Delbarhet, primtal

Hela talen

Om inget annat sägs, förutsätts alla tal i detta avsnitt tillhöra !.

Delbarhet

Man säger att b är delbar med a, eller att a delar b, och skriver a \ b om det finns något k så att a ÿ k = b.

EXEMPEL 1 1 \6, 2 \6, 3 \6, 6 \6, -3 \6, 3 \0 Talet 0 har extrema delbarhetsegenskaper

För varje a gäller a \0, ty varje a kan multipliceras med ett tal så att resultatet blir 0. (Vad skall man multiplicera med?).

För inget nollskilt b gäller 0 \ b, ty 0 kan inte multipliceras med något tal så att resultatet blir nollskilt.

Lemmat nedanför tillsammans med anmärkningen är mycket användbart.

Lemma 1 d \ a och d \ b ï d \ Hx a + y bL för alla x, y

BEVIS x a + y b = x d k₁ + y d k₂ = Hx k₁+y k₂Ld.

ANM 1 En enkel följd av lemmat är att ingen summa kan vara delbar med ett tal d, om den ena men inte den andra av summans termer är delbar med d. Försök själv visa detta!

Primtal

DEFINITION Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och sig själv.

Här är de fem första primtalen: 2, 3, 5, 7, 11. Ett naturligt tal som inte är ett primtal är endera lika med 0 eller 1 eller ett sammansatt tal, som t.ex. 6. Vi har redan bevisat existensdelen i följande sats.

ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS

Varje naturligt tal > 1 kan skrivas som en primtalsprodukt, och produk-ten är entydig om vi bortser från ordningen mellan primtalsfaktorerna.

FUNDAMENTALSATSEN illustrerad 12 525 331! 73ÿ 13 ÿ 532

En följd av fundamentalsatsen är att varje naturligt tal > 1 är delbart med något primtal. Med hjälp av detta konstaterande kan vi bevisa den sats som brukar kallas för Euklides andra sats.

EUKLIDES ANDRA SATS Det finns oändligt många primtal.

BEVIS För varje primtal p visar vi att det finns ett större dito. Betrakta därför ett godtyckligt primtal p. Multiplicera nu p med alla mindre primtal, och öka sedan resultatet med en enhet, dvs. bilda talet

(1) a = 2 ÿ 3 ÿ 5 ÿ … ÿ p + 1

För varje primtal p_k av 2, 3, 5, …, p gäller att 2 ÿ 3 ÿ 5 ÿ … ÿ p är delbar med p_k. Däremot är givetvis inte 1 delbar med p_k. Så av de två termerna i (1):s högerled är den ena men inte den andra delbar med p_k. Det följer, av anmärkning 1, att a inte kan vara delbar med p_k. Alltså är a inte delbar med något enda av primtalen 2, 3, 5, …, p. Å andra sidan måste a - som är större än 1 - vara delbar med något primtal. Alltså måste det finnas något primtal som är större än p. ·

ANM 2 Tal a som i (1) har kommit att kallas för Euklidiska tal. Euklidiska tal

2 ÿ 3 ÿ 5 ÿ 7 ÿ 11 ÿ 13 ÿ 17 ÿ 19 ÿ 23 ÿ 29 ÿ 31 ÿ 37 ÿ 41 ÿ 43 ÿ 47 ÿ 53 + 1 =73 ÿ 139 ÿ 173 ÿ 18 564 761 860 301

Eratosthenes’ såll (300 f Kr)

För att få fram alla primtal mindre eller lika med t.ex. 25, kan man utgå från samtliga naturliga tal mellan 2 och 25:

82, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25< Därefter sållas alla sammansatta tal bort …

Först multiplar av 2: 82, 3, _, 5, _, 7, _, 9, _, 11, _, 13, _, 15, _, 17, _, 19, _, 21, _, 23, _, 25< Sedan multiplar av 3: 82, 3, _, 5, _, 7, _, _, _, 11, _, 13, _, _, _, 17, _, 19, _, _, _, 23, _, 25< Sedan multiplar av 5: 82, 3, _, 5, _, 7, _, _, _, 11, _, 13, _, _, _, 17, _, 19, _, _, _, 23, _, _< 3 Hela talen 1

Mersennetal

Om p är ett primtal, så är ofta även 2p-1 ett primtal.

p 2 3 5 7 11 13 17 19

2p -1 3 7 31 127 231891 8191 131 071 524 287

Primtal? ja ja ja ja nej ja ja ja

ANM Om det är det, så kallas det (dvs 2p-1) för ett Mersennetal. Marin Mersenne, fransk matematiker, munk och musikforskare, 1588 - 1648.

