• No results found

Rita för betyg - koppling mellan figurer och resultat

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Rita för betyg - koppling mellan figurer och resultat"

Copied!
58
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

NATUR–MILJÖ–SAMHÄLLE

Examensarbete

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Rita för betyg

- koppling mellan figurer och resultat

Draw to score - connection between figures and results

Johan Hammer & Björn Stenqvist

Kompletterande Pedagogisk Utbildning, 90 hp Examinator: Eva Davidsson

(2)
(3)

Förord

“Och den som vill finna källan till denna rika samling av nya fakta måste först av allt upptäcka filosofin bakom dessa fakta - hur man kommit fram till dem och hur de skall förstås. Om man inte gör det förblir dessa fakta stumma och döda”

(Vygotskij, 2001, s. 52)

Redan Euklides för över 2000 år sedan med sin Elementa utgick i mångt och mycket från geometri i sina studier av matematik. Inom just området geometri har figurer ofta ett stort värde. Därför har vi i detta arbete haft målet att undersöka just hur elevritade figurer korrelerar till resultat inom matematik och föreslår kopplingar till olika lärandeteorier. Uppsatsen är ett examensarbete på avancerad nivå i ämneslärar-programmet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 7-9 samt gymnasie-skolan. Arbetet har till största del bedrivits gemensamt varför båda författarna står tillsammans bakom allt innehåll i arbetet.

Vår förebild, inspiratör och VFU handledare Paula Pierreville har varit med från början av vår studietid och i högsta grad bidragit till vår pedagogiska utveckling och förståelse vilka legat till grund för detta arbete. Utan henne hade detta inte varit möjligt – ktack! Vi vill även tacka vår VFU lärare Joakim Olofsson som bidragit till vår pedagogiska och didaktiska fostran. Ett stort tack till vår handledare Peter Bengtsson som under arbetets gång väglett och guidat oss genom uppsatsarbetets vedermödor. Dessutom har Joakim, Kenny, Martina, Michael, Ulf, Vesna, Dusanka och Katarina hjälpt oss med uppsatsen vilket vi är tacksamma för.

Slutligen vill Johan tacka Sofie Hammer som stått ut med hans världsfrånvändhet under arbetet och hela vägen uppmuntrat honom till att fortsätta – tack!

(4)
(5)

Sammanfattning

I denna studie har vi undersökt om det föreligger en korrelation mellan elevers resultat i skolan och diverse kvaliteter på figurer de konstruerar då de löser matematiska problem. Underlaget till studien har varit 207 elevlösningar till uppgifter på nationella prov i Matematik 2c, då eleverna var runt 16-17 år gamla. Vi har påvisat, med begränsat socio-ekonomiskt underlag, att sannolikheten för slumpmässiga relationer mellan resultat och figurkvaliteter är låg. Vi har även påvisat att korrelationen är positiv, alltså att konst-ruerade figurer med hög kvalitet är kopplade till höga resultat. Det verkar också som att elever som använder sig av figurer presterar högre än elever som inte gör det. I relation till många andra studier är vår studie relativt väl underbyggd gällande statistiskt

underlag. Dock är detta en av de punkter vi ser att framtida studier bör ta vid: utöka underlaget ytterligare både till antal men framförallt till socioekonomisk och geografisk utbredning. Vidare ser vi också att andra sorters matematiska problem kan studeras och inte endast problemlösning som undersökts här.

(6)

Innehållsförteckning

Förord i Sammanfattning iii Innehållsförteckning iv Inledning 1 Tidigare forskning 2

Syfte och frågeställning 6

Teoretiska perspektiv 7

Metod 10

Val av metod för studie av figurritande 11

Bedöming och kvantifiering av figurritande 12

Kvantifiering av elevers resultat 14

Analysmetoder 15

Praktiskt genomförande - procedur 15

Resultat 17

Förekomst och typ 17

(7)

Diskussion 22

Tolkning av resultat 22

Förekomst och typ 22

Korrekthet och fullständighet 23

Metodreflektion 25

Reflektion över forskningsprocessen 25

Reliabilitet och validitet 26

Generaliserbarhet 26

Nya frågor/vidare forskning 28

Slutsats 29

Referenser 30

Appendix A: Övriga resultat 33

(8)
(9)

Inledning

Inom matematik kan man lösa problem med olika metoder. En viktig hjälp, inte bara för geometriska problem utan även för flera andra, är att rita figurer (Polya, 1957). Att rita, det vill säga konstruera figurer, är dock inget som explicit krävs formellt i gymnasie-skolan i Sverige idag, även om eleverna ska kunna tillämpa matematiska modeller. Till exempel så ska eleven för betyg E i Matematik 2c kunna göra “om realistiska problem-situationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller” (Skolverket, 2017).

Vi har gjort vår verksamhetsförlagda utbildning (VFU) som lärarkandidater i matematik på gymnasieskolan. Under denna tid har vi uppmärksammat att elever sällan konstruerar figurer i samband med problemlösning, vare sig under lektioner eller i provsituationer där fullständiga lösningar efterfrågas. Både vår VFU-lärare och -handledare har påpekat att det är betydelsefullt att vi som lärare ritar komplett och tydligt eftersom eleverna gör som vi gör och sällan bättre. Vår förundran väcktes då om varför inte eleverna, som oftast undervisas av medvetna och erfarna pedagoger, ändå ritar sällan och undermåligt. Eller gör de det? Och i vilken omfattning verkar denna förmåga behövas eller premieras i skolan?

