ra
ppor
ter om utbildning
D
et finns många barn, ungdomar och även vuxna som undrar vad man ska ha matematik till. De flesta av dem känner sig osäkra. De har trista erfarenheter av matematikämnet. Många förskollärare har haft ytterst lite matematik i sin yrkesutbildning, om ens någon. Många skol-barn har svårigheter med de formella sidorna av matematikämnet sam-tidigt som de ser ner på laborativa inslag. De uppfattar formell matema-tik som ett tråkigt skolämne, fullt av symboler, regler, tabeller och form-ler.Hur kan förskollärare bli bättre på matematik? Hur stimulerar förskoll-lärare barn till att tycka matematik är något spännande, intressant och roligt? I och med de nya kraven på matematik med förskolebarn i läro-planen för förskolan, Lpfö 98, behöver många förskollärare kompetens-utveckling och stöd.
Regionalt utvecklingscentrum, RUC, vid lärarutbildningen har utveck-lat fempoängskursen Matematik i förskolan. Kursledare Karl-Åke Kronqvist är universitetsadjunkt på lärarutbildningen och har specialise-rat sig mot yngre barns matematik. I den här rapporten beskriver han hur den informella matematiken kan innebära att fler barn får möjlighet att komma till sin rätt och på så sätt utveckla självförtroende och intress-se för den formella sidan av ämnet. Flera exempel får också illustrera möjligheterna till utveckling.
12/2003
Matematik på väg
– i förskola och skola
Karl-Åke Kronqvist
Matematik på väg
– i förskola och skola
Layout och omslag: Holmbergs i Malmö AB
Denna rapport publiceras av Regionalt utvecklingscentrum,
Lärarutbildningen vid Malmö högskola med stöd av EFS-rådet i Skåne. Rapporten ingår som nummer 12/2003 i lärarutbildningens skriftserie
Rapporter om utbildning.
© Copyright 2003 Författaren och Malmö högskola Tryck: Team Offset & Media, Malmö 2003 ISSN 1101-7643
Innehållsförteckning
Bakgrund ...4
Inledning ...6
Förskolläraren ...7
Informell matematik...11
Från informell till formell matematik...13
Barns matematiska utveckling...15
1. Ögonblicksräknaren. Om talgestalter...16
2. Magikern. Om rabbling...16
3. Ordinaltalstänkaren. Om parbildning...19
4. Kardinaltalstänkaren. Om antalsförståelse...21
5. Talanvändaren. Om talen ...23
Ur Mikas matematiska utveckling ...24
Ämneskunskaper...32
Dr Catherine Stern och den strukturella metoden för aritmetik ...34
Laborativ materiel ...36
Utvecklingsarbeten i kursen...40
I Estetisk matematik ...40
II Sex magiska stenar ...42
III Poängteckningar (Procentbegreppet)...46
IV Veckostenar...47
V Affären ...49
VI Matematiklådan...50
Fortsatt arbete...52
Bakgrund
Den 1 januari 1998 övertog Skolverket tillsynsmyndigheten över förskoleverksamheten och skolbarnomsorgen. En läroplan för för-skolan, Lpfö 98, ersatte samtidigt Socialstyrelsens pedagogiska pro-gram och allmänna råd för förskolan. Läroplanen för förskolan är utfärdad av regeringen och uttrycker de krav som staten, föräldrar och barn kan ställa på verksamheten. Här finns värdegrund, riktlinjer och mål formulerade. Riktlinjer och mål att sträva mot vänder sig till alla som arbetar i förskolan. Det enskilda barnet ska inte utvärderas; betyg och omdömen utfärdas alltså inte. För att läroplanens mål ska uppfyllas krävs en väl utbildad personal, som får möjlighet till kom-petensutveckling och det stöd som krävs för att de professionellt ska kunna utföra sitt arbete.
Skollagen, 2. Kap. 7§: Kommuner och landsting ska vinnlägga sig om en planering av personalens kompetensutveckling. Många förskollärare, som läst det lilla mörkgula häftet har känt igen stora delar av det arbetssätt, som de redan utvecklat, fram till det att matematikämnet dyker upp på sidan 13. Visserligen sägs det i många sammanhang att matematik förekommer i förskolan, men det handlar då ofta om vad man gör; att duka, städa bland leksaker och mäta varandra.
Nationellt Centrum för Matematikdidaktik (NCM) i Göteborg utger temaböcker och rapporter: Hög tid för matematik (NCM-rapport 2001:1) framhåller lärarens personliga ansvar för sin egen kompe-tensutveckling. Läraren ska reflektera över sitt arbete och vilka krav på kunskaper och kompetens som arbetet kräver.
Nu säger läroplanen att förskolan skall sträva efter att alla barn som deltar i verksamheten skall utveckla sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang.
form samt sin orienteringsförmåga i tid och rum. Förskolans uppdrag i matematik har alltså medvetet gått över från att göra till att ut-veckla.
På sidan 12 står det dessutom att flödet av barnens idéer ska tas tillvara för att skapa mångfald i lärandet. Denna inriktning måste naturligtvis också gälla det som räknas till matematiken. Utveck-lingsbara idéer uppkommer ofta i leken. Utan att skada leken kan läraren vid lämpliga tillfällen lyfta fram något ur de erfarenheter som barnen gjort. Barnen tar inte sällan initiativ till diskussioner för att reda ut oenigheter kring något begrepp. Vid sådana tillfällen kan det vara naturligt att se regler, strukturer, sortera, finna ord att uttrycka sig med och på så sätt utveckla begrepp som aktualiserats i lekarna. I bästa fall blir lekarna intressantare samtidigt med att de får ett djupa-re innehåll. Diskussionerna berikas av läradjupa-rens kunskap om den röda tråden i matematiska kunskapsområden.
Inledning
I stadsdelen Södra Innerstaden i Malmö fick en stor grupp förskollä-rare stöd av utbildningsansvariga i sin önskan om kompetensutveck-ling på grund av de nya kraven i Lpfö 98 på matematik tillsammans med förskolebarn. Man vände sig till Regionalt utvecklingscentrum, RUC, som arbetar med uppdragsutbildningar och externa projekt vid lärarutbildningen i Malmö. Kontakterna ledde till att RUC utveckla-de en kursplan för en 5-poängskurs: Matematik i förskolan med syfte att tillägna sig fördjupat kunnande om barns möte med mate-matik.
Överraskande många lärare i grundskolan har visat intresse för kur-sen och också deltagit i den. Deras positiva inställning ger nya möj-ligheter till samverkan mellan förskolans och skolans lärare. En av kommentarerna till att gå kursen tillsammans löd:
–
Vi vill ha en gemensam plattform i matematik så att vi kan samarbeta kring kraven om en röd tråd i ämnet!Från våren 2000 har kursen givits tio gånger i flera av Malmös olika stadsdelar, i Trelleborg, Vellinge, och Landskrona - Hjärup. Sam-manlagt har cirka 230 förskollärare och 25 grundskollärare påbörjat kursen. Några som har insett hur krävande det är att ta 5 poäng har antingen avbrutit kursen eller fortsatt den utan ambitioner att ta hög-skolepoäng. Drygt 130 deltagare har fått kursbevis med 5 poäng. Cirka 50 deltagare har inte haft högskolebehörighet, men fått intyg på att de fullgjort kursens alla uppgifter. Några, som under kursens gång inte hunnit med att t.ex. läsa litteraturen, har några månader senare tenterat av kurslitteraturen och på så sätt till slut fått sina poäng.
Examinationens viktigaste del äger rum på kursdeltagarnas ar-betsplatser och tillsammans med de barn som har i sina grupper. Under kursens gång skall ett utvecklingsarbete i matematik genom-föras tillsammans med barnen. Arbetet skall vara väl integrerat
i verksamheten och fritt från krav på extraresurser och speciell materiel.
I dokumentationen kring arbetet skall det finnas didaktiska anta-ganden om hur de i läroplanen beskrivna begreppen tal, mätning, form och rums- och tidsuppfattning ska kunna utvecklas. Barnens idéer, inflytande, kommentarer och produktion skall också finnas med i dokumentationen, som kan vara utformad som en utställning, bilder, teaterföreställningar, byggen och odlingar.
