ÖREBRO UNIVERSITET Ämneslärarprogrammet Matematik
Matematik Va, avancerad nivå, 15 Hp Höstterminen 2020
Utmaningar och möjligheter inom algebra
En studie om hur tre lärare hanterar olika typer av missuppfattningar i undervisningen
Challenges and opportunities in algebra
A study of how three teachers deal with different types of misconceptions in teaching math
Julia Hamrelius
Handledare: Abdel Seidouvy Examinator: Andreas Eckert
Abstract
When students make systematic calculation errors in mathematics, it indicates that they have misunderstood something in mathematics. A misconception may be due to overgeneralization having to cause a student to learn a new rule and eleven believe that this information in seve-ral situations and thus eleven overgeneseve-ralizes the new knowledge - choices lead to erroneous assumptions.This is often a lack of prior knowledge or lack of teaching. This study aims to shed light on how three high school teachers respond to students' misconceptions in algebra. The study thus examines the opportunities and challenges that teachers see in trying to counteract the students misconceptions. The study uses a qualitative method through an in-terview and an inductive approach to analysis. Data collection began with a student test. The purpose of the test was to reveal any misconceptions that the students had. An interview was then conducted with the teaching teacher to discuss these misconceptions and how the teacher tries to deal with them. The analysis of the collected material showed, among other things, that only 46% of the students answered the question = correctly. The most common incorrect answer was 15x, which indicates that the students may have misunderstood what, for example, 5x means. The study presents three teachers' ways of teaching in areas that stu-dents often get misconceptions about. The result showed that the three teachers had different approaches to the students' misconceptions and how they worked with them. For example, one of the teachers did not work at all with misconceptions but focused on the correct way of calculating. Another teacher often discusses misconceptions with the students but also men-tions that many misconcepmen-tions are difficult to predict: "a misconception that I thought should not be a misconception becomes a misconception". How teachers do and can do to counteract misconceptions is discussed and among other things the importance of showing
why in mathematics is discussed.
Sammanfattning
När elever gör systematiska räknefel i matematik så tyder det på att de har missuppfattat nå-got i matematiken. En missuppfattning kan bero på övergeneralisering vilket innebär att en elev lär sig en ny regel och eleven tror att denna gäller i flera situationer och på så sätt över-generaliserar eleven den nya kunskapen - vilket leder till felaktiga antaganden. Detta beror oftast på bristande förkunskaper eller bristande undervisning. Denna studie syftar till att bely-sa hur tre gymnasielärare bemöter elevernas missuppfattningar inom algebra. Studien under-söker alltså vilka möjligheter och utmaningar som lärare ser med att arbeta med elevernas missuppfattningar. I studien används en kvalitativ metod genom en intervju och ett induktivt angreppssätt för analys. Datainsamlingen började med ett elev test. Testets syfte var att avslö-ja eventuella missuppfattningar som eleverna i matematik 2b på gymnasiet hade. Därefter genomfördes en intervju med den undervisande läraren för att diskutera dessa missuppfatt-ningar och hur läraren försöker att hantera dem. Analysen av det insamlade materialet visade bland annat att endast endast 46% av eleverna svarade rätt på uppgiften =. Det vanli-gaste felsvaret var 15x vilket tyder på att eleverna möjligtvis missuppfattat vad till exempel 5x betyder. Studien presenterar tre lärares sätt att undervisa i områden som elever ofta får missuppfattningar kring. Resultatet visade att de tre lärarna hade olika förhållningssätt till elevernas missuppfattningar och hur de arbetade med dem. En av lärarna arbetade till exem-pel inte alls med missuppfattningar utan fokuserade på det rätta sättet att räkna. En annan lä-rare diskuterar ofta missuppfattningar med eleverna men nämner även att många missupp-fattningar är svåra att förutspå: “en missuppfattning som jag tänkt inte borde vara en miss-uppfattning blir en missmiss-uppfattning”. Hur lärare gör och kan göra för att arbeta med missupp-fattningar diskuteras och bland annat diskuteras betydelsen av att visa på varför i matematik.
Nyckelord: matematik, matematikundervisning, gymnasielärare, gymnasieelever 5x ∙ 3x
Innehållsförteckning:
1. Inledning 4
1.1 Syfte och frågeställningar 5
2. Bakgrundsteori 7
2.1 Vad är algebra och algebraiskt tänkande 7
2.2 Algebras relation till andra områden 8
2.3 Missuppfattningar i algebra 8
2.4 Undervisning och lärarkunskap i algebra 10
3. Metod 15 3.1 Urval 15 3.2 Datainsamlingsmetod 15 3.2.2 Intervju 16 3.3 Analysprocess 17 3.4 Etiska överväganden 18
3.5 Validitet och reliabilitet 19
4. Resultat och analys 20
4.1 Vilka möjligheter finns i lärares sätt att hantera elevernas missuppfattningar? 20 4.1.1 En generell bild av lärarnas undervisning kring missuppfattningar 20 4.1.2 Elev test och undervisning i de olika områdena 24 4.2 Vilka utmaningar finns i lärares sätt att hantera elevernas missuppfattningar? 30
5. Diskussion 33
5.1 Möjligheter och utmaningar i undervisningen angående elevers missuppfattningar 33
5.2 Studiens viktigaste implikationer 37
5.3 Metoddiskussion 37 5.4 Fortsatt forskning 39 Referenslista 40 Bilaga 1, Algebra-test Bilaga 2, Missivbrev Bilaga 3, Intervjuguide
1. Inledning
Kunskaper i algebra spelar en huvudroll för utvecklingen av individens abstrakta tänkande i matematik (Rakes, Valentine, McGatha & Ronau, 2010). Palm (2008) beskriver betydelsen av algebra som “ett fundament för all matematik, tillgång till de kraftfulla verktyg den kan erbjuda som hjälp vid problemlösning och djupare matematisk förståelse” (s. 41). Algebra är ett välkänt område som många elever har problem med, både nationellt och internationellt. Det är viktigt för att utveckla individens förmåga att föra resonemang och ett språk för pro-blemlösning. Algebra är även viktigt för vidare studier inom teknik (Olteanu, 2003).
Elever gör inte bara slumpmässiga räknefel, framförallt gör de systematiska misstag som be-ror på att eleverna saknar förståelse för begrepp och begreppsmodeller och det leder lätt till missuppfattningar (Skolverket, 2008). Övergeneralisering är en typ av missuppfattning. En övergeneralisering sker då eleven använder kunskaper till områden där dessa kunskaper inte är tillämpliga (Palm, 2008). Det kan till exempel vara att elever övergeneraliserar “minus och minus blir plus” och svarar då att -3-6 = 9 istället för -9.
“Om eleven har en allvarlig missuppfattning, kan ett fortsatt övande av färdigheten vara meningslös eller till och med skadlig. Man befäster då snarare de felaktiga före-ställningarna. Istället är det viktigt att man noga analyserar hindret för att hjälpa ele-ven att lösa upp det. … I denna situation är det nödvändigt att man som lärare inte släpper taget förrän båda förstått var felet ligger.” (Persson, s. 141, 2010).
Det är alltså viktigt att som lärare ta reda på elevernas missuppfattningar och göra något åt dem. Missuppfattningar beror oftast på bristande erfarenheter eller bristande undervisning. Saul (2008) skriver att lärarnas medvetenhet om elevernas svårigheter har allt större betydel-se för en lyckad undervisning. Detta ledde till mitt intresbetydel-se av att studera hur lärare i matema-tik 2b bemöter elevernas missuppfattningar. Resultatet från denna studie kommer förhopp-ningsvis att hjälpa lärare att förbättra sin undervisning genom att ge kunskap om hur lärare kan hantera elevernas missuppfattningar.
1.1 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att belysa hur tre gymnasielärare bemöter elevernas missuppfatt-ningar. Studien undersöker alltså vilka möjligheter och utmaningar som lärare ser med att ar-beta med elevernas missuppfattningar som beror på övergeneraliseringar inom matematik. Endast grundkunskaper inom algebra undersöks såsom bråkräkning, förenkling av uttryck och ekvationslösning.
Frågeställningar
1. Vilka möjligheter finns i lärares sätt att hantera elevernas missuppfattningar inom al-gebra?
2. Vilka utmaningar finns i lärares sätt att hantera elevernas missuppfattningar inom al-gebra?
2. Bakgrundsteori
För att få läsaren i kontextav denna studien så innehåller detta avsnitt fyra underrubriker: Vad är algebra och algebraiskt tänkande; för att ge läsaren en inblick i vad algebra är. Alge-bras relation till andra områden i matematik; för att ge läsaren förståelse för algebrans bety-delse i matematik Missuppfattningar i algebra; för att tydliggöra vad tidigare forskning har visat angående elevers missuppfattningar. Undervisning och lärarkunskap i algebra; för att tydliggöra vad tidigare forskning säger om lärares kunskaper och möjligheter i undervisning.