I detta arbete vill vi undersöka möjliga samband mellan elevers figurritande och resultat inom matematik i gymnasieskolan men även utvidgat resultat från andra gymnasie-kurser. Vi kommer att utforska både elevernas illustrativa men även deras språkliga förmåga vilken i grunden gör det möjligt att konstruera de figurer som kan behövas vid exempelvis problemlösning.

(10)

Tidigare forskning

Vid problemlösning av textbaserade matematiska problem är det inte ovanligt att elever fokuserar på siffror och tecken i problembeskrivningen och således missar kontexten som problemet presenteras i (Nesher och Teubal, 1975). Liknande studier (Carpenter et al., 1983) har visat att elever försöker att använda samtliga siffror och/eller symboler utan att noggrant analysera problemformuleringen. Starka elever har dock en större benägenhet att just analysera texten djupare än svagare elever (De Corte och Verschaffel, 1986). Ett hjälpmedel som skulle kunna användas systematiskt av alla elevgrupper för flera problem är konstruktion av figurer. Det har visat sig att då en elev konstruerar en korrekt matematisk figur så ökar inlärningen medan konstruktion av mer illustrativa figurer inte nödvändigtvis uppnår samma effekt (Rellensmann, Schukajlow, och Leopold, 2017). Deras frågeställning behandlar hur elevers matematiska

modelleringsförmåga förhåller sig till de ritade figurernas typ i första hand, och i andra hand korrekthet. Studien är uppdelad i en kvantitativ del som finner resultat varefter en kvalitativ del följer för att förklara desamma. Den kvalitativa delen av studien bygger på ett relativt magert statistiskt underlag (antal elever var 61 niondeklassare) varför man skulle kunna ifrågasätt resultaten och dess generaliserbarhet, vilket även författarna gör. Dock skall tilläggas att fler studier (Yetkin, 2003) har kommit till samma slutsats vilket pekar mot att de generella slutsatserna är substantiella.

Ofta delas matematiska problem in i tre kategorier (Krug och Schukajlow, 2013): matematiska, “dressed up” textproblem, och modelleringsproblem. Exempel på intra-matematiska problem är algebraiskt modellering av geometriska problem, alltså

konversion av problem mellan olika grenar inom matematiken (Garcia et al., 2006). Så kallade "dressed up" textproblem är mer vardagliga textbaserade problem medan den sistnämnda kategorin helt enkelt är problem primärt involverande modellering. Rellens-mann, Schukajlow, och Leopold (2017) studerade modelleringsproblem och de

spekulerar i att resultaten inte är generaliserbara till andra typer av matematiska problem såsom "dressed up" textproblem. De skriver att konstruerade figurerna kan verka på samma sätt som medierande verktyg, även om de inte behövs i alla

problem-lösningssituationer. Särskilt påpekar de att generaliserbarheten till andra kategorier inte är belagd.

(11)

Studier på förstaklassare tyder på att egenproducerade figurer inte underlättar för elever att lösa problem (van Essen & Hamaker, 1990). Det huvudsakliga målet med denna kvantitativa studie var att undersöka vilken effekt uppmuntran och övning av

figurritande har vid lösning av textproblem. De undersökte elever i första/andra samt femte klass, med ett underlag av 53 respektive 50 elever. Till skillnad från första/andra-klassarna fann de att femteklassare ökar sin problemlösningsförmåga med användning av bilder i större omfattning. I linje med detta har ytterligare studier påvisat att den strategiska problemlösningsförmågan, där figurkonstruktion kan ses som en del (Paris, Lipson, och Wixson, 1983), ökar drastiskt för elever mellan 5-12 års ålder (Paris och Lindauer, 1982). Vidare har det visats att en stor skillnad mellan experter och lekmän inom olika ämnesområden utgörs av huruvida de gör kontrollerade strategiska val (Paris, Lipson, och Wixson, 1983). Studien framhåller tre kriterier för att klassificeras som strategiskt beteende: en kapabel utförare, ett uppnåeligt mål och en tillåten aktion som aktören kan utföra för att uppnå slutresultatet. Elevers svårigheter gällande problem visar sig ofta tydligt i deras konstruerade figurer vilka således exponerar deras

strategiska (o)förmåga (van Essen & Hamaker, 1990). Därför kan tolkning av elevfigurer antingen visa på brister i elevernas strategiska förmåga eller brister i de givna problemformuleringarna.

Det har spekulerats i att visualiserings- och inlärningsförmågan ökar om elever i tidiga åldrar, mellanstadiet, utsätts för problem som inkluderar två- och tredimensionella geometriska element (Olkun, 2003). Målet med studien var att belysa och sammanställa den relevanta forskning som fanns och visa på specifika aktiviteter som inkluderar geometri för mer optimal inlärning. Delar av dessa aktiviteter inkluderar projektioner av tredimensionella objekt på tvådimensionella ytor. Sådana förmågor har visat sig viktig inte bara inom matematiken utan även inom design, fysik och ingenjörskunskap (McGee, 1979). Vidare har det rapporterats att ritande får elever mer involverade och intresserade av uppgiften samtidigt som de uppmuntras till högre ordningens tänkande såsom analys, syntes och utvärdering (Vygotskij, 2001; van Meter och Garner, 2005), se även Blooms taxonomi (Bloom, Benjamin S med flera, 1956).