Förskolläraren
Många förskollärare har haft ytterst lite matematik i sin yrkesutbild-ning, om ens någon. De har därför blivit naturligt att koppla de nya kraven på att kunna utveckla viktiga matematiska begrepp hos bar-nen med rätten till kompetensutveckling för att professionellt kunna utföra sitt arbete. För att kunna följa och påverka barns matematiska utveckling krävs dels kunskaper i ämnet och dels förmåga att analy-sera barns utveckling av matematiska begrepp. Detta skiljer sig från förmedlingspedagogiken, som menar att man kan förklara allt möj-ligt för barn, bara man hittar de rätta klossarna, orden och metoderna. Kritiken mot detta arbetssätt riktar sig mot den välmenande tenden-sen att lotsa barnen förbi sådana tålamodskrävande problemsituatio-ner, som hellre borde få den tid barn behöver för att själva kunna utforska, göra upptäckter och pröva lösningar. Det man själv kommit på ger säkert en mer bestående, tillfredsställande och utvecklingsbar kunskap.
Uttrycket den röda tråden innebär att barnets utveckling är grun-den för arbetet genom förskola och skola. För att grun-den röda trågrun-den inte bara skall bli en fjäder i hatten i pressuppmärksammade skolprojekt krävs samma kunskap om barns tidiga matematiska utveckling av skolans personal som man kräver att förskolans lärare ska veta om skolans matematik och styrdokument. Dialogen mellan olika lärar-grupper främjas av att de som arbetar med en mera formell matema-tik kan se de underliggande informella egenskaperna i de matematis-ka begrepp som annars utgår från formler, minnesregler, knep, utan-tilläxor och uträkningsrutiner.
Många skolbarn har svårigheter med de formella sidorna av ma-tematikämnet samtidigt som de ser ner på laborativa inslag. Labora-tiv matematik kan vara en hotfull verksamhet om den används för att få fram rätta svar på meningslösa formella frågor. Svårigheter med
sådana frågor leder ofta till ointresse, olustkänslor, undvikande och undflyende. Barn är rädda för att misslyckas inför sig själv, sina klasskamrater och sina föräldrar. Strategier som går ut på att undvika matematik under lektionerna är inte ovanliga. Skolöverstyrelsens rapport om drygt 9 000 statistiskt utvalda 17-åringar (UGU 1986:10) visar att över 20 procent känner sig mycket osäkra när de, ett år efter grundskolan, ska räkna eller ta sig an enkla matematiska problem. En fråga som: Hur mycket får var och en om du och två kompisar ska dela en femtiolapp? ger dessa 17-åringar våndor. – Kan vi inte få papper och penna?
Sedan 1990 har jag i grundutbildningen undervisat blivande för-skollärare och fritidspedagoger i matematik vid det som då hette Lärarhögskolan i Malmö. Omfånget av matematikämnet i dessa kurser har motsvarat 1 poäng, det vill säga en veckas studier, under den fjärde terminen. När jag började undervisa i dessa kurser hette ämnet Matematik på lågstadiet. Innehållet i kursen skulle ge infor-mation om lågstadiets dåvarande arbetssätt, där arbete med att besva-ra färdigformulebesva-rade frågeställningar i färgglada matematikböcker ansågs som en självklarhet. Efter något år förändrades kursplanens innehåll och ämnet kom att kallas Matematik i förskola och fritids-hem. Det var ett viktigt steg för att kunna fördjupa sig i den mera informella matematik som är både möjlig och lämplig för barnen i dessa verksamheter.
Kurserna inleddes med att de studerande fick skriva minst en A4-sida om erfarenheterna av sin skoltids matematik för att kunna jäm-föra den med den syn som nu gällande styrdokument beskriver. Jag slogs av att de som ville bli förskollärare eller fritidspedagoger var överrepresenterade bland dem som känt sig osäkra i matematik, både under och efter sin skoltid. Många hade upplevt kränkande behand-ling i matematikens namn och sa att de hade kunnat tänka sig att bli lärare i grundskolan, men att just matematikämnet fått dem att mer eller mindre medvetet välja bort den möjligheten. Vissa har skrivit att de använt matematik väldigt lite efter skoltiden. De har fått ova-nan att vända sig till mindre matteskrämda personer i sin omgivning. Jag har alltså under en tolvårsperiod läst hundratals sådana inläm-ningar. Bland dem som handlar om trista erfarenheter av matematik, har jag valt några representativa från åren 1998 – 2003:
– Jag kommer ihåg att det var hemskt att sitta och vänta på att fröken skulle komma och rätta det man räknat. Varje gång fick jag minst en bock och det var jag medveten om i förväg. Så suddade jag ut och försökte med ett nytt svar, skyndade till fröken. Hon ville nämligen inte låta någon räkna vidare i boken utan att ha rättat. På högstadiet sa vår lärare ofta: Varför ödsla tiden med att fråga så mycket. Räkna i stället! (2001)
– Jag kom ofta efter i matteboken. Detta gjorde att jag fick mer läxa än de andra att göra hemma, vilket gjorde situationen värre och värre. Matematiken upplevde jag som ett meningslöst tvång. (1999)
– Mitt tristaste matteminne är alla de gånger när jag måste räkna framme vid tavlan. Det blev väldigt pinsamt för när jag kom fram kunde jag plötsligt ingenting. (2002)
– Förstod man inte vid första genomgången var det kört. Vi blev irritationsoffer för läraren. (2002)
– Vid multiplikationstabellsförhör skulle alla stå upp. Svarade man rätt fick man sätta sig. I alla år stod jag kvar bland de sista och kämpade med tårarna. Jag var dum nog att tycka att det var en seger att få sätta sig ner näst eller ännu bättre näst-näst sist. (1998)
– Från första dagen i skolan gällde mattebok, penna och framför allt suddgummi. Snart fick jag höra att matematik inte var min starka sida så att jag själv började tro det. Det gjorde att jag tappade lusten att ens försöka förstå. Under matematiklektionerna låtsades jag att jag var på en annan och fientlig planet. (2003)
– Snart förstod jag att matematiken var ett mått på hur smart el-ler dum man är. Jag var dum. (2003)
– Jag började få huvudvärk varje gång det var mattelektion. Mamma tog mig till ögonläkaren i tron att jag hade dålig syn. Det hade jag förstås inte. (2001)
– Tiden rann iväg och när tio minuter hade gått kom fröken och sa att jag inte löst ens en tredjedel av uppgifterna. Jag hatade det. Jag satt och bara grät och grät. (2002)
– När jag såg på schemat att vi skulle ha matematik i förskollä-rarkursen här på högskolan fick jag panik pga. mina tidigare erfa-renheter. (2002)
Matematiken är alltså inte så ren som man ofta tycks tro. Ingen kan diskutera något i matematik utan att mer eller mindre medvetet min-nas situationer när man konfronterades med och hur man råkade ut för ett visst begrepp eller moment. Till exempel a+b = b+a ser ut som neutral, objektiv matematik. Ändå finns det känsloladdade upp-fattningar kring så kallad saklig kunskap. Den personliga erfarenhe-ten av inlärningssituationen lyser tydligt igenom.
Några säger:
– Usch ja, det är visst en sån där formel vi skulle lära. Jag har glömt meningen med den.
Andra säger kanske:
– Det där är ju en räknelag; det var kul när jag fattade hur man kunde använda den.
Under de senaste åren har, samtidigt med många dystra vittnesbörd, allt fler börjat beskriva skolans matematik i positiva ordalag. Det händer något. Och ska fortsättningen bli bra behövs förskollärarna som matematiklärare. I förskolan finns det möjligheter att påverka barns kunskaps- och ämnessyn så att matematik också förknippas med föremål, handling, språk, samarbete och eftertänksamhet lika väl som att finna ett svar. Vill man lära barn att värdera både funde-randet och olika sätt att se på ett problem, kan man inte samtidigt kräva snabbhet och säkerhet. Förskolan har förutsättningar att med-vetet arbeta för ett socialt, tålmodigt, förståelseinriktat och lekfullt synsätt på matematiska begrepp och färdigheter.
Men det är angeläget att förskollärare gör upp med det som de kanske upplever som negativt i samband med matematik. Den infor-mella matematikens innehåll och möjligheter känns ofta befriande
verkligen tycker om det som man talar om. De kommer att nosa upp sina lärares eventuella tråkiga erfarenheter av t.ex. ett visst skoläm-ne. Fysik, kemi, gymnastik och musik kan vara sådana ämnen, precis som matematik. Slipper barn att ana, höra talas om eller uppleva matematik som något svårt och begåvningsdömande behåller de sin frimodighet.
Informell matematik
I kursplanen för matematik i grundskolan står det om ämnets karak-tär och uppbyggnad:
•
Många problem kan lösas i direkt anslutning till konkreta si-tuationer utan att man behöver använda matematikens ut-trycksformer.Teorierna kring den informella eller förnumeriska matematiken är här hämtade från dels Ann Ahlbergs rapporter som bland annat har en fenomenografisk teoribakgrund och dels från GUMA-projektets teori som utgör en processkedja: Tanke - Handling - Språk - Symbo-ler.