2.1 Vad är algebra och algebraiskt tänkande
Definitionen om vad algebra är kan se väldigt olika ut. Det kan vara så enkelt som “räkning med bokstäver” till en mer omfattande definition som “a way of thinking and a set of con-cepts and skills that enable students to generalize, model, and analyze mathematical situa-tions” som är gjord av National Council of Teachers of Mathematics (NTCM) (2008). Alge-bra är en nödvändig kunskap som kan användas ur fyra olika perspektiv. AlgeAlge-bra kan använ-das för att generalisera och beskriva mönster (generaliserings perspektivet), för att lösa pro-blem (propro-blemlösnings perspektivet), för att skapa modeller av olika situationer (modelle-rings perspektivet). Algebra kan även visa på samband mellan olika variabler (funktions per-spektivet) (Bednarz, Kieran & Lee, 1996). Algebra är med andra ord något som genomsyrar stora delar av matematiken och alltså en betydelsefull del att kunna hantera, “... such as, ana-lyzing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, problem solving, modeling, justifying, proving, and predicting.” (Kieran, s. 149, 2004).
Målet med algebraiskt tänkande är att öva upp förmågan att tänka abstrakt. Crawford (2001) beskriver algebraiskt tänkande i tre punkter:
-Ability to think in symbolic language, to understand algebra as generalized
arithme-tic and to understand algebra as study of mathemaarithme-tical structures.
-Ability to understand equality and equations of algebra and to apply these within real world problem solving settings.
-Ability to understand relationships of quantities through patterns, defining functions, and applying mathematical modelling (s. 192)
Ett utvecklat algebraiskt tänkande innebär alltså att man har fokus på relationer istället för endast beräkningar av numeriska tal, fokus på operationer och dess påverkan, fokus på att representera och lösa ett problem istället för att bara lösa det. Det innebär att man har fokus på siffror och bokstäver istället för bara siffror, samt en djupare förståelse av likhetstecknets betydelse (Kieran, 2004).
2.2 Algebras relation till andra områden
Algebra är en stor del av matematiken som behandlas i grundskolan och i alla kurser på gym-nasiet. Ett område i matematik som är kopplat till algebra är aritmetik, exempel på aritmetik är bråkräkning. Bråting och Madej (2017) beskriver aritmetik ”som ett specialfall av algebra” (s. 4). Relationen mellan aritmetik och algebra är alltså stark, men en avgörande skillnad är att algebra innehåller bokstavssymboler. Ett annat område som är kopplat till algebra är geo-metri. I det centrala innehållet i matematik 2b står det: “hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.” (Skolverket, 2011). Analytisk geometri i matematik 2 innebär att man studerar linjer och kurvor med hjälp av koordinatsystem och elementär alge-bra. Svårigheter i aritmetik eller geometri kan med andra ord resultera i svårigheter med al-gebra. Geometri och algebra är de områdena som svenska elever har presterat svagast inom enligt resultaten från TIMSS (Skolverket, 2008).
Algebra är för många svårt att lära sig men målet är att öva upp förmågan att tänka abstrakt. Elever måste framförallt skaffa sig en förståelse för beteckningar och dess betydelser (Pers-son, 2005). Samuel, Mulenga och Angel (2016) skriver att elevernas problem med att lösa linjära ekvationer minskar om de har kunskaper om hur de ska hantera decimaler, bråkräk-ning och att manipulera uttryck.
2.3 Missuppfattningar i algebra
Denna studie undersöker vilka missuppfattningar elever i matematik 2b har utifrån vad forsk-ning tidigare avslöjat. Under 1970- och 1980-talet började forskare identifiera vilka missupp-fattningar elever hade i algebra. Detta ledde till att många läroplaner ändrades och till exem-pel började man med vissa delar av algebra redan i de lägre åldrarna (Kieran, 2004). Ett felsvar kan vara mer eller mindre tillfälligt, det kan bero på att eleven inte är tillräckligt
upp-märksam eller inte läser uppgiften ordentligt. Men missuppfattningar är inte tillfälliga, det finns en bestämd tanke bakom dem som eleven använder konsekvent. Elevernas missuppfatt-ningar har till exempel kategoriseras ur ett konstruktivistiskt perspektiv som övergeneralise-ring, ytinlärning eller gissningar (Palm, 2008). En övergeneralisering sker då eleven använder kunskaper till områden där dessa kunskaper inte är tillämpliga. Gissningar kan bero på att eleven känner att det är bättre att skriva något svar än att inte skriva något alls. Ytinlärning sker då eleven får tillgång till ny kunskap men som inte kan kopplas ihop med elevens tidiga-re kunskap. Kunskapen blir då “isolerad” och på så sätt svåratidiga-re att komma ihåg. Det kon-struktivistiska perspektivet menar att effektivt lärande sker när ny kunskap kan kopplas ihop med individens tidigare kunskap som på så sätt skapar en egen mental sammanfattning.
En elev som övergeneraliserar något i matematik drar en egen slutsats utifrån till exempel nya kunskaper. Kirshner och Awtry (2004) skriver att när en elev lär sig någon ny regel så är det vanligt att eleven tror att denna gäller i flera situationer och på så sätt övergeneraliserar ele-ven den nya kunskapen - vilket leder till felaktiga antaganden. “Mal-rules” är alltså en typ av övergeneraliseringar som eleverna ofta gör utifrån lärandet av “Correct rules”. Exempel på några övergeneraliseringar som kan vara bra att reflektera över ses på bilden nedan.
(Kirshner & Awtry, s. 227, 2004)
Enligt dessa exempel på bilden kan man tyda att eleverna inte förstår eller tänker på skillna-den på vad en täljare och nämnare är. Reglerna som gäller för bråkräkning är viktiga eftersom
med i grundskolan, ändå är det något många elever har problem med även på gymnasiet (Ol-teanu, 2003). Enligt Kilborn och Löwing (2002) är det vanligt att elever inte lär sig bråkräk-ning i grundskolan utan att lärare istället låter dom skriva om talen i decimalform och använ-da miniräknare. Detta har även lett till att elever har problem att multiplicera och dividera även tal i decimalform (utan miniräknare). Eleverna saknar kunskap om vad täljare och näm-nare har för egenskaper och funktion, de ser inte bråktal som ett tal. Eftersom de saknar kun-skap om bråktal måste de istället försöka minnas hur man räknar med bråk vilket leder till att de lätt blandar ihop de olika räknesätten (Kirshner & Awtry, 2004).
Många elever har problem med distributiva lagen: a(b+c) = ab+ac, framförallt när det står ett minustecken framför eller i parentesen. Detta leder till att de har svårt att förenkla och om-forma uttryck (Olteanu, 2003). Kirshner och Awtry (2004) skriver att eleverna har svårt att förstå parentesens betydelse samt att eleverna tror att samma regler för addition även gäller för multiplikation och tvärtom. Booth och Koedinger (2008) skriver även att det är viktigt att eleverna har förståelse för minustecknets betydelse, många elever har problem med att mi-nustecknet kan betyda två olika saker: både som subtraktion men också som markör för att visa att ett tal är negativt.
För att lyckas med algebra är de aritmetiska kunskaperna en viktig grund som tidigare nämnts. Studien av Samuel, Mulenga och Angel (2016) visar att eleverna ofta har bristande förståelse för symboler som variabler och koefficienter. Studien av Persson (2005) visade att eleverna inte var säkra på sina aritmetiska kunskaper, de manipulativa färdigheterna saknades vilket ledde till problem med att förenkla uttryck och lösa ekvationer som krävde mer än ett steg. Att elever har problem med att lära sig lösa linjära ekvationer är väldokumenterat. Kie-ran (2004) menar att det beror på elevernas bristande förståelse för algebKie-rans struktur. Ele-verna lär sig hur de löser ekvationer på formen ax+b=c men om ekvationens utseende ändras får dem problem. Knuth, Stephens, McNeil och Alibali (2006) skriver att ekvationer som 2x+4 = x+5 tolkar eleverna snarare som ett uttryck. De kan även ha problem med att förenkla uttryck:
“Elever som är ovana vid algebra kan ha svårt att acceptera att ett uttryck som 3+2x kan vara svaret på en uppgift. Det finns ju fortfarande en operator (+) kvar, och det ser
eleven som en uppmaning att slutföra ”beräkningen”. Svaret kan då t.ex ges som 5x. Fenomenet kallas bristande avslut (lack of closure) och beror på att eleven inte kan se uttrycket som ett färdigt, algebraiskt objekt, utan bara som en process.“ (Persson, s. 47, 2005).