(12)

hjälpmedel för problemlösning och de undersöker elevers förmåga att rita spontant. Detta i en både kvalitativ och kvantitativ studie baserad på 86 åttondeklasser. De

faktorer som studerades var om läraren verbalt uppmanade (VU) eleverna att rita figurer när de löste problem, och om eleverna fick öva på att rita diagram (ÖR).

Undersökningen gjordes genom att studera problemlösningsförmågan i fyra grupper: VU+ÖR påverkan, VU eller ÖR påverkan, eller ingen påverkan. För att studera elevernas motivation samt förståelse av nyttan med ritande användes enkäter före och efter kontrollmomentet med både skattningsfrågor och öppna frågor. En slutsats de drar är att endast vara ett gott föredöme inte ger lika gott resultat som att faktiskt både påtala fördelar med att rita samt att träna eleverna i att rita själva.

En försvårande omständighet för studier av elevers förmåga eller vilja att rita är att mycket pekar på att när elever själva väljer metod för problemlösning väljer de den enklaste metoden, den som de upplever kostar minst kognitiv uppmärksamhet (Uesaka, Manalo, 2012). Om eleven upplever att den kognitiva kostnaden för att rita överstiger en annan metods kostnad så är det mindre troligt att eleven väljer att rita. Till exempel kan en högpresterande elev välja att inte rita för att lösa en uppgift om det upplevs som enklare eller mindre energikrävande att lösa uppgiften utan figur. Vidare kan elever som har låg förmåga att värdera olika metoder uppfatta att ritande är en kognitivt svår metod och därför välja bort den till förmån för en enklare, men kanske inte framgångsrik, metod (Sato Jun, 1998). Det ska tilläggas att andra studier också lyfter fram figurers förmåga att verka som externa minnen och därför kan de även minska den totala kognitiva energikostnaden (van Essen & Hamaker, 1990).

“Diagrammatic reasoning" är en metod att resonera vilken beskrivs som följande: "diagrammatic reasoning uses direct manipulation and inspection of a diagram as primary means of inference" (Kulpa, 1994). Denna metod är uppenbart icke lämplig för många abstrakta problem men för exempelvis geometriska problem kan man designa didaktiska upplägg där elever modifierar och/eller extraherar information ur figurer. Detta sätt att tänka och resonera är tätt förknippat med argumentation och bevisföring, vilket visats påtagligt påverka progressionen inom matematikstudier (Hanna, Jahnke, och Pulte, 2010; van Meter och Garner, 2005). Genom att utforma undervisning efter liknande tankegångar skulle elever kunna utveckla en bred repertoar av färdigheter och

(13)

kunskaper. Sådan undervisning kan verka som komplement till den övriga

under-visningen vilken kan vara gynnsam för elever som har begränsad språklig förmåga, men även kommer en stor del av övriga elever tillgodo.

I en översikt av studier av figurritande (van Meter och Garner, 2005), vilken syftar till att guida och organisera framtida forskning, presenteras att olika kategorier av mate-matiska problem verkar ge olika utslag på om figurkonstruktion ger positiva effekter eller ej. Av de 15 studier som presenteras har vi speciellt fokuserat på studierna från 'High school' och 'Collage' som ligger närmast den svenska gymnasienivån vilken vi vill undersöka. De inkluderade studiernas resultat är tämligen spretiga och ingen

samstämmighet verkar finnas, somliga talar för figurers betydelse och andra emot. Den nämnda studien är från 2005 och majoriteten av de inkluderade studierna i denna rapport är från 1970-talet. Även om det har tillkommit empiriska studier efter (van Meter och Garner, 2005), exempelvis (Uesaka och Manalo, 2012), så pekar det faktum att det mesta av forskningsfältet utvecklades för nästan ett halvt sekel sedan på en möjlighet, och behov av, att komplettera med ytterligare studier utifrån ett mer samtida perspektiv för att belysa området.

Vi har endast funnit studier vilka beskriver, i olika varianter, en initial förstudie följt av intervention och slutligen ett post-test, det vill säga en direkt kontroll. Ingenstans har vi noterat att forskning av figurritande gjorts mot elevers mer övergripande resultat såsom betyg i innevarande matematikkurs eller betyg i alla kurser, språk eller

samhällsvetenskapliga ämnen. Här finns alltså ett kunskapsgap gällande relationen mellan figurritande och generella resultat i skolan.

(14)

Syfte och frågeställning

Vårt syfte är att belysa hur elevers resultat i skolan förhåller sig till figurer som eleverna producerar vid problemlösning i ämnet matematik. Så: hur förhåller sig elevritade figurer till elevers resultat? Resultaten kan mätas på olika vis, både med poäng på det givna problemet men även i vidare mening betyg på prov, matematikkurser, övriga naturkurser eller slutbetyg, vilket vi återkommer till i metodkapitlet nedan. För att kvantitativt kunna uttala sig om figurer inför vi måtten: typ, fullständighet och korrekthet. Med typ avses om det är en illustrativ eller matematisk figur. Vi kommer återkomma till definitionerna av dessa typer senare. Med fullständighet avses om eleven har ritat och hur komplett denna figur i så fall är, och slutligen med korrekthet avses hur korrekt eller felaktig figuren är.