GUMA-projektet (Gullviksskolans Matematik) initierades 1981 av metodiklektor Gudrun Malmer och pågick under tre läsår. Jag var en av de aktiva lärarna i en av projektets fyra skolklasser, årskurs 1 till årskurs 4. Projektbeskrivningen innehåller fyra steg som utgör teori-bakgrunden. Jag har här ändrat projektbeskrivningens språkdräkt till uttryck som förekommer i aktuella styrdokument och i den aktuella matematikdebatten:
1. Första steget, tanke, beskriver hur matematikarbetet utgår från barns erfarenheter, både sådana som de gjort före och utanför skolan samt från nya och gemensamma erfarenheter som skolan kan erbjuda. I steget ingår också tankar och frågor som kan ge upphov till matematiska diskussioner och problemsituationer. 2. Andra steget, handling, beskriver hur föremål i samspel med
kreativitet utgör grunden för ett laborativt arbetssätt. I vissa sammanhang kallas detta också för ett taktilt – visuellt arbetssätt. Här kan barn frimodigt pröva sig fram och på så sätt göra
upp-täckter i matematikens värld och finna olika sätt att lösa ett pro-blem. Barns bilder räknas in bland det andra stegets uttrycksfor-mer; när bilder är ett problemlösningsinstrument.
3. Tredje steget, språk, beskriver hur barn sätter ord och uttryck på sina handlingar och upptäckter. Det inre språket bygger upp be-greppsinnehållet. Många barn tänker högt i detta steg. Ett inre språk möjliggör i sin tur den verbala kommunikation som i sam-spel med andra bekräftar och berikar begreppen. Barn lär sig att förklara och argumentera för sitt tänkande. Barnens bilder blir ef-terhand här mer symbolliknande.
4. Fjärde steget, symboler, beskriver hur barn uttrycker sina erfa-renheter och begrepp i det matematiska symbolspråkets dräkt. Detta är inledningen till generell kunskap, symbolhantering och formell problemlösning, ett mål med all matematikundervisning.
Från informell till formell matematik
Om den formella matematiken säger grundskolans kursplan:
•
Andra problem behöver lyftas ur sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska be-grepp och metoder. Resultaten skall sedan tolkas och värde-ras i förhållande till det ursprungliga sammanhanget. Det är viktigt att den formella matematiken beskrivs som ett mål och att arbete med den informella matematiken är ett medel att i fram-tiden bli säkrare på den formella. Kursplanen säger i detta samman-hang:•
För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs balans mellan kreativa, problemlösande (informella) aktiviteter och (formell) kunskap om matematikens begrepp, metoder och ut-trycksformer.Många uppfattar annars formell matematik bara som ett trist skoläm-ne, fullt av symboler, regler, tabeller och formler och känner kanske igen sin skoltid i beskrivningar som dessa:
Mest räkning, som är att kunna skriva läsliga siffror och tecken, ställa upp i förväg bestämda tal ovanpå varandra i häften och få fram ett linjalunderstruket svar med kanske rest som stämmer med facit. Beting och läxa som rättas av läraren under helgerna eller på tysta lektioner. Klippta hörn och stora R över hela sidan i matte-böckerna som belöning. Guldstjärnor. Bockar, som ska strykas över efter rättning.
Så finns det geometri och enheter som handlar om rektanglar: basen x höjden, trianglar: genom två och cirklar med hopplösa pas-sare som ger efter så att man inte hamnar där man började.
Mäta kritasken i centimeter, bänklocket i decimeter samt klass-rummet och skolgården i meter. Kunna klockans stora och lilla visa-re. Först gissa och sen väga med gjutjärnsvikter eller små, små pin-cettplockade plattor som kallas gram. Eller hälla vatten i och mäta med plåtdeciliterburkar, som står på träplattor med runda hål.
Procent i rutnät, sidor med bråktårtor, skilja på täljare och näm-nare, diagram och x och y. Prov eller diagnostiskt med maxpoäng,
minpoäng för godkänt och över eller under medel. Och på högstadiet allt om igen fast svårare och med betyg.
Den informella matematiken kan innebära att fler barn får möjlighet att komma till sin rätt och på så sätt utveckla självförtroende och intresse för den formella sidan av ämnet matematik.
Utgångspunkten i den informella matematiken ligger i flödet av idéer och i handskandet med föremålen. Barn som intresserar sig för föremål har ofta idéer vad de vill göra med dem. Leka, jämföra, ordna, sortera och sätta ihop. Lägga brädor i en hög för att nå upp till en eftertraktad kakburk. Ibland vill man använda föremål tillsam-mans med andra barn för att kanske spela spel eller börja leka. Här visar sig den informella matematikens ingredienser: idéer, föremål, handlingar, samspel, funderingar och språk. Det där att inte behöva göra färdigt är för vissa en lättnad.
Till utvecklingen inom den informella matematiken hör att man börja översätta problemsituationen till en bild eller använder ersättningsfö-remål i stället för de ursprungliga föersättningsfö-remålen. Man gör en förenklad representation av verkligheten:
– Vi låtsas att klossarna är bilar. Under ritandet eller byggandet sker en språklig men informell bearbetning av problemet. Det blir naturligt att till en början göra avbildningar och efterhand egna och därmed begripliga symboler och på så sätt få en överblick av och pröva sitt lösningsförslag.
– Det blir jobbigt att rita alla träden, så jag gör bara streck i stället för träd.
Man kan på detta sätt också spara problemet för att kanske sova på saken och senare arbeta vidare med det eller visa andra för att få synpunkter till lösningar. Samtalen kring bilderna kan bli mycket utvecklande. Ju fler gånger barnen arbetar på detta sätt desto mer förenklas och generaliseras symbolerna så att de efterhand börja likna den formella matematikens. Steget över till formella och kon-ventionella symboler blir en naturlig utveckling. Många bilder är mångspråkiga; avbildningar, förenklingar, rena avprickningar, pilar och bokstavs- och siffersymboler samverkar periodvis med barnets muntliga kommentarer.
Barns matematiska utveckling
Födelsedagen hade hon länge väntat på! Det var som den aldrig kom. Hennes mamma svarade olika varje gång hon frågade: - ”Hur många dar är de kvar till födelsedan?”
– ”Hundra.”
– ”Hur många dar är det kvar nu?” – ”Nittionio.”
– ”Nu då?” – ”Sjuttioåtta.”
Så var det jämt. Det verkade bara bli fler och fler dar till födelsedan. Men så plötsligt - var det nästa måndag!
– ”När är det nästa måndag?” – ”Om sju dagar”
– ”Hur mycket är sju dagar?”
– ”Alla fingrarna på ena handen och två på den andra.” – ”Jaha.”
Men inte var det bara sju dar. Det var minst hundra. Och dagarna tog plötsligt aldrig slut. De tänjde ut sig, så det var samma dag flera dagar! Så konstigt det kan bli!
Men en dag blev det i morron.
– ”I morron fyller du år”, sa mamma.
(Ur ”Lilla Sparvel ” av Barbro Lindgren, Rabén & Sjögren, 1976)
Barbro Lindgren skriver om hur barnet uppfattar tillvaron. I hennes böcker finns inga starka Pippi eller knipsluga Emil. I mina samtal med barn har hennes böcker varit till stor hjälp när det gäller att förstå och glädjas över barns ofta överraskande tankegångar.
Samtidigt som vuxna har en övertro på barns förmåga att förstå till-varon med samma logik som vuxna gör, finns risken att underskatta barns kapacitet. Anna Kruse skriver i sin bok ”Åskådningsmatema-tik” (1909):
När vi bestämma kurserna för det första året, hålla vi oss försiktigt inom ett helt litet talområde. Men skulle barnen bestämma, skulle de snart visa oss, att de våga sig vida därutöver.
Här beskrivs en diskontinuerlig utvecklingssyn. Det innebär att ut-veckling sker genom en växling mellan kliv och andhämtning och ibland till och med tillfällig tillbakagång. Teorin visar på barns sick-sackväg mot en efterhand alltmera utvecklad taluppfattning, alltså arbetet med att uppfatta, intressera sig för och samla fakta om räkne-ords och tals användning, innebörd och relationer. Det inledande citatet ur den första Sparvelboken visar ett barns logik när det brottas med vardagens matematiska problem.
1. Ögonblicksräknaren. Om talgestalter.