Enligt Huntley, Kahan och Miller (2007) ska elevernas förståelse för vad ett uttryck är kom-ma först och sen kan de börja arbeta med att lösa ekvationer. Detta beror på att arbetet med uttryck påverkar elevernas förståelse för symbolerna och hur dem ska hanteras. Christou och Vosniadou (2012) skriver att eleverna tenderar att ersätta symbolerna med endast naturliga tal, oberoende av symbolens kontext. De menar att elevernas missuppfattningar av variabelns bredd beror på bristen i deras kunskaper om tal. Även Samo (2009) menar att eleverna ofta verkar tro att det alltid endast finns ett tal som kan ersätta variabeln. Vissa elever har även svårt att uppfatta vad likhetstecknet betyder och tror ofta att det innebär att det ska vara att något “blir lika med” istället för att se det som en “balansvåg”. Ett problem för dagens elever är att de möjligtvis inte kan relatera till vad en sådan typ av balansvåg är men lärare fortsätter att använda den liknelsen ändå. Förståelse om likhetstecknets betydelse krävs för att kunna lösa ekvationer korrekt (Samuel, Mulenga & Angel, 2016). Undervisningens betydelse för elevernas förståelse av algebra är något fler forskare tar upp och menar att bristande under-visning kan leda till missuppfattningar.
2.4 Undervisning och lärarkunskap i algebra
Det är en viktig fråga, om sättet som lärare undervisar på kan göra så att eleverna utvecklar missuppfattningar. Det är viktigt att tydliggöra att enligt det konstruktivistiska perspektivet så är missuppfattningar inget som en lärare kan lära ut, men utifrån lärarens undervisning kan eleverna skapa sina egna missuppfattningar. Kalder (2012) undersökte detta och fann tre sätt som lärare undervisar på som kan leda till negativa konsekvenser: 1. användning av minnes-regler och generaliseringar eftersom dessa kan användas felaktigt av eleverna. Det är inte ovanligt att en elev använder en minnesregel i fel situation. 2. “imprecise directions”, intro-duktionen av f(x) kan till exempel tolkas av eleverna som f*x eftersom de kan ha lärt sig att 2(5) = 2*5. Istället för att elever bara ska lösa vad x är (5x-25=5) så bör lärare ställa frågor som “du vet att 6x+3=9, vad blir då x+1?” för att uppmärksamma att det är viktigt att följa
varandra”. Kalder menar att läraren bör använda det korrekta matematiska språket eftersom det kommer att gynna eleverna längre fram. Enligt Löwing och Kilborn (2002) är det vanligt att lärare lotsar eleverna runt problemen istället för att ta tag i elevernas bristande kunskaper vilket därefter kan leda till missuppfattningar. En anledning till detta är brist på tid, men det kan också handla om att lärare som undervisar på gymnasiet till exempel inte vet hur man lär ut grunderna.
Det finns vissa forskningsbaserade sätt som lärare bör undervisa på - oavsett vilket ämne. Detta är något som Rosenshine (2012) har sammanfattat i artikeln Principles of instruction:
Research-based strategies that all teachers should know. Han skriver att de mest effektiva
lärarna inleder sina lektioner med att kort gå igenom vad eleverna tidigare har lärt sig som de kommer ha användning av eller kunna koppla till det kommande nya materialet. Detta bör göras för att stärka förbindelserna mellan redan inlärt material och nytt material. Det nya ma-terialet bör därefter presenteras i små steg där läraren tänker högt och visar hur en lösning går till, läraren identifierar och förklarar principerna för varje steg. Kort efter får eleverna möj-lighet till övning. De effektivaste lärarna ställer många frågor till eleverna och kontrollerar deras svar. Rosenshine (2012) skriver att lärarna har olika metoder för att alla elever ska in-volveras och svara på frågorna. Att elever emellanåt även får förklara hur de kom fram till sitt svar gör att läraren får möjlighet att identifiera eventuella missuppfattningar eller luckor i de-ras förståelse. Han påpekar specifikt betydelsen av att eleverna inte får göra några fel i början av inlärningen, eleverna ska lyckas men också utmanas. Effektiva lärare kan även förutse elevernas fel och därmed förvarna dem. Därefter behöver eleverna repetera materialet flera gånger för att det ska lagras i deras långtidsminne. Det material som inte används eller grans-kas tillräckligt mycket kommer glömmas bort av eleverna.
I matematikämnet måste eleverna få veta varför och hur deras lösning eventuellt inte är kor-rekt och denna feedback måste lärare kunna ge på olika sätt. När lärare har kunskap och medvetenhet om vad eleverna ofta har missuppfattningar eller svårigheter kring kan läraren anpassa sitt sätt att undervisa. Hu, Son och Hodge (2016) gjorde en undersökning där de jäm-förde kinesiska och svenska lärare och hur de tittade på en uppgiftslösning. Resultatet visade att de kinesiska lärarna kunde hitta fler felaktigheter än vad de svenska lärarna gjorde.
Slut-satsen var att lärare måste träna på att kunna hitta felaktigheter i elevers lösningar eftersom eleverna då kan lära sig av sina egna misstag. Det händer att lärare tar det för givet att elever-na har vissa kunskaper. Detta beror på all den kunskap som läraren har, det kallas för “exper-tise blind spot” (Nathan, Koedinger & Alibali, 2001).
Det diskuteras ofta om hur undervisningen bör organiseras för att förbättra lärande, olika ar-betsformer och metoder tas fram. Men något som Runesson (2000) kritiserar är till exempel att “elevaktiv undervisning” kan betyda olika saker om man tittar på innehållet, alltså hur det som eleverna ska lära sig framställs. Hon lyfter att variation på innehållet är viktigt - “för att veta vad något är, måste vi veta vad något inte är.” (s. 24). Det är med andra ord viktigt att relatera variation till det innehåll som presenteras. Systematisk och avsiktlig variation bör alltså användas för att visa på kritiska aspekter av innehållet. Häggström (2008) jämförde lär-oböcker och undervisning i algebra utifrån variationsteorin i den svenska och den kinesiska skolan. Det var en märkbar skillnad på hur mycket variation undervisningsmaterialet inne-höll. I de svenska läroböckerna kunde liknande lösningar användas på varje uppgift till skill-nad från uppgifterna som användes i de kinesiska läroböckerna som visade en stor variation i flera avseenden. De var utformade med variation för att lära eleven att urskilja olika aspekter, exakt samma procedur kunde inte användas på flera tal efter varandra. En slutsats han drar är att skillnaden på hur innehållet formas kan vara bidragande till elevernas kunskapsutveckling.
Inom matematikämnet är det relevant att nämna konceptuell och procedurell kunskap. Kon-ceptuell kunskap är kunskap om principer och begrepp, medan procedurell kunskap är kun-skap om procedurer och regler. I rapporten från TIMSS 2007 är en av slutsatserna att: “Svenska elever har en mer procedurell än konceptuell kunskap i matematik” (Skolverket, 2008, s. 3). Flera studier visar att när svårighetsgraden ökas något eller om man ändrar utse-endet på till exempel en ekvation så räcker inte elevernas (procedur) kunskaper till (Huntley, Marcus, Kahan & Miller, 2007; Sfard & Linchevski, 1994). Metastudien av Rakes, Valentine, McGatha och Ronau (2010) visar att undervisning som fokuserar på konceptuell kunskap gör att elevernas prestationer förbättras avsevärt mer än om fokus läggs på procedurell kunskap. Luckor i elevernas konceptuella kunskap hämmar deras lärande (Booth & Koedinger, 2008). Hiebert och Grouws (2007) definierade två observerbara arbetssätt i ett klassrum som har
fo-kuserar på att skapa en konceptuell förståelse: att undervisningen belyser kopplingar mellan olika delar och att eleverna får jobba med matematiska begrepp. I denna miljön skapas alltså den procedurella kunskapen utifrån anslutande begrepp. Kunskapen blir på så sätt mer an-passningsbar till olika typer av uppgifter och eleverna utvecklar kunskapen som sin egen - vilket resulterar i att eleverna inte behöver memorera lika mycket. Detta leder också till att eleverna har lättare att bygga vidare med nya kunskaper. Även Skemp (2006) bekräftar att det finns flera fördelar med att skapa kopplingar mellan olika delar i matematiken: 1. kan bättre anpassa sig till okända tal, 2. mindre memorering, 3. ökad motivation för att lära sig mer ma-tematik, 4. mer stimulering till självständigt arbete och livslångt lärande. För att eleven ska kunna lära sig något nytt underlättar lärandet om eleven kan koppla det till sin tidigare kon-struerade kunskap, undervisningen bör alltså möta eleverna där de befinner sig kunskapsmäs-sigt. Ett problem med klassrumsundervisning är att eleverna ofta har en väldigt olika kun-skapsnivåer, detta gör att nivån på undervisningen kan vara för låg eller för hög för de enskil-da eleverna och då får de inte ut lika mycket av lektionen och i värsta fall inget alls (Kroes-bergen & van Luit, 2002).
