Matematik åk 7-9 Pershagenskolan 15-16

187  12  Download (2)

Full text

(1)
(2)

Geometri

Introduktion till geometri

LGR11: Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt.

Olika typer av vinklar

En vinkel utgår från en punkt som kallas vinkelspets, där de två vinkelbenenmöts.

Vinkelns storlek mäts i grader, vilket vi betecknar med hjälp av gradtecken. Till exempel skriver vi vinkelstorleken en grad som 1°.

Man har infört olika namn på vinklar, beroende på hur stor vinkeln är.

Vinklar som är 90° kallar vi räta vinklar. En rät vinkel motsvarar ett fjärdedels varv. Figuren nedan visar en rät vinkel:

(3)

Vinklar som är större än 90°, men mindre än 180°, kallar vi trubbiga vinklar. Figuren nedan visar en trubbig vinkel:

Vinkelsumma

När vi har två vinklar, som till exempel är 25° och 65°, så kan vi beräkna vinkelsumman av dessa vinklars storlek genom att helt enkelt addera dem, så här:

vinkelsumma=25∘+65∘=90∘

I det här exemplet blev de båda vinklarna tillsammans 90°, det vill säga en rät vinkel. Att kunna räkna med vinkelsummor är viktigt då vi undersöker egenskaperna hos olika geometriska figurer, såsom kvadrater och trianglar.

Samband för sidovinklar och vertikalvinklar

När vi räknar med vinklar finns det ett antal samband mellan vissa vinklar som är användbara att känna till. Vi ska nu gå igenom två sådana samband, och i det senare avsnittet

om trianglar ska vi lära oss fler samband.

(4)

Vinkelsumman av de fyra vinklarna u, v, w, och z är 360°, eftersom de tillsammans bildar ett helt varv.

De vinklar som står intill varandra i den här figuren kallar vi sidovinklar. Vinkelsumman av två sidovinklar är alltid lika med 180°, eftersom de tillsammans utgör ett halvt varv. Till exempel är vinklarna u och v i figuren sidovinklar.

De vinklar som står mitt emot varandra i figuren kallar vi vertikalvinklar. I figuren finns två par av vertikalvinklar: u och w respektive v och z. Par av vinklar som är vertikalvinklar är alltid lika stora, så vi vet att u = w och v = z.

Bestäm storlekarna på vinklarna

Vinkeln u i figuren här nedanför är 105°. Bestäm storleken på vinklarna v, w och z utan att mäta i figuren.

Lösningsförslag:

Vinklarna u och w är vertikalvinklar, så de är lika stora. Därför är w = 105°.

Vinklarna u och v är sidovinklar, så vi vet att deras vinkelsumma ska vara lika med 180°:

u+v=105∘+v=180∘

Därför måste v = 75° gälla.

Vinklarna v och z är också vertikalvinklar, så de är lika stora. Därför är även z = 75°. Vi har alltså kommit fram till dessa vinkelstorlekar: v = 75°, w = 105° och z = 75°

(5)

En triangel är en geometrisk figur som har tre hörn. I vart och ett av triangelns hörn finns en vinkel och hörnen är sammanbundna av tre sidor.

Trianglar har alltid en vinkelsumma som är lika med 180°. Denna vinkelsumma får vi genom att vi adderar triangelns tre vinklar.

Har vi vill exempel en triangel med vinklarna 25°, 65° och 90°, så blir vinkelsumman

25∘+65∘+90∘=180∘

Att vinkelsumman i en triangel alltid måste vara just 180° är en egenskap som vi kan använda. Vet vi till exempel storleken på två av triangelns vinklar, så kan vi enkelt beräkna storleken på den tredje vinkeln.

Triangelns vinkel

I figuren här nedanför är två av vinklarna i en triangel 60° respektive 70°. Kan den tredje vinkeln v i triangeln ha storleken 40°?

Lösningsförslag:

(6)

60∘+70∘+v=180∘ Den här ekvationen löser vi:

60∘+70∘+v=180∘ 130∘ + v = 180∘

130∘ + v −130∘ = 180∘ − 130∘ V = 50∘

Vi kom alltså fram till att vinkeln v måste vara 50°, så den kan inte vara 40°.

Olika typer av trianglar

Vi känner nu till att en triangels vinkelsumma alltid måste vara lika med 180°. Det finns tre speciella typer av trianglar som förekommer ofta, som vi bör känna till, eftersom

de har användbara samband mellan sina vinklar och sidor.

Rätvinkliga trianglar

En rätvinklig triangel är en triangel som har en rät vinkel, det vill säga som är 90°. Att en vinkel i en triangel är rät innebär också att de två övriga vinklarna tillsammans är 90°, eftersom vinkelsumman i en triangel alltid är 180°.

(7)

Likbenta trianglar

En likbent triangel är en triangel där två sidor är lika långa.

Eftersom de båda sidorna AC och BC i triangeln ovan är lika långa är triangeln likbent. En användbar egenskap hos likbenta trianglar är att två av triangelns vinklar är lika stora. I figuren ovan är det vinklarna vid hörnen A och B som är lika stora. De vinklar i en likbent triangel som har denna egenskap kallar vi basvinklar.

Liksidiga trianglar

(8)

En annan användbar egenskap hos liksidiga trianglar är att triangelns tre vinklar alla är lika stora. Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180°, måste var och en av den liksidiga triangelns vinklar vara 60°:

3v=180∘ v=180/ 3=60∘

Trianglars omkrets och area

Triangelns area och omkrets

LGR11: Avbildning och konstruktion av geometriska objekt. Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta.

Triangelns area får man fram genom att multiplicera basen och höjden och sen dela sitt svar med två. Omkretsen på en triangel får man genom att addera alla tre sidor runt triangeln med varandra.

En triangels omkrets, O, är lika med summan av sidornas längd. För en allmän triangel med sidor a, b och c, kan vi skriva omkretsen så här:

O = a + b + c

När vi ska komma fram till en formel för trianglars area, kan det vara bra att tänka på en triangel som hälften av en parallellogram.

(9)

I figuren här nedanför har vi skissat in en parallellogram, vars area alltså är dubbelt så stor som triangeln i samma figur.

Som vi vet från avsnittet om fyrhörningar, kan vi beräkna en parallellograms area som basen multiplicerat med höjden. Eftersom triangelns area är hälften så stor som en parallellogram med samma bas och höjd, skriver vi triangelns area så här:

A = b ⋅ h 2

Beräkna denna triangels omkrets och area

Lösningsförslag:

Omkretsen är lika med summan av sidornas längd, vilka vi läser av i figuren:

O = 3,5 + 5,0 + 5,8 = 14,3 m

(10)

När vi ska beräkna triangelns area börjar vi med att identifiera basen och höjden. Ur figuren ser vi att basens längd är lika med 5,8 meter och höjdens längd är lika med 3,0 meter. Därför kan vi beräkna triangelns area så här:

A = b ⋅ h 2 = 5,8 ⋅ 3,02 = 17,42 = 8,7 m2

Triangelns area är alltså 8,7 m2.

Fyrhörningar introduktion

LGR11: Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt.

De fyrhörningar som är vanligast är kvadraten som har alla sidor lika långa, rektangeln som har två sidor lika långa, romben som är som en kvadrat fast sned, parallellogram som är som en rektangel fast sned samt en parallelltrapets som har två sidor som är lika samt två andra sidor som inte är lika långa.

Olika typer av fyrhörningar

En fyrhörning är en geometrisk figur som har fyra hörn, som binds samman av fyra sidor. Hörnen betecknar vi ofta med bokstäver, till exempel A, B, C och D. Vinkelsumman i en fyrhörning är alltid 360°.

Vi ska nu repetera fyra vanligt förekommande fyrhörningar och hur vi beräknar omkrets och area för dessa figurer: rektangel, kvadrat, parallellogram och romb.

(11)

Rektangel

En rektangel är en fyrhörning som bara har räta vinklar.

En konsekvens av att rektangeln bara har räta vinklar är att de motstående sidorna i en

rektangel är lika långa. När vi ska beräkna en rektangels omkrets eller area brukar vi benämna dessa sidor basen (b) respektive höjden (h).

För rektanglar gäller att omkretsen, O, beräknas enligt denna formel:

O = 2b + 2h

Arean, A, beräknas enligt formeln

A = b ⋅ h

Låt oss titta på ett exempel

En rektangel har basen 20 cm och höjden 10 cm. Hitta en annan rektangel som har dubbelt så stor a) omkrets som den givna rektangeln.

b) area som den givna rektangeln. Lösningsförslag

a)

Vi ska hitta en rektangel som har dubbelt så stor omkrets som en rektangel med basen 20 cm och höjden 10 cm.