Det nyfödda barnet har likheter med vissa fåglar och primater när det gäller att känslomässigt uppfatta mycket små mängder; antal mellan ett och fyra och med ett enda snabbt ögonkast. Antell-Keating påvi-sade 1983, att barn som är några dagar gamla kan reagera på tvåtalet om det visar sig som ett ögonpar. Tvåtalet har då en bestämd gestalt som får kontakt med barnets känslor. Barnet reagerar med ökad salivavsöndring och behagliga rörelser. Vissa fåglar kan känna att ett ägg saknas i redet. En gökhona petar därför ut lika många ägg som hon värper i småfågelboet. Dynamisk subtraktion och addition före-kommer tydligen i naturen.
2. Magikern. Om rabbling.
Med hjälp av räkneorden får barnet magiska krafter. Att hoppa ner från en stol eller doppa sig är ett vågspel. Men om man ropar ”1-2-3” kan det lyckas.
– ”På det fjärde ska det ske, på det femte gäller det, på det sjätte smäller det…”
Så kan det fortsätta. Barnet hör nya varianter runt omkring sig. Och ofta är lite äldre barn förebilder. Så småningom får omvärlden lyssna på det stolta barnets rabbelramsa av ett sjok räkneord.
Tre fingrar på en uppsträckt hand visar ålderns värde, ofta efter-följt av ett fjärde finger med kommentaren:
Antalet år; vad är det? Något ganska oväsentligt för en växande magiker, som har långt kvar till förståelse av antalsbegreppet. Räkneord och siffror befolkar tillvaron. Lyckotal och farliga oturstal är barnets följeslagare. Spel och lotterier är fulla av magiskt tänkan-de. Om familjen har t.ex. ett telefonnummer som strider allt för mycket mot magikerns logik kan barnet tystna i sitt räkneordsrabb-lande under en period. Bearbetningen störs. Familjens telefonnum-mer är kanske 88 29 01.
– ”Så dumt; börja med två likadana och ettan sist. Sånt vill jag inte lära mig!!”
Om någon kommer på besök med godis som i all välmening krä-ver pekräkning för givandet finns det risk för missförstånd:
– ”Kan du räkna kolorna lille vän, ska du få dem!”
Och barnet följer sin grundligt förvärvade logik; att rabbla upp så många räkneord så snabbt som möjligt. Samtidigt gäller det att peka på varje bit! Här gäller det att ha förstående vuxna när pekfingret har kommit till den sista och sjätte kolan, medan rabblandet har hunnit till tjugo-elva i räkneordsramsan.
Räkneorden parbildas alltså ännu inte med tingen, även om den vuxne hade hoppats på det. Det lilla barnet har sin egen läroplan:
– ”Jag ska växa och bli större. Därför måste jag öva mig och lära mig det som de äldre kan så att jag får vara med i deras gemen-skap när jag blir lika stor.”
Magikern uppfattar gärna talramsan som en magisk formel och ger den därmed ett kraftladdat innehåll. Magikern lyssnar och iakttar när större barn leker och öppnar sig på så sätt för räkneorden och deras ordning i rituell användning. 1-3-5-leken och Dunkgömme är känslo-laddade räknelektioner för det lilla barn, som är stort nog att gå ut, men för litet för att vara med och förstå lekens regler och vokabulär.
I sin ensamhet går barnet igenom sina intryck genom att härma och parallelleka. Varje gång barnet rabblar sker en bearbetning av räkneordens namn och ordning. Avbrott i ramsräknandet ska absolut undvikas. Hellre hoppa över eller upprepa. Kanske så här: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20 - 20! Det sista ropas ofta med starkare röst. Ibland fortsätter ramsan: 27, 28, 29, tio, 20-elva, 20-tolv…20-nitton. Här kan barnets logik försvaras eftersom
till exempel det franska räkneordet för talet 79 heter soixante-dix-neuf, alltså sextionitton eller snarare sextio-tio-nio.
Skiljetecken mellan räkneorden finns inte i barnets rabblande. Allt är ett enda långt magiskt ord liksom i ramsor som Ole- dole – doff – kinkeli- -arne - koff.
Barnet intresserar sig föga för en riktig sekvensering; det vill säga räkneorden i rätt ordning utan överhoppningar eller upprep-ningar. För magikern spelar det ingen roll om vissa räkneord använ-des flera gånger. Det viktiga är ju att imponera med flödet. Antals-uppfattningen kring räkneorden ligger ännu långt fram i tiden.
Magikern symboliserar inte. Ska t.ex. antalet familjemedlemmar redovisas, ritas alla av. Avbildning är magikerns arbetsmetod vid översättning till bild. Redan streckgubbar är ett slags symboler och duger alltså inte! Men huvudfotingar liknar verkligheten. Barnen är seriösa i sina avbildningsförsök.
Huvudfotingar är verklighetstrogna.
Under den magiska perioden samlar barnet material till sin fortsatta matematikutvecklig. Det är en spännande period, full av möjligheter, innan barnet inser att allt detta härliga räknande hämmar fortsatt utveckling. Barnet ger sig ändå i kast med ett nytt matematikspråk, full av tillförsikt: - ”Har jag lärt mig att gå och tala, klarar jag väl också handens och munnens synkronisering, symbolisering samt räkneordens segmentering, och sekvensering.”
3. Ordinaltalstänkaren. Om parbildning.
Genom att spela tärningsspel, gå räknande i trappor, dela ut rättvist upptäcker barnet att talramsan behöver segmenteras. Räkneorden ska kunna åtskiljas: 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I etc. Så länge barnet inte klara detta, upplevs det ibland som fuskare vid t.ex. tärningsspel:
– ”Du fick en trea, men sen flyttade du en massa steg medan du räknade till tre!”
Man får inte hoppa och rabbla hur som helst.” Varje prick på spelplanen ska ha sitt bestämda namn i räkneordsserien. Annars är det fusk!
Här krävs övningar som synkroniserar uttalandet av de segmen-terade räkneorden med handens rörelser. Det ska leda till att varje isolerat räkneord motsvarar eller symboliserar en prick, en kola, en kula, ett föremål eller finger. Parbildning är namnet på detta räkne-sätt. Det grekiska ordet symbol betyder ungefär parbildning. Om nu verkligheten ska symboliseras, måste den ersättas med samma antal symboler. Det krävs mycket tid och många övningar för de flesta barn innan det blivit klart! Prickarna på tärningen har sin motsvarig-het på spelplanens markeringar. När man slagit är det bara att parbil-da tärningsprick med spelplansprick med hjälp av spelpjäsen samti-digt som de isolerade räkneorden uttalas. Att räkna upp föremål och ge dem räkneord som namn kan underlättas om ett ljud (klirr) mar-kerar varje räkneord, så att segmenteringen underlättas. Barnet smäl-ler ofta i prickarna på spelplanen med spelpjäsen när den flyttas. Här påbörjas även arbetet med talens korrekta sekvensering framåt i talraden. Varje föremål som ska räknas får sålunda ett räkneord som namn vid uppräkningen. Och det är utveckling nog.
Barnet använder nästan genomgående namnen för grundtalen som räkneord men tänker mer eller mindre konsekvent som om räkneorden vore namn för ordningstalen. Att säga ”fem” betyder alltså ofta den femte i ordningen och inte antalet fem. Man säger att barnet använder räkneordet ordinalt. Räkneorden i barnens vardag har lika ofta ordinal som kardinal betydelse. Att plötsligt kräva en-bart kardinal tolkning av räkneord strider mot barns erfarenhetsvärld. Det är svårt för vuxna att hänga med i denna ordinaltalstänkarens logik. Vi vuxna har glömt eller förträngt detta tänkande för länge, länge sedan. Minnesfragment av detta tänkande ger snarast en rys-ning av obehag:
”Det var när jag tänkte så, som det blev fel i min räknebok!” Där-för Där-försöker man spontant att snabbast möjligt få barnet på andra tankar. Här ligger kanske upphovet till eventuell matematikängslan. När man kritiserar eller rättar det ordinala tänkandet leds barnet mot den avgrund man helst vill hjälpa det bort från. När Dagmar Neuman i början av 1980-talet blev medveten om att vissa barn bland förste-klassare var ordinaltalsräknare utbrast hon:
– ”Deras ord betyder inte detsamma som mina!”
Barnet ser den bekymrade rynkan i frökens panna. Även om man frågar hur barnet tänker, är det inte säkert att barnet kan beskriva det. I frågan tolkar barn ofta in ett ifrågasättande. Men vi som ska arbeta med barns lärande måste kunna följa deras inre språk för att kunna vara en tillgång i deras matematikutveckling. De ska helst ha kvar sitt självförtroende så att de en dag efterfrågar en mera abstrakt lo-gik, den som kan förekomma nästa nivå i tankeutvecklingen; förstå-else för antal och därmed räkneordens kardinalitet.