Den konceptuella kunskapen är nyckeln till att förstå de olika symbolerna och dess betydelse. När elever endast får procedurell kunskap och kommer till ett tal som är annorlunda uttryckt så kommer de inte klara av det. Om elever endast har konceptuell kunskap kommer de inte veta hur de kan använda all information som de har. Även Rittle-Jonson och Alibali (1999) menar att konceptuell kunskap troligtvis kan transformeras lättare till procedurell kunskap än tvärtom. Utmaningen i matematikundervisningen är alltså att lära eleverna båda typerna och hitta en balans.
Det finns en modell för vilken typ av kunskap lärare bör ha för att kunna undervisa fram-gångsrikt. Lärarens kunskap kan delas upp i sju aspekter och en av dem kallas “Pedagogical content knowledge” (PCK). PCK eller Pedagogisk Ämneskunskap innefattar kunskap om ämnet och hur kunskapen kan läras ut på det mest användbara sättet (Shulman, 1986). Peda-gogisk ämneskunskap handlar alltså om vad läraren gör med denna kunskap för att göra den intressant för eleverna. Som till exempel att kunna konkretisera ett abstrakt innehåll vilket kan göras på olika sätt. Vissa sätt bör baseras på en vetenskaplig grund men andra sätt kan
användas på grund av lärarens egna erfarenheter. Läraren behöver kunskaper om vad som är lätt och vad som är svårt i elevernas lärande i ämnet. Läraren måste skaffa sig kunskaper, till exempel genom diagnoser, om elevernas föreställningar för att kunna använda anpassade strategier för att bemöta dem på bästa sätt.
”… ta reda på varje enskild elevs förkunskaper och var svårigheterna ligger för att kunna utforma undervisningen på ett bra sätt. Tolkning av resultat från diagnoser mås-te därför göras ur en kvalitativ synvinkel och inmås-te baseras på hur många rätt eller fel en elev har.” (Olteanu, s. 39, 2003).
Det som saknas är forskning om vilken kunskap lärare bör ha för att undervisa specifikt i al-gebra och mer forskning behövs också om vilken kunskap lärare faktiskt har. Nathans och Petrosinos (2003) studie visade att gymnasielärare visste hur de själva beräknade matematik men saknade kunskaper om de processer som sker när nybörjare ska lära sig, alltså hur man lär ut matematik effektivt. De nämner även att vi vet för lite om vilken typ av ämneskunskap som är betydande för att kunna förutsäga hur det påverkar lärarens beslutsfattande och under-visning.
3. Metod
Det är viktigt att den forsknings- och analysmetod man använder passar forskningsfrågan (Backman, 2016). I studien används en kvalitativ metod genom en semistrukturerad intervju och ett induktivt angreppssätt för analys. Valet av forskningsmetod gjordes alltså utifrån den-na studiens syfte. För att göra det tydligt för lärarden-na inleddes studien med ett elev test (Bilaga 1) med syfte att synliggöra eventuella missuppfattningar hos lärarnas egna elever. Dispositio-nen för detta avsnitt är: Urval, Datainsamlingsmetod, Analysprocess, Etiska överväganden samt Validitet och reliabilitet där varje avsnitt har syfte att motivera och argumentera för stu-diens process.
3.1 Urval
Valet av deltagande lärare till denna studie är ett bekvämlighetsurval och ett icke slumpmäs-sigt urval (Bryman, 2018). Med det menas att man tar det man har tillgång till. De tre delta-gande lärarna kände jag till sedan tidigare och deras elever i matematik 2 blev på så sätt ut-valda för att genomföra testet, totalt 63 elever. Med tanke på tidsramen som denna studie skulle hålla sig till hade jag ingen möjlighet att ta med fler lärare i studien. Lärarna jobbar under studiens gång på gymnasieskolor i Mellansverige. Samtliga lärare som deltog är utbil-dade gymnasielärare och har arbetat i minst 5 år. Lärare 1 är kvinna och har arbetat som lära-re i 20 år, Läralära-re 2 är kvinna och har arbetat som läralära-re i 5 år och Läralära-re 3 är man och har arbetat som lärare i 10 år.
3.2 Datainsamlingsmetod
I en kvalitativ metod eftersträvas en förståelse av en helhet, därmed läggs fokus på vilka ord som används vid datainsamlingen och hur datan analyseras (Bryman, 2018). Datan ger fors-karen en förståelse av verkligheten och hur individen själv upplever den, vilka ord som lärar-na själva använder och vad lärarlärar-na pratar om. Detta är lämpligt för denlärar-na studie eftersom den syftar till att ta reda på hur lärarna hanterar elevers missuppfattningar i undervisningen. Pro-cessen för datainsamlingen började med att ett missivbrev (Bilaga 2) skickades ut till lärarna via mail. Missivbrevet berättade om studiens syfte samt att både ett elev test och en intervju med den enskilde läraren skulle genomföras. Datum och tid för genomförande av elev testet
bestämdes därefter. Missuppfattningar som tidigare har identifierats används i denna studien för att se vilka typer av missuppfattningar som finns i de specifika klasserna. Jag skapade ett eget test utifrån litteraturen som identifierade olika typer av uppgifter som många elever hade svårigheter med. När testet var färdigt bad jag en utomstående lärare att titta på det så att det inte var för lätt eller för svårt för elever i matematik 2. Jag fick till svar att det troligtvis skul-le vara för enkelt och därmed ändrade jag testet något genom att lägga till några uppgifter, det färdigställda testet kan ses i Bilaga 1. Eleverna fick anonymt genomföra testet under lektions-tid. Endast jag kollade på deras test för att kunna göra en sammanställning över deras svar. När jag hade sammanställt elevernas svar bestämdes en tid för att genomföra intervju med lärarna. Intervjuns syfte var att ta reda på vad läraren gör och tänker angående deras elevers vanligaste missuppfattningar.
3.2.1 Intervju
Intervju valdes som datainsamlingsmetod för att få en djupare förståelse om hur lärarna ansåg att de hanterade elevernas missuppfattningar. Inför den semistrukturerade intervjun formule-rades en intervjuguide (Bilaga 3) som innehåller centrala frågor som konkretiserar studiens frågeställningar på olika sätt. Intervjuguiden har tydliga avsnitt med rum för fria svar från lärarna (Bryman, 2018). På detta sätt fick jag reda på vad lärarna tyckte var viktigt att prata om. Den semistrukturerade intervjun gav alltså utrymme för ett bra och intressant samtal med samtliga lärare. Dalen (2015) har utformat kriterier som jag tog till hjälp för att avgöra om en fråga är relevant för intervjun:
1. Är frågan klar och otvetydig? 2. Är frågan ledande?
3. Kräver frågan speciell kunskap och information som informanten kanske inte har?
4. Innehåller frågan alltför känsliga saker som informanten kommer att vägra att uttala sig om?
5. Ger frågeställningen utrymme för att informanten kan ha egna och måhända otraditionella uppfattningar? (s. 36)
Frågorna i intervjun handlade om elevernas missuppfattningar och vilka typer av missupp-fattningar jag hade upptäckt hos lärarens egna elever. Intervjuguiden var grunden i samtliga intervjuer men de felaktiga elevsvaren anpassades till den aktuella läraren. På så sätt blev in-tervjun mer som ett samtal och lättare för läraren att reflektera kring lärarens egna undervis-ning och elever. Elevernas felsvar som diskuterades anpassades alltså lite efter vardera lärare och hur dennes elever hade svarat på de olika uppgifterna. Till exempel på uppgiften
så var felsvaret vanligast hos eleverna till lärare 1 och felsvaret 8s+3 van-ligast hos eleverna till lärare 3.
På grund av Covid-19 valde jag att genomföra intervjun på “Zoom video
Communications” (Zoom). Zoom är ett kommunikationsmedel där man kan ha videosamtal. Intervjuerna tog cirka 50 minuter att genomföra och spelades in på tre olika enheter för att säkerställa ljudupptagningen under intervjun. Samtliga intervjuer gick bra och hade inga tek-niska problem. I slutet av varje intervju var jag tydlig med att lärarna gärna fick höra av sig om de kom på något som de ville lägga till samt att jag skulle höra av mig om det var något som jag saknade.
3.3 Analysprocess
Lika viktigt som att använda en passande forskningsmetod är det att använda en passande analysmetod. Vid avslutad datainsamling började materialet att analyseras och det första ste-get var att strukturera och sammanställa (Bryman, 2018). När eleverna hade genomfört testet rättade jag det och antecknade antal rätta svar per fråga samt elevernas felsvar, varje klass rättades var för sig. Elevernas svar sammanställdes med hjälp av den tidigare forskningen. Detta var till hjälp för att jag skulle kunna tolka om felsvaren berodde på slarvfel eller miss-uppfattningar. Till exempel svar på uppgiften som -12t+7 visar på slarvfel, men svar som 7-t visar på en missuppfattning.