(15)

Teoretiska perspektiv

Denna studie tar ett avstamp i Vygotskijs sociokulturella perspektiv (Säljö, 2011). Högre psykologiska funktioner, såsom problemlösning, medveten uppmärksamhet, koncept och minnesskapande förvärvar människor först genom social interaktion och därefter internaliseras det i människan själv enligt Vygotskij (Säljö, 2011). För dessa högre psykologiska funktioner behöver människan medierande verktyg, eller psyko-logiska verktyg; hjälpmedel för att beskriva och minnas såsom språk, symboler och begrepp. På samma sätt som en hammare är ett fysiskt verktyg, en mänskligt fabricerad artefakt som hjälper människan, kan vi även fabricera psykologiska verktyg för att hjälpa oss både kommunicera mellan människor och även internt. Det är alltså genom mediering, användande av medierande verktyg, som vi internaliserar kunskapen så att vi förstår den. Figurer är en sådan form av medierande redskap som elever kan använda för att analysera världen och för att förklara den för sin omvärld (van Essen & Hamaker, 1990). Elevens analys och förklaring av problem är således artefakter som utvärderas av lärare vid tester och prov.

Vidare gör Vygotskij (2001) skillnad på vardagliga begrepp och, det som lärs i skolan, institutionella begrepp. Vardagliga begrepp, exempelvis ”väg” eller ”stege”, blir barn bekanta med genom de vuxna. Barn lär sig inte bara vad ordet betyder men fyller det också med mening, till exempel vad en stege är bra för. Utöver vardagliga begrepp finns även vetenskapliga, eller ännu generellare, institutionella begrepp. Matematiska

abstraktioner, såsom rätvinkliga trianglar och Pythagoras sats, är typiska institutionella begrepp. Det är i skolan barnen bekantas med och lär sig denna institutionella kunskap. De ska koppla ihop nya institutionella kunskaper med tidigare erfarenheter och

kunskaper för att internalisera. Förmågan till abstraktion från vardags- till institutionella begrepp är en grund för att kunna göra figurer som inte bara illustrerar problemet utan även är en matematisk modell av fenomenet. Redan innan Vygotskijs tankar blev kända pekade John Dewey på vikten av att koppla teorier till praktik (Dewey, 1980).

Figurritandet kan ses som ett sätt att i olika abstraktionsgrader koppla praktiska verkligheten till teoretiska modeller (van Essen & Hamaker, 1990).

(16)

Rellensmann et. al. (2017) delar in figurer i två typer: illustrationer och matematiska figurer. En illustration (”situational drawing”) är en representation av situationen eller problemet som beskriver objekten i enlighet med dess utseende. Det är en form av praktisk vardaglig beskrivning med låg abstraktionsnivå. Den andra typen är en

schematisk, eller matematisk, figur (”mathematical drawing”) som uteslutande beskriver objekt som är relevanta för lösningen, och dessa objekt är beskrivna med relevanta matematiska begrepp. Exempel på dessa typer kan ses i Figur 1. Denna form av beskrivning är mer relaterad till matematiska teorier och begrepp. Naturligtvis kan elevers figurer innehålla både illustrativt och matematiskt beskrivna objekt. Hegarty och Kozhevnikov (1999) kategoriserar figurer som illustrativa om antalet illustrativt

beskrivna objekt är fler är antalet matematiskt beskrivna objekt, annars matematiska.

Figur 1. Exempel på en illustration (övre) och en matematisk figur (nedre) av en bil.

Ytterligare ett perspektiv på lärande (Illeris, 2007) fås genom att användandet av begrepp som assimilation och ackommodation (Piaget, 1954). Assimilation innebär att kunskap inarbetas i redan etablerade strukturer medan ackommodation innebär att dessa redan etablerade strukturer i sig omarbetas. Det senare är således ofta mer krävande än det föregående. Vid figurritning konstruerar man högre ordningens strukturer genom att kombinera diverse grundläggande mönster såsom cirklar, trianglar eller rektanglar. Alltså, eleven skapar eller urskiljer nya strukturer utifrån egen kunskap och med viss hjälp från exempelvis skriftliga instruktioner byggs den underliggande kunskapen på. I

(17)

grunden är det ingen (eller möjligtvis lite) ny kunskap som införlivas, snarare är det en kombination av gamla kunskaper vilket gör synsättet till ett konstruktivistiskt sätt att se kunskap på (Sjøberg, 2000). Således skapas ett kontinuum av kunskap som sätts i ett sammanhang (Illeris, 2007). Även om figurritande i sig säkerligen kan leda till den mer krävande formen av lärande ackommodation eller i alla fall omvärdering av de

etablerade strukturerna, se exempelvis konstverk av M.C. Escher i Figur 2, så ligger ofta assimilation närmare till hands då figurer ofta representerar reella ting som elever redan är familjära med. De problem som kan uppstå med assimilation är att lärandet blir knutet till den explicita lärsituationen och således kan en generell förståelse utebli (Illeris, 2007).