(12)

Eftersom omkretsen är lika med summan av sidornas längder, behöver vi bara fördubbla sidornas längder för att också omkretsen ska bli dubbelt så stor.

Omkretsen hos den mindre rektangeln kan vi beräkna så här:

Omindre = 2b+2h = = 2⋅20+2⋅10 = = 40+20 = 60cm

Låter vi såväl basen som höjden i den större rektangeln vara dubbelt så långa som i den mindre, då får vi alltså den här omkretsen:

Ostörre=2 ⋅ 40 + 2 ⋅ 20 = = 80 + 40 = 120 cm

En rektangel med basen 40 cm och höjden 20 cm har alltså dubbelt så stor omkrets som rektangeln med basen 20 cm och höjden 10 cm.

b)

Vi ska hitta en rektangel som har dubbelt så stor area som en rektangel med basen 20 cm och höjden 10 cm.

En rektangels area beräknar vi med formeln

A = b ⋅ h

Den mindre rektangeln har därför arean

Amindre=b⋅h=20⋅10=200cm2

Den större rektangeln ska ha dubbelt så stor area, det vill säga

2⋅A mindre = 2⋅b⋅h = 2⋅20⋅10 = 400 cm2

Hur kan vi då göra en rektangels area dubbelt så stor? Jo, det kan vi göra till exempel genom att låta rektangelns ena sida vara dubbelt så lång. Det innebär att vi kan låta basen vara 40 cm lång, istället för 20 cm, för att arean ska bli dubbelt så stor, 400 cm².

En rektangel med basen 40 cm och höjden 10 cm har alltså dubbelt så stor area som rektangeln med basen 20 cm och höjden 10 cm.

(13)

Kvadrat

En kvadrat har många likheter med en rektangel - i själva verket är en kvadrat en rektangel där alla sidor har samma längd.

Att alla sidorna i en kvadrat har samma längd innebär att det blir enkelt att beräkna en kvadrats omkrets och area. För enkelhets skull skriver vi ofta sidans längd som s. Omkretsen, O, beräknar vi med formeln

O = 4 s

Arean, A, beräknar vi så här:

A = s.s = s^2

Parallellogram

En parallellogram är en fyrhörning där motstående sidor är lika långa.

(14)

Om vi utgår från de beteckningar vi använder i figuren här ovanför, kan vi skriva en parallellograms omkrets, O, så här:

O = 2a + 2b

Att finna en parallellograms area kan vara lite knepigt. På samma sätt som vi kom fram till för rektanglar, beräknar vi en parallellograms area genom att multiplicera basen med höjden. Men för parallellogram är basen, b, en av dess sidor och höjden, h, är den vinkelräta sträckan mellan basen och basens motstående sida.

Arean, A, kan vi därför beräkna som

A = b ⋅ h

Romb

En romb är en parallellogram där fyrhörningens alla sidor har samma längd.

En rombs omkrets, O, blir därför lätt att beräkna, om vi känner till längden på rombens sida, s:

O= 4 s

När vi vill teckna arean för en romb använder vi precis samma formel som för parallellogram. Även i fallet med romber får vi vara noga med att höjden, h, är den vinkelräta sträckan mellan basen och basens motstående sida:

(15)

A = b . h Romber, parallellogram och parallelltrapetser

Rombers area får du genom att multiplicera rombens diagonaler med varandra och sen dela med två. Parallellogram fungerar på samma sätt som rektanglar vad gäller att räkna ut area och omkrets. Parallelltrapetsens area får du fram genom att addera de båda långsidorna med varandra och sen multiplicera dessa med höjden och sen dela detta svar med två. Alla dessa formler brukar finnas med i formelbladet.

Radie och diameter

En cirkel är en rund geometrisk figur som utgår från en medelpunkt. På ett visst avstånd från medelpunkten finns vad som ibland kallas cirkelns periferi, vilket är den rundade kurva som bildar själva cirkelns form. Avståndet från medelpunkten till periferin kallas cirkelns radie (r) och är lika stort oavsett vilken punkt på periferin vi väljer.

Om vi har en rät linje som går mellan två punkter på en cirkels periferi och som passar genom medelpunkten, så kallar vi den sträckan cirkelns diameter (d).

I figuren här nedanför är både radien r och diametern d markerade.

(16)

d=2r

Cirklars omkrets och talet pi (π)

När vi undersökte omkretsen för fyrhörningar och trianglar, kom vi fram till att dessa figurers omkrets är lika med summan av sidornas längd.

Men när vi studerar cirklar är det inte lika enkelt att beräkna omkretsen. Om vi mäter olika cirklars omkrets och diametrar, så märker vi snart att vi får samma kvot varje gång när vi dividerar en cirkels omkrets, O, och cirkelns diameter, d.

Den här kvoten är densamma för alla cirklar och har det ungefärliga värdet 3,14159265, när vi avrundar värdet till åtta decimaler. Det här talet är mycket viktigt inom matematiken och har därför fått ett eget namn: talet pi, vilket vi betecknar med symbolen π. Kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter är alltså

Cirkelnsomkrets / cirkelnsdiameter = π ≈ 3,14

Med hjälp av definitionen av talet π kan vi skriva en formel för en cirkels omkrets, O:

Omkretsen = π . diametern O = π . d

Eftersom en cirkels diameter d alltid är dubbelt så lång som cirkelns radie r, kan vi även skriva formeln för cirkelns omkrets med hjälp av radien, så här:

omkretsen=2. Π . radien O = 2 π r

Cirklars area

Vi ska nu lära oss hur vi beräknar en cirkels area.

Om vi har en cirkel med radien r och placerar den inuti en kvadrat, så får vi en figur som ser ut så här:

(17)

Beräknar vi kvadratens area, så vet vi från avsnittet om fyrhörningar att den blir följande:

A kvadraten = sidan . sidan = 2r . 2r = 4.r.r

Vi kan se det som att den här kvadraten består av fyra jämnstora små kvadrater med sidan r. Som vi ser i figuren måste cirkelns area vara mindre än den stora kvadraten area.

I själva verket är cirkelns area lite drygt tre gånger så stor som arean av de små kvadraterna, som vi markerade i figuren. Närmare bestämt är cirkelns area π gånger större än de små kvadraternas area:

A cirkel = π. r. r = π r2

Den här formeln för en cirkels area kan vi använda för alla cirklar. Eftersom talet π alltid har samma värde (det är en konstant), beror en cirkels area bara på cirkelns radie.

Cirkelsektor

Cirkelsektorns area och omkrets

För att räkna cirkelsektorns area så tar jag formeln för cirkelns area pi multiplicerat med radien i kvadrat och multiplicerar detta med bågvinkeln och delar sedan detta sedan med en hel cirkels vinkel nämligen 360 grader. På samma sätt använder man omkrets formeln för en hel cirkel för att räkna ut bågens längd, alltså pi multiplicerat med diametern och så tar man och multiplicerar med bågvinkeln delat med 360 grader. För att räkna runt om cirkelsektorn alltså cirkelsektorns omkrets så adderar man bågens längd med radien och sen radien en gång till.

(18)

Ibland kan vi vilja undersöka delar av en hel cirkel i form av "tårtbitar", så som vi visar i figuren här nedanför:

Denna typ av "tårtbitsformad" del av en cirkel kallar vi en cirkelsektor. Hur stor en cirkelsektor är beror på vinkeln i mitten av cirkeln, som vi kallar medelpunktsvinkeln.

Vi kan skriva en formel för en cirkelsektors area, där medelpunktsvinkeln betecknas v, så här:

A cirkelsektor = v / 360. Π r2

Om vi till exempel vill beräkna arean av en cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln v = 90°, så får vi denna area med hjälp av formeln:

A cirkelsektor = 90 / 360.π r 2 = ¼ .π r2

Vad vi kom fram till här är att en cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln v = 90° har en area som är en fjärdedel så stor som hela cirkelns area. Det här hade vi även kunnat komma

(19)

Volym och enheten kubikmeter

När vi talar om volym menar vi hur mycket något rymmer. Till exempel kan vi säga att ett vanligt mjölkpaket rymmer 1 liter eller att en hink rymmer 5 liter.

Hur räknar vi ut att dessa föremål har den volym de har? Ett sätt att ta reda på det är att jämföra med något föremål vars volym vi känner till, men vi vill ju även kunna räkna ut volymen utan sådana hjälpmedel.

Tänk dig att du har en låda som har sidan 1 meter, som du kan se i bilden här nedanför.

En sådan låda har höjd, längd och bredd. Just den här typen av tredimensionell figur, som har höjd, längd och bredd som är lika långa, kallar vi en kub. Vi kommer att lära oss mer om kuber i ett senare avsnitt.

