Laborativ matematik i alla åldrar - (hur) är det möjligt?

Margarethaskolan Höstterminen 2005

Laborativ matematik i alla åldrar

- (hur) är det möjligt?!

Åke Isaksson

Handledare: Eva Riesbeck Linköpings Universitet

Innehåll

Sammanfattning Sidan 3

Problem och frågeställningar 3

Målgrupp och tillvägagångssätt 3

Utvärdering och uppföljning 4

Bakgrund 5

Syfte 5

Mål 5

Inledande elva exempel:

Triangeltalen 6

Magiska kvadrater 8

123 9

Hildas och Siris strategi 9

Greedy Pig 10

Elvaåringar räknar derivata 11

12345678910 = 100 13

Fullt ös (-regn) 15

Räkna på en trasig miniräknare 17

705 = SOL 17

Snigelvalla 18

Snurriga Möbiusband 18

Tänd på mönster 21

Gott om sockerkakor 22

Bygg ett torg 27

Ju fler kockar… 30 Sudokuvecka 33 Tallabyrinter 34 Räknesätt i par 36 Talkryss 39 Fyra fyror 42

Reflektioner och slutsatser 43

Litteraturlista 45

Laborativ matematik i alla åldrar

Projektet syftar till att utveckla ett laborativt och problemorienterat arbetssätt i matematik. Grunden ska utgöra skolår fyra till sex, men i förlängningen ska projektet generera en inspirationsbank som är användbar för pedagoger i alla stadier.

Problem och frågeställningar.

På Margarethaskolan arbetar vi med inspiration från Reggio Emilia-filosofin. Den innebär i korthet att synliggörandet av elevens lärprocesser alltid ska stå i centrum. Arbetet ska bedrivas utifrån tre grundtankar; • Att göra skillnader intressanta.

• En övergång från jag till vi genom förhandling. • Lärande i grupp som ett verktyg.

För att tillsammans med eleverna skapa kunskap har vi allt mer frigjort oss från läroböcker i matematik. Under de fyra år Margarethaskolan har funnits har matematikböckerna över gått från traditionellt dominerande läromedel till att bli referenslitteratur som plockas fram då eleven behöver fakta kring sin frågeställning. Jag vill utveckla en matematikkultur på vår skola där elevernas frågor utgör grunden till att den lokala arbetsplanens mål ska uppnås av alla. Jag hämtar inspiration från många artiklar i tidskiften Nämnaren och har också deltagit i en föreläsning kring Laborativ matematik under ledning av Per Berggren och Maria Lindroth. Utifrån deras bok På

G i matematik har jag vågat ta ett steg närmare ett matematikarbete som bygger på elevens frågor och tankar.

Nu vill jag skapa en inspirationsbank för att vi på Margarethaskolan ska kunna arbeta probleminriktat i all matematik; hela vägen från förskolan och upp till skolår nio. I dagarna har ännu en diskussion kring

matematikarbetets konservativa former blossat upp, inte minst tack vare matematikdelegationens betänkande Att

lyfta matematiken. Tyvärr stannar allt för mycket av de kloka uttalandena i tanken och allt för lite tycks hända i

praktiken. Nu har jag, som visas i den bifogade dokumentationen, påbörjat ett förändringsarbete, som har god potential att utvecklas till att inspirera till problemlösning i matematik i alla åldrar.

För att lyfta fram den stora potential som finns i idén kring en inspirationsbank har jag stöd i arbetet av min kollega Erika Björklund, matematiklärare i skolår 1-3, samt förskolan Solhattens pedagogiska ledare Kristina Mansfeldt. Detta ger mycket goda förutsättningar för att den idébank jag har som mål att utveckla, kan provas, förfinas och utvecklas i en daglig dialog bland pedagoger och barn i ett åldersspann från fyra till sexton år. Vidare har jag stöd för projektet att utveckla detta laborativa och problemorienterade arbetssätt, av Margarethaskolans rektor Yvonne Möller. Min frågeställning blir således… Hur ska jag, utifrån projektet i

skolår fyra till sex, forma en inspirationsbank som ger pedagoger i alla stadier mod att arbeta laborativt och problemorienterat?

Målgrupp och tillvägagångssätt

Projektet ska ses som en tvåstegsraket; det stipendium jag nu söker för att kunna avsätta tid till dokumentation och slutsatser baseras på ett arbete med laborativ och problemorienterad matematik i skolår fyra till sex. På Margarethaskolan innebär det att ett sextiotal elever kommer att ingå i projektet. Sannolikt kommer de under hösten 2005 att vara indelade i tre grupper, i vilka det vanligtvis finns flera skolår i varje. Undertecknad är matematiklärare för samtliga sextiotalet elever vilket ger goda förutsättningar att hitta förutsättningar att arbeta med matematik utifrån elevens frågor istället för en passiviserande lärobok.

I steg två, vilket genomförs tidigast under våren 2006, alltså utanför det sökta stipendiets huvudfråga, avser jag att sprida mina slutsatser till kollegor i hela vår Reggio Emilia-inspirerade verksamhet. Vi möts månatligen i ett ämnesråd vilket har som mål att utveckla matematiken på Margarethaskolan. Då förskolan tillsammans med skolan består av ungefär 200 barn är hela åldersspannet integrerat samtidigt som mängden personer är att betrakta som hanterbart många.

Projektet kommer att formas utifrån elevernas frågor med hjälp av en ständig dokumentation. För att smidigt kunna dokumentera lärprocesser har jag utvecklat ett formulär på vilket jag antecknar utifrån följande tre rubriceringar; eleven säger, eleven gör samt pedagogen tänker. Med penna och formuläret på en stabil skrivplatta nedtecknas tankar, diskussioner, kroppsspråk och annat många gånger per arbetspass. Stipendiets pengar ska sedan eliminera dokumentationens flaskhals, nämligen att bearbeta, analysera och renskriva observationerna. Här avser jag att arbeta noggrant med att analysera dokumentationen gentemot tankar före och

under arbetspassets gång. Jag ser att jag behöver fyra timmar per vecka för att nå målet att skapa den inspirationsbank jag redogjort för ovan.

Vidare har vi en modern videokamera till förfogande på Margarethaskolan, vilken i kombination med ett redigeringsprogram av hög klass gör att jag kan synliggöra processer i rörlig bild med syfte att komplettera inspirationsbanken.

Utvärdering och uppföljning

Som beskrivits ovan kommer projektet att generera en utveckling av matematikarbetet på hela

Margarethaskolan. Stipendiet kommer att ge förutsättningar att bygga upp en genomtänkt utformning av inspirationsbanken. Grunden till denna muras under projektets gång och eftersom arbetet redan har påbörjats om än i liten form, är förutsättningarna mycket goda att projektet ska fullföljas, även i sin andra fas.

En effekt som med stor sannolikhet uppkommer är att Margarethaskolans moderna arbetsform kring ett årslångt tema kommer att bli mer matematikintegrerat än hittills. Det laborativa och problemorienterade arbetssättet ligger helt i linje med mål och syften som vi formar i temaarbetet. Vidare är elevgruppen mycket van vid ett lärande som sker i ständig dialog mellan elever och pedagoger genomsyrad av en äkta nyfikenhet. Detta talar för att en positiv attityd kommer att finnas i elevgruppen inför projektet. Denna attityd har redan i den lilla början som gjorts framkommit med stor tydlighet. Likaså uttalar en klar majoritet av föräldrarna en stor förståelse för de nya arbetsformerna.

Vänliga hälsningar Knivsta 2004-10-25

Se ansökan ovan samt de inledande elva exemplen.

I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, Lpo- 94, kan vi under rubriken Mål och riktlinjer hitta mycket stöd för ett laborativt arbetssätt:

Skolan skall bidra till elevernas harmoniska utveckling. Utforskande, nyfikenhet och lust att lära skall utgöra en grund för undervisningen. Lärarna skall sträva efter att i undervisningen balansera och integrera kunskaper i sina olika former.

Mål att sträva mot

Skolan skall sträva efter att varje elev • utvecklar nyfikenhet och lust att lära, • utvecklar sitt eget sätt att lära, • utvecklar tillit till sin egen förmåga,

• känner trygghet och lär sig att ta hänsyn och visa respekt i samspel med andra,

• lär sig att utforska, lära och arbeta både självständigt och tillsammans med andra,

• befäster en vana att självständigt formulera ståndpunkter grundade på såväl kunskaper som förnuftsmässiga och etiska överväganden,

• lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina

kunskaper som redskap för att

- formulera och pröva antaganden och lösa problem, - reflektera över erfarenheter och

- kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden.

Lpo-94 s.13-14.

