka svårigheter som finns, vilka orsakerna är till dessa svårigheter samt även på åtgärder de ansåg skulle hjälpa dem att klara av sina matematikstudier bättre. Därav väcktes intresset att få studera detta ytterligare och genom intervjuer med eleverna få veta mer om deras åsikter. Hur ska man då få eleverna att prata om det de tycker är svårt då de många gånger bara insett att de har svårigheter men inte vad svårigheterna består av? Efter vissa funderingar valdes metoden att intervjua elever och att de får lösa en alternativt två uppgifter då de får berätta vad de gör och hur de tänker när de löser uppgifterna. Den senare delen för att få en möjlighet att se vad det är som är problematiskt.

Uppsatsens frågeställningar är:

• Vilken karaktär har elevernas matematiksvårigheter? • Vilka är orsakerna till elevernas matematiksvårigheter? • Vad behövs det för att åtgärda dessa svårigheter?

Ofta, inom matematik, används ordet problem om uppgifter som inte är rutinuppgifter. Man pratar om att elever måste bli bättre på problemlösning, de löser problem osv. Problem kan även vara det som skapar frågor och/eller svårigheter för eleverna, det som hindrar dem i deras kunskapsutveckling. Jag ska försöka skilja dessa båda åt och benämna det som skapar

svårigheter för eleverna för just svårigheter och problem/problemlösning som nämns är uppgifter som inte är rutinuppgifter.

Kognitiva och metakognitiva brister är vanliga begrepp då man diskuterar matematiksvårigheter. Kognitiva brister betyder svårigheter med inlärning och abstraktion. Metakognitiva brister betyder svårigheter med, medvetandet av sitt eget lärande, att styra och värdera sitt lärande samt att förstå vad man lärt sig och varför (Lusten att lära, 2002).

Studier kring elevers åsikter om matematiksvårigheter har varit svårt att finna. Det finns dock en hel del forskning som berör uppsatsens frågeställningar. I följande litteraturstudie redovisas några av de resultat man fått när man studerat elever och deras förmåga att lösa uppgifter.

2 Bakgrund

Elevers problemlösningsförmåga har studerats av många forskare bl.a. Alan Schoenfeld (1985). Han menar att matematisk problemlösningsförmåga bygger på fyra kategorier av kunskap. ”Resources”, de matematiska kunskaper eleverna har sedan tidigare som t.ex. intuition, fakta, algoritmer etc. ”Heuristics”, strategier och tekniker för att lösa icke familjära problem som t.ex. rita figur, utnyttja kunskaper från tidigare problem, formulera om problemet, testa och verifiera. ”Control”, är globala beslut beträffande valet av strategier och genomförande som t.ex. planering, medvetna metakognitiva handlingar. Slutligen ”Belief Systems” som han menar är, elevens matematiska begreppsvärld, bl.a. synen på matematik och på sig själv. Det räcker alltså inte bara med kunskap för att lyckas med problemlösning utan även elevernas uppfattning av denna kunskap som de fått genom erfarenheter från matematik, är viktig. Därför är det viktigt att läraren är medveten om,

• vilken matematisk information problemlösarna förstår/inte förstår • vilka tekniker de har/saknar

• hur de använder/inte använder den givna informationen • deras matematiska synsätt

vid problemlösning.

Läroplan för de frivilliga skolformerna (Lpf, 1994) behandlar olika typer av kunskap, de fyra F:n, fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet. För att till fullo uppnå dessa kunskaper måste det till ett engagemang och aktivt deltagande i lärandesituationerna. Kunskap utvecklas genom interaktionen mellan den som lär och den som undervisar. Det är viktigt att få lära sig problematisera, ifrågasätta och kritiskt granska lösningar i dialog med andra. Därför är också den språkliga uttrycksförmågan viktig för att kunna kommunicera även i matematik (Lusten att lära, 2002).

Marilyn Carlson (1999), visar i en studie, faktorer som är avgörande för hur framgångsrik man blir i sin matematiska utveckling. Hon har studerat sex studenter som lyckats med sina matematiska studier. Carlsons huvudsyfte var att identifiera faktorer i studenternas bakgrund som varit avgörande för deras utveckling i matematik. Detta har hon gjort genom att observera deras tillvägagångssätt när de löser uppgifter. Hon kom fram till att övertygelse är viktigt men även uthållighet. Hon menar på att uthållighet är ett nödvändigt karaktärsdrag, för utan uthållighet ger studenten upp när det blir svårt. Dessa studenter har även haft en mentor (lärare, förälder eller syskon) som varit viktig för deras matematiska utveckling. Denna

mentor har gett dem matematiska utmaningar och lärt dem angripa dessa utmaningar. De har krävt att studenten ska engagera sig samt låtit studenten verbalisera sina matematiska idéer. Hon iakttog även att studenterna ägnade lite eller ingen tid alls åt att kontrollera och reflektera över sina svar. Även om de var väldigt noggranna när de löste uppgifterna, så lämnade de dock enbart svar utan några förklaringar. Man kunde dock se att det fanns en logisk grund till svaren. När man studerat studenter på lägre matematiska nivåer visar de i stort sett samma tendenser men deras svar brukar oftast sakna logiska grunder.

Matematik anser många vara ett ensamarbete men Schoenfeld (1992) menar att det är en medfödd social aktivitet. Han anser att vi utvecklar känslor och åsikter i samverkan med varandra för olika saker t.ex. musik, så även för matematik. Kunskap uppkommer i samspel med andra, mellan elev – lärare, elev – elev. Ska vi förstå lärandeprocessen måste vi förstå den matematiska miljö eleverna kommer från. Att lära sig tänka matematiskt menas att man utvecklar ett matematiskt synsätt, värderar matematiska processer, abstraherar och tillämpar dem. Det gäller även att utveckla kompetens, genom att kunna använda de verktyg man lärt sig med mål att förstå strukturer – att få matematisk känsla. Matematik är något levande som söker finna mönster i världen runt omkring oss. För att kunna förklara dessa mönster och strukturer behöver vi det matematiska språket vilket är baserat på matematiska regler som eleven, i sin tur, måste lära sig. I övrigt är det viktigt att påminna dem om att de inte ska memorera procedurer och formler. Man ska söka lösningar, förklara mönster och formulera antaganden med hjälp av de matematiska reglerna man lärt sig. Författaren anser att en person som tänker matematiskt analyserar världen runt omkring sig på ett speciellt sätt. Ett komplext sammanhang består av många delar. Varje del kan analyseras var för sig men det är otillräckligt, då man måste se helheten som är mer än delarna tillsammans. Så måste även tankesättet vara vid matematisk problemlösning. Eleverna bör förberedas på att inte bara lösa delmomenten utan även kunna se helheten. Det har visat sig att elever har kunskap om olika matematiska områden men kan inte applicera dem i ett okänt sammanhang där de behöver kunskap från de olika områdena. De har förstått delarna men kan inte se helheten.

Många kognitiva processer sätts igång när eleverna engagerar sig i matematiskt tänkande och kommunikation, skriver E. Filloy och R. Sutherland (International Handbook, 1996). Dessa processer kan relateras till

• ökad iakttagelseförmåga

• ökad uppmärksamhet vid vägledning och de ser samband mellan olika processer • ökad användning av minnet

• ökat analytiskt och logiskt tänkande

• inlärning med ökad förmåga till generaliseringar och abstraktion.

I skolmatematiken förväntas eleverna att använda det matematiska symbolspråket när de går från en konkret situation till en abstrakt och tvärtom. När man övergår från en konkret till en mer abstrakt situation är symbolspråket en övergångsform för abstraktionsprocessen. Man har i dessa situationer observerat att när eleverna får svårigheter att lösa abstrakta problem försöker de istället att applicera problemet på en mer konkret situation för att förstå problemet. De gör då bl.a. olämpliga generaliseringar och feltolkningar av texten.