Den här lådan har en basyta, som är ytan nedtill på lådan. Den basytan har formen av en kvadrat och vi vet sedan tidigare hur vi beräknar arean av en kvadrat:

A kvadrat = s ⋅ s = 1m ⋅ 1m = 1 m2 Arean av basytan är alltså lika med 1 kvadratmeter.

När vi ska beräkna lådans volym, multiplicerar vi denna basytas area med lådans höjd, som är 1 meter. Då får vi volymen, så här:

V = 1 m2 ⋅ 1 m = 1m3

Den volym som vi nu har beräknat för lådan är 1 m3, vilket uttalas som en kubikmeter. En kubikmeter är den volym som en kub med sidan 1 meter har. Det kan vi jämföra med en kvadratmeter, som ju är den area som en kvadrat med sidan 1 meter har.

På samma sätt som vi kom fram till att en kubikmeter är volymen hos en kub med sidan 1 meter, är till exempel en kubikdecimeter volymen hos en kub med sidan 1 decimeter.

Omvandling mellan volymenheter

(20)

Vi vet att 1 meter är lika med 10 decimeter. Därför kan vi skriva en kubikmeter så här: 1 m3 = 1m⋅1m⋅ 1m =

= 10dm⋅10dm⋅ 10dm = = 10^3 dm3 =

= 1000 dm3

Nu har vi alltså kommit fram till att det går 1 000 kubikdecimeter på 1 kubikmeter.

På samma sätt kan vi komma fram till att det går 1 000 kubikcentimeter på 1 kubikdecimeter, vilket innebär att det går 1 miljon kubikcentimeter på 1 kubikmeter.

1 m3 = 1000 dm3 = 1000000 cm3 1dm3 = 1000 cm3

Vi vill även kunna omvandla kubikmeter, kubikdecimeter och kubikcentimeter till enheten liter.

Enheten liter är detsamma som en kubikdecimeter. Därför kan vi omvandla från kubikmeter, kubikdecimeter och kubikcentimeter till liter så här:

1m3 = 1000 dm3 = 1000l 1 dm3 = 1 l 1 cm3 = 0,001 l = 1 ml

Omvandla volymen till enheten liter

a) 17 m3 b) 56,8 dm3 c) 7200 cm3 Lösningsförslag:

a)

Vi vet att en kubikmeter är lika med 1 000 liter. Därför kan vi skriva om 17 m3så här: 17 m3 = 17⋅1000 l= 17000 l

b)

(21)

c)

Tusen kubikcentimeter är lika med en kubikdecimeter, vilket är lika med en liter. Därför kan vi skriva om 7 200 cm3 så här:

7200 cm3 = 7,2⋅1000 cm3 = 7,2⋅1 dm3 = 7,2 l

Rätblock och kuber

En kub är en tredimensionell figur som har en längd, bredd och höjd som är lika långa. Alla vinklar hos kuben är räta vinklar.

Exempel på kubformade föremål som du kan ha träffat på redan är en vanlig sexsidig tärning eller en låd som har sex stycken kvadratformade sidor.

Ett rätblock är en tredimensionell figur som precis som kuber har en längd, bredd och höjd, och vinklar som alla är räta vinklar. Men ett rätblocks längd, bredd och höjd behöver inte vara lika långa.

Exempel på rätblocksformade föremål är en tegelsten eller en vanlig skokartong.

Alla kuber är även rätblock - en kub är helt enkelt ett rätblock vars sidor är lika långa. Däremot är inte alla rätblock kuber.

Volymen av ett rätblock eller kub

När vi vill räkna ut hur stor volym som ett rätblock har, börjar vi med att titta på vilka sidor som är rätblockets längd (l) och bredd (b). Längden och bredden skapar tillsammans en yta, basytan, som har formen av en rektangel, vars area vi kallar basarean. Den här basarean multiplicerar vi sedan med rätblockets höjd (h), för att få rätblockets volym.

(22)

Om rätblocket i den förra figuren här ovanför har längden 4 cm, bredden 4 cm och höjden 2 cm, så kan vi beräkna volymen. Först räknar vi ut hur stor basarean är. Sedan multiplicerar vi basarean med höjden, för att få volymen.

Volymen för en kub räknas ut genom att ta sidan i kubik alltså sidan multiplicerat med sidan multiplicerat med sidan. För att räkna ut ett rätblocks volym så räknar man först ut basytan, alltså det som rätblocket står på genom att ta längden multiplicerat med bredden. Sen tar man och multiplicerar höjden till den basyta man fått fram.

Prismans volym

Volymen räknas ut i en prisma genom att först räkna ut basytan som är en triangels area. När du räknat ut detta så multiplicerar du basytan med höjden på prismat.

Prismor

Ett prisma är en geometrisk figur som har två månghörningar som basytor. De båda basytornas kanter binds samman av linjer som bildar sidoytor. Om linjerna som binder samman basytorna är vinkelräta mot basytorna, då säger vi att det är ett rakt prisma.

(23)

Prismats basytor har formen av en månghörning, så det finns många olika typer av prismor. I bilden här nedanför ser du till exempel ett prisma som har en femhörning som basyta.

Volymen av en prisma

När vi vill räkna ut ett prismas volym, är det två saker vi behöver känna till: prismats basarea (B) och prismats höjd (h). Höjden h är det vinkelräta avståndet mellan de båda basytorna, vilket vi kan se i bilden här ovanför.

Prismats volym beräknar vi som basarean multiplicerad med höjden:

Volym = basarea ⋅ h

ö

jd

V

prisma

= B ⋅ h

Ett prisma har en basyta med arean 25 cm2. Prismats volym är 150 cm3. Vilken höjd har prismat?

Vi vill ta reda på prismats höjd, så vi betecknar höjden med h. Formeln för ett prismas volym är

V

prisma

=B⋅h

Vi känner till prismats volym och basarea, så vi kan skriva den här ekvationen:

(24)

Den här ekvationen kan vi lösa, till exempel genom metoden balansering:

150 = 25 ⋅ h

150 /

25

= 25 ⋅ h /

25

h = 6

Vad vi har kommit fram till nu är att prismat har höjden 6 cm.

Cylinderns volym och mantelyta

Volymen på en cylinder räknas ut genom att ta arean av en cirkel alltså pi gånger radien i kvadrat och så multiplicerar man detta med höjden. Mantelytan som är den yta man får om man klipper isär burken och plattar ut den är pi gånger diametern gånger höjden. Vill jag ha hela cylinderns begränsningsyta så lägger jag bara till toppen och botten arean som du räknar ut med hjälp av cirkelns area.

Cylindrar

Den vanligaste typen av cylindrar som vi träffar på är så kallade raka, cirkulära cylindrar. Dessa cylindrar har två basytor i form av cirklar. Dessa basytor binds samman av en mantelyta.

(25)

Volymen av en cylinder

När vi ska beräkna en cylinders volym, använder vi oss av samma formel som vi använde för prismor.

En cylinders volym är därför lika med dess basarea B multiplicerad med höjden h. Höjden h är lika med avståndet mellan de båda basytorna. Basytan har formen av en cirkel med radien r, så vi använder oss av formeln för en cirkels area för att beräkna basarean.

Volymen av en rak, cirkulär cylinder kan vi beräkna så här: Volym = bas area ⋅ höjd

V(rak, cirkulär cylinder 9 = B ⋅ h = π. r^2 ⋅h

Hur stor är tonfiskburkens volym?

En vanlig konservburk med tonfisk kan ses som en cylinder. Basytan har formen av en cirkel med radien 4,25 cm och höjden på burken är 4 cm.

Lösningsförslag:

För att beräkna cylinderns volym börjar vi med att beräkna arean av basytan, som ju har formen av en cirkel.

(26)

Cirkelns radie är 4,25 cm, så vi får denna basarea:

B = πr2 = π⋅4,252 (≈56,7cm2)

Cylinderns volym beräknar vi med hjälp av basarean och höjden 4 cm: V = B⋅h = π⋅4,252⋅4 ≈ 200cm3 = 200ml

Tonfiskburkens volym är ungefär 200 cm3, vilket är detsamma som 200 ml.

Pyramidens volym

Volymen för en pyramid räknar man ut genom att multiplicera basytan som är en kvadrat med höjden och dela detta med tre.

Pyramider

En pyramid är en geometrisk figur som har en basyta med formen av en

månghörning, till exempel en rektangel eller en triangel. Pyramiden har också sidoytor i form av trianglar, som möts i en spets.

(27)

En triangels höjd h är avståndet mellan basytan och triangelns spets. Alla pyramider är också koner, som har månghörningar som basyta.