För sin utveckling behöver barnet situationer där det inte avbildar som en magiker gör, utan upptäcker det behändiga i ett-till-ett sym-boliseringar. De fyra kulorna gömda i en kännpåse översätts tyst till fyra uppsträckta fingrar, som nu symboliserar kulorna ordinalt; ett finger för varje kula. När barnet ska göra en matematikteckning om sina stenar behövs inte längre de noggrant avbildade stenarna. Det räcker med en förenklad avprickning, som är just symbolspråkets ursprung. Matematikteckningarnas individuella språk uppmärksam-mas.
I bildämnet kan bilderna vara dekorativa, illustrerande, berättan-de eller uttrycka upplevelser och känslor. Men matematikteckningar kan t.ex. peka på antalet alltså på något annat än det synliga; bildin-nehållet visualiserar själva antalet. Tanken får stöd i bildens symbo-ler och minnet kan avlastas. Barnet utvecklas i symbolförståelse och abstrakt tänkande.
Tal som endast har ordinal innebörd är inte lämpade för räkne-operationer. Innan ett barn kan klassificera talen som ordinala eller kardinala utifrån sitt sammanhang sker många missförstånd. Att 5 – 5 blir 4 är ju logiskt om man uppfattar femman efter minustecknet ordinalt; det är den femte som ska bort, de andra fyra är kvar.
I Fritjof Nilsson – Piratens bok Bock i örtagård finns en episod med en liknande poäng.
Patron Jon Esping gör sitt första kyrkobesök sedan barndopet. Under den långa predikan kommer han på att som förströelse räkna ut summan av de psalmnummer, som med svartmålade plåtsiffror är upphängda på en vit tavla framme i kyrkan. Han vet inte att psalm-nummer är ordnade namn på andliga sånger; varje psalm-nummer motsva-ras av en enda psalm. Vid sammanräkningen pekar han mot siffrorna i luften, vilket gör att övriga gudstjänstdeltagare tror att han fått en religiös uppenbarelse. Jon Esping lägger intresserat märke till att summan av psalmnummerna är exakt en tiondel av värdet på hans gård.
4. Kardinaltalstänkaren. Om antalsförståelse.
När det sist sagda räkneordet betyder alla redan räknade föremål, beskriver räkneordet ett antal. Räkneordet har fått kardinalitet i stället för att bara ordinalt beteckna det sista föremålet. Sekvense-ringen blir säker och möjligheten att säkrare räkna baklänges blir möjlig. Barnet upptäcker vidare att antalet av en mängd föremål blir detsamma oavsett ordningen de blir räknade. Fantastiskt! Ett visst antal är alltså ett abstrakt begrepp som kan representeras av alla samlingar av föremål i verkligheten med samma mängd. Alla före-målen skulle kunna kopplas till vilket av räkneorden som helst. För-utsättningar för att förstå antal som ett begrepp, oavsett föremålens egenskaper öppnar sig. Tio små knappar och tio väldiga egyptiska pyramider har något gemensamt. Att med en blick uppfatta antalet underlättas om föremålen grupperas. Föremål fler än fyra i oordning eller uppradade är svåra att antalsbestämma. Men ordnade i antals-grupper, t.ex. fyra och fyra blir bestämningen både snabbare säkrare och utvecklande. Jämför IIIIIIIII med III III III eller IIII IIII I.
Mycket ska på plats innan talens kardinalitet är internaliserad. Föremålens ordning, storlek, egenskaper, utbredning och funktion mister sin betydelse till förmån för antalsbegreppet.
– Fem myror är fler än fyra elefanter, säger Magnus, Eva och Brasse och bortser från storleken av föremålen. Förståelsen för att föremål i en mängd kan bytas ut eller förändras utan att antalet på-verkas är också något som kan upptäckas, diskuteras och bearbetas. Alla behöver inte var myror för att få utgöra en mängd. Snart kan man även blanda myror och elefanter; antalet djur är ändå det sam-ma! Barbapappafamiljens medlemmar kan förändra sina former och sitt omfång hur som helst, ändå är de alltid lika många.
På tärningar och dominobrickor ser barnet tidigt antalet med ett enda ögonkast. Sådana talgestalter kan kallas fasta antalsgrupper; man kan alltså inte påverka deras gestalt, men de är ett hjälpmedel vid utvecklingen av antalsbegreppet. Med lösa antalsgrupper menas att räknaren själv kan bestämma hur de ska grupperas.
Nu öppnar sig möjligheter att jämföra antal. Hur stor skillnad i antal är det mellan pinnar och stenar i din naturlåda? Eller mellan antalet av föremål i din låda och de i Evas?
När förmågan finns att se antal som helheter blir det naturligt att börja undersöka talens delar. Tal är i matematisk mening beskriv-ning av antal. Hur kan tal delas upp? För barn är det ofta naturligast att dela rättvist. – ”Båda ska ha lika många”. Därför kan det vara idé att börja med jämna tal. Först sedan kan det vara intressant att un-dersöka udda tal där delarna av hela udda tal blir olika stora, alltid omväxlande ett udda och ett jämnt tal.
Svårigheterna uppstår när barns förståelse ska mätas mot vuxnas. För att slingra oss kallar vi ofta brister i barnets förståelse för för-förståelse. Sorgligare är det om barnet tystnar av att ofta ha fått en rad fel, som belöning för sitt tankearbete. En blick av oro, ett ord i oförstånd kan räcka för att barnet ska bli försiktigt med vad det säger nästa gång det utsätts för de färdigformulerade, färgglada frågeställ-ningar som är vanliga i både skol- och före-skolan-böcker.
Viktigt är att barn som tänker ordinalt uppmuntras till att be-stämma antalet genom att först ordna föremålen i antalsgrupper så att de kan se antalet med en blick. Att fortsätta med att bestämma ett antal genom att räkna föremål ett-och-ett kan försvåra barnets försök att våga lämna pek- eller fingerräknandet och därmed ordinaltalstän-kandet i kardinala sammanhang. Att se ett antal bakom ett enda ord eller en enda siffra eller sifferkombination är ett viktigt steg i utveck-lingen av abstrakt tänkande och barnets taluppfattning.
Antalsorden är jämförelseord och ganska svåra eftersom några av dem används rätt sparsamt. Parbildning är det räknesätt med vilket man kan jämföra antal.
• lika många eller samma antal, (rättvist) • fler – färre (inte lika många), (komparativer) • flest - minst antal (färst, fåast), (superlativer)
• t.ex. 3 mer - 3 mindre, (Hur många enheter skiljer sig den ena mängden från den andra.)
Orden undersöks genom att med hjälp av parbildning jämföra an-talet föremål i oftast två mängder. Parbildningen avslöjar eventuell skillnad i mängdernas antal. (Orden är lätta att förväxla med talens motsvarande ord: är lika med, större än – mindre än, störst – minst.)
Barn i förskola och skola bör få möjlighet att uppleva utveckling-en av antalsförståelse som utveckling-en givande upptäcktsresa i gemutveckling-enskap. Andra barns tankar kan utmana. Läraren, med kunskap om antalsbe-greppets konkreta och abstrakta sidor, blir en viktig följeslagare.
5. Talanvändaren. Om talen
När människan abstraherat antalsbegreppet kunde orden för antal bli gemensamma oavsett vad som räknades. Efterhand blev det också angeläget att kunna skriva ned antalet av något. En sådan nedskriv-ning av ett antal kallas inom matematikämnet för tal. I talens värld utvecklades nya jämförelseord. Här heter det är lika med och större eller mindre än.
Uppdelningen av talen är en förutsättning för taluppfattningens utveckling. Tal kan delas upp oberoende av verkligheten bakom dem. Belöningen ligger i att beräkningar blir enklare, snabbare och säkrare. Förhoppningsvis ska barnen tycka att det är spännande att komma på fler och smartare metoder. Få barn är roade av att räkna det som kallas spalter, ofta uppdelade från a till h. Att få använda och utveckla egna idéer samt få möjligheter att göra upptäckter gäller i hög grad ämnet matematik.
Förståelse av räknesätten växer fram i samspel med att talupp-fattningen utvecklas. Själva tecknet för räknesätten, operationteck-net, är bara en del av förståelsen.