(18)

Metod

För att besvara en frågeställning kan en studies metod vara kvantitativ, kvalitativ, eller kombination av de två. En kvalitativ undersökning besvarar främst frågan ”varför”, medan den kvantitativa metoden besvarar ”hur”. Vårt syfte ”hur elevers resultat i skolan förhåller sig till figurer som eleverna producerar vid problemlösning” är just av typen ”hur” varför vi utgår från en kvalitativ metod. Dock ger denna metod inte möjligheten att förklara eventuella orsakssamband.

Således behövs till denna studie data vilka relaterar till figurritande och till resultat. Figurritandet kan studeras exempelvis genom att beakta olika aspekter såsom

förekomst, typ av figur, eller kvalitet. Elevernas resultat kan studeras genom resultat på uppgiften, resultat på eventuellt prov, betyg i kursen och även elevernas övriga betyg. Figur 3 och 4 visar två olika sätt, indirekt och direkt, att studera relationer mellan korrekthet/fullständighet och resultat på olika nivåer. Då vårt intresse inte låg i relationerna mellan resultat/betyg på olika nivåer utan direkt mellan figurritandet och resultaten/betygen valde vi modell enligt figur 4.

Figur 3. Överföringsmodell med korrelationer markerade som pilar där relationen mellan korrekthet och provresultat indirekt studeras.

Korrekthet

Fullständighet

(19)

Figur 4. Överföringsmodell med korrelationer markerade som pilar där relationen mellan korrekthet och provresultat direkt studeras.

Val av metod för studie av figurritande

I detta avsnitt presenterar vi tre olika sätt att studera figurer på i syfte att välja en tillämplig metod för vår tidsmässigt begränsade studie.

Ett sätt att studera figurritande är att göra ett prov i en kontrollerad miljö på samma sätt som exempelvis Rellensmann, Schukajlow, och Leopold (2017). Uppgifterna utformas speciellt för undersökningen och uppgifter från tidigare forskning kan användas som utgångspunkt. Det är också möjligt att använda kontrollgrupper. En nackdel med detta sätt är att det är resurskrävande då det behövs arrangeras speciella testtillfällen.

Dessutom behöver elever, och eventuellt föräldrar, informeras om studien och samtycke inhämtas enligt de etiska riktlinjerna (Vetenskapsrådet, 2017).

Ett alternativt sätt att studera figurritande är att konstruera en eller fler uppgifter till ett prov som redan är planerat. Det ger möjlighet att konstruera uppgifter på lämpligt sätt för frågeställningen, även om det är begränsat då uppgiften måste anknyta till avsnittet eleverna just nu befinner sig på. Det kan också vara problematiskt att få flera klasser att göra samma uppgifter inom tiden som står till förfogande för undersökningen. På samma sätt som föregående metod med eget prov, behöver information till och samtycke av elever och föräldrar inhämtas i enlighet med etiska riktlinjerna (ibid.).

Ytterligare ett sätt att studera figurritandet är att analysera redan gjorda prov. Inom matematik finns nationella prov vilka har fördelen av att de har gjorts i flera klasser och

Korrekthet

Fullständighet

(20)

frågeställning, istället behöver man hitta en uppgift som bäst passar frågeställningen. Då man studerar redan producerat material behövde inte samtycke från eleverna inhämtas. Dock är flertalet nationella prov belagda med sekretess, vilket måste beaktas.

Sammanvägt valde vi i denna undersökning att studera figurritning genom att bedöma figurer i gamla nationella prov då de praktiska svårigheterna med de andra metoderna inte låg inom examensarbetets ramar. Detta medförde dock att vi inte hade möjlighet att ställa frågor till eleverna i anslutning till provtillfället med syfte att förklara möjliga orsakssamband.

Bedömning och kvantifiering av figurritande

För att bedöma elevernas figurer i elevlösningar har vi utgått från olika aspekter: 1. Finns figur i lösning?

2. Vilken typ av figur är det fråga om? 3. Hur korrekt är figuren?

4. Hur fullständig är figuren?

Fråga 1 ovan är okontroversiell och besvaras med Ja/Nej. Fråga 2 utgår i grunden från den klassificering som Rellensmann, Schukajlow, och Leopold (2017) gör där man beskriver en illustration (I) som en ytlig beskrivning av problemet med låg

abstraktionsnivå medan en matematisk figur (M) fokuserar på de matematiska strukturerna med en hög abstraktionsnivå. Se vidare avsnittet Teoretiska perspektiv ovan. I fråga 3 bedömer vi hur korrekt en figur är utifrån en femgradig skala, se Tabell 1 med exempel i Figur 5. Även om vi strukturerat detta system oberoende av andra studier har vi dock funnit likheter mellan vår struktur och andra poängsystem såsom (van Meter, 2001). Till skillnad från dessa studier har vi en komplementär poängnivå (2 poäng) vilken fyller ut hela möjlighetsrummet oberoende av de övriga nivåernas

täckningsgrad. På så sätt får vi en fullständig uppdelning som täcker hela poängspannet utan undantag. Detta gör vårt system heltäckande men med en viss risk för att

poängnivå 2 blir en “papperskorg” för bedömningar som inte tydligt passar in i några av de andra kategorierna. Samma system som används för bedömning av fråga 3 gäller för fråga 4 där fullständighet behandlas.

(21)

Figur 5. Olika figurer till problembeskrivningen “I en rätvinklig triangel har kateterna längderna 3 och 4 längdenheter. Hur lång är hypotenusan?”. För enkelhetens skulle benämner vi figuren på rad X och i kolumn Y som (X,Y).