Kursplanen i matematik ger följande stöd för arbetet med laborativ matematik:

• Matematiken är en viktig del av vår kultur och utbildningen skall ge eleven insikt i ämnets historiska utveckling, betydelse och roll i vårt samhälle. Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Den skall också ge eleven möjlighet att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva den tillfredsställelse och glädje som ligger i att kunna förstå och lösa problem.

• Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.

• Skolan ska sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.

• För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar.

• Att arbetet under modulen ska ha ett gemensamt fokus.

• Att alla inte kan nå lika långt, men att alla ska nå så långt de kan.

• Eleven ska känna att hon lyckas.

• Eleven ska, när hon löst ett problem, ges möjlighet att pröva vunna erfarenheter på en högre nivå. • Eleven ska delta i en analyserande och utvärderande diskussion efter problemlösningen.

Föreställ dig en triangel skapad av nio mindre cirklar, fördelade så att varje sida kan sägas innehålla fyra cirklar, då hörncirklarna förenar två sidor vardera. Uppgiften blir att placera in talen 1-9 i cirklarna, ett i varje cirkel, på ett sådant sätt att summan längs varje sida blir 20. Varje tal få användas endast en gång.

Vad kan vi anta kommer att hända om vi ger eleverna detta problem? Sannolikt kommer vi efter en stund finna tre typer av grupperingar:

1. De elever som löst problemet.

2. De elever som ännu inte löst problemet men sannolikt kommer att göra det om de får mer tid på sig. 3. De elever som inte kommer att lösa problemet hur lång tid de än får på sig.

I den första gruppen kan finnas elever som upplever problemet som för enkelt, men detta behöver vi inte grubbla länge på. I den tredje gruppen finns de elever som tyckte problemet var för svårt. Hur ska pedagogen möta den uppkomna situationen – vilka möjligheter finns? En är att ge de elever som inte löst problemet mer tid, men det hjälper bara eleverna i grupp 2 ovan. Eleverna i den första gruppen frågar efter fler problem, medan eleverna i den tredje gruppen förstärker sin känsla av otillräcklighet.

En strategi skulle kunna vara att ge eleverna i grupp 1 ett helt nytt problem och strategin skulle då bygga på att vi hade så många problem att ingen elev någonsin blev utan. Detta är sannolikt inte framgångsrikt; det nya

problemet medför ytterligare grupperingar, eftersom man inte kan utgå från att alla som får det problemet löser detta lika snabbt. Vidare måste pedagogen fråga sig hur han ska knyta samman allt när arbetet ska utvärderas och analyseras.

En annan lösning skulle kunna vara att ge varje elev problem som är avpassade till just hennes nivå. Frågan är bara hur pedagogen ska kunna göra välavvägda val innan han har en uppfattning om var och ens förmåga att lösa problem. Vidare kommer frågan åter hur pedagogen ska knyta samman allt i den efterföljande diskussionen. Sannolikt minskar också möjligheterna till samarbete om eleverna ställs inför skilda problem.

Resonemanget leder till att vi måste hitta en annan strategi för att lyckas. Då ett av arbetets mål är att varje elev ska känna att hon lyckas måste vi börja i ett problem som vi bedömer tillräckligt lätt för alla. Här kan en triangeluppgift med endast sex cirklar vara ett bra utgångsläge. I den ska siffrorna 1-6 placeras ut med summan 11 på varje sida. Följdfrågan blir nu hur pedagogen agerar då en elev som löst problemet önskar få ett nytt. Eftersom problemet kring triangeln med nio cirklar påminner om det lättare startproblemet vore detta kanske en lämplig fortsättning. Pedagogen måste dock fråga sig om eleven dragit några väsentliga lärdomar av det lättare problemet och därmed har ökat sina förutsättningar att klara det svårare problemet.

Kanske är lösningen på startproblemet endast en frukt av en gissning. I sådana fall är gapet väl stort till triangeln med nio cirklar. Pedagogen kan dock vara säker på att eleven känner en trygghet av att ha lyckats och att eleven har en önskan att nyttja erfarenheterna i liknande situationer. Poängen blir nu att vi, genom att bli kvar i samma situation, bevarar elevens känsla av att ha lyckats. Förmodligen behåller vi ett bättre fokus om vi istället för att presentera den nya triangeln behåller den lättare. Pedagogen kan uppmana eleven att placera ut de sex talen så att summan av varje sida blir 10 istället. Kanske ingen större utmaning men en nyfikenhet kommer att infinna sig;

går det?! När eleven så har lyckats ser hon att nya vägar har öppnats.

Antingen skapar eleven nu nya frågeställningar själv, vilket stämmer väl överens med inspirationen från Reggio Emilia, och skriver ner dem, eller också bjuder pedagogen in till utmaningar;

• Kan du placera ut talen så att du får en ännu mindre summa per sida? • Vilken är den minsta summan du kan få ut per sida?

• Kan du placera ut talen så att du får en större summa än 11 längs var sida? • Finns det i så fall mer än en kombinationsmöjlighet i fallet med 11 per sida? • ….

• ….

Visa med text och figur att dina resonemang stämmer!

Hur har eleverna grupperat sig i detta läge? Troligtvis arbetar fortfarande några elever med startproblemet och det ska de få god tid på sig till. De elever som önskat utmaningar har fått det, men det är här poängen kommer igen; alla elevers arbete har kretsat kring samman grundproblem. Detta ger pedagogen goda förutsättningar för att leda en diskussion efteråt. Kanske har några elever tillåtits att nosa på problemet med nio cirklar, men det kan vi tryggt lämna ut då det vilar på samma grundidé, som för deras del är väl underbyggd vid detta lag. Den

gemensamma idén i detta triangeldrama hänger ihop med att summan av de tal man har till förfogande är 21, medan varje sida ska bli 11 i startproblemet. detta ger oss en skillnad mellan 33 (11*3) och 21 som är 12. Varifrån ska vi då få dessa 12? Tänk på hörnens dubbelroller!

Nu behöver inte problemlösning alltid utgå från en gemensam uppgift så påtagligt som visats ovan. Istället kan en lösningsstrategi vara den gemensamma idén. Om eleven får en strategi tillämpad på flera olika problem, ökar förutsättningarna för att eleven ska se strategins fördelar avsevärt. Exempelvis kan strategin att rita en figur utgöra den gemensamma idén. Här kan då flera väl valda uppgifter på olika svårighetsnivå utgöra grunden, men ändock leda fram till den gemensamma diskussionen efteråt.

Nackdelen med många av de problem vi finner i böcker är att de oftast består av en enda frågeställning. Ta då tag i problemet och fundera likt exemplet med triangeltalen ut differentierande frågeställningar. Kanhända bedömer du problemet som allt för svårt för att passa alla elever. Då skapar du ett enklare problem, men det ska bygga på samma idé! Även detta enklare problem bör då kunna följas av flera nya problemställningar utifrån den avklarade uppgiften. Här har vi förvisso två huvudproblem, men de vilar på en gemensam grund och kan då framgångsrikt förenas i samtal och diskussioner.

Låt oss åter titta på läroplanens stöd för detta sätt att arbeta problemorienterat.

Skolan ska sträva efter att varje elev… lär sig att använda sina kunskaper som redskap för att

- formulera och pröva antaganden och lösa problem

- reflektera över erfarenheter och

- kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden.

Lpo-94 s.14

I klassrummet faller eleverna väl in i de två första typerna av grupperingar som förutspåddes; utifrån resonemanget tidigare tillåts inte nivån på grundproblemet vara svårare än att alla elever ska klara det. I triangelproblemet innebär det att alla elever har startat med triangeln bestående av sex cirklar. Detta leder i sin tur till att måluppfyllelsen hittills är god; alla har lyckats, alla som så har behövt har givits möjlighet att pröva vunna erfarenheter på en högre nivå. Vidare avsätts en god stund i slutet av varje modul till att sammanfatta och locka till nya frågeställningar. Således har också det tredje målet att eleven ska delta i en analyserande och utvärderande diskussion efter problemlösningen också rotts i land i denna inledande fas. En icke förväntad effekt av de analyserande samtalen har blivit att en mindre grupp elever inte kan eller vill gå på rast; de brottas med de nya frågor som utvärderingen har givit dem. Det ska också erkännas att pedagogen slukas av de ofta avancerade frågor de tar sig an; ärligt talat blir jag på djupet nyfiken och har det gemensamt med eleverna att jag inte gillar att lämna frågor obesvarade.

Pedagogen dokumenterar arbetet med triangeltalen så fort möjlighet finns; rollen är då att vara likt en fluga på väggen, vilket inte alltid är så lätt varken för pedagog eller elev; vi drivs ju av samma äkta nyfikenhet kring de matematiska problemställningarna. Nedan presenteras delar av arbetet kring trianglarna från en grupp bestående av Jacob, Felicia, Elin M, Siri, Emma och Hilda. (Elever från skolår 5, 6 och 7).