Steven R. Williams och Kathy M.C Ivey (2001) har vid studier av elevers engagemang i klassrummet observerat en elev som visat påfallande skillnader i sitt engagemang, ibland engagerad och ibland oengagerad. Eleven säger i intervjuer att matematik är viktigt och att han förstår men han säger även att hans brist på engagemang beror på att han inte är intresserad av ämnet. Det är tråkigt men man har nytta av att kunna det. Därför presterar han det bästa han kan. Författarna försöker förklara hans beteende med hjälp av fem faktorer som

påverkar motivationen. Dessa faktorer är orsaksegenskaper, prestationsförmåga, uppfattad användbarhet, målorientering och vilja. Orsaksegenskaperna är det som främjar eller hämmar personen i framtida situationer. De delar sedan upp orsakerna som påverkar motivationen i tre olika riktningar, inre och yttre orsaker, stabila och ostabila orsaker samt kontrollerbara och okontrollerbara orsaker. Yttre orsaker kan vara förväntningar från föräldrar och lärare medan de inre är underordnade orsaker. Prestationsförmåga innebär personens förmåga att organisera och genomföra uppgifter. Med uppfattad användbarhet menas det som vanligtvis uppmuntrar till inlärning, den omedelbara eller framtida nyttan av aktiviteten. Målorientering delas upp i två typer, lärandemål och utförandemål. Lärandemål innebär ökad kompetens och utförandemål innebär hur man använder sin medfödda begåvning. Slutligen viljan, det centrala som styr motivationen. Elevens beteende är dock för komplext för att det enbart ska kunna analyseras utifrån dessa faktorer. Likadant är det med de flesta fall, motivation är något som är svårt att mäta även att man vet att det påverkar eleverna i stor utsträckning.

Carolyn Kieran, skriver i en artikel om lärande och undervisning i skolalgebra (1992). I en nationell studie (NAEP) visar det sig att då eleverna har brister i förståelse, memorerar de regler och procedurer. De verkar tro att det är så man lär sig algebra. Författaren gör en analys av skolalgebran och tittar på dess historiska utveckling. Länge har innehållet i algebraundervisningen varit detsamma. Först i slutet av 1960-talet skedde några förändringar, samhället förändrades. Det skedde en teknologisk utveckling och i skolan införde man en del nya begrepp som olikheter, mängder och funktioner för att möta samhällets behov av matematisk kunskap.

Kieran nämner tre faktorer, som hon anser, orsakar elevernas svårigheter att lära sig algebra, läroboksinnehåll, undervisning och lärande. Lärandeprocessen är det som studerats flitigast och även det som är enklast att studera. Det man funnit är svårast för eleverna är att översätta ett textproblem till en ekvation. De gör en rad olika misstag t.ex. att de inte ser ”lika med”- tecknet som en symbol för symmetri. De har svårt att se en bokstav som en variabel osv. De lär sig endast att lösa algebraiska uttryck, aritmetiskt men hinner inte lära sig den mer abstrakta algebran. De förvärvar inte den förståelse för algebra som krävs.

Studierna kring undervisning i algebra är inte många men det man iakttaget är att många lärare följer läroboken och undervisar det som den tar upp. Många lärare hinner inte heller ta till sig de resultat forskarna rapporterar. Därför kommer de brister man finner i undervisningen inte fram till de undervisande lärarna.

Lärobokens innehåll är den sista faktorn som Kieran anser orsakar svårigheter. De flesta läroböckerna lyckas inte med övergången mellan den konkreta, aritmetiska algebran och den abstrakta. Därmed byggs förståelsen inte upp.

”Den kvalitativa forskningsintervjun”

Eftersom uppsatsen bygger på intervjuer krävdes inledningsvis en studie i intervjuteknik. Nedan följer en sammanfattning av den danske forskaren Steinar Kvales bok, ”Den kvalitativa forskningsintervjun”.

Samtalet är en grundläggande form för mänskligt samspel och det finns olika typer av samtal vardagliga, litterära och professionella samtal. En forskningsintervju är både ett vardagssamtal och ett professionellt samtal, ett professionellt samtal som grundar sig på ett vardagssamtal. Man kan även definiera det som ”en intervju vars syfte är att erhålla beskrivningar av den intervjuades livsvärld i avsikt att tolka de beskrivna fenomenens mening” (s.13). Forskningsintervjun har en mening och ett syfte, där forskaren kontrollerar situationen genom att t.ex. kritiskt följa upp svaren. Eftersom sanningen är subjektiv får man olika ”bilder” av ämnet när man intervjuar flera personer och det är själva styrkan.

Forskningsintervjun kan ge en bild av en både mångsidig och komplex mänsklig värld genom att intervjupersonen i en dialog uttrycker en egen uppfattning om sin livsvärld. En kunskap som sedan kan användas för att förbättra människors situation. Intervjuaren försöker tolka vad som sägs och hur det sägs om de intervjuades livsvärld. Då gäller det inte enbart att fånga det som sägs utan att även fånga upp det underförstådda budskapet och få bekräftat om tolkningen är riktig. I första hand är man inte ute efter allmänna åsikter utan efter specifika åsikter. Intervjun följer därför inte någon standardiserad eller styrd form utan den är enbart fokuserad på det aktuella området. Uttalanden kan många gånger vara mångtydiga. Den kvalitativa forskningsintervjun har som mål att försöka fånga detta och beskriva dessa mångsidiga uppfattningar för att ge en så exakt bild av den intervjuades livsvärld. Därför är intervjuarens känslighet och förkunskap om ämnet oerhört viktig. Intervjun är ett samspel mellan två människor som kan skapa både negativa och positiva känslor. Intervjuaren bör därför försöka skapa en så positiv stämning som möjligt genom att vara lyhörd och visa intresse samt förståelse för vad den intervjuade berättar.

Kvale behandlar även de filosofiska strömningarna som ligger bakom utvecklingen av den kvalitativa forskningsintervjun. Kort behandlas fyra kunskapsteorier, postmodernismen, hermeneutiken, fenomenologin och dialektiken (s.44ff). Den kvalitativa forskningsintervjun används för att skapa ny kunskap. I det postmoderna tänkandet har synen på kunskap förändrats. Man har övergett tron på att finna den objektiva sanningen och försöker istället ge en rättvis tolkning av den mänskliga verkligheten. Kunskap byggs upp genom samtal t.ex. en dialog mellan intervjuaren och den intervjuade. Den intervjuade delar med sig av sin livssituation i ett sammanhang som intervjuaren ska försöka fånga. För att senare analysera detta riktigt är det viktigt med konstruktiv utfrågning och att med försiktighet överföra det muntliga till skriftligt. Intervjuer är känsliga för skillnader och nyanser i det muntliga som kan vara svåra att överföra.

Hermeneutik handlar om att skapa en tolkning, en gemensam förståelse, för texten. Vilket är relevant vad det gäller intervjuforskningen, genom att man först tolkar dialogen och senare även tolkar den nedskrivna texten. Man utgår från hela texten och tolkar med hjälp av den, delarna för att därefter tolka helheten genom delarnas tolkning. Detta kallas ”den hermeneutiska cirkeln” och innebär att man på detta sätt skapar en djupare förståelse för temat.

Inom fenomenologin handlar det om att försöka beskriva och förstå världen utifrån människan och hur hon uppfattar den. Man försöker tränga bakom det omedelbart sagda genom att beskriva och ge ord åt det osagda. Man studerar strukturen och dess variationer. Man intresserar sig för det som framträder och på vilket sätt det framträder.