Tabell 1. Bedömningskategorier med tillhörande exempelbedömning av figurerna i Figur 5.

Po äng

Beskrivning Korrekthet Fullständighet

4 Helt korrekt / Fullständig (1,4) , (2,4) (2,2) , (2,3) , (2,4) 3 I huvudsak korrekt / Fullständig (2,2) , (2,3) (1,4) , (2,1) 2 Ej bedömda som 0,1,3 eller 4 poäng. (1,2) , (1,3) , (2,1) (1,2) , (1,3) 1 I huvudsak felaktig / ofullständig (1,1) (1,1)

0 Helt fel / obefintlig

En generell regel vi utgått ifrån är att korrektheten inte kan vara mer än ett steg högre än fullständigheten. Här argumenterar vi ifrån principen att endast element som inkluderas kan bedömas. Exempelvis innehåller en tom figur inga element, således är den inte direkt felaktig utan endast ofullständig. Dock anser vi att om inga korrekta element inkluderas så bedöms den som icke-korrekt. Det är alltså inte frånvaron av fel utan

(22)

före-samtidigt som alla de inkluderade elementen är korrekt beskrivna. Dock kan korrekt-heten undantagsvis bedömas som två poäng högre än fullständigkorrekt-heten om tillräckligt många element i en figur kan inkluderas och blir inkluderade. Vid fall då en fullständig figur beskrivs, alltså fullständigheten ger 4 poäng, är det dock möjligt att alla de inklu-derade elementen är felaktigt, således är det möjligt att korrektheten kan bli 0 poäng.

Vi noterade också om figur fanns med i uppgiftsbeskrivningen och i så fall vilket typ av figur det var enligt skalan I/M. Vad gäller lösningar som presenterar flera figurer med olika typer har vi valt att bortse från de med lägre abstraktionsnivå då vi anser att den med högst abstraktionsnivå speglar elevens nivå.

Kvantifiering av elevers resultat

Förutom uppgiftspoängen är de övriga betygen enligt betygsskalan F-A. Här värderar vi enligt följande: F=0, E=10, D=12.5,C=15,D=17.5 samt A=20 poäng. Detta är samma vikter som används vid beräkning av betygsvärde till svenska högskolor och universitet (Universitets- och högskolerådet, 2017).

Det vi kallar uppgiftspoäng är summan av poängen för de olika nivåerna (F-A) på uppgiften individuellt viktat med siffermotsvarigheten till desamma. Denna summa normerades sedan mot summan av antalet poäng på uppgiften, se formel nedan. Exempelvis normerades en uppgift med 0 E-, 2 C- och 2 A-poäng till att ha maximalt 17,5 poäng

𝑈𝑝𝑝𝑔𝑖𝑓𝑡𝑠𝑝𝑜ä𝑛𝑔 =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝐸−𝑝𝑜ä𝑛𝑔∙ 10 + 𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝐶−𝑝𝑜ä𝑛𝑔∙ 15 + 𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝐴−𝑝𝑜ä𝑛𝑔∙ 20 𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝐸−𝑝𝑜ä𝑛𝑔+ 𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝐶−𝑝𝑜ä𝑛𝑔+ 𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝐴−𝑝𝑜ä𝑛𝑔

Vi valde att studera ett viktat betyg från kurserna Matematik 1c-4c vilka alla ingick i studieplanerna för eleverna som gick på Naturvetenskapliga programmet, se vidare avsnittet ’Praktiskt genomförande – Procedur’. Matematik 5 är en valfri kurs som endast lästes av en begränsad mängd elever varför vi valde att undanta den. Vidare studerade vi viktade betyg i övriga programgemensamma kurser, vilka vi valde att kalla Na-kurser. Vid viktning av övriga gymnasiegemensamma kurserna undantogs moderna språk. Slutbetyget begränsade vi till att omfatta matematik-, program- och gymnasie- gemensamma kurserna enligt ovan. Med denna begränsning valde vi att kalla detta

(23)

resultat Sammantaget betyg. Skälet till dessa begränsningar var praktisk då vi på detta sätt fick tydliga och jämförbara material. Inom varje grupp viktades kurspoängen med siffermotsvarigheten till kursbetyget varefter den totala summan av desamma divideras med summan av de inräknade kurspoängen. På detta sätt erhölls betygsviktade resultat i intervallet 0-20, se formel nedan, och data enligt appendix.

𝑆𝑛𝑖𝑡𝑡𝑝𝑜ä𝑛𝑔 =∑ 𝑘𝑢𝑟𝑠𝑝𝑜ä𝑛𝑔 ∙ 𝑘𝑢𝑟𝑠𝑏𝑒𝑡𝑦𝑔 ∑ 𝑘𝑢𝑟𝑠𝑝𝑜ä𝑛𝑔

Analysmetoder

Vi analyserade data genom χ2-test där olika viktade entiteter kontrollerades mot varandra, för att påvisa om det fanns någon korrelation. Enligt Berret (2006) är χ2-test tillräckliga eftersom andra index, exempelvis CFI (Hue, 1999), inte i övrigt bidrar vid små urval som vi anser oss ha. χ2-test säger ingenting om hur stark den potentiella korrelationen är utan endast sannolikheten att den föreligger. Våra nollhypoteser är att det inte föreligger några korrelationer mellan de studerade storheterna. Med hjälp av χ2 -test kan vi beräkna sannolikheten, p0, för att nollhypotesen stämmer. Omvänt gäller att en låg sannolikhet för nollhypotesen ger en hög sannolikhet för korrelation mellan storheterna enligt:

pkorrelation = 1 - p0

För att se om korrelationerna var positiva eller negativa använde vi

linjärisering-funktionen i Microsoft Excel (minsta kvadratmetoden) som förutom riktningskoefficient också ger determinationskoefficienten R2, ett mått på modellens förklaring av variansen i utfallen. För ytterligare information om de specifika testerna se avsnittet ’Resultat och analys’.