- Det vore spännande att prova den högsta (summan per sida) som går… då borde vi ha 7, 8 och 9 i hörnen, säger Felicia i arbete med en triangel bestående av nio positioner totalt. Hon tittar tillbaka i sina anteckningar kring triangeln med sex positioner. Pedagogen gläds åt att processen synliggörs – det var alltså ett riktigt beslut att börja med den mindre triangeln även för elever som har lätt för matematik.

- Ja, det minsta vi kan få (på en sida) är nio plus ett plus två plus tre, konstaterar Hilda på ett matematiskt korrekt vis. Siri som sitter bredvid tvekar, men tycks ändock acceptera Hildas resonemang, kanske i brist på annat…

- Vad hade ni som mest med fyra i rad, frågar Erik som har kommit in i gruppens resonemang. Han diskuterar siffran nios placering med Felicia och pedagoger ser att hörnpositionernas viktighet börjar synliggöras bland annat dessa två elever.

- Vi har 23, svarar Felicia, utan att tyckas tänka på att hemlighålla något eller vilseleda Erik. - Jag har 18 per sida, ropar Hilda strax där efter. Eleverna inbjuder hela tiden varandra i sina

resonemang och snart finner någon att Hilda har två fyror i sin triangel, men ingen gör detta till ett problem. Istället korrigeras det lilla misstaget och Felicia resonerar vidare;

- Det borde finnas ett samband mellan den lilla och den stora triangeln. Bevisligen är Felicia alltså kvar i det jämförande tänkandet och försöker dra slutsatser därur.

- På den lilla triangeln var den högsta möjliga summan jämn och då borde den vara det även på den stora, för båda har en ojämn summa som lägst (Nio respektive 17), tänker Felicia samtidigt som hon fokuserat söker vidare.

Pedagogen njuter av det flöde av huvudräkning som hörs likt ett sorl i Labbet. Det är fascinerande att eleverna kan slukas av en problemformulering som skulle kunna klassas som meningslös och världsfrånvänd! Lek med tanken att ett arbetsblad fyllt av tjugokamrater och annat hade lagts fram till eleven för att öva de grundläggande sifferkombinationerna; sannolikt hade mer än en elev tappat lusten illa kvickt, men med problemlösningen sker detta inte alls. Låt oss se hur vi kan hitta så många infallsvinklar som möjligt för att göra även det mest grundläggande utmanande och lustfyllt för så många som möjligt.

Under dokumentationstillfället slås pedagogen av det språk som lever bland eleverna; de formar ord som sannolikt aldrig har existerat tidigare, men när behov av nya ord finns så skapas de. Det känns som Fredrik Lindström i TV-programmet Värsta språket skulle ha jublat om han varit med oss i detta arbete. Låt mig kort exemplifiera:

- Har ni klarat någon tolvtriangel, frågar Felicia Pontus och Teodor i slutet av arbetspasset. - Finns det en sådan, replikerar de frågande.

- Ja, det är en med fem siffror per sida, svarar Felicia. Här har alltså eleverna skapat en terminologi för att de olika trianglarna lätt ska kunna skiljas från varandra. Den mindre benämns, för eleverna helt naturligt, niotriangeln och den minsta för det i vuxna öron tolkningsbara ordet sextriangeln.

Vid ett senare tillfälle kommer pedagogen på sig själv att ha format ett nytt ord:

- Vad har tolvtriangeln för hörnsumma, frågar han Felicia och Julia som sitter vid samma bord. - Den har hörnsumman femton, svarar Felicia, utan att reflektera kring det ord hon sannolikt

aldrig använt förut; hörnsumma. Vilken person utanför detta projekt skulle förstå ordet hörnsumma? Förmodligen ingen, men för oss som är involverade är betydelsen solklar för den handlar om hur mycket de tre hörnpositionerna ska vara värda tillsammans för att problemet i fråga ska vara lösligt!

Arbetet med trianglarna skulle nog kunna fortsätta mycket länge, men pedagogen ser att elever på vissa håll börjar tappa intresset. Därför väljer han att rikta fokus på ett nytt problem den följande veckan…

Nu ska magiska kvadrater få fascinera och inspirera. Dessa har, till skillnad från trianglarna, en sann historia bakom sig; mycket av de magiska kvadraterna kan knytas till det gamla Kina och tecken så som Yin och Yang kan utläsas ur dem på flera vis. Pedagogen hämtar mycket inspiration från tidskiften Nämnaren som utges av Göteborgs universitet. Vidare ger litteratur med tankelekar och dylikt infallsvinklar som öppnar upp. Dock kopieras inga idéer rakt av – problemformuleringen sätts in i vårt sammanhang på Margarethaskolan, vägs och värderas innan den utgör grunden för ytterligare några spännande arbetspass tillsammans. Upplägget med att gå från trianglar till kvadrater ger sannolikt eleven en känsla av nystart men egentligen handlar även denna problemställning om att bli säker på de grundläggande additions- och subtraktionsuträkningarna.

Under arbetet med att definiera kvadratens totala summa ser pedagogen att många elever saknar eller har glömt de verktyg vi tidigare implementerade. Exempelvis räknar en elev fel på en extra uppgift trots att han annars har lätt för matematik. Hans uppgift blir att räkna ut arean på den kvadrat med sexton rutor han skapat och snart ska ta sig ann att lösa. Han mäter upp längden och bredden till 12 cm vardera och multiplicerar dem, vilket så långt är en riktig strategi. Dock blir svaret på 12 * 12 för hans del 104 och han nöjer sig tyvärr med etta felaktiga svar. Vid ett närmare samtal motiverar han sin uträkning som att 10 * 10 är 100 och 2 * 2 är 4. Detta ger pedagogen huvudbry. Slutsatsen blir, efter närmare efterspaning, att fler elever som likt den nämnde eleven har använt mellanled tidigare inte längre gör det. Några använder den mycket minneskrävande strategin att tänka

multiplikation som upprepad addition, vilket inte kan anses som hållbart särskilt länge. Detta får kort utgöra ett exempel på hur den laborativa matematiken vägleder och ger insyn i lärprocesser på ett mycket djupare sätt än vad exempelvis traditionella prov skulle gjort.

Kyle (skolår6) har i sin hemuppgift gjort en bonusfråga som han själv har bearbetat hemma och nu vill delge kamraterna; På hur många olika sätt kan du kombinera siffrorna 1 och 2 och 3? Arbetet sätter snart igång och i rummet hörs ett matematiskt samtalande kring infallsvinklar och strategier. Några elever väljer att arbeta själva, vilket självfallet inte är förbjudet. Ett spännande exempel är att uppgiften blir till sådan inspiration för Adele (skolår5) att hennes sifferflöde över sidan blir konstnärligt vackert. Hennes arbete kopieras och förstoras upp från A5 till A3-format och hon ägnar resterande halvtimmen till att färgsätta mellanrummen mellan raderna av siffror och arbetet synliggörs sedan på dörren in till Labbet. Hennes arbete är egentligen inte matematiskt korrekt, men pedagogen gläds åt att ingen elev kommenterar detta utan istället berömmer arbetets estetik. Pedagogen ser snart några elever som inte ser inspirerade ut; Stefan och Fritjof (skolår6) behöver genast utmanas på en högre nivå, men inom samma problemområde. De uppmanas att söka antalet möjliga kombinationer med fem ingående siffror i stället för utgångslägets tre. De antar rakryggade utmaningen och arbetar koncentrerat en stund. Snart inser de dock att de har nytta av att veta antalet möjliga kombinationer med tre respektive fyra siffror för att mer rationellt kunna beräkna antalet kombinationer med fem siffror.

Tove (skolår6) är en av de elever som väljer att arbeta själv. Hon finner snart, likt Stefan och Fritjof, att man kan dra vissa slutsatser av nivån under den man för tillfället bearbetar; hon ser att de 24 kombinationer som finns med fyra siffror bör multipliceras med fem för att få antalet kombinationer på den nya femsiffriga nivån. Detta är matematiskt korrekt och därmed blir dessa elever de första som systematiserar problemet på en sådan nivå att de snart kan generalisera kunskaperna i en formel.

En iakttagelse som ger pedagogen huvudbry blandat med eftertanke är att mycket få elever relaterar

problemställningen till den i diagnosen ingående uppgiften kring regnbågens fyra färger. Amanda (skolår 4) och Felicia (skolår 5) är dock två elever som försöker se likheter, vilket pedagogen ska stimulera dem att synliggöra än mer tydligt nästkommande arbetspass.