Till sist dialektiken som handlar om att studera motsägelser. Ny kunskap, anser man, uppkommer då man ifrågasätter det etablerade. Man undersöker motsägelser och ställer dem mot varandra. Människan förändrar världen och p.g.a. konsekvenserna av sitt handlande förändras människan själv. Inom dialektiken ligger tyngdpunkten på det nya, det som är under utveckling. Därför gäller det att avslöja det nya för att få ny kunskap om människan och hennes livsvärld.

Om den kvalitativa forskningsintervjun är en vetenskaplig metod eller inte diskuteras ibland. Först och främst är det svårt att finna en entydig definition av vetenskap men allmänt brukar det anses att vetenskap borde leda till uppkomst av ny kunskap som man fått fram genom ett metodiskt arbetssätt. Enligt positivismen erhålles vetenskaplig fakta genom objektiv och kvantifierbar data och den mänskliga faktorn elimineras. Så med ett positivistiskt synsätt så är den kvalitativa forskningsintervjun ovetenskaplig. Om den kvalitativa forskningsintervjun kan vara objektiv beror dels på hur man definierar objektiv anser Kvale. Han tar upp tre olika

uppfattningar, objektivitet som en tillförlitlig kunskap som är undersökt och kontrollerad och fri från personliga fördomar. Den andra är att objektiv är lika med intersubjektiv kunskap. Vilket betyder att upprepade observationer av samma sak, iakttagits av flera observatörer, ger samma resultat. Den tredje uppfattningen av objektiv betyder att objektets verkliga natur speglas. Ser man det ur den sistnämnda uppfattningen är intervjun en utmärkt metod att använda då dess mål är att spegla den intervjuades natur. Intervjun i sig är ingen vetenskaplig metod men den kan användas för att få fram ny kunskap vilket måste ses som syftet med alla vetenskapliga undersökningar.

3 Metod

Syftet med detta arbete är att undersöka uppsatsens frågeställningar genom att försöka se elevernas matematiksvårigheter ur deras eget perspektiv. Liknande frågeställningar har undersökts genom att man har studerat elevers agerande i olika sammanhang. I denna studie är utgångspunkten att försöka utröna vad svårigheterna består av genom intervjuer och uppgiftslösning. Under intervjuerna och uppgiftslösningarna skall eleverna försöka formulera hur de tänker och vad det är som skapar svårigheter. Det kan dock vara besvärligt för eleverna att prata om det de inte förstår och inte är medvetna om.

Urval av elever

Eleverna som deltagit i studien går samtliga på samhällsprogrammet. De flesta (9 elever) går i åk.2 och läser Matematik B (MaB) medan sex av eleverna går i åk.3 och har just avslutat MaB. Ur elevgrupperna gjordes ett urval av de elever som haft/har svårigheter att klara MaB-kursen. De elever som inte är godkända på kursen/avklarade avsnitt eller har inlärningssvårigheter valdes bort. Uppsatsens målgrupp är alltså den växande gruppen elever på våra gymnasieskolor som inte har några tydliga inlärningsproblem. De har godkänt betyg i programmets övriga kurser men har svårigheter att få godkänt i matematikkurserna. Detta är ett växande problem på samhällsprogrammet men även på de yrkesförberedande programmen. Eleverna informerades om vad studien skulle innebära och de fick därefter anmäla sitt intresse. De skulle frivilligt delta i en intervju och lösa en eller två uppgifter. Intervjun var inte ett examinationstillfälle och det viktiga var inte om de kunde lösa uppgifterna, utan att få veta vad de anser om matematiksvårigheter och hur de tänker när de löser uppgifter.

Intentionerna från början var att intervjua ca 20 elever men några har valt att inte vara med trots att de anmält sig frivilligt och några med högre betyg än G frågade om de fick vara med. De elever som går åk.3 har blivit intervjuade vid två tillfällen och då har det senare tillfället enbart bestått av att lösa uppgifter. Det slutade med att ca 15 elever har intervjuats. En intervju har sorterats bort då eleven hade så stora svårigheter att han inte klarade av att lösa någon av uppgifterna.

Eleverna går samtliga i klasser med 32 elever och flertalet utövar aktivt någon idrott med minst en träning/dag. Jag undervisar i de båda klasserna vilket naturligtvis kan orsaka att eleverna blir hämmade i sina uttalande och att de inte vågar säga vad de verkligen anser. Hade dessa elever intervjuats av någon annan skulle svaren säkerligen ha förändrats något. Jag upplever dock ändå att eleverna litar på mig och vågar vara öppna och berätta sina åsikter om det aktuella temat. Informationen var därför tydlig. Jag berättade om min tidigare uppsats och om vad jag kommit fram till där samt orsaken till varför jag ville gå vidare med detta. De fick information om att intervjun var frivillig och inte var något de måste medverka i. Intervjun

förlades därför utanför skoltid så att enbart de som verkligen ville vara med, deltog. Jag försäkrade att inget av vad de sa eller gjorde, skulle tas med i min bedömning vid betygssättningen, utan att jag ville få kunskap om deras åsikter. De informerades även om att när de löste uppgifterna var det inte svaret som var viktigast utan att jag ville få veta hur de tänker när de löser uppgifter och vilka steg som är problematiska. Flertalet har jag bara undervisat i Matematik B (MaB) endast fyra av de intervjuade har jag haft förmånen att även undervisa i Matematik A (MaA). Innan intervjutillfället hade vi dock lärt känna varandra vilket underlättade, en öppen dialog. Frågor som berörde lärarens betydelse valde jag bort men några berörde detta ändå.

Intervjuerna

En intervjuundersökning kan delas upp i sju olika stadier enligt Kvale (1997), tematisering, planering, intervju, utskrift, analys, verifiering samt rapportering. Tematisering innebär att man innan själva intervjun formulerar syftet med undersökningen och beskriver ämnet (Kvale). För att få kännedom om ämnet krävs teoretiska studier, litteraturstudier och även kännedom om den miljö undersökningen genomförs i. Då det har varit problematiskt att finna liknande studier gjorda ur elevperspektiv har jag koncentrerat litteraturstudien kring vad som är gjort inom ämnesområdet allmänt och som berör uppsatsens frågeställningar. Kvale tar upp vikten av att ställa rätt intervjufrågor. Olika angreppssätt leder fram till olika information. Jag gjorde två pilotintervjuer. Där jag testade de tänkta frågeställningarna samt intervjutekniken. Därefter omarbetades frågeställningarna något.

Nästa steg är planering. Tid, hur många man ska intervjua etc. Normalt är ca: 15 personer men det är även beroende på vilken typ av kunskap man vill ha fram. Den mycket vanliga kritiken mot intervjuundersökningar är att man inte kan generalisera om antalet deltagande personer är för få. Kvale tar upp ett antal välkända historiska fall där man gjort generaliseringar utifrån en eller ett fåtal personer (Piaget, barns kognitiva utveckling, Ebbinghaus, inlärning och hågkomst m.fl.). Jag har intervjuat 15 elever, 2 pilotfall samt 12 som ingår i själva undersökningen. En har sorterats bort då den eleven hade så stora svårigheter att han inte kunde genomföra någon av uppgifterna.

De etiska svårigheterna som uppkommer vid en intervjuundersökning, nämner Kvale, bör beaktas varligt. Vid en intervju gäller inte bara att eftersträva kunskap utan även ha som mål att förbättra de undersöktas situation. Det är även viktigt att informationen behandlas konfidentiellt genom hela undersökningen. Därför används fingerade namn på de intervjuade eleverna men namnet avslöjar om det är en flicka eller pojke. I övrigt har jag försökt att vid sammanfattningen inte ta med sådant som kan äventyra deras anonymitet men ändå få med sådant som är relevant i sammanhanget. Jag har även ändrat från talspråk till skriftspråk då uttryckssättet kan avslöja en person.