Addition kan i verkligheten vara dynamisk, en beskrivning av nå-gon händelse; jag vann eller förlorade åtta kulor. Den kan också vara statisk och beskriva ett tillstånd; jag har nio kulor i vänsterfickan och sju i högerfickan. Och den kan beskriva en utfyllnad, så kallad upp-räkning; det kostade tolv kronor, jag lämnade en tjuga och i kassan räknades 13 till 20 enkronor upp och de åtta mynten lades i min hand.
Subtraktion har också både ett dynamiskt och statiskt innehåll. Fiskar kan dö i ett akvarium och bli färre. Men man kan också, om
det kanske är intressant, använda subtraktion för att konstatera att antalet fiskar i ett akvarium är större än i ett annat.
Multiplikation kan vara upprepad addition där alla termerna är lika stora: 3+3+3+3 = 4·3. Med detta räknesätt kan man faktorisera tal. 12 kan uttryckas som t.ex. 2·6 eller 3·4. Den kan också användas för att konstruera, beskriva och beräkna arean av geometriska figurer.
Division kan både betyda likadelning och hur mycket som inne-hålls i olika tal. Talet tolv innehåller de naturliga talen 2, 3, 4, och 6, förutom 1 och 12, sig själv. Omtolkningen av en verklig situation till ”ett icke givet räknesätt” är grunden för problemlösning.
Ur Mikas matematiska utveckling:
Från eget måttband till vårt generella talsystem IEtt barn kan, om det får möjligheten, under en begränsad tid på egen hand börja utforska något som fångat dem. Ofta uppstår en sådan intensiv period genom ett samspel mellan någon upplevelse och utveckling. Barn griper sig ibland an formella symboler, men på ett informellt sätt. Det är en riskfylld verksamhet, eftersom den är lätt att kritisera. En välmenande aningslöshet från någon vuxen kan få barnet att tvivla och ge upp. Här är det viktigt att lärare utvecklar sin tilltro till barns tänkande och till förmåga att undersöka, lära sig och använda matematik.
Våren 2000, under ett besök på en förskola i Södra Innerstaden i Malmö, fick jag se hur 5-åriga Mika lekte med ett måttband, ett vanligt måttband, blått på ena sidan och med olika färger för varje decimeter på andra. Mika gick runt i rummen, spände ut olika långa delar av bandet mot leksaker och nallar, något skåp eller en klosslå-da. Efter varje mätning betraktade hon omsorgsfullt siffrorna på bandet och uttalade ett räkneord; ofta ingick ”nitti”: t.ex. nittifem - nittitie - nittinoll. Så märkte hon att jag intresserade mig för hennes lek och sa:
Femåriga Mikas måttband.
Paul Klee-bilder
”Jag gjorde två punkter, en i mitten, en i hörnet som gömmer sig.”
”En fri, öppen och mjuk kurva rör sig från det övre vänstra hörnet till det nedre högra.”
”Här samsas en öppen kurva med olika mjuka och hårda slutna kurvor. I alla utom en bor det punkter.”
Punkt
Kurva
Prodeci-bilder – tiopoängsbilder
Himlen får sex poäng och sanden fyra poäng.
Havet får fyra poäng, sanden och himlen två vardera och solen och handduken ett poäng vardera.
Veckostenar
– Jag är mätare.
Efter ytterligare en stunds lek sa Mika plötsligt till mig, liksom i förbigående:
– Jag ska göra min egen mätare.
Hon gick bort till en hylla där det låg en stapel kartongpapper som sparats och samlats från tömda förpackningar. Alla papper i högen har en tom baksida, lämplig för teckningar eller klippande. Barnen är vana att själva ta ur högen när de behöver ett papper. Hon jämförde pappersarken en stund och tog tydligen det som hon tyckte vara det största. Det hade varit locket på kartongen till en djupfryst familje-pizza. Nu lade hon det på golvet framför sig och började rita av måttbandet med en kulspetspenna på pizzalockets baksida. Hon iakttog måttbandet efter varje skrivet mätetal; ett tidskrävande arbete.
II
En vecka senare kom jag tillbaka till samma förskola och frågade Mika hur det gick med måttbandet. Hon såg först frågande ut men sedan sprang hon plötsligt i väg och hämtade det stora kvadratiska långa böljande linjer. Jag kunde ana måttbandets slingor över papp-ret, men bad henne ändå förklara hur det skulle användas. Hon peka-de, började berätta och bjöd mig på så sätt in i sin tankevärld, som uppenbart befann sig i matematisk utveckling.
Jag såg att alla mätetalen var inramade precis som på ett mått-band. Vid 20 tog pappret slut så att 21 måste skrivas rakt under 20, men på nästa rad. Nu löpte det från höger till vänster precis som efter en sväng på ett riktigt måttband. Hennes ögonrörelser bytte riktning så att det blir naturligt att se och skriva siffrorna från höger så att de får en skenbart spegelvänd utformning. Ibland kallas detta skrivsätt för plogskrift efter hur bönder plöjer sina åkrar. Vid 28 svängde det igen. Här hade blicken flackat lite vid 29 och 34. Ny sväng vid 36 – 37 och vid 41 – 42.
Mika pekade på 42 och kommenterade:
– När jag kom dit blev det tråkigt att bara skriva sådana med bara två (siffror). Jag ville skriva dom med tre - för dom är hundra. Så jag ritade mätaren så här - som ett böjt streck.
Hon vred måttbandet och visade hur det från sidan såg ut som bara en böjd linje. Vid 100 började skrivandet igen och med rejäl sifferstorlek. Överraskande konventionellt radskifte från 103 till 104, liksom från 108 till 109. Från 116 gick det uppåt. Ett långt hopp snett uppåt från 117 till 118. Lika långt hopp upp till 119. Till sist en slinga fram till 127.
Mika sa:
– Sen fick det inte plats mer. Men det gör ingenting för jag har inte mätat med den. Om du vill ha den kan du få den för den blev inte så bra.
III
Drygt två och ett halvt år senare, hösten 2002 söker jag upp Mika som nu är skolflicka och snart åtta år. Hennes fröken tycker att det går ganska bra för Mika i matematik. Speciellt sen hon kom på hur man snabbare räknar minus genom att skriva om talen och ändå behålla skillnaden mellan dem.
Jag har tagit med hennes måttband från när hon var fem år och ett riktigt som är hoprullat. Hon vill först inte kännas vid sitt eget. Men efter en stund minns hon situationen, förvånad, kanske lite smickrad av att jag sparat det. (Det är min erfarenhet att alla barn tycker om att få sitt arbete uppmärksammat.) Jag frågar henne om hon skulle vilja göra ett nytt, nu när hon blivit större. Jag har med ett liknande kar-tongpapper. Utan diskussion rullar hon ut det riktiga måttbandet och synar det på båda sidor. Den ena sidan växlar färg för varje decime-ter. Hon säger:
– Det är finast på den sidan där det är olika färger. Jag hämtar mina färgpennor.
Och så skjuter Mika måttbandet åt sidan, ser sen inte mer på det byter färgpenna för varje tiotal. Mellan 40 och 100 slutar hon tydli-gen medvetet varje rad med tiotalet. Men efter 109 finns inte plats för 110, som därför skrivs på nästa rad. Från 101 till 119 går det betydligt långsammare. Här är skrivningen med siffrornas platsvärde svårare och hon mumlar lite irriterat räkneorden för sig själv. Vid 120 har hon tröttnat, lägger ljudligt ner den blå färgpennan och säger:
– Nu räcker det väl. Annars blir det här för tråkigt - sånt här kan jag. Du får detta också. Vad ska du ha det till? Man kan ju inte mäta något med ett sånt knäppt måttband.
Kommentar
Läroplanen för förskolan säger att flödet av barns tankar och idéer ska tas tillvara och att barnen ska få utveckla sitt intresse för skrift-språk och sin förståelse för symboler. Mikas första måttband avslöjar ett envist arbete med parbildning mellan siffrorna i måttbandets mätetal och eget sifferskrivande, med segmentering av räkneords-ramsan, så att det blir endast ett tal i varje ruta. Att göra ett måttband gav henne idén till undersökande matematisk verksamhet.
När man ser på innehållet i Mikas andra måttband är det bra att minnas allt det tankearbete och noggranna skrivande som arbetet med det första måttbandet innebar. Hon tog sig fram av eget intresse. Här behövdes inte frågorna om varför man ska lära sig matematik och vad man ska ha det till. Att uppmuntra, finnas till hands och samtidigt låta barn finna sina vägar i lärande är en spännande utma-ning för alla slags lärare. Dokumentation från olika tillfällen är ett värdefullt hjälpmedel när en lärare inför sig själv och i samtal med föräldrar ska beskriva barnets utveckling.