Trots detta bakslag tappar inte pedagogen riktningen; arbetet med Problemlösning med magiska inslag ska bestå. Därav kommer de närmaste kommande problemen att kretsa kring multiplikation, då det är där svagheter har observerats som beskrevs ovan. Magin kommer dock att finnas kvar då pedagogen i en gåtbok finner flera uppgifter som innehåller möjligheter till flera nivåer av multiplikationsalgoritmer men samtidigt flödar av estetik och fascination när svaren väl växer fram.

!

"#$

Vid ett bord i Mellanrummet sitter Hilda (skolår 6) och Siri (skolår 5). Pedagogen sätter sig vid dem och ser till sin stora glädje att de håller på att utveckla och förtydliga mulitplikationsalgoritmen på sitt egna vis; istället för de ofta förvirrande minnessiffrorna väljer de att skriva hela produkten på en gång. Entalssiffrorna 6 och 8 multipliceras korrekt men de väljer att skriva hela produkten 48 under strecket - således behövs inte

minnessiffran, vilken ofta ställer till med osäkerhet av typen är det fyran eller åttan som ska vara minnessiffra? I nästa steg tar flickorna tiotalssiffran 7, och multiplicerar med faktorn 6. I detta läge börjar de till pedagogens glädje inte att sudda fyran från 48 utan skriver istället 420 under 48 placerade i rätt positioner. Slutligen utför de multiplikationen med hundratalssiffran och avslutar sedan med att addera de tre termerna till ett slutgiltigt svar på multiplikationen. Idén kan med all tydlighet förklaras då pedagogen testar dem med några avsiktligt felaktiga påståenden. De går inte i någon fälla och Hilda blir sedan tillfrågad om hon vill presentera strategin för övriga elever i gruppen, vilken hon efter lite tvekan vill.

Efter ett tydligt genomfört exempel väcker någon elev frågan om denna strategi fungerar även med flera flersiffriga faktorer. Viss tvekan uppstår men snart är diskussionen igång kring uppgifter av typen 31468 * 12. Hypotesen att det borde fungera bevisas och eleverna ser skickligt att då tiotalssiffran ska adderas med den andra faktorns entalssiffra blir den tio gånger större. De gör heller inte fel då de båda tiotalssiffrorna ska adderas. Visst är det lite mer att skriva konstaterar någon, men det var mycket lättare att göra rätt! Redan dagen efter

presenterar pedagogen tankesättet i en annan grupp och den går då under arbetsnamnet Hildas och Siris strategi, med en kort referens till arbetet som de två så framgångsrikt genomfört.

För de elever som behöver en än tydligare strategi presenterar pedagogen ett vågrätt sätt att räkna till skillnad från de två hittills beskrivna. Med mellanled börjar eleven med att multiplicera den ensiffriga faktorn med hundratalssiffran och skriver vad den operationen ger för svar. Sedan utförs beräkningen med tiotalssiffran och

det svaret adderas till hundratalssiffrans svar. Slutligen utförs multiplikationen med entalssiffran och sedan återstår bara att addera de tre svaren för att nå fram till uppgiftens slutliga lösning. Ett exempel:

123 * 4 = 400 + 80 + 12 = 492. Som på kommando tycks nu många elever välja sin favoritstrategi och ingen kommenterar att den ena strategin skulle vara bättre eller sämre än någon av de andra. Alla elever räknar sedan egna utformade uppgifter en god stund. De ombeds också att innan beräkningarna påbörjas ställa en hypotes kring lösningens ungefärliga nivå. Elin O (skolår 6) tycks genast ha hittat en strategi som passar henne medan hennes arbetskompis Ronja (också skolår 6) till en börjar trevar med den traditionella uppställningen. Hon tvekar och uttrycker i sina frågor till pedagogen en osäkerhet kring just minnessiffrans roll och värde i olika

sammanhang. Istället övergår hon snart till Hildas och Siris strategi och skördar genast framgång i form av rimliga svar utifrån hypotesen och en betydligt större glädje i arbetet.

Nu är eleven sannolikt så pass stabil i multiplikationstankarna att pedagogen lyfter fram ett av strävansmålen i matematik på våning två, nämligen att arbeta med flera flersiffriga faktorer. Detta har bara ytligt exemplifierats tidigare och behöver befästas hos många elever. Efter ett visst sökande i litteratur på relativt hög nivå finner pedagogen en, utifrån målen, lockande problemställning. I detta problem måste eleven vara observant på flera skeenden samtidigt och magin är inte alls lika lättfångad som i de två tidigare problemställningarna. Självfallet ska även här uträkning finnas för varje uppgift, och ärligt talat är det relativt svårt att lösa fler än den första uppgiften i huvudet. Dock kan en elev med matematisk blick finna andra vägar än multiplikationsalgoritmen för att nå svaren. Faktorerna är så nära avsevärt jämnare tal, exempelvis 100 *100 i den andra uppgiften. Eleverna har verktyget Kolla nollan med sig sen förra året och kanske finner någon det lättare att utgå från 10 000 för att sedan ta bort 100 och sedan 99 till. Inte enkelt men användbart. Även om ingen elev väljer denna strategi avser pedagogen att ventilera alternativet i de analyserande och utvärderande diskussionerna.

% &

'

(

" "

)

I detta skede har pedagogen förmånen att deltaga i en föreläsning av Per Berggren och Maria Lindroth kring

Laborativ matematik. Många av infallsvinklarna från föreläsarna känns närmast som ett bekräftande för att

Projekt problemlösning är på helt rätt väg. En härlig tanke börjar efter förläsningen växa fram i pedagogens huvud – att skapa en symbios av deras framgångsrika arbete utan läromedel i grundskolans senare del med mina försök att skapa ett arbete i en hel grupp som har ett gemensamt fokus där elevens frågor utgör grunden. Troligtvis finns ytterst få skillnader idéerna emellan. Istället ser jag att en symbios gör att arbetet mer och mer kan anta en tydlig projektform. I ett framtidsscenario ser jag framför mig att handledningar lika djuplodande som den kring arbetet med de magiska trianglarna tidigare ska ge pedagoger modet att arbeta utan traditionella läromedel utan att känna en vanmakt kring att inte ha greppet om vad och om eleven tillgodogör sig en matematisk utveckling.

Med än mer råg i ryggen kommer pedagogen så åter till skolan än mer fylld av tankar och idéer. Det sista föreläsarna sade var att vi nu skulle hem och prova det vi fastnat för. Efter att ha återgett föreläsningens tankar för elevgruppen provar vi en laboration som kallas Giriga grisen. Dess syfte är att introducera sannolikhet i kombination med statistik i olika former. Sällan har ett arbetspass i matematik satt så tydliga spår i oss alla som denna laboration kom att göra. Pedagogen har stålsatt sig att undvika ordet lek till förmån för ordet laboration vilket visar på en avsevärt mer professionell syn på lärandet hos eleven. I och med föreläsningen och Giriga grisen har en ny stig har uppenbarat sig, vilket gör att pedagogen väljer att lägga ett tänkt arbetsmoment åt sidan en tid – inte som en förlust utan för att det är avgörande att ledaren brinner för arbetet om målen i Projekt problemlösning ska uppnås. Här följer en del av en spännande stund:

Giriga Grisen, eller som någon sa: Griniga grisen! En ganska träffande felsägning! Om du vill uppleva det mest laddade och kampfyllda matematikarbetspasset i ditt liv ska du absolut genomföra laborationen Greedy Pig! Utgångsläget är att alla deltagare står upp i en ring. Man ska dock ha en stol bakom sig för i ett visst läge väljer någon att sätta sig. En vanlig sexsidig tärning, gärna ganska stor, kastas på golvet mitt i ringen. Varje deltagare inkassera nu det antal poäng som tärningens ögon visar. Så långt är allt frid och fröjd…

Ledaren presenterar nu att tärningen har en mördarsiffra på sig. Det spelar ingen roll vilket tal man väljer i detta läge, men många frågor brukar uppkomma spontant. Är det sämre med mördarsiffran sex än ett? Är risken större att jag förlorar om… Dokumentera dessa frågor för de ger sannolikt spännande uppslag till nya frågor och vidare laborationer.

Eleven kan nu välja att sätta sig. Det innebär också att de insamlade poängen sätts in på banken. Vi skapar ofta en enkel tabell med exempelvis fem rutor i en kolumn där summan av poängen räknas samman efter fem omgångar. De elever som väljer att stå kvar har naturligtvis stora chanser att inkassera fler poäng, men de

utsätter sig också för risken att den fastställda mördarsiffran dyker upp. Om så är fallet tvingas alla stående att notera noll poäng i sin tabell, vilket brukar ske mycket moloket och tyst.