Intervjun är samtal mellan två människor och genom samtalet utvecklas kunskap (Kvale), kunskap om den intervjuades situation. Därför är det viktigt att atmosfären är sådan att den intervjuade känner sig trygg och vågar öppna sig för intervjuaren. Det är dock inget samtal mellan två jämställda parter utan ett samtal där intervjuaren styr med förberedda frågor. För att den intervjuade ska känna sig motiverad att öppna sig och berätta om sin situation, bör hon få veta bakgrunden och syftet med undersökningen. I en halvstrukturerad intervju är ett antal frågor förberedda men beroende på den intervjuades svar kan ordningsföljden förändras och andra frågor ställas för att följa upp vissa svar.

De förberedda frågeställningarna för intervjun var;

¾ Många elever anser att matematik är ett svårt ämne. Vad anser du? ¾ Varför är det svårt?

¾ Vilken typ av uppgifter brukar du ha svårt för att lösa?

¾ Vad, tror du, man skulle kunna göra för att slippa dessa svårigheter?

Frågorna rörde sig även kring svårigheter som framkom vid enkätundersökningen (Gustafsson, 2001) som;

¾ Ointressant ämne ¾ Tidsbrist

¾ Läroböcker

¾ Självförtroende, motivation

Efter intervjun påbörjades utskriften av intervjuerna, ordagrant. Mina frågor och kommentarer i intervjuerna är markerade med B och elevernas med respektive förnamns initial. Pauser betecknades … och vissa kompletteringar till det eleverna skrev ner när de löste uppgiften, har markerats inom parentes. Det är problematiskt att återge ett samtal i skriftform. Det är inte bara orden som berättar vad den intervjuade säger utan även kroppsspråk, betoning, pausar och röststyrka bidrar till förståelsen. Noteringar angående detta gjordes under intervjuns gång och har funnits med som underlag vid sammanfattningen och analysen av materialet. Intervjuerna sammanfattades för att få fram det som var väsentligt att ta upp med hänsyn till uppsatsens frågeställningar. På samma sätt sammanfattades uppgiftslösningen som även tolkades. Därefter gjordes en analys av de båda sammanfattningarna.

Uppgifterna

De uppgifter som eleverna löste har varit med i Nationella provet (Np), MaB år 1999 och 2001. 2001 års Np är det första enligt kursplan 2000. Uppgifterna prövar två stora algebraiska avsnitt i B-kursen dels linjära funktioner och dels andragradsfunktioner. I MaA och även i grundskolan har eleverna prövat på att lösa enklare ekvationer. Svårigheter i B-kursen är att abstraktionsnivån höjs betydligt samtidigt är kursen endast 50 poäng. Detta medför att många elever, för första gången under sin skoltid, möter svårigheter.

Linjära funktioner Uppgift 1:

Linjerna y = kx + 13 och y = x + 1 skär varandra i en punkt som ligger i 1:a kvadranten om k väljs på lämpligt sätt. Då är skärningspunktens koordinater positiva.

a) Sätt k = 0 och rita upp de båda linjerna. b) Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.

c) Linjerna y = kx + 13, y = x + 1 och y- axeln bildar en triangel då k = 0. Beräkna arean på den triangeln.

d) Sätt k = -1, bestäm skärningspunkten mellan y = kx + 13 och y = x + 1. Dessa linjer och y – axeln bildar en annan triangel. Beräkna den och jämför trianglarnas areor. e) Arean av den triangel som begränsas av linjerna y = kx + 13, y = x + 1 och y – axeln

är beroende av värdet på k. Undersök och beskriv hur arean beror av k, under förutsättning att linjerna skär varandra i första kvadranten.

Uppgift 2:

Johanna och Michael köper CD-skivor i London. CD-skivorna har färgmarkeringar som kod för priset. Johanna betalar 32 pund för två röda och en blå skiva. Michael betalar 36 pund för en röd och tre blå skivor. Johannas köp kan beskrivas med ekvationen 2x + y = 32.

a) Beskriv Michaels köp med en liknande ekvation.

b) Använd ekvationerna för att beräkna priset på en röd respektive en blå skiva.

Andragradsekvationer Uppgift 3:

Pelle står på en klippa invid en sjö och kastar en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vattenytan h(t) meter där

h(t) = 8,5 + 9,8t - 4,9t2

a) När befinner sig stenen på höjden 10 meter över vattenytan? b) Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan.

Uppgift 4:

För en andragradsfunktion gäller att

• Funktionens graf skär x-axeln för x = -2 och x = 4 • x2_{-termen är negativ}

a) Rita ett koordinatsystem och markera de punkter där grafen skär x-axeln. b) För vilket x-värde har funktionen sitt största eller minsta värde?

c) Skissa i koordinatsystemet hur funktionens graf kan se ut.

Den första uppgiften är en aspektbedömd uppgift vilket innebär att det finns möjlighet för eleverna att visa G-, VG- och MVG-kvaliteter. De kan få poäng för matematiskt utförande, matematiskt resonemang och matematiskt språk. Uppgiften har en relativt enkel början, där de ska rita upp två givna linjer, bestämma skärningspunkten och räkna ut en given area. Uppgiften mäter G-kvaliteter. Detta ska en ”G-elev” klara av utan större svårigheter. I nästa deluppgift ändras den ena linjen och lutningen blir negativ, vilket en del ”G-elever” har stora svårigheter med. Abstraktionsnivån höjs alltså men har de klarat av att rita upp linjen ska det inte vara några större svårigheter att beräkna den givna arean. Här finns möjlighet att visa VG- kvaliteter. Den sista deluppgiften är betydligt svårare när de ska dra generella slutsatser av sina resultat under vissa givna förutsättningar. Denna uppgift mäter MVG-kvaliteter.

Uppgift 2 mäter både G- och VG-kvaliteter. I den första deluppgiften ska de ställa upp en ekvation med hjälp av en kort text samt en given ekvation. I den andra deluppgiften ska de bestämma två okända variabler vilket de kan lösa antingen grafiskt eller algebraiskt. Svårigheten i den senare deluppgiften är från början, att lösa ut den ena variabeln.

Uppgift 3 mäter enbart VG-kvaliteter. Den har en svår början, där eleverna får möjlighet att visa förståelse för ickelinjära funktioner. De måste först bearbeta ekvationen algebraiskt för att sedan utföra beräkningarna. Något som inte en typisk ”G-elev” klarar av. Med hjälp av funktionen beräknar man höjden som beror på tiden vilket kan vara en svårighet då en del elever intuitivt tror att man beräknar höjd och bredd, att funktionens parabel är stenens bana i luften.

Uppgift 4 mäter G-kvaliteter. Eleven får möjlighet att visa förståelse för en andragrads-funktion. Uppgiften kräver inga beräkningar utan enbart att de utifrån givna förutsättningar bestämmer hur funktionen ”kan” se ut. Detta är dock inte helt enkelt för en ”G-elev”. De blir osäkra och vet inte vad de ska göra då de inte har en given funktion att utgå ifrån.

Tanken var att eleverna skulle lösa uppgifterna helt själva och ”tänka” högt men många av eleverna behövde lotsning helt eller delvis. Denna ledning gavs för att om möjligt se vilka svårigheter det är som gör att eleverna ger upp innan de är klara med uppgiften. Många hade svårigheter att överhuvudtaget förstå instruktionerna till uppgifterna om det var för mycket text.

Analys

Varje intervju har, efter det att sammanfattningen gjorts, analyserats utifrån uppsatsens frågeställningar. Jag har analyserat vad det är som skapar svårigheter för den enskilde eleven när han/hon löser uppgifterna. Därefter har jag analyserat vilka bakomliggande faktorer det är som skapar dessa svårigheter. Slutligen har jag jämfört det eleverna säger i intervjun med det jag sett när han/hon löser uppgifterna.