Praktiskt genomförande - procedur

Före den fullskaliga datainsamlingen gjordes en pilotstudie på en gymnasieskola i Malmö med syftet att välja ut relevanta uppgifter från nationella prov och studera utfall bland elever på olika program. Rellensmann, Schukajlow, och Leopold (2017) valde i sin studie att använda geometriska problem som kan lösas med hjälp av Pythagoras sats

(24)

uppgifter av geometrisk karaktär som relevanta för vår studie. För att bredda studien söktes en spridning på svårighetsgraden på uppgifterna varför vi prioriterade uppgifter med lika poängsättning i de respektive poängnivåerna E/C/A. Vi valde också, som ett sista urvalssteg, uppgifter utifrån möjligheten att göra en så objektiv rättning som möjligt. Slutligen bedömde vi tre uppgifter vara de mest relevanta och representativa, alla från nationella prov i Matematik 2c: uppgift 13b VT2012, uppgift 15 VT2015, samt uppgift 22 VT2016. Vidare uppskattade vi att det var mer spridning på resultat bland elever på naturprogrammet än på ekonom-, samhälls- eller handelsprogrammet och där nivån generellt var lägre. För att får stor spridning på betygsstegen valde att begränsa oss till elever naturprogrammet i den fortsatta studien.

Studien gjordes därefter på provresultat från elever på naturvetenskapliga program på tre gymnasieskolor i Malmö där nationella prov från åtta olika klasser studerades. Vi fick tillgång till arkiverade nationella prov på skolorna där vi bedömde elevernas lösningsfigurer till de utvalda uppgifterna. Vid bedömningen av elevernas

lösningsfigurer noterade vi samtidigt resultatet för den specifika uppgiften samt för provet som helhet. I de fall det rådde tvetydighet om lärarens poängsättning valde vi det högre betyget. Betyg i kurserna fick vi på förfrågan av skolan. Inför analysen valde vi att utesluta blanka elevlösningar.

(25)

Resultat

Resultaten från beräkningarna presenteras här utifrån bildernas förekomst, typ,

korrekthet samt fullständighet. Studien har samlat resultat från 207 elevlösningar. I en handfull fall var lärarens poängsättning tvetydig varför vi då valde den högre poängen. Ytterligare en handfull elever hänvisar till provets givna figurer. I den mån dessa hade kompletterats av eleven, bedömde vi det som om eleven hade ritat figuren, annars inte.

Förekomst och typ

Vi har funnit att av de elever som påbörjat en lösning på problemet så förekommer en figur i 74% av fallen. Vi skall tillägga att över 94% av eleverna har påbörjat en lösning och således föreligger inget stort bortfall vad gäller underlaget till studien. Detta ger att 70% av alla elever presenterade en figur. Vad gäller typ har vi funnit fyra lösningar som kan kategoriseras som en illustration medan övriga är matematiska figurer.

Korrekthet och fullständighet

Resultatet av beräkningar utifrån insamlade data återfinns i Tabell 2.

Vi har testat om det finns en koppling mellan korrekthet/fullständighet och resultat. Med en säkerhet på åtminstone 95% (p0 < 0,05) kan vi konstatera att det finns en korrelation och den existerar med större sannolikhet mellan korrekthet och resultat än mellan fullständighet och resultat (undantaget Matematik-kurser där p0 är mycket snarlika), se Tabell 2. Vidare visar Tabell 2 på svagare samband för generellare resultat (längre nedåt i tabellen) än specifika (högre upp i tabellen). Exempelvis är sanno-likheten för korrelation mellan korrekthet/fullständighet och övriga Gy/sammantaget kurser mindre än 95% (p0>0,05) i nästan samtliga fall.

(26)

Tabell 2. Resultat från analys av slumpmässighet/korrelation mellan figurers kvalitet och elevresultat. p0 anger sannolikheten för slumpmässig fördelning, det vill säga ingen korrelation. Sannolikheter där p0>0,05 har markerats med röd kursiv text. R2 är ett mått mellan 0 och 1 på hur väl data ansluter till linjäriseringen, där 1 motsvarar perfekt modell.