Omgångens vinnare är således den eller de elever som lyckas sätta sig kastet innan mördarsiffran dyker upp. Likheten med aktiehandeln på Stockholmsbörsen är inte långt borta. Fördjupningen brukar innebära att eleven får i hemuppgift att skriva ner en strategi inför nästa arbetspass. Jag ska stå till 25, Jag sätter mig när Lovisa gör

det eller jag står upp i tre kast. Niklas gick aningen irriterad iväg från en omgång där han spelat väl högt. Tyst

men ändock hörbart slängde han ur sig kommentaren som utgör laborationens rubrik ovan.

*

+

"

"

)

Nästa laboration kretsar kring begreppet volym: Area och volym utifrån papper 24 *24 cm. Bottenarean är utgångsläget, maximal volym nästa steg. Klipp med flikar och klistra. Visionen är att använda askarna och kunskapen i boktryckarprojektet! Enheter jämförs och potenssiffrans information synliggörs; cm2 _{berättar om}

tvåriktningar medan cm3 _{berättar om att tre riktningar är involverade. Levandegör orden kvadratcentimeter eller}

meter samt kubikcentimeter eller meter noga. Tabell och formel skapas vilket leder till ett behov av att grafiskt åskådliggöra närmandet av gränsvärdet, en derivering har snart utförts i skolår fem och sex! Så långt hypoteser och förutsättningar. Nu till några bilder ur arbetet!

Eleverna ges några regler som var och en skriver ner. En förväntansfull stämning finns i rummet; otroligt härlig känsla för pedagogen med elever som suktar efter att komma igång. Dock måste ramarna vara tydliga för att vi inte ska fastna i detaljdiskussioner av icke matematisk karaktär.

• Skapa en låda utan lock • Botten ska vara kvadratisk • Lådan ska tåla att fyllas med ris.

Alla elever ska också skissa för att pedagogen ska se att de förstått förutsättningarna och för att eleven ska nyttja sina kunskaper från skisskursen i Leonardoprojektet.

I en av de spontana grupper som bildas ingår Isac, Niklas och Daniel M. Pedagogen dokumenterar i dess närhet men som så ofta tidigare känner han en svår balansgång mellan att lyssna och att deltaga aktivt. Övning ger som bekant färdighet, men mer än en gång har pedagogen fallit in i de spännande samtalen som förs eleverna emellan. I dessa lägen kan man inte samtidigt dokumentera utan då skrivs huvuddragen i flödet ner för att ändock ge arbetet ett synliggörande och för att, som alltid, kunna utnyttja dokumentationen till att ta nästa steg. Dokumentationen behöver således alls inte alltid vara fylld av direkta fraser, utan ibland kan ett aktivt deltagande ge minst lika god och djup insyn och förståelse.

- Volym är det gånger det gånger det, säger Isac till kamraterna och visar friskt pekande på de tre dimensioner som helt riktigt ingår i volymbegreppet. Isac har bevisligen en mycket bra förförståelse vilket leder till att pedagogen beslutar sig för att rikta mer fördjupade frågor till honom framledes. Daniel och Niklas tycks inte acceptera hela resonemanget men snart presenterar Niklas sin tro på hur en volym beräknas;

- Är det inte omkretsen på den här, inleder han och visar på bottnen av sin vikta låda och fortsätter, gånger den här, och visar på lådans höjd. Även Niklas har en god grund kring volymbegreppet, men pedagogen ser en viss risk för hopblandning av omkrets respektive area. Dock bevisar Niklas senare i diskussionen att det inte var en grundläggande brist i hans förståelse, utan istället visar han att han menar som Isac men närmast råkade använda ordet omkrets när han påvisade tankarna kring bottnens area.

- Undrar om det är säkrast att göra den (lådan) så hög som möjligt… tänker Isac högt för sig själv.

Charlie faller in i samtalet då han har vägen förbi. Hans tankar tillförs diskussionen och han berättar gestikulerande:

- Jag tänkte att det är bättre att ha en stor botten och låga kanter, annars går det för fort upp om botten är liten. Sannolikt ser han att varje varv av kubikcentimetrar blir väldigt litet med en minimal bottenyta. Han kommer snart att göra ytterligare en låda för att skapa sig konkret jämförelseobjekt. Klok att söka sanningen i verkligheten, vilket många elever gör; de ställer sin lådor i varandras och jämför bottenytor och höjder med ögonmått och med linjaler.

Också Jacob kommer in i samtalet. Isac ser storögt på Jacobs och Charlies olika lådor. Han tycks knappt tro sina ögon, så olika är deras lådor, trots exakt samma utgångsläge:

- Är det där och det där samma papper från början!?

Snart räknar Isac och Jacob intensivt på volymer utifrån sina kunskaper; Jacob har precis som Isac helt klart för sig att volym beräknas som längd gånger bredd gånger höjd. Jacob har dock problem med mätvärdet för sin lådas höjd; linjalen är bökig att få in bra på lådans insida. Han tycks inte tänka på möjligheten att mäta samma värde betydligt enklare på lådas utsida. Senare under arbetet uppkommer en diskussion mellan Jacob och pedagogen kring en differens på över 5 millimeter gällande sidans höjd på totalt 3 centimeter. Till slut inser Jacob att linjalens gradering inte börjar på noll vid dess kant. Istället är verktyget så dumt konstruerat att det har en ograderad bit i kanten, kanske för att hela talet noll ska synas tydligt i trycket, men till stort förtret för den som vill mäta ett invändigt mått. Till nästa arbetspass bestämmer sig pedagogen för att fråga Jacob, som trivs med handens arbete, att såga av de dumma tomrummen på våningens trälinjaler…

Niklas fortsätter att testa sina förkunskaper kring volym:

- Ska vi göra måttet i deciliter eller kubik? Och förresten… hur stor är en hektar i kilometer… Även Marcus ansluter till den nu ganska stora gruppen runt Isac, Niklas och Daniel. Marcus låda är mycket stabilt konstruerad, sannolikt för att hålla för at fyllas med ris, men också för att Marcus likt flera andra elever har vikt pappersfigurer tidigare och inte tycks se stor volym som det primära. Priset för en stabil konstruktion är att volymen inte blir särskilt stor. Pedagogen gläds åt att ingen kommenterar Marcus i sammanhanget lilla låda på något negativt eller retfullt sätt. Istället säger Charlie spontant: - Den lådan är nog väldigt hållbar!

Elin M har likt Isac och Jacob grepp om volymberäkningens kärna; längd gånger bredd gånger höjd. Hon gör uträkningen av volymen på sin låda i två steg. Först beräknas bottenarean med uppställning genom att multiplicera 9 med 8,5. Hon tycks inte ta någon notis om att regeln kring en kvadratisk botten har frångåtts något, men pedagogen stoppar inte hennes flöde med någon plump detaljkommentar, utan ser istället att hon beräknat arean helt korrekt till 76,5. I och för sig utan enhetsangivelse men också det förbises av pedagogen med syftet inte hindra Elins äkta undran. Den kretsar kring nästa steg i uträkningen; 76,5 har multiplicerats med höjden 4,2 cm. Med verktyget uppställning har Elin nu siffrorna 32130 framför sig och hennes förvirring ligger i att hon är osäker på var decimaltecknet ska placeras. Detta är en mycket vanlig förvirring då elever arbetar i läroböcker som ofta saknar kontext, men i detta fall kan pedagogen snabbt knyta till ett av våningens mål; att kunna räkna ut Ungefär. Elin tar då och räknar ut 80 * 2 till 160 som hon sedan dubblar till 320. Efter den ledtråden finnes ingen tvekan hos Elin kring var decimaltecknet ska placeras!

Efter denna laboration kring volym väljer pedagogen att för första gången ordentligt släppa in alla tre grupperna, det vill säga alla våningens elever med ett och samma fokus. Hittills har detta bara skett sporadiskt under terminen men nu finns två argument kring varför det kan vara en bra tidpunkt.

• Eleverna i den vita och den blå gruppen frågar efter det som den gula gruppen gör, vilket är en mycket bra startposition.

• Pedagogen känner sig tryggare i arbetet kring laborationer och ser nu inga hinder att våga öppna upp även för de grupper som är mindre homogena än den gula.

Självfallet gäller samma mål och syften som tidigare under höstens laborationer i Projekt problemlösning. Här kommer de igen för att ingen ska tveka om projektets riktning.

• Att arbetet under modulen ska ha ett gemensamt fokus.

• Att alla inte kan nå lika långt, men att alla ska nå så långt de kan.

• Eleven ska känna att hon lyckas.

• Eleven ska, när hon löst ett problem, ges möjlighet att pröva vunna erfarenheter på en högre nivå. • Eleven ska delta i en analyserande och utvärderande diskussion efter problemlösningen.