4

Resultat och analys

Intervjuerna med de 12 eleverna ur samhällsprogrammets årskurs 2 och 3 är sammanfattade och citaten har korrigerats språkligt men enbart för att läsaren ska förstå texten bättre. Därefter följer beskrivning av deras uppgiftslösningar med efterföljande tolkning och analys. Namnen på eleverna är fingerade men pojkarna har fått pojknamn och flickorna har fått flicknamn.

4.1

Chris

Sammanfattning av intervju

Chris har godkänt betyg i matematik både från grundskolan och från gymnasiets MaA. Han läser matematik hemma ibland och då i lugn och ro tillsammans med sin flickvän, som brukar hjälpa honom. Chris tycker inte att matematik är speciellt intressant men att det är ett viktigt ämne. Han tycker dessutom att det är svårt:

”Det var roligare förra året. Det är mycket svårare i år och då är det ju svårare att hänga

med, när man inte förstår. Då blir det ju svårare… och tråkigare”.

Vad är det då som är svårt?

”Jag vet inte, det går ju inte att räkna ut utan att kunna det. Det har man ju kunnat förut. Jag

brukar bara räkna på själv utan formler och sådant, men nu måste man ju kunna formlerna”.

Det som han tycker har varit svårast är framförallt funktionslära vilket kan bero på att han inte har arbetat så mycket med det tillägger han. Chris tycker att det är mycket nytt och att tempot är för högt men att läroboken är bra. Han anser även att ibland kan exemplen i boken vara svåra att förstå. Det som avgör om man till sist lyckas eller inte, tror Chris är mycket upp till var och en. Det är beroende på hur mycket tid man lägger ner och hur mycket man engagerar sig på lektionerna.

Beskrivning av uppgiftslösning Uppgift 1

Chris har svårigheter att komma igång. Han blandar ihop k, m och en linje utan lutning tycker han ska gå lodrätt längs med y-axeln. Han lotsas därför in i uppgiften så att han till slut kan rita de båda linjerna riktigt. Därefter beräknar han arean utan svårigheter.

C: k = -1? Ska jag rita en ny linje nu k= -1 då måste den ju gå här..

(och pekar på 2:a kvadranten)

B: Om lutningen är negativ hur lutar den då om du jämför med de linjer du ritat?

C: Ja men då måste den ju luta så här. (Ritar i luften helt rätt men missuppfattar vilken linje

som ska förändras) Den måste ju i alla fall skära här (pekar på y = -1)

B: Vad är det som är -1?

C: Det är ju k, där den skär y-axeln …nä… det är ju lutningen. B: Var ska den här linjen skära y-axeln då?

C: På 13 men jag fattar inte … k = -1. (Vill rita den med positiv lutning i 2:a kvadranten) B: Lutningen är negativ hur går den då?

C: Så här (visar helt rätt igen) Jaha, nu fattar jag (ritar den korrekta linjen).

När Chris slutligen ska avgöra hur areorna beror på lutningen av linjen y=kx+13 har han svårt att bortse från de ritade linjerna. Han lyckas till slut förstå att om lutningen är mer negativ blir triangelns area mindre men han anser att ska arean bli större måste man flytta linjen, y=kx+13, uppåt. Han inser inte att triangeln får en större area om linjens lutning är positiv.

Tolkning

Chris har svårigheter att förstå uppgiften. Trots att han får hjälp vet han inte vad han ska göra. Han visar t.ex. intuitivt att han vet vad olika lutningar betyder men när han ska rita linjerna kopplar han ihop negativ lutning med den negativa y-axeln i koordinatsystemet. Han blandar även ihop k- och m-värde. Detta gör att han får stora svårigheter att genomföra uppgiften på egen hand och måste lotsas igenom hela uppgiften.

Analys

Problemkaraktär: Chris visar brister i förståelsen då han har svårt att överföra det han vet

rent intuitivt till att teoretisera sitt resonemang. Även de matematiska begreppen, som används i uppgiften, skapar svårigheter för honom. Han blandar ihop dem men lyckas med viss hjälp reda ut svårigheterna. Han har svårt att abstrahera.

Orsak: Trots att Chris arbetat med området saknar han grunderna som t.ex. vad k och m

betyder. När vi pratar allmänt om lutning vet han vad det är men han har stora svårigheter att överföra det till räta linjens ekvation.

Intervju kontra uppgiftslösning: Chris säger att han tycker att det blivit mycket svårare i år.

Det har varit roligare förut då han bara har räknat utan att kunna, nu är det bara formler. Detta visar han tydligt när han ska lösa uppgiften. Troligtvis ser han räta linjens ekvation bara som en formel som han sätter in siffror i utan att veta vad dessa siffror står för. Därför blir det en typ av chansning han sysslar med utan att förstå vad han egentligen gör.

4.2

Dennis

Sammanfattning av intervju

Dennis har godkänt betyg från både grundskolan och gymnasiets MaA. När han sitter hemma och läser matematik vill han ha tyst runt omkring sig och inga saker i närheten som kan

distrahera honom. Han säger även att han har svårt att sitta själv och fundera, utan vill helst ha hjälp.

I årskurs 8 på grundskolan nivågrupperade man klassen och Dennis placerades på lägsta nivå vilket han tycker har hämmat honom och han tycker därför att han inte lärt sig något under de två sista åren i grundskolan och säger:

”Sackar man efter så här tidigt och inte gör något åt det på två år, också ska man försöka

lära sig något man inte har grund för alls. Då kan man börja prata med en kompis istället för att jobba med matte” och fortsätter: ”Det går liksom inte att hoppa över något, så går det att göra i andra ämnen… i matte bygger ju allt liksom på varandra”

Dennis tycker att matematik är svårt då det är så teoretiskt. Dessutom tycker han inte om läroboken. Den skulle innehålla mer praktiska övningar. Det som är speciellt svårt är problemlösning.

”…får man ett lästal med en massa text och siffror som dom vänt på hit och dit. Då måste

man ju tänka mycket mer själv. Det är ju bra i och för sig men det är ju svårare”

Han tycker dock att matematik är ett viktigt ämne men man måste lyckas för att det ska bli intressant.

Beskrivning av uppgiftslösning Uppgift 1

Dennis är lite osäker och vågar inte lita på sig själv utan vill ha bekräftelse på att han gör riktigt hela tiden. Han gör flera värdetabeller, där han sätter in olika y-värden men kommer inte ihåg hur han ska få fram x-värdet. Efter några försök kommer han själv på hur han ska göra. Han prickar sedan in sina värden i koordinatsystemet och ritar de båda linjerna. Dennis är lite osäker på om han har gjort rätt och när han fått det bekräftat konstaterar han ”det visste

jag egentligen”. Han beräknar arean korrekt och påbörjar sedan nästa deluppgift.

D: Lutningen är noll. Det är alltså när han är rak och nu ska lutningen vara -1 istället för noll … och då … lutar den neråt istället fast minus det känns väldigt plus här (pekar i första

kvadranten) … ja men han ska ju neråt så där vad knäpp jag är, den där har ju positiv lutning (pekar på y = x + 1) och minus då blir det ju åt andra hållet. Han måste ju ner ett snäpp …

Men -1 är inte det här (pekar på (0, -1)) för här var ju lutningen +1 och det var ju här (pekar

på (0,1)) vänta.

B: Hur menar du?

D: Nej vad tänker jag med. Om han lutar plus då blir han ju som den (y = x + 1) och minus är ju åt andra hållet ... men nu handlar det ju bara om den (y = kx + 13) och den (y = x + 1) ska ju bara vara och först var lutningen 0 och då vart han ju bara rak och nu är lutningen -1 då känns det som han ska falla så (negativ lutning) … här är han ju neutral eller den är ju varken positiv eller negativ?