Det för närvarande (april 2008) största kända primtalet är ett Mersennetal, nämligen 2232 582 657-1, och det är 9 808 358 decimala siffror långt.

Prispengar

EFF Cooperative Computing Awards delar ut prispengar till den individ eller grupp som först upptäcker ett större primtal än det f.n. största kända primtalet.

$100,000 för ett primtal med minst 10 000 000 decimala siffror, $150,000 för ett primtal med minst 100 000 000 decimala siffror, $250,000 för ett primtal med minst 1 000 000 000 decimala siffror.

Öppet problem

Finns det oändligt många Mersennetal?

Eulers primtalsgenerator

Euler noterade att formeln n2+n + 41 genererade primtal för 0 § n § 39, men ej för n = 40:

n 0 1 2 3 4 5 6 … 39 40

n2+n + 41 41 43 47 53 61 71 83 … 1601 1681

Primtal? ja ja ja ja ja ja ja … ja nej

Ett polynom som returnerar samtliga primtal

Ett polynom som returnerar samtliga primtal

De slutna formlerna 2p-1 och n2+n + 41 (se ovan) genererar vissa primtal (dock inte samtliga), samt vissa sammansatta tal.

”Finns det någon sluten formel som genererar samtliga primtal?” Ja, det finns t o m ett polynom …

Hk + 2L J1 - Hw z + h + j - qL2- HHg k + 2 g + k + 1L Hh + jL + h - zL2 -H2 n + p + q + z - eL2- I16 Hk + 1L3Hk + 2L Hn + 1L2+1 - f2M2 -Ie3He + 2L Ha + 1L2+1 - o2M2 -IIa2-1M y2+1 - x2M2- I16 r2y4Ia2-1M + 1 - u2M2 -JJIa + u2Iu2-aMM2-1N Hn + 4 d yL2+1 - Hx + c uL2N2 -Hn + l + v - yL2- IIa2-1M t2+1 - m2M2- Ha i + k + 1 - l - iL2 -Ip + l Ha - n - 1L + b I2 a n + 2 a - n2-2 n - 2M - mM2 -Iq + y Ha - p - 1L + s I2 a p + 2 a - p2-2 p - 2M - xM2 -Iz + p l Ha - pL + t I2 a p - p2-1M - p mM2N

vars positiva output sammanfaller med mängden av primtal. Men praktiskt användbart är inte detta, eftersom ingen känner till någon formel som reder ut vilka värden på de 26 variablerna som ger just positiva output …

En rekursiv funktion som returnerar samtliga primtal och inget annat Funktionen pn nedanför | som returnerar det n:te primtalet | använder sig av en "primtalstestare" ÄrPrimtal som du själv får försöka konstruera …

p₁ =2 p₂ =3

p_n= NästaPrimtalI2 + p_n-1M

NästaPrimtalHmL = OmIÄrPrimtalHmL, m, NästaPrimtalHm + 2LM

Provkörning : p₃=NästaPrimtalH2 + p₂L =p2=3NästaPrimtalH5L5 är ett primtal= 5

5 Hela talen 1

Primtalens spridning på tallinjen

Primtalen uppträder allt glesare ju längre bort på tallinjen man kommer. M.a.o. blir grafen för p_n brantare ju större n blir. Redan Gauss och Legen-dre upptäckte omkring år 1800 att p_n:s tillväxt liknar n logHnL:s tillväxt.

Primtalssatsen

Antalet primtal som är mindre eller lika med n brukar betecknas med pHnL. En följd av ovanstående påpekande om p_n:s tillväxt är att tillväxten för pHnL liknar tillväxten för såväl n

logHnL som för den s.k. logaritmiska inte-gralen liHnL = Ÿ₀n „t_logHtL. Detta resultat kallas för PRIMTALSSATSEN.

Primtalsgap

Notera i figuren nedanför hur avståndet mellan två primtalsgrannar varierar då man förflyttar sig på tallinjen. Man kallar ett sådant avstånd för ett primtalsgap.

499 819 499 853

primtalsgap = 34

område

Det finns inget största primtalsgap. Dvs. för varje naturligt tal n > 1, finns det ett primtalsgap av storlek minst n. T.ex. ingår talen

n ! + 2, n ! + 3, n ! + 4, …, n ! + n

i ett sådant primtalsgap. Ty dessa n - 1 konsekutiva tal är bevisligen sammansatta.

Primtalstvillingar

Då primtalsgapet är lika med två, kallas de två primtalsgrannarna för primtalstvillingar. (Markerade med rött i figuren.)

Primtalstvillingar

149 087 149 179

område

Ingen vet om det finns oändligt många primtalstvillingar eller ej.