Volymen av en pyramid

Eftersom en pyramid är en typ av kon, kan vi använda samma formel för att beräkna en pyramids volym, som vi använde för att beräkna en kons volym:

V

pyramid

= B⋅h / 3

En rak, cirkulär kon har en volym som är en tredjedel så stor som en cylinder med samma basyta och höjd som konen. På motsvarande sätt har en pyramid en volym som är en tredjedel så stor som ett prisma med samma basyta och höjd som pyramiden.

Beräkna pyramidens volym

En pyramid har en basyta i form av en rektangel med sidorna 10 m och 18 m, och pyramidens höjd är 5 m.

Lösningsförslag:

Vi vet att vi kan beräkna en pyramids volym genom den kända formeln

(28)

Vad vi behöver veta är därför basytan area B och pyramidens höjd h.

Vi vet att pyramidens basyta har formen av en rektangel med sidorna 10 m och 18 m. Med hjälp av formeln för en rektangels area beräknar vi basytans area:

B=b⋅h=10⋅18=180m

2

Eftersom vi redan vet pyramidens höjd, som är 5 m, kan vi nu beräkna pyramidens volym:

V

pyramid

= B⋅h / 3=180⋅5 / 3= 60⋅5 = 300m

3

Pyramidens volym är alltså 300 m3.

Konens volym

Volymen för en kon räknas ut genom att ta cirkelns area och multiplicera med höjden

samt dela med tre.

Koner

En kon är en geometrisk figur som har en basyta och en mantelyta som formas till en spets utifrån basytan. Om basytan har formen av en cirkel och konens spets ligger rakt ovanför eller under cirkelns medelpunkt, då kallar vi konen för en rak, cirkulär kon. Det är sådana koner som vi vanligtvis menar när vi säger att något föremål har

formen av en kon, till exempel en glasstrut. Så här kan en rak, cirkulär kon se ut:

(29)

Som vi ser i den här bilden har konen en basyta i form av en cirkel med radien r. Vi ser också att konen har en spets som ligger rak ovanför basytans medelpunkt, på avståndet h.

Volymen av en kon

När vi ska beräkna volymen av en kon kan vi tänka på formeln för en cylinders volym, som vi lärde oss i det förra avsnittet.

En cylinder har volymen

V

cylinder

= B⋅h

Om en kon har samma basyta B och höjd h som en cylinder, så kommer konen att ha en volym som är en tredjedel så stor som cylinderns volym.

Därför är formeln för en kons volym den här:

V

kon

= B⋅h / 3

Om konen har en basyta som har formen av en cirkel med radien r, då kan vi beräkna basytans area så här:

B = π r

2

Sätter vi in det här uttrycket i formeln för en kons volym, så får vi för en cirkulär kon den här formeln:

V

kon

= π⋅r

2

⋅h / 3

(30)

En glasstruts insida har formen av en rak, cirkulär kon. Den fylls med glass upp till kanten på struten. Konen har radien 2,5 cm och höjden 10 cm.

Hur stor volym har glassen som struten fyllts med? Svara i milliliter. Lösningsförslag:

Vi kan använda formeln för en rak, cirkulär kons volym för att beräkna glassens volym, eftersom den helt fyller ut glasstrutens insida.

Konens basyta B är glasstrutens öppning upptill. Den basytan har formen av en cirkel med radien 2,5 cm, så basytans area är

B = π⋅r

2

= π⋅2,5

2

= 6,25π cm

2

≈ 20cm

2

Konens höjd h känner vi till och den är 10 cm.

Glasstrutens insidas volym, som också är glassens volym, är därför

V

glasstrut

= B⋅h / 3 = 6,25π⋅10 / 3 = 62,5π / 3 ≈ 65cm

3

Med hjälp av formeln för en kons volym kom vi alltså fram till att glassen som struten fylls med har en volym som är ungefär 65 cm3.

Hur mycket är detta i milliliter?

Vi vet sedan avsnittet om volymenheter att 1 kubikcentimeter är lika mycket som 1 milliliter. Därför har glassen en volym som är ungefär 65 ml.

Vilken höjd har konen?

En kon har volymen 80 cm3 och en basyta med arean 20 cm2. Lösningsförslag:

I den här uppgiften kan vi använda oss av formeln för en kons volym. Med hjälp av den formeln kan vi lösa ut konens höjd h.

Konens volym är

V= B⋅h / 3

I den här formeln vet vi vilka värden V och B ska ha. V är ju konens volym, som vi vet är 80 cm3. B är konens basytas area, som är 20 cm2. Det enda i formeln som vi inte vet värdet på är konens höjd h.

(31)

Fyller vi i vad vi vet i den här formeln, så får vi den här ekvationen:

80 = 20⋅h / 3

Den här ekvationen kan vi lösa med hjälp av balansering, som vi lärt oss i tidigare avsnitt. Att lösa ekvationen innebär att vi hittar vilket värde som höjden h måste ha:

80 = 20⋅h / 3

3

⋅80=

3

⋅20⋅h / 3

240=20⋅h

240 /

20

=20⋅h /

20

H = 12cm

Nu har vi alltså kommit fram till att en kon som har volymen 80 cm3 och en basyta med arean 20 cm2 måste ha höjden 12 cm.

Klotets volym och area

Volymen för ett klot räknas ut genom att multiplicera fyra med pi och radien upphöjt i tre samt dela detta med tre. Arean på klotet får man genom att multiplicera 4 med pi och radien i kvadrat.

Klot och sfärer

Ett klot är en geometrisk figur som begränsas av den yta som ligger på radiens avstånd från klotets centrum. Själva ytan som en klotformad figur har kallas en sfär. Du har redan träffat på klot i många olika situationer. Till exempel brukar bollar vara klotformade och även den planet som vi bor på, Jorden, är ungefär klotformad. Du

(32)

har antagligen också träffat på bowlingklot, som ju har fått sitt namn från den geometriska formen klot.

Så här kan ett klot se ut:

Ett klot har alltid en viss radie r, som är avståndet från klotets centrum ut till klotets yta, som vi kallar sfären. Man kan tänka sig en sfär som en cirkel i tre dimensioner. En storcirkel är en cirkel som går längs klotets yta på ett sådant sätt att denna cirkels omkrets blir så stor som möjligt. Om vi tittar på planen Jorden, som ungefär har formen av ett klot, så är ekvatorn Jordens storcirkel.

Volymen av ett klot

När vi ska beräkna volymen av ett klot, använder vi den här formeln, där r är klotets radie:

V

klot

= 4⋅π⋅r

3 /

3

Hur stor volym har fotbollen?

(33)

Lösningsförslag:

Eftersom en fotboll har formen av ett klot och vi känner till klotets radie, 11 cm, kan vi använda formeln för ett klots volym för att beräkna fotbollens volym:

V = 4⋅π⋅11

3 /

3 ≈ 5600cm

3

Detta är alltså fotbollens volym, men hur mycket är 5 600 cm3 i enheten liter? Från avsnittet om volymenheter vet vi att 1 000 cm3 är lika med 1 dm3. Vi vet också att 1 dm3 är lika med 1 liter.

Därför kan vi skriva om fotbollens ungefärliga volym så här:

V ≈ 5600 cm

3

= 5,6⋅1000 cm

3

= 5,6⋅1 dm

3

=5,6 l

En fotboll med radien 11 cm (vilket är en vanlig radie för fotbollar) har en volym på ungefär 5,6 liter.

Hur stor volym rymmer skålen?

Denna skål har formen av ett halvt klot, som har inre diametern 36 cm. Du tänker fylla denna skål med vatten ända upp till kanten.

Du vill hälla upp 10 liter vatten i skålen, kommer skålen att rymma så mycket vatten? Lösningsförslag:

Skålen har formen av ett halvt klot med den inre diametern 36 cm. Det innebär att skålen rymmer en volym som är lika med hälften av ett klot med radien 18 cm. Vi kan beräkna den volym som skålen rymmer så här:

V

skål

= V

klot /

2 =

4⋅π⋅18^3 /

2=

(34)

Skålen rymmer alltså en volym på ungefär 12 000 cm3. Eftersom 1 000 cm3är lika med 1 dm3, kan vi skriva volymen så här:

V

skål

≈ 12000 cm

3

= 12 dm

3

= 12 l

Rymmer skålen 10 liter vatten? Ja, eftersom skålen har en volym på ungefär 12 liter bör den rymma 10 liter vatten.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel är en triangel som har en vinkel som är 90°.

För rätvinkliga trianglar finns det särskilda namn som man brukar använda för att benämna de olika sidorna. De båda sidor som möts i den räta vinkeln kallar vi kateter. Den återstående sidan kallar vi hypotenusa.