När en intervju var genomförd började jag att transkribera samma dag, allt som sades skrevs ned i talspråk för att det skulle bli så likt intervjun som möjligt. Pauser markerades med punkter och betänketid transkriberades inte. När man gör en kvalitativ studie är det av intres-se att veta både vad och hur den som blir intervjuad säger. Inspelning och transkribering är
s2+ 6s + 3 7s2+ 3
därmed viktigt för att ha möjlighet att kunna kontrollera en tolkning. Det transkriberade ma-terialet slutade på cirka 30 sidor text. Transkriberingen gjorde att jag som forskare kunde granska vad varje lärare faktiskt sa på ett öppet sätt. Materialet lästes flera gånger vilket har gjort att jag har analyserat materialet på djupet. Den induktiva analysmetoden innebär att ko-der och kategorier får komma direkt från datan. På så sätt kunde datan kodas utan att forska-ren försöker anpassa det till förbestämda teoretiska ramar. Materialet analyserades sedan uti-från en tematisk analys, materialet färgkodades efter vissa kategorier som identifierades och var återkommande. All data analyserades men endast det som var relevant för denna studie presenteras i resultatet.
3.4 Etiska överväganden
Studien genomfördes i enlighet med Vetenskapsrådets (2011) forskningsetiska riktlinjer för genomförande av humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning:
1. Informationskravet: Alla deltagande, både lärare och elever, informerades om studiens syfte samt att resultaten endast används i forskningssyfte. Eleverna informerades av sin lärare innan de skulle genomföra elev testet och lärarna informerades i missivbre-vet.
2. Samtyckeskravet: Lärarna informerades om deras rätt till att avbryta sitt deltagande när som helst under studiens gång i missivbrevet. Om en deltagare valde att avbryta är de försäkrade om att de inte utsätts för någon påtryckning eller annan påverkan. 3. Konfidentialitetskravet: Allas deltagande, både lärare och elever, avidentifieras.
Ele-vernas identitet känner inte ens jag som forskare till eftersom de inte skrev sina namn på testet. Ingen utomstående ska kunna identifiera vilka de deltagande lärarna är ef-tersom det enda man får veta om dem är att de jobbar i Mellansverige, deras kön och antal år de jobbat som lärare. Ingen obehörig har fått tillgång till datamaterialet där någons identitet eventuellt skulle kunna avslöjas.
4. Nyttjandekravet: Forskningen används endast i forskningssyfte, den får inte utlånas eller användas för något annat. Alla deltagare i studien har rätt att ta del av forsk-ningsresultaten när studien är genomförd. Jag som forskare försäkrar även att materia-let inte är ändrat eller påverkat, de slutsatser som dragits är den absoluta sanningen. Studien har genomförts i utbildningssyfte.
3.5 Validitet och reliabilitet
Validitet handlar om hur studien mäter det den är avsedd att mäta (Bryman, 2018). För att öka validiteten gjordes valet av datainsamlingsmetod och analysmetod med hänsyn till studiens frågeställningar och syfte. Inspelningen av intervjuerna är viktiga för att öka validiteten, an-klagelser om att analysen skulle vara vinklad på något sätt kan då bemötas (Bryman, 2018). Intervjupersonernas uttryck har även använts som citat i resultatet. Delar av datamaterialet har rensats bort eftersom det har varit irrelevant för studien. Något som möjligtvis sänker denna studiens validitet är att det endast var tre gymnasielärare som deltog i studien. Genera-liserbarheten för studiens resultat bör därför tas i beaktning.
Reliabilitet handlar om hur pålitlig studien är (Bryman, 2018). För att en studie ska ha en hög reliabilitet är det viktigt att forskningsprocessen är tydligt presenterad, därav är metoddelen skriven så transparent som möjligt, steg för steg är beskrivet och motiverat. Metoden har en tydlig koppling till studiens syfte. För att öka studiens reliabilitet är det en fördel om studiens resultat kan jämföras med annan forskning, men med tanke på att denna studie undersökte tre specifika lärares undervisning angående missuppfattningar är den svår att jämföra eftersom det inte finns liknande studier gjorda i Sverige. Om studien skulle utföras igen skulle resulta-tet troligtvis skilja sig från resultaresulta-tet i denna studie eftersom studien är kvalitativ. Studien presenterar tre lärares sätt att undervisa i områden som elever ofta får missuppfattningar kring.
4. Resultat och analys
I detta avsnitt presenteras studiens resultat genom en analys av lärarnas svar i intervjuerna med hjälp av denna studiens bakgrundsteori. Syftet med denna studie är att belysa hur tre gymnasielärare bemöter elevernas missuppfattningar. Studien undersöker alltså vilka möjlig-heter och utmaningar som lärare ser med att arbeta med elevernas missuppfattningar.
4.1 Vilka möjligheter finns i lärares sätt att hantera elevernas
missuppfattningar inom algebra?
Samtliga intervjuade lärare berättade att de väl kände till detta med att eleverna ofta har missuppfattningar. Alla lärare kunde även se hur eleven troligtvis hade tänkt angående de felsvar som studerades under intervjun. Lärare 1 och lärare 2 uttrycker att detta med att se hur eleven har tänkt felaktigt är något man lär sig med erfarenhet. De intervjuade lärarna berättar om sin undervisning på olika sätt och presenteras därför först enskilt för att läsaren ska kunna få en generell bild av varje lärares undervisning. Därefter kommer ett avsnitt där elevernas resultat på testet och hur lärarnas undervisning ser ut lite mer specifikt i de olika områdena att uppmärksammas.
4.1.1 En generell bild av lärarnas undervisning kring missuppfattningar
Lärare 3Lärare 3 berättar att han försöker förekomma vanliga missuppfattningar eller ”fallgropar” där eleverna lätt fastnar eller får svårigheter vilket han menar att man lär sig med erfarenhet. När han ska introducera nytt material så börjar han med att först koppla tillbaka till något som eleverna redan kan eller iallafall bör kunna. Till exempel när de ska introducera bråkräkning i algebran så börjar han med bråkräkning utan bokstäver för att visa att det går till på samma sätt även när uppgiften innehåller bokstäver. Ett annat sätt att introducera nytt material är att konkretisera det för att visa varför man räknar på ett visst sätt.
“Jag tror också på att blanda förklaringsmodellerna lite grann, på ett sätt kan det vara bra att köra enkelt, att hålla det enkelt för eleverna med en förklaringsmodell men jag tror också att det finns en poäng i att visa alternativa förklaringsmodeller så att man visar grafiskt, man visar algebraiskt, man visar med en regel” (Lärare 3).
Syftet med detta är att eleverna ska se att det hänger ihop. Han försöker delvis ta undervis-ningen steg för steg men också vara noggrann och tydlig med hur han redovisar uppgifter på tavlan. Till exempel använder han sig av “tankebubblor” som visar hur han tänker och hur man kan förstå en uppgift som man ska lösa - för att försöka måla upp en inre bild hos ele-verna. Detta kan även hjälpa eleverna att upptäcka svar som är orimliga.
Lärare 3 försöker få eleverna att sätta ord på matematiken, att “förstå, kunna sätt ord på skill-naden vad det betyder, sätta ord på innebörden”. Han lyfter betydelsen av att “man behöver.. prata om vad man räknar om så att man får tänka på vad det är man räknar så att man inte bara räknar”. Lärare 3 vill komma ifrån elevernas mekaniska tänkande och få dem att fundera över “vad är det för något jag räknar”. Läraren berättar också att det är viktigt att han tänker på hur han uttrycker sig, det är lätt att eleverna missar någon viktig information till exempel. Han nämner också att det är viktigt att eleverna har koll på vad de olika begreppen i matema-tiken betyder för att kunna känna sig trygga i undervisningen. Han berättar även att han an-vänder sig av “exit-tickets” vid slutet av vissa lektioner för att se till att eleverna har förstått. Under intervjuns gång får han ideér om att man skulle kunna undervisa ännu mer grundligt för att ta reda på vart det är eventuella missuppfattningar dyker upp, “vart är det missuppfatt-ningen dyker upp på den här skalan liksom, är det x*x eller är det om det står 5*3*x*x eller är de om det står 5*x*3*x eller är det om det står 5x*3x”.
Lärare 3 berättar att efter prov brukar han hålla en genomgång inför hela klassen och stanna upp på uppgifter som han ser att det är låg lösningsfrekvens på och ta upp vilka vanliga felsvar som har gjorts på gruppnivå. Felsvaren beror troligtvis på att eleverna har någon typ av missuppfattning. Sedan lyfts en diskussion tillsammans med eleverna för att “låta eleverna också få svara på, hur kan man uppfatta den här uppgiften, varför tror ni att man har svarat så här istället”. Därefter ger han tillbaka elevernas prov och så får dem rätta sitt prov själva uti-från bedömningsanvisningarna.
