Mathematical modelling of biofilm growth based on a cubic spline representation

N/A
N/A
Protected

Share "Mathematical modelling of biofilm growth based on a cubic spline representation"

Copied!
3
0
0

Full text

(1)

on a cubic spline representation

Abstract

Planctonic bacteria that attach to a surface form a colony, referred to as a biolm. Biolms tend to build heterogeneous structures whose geometry is very complex. This rises the following question: which rule governs the development of such structures. Some likely candidates are: (a) The interaction of surround-ing liquid. (b) Cell-to-cell signalsurround-ing (also known as quorum senssurround-ing). (c) The dynamics of transport and consumption of nutrients.

The model presented here focuses on the aspect (c); the biolm is considered as a continuum whose growth is governed by the concentration of the nutrient. The assumption made in this model is that new biomass is distributed in the direction of the nutrient concentration gradient and thus increasing the whole colony's nutrient uptake in an eective way.

To be more precise, the biolm and the liquid are supposed to occupy a xed connected domain Ω in R2 (the plane). The boundary of Ω is divided into two

parts ∂Ω = Γ1

S

Γ2. A part of Γ1 contains the surface (substratum). Γ2 is the

contact interface to a large store of nutrients.

The part of Ω which is occupied by the biolm, at the time t, is denoted

Bt, and we assume that the biolm density is uniform (in fact=1) throughout

Bt. The surrounding liquid Ω\Bt is assumed to be in hydrostatic equilibrium,

so that the role of the liquid is just to provide a medium through which the nutrients are transported from the resovoir at Γ2 to the biolm.

Let c = c(x, t) be the concentration at x ∈ Ω and time t ≥ 0. For the trans-port and consumption of the nutrients we use a semi-linear diusion equation.

       D∆c − ct= f (c, Bt) in Ω ∂c ∂n = 0 on Γ1 c = g on Γ2 (1)

Where D > 0 is the diusivity, which is assumed to be the same in all of Ω, and g = g(x) ≥ 0 is the (xed) concentration for x ∈ Γ2. The function f, which

(2)

models the nutrient uptake by the biolm, follows the so called Monod kinetics:

f (c, Bt) =

( k1c

k2+c in Ω

0 otherwise. (2) Now, the biolm growth is much slower than the diusion of nutrients, so we may, at each time t, use the steady state solution of (1) to model the distribution of the nutrients: That is, for any xed time t, c is taken to be the solution of the semi-linear elliptic PDE:

(

D∆c = f (c, Bt)

+ Boundary cond. from (1) (3) The interface ∂Bt(the boundary of Btrelative to Ω) is represented by cubix

splines. Let pi(t), i = 1, · · · , N be the control points for the spline at the time t.

The growth of the biolm, in a small time increment ∆t, is achieved by pushing the control points along the graident of the stationary solution of 3:

pi(t + ∆t) = λ∇c(pi(t))∆t + pt(t), i = 1, · · · , N. λ = (RB tf (c) dx)/( R ∂Bt∇c · n ds) (4)

We denote the components of Bt by Λi and thus we have Bt=

Sn

i=1Λi for n

such disconnected domains in Bt. The total increase of biomass in a domain

Λiper unit of time will be given by

R

Λif (c) dx = λi

R

∂Λi∇c · n dsand thus our

choice of λi for a each Λi is given.

At time t = 0 the domain B0 is chosen to be a nite union of half circles

placed randomly with the center on the substratum.

The model simulations show typical biolm shapes with channels and towers resembling mushrooms. Considering the spreading algorithm (4) our conclusion is that these structures are favourable for biomass nutrient availability in the colony.

(3)

Figure 1: Simulations in a quadratic domain with substratum at the bottom. Top left corner: The initial domain. Top right corner: 25 iterations. Bottom: 50 iterations.

Figure

References

Related documents

Stöden omfattar statliga lån och kreditgarantier; anstånd med skatter och avgifter; tillfälligt sänkta arbetsgivaravgifter under pandemins första fas; ökat statligt ansvar

46 Konkreta exempel skulle kunna vara främjandeinsatser för affärsänglar/affärsängelnätverk, skapa arenor där aktörer från utbuds- och efterfrågesidan kan mötas eller

Däremot är denna studie endast begränsat till direkta effekter av reformen, det vill säga vi tittar exempelvis inte närmare på andra indirekta effekter för de individer som

The literature suggests that immigrants boost Sweden’s performance in international trade but that Sweden may lose out on some of the positive effects of immigration on

För att uppskatta den totala effekten av reformerna måste dock hänsyn tas till såväl samt- liga priseffekter som sammansättningseffekter, till följd av ökad försäljningsandel

Coad (2007) presenterar resultat som indikerar att små företag inom tillverkningsindustrin i Frankrike generellt kännetecknas av att tillväxten är negativt korrelerad över

Generella styrmedel kan ha varit mindre verksamma än man har trott De generella styrmedlen, till skillnad från de specifika styrmedlen, har kommit att användas i större

Närmare 90 procent av de statliga medlen (intäkter och utgifter) för näringslivets klimatomställning går till generella styrmedel, det vill säga styrmedel som påverkar

På många små orter i gles- och landsbygder, där varken några nya apotek eller försälj- ningsställen för receptfria läkemedel har tillkommit, är nätet av

However, the effect of receiving a public loan on firm growth despite its high interest rate cost is more significant in urban regions than in less densely populated regions,

While ﬁrms that receive Almi loans often are extremely small, they have borrowed money with the intent to grow the ﬁrm, which should ensure that these ﬁrm have growth ambitions even

Som visas i figurerna är effekterna av Almis lån som störst i storstäderna, MC, för alla utfallsvariabler och för såväl äldre som nya företag.. Äldre företag i

Effekter av statliga lån: en kunskapslucka Målet med studien som presenteras i Tillväxtanalys WP 2018:02 Take it to the (Public) Bank: The Efficiency of Public Bank Loans to

In this working paper, The Swedish Institute for Growth Policy Studies (Growth Analysis) has chosen to study a single cohort of start-up firms and follow their development over a

De långsiktiga befolkningsförändringarna har lett till en situation där 87 procent av Sveriges befolkning bor i regioner med fler än 100 000 invånare och knappt hälften bor i de

Ömsesidiga hjälporganisationer i det svenska civilsamhället står för ett om- fattande socialt stöd samt påverkansarbete till förmån för sina medlemmar.. Som en följd

Priserna för småhus var 8 procent högre under första kvartalet 2014 än motsvarande kvartal ett år tidigare, medan priserna för bostadsrätter i Stockholms stad var knappt 13

VBU delar utredarens bedömning att utgångspunkten i socialtjänstens arbete bör vara vilka insatser som erbjuds och vad insatserna ska syfta till, i stället för nuvarande inriktning

För det tredje har det påståtts, att den syftar till att göra kritik till »vetenskap», ett angrepp som förefaller helt motsägas av den fjärde invändningen,

T he Multidisciplinary BIO (MDB) program was a joint funding agreement between the Swedish Foundation for Strategic Research (SSF) and the Swedish Governmental Agency for

If not, you are responsible for providing your bank account details for payment to the bank, on the form Application/Change of employee information.. Application/Change of

Re-examination of the actual 2 ♀♀ (ZML) revealed that they are Andrena labialis (det.. Andrena jacobi Perkins: Paxton &amp; al. -Species synonymy- Schwarz &amp; al. scotica while

Vikten av, och kraven på, systematiskt hälsofrämjande arbete inom hälso- och sjukvård speglas tydligt i forskning, litteratur, lagar och riktlinjer. Distriktssköterskan