I bilden här nedanför är därför sidan c den rätvinkliga triangelns hypotenusa, och sidorna a och b är triangelns kateter.

Pythagoras sats säger oss att det för varje rätvinklig triangel finns följande samband mellan längderna på triangelns sidor:

a

2

+b

2

=c

2

där a och b är längderna på kateterna, och c är längden på hypotenusan.

Pythagoras sats har fått sitt namn från den grekiske matematikern Pythagoras, som levde för ungefär 2 500 år sedan. Denna viktiga sats användes dock även tidigare än så, bland annat i Babylonien.

Nu ska vi undersöka hur Pythagoras sats kan användas, genom att först titta på en rätvinklig triangel där vi känner till längden på alla de tre sidorna.

(35)

I den rätvinkliga triangeln ovan är vinkeln i hörnet C den räta vinkeln. Det betyder att sidorna med längderna 3 respektive 4 längdenheter är triangelns kateter. Den återstående sidan, som har längden 5, är därför triangelns hypotenusa.

Enligt Pythagoras sats ska det här sambandet gälla mellan denna triangels sidor:

3

2

+4

2

=5

2

Vi undersöker om denna likhet gäller, genom att förenkla det vänstra ledet för sig och det högra ledet för sig:

3

2

+4

2

=

= 3⋅3+4⋅4 =

= 9+16 =

=25

5

2

=

=5⋅5=

=25

Det vänstra ledet blir lika med det högra ledet. Alltså gäller det samband som Pythagoras sats anger för denna triangel.

Om det vänstra ledet inte hade varit lika med det högra ledet, då måste antingen längden på någon av triangelns sidor vara fel eller också kan triangeln inte ha varit rätvinklig. Därför kan vi använda oss av Pythagoras sats till att avgöra om en triangel är rätvinklig.

(36)

Om vi känner till längden på två av en rätvinklig triangels sidor, så kan vi med hjälp av Pythagoras sats ta reda på längden på den återstående sidan.

Något som är mycket viktigt när vi räknar med Pythagoras sats är att vi håller ordning på vilka sidor som är triangelns kateter och vilken sida som är hypotenusa.

Vi ska nu räkna på några vanliga situationer som kan uppkomma, där vi har användning för Pythagoras sats.

Beräkna med hjälp av Pythagoras sats längden av sidan x

Lösningsförslag:

I bilden ser vi att sidorna med längderna 6 respektive 8 cm möts i den räta vinkeln. Därför är dessa båda sidor den rätvinkliga triangelns kateter. Sidan med

längden x cm måste då vara triangelns hypotenusa.

När vi nu vet vilka sidor som är kateter och vilken som är hypotenusa, kan vi använda oss av Pythagoras sats för att beräkna värdet på x:

(37)

6

2

+8

2

=x

2

36+64=x

2

100=x

2

Enligt denna ekvation ska x multiplicerat med sig självt vara lika med 100. För att lösa ekvationen beräknar vi kvadratroten ur 100, vilket ju ger det tal som multiplicerat med sig självt blir 100.

x=100−−−√=10

Nu har vi alltså kommit fram till att hypotenusan måste ha längden 10 cm.

Beräkna med hjälp av Pythagoras sats längden av sidan x

Lösningsförslag:

Vi börjar med att titta efter den räta vinkeln, som vi hittar nere till vänster i figuren. Sidorna med längderna x meter respektive 12 meter möts i den räta vinkeln, så dessa båda sidor är kateter. Sidan med längden 13 meter måste därför vara hypotenusan.

Eftersom vi nu vet vilka sidor som är kateter och vilken som är hypotenusa, kan vi med hjälp av Pythagoras sats ställa upp det här sambandet mellan sidornas längder:

(38)

För att ta reda på värdet på x börjar vi med att förenkla denna ekvations båda led:

x

2

+12

2

=13

2

x

2

+144=169

x

2

+144−144=169−144

x

2

=25

Enligt denna ekvation ska x multiplicerat med sig självt vara lika med 25. Därför måste x vara lika med kvadratroten ur 25.

X = 5

Sidan x måste alltså ha längden 5 meter.

Enheter för vikt

När vi anger vikt utgår vi från grundenheten kilogram, vilket förkortas kg.

I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan några olika vanligt förekommande viktenheter.

ton kg hg g

1 ton= 1 000 kg = 10 000 hg = 1 000 000 g 1 kg = 10 hg = 1 000 g 1 hg = 100 g

Skriv dessa vikter i gram (g)

a) 4,3 hg b) 26,1 kg c) 0,07 ton

Lösningsförslag: a)

1 hg är lika med hundra gram:

(39)

Därför måste 4,3 hg vara lika med 430 g:

4,3 hg = 4,3⋅100 g = 430 g

b)

1 kg är lika med tusen gram:

1 kg = 1000 g

Därför måste 26,1 kg vara lika med 26 100 g:

26,1 kg = 26,1⋅1000 g = 26100 g

c)

Den här vikten i ton gör vi om till enheten gram i två steg: först omvandlar vi vikten från ton till kg, och sedan från kg till gram.

1 ton är lika med tusen kg:

1 ton = 1000 kg

Därför måste 0,07 ton vara lika med 70 kg:

0,07 ton = 0,07⋅1000 kg = 70 kg

När vikten nu är skriven i kg är det lätt att omvandla den till gram, eftersom 1 kg är lika med tusen gram:

1 kg = 1000 g

Därför måste 70 kg vara lika med 70 000 g:

70 kg = 70⋅1000 g = 70000 g

Enheter för volym

När vi anger volym utgår vi ofta från enheten liter, vilken förkortas som l.

I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan olika vanligt förekommande volymenheter.

liter (l) deciliter (dl) centiliter (cl) mililiter (ml)

1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml

(40)

Skriv dessa volymer i deciliter (dl) a)

1 liter är lika med tio deciliter:

1l = 10dl

Därför måste 13,4 l vara lika med 134 dl:

13,4l = 13,4⋅10dl = 134dl

b)

1 milliliter är lika med en hundradels deciliter:

1ml = 0,01dl

Därför måste 32 ml vara lika med 0,32 dl:

32ml = 32⋅0,01dl = 0,32dl

Enheter för längd

När vi anger längd utgår vi från grundenheten meter, vilken förkortas som m.

I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan olika vanligt förekommande längdenheter.

mil kilometer (km) meter (m) decimeter (dm) centimeter (cm) milimeter (mm)

1 mil = 10 km = 10 000 m = 100 000 dm = 1 000 000 cm = 10 000 000 mm 1 km = 1 000 m = 10 000 dm = 100 000 cm = 1 000 000 mm 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm

1 cnm = 10 mm

Skriv dessa längder i centimeter (cm)

a) 0,54m b) 3,9mm

(41)

a)

1 meter är lika med hundra centimeter:

1m = 100cm

Därför måste 0,54 m vara lika med 54 cm:

0,54m = 0,54⋅100cm = 54cm

b)

1 millimeter är lika med en tiondels centimeter:

1mm = 0,1cm

Därför måste 3,9 mm vara lika med 0,39 cm:

3,9mm = 3,9⋅0,1cm = 0,39cm

Skala

Skalan får man fram genom att ta bilden delat med verkligheten. T.ex. om bilden är 5 och verkligheten är 500 så blir skalan 5:500 eller om vi förkortar med fem 1:100.

När vi ska avbilda någonting på papper, till exempel en penna, kan vi ibland göra det i samma storlek som föremålet har i verkligheten. Om pennan är 15 cm lång i verkligheten så kan vi låta avbildningen på pappret även den bli 15 cm lång. När vi avbildar något i samma storlek som det har i verkligheten, då säger vi att avbildningen är gjord i naturlig storlek.

Vi kan också vilja avbilda någonting i en annan storlek än det har i verkligheten. När vi gör det säger vi att vi avbildar i skala.

Så gör vi till exempel om vi ritar en karta - avstånden i verkligheten är då för stora för att vi ska kunna avbilda dem i naturlig storlek. Därför kan vi göra en förminskning av avstånden. Vi kan till exempel vilja att 1 meter i verkligheten avbildas som 1 centimeter på kartan. Denna förminskning, från 1 meter i verkligheten till 1 cm på kartan, skriver vi som 1:100. Skalan 1:100 betyder alltså att 1 cm på kartan motsvarar 100 cm i verkligheten.

Om vi vill avbilda något litet kan vi istället vilja göra en förstoring, vilket innebär att föremålet på bilden blir större än vad föremålet är i verkligheten. En myra som är 10 mm i verkligheten kan vi vilja avbilda med längden 50 mm, så att det är lättare att se detaljer. När vi gör denna förstoring anger vi skalan som 5:1, eftersom 5 cm på bilden motsvarar 1 cm i verkligheten.