B: Det är rätt tänkt

D: Ett snäpp mindre då är han minus …

… men alltså… (gör en värdetabell) om jag byter ut k mot -1 så blir det y = -x +13.

(prickar in punkterna i koordinatsystemet och ritar linjen)

Fast jag fattar inte att det kan bli minus på den här sidan (första kvadranten) B: Ja men vad är det som är minus i det här fallet?

D: Lutningen och ju mer han är minus ju mer lutar han, ja det fattar jag… … jag trodde att minus då ska han vara här nere (pekar på 3:e och 4:e kvadranten)

B: Varför det?

D: Jag vet inte jag fick bara för mig det men nu fattar jag det är ju bara att han lutar neråt.

Han beräknar arean och konstaterar att den blir mindre om lutningen är negativ och större om lutningen är positiv.

Uppgift 4

Dennis markerar rötterna på x-axeln och konstaterar att eftersom kurvan är negativ så har den ett största värde men blir lite fundersam hur han ska få fram detta värde då han inte har någon funktion.

D: Vi kommer hitta ett största … det är ju frågan var … men jag fattar inte, det står ju ingenstans om y, … om han går på något sätt så här, (ritar en negativ 2:a gradskurva)

alltså för att få veta hur hög han är måste jag inte räkna ut y då?

B: Jo men om vi haft en funktion, vilket x-värde hade du då satt in i funktionen för att räkna ut y?

D: Noll, … är det fel? B: Varför det?

D: Jag vet inte …

B: Vad är det du tänker på när du säger att du ska sätta in noll i funktionen?

D: Ja alltså om det är lika med noll då … ge mig ett exempel på en så som dom brukar se ut.

Han får ett funktionsuttryck (y=3+2x-x2) och beräknar rötterna samt funktionens största värde. Därefter ritar han upp kurvan.

B: Om vi nu går tillbaka till den första uppgiften. Vad hade vi kommit fram till?

D: Ja att han såg ut som en sur mun, han hade ett största värde och att nollpunkterna var -2 och 4. Mellan dom har vi ju den där linjen … nu måste jag kolla vart jag är. … det blir ju på 1 som vi hittar vi det högsta värdet. (Ritar en kurva)

Tolkning

Dennis visar stor osäkerhet även om han resonerar riktigt så stannar han upp ett flertal gånger och behöver bekräftelse på att han är på rätt väg. När han så fått veta att han gör rätt syns inga tendenser på att han gör några reflektioner. Han har mycket ytliga kunskaper som visar sig tydligt t.ex. i uppgift 4, då han får ett konkret exempel på en andragradskurva och utifrån den kan han sedan resonera sig fram till var man hittar maximi- eller minimipunkten. Han behöver stöd för sina ställningstaganden och litar inte på sig själv. I uppgift 1 visar han att han har lärt sig vad negativ och positiv lutning betyder men intuitivt anser han att om linjen har negativ lutning då ska linjen ligga på y-axelns negativa sida.

Analys

Problemkaraktär: Dennis stora osäkerhet och brist på eftertanke skapar svårigheter för

honom. Han klarar av de enklaste uppgifterna som liknar lärobokens uppgifter men vet inte hur han ska göra om ansatsen skiljer sig något från det han är van vid.

Orsak: Dennis osäkerhet och behov av bekräftelse beror troligtvis på att han har svårt att

abstrahera. När han får bekräftelse, antyder han att han egentligen vet. Han har lärt sig vissa mönster och om uppgiften inte ser ut som det han är van vid vet han inte hur han ska angripa uppgiften. Därför reflekterar han inte heller över vad han gör då han inte har förståelse för vad det handlar om.

Intervju kontra uppgiftslösning: I intervjun säger Dennis att han har svårt att sitta själv och

räkna. Detta visar sig ganska snart när han löser uppgifterna. Hans sökande på bekräftelse gör sig hela tiden gällande. Hans självförtroende har nog inte stärkts av att han placerades i gruppen med lägst presterande elever på högstadiet. Han säger även att han tycker att textuppgifter är svårt då man först måste tänka ut hur man ska göra. Detta visar sig också tydligt då han löser uppgifterna. Han har svårt att komma igång och vet inte hur han ska göra.

4.3 Jane

Sammanfattning av intervju

Jane hade väl godkänt betyg i både grundskolan och gymnasiets MaA. Jane brukar sitta i köket när hon läser läxor med musik i bakgrunden. Hon tycker att matematik är roligt men svårt även om det inte är någon speciell typ av uppgifter hon brukar fastna på. Jane anser att läroboken är bra. Hon tycker inte heller att arbetstempot är för högt utan anser att om man inte hinner med på lektionerna, då ska man ta hem och arbeta hemma.

Om man lyckas eller inte, tror Jane, beror på inställning och säger:

”Det är väl mycket i huvudet, inställning, en del tänker det här går inte och då går det inte. Jag måste få hjälp, jag vill veta hur det är. Det är intresse, tror jag”

Beskrivning av uppgiftslösning Uppgift 1

Jane har inga svårigheter att förstå uppgiften men tycker att linjerna måste ha olika lutning för att mötas.

J: Jag kan inte men om jag sätter den lika med noll. Jag skulle kunna tänka mig att den går typ bara rakt… Äh, y = x +1 den är ju bara en upp, en ut också börjar jag på … här på 1 ((0,

1) ritar linjen) Jag måste alltså upp på 13 men det går ju inte då skär han ju långt här borta.

13 men det kan ju inte stämma, den måste ju också gå åt något håll och det blir väl uppåt när han inte är minus.

B: Ja vad är det vi vet?

J: Ingenting om den där (y = kx + 13) B: Vad skulle k vara?

J: Noll men det blir väl en ut och en upp då också? B: Om k = 0?

J: Ja men då har vi ingen lutning, går han rakt då, … Jag vet inte… men då kommer han ju att skära här borta. Är det bara så?

Jane ritar linjen, hittar skärningspunkten och räknar ut arean på triangeln.

J: y= kx + 13, k = -1 … OK … B: Vad tänker du?

J: Jag tänkte att han skulle gå neråt men 13 … jag måste upp 13 ändå … också går man ett ut och ett ner. Är jag på rätt spår?

B: Vad är du osäker på?

J: Inte vet jag. (Ritar linjen)… men det känns inget bra ändå. B: Vad gör du nu?

J: Tänker vilken triangel det är. … jag har ju bara ändrat en … är det bara den.

Jane beräknar den nya arean och tittar därefter på hur arean beror på lutningen hos linjen y=kx+13 och drar slutsatsen att om lutningen är negativ blir arean mindre och om lutningen är positiv blir arean större.

Uppgift 2

Jane ställer upp ekvationen relativt lätt men blir lite stressad då hon inte riktigt vet var hon ska börja för att kunna lösa ekvationssystemet.

B: Vad är det du ska räkna ut?

J: Ja priset på en men hur … … fast om jag sätter över 2x så y blir ensamt då kanske det går. Ja … y= 32 – 2x också sätter jag in det i den (x + 3y =36) men jag ska ju ha tre y och här har jag ju bara ett y.

B: Hur kan vi utnyttja att vi vet det?

J: … måste jag sätta in det (y = 32 – 2x) i x + 3y = 36, … (Sätter in y i ekvationen och räknar

ut)

x = 12. (räknar ut y (= 8) och kontrollerar men förväxlar y och x och sätter in x=8) y = 12… ja men det stämmer ju inte… Åh.

Jane kontrollerar, upptäcker felet och rättar till det. Det som är svårt med den här typen av uppgifter tycker Jane är att hon inte vet var hon ska börja. Får hon ekvationerna på formen y= … är det betydligt enklare anser Jane.