Lärare 2
Lärare 2 pratar aktivt med eleverna om missuppfattningar på olika sätt. Hon har med tiden fått erfarenhet om vilka vanliga missuppfattningar elever brukar få vilket gör att hon även
lyfter dem i undervisningen, ”tänk på att göra på det här sättet för det är vanligt att man kanske råkar tänka så här och det fungerar inte”. Men hon uttrycker även en osäkerhet kring att jobba med missuppfattningar på tavlan då hon har hört att om man visar fel så finns det en risk att eleverna lär sig det som är felaktigt. Ibland händer det att en elev uttrycker en miss-uppfattning under en genomgång vilket läraren direkt bemöter, “att jag då säger att ‘Nej så gör man inte men vad bra att du tog upp det här exemplet för att det är en jätte jätte vanlig missuppfattning att man gör så’” eller liknande. Hon berättar att hon kanske inte går in så mycket på varför man inte kan räkna på det sättet.
Lärare 2 visar på variation i undervisningen, “där skulle jag kunnat tagit den där med både, alltså.. 5-(2x+8), 5+(2x+8), 5-(2x-8), .. alltså att man ändå på något sätt tar alla… flera olika varianter att se”. Lärare 2 menar också att “man måste ha mer exempel där svaren inte blir ett exakt tal” för att eleverna inte ska vänja sig med att ett svar måste se ut på ett visst sätt. Jäm-för till exempel en elev som svarar 3/4 eller 0,75 - eleverna måste Jäm-förstå att det inte spelar någon roll vad dem svarar så länge uppgiften inte ber om något specifikt. Hon tänker också under intervjuns gång att hon kanske är lite otydlig och borde gå in mer på “vad är skillnaden mellan olika begrepp… vad innebär det att förenkla ett uttryck eller att lösa en ekvation” med eleverna. Vilket är sådant som hon själv tagit för givet och inte tänkt på att det kan leda till en missuppfattning hos eleverna. Som tidigare nämnts kallas detta för “expertise blind spot” en-ligt Nathan et al. (2001). Att på grund av all kunskap som läraren själv besitter så är vissa sa-ker så självklara att man tror att eleverna kan mer än vad dem kanske egentligen kan.
Lärare 2 berättar om lite olika arbetssätt efter ett prov. Ibland får eleverna göra provet en gång till men i grupper dagen efter det individuella provet. När eleverna har gjort det så får ibland enskilda elever redovisa uppgifter på tavlan även för att visa att en och samma uppgift kan lösas på olika sätt av olika elever. Ett annat alternativ är att hon bryter upp grupperna och låter eleverna byta plats med varandra för att skapa nya grupper. Hon säger att “jag kanske inte är lika bra på att lyfta missuppfattningar utan då är det kanske att jag tänker på att jag försöker ta med till framtida områden eller kanske prata individuellt med eleverna om, för dom får ju ändå tillbaka sina prov sen med lite kommentarer och sånt där”. Men om det dyker upp någon missuppfattning som en grupp frågar om så brukar hon diskutera med den
enskil-da gruppen. Ibland går läraren igenom provets uppgifter på tavlan inför hela klassen. Ett an-nat alteran-nativ som hon berättar om är att eleverna får enskilt tillbaka sina prov med en be-dömningsmatris där det är grön-markerat på de poäng som eleven har fått. Eleverna får sedan välja ut en uppgift som dom tycker att dom har löst bra och förklara varför dom tycker att så och sen får de välja en uppgift som dom vill utveckla eller göra om eller försöka lösa en gång till. Så eleverna får alltså möjlighet att rätta sig själva. Därefter får eleverna tillgång till facit och kommentarer från läraren på provet.
Lärare 1
Lärare 1 berättar att hon har mycket fokus på hur man ska räkna rätt, “man trycker på det rät-ta ofrät-tast”. När lärare 1 håller i genomgångar så är hon uppmärksam på vart det finns risk att eleverna fastnar eller “snubblar” för att eleverna ska kunna ta sig vidare - snarare än att upp-märksamma eleverna på eventuella missuppfattningar. Läraren uttrycker också betydelsen av variation i undervisningen “man måste ju visa på vad det är för skillnader på saker och ting”. Hon försöker konkretisera matematiken genom “att man försöker att plocka ner det till att inte vara termisk matematiskt”. Eleverna får arbeta med att finna mönster i olika variationer på tal och deras lösningar vilket leder till att eleverna får förståelse för hur till exempel regler fungerar. Lärare 1 använder sig även ibland av diskussioner i klassrummet för att eleverna ska få lyfta sina tankar och problematisera. Hon får under intervjuns gång ideér om att man skulle kunna låta eleverna diskutera missuppfattningar med varandra och nämner också att detta skulle vara ett bra sätt att få in mer diskussion i matematiken. Mot slutet av intervjun nämner hon igen att det vore intressant att jobba med elevernas missuppfattningar mer aktivt “där skulle man ju kunna trycka på att okej så här felen har gjorts, vad tror ni den här eleven har tänkt eller hur kan man tänka för att det ska bli såhär och vad behöver man lära sig för att det ska bli rätt”.
Lärare 1 nämner att dom använder en särskild typ av prov där det återkommer tal hela tiden i proven, “vi kallar dem progressiva det vill säga att kör vi taluppfattning först så finns det med i prov nummer två som egentligen handlar om procent, det blir ganska många taluppfatt-ningsprov så att det hela tiden ska hålla sig färskt”. Hon säger vidare att eleverna ofta får rätta sina egna prov så att eleverna själva ska få se vad de gör för fel. Både för att hon tror att det
är viktigt att eleverna får se sina egna felsvar men också för att de ska få träna på att felsöka sig själva vilket de annars tränar ganska lite på i undervisningen. Läraren säger att “ju mer du [eleven] ser vilka fel du har gjort desto mer lär du dig av det också”. Men hon lyfter också problematiken med tidsbrist och distansundervisning vilket gör att hon ibland skickar ut de rättade proven och eleverna får själva ansvaret att gå igenom provet.
4.1.2 Elev test och undervisning i de olika områdena
Detta avsnitt utgår från elev testet och hur lärarna berättade att dem undervisade mer specifikt i de olika områdena. Det var totalt 63 elever som gjorde elev testet och testet bestod av 24 uppgifter. De enskilda elevernas totalpoäng kommer inte att redovisas eftersom det saknar relevans för denna studiens syfte. Istället är det alltså svaren och de vanliga felsvaren på de enskilda uppgifterna som är intressanta. Alla uppgifter redovisas inte i textform eftersom det just är elevernas eventuella missuppfattningar som är av intresse för denna studie. Framförallt elevernas felsvar som beror på övergeneralisering. Det som står efter uppgiften (-- %) anger procent av alla eleverna som svarade rätt på den specifika uppgiften. Resultaten skiljde sig mellan de olika klasserna men detta är endast relevant för den enskilde läraren, därmed redo-visas inte resultaten klassvis.
Bråkräkning
(47,6%)
Totalt 38% av eleverna svarade 6/7 vilket visar att eleverna inte vet hur man multiplicerar bråk alternativt inte förstår dess innebörd, eftersom de endast multiplicerar täljaren.
(11,1%)
Med tanke på föregående resultat var det inte förvånande att få elever klarade denna uppgift, många lämnade inget svar. Elever som har koll på division bör även direkt se att y/y = 1 och alltså att svaret är (2+x)/x.
3
7
∙ 2
7
2 + x
(49%)
Felsvaren 6/5 och 3/5 (9,5%) var de vanligaste på denna uppgift. Dessa felsvar är svåra att tolka men det är möjligt att de har kommit fram till 6/5 genom att byta plats på tecknet, 8-2 = 6 och bara tagit med nämnaren. Men även denna uppgift visar att många elever inte förstår vad ett bråk innebär och istället försöker minnas hur man räknar med bråk och att detta lätt leder till att de blandar ihop räknesätten.
Hur lärarna gör
Samtliga lärare berättar att det är ett vanligt problem att eleverna lätt blandar ihop de olika räknesätten vid bråkräkning. Samtliga lärare verkar även förvänta sig att bråkräkning ska vara något som eleverna kan när de läser matematik 2.
Lärare 1 berättar om att hon försöker konkretisera, till exempel använde hon en jämförelse med addition eller multiplikation av bråk och enheter: “som en enhet sjundedelar, ja men det är som centimeter man ändrar inte på enheten för att du adderar flera. Men om du skulle mul-tiplicera ihop två tal då är det ju klart att enheten blir kvadratcentimeter”. Lärare 1 nämnde även problematiken med att eleverna har tillgång till miniräknare och att de på så sätt ofta kommer undan bråkräkningen. Detta är något som även Kilborn och Löwing (2002) nämner är problematiskt.