(42)

Avstånd mellan bergstoppar

På en välgjord orienteringskarta anges skalan som 1:15 000. Du mäter upp avståndet 5 cm på kartan mellan två bergstoppar.

Hur långt är avståndet mellan de två bergstopparna i verkligheten? Svara i lämplig enhet. Lösningsförslag:

Eftersom skalan är 1:15 000 motsvarar 1 cm på kartan 15 000 cm i verkligheten. Därför kan vi beräkna hur mycket 5 cm på kartan är i verkligheten så här:

5⋅15000cm = 75000cm = 750m

Nu har vi alltså kommit fram till att 5 cm på orienteringskartan motsvarar 750 meter i verkligheten, vilket är avståndet mellan de två bergstopparna.

Taluppfattning och tals användning

LGR11: Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.

LGR11: Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal. Metoder för beräkningar som använts i olika historiska och kulturella sammanhang.

De fyra räknesätten

De fyra räknesätten är addition där varje del heter term och det resultat man får är en summa, subtraktion där varje del också heter term men där resultatet man får är en differens, multiplikation där varje del heter faktor och resultatet heter produkt samt division där det som står ovanför bråkstrecket heter täljare och det som står nedanför heter nämnare och det resultat man får är en kvot.

Multiplikation med decimaltal

När vi ska multiplicera ett tal med ett decimaltal, då är det bra att kunna skriva om decimaltalet och sedan lösa uppgiften steg för steg. Detta övade vi tidigare på i avsnittet om multiplikation med decimaltal, så vi ska nu repetera hur vi kan göra.

(43)

Beräkna

5 ⋅ 0,23

Ett sätt att beräkna den här produkten är att skriva om decimaltalet. Talet 0,23 kan vi ju se som 23 stycken hundradelar, så vi kan skriva decimaltalet så här:

0,23 = 23 ⋅ 0,01

Det här innebär att vi kan skriva vårt ursprungliga uttryck på det här viset: 5 ⋅ 0,23 = 5 ⋅ 23 ⋅ 0,01

När vi kommit så här långt kan vi först multiplicera 5 med 23, och sedan multiplicera den produkt vi får med 0,01 (vilket innebär att vi flyttar decimaltecknet två steg åt vänster).

5 ⋅ 23 ⋅ 0,01 = 115 ⋅ 0,01 = 1,15

Vad är en potens?

Vi vet sedan tidigare att om vi har en summa av ett antal likadana termer, så kan vi skriva den mer kortfattat. Har vi till exempel följande summa

5+5+5+5+5+5 = 30

så kan vi mer kortfattat skriva den med hjälp av räknesättet multiplikation, så här:

5⋅6 = 30

På liknande sätt kan vi ha en produkt av likadana faktorer, till exempel den här produkten:

5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5 = 15625

Även denna typ av uttryck vill vi kunna skriva i en mer kortfattad form. Vi kan skriva att 5 är det tal som ska multipliceras med sig självt och att det ska multipliceras 6 gånger, så här:

5

^ 6

Ett uttryck skrivet i den här formen kallar vi en potens. En potens består av en bas och en exponent. Basen är det tal som ska multipliceras med sig självt och exponenten anger hur många gånger basen ska multipliceras. I exemplet här ovanför är därför talet 5 basen och talet 6 är exponenten, vilket vi uttalar som "fem upphöjt till sex". Allmänt skriver vi en potens i den här formen:

(44)

Bas ^

exponent

Är ett tal skrivet i denna form så säger vi att talet är skrivet i potensform.

I det här avsnittet ska vi lära oss hur vi kan skriva tal med hjälp av tiopotenser och

i grundpotensform, vilket är en form att skriva tal i som är användbar i vissa sammanhang.

Tiopotenser

Som vi såg i avsnittet om potenser, kan vi skriva en upprepad multiplikation med hjälp av potenser. Till exempel kan vi skriva följande produkt som en potens med basen 10, vad vi kallar en tiopotens:

10⋅10⋅10=10

3

Vi vet också att 10 multiplicerat med sig självt tre gånger är lika med 1 000:

10⋅10⋅10=100⋅10=1000

Det innebär ju också att

10

3

=1000

På motsvarande sätt kan vi komma fram till dessa värden på ett antal olika tiopotenser:

10

^1

=10(tio)

10

^2

=100(hundra)

10

^3

=1000(tusen)

10

^4

=10000(tiotusen)

10

^5

=100000(hundratusen)

10

^6

=1000000(en miljon)

10

^7

=1000000000(en miljard)

Grundpotensform

(45)

När du gör om ett tal till grundpotensform så gör du om talet så att de blir i ett tal mellan 1 och mindre än 10 följt av 10 upphöjt i något positivt tal om det är ett tal över 10 och negativt om det är ett tal mindre än 1. Exempelvis blir 23000 = 2,3*{10}^{4}.

Potenser multiplikation

När man multiplicerar potenstal så adderar man exponenterna för att få ut sitt svar. Exempelvis blir {10^6}*{10^3}= {10^(6+3)={10^9}}

Potenser division

När man dividerar potenstal så subtraherar man exponenterna för att få ut sitt svar. Exempelvis blir {10^5}/{10^2}={10^(5-2)={10^3}}

Potenser av potenser

När man har potenstal upphöjt i någon exponent så multiplicerar man exponenterna för att få ut sitt svar. Exempelvis blir {10}^{3}^{2} = {10}^{(3*2)}={10}^{6}}

Naturliga tal och decimaltal

När vi vill beskriva hur många eller hur mycket något är, till exempel att det finns 24 elever i klassen eller att en bok har 45 sidor, då använder vi oss vanligtvis av de naturliga talen. De naturliga talen är heltal som är lika med noll eller har positiva värden.

Denaturligatalen:0,1,2,3,...

Vi kan markera de naturliga talen på tallinjen:

Vi har även använt oss av decimaltal, vilka är tal som utöver en heltalsdel även kan innehålla en decimaldel, som består av tiondelar, hundradelar, tusendelar, och så vidare. Tre exempel på decimaltal är talen

(46)

5,47 0,861476

Om du vill repetera hur dessa typer av tal fungerar, så kan du läsa mer i avsnittet om naturliga tal och decimaltal

Negativa tal

Vi ska nu undersöka de negativa talen, vilka är tal som är mindre än noll. Ett negativt tal skriver vi på samma sätt ett positivt tal, men med ett minus tecken, -, framför. Det finns både negativa heltal och negativa decimaltal, men i det här avsnittet ska vi främst titta på de negativa heltalen.

Ett exempel på användning av negativa tal är minusgraderna på en vanlig termometer (som anger temperaturen i grader Celsius). Minusgraderna på termometern är mindre än noll grader (0°C). Till exempel kan vi med hjälp av en termometer läsa av temperaturen -8°C, vilket är 8°C mindre än 0°C.

Negativa tal på tallinjen

På en tallinje är de negativa talen placerade till vänster om noll:

Om vi tittar på tallinjen, kan vi se att avståndet till noll är lika långt från till exempel det negativa talet -1 som från det positiva talet 1, det negativa talet -2 som det positiva talet 2, och så vidare.

När vi använder addition och subtraktion då negativa tal är inblandade, så är det vissa saker som vi bör hålla i minnet. När vi lägger till (adderar) något positivt tal, då rör vi oss åt höger längs tallinjen. När vi drar ifrån (subtraherar) något positivt tal, då rör vi oss åt vänster längs tallinjen.

Har vi att göra med negativa tal, kan det hjälpa att tänka på hur det skulle fungerar på en termometer, när temperaturen ökar eller minskar.

Låt oss titta på ett exempel

−3+4=1

Vi kan förstå den här additionen genom att titta på tallinjen. Vi börjar vid det negativa talet -3 och går sedan 4 steg åt höger, eftersom vi adderar ett positivt tal (4). Då hamnar vi vid det positiva talet 1.

(47)

Om vi tänker på hur det fungerar på termometern, så kan vi se det som att vi utgår från temperaturen -3°C och att temperaturen ökar med 4 grader, vilket ger den nya temperaturen +1°C.

På motsvarande sätt kan vi undersöka vad som händer när vi subtraherar ett positivt tal, till exempel

−3−2=−5

Om vi tittar på tallinjen, kan vi se den här beräkningen som att vi börjar vid det negativa talet -3 och sedan går 2 steg åt vänster, eftersom vi subtraherar ett positivt tal (2). Då hamnar vi vid det negativa talet -5.

Tänker vi på hur en termometer fungerar, så kan vi se det som att vi går från temperaturen -3°C och temperaturen sedan minskar med 2 grader, vilket ger den nya temperaturen -5°C.