Tolkning

Jane har inga större svårigheter att förstå vad hon ska göra men blir lite fundersam då linjen y=kx+13 har lutningen noll samt att skärningspunkten ligger ”så långt bort”. Det märks tydligt på hennes tveksamhet att det inte är något problem hon stött på tidigare därför blir hon väldigt osäker på om det hon gör är riktigt.

Jane har viss förståelse för vad det handlar om men är inte tillräckligt säker på att hon kan det då det inte är precis som det brukar vara. Det är helt klart för henne vad k och m betyder även om hon missar på sista deluppgiften av uppgift 1, att lutningen inte får vara större eller lika med ett.

I den sista uppgiften visar Jane stor osäkerhet som troligtvis beror på att detta problem inte är uppställt på det sätt hon är mest van vid. När hon lyckats bryta ut y, löser hon uppgiften relativt enkelt.

Analys

Problemkaraktär: Den största svårigheten för Jane är hennes osäkerhet inför det nya

problemet. Hon visar tydligt att hon förstår de matematiska begreppen som används i uppgiften men blir osäker då problemet inte presenteras som hon är van vid. Hon vet inte hur ska ansätta uppgiften och har därför svårt att komma igång.

Orsak: Jane är lite bunden till typen av uppgifter som läroboken presenterar. Hon har svårt att

lita på att de kunskaper hon har, verkligen håller. Hon blir istället osäker på sina kunskaper och tvekar fast att hon egentligen kan.

Intervju kontra uppgiftslösning: Jane är arbetsvillig och vill förstå det hon gör. Hon ger inte

upp även om hon tycker att det är svårt. När hon löser uppgifterna har hon dock svårigheter att ”våga” pröva.

4.4 Jan

Sammanfattning av intervju

Jan hade godkänt betyg i matematik från både grundskolan och gymnasiets MaA. När han arbetar hemma med matematik, sitter han för det mesta i köket trots att han helst vill ha lugnt och tyst när han gör läxor. Jan tycker att matematik är ganska roligt så länge han förstår vad han ska göra. Det han tycker är svårast är algebra och framförallt teckenbyten.

”Det är svårast när det är både plus och minus tycker jag. Det är svårt att veta när man ska ta plus och när man ska ta minus”

Det är inte alltid själva matematiken som är svår tycker Jan utan det beror även på att det är för få och korta lektioner. Han hinner glömma bort vad han håller på med mellan lektionerna, för att han inte kan få någon hjälp efter skoltid. Därför tycker han att det är bra med genomgångar på tavlan då han sedan får öva på de nyss genomgångna momenten. Även om han tycker det går bra att förstå exemplen i läroboken så är det lättare om han får det förklarat

för sig på tavlan och tillfälle att fråga om det han inte förstår. Det som avgör om man lyckas med sina matematikstudier anser Jan beror på inställning och motivation:

”Det är väl mest att om det är tungt, då ger man upp. Man orkar inte bry sig och det blir ju inte bättre av att man bara ger upp, om det är tungt”

Beskrivning av uppgiftslösning Uppgift 1

Jan har inga större svårigheter att förstå uppgiften. Han fastnar lite på att lutningen är noll men kommer relativt snabbt på hur linjerna ska ritas. Han beräknar arean och ritar utan tvekan upp den nya linjen y=-x+13. Beräknar även den arean utan svårigheter.

J: Undersök och beskriv hur arean beror på k under förutsättning att linjerna skär varandra i första kvadranten. Dom har ju olika storlek i så fall.

B: Vilken betydelse har värdet på k? J: Den bestämmer väl hur stor den blir.

B: Vad är det som gör att den blir större eller mindre?

J: Sidan på triangeln ändras. … Om lutningen var -1 blev den mindre om lutningen är ännu mer minus då blir den ännu mindre.

B: Kan k vara positivt?

J: Mm … och då blir arean större. B: Vad tycker du om en sån här uppgift?

J: Ja den är ganska svår, det var ju lättare att lösa den nu när man pratar med någon annars hade jag inte kunnat komma på att jag skulle skriva ner allt det här om hur arean blir större eller mindre när man ändrar k.

Uppgift 2

Jan har inga svårigheter att ställa upp ekvationen för en röd skiva och tre blå (x+3y=36) men därefter tar det stopp. Han funderar, läser ekvationerna ett flertal gånger och skriver slutligen om den ekvation han just konstruerat, x=36-3y.

J: En röd skiva kostar 36 pund minus priset på tre blå skivor men då vet jag ju inte priset på dom blå skivorna.

B: Kan du ta reda på det?

J: Ja det borde jag kunna … Priset på två röda är lika med 32 pund minus en blå skiva … få se nu … Jag kommer inte på hur jag ska göra.

B: Men du vet vad en röd kostar och vad två röda kostar. J: Ja det vet jag. …

B: Vad funderar du på?

J: Jag försöker komma på hur man fick fram svaret. Hur man ska få fram vad en röd kostar. Om jag delar på 3 på båda men det blir jag ju inte hjälpt av. … 2x kostar 32 – y och x kostar 36 – 3y om jag delar med två så att en röd kostar 16 – y. … Jag kommer inte på hur det var. 16 – y.

Jan får här hjälp att ställa upp ekvationerna som det brukar se ut i boken, x = 16 – 0,5y x = 36 – 3y

Han funderar en stund och sätter ekvationerna lika med varandra men gör några räknefel som han upptäcker när han kontrollerar svaret.

Tolkning

Jan förstår uppgiften och visar förståelse för vad k och m betyder. Det skapar dock lite svårigheter att lutningen är noll men med lite ledning klarar han det.

Han förstår relativt bra men har lite svårt för uppgiften då den har andra kvaliteter än vad han är van vid. I läroboken finns inte så många uppgifter som är så omfattande som denna, definitivt inte på G-nivå.

Uppgift 2 ger honom lite mer svårigheter. Han är mycket osäker och behöver hjälp att lösa ut den ena variabeln, så att det ser ut som det gör i lärobokens G-uppgifter. Han försöker dra sig till minnes uppgifter av samma typ som han löst tidigare men kommer inte ihåg. När han slutligen får hjälp löser han dock uppgiften relativt enkelt.

Analys

Problemkaraktär: Jans svårigheter med de uppgifter han löser är att de inte ser likadana ut

som uppgifterna i läroboken. Han blir osäker på sina kunskaper och tvekar. Han behöver endast lite hjälp för att komma igång. Han gör vissa matematiska misstag men upptäcker dessa när han kontrollerar svaren.

Orsak: Jans svårigheter orsakas troligtvis av osäkerhet och möjligtvis även för lite träning.

Hans osäkerhet bottnar troligtvis i erfarenhet från tidigare misslyckanden.

Intervju kontra uppgiftslösning: Jan tycker att matematik är svårt och då framför allt att en

del rent matematiska operationer är krångliga. Detta visar sig i uppgift 2 när han ska lösa ekvationssystemet. Han har stora svårigheter att komma igång men när han fått lite hjälp, räknar han snabbt ut svaren.

4.5 Jim

Sammanfattning av intervju

Jim har haft väl godkänt i matematik under sin skoltid. Det har varit lite jobbigare i år vilket kan bero på att han nu går i en stor och lite rörig klass tror Jim. Han arbetar inte så mycket hemma med matematik men gör han det någon gång så blir det oftast till rockmusik. Matematik har alltid varit roligt men det har blivit svårare nu i B-kursen. Algebran är det svåraste anser han och då framförallt när det blir långa uträkningar som det är lätt att tappa bort sig i om man inte är fokuserad.