Ämneskunskaper
En vanlig uppfattning är att arbete med informell matematik inte kräver några särskilda ämneskunskaper. Denna ämnessyn innebär att lärare främst blir intresserade av tips om vad man kan göra med barnen. Å andra sidan kan man höra att de som har formella kunska-per om matematik vet vad som behövs för att arbeta med informell matematik.
Men arbete med utveckling av grundläggande begrepp kräver ämneskunskaper i matematik. En kursdeltagare sa: vi som arbetar i förskolan behöver extra mycket matematik, eftersom vi inte har någon lärarhandledning. De lärare som läst 5 poäng matematik efter-frågar inte längre några tips. De har upptäckt mer matematik i det de redan gör och i det de planerar.
I kursen ingår en rad begrepp och uttryck som är viktiga att förstå för att framgångsrikt kunna arbeta med informell matematik. Läraren måste ligga långt före barnens ostrukturerade kunskaper. Här följer några av de ord som kommit fram i kurserna, där vi har behövt dis-kutera deras matematiska betydelse.
Informell matematik och olika problemlösningsnivåer Begrepp och definitioner. Begreppsutveckling
Räkneordens olika innebörd; ordinal, kardinal och temporal Segmentering och synkronisering
Parbildning och avprickning Föremål och antal
Antalsgrupper, lösa och fasta Siffror och platsvärden Additiv gruppering
Talens indelning och relationer Räknelagarna
Räknesätten; statisk och dynamisk innebörd. Operationstecken Rumsuppfattning. Mätning: storheter, enheter och mätetal Punkt, kurva och form
Till ämneskunskaper i matematik hör också teorier om talbegreppets utveckling genom historien. Kursplanerna betonar matematikämnets ursprung och utveckling. Olika forskare har olika teorier kring den prealfabetiska matematiken. Under 1980-talet utvecklade Dagmar Neuman sina teorier i boken Räknefärdighetens rötter.
På 1950-talet lästes Catherine Sterns bok Barnen upptäcker ta-lens värld av de flesta småskollärare. Eleverna hade tillgång till sternmaterielens olikfärgade stavar från ett till tio. Många minns säkert den klarblå tiostaven. Specialundervisningen förvaltade stern-traditionen längst.
Efter att från 1923 ha startat och arbetat i en kindergarten i Bres-lau, i den östligaste delen av det dåvarande Tyskland, kom Catherine Stern i slutet av 1930-talet som flykting till New York. I The Castle School, som grundades 1944, vidareutvecklade hon sin idé om ett talsystem för de yngsta barnen. Hon kallar detta talsystem blockme-toden. Barnen undersöker talen, symboliserade av gripvänliga och olikfärgade, olika långa trästavar, och mäter sig fram till talens rela-tiva och konstanta egenskaper. Barnen kan på så sätt, taktilt och visuellt, långt innan de får kunskaper om matematikens formella symbolspråk, upptäcka de grundläggande strukturerna i vårt fantas-tiska talsystem. Stavarna visar talen upp till tio som helheter. Marke-ringarna för enheterna i de olika talen är därför endast diskret marke-rade.
1949 utgav G. Harrap & Co Ltd hennes bok Children discover arithmetic och 1951 utkom en svensk översättning på Natur och Kultur: Barnen upptäcker talens värld.
Catherine Stern dog 1972 men hennes metod för aritmetik lever kvar. Eftersom Catherine Sterns bok är svår att finna och språket något krävande har jag gjort en fritt komponerad, men språknära, sammanställning av bokens syn på matematikämnets utveckling hos ett barn och genom historien. Här följer en förkortad sammanställ-ning av bokens inledande kapitel. Catherine Sterns språk är, även i svensk översättning, engagerat och slagfärdigt.
Dr Catherine Stern och den strukturella metoden
för aritmetik
I Hur utvecklas ett talsystem?
Nog kunde den gamla skolans latinlärare sitt latin. Det är inte lika säkert att de kunde meddela sin kunskap till eleverna. Men som så ofta förr har pendeln nu slagit över åt andra hållet. En nutida mate-matiklärare känner kanske sina elever utan och innan, men kan lära-ren sitt ämne? Läralära-ren försöker foga undervisningen efter barnets natur, men måste han då inte tillse att han inte samtidigt våldför sig på matematikens?
Undervisning i aritmetik med konkreta ting har mening endast om föremålen kan lära barnen något om talen. Om nu föremålen är pepparkakor, kan barnet ha svårt att fatta de underliggande talrela-tionerna, eftersom dessa inte tycks höra till saken. Ett barn ser 3 pepparkakor (eller avbildningar av dem) på ett ställe och 4 på ett annat. Barnet räknar nu noga alla pepparkakorna, en efter en, och finner det totala antalet. Men ingen av bilderna pekar tydligt ut sjuta-let och när barnet senare ställs inför relationen av talen 3, 4 och 7, har det föga hjälp av att erinras om de 7 pepparkakorna. Trots den mest mekaniska drill kan barnet inte utantill lära sig svaren på alla olika räkneuppgifter. Intet finns som kan slå en brygga från en nume-risk erfarenhet till en annan. Att behandla matematiken som en sammanhangslös hop numeriska fakta är en kränkning av talens innersta natur. Varje normalt barn tycker om att plocka, pröva och passa ihop ändamålsenliga föremål. Läraren kan stödja arbetet så att barnet inte kan undgå att se talen och på så sätt komma närmare dess natur.
Det påstås att vissa infödingsstammar inte kan räkna antalet stänger och pinnar de behöver för att kunna bygga en hydda. Men varför skulle de behöva kunna räkna, om de i sin föreställning har en tydlig inre bild av den blivande hyddan; en bild som visar hela struk-turen av väggar, tak, vinklar och öppningar? Kan en läkare arbeta framgångsrikt utan att kunna anatomi? Kan daglig och långvarig erfarenhet av praktiska situationer ge honom den nödvändiga kun-skapen om människokroppens struktur? Kan någon som bor i och känner ett hus väl från källare till tak också bygga ett hus? Måste han
inte bli byggnadsingenjör och studera konstruktionsteknik så att han lär känna strukturerna i en byggnad.
På samma sätt kan eleverna utveckla sin räkneförmåga endast om dem känner till talsystemets struktur. Det är inte nog med att möta talen i det praktiska livet eller att inhämta räkneteknik. Kunskapen om strukturerna öppnar också nya möjligheter för lärarna. De behö-ver upptäcka vad aritmetik är för att kunna nå fram till samma insikt om talen som de skall utveckla hos de unga. Läraren ska i detta sammanhang ha en översikt i hur olika kulturers primitiva talföre-ställningar kan ha utvecklats fram till konstfulla räknebegrepp.
II Primitiva uppfattningar av tal
Förnimmelsen av tal grundar sig på den omständigheten att ett antal föremål kan grupperas så att de bildar en figur eller ett mönster. Från tidigt i människans historia finns det avbildningar av fyrfota djurs tassar som torde ha betecknat talet fyra och av en fågels vingpar talet två. Sådana symboler som vingar och tassar tillhör inte självklart till någon bestämd ordningsföljd. Aritmetiken däremot kräver ett talsy-stem, som ger en struktur och ordning hos ständigt växande belopp. Om människan skulle utveckla matematiken måste de komma längre än den antydda förnimmelsen av talen där man endast relaterar anta-let till något allmänt känt.
Genom att räkna upp namnen på samtliga sina djur har herden en uppfattning om hjordens storlek. Men han har inget namn för det antal som svarar mot hela gruppen av djur.
Ett stort steg togs då herden kom på att lägga en sten för varje särskilt djur för att kunna kontrollera om hela flocken var samlad. Om han sedan lade ut och grupperade stenarna kunde han få en bild av hela antalet djur. Men det är besvärligt att bära runt en pung med stenar som överensstämmer med djurflockens antal.
Nästa steg i förenklingen blev kanske därför att göra en skåra i en stav, en för varje enskilt djur. Kanske glömde han då namnen och sa för varje skåra: ponny, ponny, ponny, ponny, ponny. Detta akustiska talsystem blev ganska besvärligt om han kanske hade bortåt 30 djur. Tills någon fiffikus kom på att lägga till skilda ljud i en bestämd ordning vid övergången från varje föremål eller djur till nästa. I själva verket en uppfinning som lade grunden till ett helt nytt talsy-stem. Det kan åskådliggöras genom att vi lånar orden från den diato-niska skalans stavelsebeteckningar. Man kopplar ihop dem:
ponny-do, ponny-re, ponny-mi, ponny-fa, ponny-sol… vid uppräknandet av ponnys. Så småningom kanske den bekväma människan nöjer sig med att säga: Mina ponnys, do, re, mi, fa, sol. Och menar då antalet fem av dem. Fortfarande får varje ponny ett namn, även om de bär räkneordens kännetecken.