Addera negativa tal

Vi har nu sett vad som händer när vi har ett negativt tal och adderar eller subtraherar positiva tal. Adderar vi ett positivt tal så går vi åt höger längs tallinjen. Subtraherar vi ett positivt tal så går vi åt vänster längs tallinjen.

Men vad händer om vi adderar ett negativt tal? Det ska vi undersöka nu.

Att addera två tal innebär att vi beräknar hur mycket talen är tillsammans. Eftersom negativa tal är mindre än noll, kan vi se dem som en skuld. Om du till exempel har 100 kr på banken och 50 kr i skulder, då har du ju bara 50 kr att köpa för. På samma sätt fungerar det när vi adderar ett negativt tal:

100+(−50)=100−50=50

Att addera -50 är detsamma som att subtrahera 50.

Vi kan tänka så här: om vi har 100 kr och lägger till en skuld på 50 kr, så har vi bara 50 kr kvar. Det är samma sak som om vi hade 100 kr och handlar något (subtraherar) för 50 kr. I båda fallen har vi 50 kr kvar.

(48)

På samma sätt kan vi tänka om vi har två negativa tal som vi ska addera. Ska vi till exempel addera talen -100 och -50, får vi det här:

−100+(−50)=−100−50=−150

Det kan till exempel vara så att vi har en skuld på 100 kr och ökar skulden med 50 kr. Då blir den sammanlagda skulden 150 kr, som vi ju kan tolka som -150 kr som vi kan köpa för. Subtrahera negativa tal

Vi vill också veta vad som händer när vi subtraherar ett negativt tal.

Att subtrahera är att se hur stor skillnaden, differensen, är mellan två tal. Om vi har ett positivt tal och subtraherar ett negativt tal, då kommer skillnaden att bli större än om vi subtraherat ett positivt tal.

Som ett exempel kan vi tänka oss ett flygplan som flyger på höjden 100 meter över vattenytan och en ubåt som befinner sig på djupet 50 meter under vattenytan. Avståndet i höjdled mellan flygplanet och ubåten är 150 meter, eftersom det först är 100 meter från flygplanet till

vattenytan och sedan ytterligare 50 meter ner till ubåten. Det här avståndet kan vi se som differensen mellan flygplanets höjd över vattenytan och ubåtens höjd över vattenytan (som är negativ, eftersom ubåten ju är under vattenytan):

100−(−50)=100+50=150

Att subtrahera -50 är detsamma som att addera 50.

Bråktal

Bråk-, decimal- och procentform

LGR11: Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk och decimalform vid

överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer.

Introduktion till bråk

Vad det innebär att förkorta ett bråk? Även vad minsta gemensamma nämnare är för någonting.

Alla tal skrivna i bråkform är uppbyggda av samma tre delar: ett bråkstreck, en täljare (talet som står ovanför bråkstrecket) och en nämnare (talet som står under bråkstrecket).

(49)

Ett exempel på ett bråktal är det här:

Det här bråktalet kan betyda olika saker, till exempel sju tårtbitar av totalt åtta tårtbitar, eller sju elever av totalt åtta elever i en grupp.

Bråktal kan vi även skriva om, så att de står skrivna med andra nämnare. Till exempel vårt bråktal sex åttondelar kan vi skriva som fjärdedelar, så här:

När vi har ett bråktal som vi inte kan skriva om med en mindre nämnare, till exempel

Då säger vi att bråktalet är skrivet i sin enklaste form.

Blandad form och decimalform

Ibland har vi tal skrivna i bråkform där täljaren är större än nämnaren. Ett exempel på ett sådant bråktal är

där ju täljaren 7 är större än nämnaren 5.

Har vi ett sådant bråktal kan vi skriva om det i blandad form. Att skriva om talet i blandad form innebär att vi delar upp bråktalet i en heltalsdel och en bråkdel.

Vill vi skriva om sju femtedelar i blandad form kan vi se detta tal som summan av en hel och två femtedelar, vilket vi skriver så här:

(50)

Detta är bråktalet skrivet i blandad form.

Eftersom ett tal i bråkform ju är skrivet som en kvot, kan vi också beräkna värdet genom att dividera täljaren med nämnaren. Utför vi den här divisionen får vi talet i decimalform.

Här är några exempel där vi skrivet om tal i bråkform till decimalform:

Förkortning

I avsnittet om bråktal kom vi fram till att

Just i det här fallet var det ganska enkelt att se att de båda bråktalen är lika (till exempel kan vi tänka på en tårta som vi delar i 8 eller 4 tårtbitar - i det första fallet kommer tårtbitarna att vara hälften så stora som i det andra fallet). 3/4 är dessutom bråktalet skrivet i enklaste form - vi kan inte skriva om bråktalet med en mindre nämnare.

(51)

Men vi kan ju ibland ha täljare och nämnare som gör det svårare att komma på hur vi kan skriva bråktalet i enklaste form. Ett exempel på ett sådant lite mer komplicerat bråktal är

För att förenkla detta bråk använder vi därför förkortning. Förkortning innebär att vi dividerar både täljaren och nämnaren med ett visst heltal, vilket gör att bråktalet skrivs i en enklare form. Dock måste vi komma ihåg att vi bara får dividera med sådana heltal som både täljaren som nämnaren är jämnt delbara med.

I vårt inledande exempel dividerade vi med 2, eftersom både täljaren 6 och nämnaren 8 är jämnt delbara med 2:

På samma sätt kan vi förkorta andra bråktal, till exempel det bråktal som vi stötte på tidigare i avsnittet, där täljaren och nämnaren även i detta fall är jämnt delbara med 2:

Det här bråktalet är nu skrivet i en enklare form, men vi kan faktiskt förkorta det ännu mer. Täljaren 12 är jämnt delbar med 2, men det är inte nämnaren 21, så vi får inte förkorta med 2. Däremot är både täljaren och nämnaren jämnt delbara med 3, så vi kan förkorta bråktalet med 3:

Nu har vi förkortat vårt ursprungliga bråktal två gånger, men nu kan vi inte förkorta mer eftersom bråktalet nu står i enklaste form:

(52)

I en klass finns 30 elever. Av eleverna är 18 stycken flickor.

Teckna ett bråk för hur stor andel av eleverna som är flickor. Förkorta sedan bråktalet till dess det är skrivet i enklaste form.

Lösningsförslag:

Om 18 av de 30 eleverna är flickor, då kan vi teckna det här bråket för hur stor andel av eleverna som är flickor:

Det här bråktalet kan vi förkorta, vilket vi gör i flera steg:

Nu är bråktalet skrivet i enklaste form.

Förlängning

Som vi såg ovan är förkortning en metod som gör att vi kan förenkla bråktal, vilket innebär att bråktalets nämnare blir mindre utan att bråktalets värde förändras. Ibland vill vi kunna skriva om ett bråktal så att det istället får en större nämnare utan att bråktalets värde förändras.

I sådana situationer använder vi oss av förlängning. När vi förlänger ett bråktal, multiplicerar vi täljaren och nämnaren med ett visst heltal.

(53)

Vilket heltal ska vi multiplicera nämnaren med för att produkten ska bli lika med 100?

□⋅20=100

Det måste vara 5, vilket betyder att vi ska förlänga vårt ursprungliga bråktal med en faktor 5:

Nu har vi förlängt vårt ursprungliga bråktal, så att bråktalet har den önskade nämnaren 100:

I det här avsnittet ska vi gå igenom hur vi kan addera och subtrahera bråktal. Vi kommer att märka att vi då har stor användning för förkortning och förlängning av bråktal.

Bråktal med gemensamma nämnare

När vi ska addera två bråktal som har samma nämnare, då skriver vi talet på ett gemensamt bråkstreck och adderar de båda termernas täljare; nämnaren blir densamma som tidigare.

Till exempel kan vi vilja beräkna den här summan av två bråktal:

(54)

Till exempel kan vi beräkna den här differensen av två bråktal:

Bråktal med olika nämnare

Minsta gemensamma nämnare

När man har olika tal i nämnaren och man vill kanske addera eller subtrahera bråktal så måste man hitta en minsta gemensam nämnare.

Som vi såg ovan är det enkelt att addera eller subtrahera två bråktal om de har samma nämnare.

Men om vi vill addera eller subtrahera två bråktal som har olika nämnare, då måste vi först skriva om minst ett av bråktalen, så att de båda bråktalen får samma nämnare. Det kan vi göra med hjälp av förkortning eller förlängning.

När vi väl har skrivit om bråktalen så att de har samma nämnare, kan vi beräkna summan eller differensen på precis samma sätt som vi gick igenom tidigare i det här avsnittet.