Lärare 2 belyser problematiken att eleverna saknar grunderna och inte förstår vad ett bråk är. Hon lyfter att det är svårare att visualisera multiplikation av bråk jämfört med addition av bråk till exempel. Lärare 3 lyfter problematiken med att eleverna troligtvis tänkt mekaniskt vilket gör att dem blandar ihop räknesätten. Lärare 3 nämner betydelsen av att använda sig av inre bilder och visualisera talen ”men här har man ju inte gjort det för då skulle man ju upp-täcka många svar som är orimliga”.
Minustecken
- 2 - 12 = (79,4%)
2 − 8
Totalt 13 av 63 elever svarade =14 och verkar ha övergeneraliserat minnesregeln “minus och minus blir plus”.
10 - 5t - 6t - 3 = (42,9%)
Flera elever svarade 7-t, 7+t eller -7-t (23,8 %) vilket tyder på att eleverna har en missupp-fattning om minustecknets betydelse. Ett alternativ är att eleverna endast ser talen och räknar dem för sig utan att ta hänsyn till tecknet framför.
Hur lärarna gör
Samtliga lärare försöker förtydliga att “tecknet före variabeln följer med”. Lärarna använder olika färger och stryker under eller ringar in för att tydliggöra. Lärare 2 berättar även att hon vill att eleverna ”ska skriva plus också för att ha med vanan att skriva minus om det står mi-nus, annars är det lätt att missa det negativa”. Lärare 2 och lärare 1 nämner att dem brukar hänvisa eleverna till att tänka på hur en termometer fungerar angående att subtrahera två ne-gativa tal, “det känns som att det är de med nene-gativa tal som dom ändå har en uppfattning om” (lärare 2). Lärare 2 berättar vidare att hon erfarit även tidigare ”att dom tar det stora talet minus det lilla talet fast det står ett litet tal minus det stora talet” men vet inte varför.
Lärare 1 nämner att eleverna kan ha svårt att förstå att ett minustecken kan vara antingen en räkneoperation eller ett negativt tal. Här brukar hon låta eleverna se att miniräknaren har två olika tecken för minus, - och (-) för att skapa en diskussion. Men hon lyfter att anledningen till att de ändå inte förstår kanske beror på att eleverna inte förstår vad en räkneoperation är och vad skillnaden är när det är ett negativt tal.
Lärare 3 berättar att när han går igenom negativa tal i matematik 1 så är han tydlig med att påpeka att ”minus och minus blir plus när vi multiplicerar eller dividerar negativa tal eller där de står efter varandra”. Men han belyser problematiken med att eleverna kanske bara kommer ihåg ”minus och minus blir plus”. Att det var över 20% som svarade felaktigt på uppgiften -2-12 visar hur minnesregler kan ställa till det. Som tidigare nämnts: en övergeneralisering sker då eleven använder kunskaper till områden där dessa kunskaper inte är tillämpliga. Kalder (2012) belyser om riskerna med att använda minnesregler och att de ofta kan
övergeneralise-ras av eleven och på så sätt användas i fel sammanhang. Som i detta fall då eleven har lärt sig minnesregeln ”minus och minus blir plus” och använder den regeln i fler områden än de till-tänkta. Det verkade inte spela så stor roll om det var minustecken i bråk eller uttryck, men i ekvationerna var det färre elever som visade problem med minustecknet. Booth och Koe-dinger (2008) skriver att många elever får problem med att minustecknet kan betyda två sa-ker, både som subtraktion och som markör för ett negativt tal.
Variabler
= (46%)
Många elever svarade felaktigt 15x (47,6%) vilket visar att eleverna inte multiplicerar x*x eller inte förstår att till exempel 3x är samma sak som 3*x.
(0%)
Även fast denna uppgift är något mer komplicerad än den var tänkt (det skulle stått: ) så är elevernas svar på denna uppgift intressanta. Vissa elever svarade
eller 8s+3 vilket visar att eleverna inte förstår skillnaden på 2s och . Felsvaret visar att eleven adderar och s samt multiplicerar 6*3. Eleverna hade troligtvis inte kommit i kon-takt med konjugatregeln ännu eftersom ingen av eleverna ens var i närheten av att använda sig av den.
Hur lärarna gör
Samtliga lärare nämner även här att de använder olika färger för att ringa in och visa skillna-den på till exempel variabler.
Lärare 3 lyfter att han vill få eleverna att fundera över ”vad betyder 5x, vad betyder 3x”. För att tydliggöra detta kan han använda sig av siffror, ”Jaa men det är ju sätta in siffror på s:ets plats, ja men om det står 4^2 vad betyder det”. Även lärare 1 berättar att hon kan visa tänket genom att använda siffror istället för bokstäver: ”dom har svårt att skilja på x*x och x+x vad är skillnaden på dem i svaren … men du tar 3*3 eller 3+3 tänk dig att x:en är utbytbara ja men då är det helt uppenbart”. Angående att eleverna blandar ihop s^2+s och s^2*s så berät-tar lärare 1 att hon benämner s och s^2 som ”olika familjer” som inte kan adderas ihop. Även 5x ∙ 3x
s2+ 6s + 3 =
s2+ 6s + 9 7s2+ 3
s2 s3+ 18
lärare 2 berättar att “jag försöker lägga betoning på att när vi har addition och subtraktion och det är olika gradtal på exponenterna att då kan vi inte addera”. Sedan berättar hon att hon för-söker använda sig av variation för att eleverna ska lära sig, men problemet med att eleverna kan bli förvirrade ”det är ju det där att det är olika regler om vi adderar och subtraherar eller multiplicerar och dividerar”.
Parenteser
(20,6%)
Felsvar som 2x-3, 3-2x, 2x+3 (34,9%) visar att eleverna har en missuppfattning vad gäller räkning med parenteser. Felsvar som 13-2x visar att eleven inte förstår parentesens betydelse.
(39,7%)
Felsvar som (8 %) visar att eleven inte förstår parentesernas betydelse. Eleverna tror att samma regler för addition även gäller multiplikation (Kirsher & Awtry, 2004). Vissa elever verkade dessutom inte förstå skillnaden på 2x och . Samuel, Mulenga och Angel (2016) skriver att detta beror på elevernas bristande förståelse av symbolerna: variabler och koeffici-enter.
Parenteser hade eleverna jobbat med tidigare men att de har missuppfattningar kunde identi-fieras. En vanlig missuppfattning på talet 5 - (2x+8) var att eleverna (totalt 14 stycken) endast bytte tecken inom parentesen och svarade: 2x-3. Ett annat vanligt fel eleverna gjorde var att multiplicera in 5 i parentesen och fick -(10x+40) och därefter bytte tecken i parentesen vilket resulterade i svaret 10x-40. Flera elever har problem med distributiva lagen och hur ett ut-tryck kan variera vilket även studien av Olteanu (2003) stärker.
Hur lärarna gör
Alla lärare nämnde liknande “ändra tecken i parentesen” om det är ett minustecken framför parentesen. Multiplikation av parenteser visas av samtliga lärare med hjälp av pilar likt bil-den.
5 − (2x + 8)
(x − 4)(x + 4)
x
2Lärare 1 och lärare 2 berättar att dem sedan låter eleverna lösa olika varianter för att finna mönster i den. Lärare 3 nämner att det ibland kan finnas en fördel med att lära eleverna re-geln först och därefter visa på varför. Framförallt med tanke på att många elever inte ens ver-kar bry sig om att använda sig av regeln när de ändå har lärt sig att multiplicera med pilar vil-ket även lärare 2 berättar att hon har upptäckt. Anledningen till att lärare 3 vill att eleverna ska använda regler är eftersom det är effektivt och för att det underlättar för eleverna.
Ekvationer
4 - 5x = 0 (43,3%)
Några elever svarade med teckenfel, men totalt var det 39,7% som svarade något helt annat eller inte alls. En specifik missuppfattning kunde inte tydas men troligtvis hade eleverna pro-blem med uppgiften eftersom den innehöll bråkräkning och negativt tecken.
5x + 3 = 3x - 7
(33,3%)Felsvaren x+5, -2x-4, 2x+4 visar att eleverna inte förstår innebörden av ett likhetstecken, det var endast elever från grupp 1 som angav ett liknande svar (3 av 23 elever). Det tyder på att eleverna uppfattar uppgiften som ett uttryck istället för en ekvation, eller att de “flyttar över” alla termer till ena sidan av likhetstecknet vilket även är något som Knuth et al. (2006) kunde se i sin studie. Enligt Christou och Vosniadou (2012) finns det även elever som gör tvärtom och alltså svarar till exempel x=2 när uppgiften är att förenkla ett uttryck. Generellt är svars-frekvensen väldigt låg på denna uppgift.