,

% * , - . / 0 //

Vi tar ännu en gång avstamp i en laboration som likaväl kunde vara en trevlighetsskapande lek på ett kalas eller ett bröllop. Problemställningen utgörs från början av en uppmaning att av siffrorna 1 till 10 skapa summan 100. Siffrorna ska radas upp i ordning och de får inte kastas om. Mellan siffrorna får de fyra räknesätten placeras ut och målet är att raden av beräkningar ska mynna i talet 100. Exempelvis skulle inledningen kunna vara 1 + 2 3 - 4 + 5 * 6 ….= 100. Detta problem kan dock inte betraktas som något alla elever på våningen klarar. Således blir det pedagogens uppgift att formulera en eller flera differentierade och enklare problemställningar för att målet att alla ska känna att de lyckas, ska kunna nås.

Pedagogen väljer att utgå från talen 1 till 5 för att exempelvis nå svaret 7. Här kan eleverna utgå från att skapa talet 12 av siffran 1 och 2 inledningsvis, men det är alls inte det enda möjliga utgångsläget. För att lärprocessen ska bli tilltalande för alla, även de skrivsvaga eleverna som ofta förlorar mycket i starten av en skrivfylld matematikprocess, skriver pedagogen ut jättesiffror på A4-papper, en siffra eller ett tecken per papper. Dessa kommer att utgöra inledningen till diskussionerna eleverna emellan i gruppen och det enda som behöver skrivas är den lösning man så småningom finner. Inledningsvis presenterar pedagogen endast räknesätten addition och subtraktion, inte minst för att eleverna i skolår fyra och till viss del skolår fem inte arbetat med de matematiska prioriteringsreglerna.

Det inledande arbetet görs på golvet i Mellanrummet. Dels blir det roligare för fler när man handgripligen lyfter siffror och tecken på plats, dels har arbetet med experiment tidigare under terminen i detta rum skapat ett mycket spännande hypotesställande klimat eleverna emellan. Skulle vi sitta vid bord i Labbet och skulle alla elever tvingas skriva allt de gör är risken överhängande att laborationen helt tappar fart vilket vore ödesdigert, inte minst för de som mest av allt behöver visa sina matematiska talanger, utan att skrivandet kväver dem.

Med denna form och med detta innehåll i laborationen anser sig pedagogen på ett äkta vis levandegöra Reggio Emilia filosofins hörnstenar skillnader, förhandlingar samt lärande i grupp, trots att det är ett av basämnena. Det är nämligen så att diskussionerna bland pedagogerna denna höst mycket har handlat om huruvida Reggio Emilia filosofin bara synliggörs i temaarbetet och inte i de övriga arbetspassen. Låt denna dokumentation utgöra ett bevis för hur roligt, spännande och öppet man kan arbeta i ett basämne, utan att för den skull alls missa de för arbetet uppsatta målen. Istället finns här en reell möjlighet för alla elever att nå målen som finns i skolverkets kursplan samt i vår lokala arbetsplan.

För att visa på de outtömliga möjligheter som en enda laboration kan ge presenterar pedagogen nedan hypoteser som kan tänkas komma upp bland de fördjupade och att mer differentierade frågorna eleverna ställer sig. Det får dock aldrig glömmas bort att arbetet ska ha ett gemensamt fokus, vilket pedagogen inte heller hyser någon oro för att missa. Istället har den positiva smittoeffekten visat sig enorm i de tidigare laborationerna som gjorts i gula gruppen.

• Hur högt tal kan ni skapa av siffrorna 1-10? ( 12345678910 utläses av den matematiskt säkre eleven som tolv miljarder trehundra fyrtiofem miljoner sexhundrasjuttioåtta tusen niohundratio)

• Vilket är det lägsta tal ni kan nå med siffrorna 1-10? (Faktiskt noll! 1234567891*0, men det kan bli omdiskuterat huruvida talet tio får delas eller ej...)

• Hur nära 1000 kan ni komma? • Hur nära 2004 kan ni komma?

• Vilket är det lägsta antalet siffror ni kan använda för att nå talet 100?

• Varför blir det krångligt med division? (12/3 + 4 + 56 / (7*8) + 9 * 10 = Hmmm …99…)

• På hur många olika sätt kan ni få talet 100 av siffrorna 1-10? (Det lär finnas klasser som funnit över 20 olika lösningar!)

Återigen är det viktigt att det inte är pedagogen som ställer dessa frågor. De ska ses som en bank med

katalysatorer för de elever som ser arbetssättet med laborationer som allt för nytt och ovant. Relativt snart räknar pedagogen med att inte behöva ha denna bank till hands vid introducerandet av en matematiklaboration. Dock får man aldrig fuska med det fundamentala inledande problemet som alla elever ska klara av. Alla vet hur tungt ett arbete kan bli när starten blir fel. Risken för att så ska ske är dock mycket liten om man känner sina elevers kompetenser väl, vilket man snabbt gör i ett laborativt arbetssätt.

Inom en snar framtid ser pedagogen ytterligare en styrka med att arbeta laborativt i matematik; ett arbete med att formulera nya, mer verksamhetsanpassade mål i basämnena pågår. Detta leder till att eleven snart ska kunna knyta en laboration till ett eller flera mål, vilket gör arbetsformen än mer äkta och meningsfull. Exempelvis

skulle ett av målen som uppnås med arbetet kring siffrorna 1-10 kunna vara att eleven ska kunna räkna i huvudet

med alla fyra räknesätt.

Ett spännande arbete växer fram i såväl vit som blå grupp. Eleverna resonerar och spekulerar och snart är många involverade i placerandet av tecken mellan de till en början fem siffrorna. Jim ger förslag på rubrik på

laborationen; Vad blir sju? Vilket resten av gruppen tycks gilla. Den arbetsform som växer fram i gruppen tilltalar såväl många elever som pedagogen; eleverna skapar en lösning tillsammans genom förhandling och resonemang, men när den har formats riktigt skrivs den ner av var och en i matteboken. Sedan får eleven välja om hon vill arbeta vidare tillsammans runt de stora siffrorna på golvet eller om hon vill skriva eget i sin bok. Kajsa och några till vill använda de siffror de skrivit på små plastburkar då vi arbetade med de magiska kvadraterna. Det får de naturligtvis gör och snart har de skapat de matematiska tecken som saknades från den tidigare övningen. Således finns tre olika infallsvinklar på formen även om arbetet fortfarande har ett gemensamt fokus som syftet föreskriver.

En viss trängsel uppstår på golvet kring de stora siffrorna i en av grupperna, men Kasper ser en lösning; han frågar pedagogen om det går att skriva ut en uppsättning storsiffror till. Pedagogen har sin dator uppkopplad på nätverket och en minut senare har Kasper hämtat sina jättesiffror i skrivaren. En stunds arbete vid skärmaskinen följs av skapande av tal i en liten grupp på golvet i Ateljén som för tillfället är oanvänd.

Så som en av hypoteserna inför denna laboration löd frågar snart Anton hur man skulle kunna utläsa hela talet från ett till tio, och imponerande nog gör han det tillslut rätt. Trots att han snabbt vet hur man ska gruppera siffrorna tre och tre bakifrån låter han pedagogen släppa in flera andra elever med gissningar. Anton tycks känna spelets regler; han kommer inte att bli förbigången; den som väcker en idé ska ha äran att presentera sin tanke som belöning för att han ställde en fråga. Utan det spontana frågandet blir den laborativa matematiken tämligen uddlös. Pedagogen njuter av det matematiska flödet och ett gott bevis på hur lockande det är med laborativ matematik är när Niklas Jansson från skolår nio slår sig ner med oss och lyssnar på de flera år yngre elevernas resonemang. Han fäller inga kommentarer utan deltar avvaktande i väntan på den pedagog som ska arbeta med honom vid redigeringsdatorn. Även en matematiskt skicklig femtonåring lockas av arbetet som av den oinvigde skulle kunna betraktas som barnsligt eller mållöst!

I den vita gruppen formar eleverna läxan utifrån frågeställningen med fem siffror. De har spontant skapat en utmaning efter pedagogens inledande lockelse; man ska, själv eller i grupp finna kombinationer som ger svaret ett, sedan svaret två, följt av svaret tre och så vidare. Erik F och Kendrik finner på blott femton minuter lösningar ända upp till svaret sjutton, men tar sig ändock an läxan vilken helt enkelt består i att finna så många svar som möjligt med de fem siffrorna.

Pedagogen väljer att introducera laborationen endast med addition och subtraktion men det tar inte lång stund innan eleverna frågar efter multiplikation också. Många av de äldre eleverna minns att vi skapade verktyg för ett och ett halvt år sedan, varav ett var att multiplikation går före addition och subtraktion. De elever som då och då har arbetat i läroboken Matte Direkt har också stött på det verktyg vi kallade parentesen är som ett bankfack. Detta leder till att flera elever snart blandar in såväl multiplikation som parenteser för att finna på flera lösningar. Fortfarande gäller regeln att eleven måste skriva ner sin lösning för att den ska betraktas som giltig. Många kontrollerar också sina lösningar med miniräknaren, vilket på ett spännand vis leder till nya frågor.