Om nu ens granne utvecklar ett liknande talsystem, räcker det plötsligt att han säger: - Jag såg fa ponnys! Vilken upptäckt, vilket framsteg! Man behöver bara lära sig memorera ”talens rytm”, en talföljdens sång och acceptera en följd av ljudtecken i en bestämd ordning. Nu finns möjligheten att karaktärisera varje belopp, stort som litet. Steget från ett talord till nästa är just detsamma som att lägga ytterligare en sten till den växande stenhögen.
Men hur många nya ord behöver vi? Jo, så många som vi kan tänka oss genom att ständigt addera ett till föregående samling. Men kan någon människa bemästra en närmast obegränsad följd av ljud-tecken och samtidigt komma ihåg vilken storlek som svarar mot varje talord?
Kanske sattes en dag en person vid ett pass med uppgiften att räkna antalet krigare som passerade. Anta att han använde fingrarna vid räknandet. När den tionde passerat hade han gjort en omgång med alla sina fingrar och lade en sten som representant för den första fullständiga tiogruppen. Och så gjorde han en omgång till, tills nästa tiogrupp passerat. En ny sten och så nästa: tio en, tio två, två-tio tre, och så vidare. På så vis får vårt talsystem sin rytm. Vilket normalt barn som helst kan efterhand uppfatta dess ”sångbarhet” och struktur.
Denna struktur är byggd på basen 10. I skolan fortsätter barnen ofta att räkna enheter även när de räknar vidare från 10 till 100. Plötsligt en dag ska de lära sig ”i minne” och ”måste låna” Barnen blir nu undervisade om att i 54 är femman 5 tiotal, medan fyran betyder 4 ental. Detta meddelande har inte mycket värde för barnen, om de inte får upptäcka dessa egenskaper på egen hand. Resultatet blir en besvärjelseteknik eftersom de unga barnen inte vet vad de gör när de ”för upp i minne”. Kommer liknande erfarenheter inte att påverka deras inställning till matematikämnet?
Laborativ materiel
sköns klossar ligger dammiga i skolskåpen beror i huvudsak på att lärare har glömt hur de ska användas. Handledningarna är otillräckli-ga. Föremålen måste komma i barnens händer så att läraren kan fånga upp barnens visualiserade tankar och själv utveckla sin konst att ställa nya frågor. Detta är exempel på ett diagnostiskt arbetssätt, som betyder att man i den dagliga verksamheten gör observationer av och anteckning om barns matematiska utveckling. Sådana anteck-ningar kan sammanställas till ett analysschema som kan användas som utgångspunkt vid utvecklingssamtalen med föräldrarna.
Förutom den ovan nämnda sternmaterielen är följande inte ovanliga i skolorna:
• Geobrädan (lanserad av Andrejs Dunkels) med olikfärgade gummiband i olika storlekar.
• Räkneväskan (Gudrun Malmer) med talblock i färg; talen är ordnade i par med två block för varje tal. Blocken belyser väl talens relationer samt dess jämna och udda egenskaper. • Räknestavar (Georges Cuisenaire) Tio olikfärgade stavar
utan talmarkeringar, så att varje stav ska kunna representera vilket tal som helst. För diskussioner av talens relationer. • Räknelappar (Anna Kruse) Arbete med talens egenskaper och
geometriska begrepp.
• Logiska block har fyra egenskaper: form, färg, storlek och tjocklek. Fyra geometriska former: rektangel, kvadrat, tri-angel och cirkel. Tre färger: blå, gul och röd.
De annars relativa egenskaperna storlek och tjocklek är här konstanta.
Att kvadraten är ett särfall bland rektanglar måste man här bortse från.
Grundidén är att alla de fyra egenskaperna hos blocken ska samspela.
Arbete med logiska block
Varje låda ska ha 48 sinsemellan olika block. Inget får fattas och inga dubbletter!
Avsluta därför alla arbetspass med någon insamlingslek som be-visar att inget block saknas. Med de minsta barnen kan man ta bort de tunna och får på så sätt ett 24-blocksspel.
Spelet utvecklades av professor Zoltan Dienes på 1950-talet. Un-gerska skolbarn fick en lågprisvariant i plast vid skolstarten. Med läroplan 69 gjordes i Sverige en storsatsning med blocken och mängdläran. Liksom vid alla matematiska nyheter skulle det lösa alla problem. Syftet var lovvärt: leka, samtala, sortera, rada upp, se mönster och klassificera, som betyder att först finna sammanförande egenskaper och sedan konstatera de särskiljande. Carl von Linné var historiens största klassificeringsmästare.
Att arbeta med logiska block är inget isolerat moment. Arbetet varvas med fördel med annat klassificeringsarbete. Till exempel med leksaker, stenar, pinnar, snäck- och musselskal eller frukter och löv i naturen. Den så kallade lövnyckeln tillhör detta arbetssätt. Här följer några förslag till övningar med såväl logiska block som med annat material.
1. Först bekantar sig barnen med blocken genom att leka fritt med dem.
2. Nästa steg är att barnen bygger något efter eget huvud och försöker berätta något om sitt bygge. Alla varianter kan an-vändas till beskrivningar och frågor. Diagnostiskt arbetssätt. 3. Lägg ut blocken i en rockring. ”Kim och Jim” går ut. Ett eller
flera block göms. När Kim och Jim kommer tillbaka diskute-rar de högt med varandra om hur de ska gå tillväga för att be-stämma de saknade blockens egenskaper. Alla andra kan lyssna till deras strategier.
4. Mönster och logiska tankar. Ett barn lägger tre i rad. Nästa barn fortsätter raden med tre till och förklarar sitt val. Sedan byter man att lägga först.
5. Åkern. Man bestämmer vilka egenskaper som ska växa på åkern, t.ex. stora och gula. Vilka och hur många ska växa på åkern? Nästa år t.ex. tunna kvadrater. Vilka? Och så vidare. 6. Icke – åkern. Alla som inte är röda eller små. Ju fler
egenska-per desto färre block.
7. Pararbete kring en mittlinje. Ett barn bygger en figur på ena sidan. Den andre bygger en så lik som möjligt på andra sidan. Symmetripoäng. Kan också göras rygg mot rygg.
8. Ögonbindel. Känn fram tre taktila egenskaper. Sortera. Jäm-för. Färgerna blir en slump.
9. Ormen I. Ett barn lägger ut ett valfritt block. Den andre lägger nästa och säger vilken egenskap som ändras. Endast en egen-skap. Alla andra ska vara desamma. Turas om.
10. Ormen II. Två egenskaper ändras för varje block och två ska alltså vara desamma.
11. Ormen III. Tre egenskaper ändras eller man kan säga att en enda behålles.
12. Ormen IV. Alla egenskaper ändras hos det följande blocket. Intressanta upptäckter.
13. Lägg ut sju i en rad och beskriv dem en och en så komplett som möjligt, även med ordningstal.
14. Göm ett block. Den andre får fråga högst sju gånger. Göm-maren får bara svara Ja/Nej.
Utvecklingsarbeten i kursen
Här följer några representativa utvecklingsarbeten från kurserna Matematik i förskolan, 5 poäng. Vid examinationen har det varit lika viktigt att se hur läraren utvecklats inom matematikdidaktiken som att se hur barnens begrepp utvecklats i samspel med deras idéflöde.
Texterna är här bearbetade för att göra dem mera tillgängliga för dem som inte sett dessa sex arbeten.
I Estetisk matematik
Droppens Förskoleklass. Bäckaskolan. Trelleborg. Förskollärare Marie Ivehorn Dahlqvist, april-maj 2002
Idé:
När vi i 5p-kursen talade om matematik som ett kreativt och estetiskt ämne, kändes det rätt att arbeta med barnen om detta. Logiska block och konstnären Paul Klee med hans färger, former och mönster i sina tavlor kändes mycket intressant.
Planering:
I mindre grupper: klassificeringslekar med logiska block: ”Åkern, Icke-åkern och Ormen”.
Samtal om blockens olika egenskaper: form, färg, storlek och tjocklek.
”Vad är lika och vad är olika?” Här uppmärksammas barnens idéer och kommentarer.
Barnen får mäta och dela papper utifrån mått som är kända för dem: tum, tvärhand och fot.
Bildskapande: Utgå från Paul Klees konst med olika rumsbe-grepp: punktlinje, öppna och slutna kurvor, se former och färger i bilden. Barnens förslag ska vara vägledande.