(6,6%)
Eftersom många av eleverna inte klarade av de inledande uppgifterna med bråkräkning och ekvationer så var det ingen överraskning att det var så få elever som klarade av att lösa denna uppgiften.
Hur lärarna gör
Från intervjuerna av samtliga lärare kan det indirekt tydas att lärarna använder termer som ”flytta över” och ”ändra” när de undervisar om ekvationslösning. Lärare 1 och lärare 2 näm-ner även att ”man måste ha mer exempel där svaren inte blir ett exakt tal… att man får an-vända sig av bråkform” (lärare 2). Det finns annars en risk att eleverna vänjer sig med att x alltid är ett heltal och missar på uppgifter som ovan. Lärare 2 nämner även att hon skulle be-höva lägga lite mer tid på att prata om skillnaden mellan en ekvation och ett uttryck. Lärare 1 berättar att ”man trycker inte [tillräckligt mycket] på innebörden av vad ett likhetstecken är utan det är någonting som man använder i matten”. Lärare 3 uttrycker lite bekymmersamt att ”jag tycker det är konstigt att det ändå är så många som svarat fel på den, sen vet jag inte var-för”. Det skulle kunna vara så att eleverna inte riktigt hade motivation till att svara på testets sista uppgifter som förklaring till den låga svarsfrekvensen.
4.2 Vilka utmaningar finns i lärares sätt att hantera elevernas
missuppfattningar inom algebra?
Lärare 1 uttryckte att vissa elever saknar struktur i sitt räknande vilket kan vara en förklaring till att eleverna inte löser de svårare ekvationerna, “det kan vara en förklaring att en del skri-ver ganska dåligt, alltså matematiskt” (Lärare 1). En utmaning är alltså eleskri-vernas bristande matematiska notation vilket gör det svårt att följa uträkningen. Det är även svårt att veta vil-ken nivå man bör lägga undervisningen på för att kunna fånga upp alla elever. Undervisning som sker på för låg nivå och som då blir för enkel för eleverna kan hämma deras utveckling, som lärare 3 nämner: “ett dilemma i det, det är ju att … om jag bygger upp det för successivt tappar man elever som inte blir utmanade”.
Tidsbrist är en faktor som lärare 1 och lärare 2 uttrycker. Lärare 1 uttrycker att det är en ba-lansgång att få eleverna att räkna mycket och att räkna med förståelse. Hon upplyser om pro-blematiken med att hon själv kanske ger eleverna press med att vissa uppgifter ska göras klart under lektionen och om de inte blir klara får de göra uppgifterna hemma. Lärare 2 nämner problemet med tidsbrist för att försöka reparera elevernas bristande förkunskaper, “då känner man på nått sätt.. amen okej, att gå igenom dom här grunderna till varför det blir på ett visst sätt ... inte alltid finns tiden till”. Hon lyfter också att hon upplever svårigheter ibland med att
Procedurell kunskap
En utmaning är att det är lätt att man fokuserar på procedurell kunskap. Att vara duktig på matematik blir ofta synonymt med att räkna många uppgifter för eleverna vilket lärare 1 nämner. Detta resulterar i att eleverna gärna räknar mekaniskt vilket innebär att de inte förstår vad det är dem egentligen räknar, “här har man ju inte tänkt egentligen på hur man har räk-nat” (lärare 3). Vissa elever vill kanske endast få ett betyg i matematik och det viktiga då blir att prestera på prov. Det kan vara så att det finns en uppfattning om att prestation inom ma-tematik handlar om att kunna räkna många tal, men det finns inget faktiskt intresse av att lära sig räkna. Då kan det bli så som lärare 1 beskriver att “man gör klart det och inte liksom gör det tills man förstår”. Hon beskriver att eleverna inte verkar räkna med förståelse eftersom “det blir som en för lång omväg när det bara står ett tal i boken, då tar det för lång tid att gå den omvägen och förstå, då vill man bara skriva ett svar”.
Elever i en klass har olika kunskapsnivåer och vissa har bristande förkunskaper - kunskaper som lärarna förutsätter att eleverna har i matematik, “när det kommer igen så förväntas du kunna det” (Lärare 1). Att eleven saknar förkunskaper kan lätt leda till missuppfattningar i nya områden som presenteras. Det är mycket som eleverna ska kunna i matematik och för att bli bra på något krävs träning. En anledning till att eleverna inte har koll på till exempel räk-ning med bråk kan vara “att vi gör det inte tillräckligt mycket kanske” säger lärare 1.Enligt lärare 1 kan elevernas bristande kunskaper om att räkna med bråk även bero på att eleverna ofta har miniräknare vilket gör att de kommer undan räknandet.
Ett tecken på att eleverna har procedurell kunskap är att eleverna kan räkna i en viss kontext men inte i en annan. Eller att en uppgift ser annorlunda ut, lärare 1 var förvånad över att det var ett så stort antal elever som hade svarat fel på ekvationen 4-5x = 0, “min tolkning är att dom har svårt att flytta när det står lika med noll, att det är det som är haken”. Det är intres-sant att titta på skillnaden hur många elever som klarade uppgiften 2-5/8 (49%) och ekvatio-nen 2x+x/3 = 7 (6,6%). Detta gör att man frågar sig om eleverna har problem med att det står en obekant x eller om eleverna har problem med ekvationslösningen.
Konceptuell kunskap
Vissa elever saknar kunskap om olika begrepp, till exempel som lärare 3 beskriver: “att ele-verna förstår när man skriver på tavlan eller om jag säger vad man ska göra men sen får man dom här uppgifterna själv att dom förstår inte vad [till exempel] ”utveckla” betyder”.
Vissa elever har svårt att hålla isär olika metoder, detta sker då eleverna har svårt att få en bild av vad till exempel ett bråk är eller innebär. Detta kan leda till en förvirring hos eleven “det är liksom en, som sagt mix av man har lärt sig massa regler som man ska följa men inte förstått dom och därför blandar ihop dom” (lärare 2). Ett annat exempel är att eleverna har svårt att skilja på x*x och x+x. Eleverna har svårt att förstå sig på regler: “sen där har vi ju konjugatregeln också som vi har gått igenom nu men många som tycker att det är krångligt kör ju hellre .. ehh.. att faktiskt utveckla hela och räkna det istället för att använda konjugat- och kvadreringsreglerna har jag märkt” (lärare 2).
5. Diskussion
I detta avsnitt diskuterar jag studiens resultat. Det första avsnittet delas upp i två delar, en del som handlar om elev testet och vad resultatet visade överlag samt en del om intervjuerna och vad lärarna gör. Dispositionen för detta avsnitt är: Möjligheter och utmaningar i undervis-ningen angående elevers missuppfattningar, Studiens viktigaste implikationer, Metoddiskus-sion samt Fortsatt forskning.
5.1 Möjligheter och utmaningar i undervisningen angående
ele-vers missuppfattningar
Anledningen till att möjligheter och utmaningar i undervisningen diskuteras ihop är eftersom dem delvis går in i varandra. Det som kan tolkas som en möjlighet kan även vara en utma-ning i praktiken till exempel. Resultatet visade att alla lärare kände väl till elevernas vanliga missuppfattningar vilket Saul (2008) menar är viktigt för en lyckad undervisning - men hur de hanterade dem varierade. Resultatet på elev testet visade precis det som Kirsher och Awtry (2004) skrivit om, att många elever inte förstår vad till exempel ett bråk innebär och istället försöker minnas hur man räknar med bråk. Detta leder lätt till att man lätt blandar ihop räkne-sätten. Deras studie är gjord på elever i grundskolan, och att elever som läser matematik 2 inte klarar av enkel bråkräkning är problematiskt både för skolan som verksamhet men även för elevernas fortsatta studier i matematik.
Från intervjuerna av samtliga lärare kan det tydas att lärarna använder termer som ”flytta över” och ”ändra”. Kalder (2012) skriver om “imprecise language” vilket innebär att lärare ofta använder sig av termer som “flytta över” eller “ändra” vilket kan ge eleverna en felaktig bild av vad det är som egentligen händer matematiskt. Till exempel kan vi titta på en ekva-tion: x+3 = 5, eleverna kan uppmanas till är att “flytta över” 3:an och byta tecken. Då får man x = 5-3 och alltså x = 2. Men med detta talesätt kan eleverna missa vad man egentligen gör och plötsligt kanske eleven börjar “flytta över” allt på en sida och få svaret x-2 vilket även kunde ses hos åtminstone tre av eleverna som gjorde elev testet. Alla lärare nämnde liknande “ändra tecken i parentesen” om det är ett minustecken framför parentesen - och det är inte en felaktig sägning. Vad dom tänker är att om det står -(4x+1) så kan du byta tecken i parentesen och ta bort parentesen: -4x-1. Jag fick dock uppfattningen från elev testet i samtliga klasser