Exempelvis får Linnéa inte sina beräkningar att gå ihop; det hon gjort på pappret så korrekt stämmer inte då hon kontrollräknar på miniräknaren. Innan pedagogen hinner fördjupa sig i hennes problem har en annan elev hjälpt henne till ny kunskap. Det förhöll sig nämligen så att när vi arbetade tillsammans i gruppen på golvet var tecknet för multiplikation en svart prick, vilket Linnéa iakttog och också förstod innebörden av. Dock är det inte bättre än att motsvarande symbol på miniräknarens tangenter betyder ett kommatecken, medan multiplikationen betecknas med ett X. Linnéa hade alltså tryckt in 4.5 när hon så klokt ville ha svaret på 4*5, vilka gav helt skilda svar. En stor glädje infinner sig dock hos pedagogen; ingenstans i litteratur har han någonsin sett denna solklara risk för missförstånd tagits upp. Istället är det dokumentationen i det laborativa arbetssättet som öppnar upp ögonen för något som kan bli totalt fel för elever om det inte upptäcks. Tack Linnéa för att du pratade och frågade! Härligt i ytterligare en dimension då pedagogen och eleven i fråga tillsammans med föräldern satt upp som mål på utvecklingssamtalet att prata mer på matematiken!

Så till sist i denna del av dokumentationen kring laborationen ett visst mått av oro; pedagogen sugs in i samtal och resonemang tillsammans med elever som har driv och nyfikenhet. Mer än en gång hann han inte fram till de elever som sannolikt bäst behövt samtal i lugn och ro på tu man hand. Lärdomen får bli att inte alltid lockas till de glädjeropande grupperna; de klarar sig ofta ändå, medan de tysta och undandragna eleverna måste ges mer

klargörande exempel för att förstå syftet och målet med arbetet. Trots att just de eleverna troddes vara vinnarna av det handgripliga arbetet med stora färdigtryckta siffror, tog de med alerta eleverna över, vilket inte är fullt tillfredsställande för pedagogen. Ändock var det inte fel på upplägget, men tanken att alla ska känna att de lyckas måste ges en än högre prioritet. I kommande laborationer ska de osäkra eleverna ges mer plats initialt av två skäl; de måste få känna att de lyckas redan från början och de andra eleverna är generellt så accepterande och bussiga att de inte klagar även om inledningen är lite väl enkel. De har vid det här laget en god vetskap om att de kommer att möta nya utmaningar på betydligt högre nivåer inom kort. Kanske kan pedagogen till och med locka den gruppen av elever att under inledningens gång skaffa sig vanan att formulera djupare problemställningar att bearbeta inom kort. Det vore en mycket spännande metakognitiv situation; till vilken nivå ska just jag fördjupa denna laboration för att få en utmaning som heter duga?

-

1 23

4

Isac har länge talat om en hastighetsmätning han vill genomföra. Pedagogen ser det som en möjlighet till praktiskt arbete kring medelhastighet. Vi använder oss av Tag reda på modellens tio steg som skapades förra året! Trots ett ösande regn genomförde vi den välplanerade mätningen; mycket tack vare att flera elever hade tagit med sig Walkie Talkies så att kommunikationen mätpersonerna emellan fungerade. Några grupper använde armar och händer i ett raffinerat signalsystem aktörerna emellan. Väl åter i skolan torkade vi oss hjälpligt och började sammanställa statistiken från de genomblöta matematikböckerna. Några elever tvingades att lägga böckerna på elementen en stund för att de över huvud taget skulle hålla ihop.

Arbetspasset därefter ägnades åt att beräkna medelvärde och detta gjordes med hjälp av kalkylprogrammet Excel. Niklas förde in statistiken allt eftersom sekreterarna från de olika mätgrupperna rapporterade värdena. De värden vi bokförde angavs i enheten sekunder; alltså hur lång tid fordonet behövde för att köra de 100 meter Gunnar mätt upp på det ställe vi planerat. Ett digert matematiskt brottande kom sedan till stånd då de uppmätta värdena skulle omvandlas från meter per sekund till den mer bekanta enheten kilometer per timme. Snart fann vi dock en brytpunkt; de bilister som kört de 100 metrarna på mindre än 12 sekunder var lagöverträdare. Under rasten stannade Elin och Felicia kvar och skapade olika typer av diagram på de hastigheter Niklas fört in i Excelbladet. Flera olika typer av diagram testades och de skrevs också ut allt eftersom för att se hur de färgglada alternativen ter sig i vår svartvita skrivare. Snart hade tjejerna tillsammans med den nyfikne pedagogen funnit ett verktyg i Excel som gjorde att de färgsatta sektorerna i cirkeldiagramen ersattes med olika mönster; rutigt, randigt och prickigt. Vidare upptäckte vi att man kunde vrida cirkeldiagrammet och plötsligt upplevde vi hur olika en och samma sektor kunde upplevas beroende på var i cirkeln den placerades.

Det två sista stegen i Ta reda på modellen handlar om hur och för vem man vill berätta det man lärt sig. Här klev pedagogen in och ledde en kurs i layoutprogrammet Publisher. De var mer än en elev som såg förvånad ut när matematikläraren skulle leda ett arbetspass i svenska! Sedan tog svenskläraren Christina över arbetet. I det läget hade eleverna grupperat sig utifrån vilka mottagare deras artiklar skulle ha; Charlie skrev till polisen, Isac och några till riktade sin artikel till matematiktidskriften Nämnaren och ytterligare några skev till Knivsta Nytt. Stina och Oskar behandlade de bilder som Oskar tagit ute i regnet den regniga tisdagsförmiddagen i ett

bildbehandlingsprogram. Stolt visade de upp en humoristisk vinkel av detta alvarliga tema; de hade fotograferat en plats där det står en trettioskylt på var sida om vägen. I datorn hade de tillfört ett plustecken skyltarna emellan vilket gav skenet av att vissa bilförare skulle kunna vara så dumma att de tror att man här får köra 30 + 30 kilometer i timmen!

Den otroliga sanningen är att bara en av fem bilar körde lagligt; nästan 80% körde över de maximalt tillåtna trettio kilometer i timmen! Rekordhastigheten var över 70 kilometer i timmen vilket gjorde eleverna mycket upprörda. Medelhastigheten räknades ut till 42 kilometer i timmen vilket är att betrakta som mycket skrämmande på en trettiosträcka mellan två närliggande grundskolor.

. 5

En av hemuppgifterna i matematik var för alla elever att ha åsikter om det förslag till nya mål i matematik som arbetats fram av matematikpedagogerna på Margarethaskolan. Ett av målen handlar om att eleven ska kunna räkna med hjälp av tekniska hjälpmedel. Vid ett arbetspass är alla miniräknare upptagna och Lovisa frågar då pedagogen om hon får räkna på sin mobiltelefon istället. Pedagogen sväljer dock sitt spontana svar att mobiler ju bara får nyttjas på rasterna, och kommer istället att se värdet av skillnader i Lovisas förslag. Således får hon ett jakande svar på sin för henne så naturliga, nästan självklara idé.

För att fördjupa förståelsen hos eleven för vikten av att kunna räkna i huvudet och också av att kunna bedöma

ungefär vilka båda ingår i de nya målen, väljer pedagogen en laboration som bevisar miniräknarens styrkor och

svagheter. Redan i den tidigare laborationen har elever funnit att det är olika huruvida miniräknarna behärskar prioriteringsreglerna eller ej. Pedagogen har fult medvetet blandat olika typer av miniräknare bland de som alltid finns till förfogande i labbet. De billigare modellerna klarar inte att beräkna exempelvis 3+4*5 matematiskt korrekt, medan de lite dyrare modellerna hanterar detta exempel matematiskt korrekt. Vidare har skolan en transparent overheadminiräknare som nu kan komma väl till pass i de gemensamma resonemangen kring tekniska hjälpmedel av olika slag. Några elever kommer sannolikt att välja kalkylatorn i den bärbara datorn och någon kanske till och med lockas att nyttja kalkylprogrammet Excel. Detta verktyg nyttjades också tidigare av den grupp som gjorde statistik utifrån gjorda hastighetsmätningar utanför skolans område.