Vi ska nu räkna några exempel där vi skriva om bråktalen så att de har gemensamma nämnare.

(55)
(56)

Beräkna summan 3/4 + 7/8 + 5/6

För att plocka fram minsta gemensamma nämnare så tar du i detta fall 2 från varje nämnare sen en till 2:a från första och andra nämnaren och en tredje 2:a från andra nämnaren och så en 3:a från sista nämnaren. Dessa multiplicerar du och får

[2]*[2]*[2]*[3] som blir 24, vilket är din minsta gemensamma nämnare. Förläng nu alla bråktal så att alla får 24 i nämnaren och du kan sen sätta dessa på ett gemensamt bråkstreck och räkna ut ditt bråktal.

(57)

Delbarhet

När kan man dela ett tal med två? Jo, när man har jämna tal. 3 när siffersumman går att dela med 3. 4 när de två sista talen går att dela med 4. 5 är alla tal som slutar på 0 eller 5. 6 när man kan dela med både 2 och 3. 8 är bär de tal som bildas av de tre sista siffrorna kan delas med 8. 9 när siffersumman kan delas med 9.

(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
(63)

Introduktion till procent

LGR11: Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom olika ämnesområden.

(64)

Beräkna andelen

Vi ska nu använda sambandet mellan andelen, delen och det hela till att beräkna hur många procent något är av det hela.

(65)

Linus tappar ett äggpaket

Linus har varit i affären och handlat ägg, som säljs i ett paket med 12 ägg. På vägen hem tappar han paketet med ägg i marken och då går nio av äggen sönder.

Hur många procent av äggen gick inte sönder? Lösningsförslag:

Vi ska använda sambandet mellan andelen, delen och det hela, så vi börjar med att ta reda på vad som är andelen, delen och det hela.

Det hela är antalet ägg som fanns från början, det vill säga 12 stycken ägg. Delen är antalet ägg som inte gick sönder, vilket är 3 stycken ägg.

Andelen ägg som inte gick sönder kan vi därför beräkna så här:

Beräkna delen

Ibland kan vi vilja ta reda på hur stor en viss del är, när vi känner till hur stor andel delen utgör och hur mycket det hela är. I sådana fall kan vi använda en annan version av sambandet mellan andelen, delen och det hela, som ser ut så här:

Delen = andelen ⋅ det hela

Något som vi måste komma ihåg när vi räknar med den här formeln, är att andelen då ska vara skriven i decimalform. Om vi till exempel har andelen 25 %, innebär det att vi använder 0,25 (det vill säga 25 % i decimalform) när vi utför beräkningen.

Vill vi ta reda på hur många 25 % av 300 personer är, så räknar vi därför så här:

Delen = andelen ⋅ det hela = =25%⋅300=

(66)

=0,25⋅300=75

25 % av 300 personer är alltså 75 personer.

Ett sätt att underlätta den här beräkningen om vi ska använda huvudräkning, är att först räkna ut hur mycket 1 % av 300 är och sedan multiplicera detta med 25, för att få delen som 25 % utgör:

Delen = andelen ⋅ det hela = =25%⋅300=

=25⋅1%⋅300= =25⋅0,01⋅300=

=25⋅3=75

På samma sätt som vi gjorde i det här exemplet kan vi räkna i andra sammanhang när vi vill ta reda på hur stor delen är, om vi vet andelen och det hela.

(67)

Lisas inkomst

Lisa betalar 1 800 kr per månad i hyra för en studentlägenhet som hon delar med Maria. Lisas hyreskostnad per månad utgör 30 % av hennes månadsinkomst. Hur stor är Lisas inkomst?

Lösningsförslag:

Vi kan använda sambandet mellan andelen, delen och det hela för att beräkna Lisas inkomst.

Hennes hyreskostnad utgör andelen 30 % av hennes inkomst, så andelen är 0,3 (30 %).

(68)

Därför kan vi beräkna Lisas inkomst så här:

Beräkna delen vid procentuell förändring

I avsnittet om sambandet mellan andelen, delen och det hela kom vi fram till att vi kan beräkna hur mycket en viss del är, om vi vet hur mycket det hela är och hur stor andel av det hela som delen utgör. Vi beräknar delen med hjälp av den här formeln:

Delen = andelen ⋅ det hela

Det här sambandet kan vi använda när vi vill räkna på procentuella förändringar, till exempel när priset på en produkt höjs eller sänks.

Prissänkning på byxor

Priset på ett par byxor var från början 300 kr. Sedan sänktes priset med 15 %. Hur stor var prissänkningen i kronor räknat? Vad blev det nya priset på byxorna? Lösningsförslag:

Vi använder sambandet mellan andelen, delen och det hela för att beräkna hur stor prissänkningen är i kronor räknat.

Prissänkningen utgjorde 15 % av det ursprungliga priset, så andelen är 0,15 (15 %). Det ursprungliga priset var 300 kr, så det hela är 300 kr.

(69)

Vad är ränta?

Om du sätter in pengar på ett konto på banken, då får du vanligtvis ränta under den tid som du låter pengarna vara kvar på kontot. Räntan är en betalning som banken gör till dig som

ersättning för att banken får låna pengarna av dig.

Räntan anges som en viss procentsats, vilket innebär att man varje år får betalt av banken beroende på hur mycket pengar, kapital, man har insatta på sitt konto.

Om du till exempel sätter in 4 000 kr på ett tomt konto och har en räntesats på 3 %, så ska du efter det första året få ränta motsvarande 3 % av 4 000 kr, det vill säga 120 kr:

På liknande sätt som man kan sätta in pengar på ett konto på banken, kan man låna pengar av banken. Om man lånar pengar av banken, då får man istället betala ränta till banken beroende på hur mycket man har lånat och vilken räntesatsen är.

(70)

Räkna på ränta vid sparande

Vi ska nu räkna några exempel där man sätter in pengar på ett konto på banken.

Alexanders bankkonto

Alexander satte in 8 000 kr på sitt tomma bankkonto den 1 januari. Räntesatsen var 2 %. Ett år senare tog han ut alla pengarna som han hade på kontot.

Hur mycket ränta i kronor räknat fick Alexander under året? Hur mycket pengar kunde han ta ut från kontot efter ett år?

Lösningsförslag:

Kapitalet som Alexander satte in på kontot var 8 000 kr och räntesatsen var 2 %.

Det innebär att räntan i kronor räknat som Alexander borde ha fått under året blev 2 % av 8 000 kr:

Räkna på ränta vid lån

På liknande sätt som vi gjort tidigare i avsnittet kan vi räkna på den ränta man får betala om man tar ett lån i banken.

När man tar ett lån i banken finns det vanligtvis ett krav på att man förutom att betala räntan även ska amortera (betala av) på lånet, vilket betyder att man betalar för att lånet ska bli mindre.

(71)

Frida lånar 20 000 kr av banken. Räntesatsen är 5 %. Ett år efter att hon tog lånet betalar hon av hela lånet och räntan för året.

a) Hur mycket ränta måste Frida betala under det år hon lånade pengarna? b) Hur mycket måste hon betala totalt vid detta tillfälle?

Lösningsförslag: a)

Eftersom Frida lånade 20 000 kr och räntesatsen var 5 %, beräknar vi räntan så här:

Procent och procentenheter

För att förstå skillnaden mellan förändringar i procent och procentenheter ska vi börja med ett exempel.

I avsnittet om ränta lärde vi oss att om vi har pengar insatta på ett konto på banken, så får vi ränta enligt en viss räntesats, som anges i procent.

Om vi till exempel har 10 000 kr insatta på ett konto på banken med räntesatsen 5 %, så ska vi få den här årsräntan:

(72)

Årsräntan ökade alltså med 100 kr när räntesatsen höjdes från 5 % till 6 %.

När en procentsats ökat från 5 % till 6 %, då säger vi att den har ökat med 1procentenhet. Räntesatsen har alltså ökat med 1 procentenhet, inte med 1 %. En ökning av räntesatsen från 5 % till 6 % är i själva verket en ökning av räntesatsen med 20 %.

Vi kan räkna ut hur mycket räntan har ökat så här, med hjälp av sambandet mellan andelen, delen och det hela:

Mattepartiet

I ett riksdagsval fick Mattepartiet 8 % av rösterna. I nästa riksdagsval fick Mattepartiet 10 % av rösterna.

Hur stor var ökningen i procentenheter? Hur många procent fler röster fick Mattepartiet i det andra riksdagsvalet?

Lösningsförslag:

Valresultatet förbättrades från 8 % av rösterna till 10 %. Det är en ökning med 2 procentenheter.

Figur

Updating...

Referenser

Relaterade ämnen :