”Långa uträkningar med mycket x, y, plus och minus då kan det hända att när man ska multiplicera, glömmer att plus och minus blir minus och sånt. Det kan hända. Det är när man ska skriva så mycket, också blir det rörigt i huvudet, också sitter man bara och glömmer. Det är svårt att hålla koncentrationen”

Att avhjälpa dessa svårigheter är inte så lätt. Det är nog bara att man måste lära sig och att

koncentrera sig som hjälper. Koncentration är nog det viktigaste för hur man lyckas med sina matematikstudier men man måste även tycka att det är intressant och roligt anser Jim. Läroboken skapar inga svårigheter för honom utan den är lätt att förstå men om man har fel så måste man reflektera över vad som är fel tycker han. Han tycker att det är för få lektioner och önskar att det vore lite längre pass då det går lite för snabbt fram som det är nu.

Beskrivning av uppgiftslösning Uppgift 1

Jim har stora svårigheter att komma igång med uppgiften. Till en början tror han att k eller m är skärningspunkten mellan linjerna. Han får begreppen förklarade för sig och han verkar förstå. Till en början angriper han uppgiften helt korrekt och ritar upp den första linjen (y=0x+13). När han sedan ska rita upp den andra linjen inser han inte att den faktiskt har lutningen ett utan ritar den parallell med den första.

B: Hur tänker du nu?

J: Aha ja just det den här (y=x+1) har ju ett x. Om det inte står någon lutning är x ett då? B: Ja det kan man säga.

J: m = 1 då är den här. (markerar (0,1) den har lutningen ett då går han inte bara rakt utan den går … Det här var krångligt och svårt det känns som om jag inte fixar det här.

B: Jodå hur var det man fick fram lutningen?

J: Man räknar väl ut det så där med uppåt och ut eller en värdetabell. Lutningen ett … då var det väl en upp och en ut? Då ska han väl gå här … nej visst fortsätter han upp likadant? (ritar y = x+1)

Sedan beräknar han arean med några små felaktigheter.

J: Lutningen minus ett det blir alltså en ut och en ner. Och jag ska utgå från … få se … det

måste vara från 13. Om han är minus då gå han väl åt andra hållet. … Då ska han väl bara gå så här. Bara ner så här?

Han ritar linjen y= -1,5x + 10,5, Börjar med att markera (0,13) går sedan ett steg åt vänster och ett ner och markerar (-1,12) och ritar sedan den givna linjen på ett ungefär. Han beräknar den nya arean och gör även här fel. Arean blir nio gånger mindre än den första arean. Därefter konstaterar han att om lutningen är negativ blir arean mindre och om lutningen däremot är positiv blir arean större.

Markerar att han inte ritat ut linjen y= -x+13 och därför beräknat arean fel.

J: Ja just det när du säger det kom jag faktiskt ihåg men jag tänkte att när det är minus ska man nog gå åt vänster, liksom åt minushållet.

B: Liknande fel slipper man om man gör en värdetabell? J: Jo fast det här är ju mycket smidigare.

Uppgift 2

Jim sätter upp ekvationen riktigt och börjar fundera hur han ska lösa uppgiften.

B: Hur tänker du då?

J: Om man flyttar x på en sida och y på den andra. B: Pröva.

J: Mm då tar jag bort x på en sida och lägg till det på andra (får då 3y = 36 +x)

nej, det blir minus här. Nu vet jag inte riktigt vad jag ska göra. … Det blir alltså 3y= 36-x. Få se nu visst ska man dela med tre nu?

B: Varför det?

J: Tja man ska väl veta vad ett y blir och det blir ju y= 12 –x/3. Tja men då har jag ju fått fram vad y är. …

Jim sätter in 12 –x i ekvationen 2x + y = 32 och får fram att x = 20 och y= 8 men när han kontrollerar sina svar och upptäcker han att det inte stämmer. Han går igenom uppgiften från början och upptäcker då sitt misstag och rättar till det.

Tolkning

Jim visar tydligt att han inte har begreppen klart för sig. Han blandar ihop k, m och skärningspunkten. Han har viss förståelse men drar snabba slutsatser som inte alltid verkar genomtänkta. Han behöver därför lotsning genom hela uppgiften då han inte har någon direkt strategi när han löser uppgiften. Jim beräknar de båda areorna felaktigt. Areaberäkning hör till baskunskaperna och borde inte vara något nytt för honom.

Uppgiften 2 klarar Jim av betydligt bättre än uppgiften 1. Även att han gör en del misstag löser han uppgiften på egen hand. Han drar även här snabba slutsatser som orsakar att det blir en del misstag som han dock upptäcker själv.

Analys

Problemkaraktär: Jim får svårigheter då han har ytliga kunskaper. När han får hjälp ändrar

han snabbt det han tror är fel och reflekterar inte över vad han gör vilket får stora följder för hans uträkningar.

Orsak: Jim har tidigare tyckt att matematik varit roligt men har nu på B-kursen fått

svårigheter. Han antar snabbt nya kunskaper men genom att han inte reflekterar över dessa blir det endast ytliga kunskaper som saknar grund.

Intervju kontra uppgiftslösning: Jim tycker det är svårt att koncentrera sig då uträkningarna

blir för komplicerade. Han inser även att man måste reflektera över vad man gör. Detta är precis det som visar sig när han löser uppgifterna. Han orkar inte koncentrera sig utan vill snabbt komma fram till en lösning och glömmer då bort att göra någon djupare fundering över vad han gör.

4.6 Jon

Sammanfattning av intervju

Jon hade väl godkänt betyg i både grundskolan och gymnasiets MaA. Han läser sällan matematik hemma och om det händer sitter han antingen framför TV:n eller datorn. Han vill dessutom ha musik i bakgrunden och något att äta. Jon tycker att matematik blev svårt när han började läsa B-kursen. Tidigare har han klarat av kurserna utan att lägga ner så mycket tid.

”När vi började med B-kursen då var det ju en massa man var tvungen att lära sig och då blev det ju hjärnsläpp. Det blev en sådan förändring att jag var blev tvungen att börja plugga till prov och sådana grejer.”

Han anser att hoppet mellan A- och B- kursen är för stort. Det blev teoretiskt mycket svårare i B-kursen och det är framförallt problemlösning han tycker är svårt.

”När det står bara rätt upp och ner, räkna ut det här. Då är det mycket lättare än att först läsa en text och sedan ställa upp i typ sådana där ekvationer. Det är skitkrångligt.”

Han tycker inte heller att de uppgifterna fyller så stor funktion utan skulle hellre bara vilja ha vanliga tal. Han tycker dock inte att matematik är ointressant utan skulle vilja kunna mer i t.ex. matematik och fysik.

”… men då måste man ju lära sig en massa formler och regler och då måste man ju plugga. Annars går det inte, man kan inte bara vara duktig på sådant utan då är det plugg som gäller. Man måste lära sig det. Jag skulle gärna vilja kunna det men jag har inte orken.”

Jon anser inte att tempot är för högt men tycker att läroboken är tråkig även om det är relativt lätt att förstå exemplen. Så sammanfattningsvis är den ganska bra ändå. Han tror att om man ska lyckas är det viktigt att man är motiverad, annars går det inte.

Beskrivning av uppgiftslösning Uppgift 2

Jon ställer upp ekvationen utan svårigheter och konstaterar att det rör sig om ett ekvationssystem. Han beslutar sig för att lösa det grafiskt. Han löser ut y och gör två värdetabeller. Han markerar sina punkter i koordinatsystemet men hittar inte först någon skärningspunkt men kommer på att han kan förlänga de båda linjerna. Han läser av och kontrollerar sitt svar som inte blir riktigt rätt. (x=11, y=8) Därför beslutar han sig för att istället räkna ut det. Han är dock lite fundersam på om han ska ta additionsmetoden eller