Eleven kommer i denna laboration också att träna positionssystemets viktiga grunder samt taluppfattning i kombination med de fyra räknesätten. I korthet kommer eleven att ställas inför ett dilemma att en eller flera av tangenterna på det tekniska hjälpmedlet är fiktivt trasig. Låt oss ta tangent 8 som exempel. Då måste exempelvis talet 28*4 behandlas och omformas på något vis… Kanske föreslår någon att vi räknar 27*4 och sedan adderar 4 för att nå det riktiga svaret. Kanske är detta exempel inte det som kommer att utgöra utgångsläget då uppgiften är att betrakta som svårgreppbar för de svagare eleverna. Vi kanske ska ta avstamp i en additionsuppgift; 18+28 skulle även den sätta taluppfattningen på prov för de flesta elever. Dock kommer många att relativt snart prova sina vunna erfarenheter på en högre nivå. Flertalet elever i gula gruppen kommer att brottas med exemplet 28*4 samt sedan 18*88 för att utmanas på sin nivå.

I gula gruppen arbetar man koncentrerat en stund men snart kommer Elin fram till pedagogen och påtalar att det här inte är roligt längre. Hon har inför gruppen påvisat sin säkerhet utifrån verktygen dubbelt och hälften och nyttjar den effektivt i de gemensamma såväl som i de egenskapade uppgifterna. Uppgiften 118*147 med tangenten 8 ur funktion blir inget problem för Elin; hon halverar 118 till 2*59 för att sedan multiplicera detta med 147. Alla elever ska enligt reglerna som vi formar skriva hypotes och uträkning för att uppgiften ska bli accepterad.

Oskar tar sig an samma uppgift som Elin men skapar förutsättningar att både knapp 1 och knapp 8 är ur funktion. Han ser dock, likt Elin, mönstret att det man har i parentesen kan varieras i det oändliga. Också Erik har sett detta mönster och påtalat det inför gruppen. Denna styrka gör dock att laborationen tappar stinget eftersom eleven knäckt en avgörande kod. Till sist väljer Oskar ändock att fördjupa problemställningen ytterligare genom att göra hela fyra siffror otillåtna.

/ ,/% 0 67

Som en inspirationsaktivitet provar pedagogen att låta eleverna bekanta sig med miniräknaren på ett lekfullt men också fantasikrävande sätt. Eleven ska finna ord med hjälp av siffrorna på räknarens display när den vänds upp och ner. Exempelvis bildar talet 705 med lite fantasi ordet SOL upp och ner. Kristina som är våningens svenskpedagog inleder denna laboration i både vita och blå gruppen medan matematikpedagogen Åke leder ett arbetspass i svenska i gula gruppen då de behöver inspiration i form av layoutkurs till sin skoltidning Punkt. Vid det tillfället har vi förmånen att ha två lärarstudenter från Göteborg på besök och deras C-uppsats ska handla om ämnesintegrering – nästan otäckt passande denna morgon då vi har vågat överskrida gränser ämnen och pedagoger emellan. På vägen hem kommer Luay och Jonatan i kapp pedagogen och säger som dagens sista ord

tillsammans att idag var matten riktigt kul Åke! Senare uppkom en mycket ämnesövergripande tävling mellan några elevgrupper; vem kan hitta flest ord. Gissa om diskussionernas vågor gick höga i en mix som innehöll såväl svenska som matematik!

Denna laboration gick inledningsvis under arbetsnamnet Solvalla, men snart insåg Gunnar Byström att han hade dragit en riktigt nitlott; han kom sist i varje lopp! Därför sa han spontant att den här är inte Solvalla, det är Snigelvalla!

Laborationen tar sin utgångspunkt i ett hästlopp där ett antal hästar deltar. Eleverna ska initialt inte veta hur många hästar som ska upp på startlinjen. De ska dock få veta att två tärningar ska slås samtidigt och den häst vars nummer stämmer överens med tärningarnas differens får gå ett steg fram. Läge för samtal runt borden! Ofta har någon elev redan ställt sig själv eller gruppen frågan hur många hästar det kan tänkas bli i loppet.

Erfarenheten visar att det är lätt att glömma bort differensen noll…

Banan ska förslagsvis vara tio steg lång. Gör den ute i gruset eller tejpa upp markeringar på golvet i hallen. Första gången laborationen görs uppkommer många förvirrade och nyfikna frågor. Dokumentera dem och bygg de reflekterande diskussionerna på dessa frågor. Låt sedan gruppen göra laborationen nästa matematikpass. Många elever kommer taggade och vissa startnummer är mycket attraktiva medan väldigt få tycks vilja vara häst nummer 5… Inte ens Gunnar vill nog hamna i den positionen igen.

Fördjupning.

• Vilken siffra har störst chans att vinna? • Vilka chanser har de andra?

• Har några lika stor chans?

• Hur många utfall finns det totalt när två tärningar kastas? • Skulle en längre bana jämna ut skillnaderna?

• Vad skulle hända om vi tog tre tärningar? Vill någon då vara häst nummer två till exempel? • Hur många utfall finns det totalt när tre tärningar kastas?

18

8

Vid upptakten till det nya läsåret 2005-2006 presenterar pedagogen de mål som ska genomsyra matematiken för eleverna från skolår fem till sju. Många känner igen upplägget medan ett tjugotal av de drygt sextio eleverna nu möter mål av den här typen för första gången.

För att skapa struktur i arbetet styr pedagogen upp formen på de första sidorna i räknehäftet. Exempelvis fylls första sidan på allt efter som med en innehållsförteckning. Detta kräver att varje sida numreras vilket lite förvånande inte upplevs som ett merjobb av eleverna. På sidan två skriver alla elever ner målen för arbetet samt målen för hemuppgifterna. De senare lyder:

• Jag ska arbeta minst en timme.

• Jag ska få uppgiften undertecknad av en vuxen. • Hemuppgiften görs från måndag till onsdag.

Även dessa är en kollektiv produkt från läsåret innan varför många elever torde se en koppling så att varje läsår inte behöver innebära en start från noll. Istället nyttjar vi det som fungerat bra och passar samtidigt på att förändra det som inte fungerat tillfredsställande. Som ett exempel görs i år hemuppgifterna i det vanliga räknehäftet. Syftena är två; dels tappade många elever bort häftet som var avsett för hemuppgifterna, dels upplevde flera föräldrar att insynen i helheten kring matematiken blev svag.

På den tredje sidan i räknehäftet ska varje hemuppgift signeras för att pedagogen ska se att föräldrarna har en insyn i matematikarbetet. Dessa namnteckningar samlas nu på en lättfunnen sida. Tidigare har tråkiga diskussioner mellan pedagog och familj uppkommit huruvida ett acceptabelt antal hemuppgifter blivit gjorda eller ej.

Introduktionen av laborationen kring Möbiusbanden blir likt en trolleriföreställning. Pedagogen väljer detta fångande start för att skapa en blandning av fascination, förvåning och lust till att laborera vidare. Pedagogen bjuder fram en frivillig elev som sida vid sida med pedagogen klistrar ihop en 60 cm lång och 4 cm bred pappersremsa till en cirkel. Pedagogen gör till synes samma sak men vrider omärkbart remsan ett halvt varv innan den klistras. Eleven och pedagogen klipper nu längs hela bandets mitt så att dess bredd blir halverad. Pedagogen räknar med att elevens band faller isär till två smala ringar, medan den vridna istället bildar två ringar som är länkade i varandra.

Nu startar sannolikt en flod av hypoteser i elevernas hjärnor. Några lyfts fram gemensamt innan eleverna själva eller i par får prova själva. Även om någon har gjort denna klassiska laboration kräver det en hel del tänkande för att se var i skillnaden mellan pedagogens och elevens ringar ligger.

Förutom pedagogens mål att eleven ska skriva mer själv än vad som skedde tidigare är målet att eleven ska kunna systematisera sina iakttagelser i en tabell. De frågor pedagogen hoppas elever ska ställa är exempelvis… • Varför blev det olika för pedagogen och eleven?

• Påverkar bandets längd eller bredd resultatet? • Vad händer om jag vrider två halva varv? • Vad händer om jag vrider tre halva varv?

• Vilket mönster börjar skönjas i mina laborationer? • Vad skulle hända vid sex halva varvs vridning? • Hur kan mönstret skrivas i en generell formel?

• Vad händer om jag klipper bandet i tre parallella remsor istället för två?

• Vad händer om jag limmar ihop två ringar vinkelrätt mot varandra till en vriden åtta och klipper längs de båda mittlinjerna?

• …om jag klistrar ihop tre ringar vinkelrätt mot varandra? • …om jag byter ut en av ringarna mot ett Möbiusband?

• Hur blir resultatet om jag lägger två Möbiusband i varandra och sedan klipper genom de båda samtidigt? • Vem var Möbius?

När eleverna nu själva får prova på laborationen är de positivt förvirrade. Marcus gjorde precis som pedagogen hade förutspått, och en nästan andäktig stämning fanns bland de femtiotalet elever som var med vi