Resultat Korrekthet Fullständighet

Alla Med figur

Alla Med figur Uppgiftspoäng p0 1E-07 1E-06 6E-05 4E-04

R2 0,15 0,29 0,11 0,20

Provbetyg p0 9E-04 1E-03 0,02 0,03

R2 0,10 0,16 0,08 0,12 Matematik-kurser p0 0,03 1E-04 0,03 7E-05

R2 0,05 0,07 0,04 0,05 Övriga Na-kurser p0 9E-04 7E-05 0,12 0,02 R2 0,05 0,05 0,04 0,05 Övriga Gy-kurser p0 0,26 0,50 0,55 0,81 R2 0,03 0,01 0,03 0,01 Sammantaget kurser p0 0,16 0,03 0,52 0,16 R2 0,04 0,03 0,04 0,02

(27)

Figur 6. Presentation av uppgiftspoäng mot korrekthet och linjära modeller av

desamma. Notera att frekvensen av data inte presenteras för varje datapunkt, vilket dock visas i Figur 7. Linjäriseringen har använt punkter som viktats med frekvensen av data i varje sådan punkt.

Vi har även funnit att i samtliga fall är korrelationen positiv, dvs. högre korrekthet/ fullständighet ger högre resultat, se exempel i Figur 6. Resultaten i Figur 6 kan tolkas som: om en elev ritar en figur med hög korrekthet så är det inte säkert att eleven får en hög uppgiftspoäng, men om en elev ritar och får en hög uppgiftspoäng så har figuren hög korrekthet. Detta ses även intuitivt i Figur 7 som kvantitativt visar fördelningen av elevresultat mot korrekthet.

(28)

Figur 7 Bubbeldiagram med uppgiftspoäng mot korrekthet. Storleken på bubblorna motsvarar antal mätdata i varje punkt.

Elever som inte ritat alls kan dock få resultat vilka spänner över hela intervallet för uppgiftspoängen. Korrelationsmodellerna i Figur 6 har relativt höga R2-värden medan övriga korrelationsmodeller i Tabell 2 har låga R2-värden. Låga R2-värden kan tolkas som att de linjära modellerna bara till liten del förklarar korrelationen. Övriga figurer som visar korrelationssamband kan ses i appendix. Slutligen presenteras det

gemensamma sambandet mellan korrekthet, fullständighet och uppgiftspoäng i Figur 8.

0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Uppg iftspoäng Korrekthet

(29)

Figur 8. Landskapet visar på sambandet mellan korrekthet, fullständighet och uppgiftspoäng. Ytan är linjärt interpolerad mellan heltalspunkterna i korrekthet-fullständighets-planet. Uppgiftspoängen i figuren i varje (korrekthet, fullständighet)-heltalspunkt är ett medelvärde av alla insamlade uppgiftsvärden med motsvarande korrekthet och fullständighet.

(30)

Diskussion

Tolkning av resultat

Förekomst och typ

Vår studie visade att 74% av de som påbörjat uppgifterna har ritat figur, vilket kan jämföras med motsvarande siffor i studien av Rellensmann, Schukajlow, och Leopold (2017), vars delstudier visade på mellan 47% och 97%. Där hade dessutom eleverna direkt blivit instruerade att göra en figur, något som eleverna i vår studie inte blivit uppmanade till, vilket visat sig kunna påverka resultaten (Uesaka och Manalo, 2012). Det ska tilläggas att i vår studie var uppgifterna givna med någon sorts figur, det vill säga inte en ren textuppgift. När vi analyserade nationella provuppgifter under

pilotstudien noterade vi att det fanns få, om ens någon, uppgift utan given figur där vi antog att eleven skulle ha haft nytta av att rita. Således spekulerar vi i att Skolverket inte anser det viktigt att kunna konstruera egna figurer, något vi faktiskt finner korrelera med goda resultat.

Vidare ska det understrykas att vi inte kan dra slutsatser om vilken grupp eleverna utan lösning hade tillhört om de väl påbörjat en. Var det av tidsbrist de inte påbörjade

uppgiften? Var den för svår för dem? Eller var det något helt annat skäl? På dessa frågor ger vår undersökning inget svar. Det enda vi kan säga är att det procentuella bortfallet var en relativt liten del av det totala underlaget för studien och därför borde osäkerheten på resultaten inte nämnvärt minska även om de blivit inkluderade.

Vad gäller typ av figur så har vi med få undantag funnit att eleverna generellt ritat matematiska figurer. I studien av Rellensmann, Schukajlow, och Leopold (2017) så uppmanas eleverna att göra både illustrativa samt matematiska figurer och den generella trenden är att om de kan göra en matematisk figur så kan de också göra en illustrativ figur men inte vice versa. Givet denna slutsats pekar våra resultat på att vi valt relativt enkla problem eller på att de givna figurerna i problemformuleringen haft inflytande över elevernas figurritande.

(31)

Korrekthet och fullständighet

Vi har kommit fram till att det generellt föreligger korrelation mellan de studerade figurernas grad av korrekthet och elevernas resultat i skolan. Detta ligger i linje med flera studier (Rellensmann, Schukajlow, och Leopold, 2017; de Bock, 1998;

Alesandrini, 1981). Då lutningen på uppgiftspoängens linjära modell är högre på korrekthet än fullständighet jämte resultat så kan vi sluta oss till att korrektheten påverkar resultaten mer positivt än vad fullständigheten gör. Detta är på ett sätt inte förvånande då korrektheten delvis begränsas av fullständigheten enligt våra

bedömningskrav, exempelvis kan man inte få full poäng på korrekthet och ingen på fullständighet. Det är endast möjligt att få en figur korrekt om strukturen redan finns där eller är möjlig att få fram. Således kan figurens fullständighet tolkas som den struktur i vilken korrektheten assimileras, vilket direkt kan motsvara elevernas inre process då de konstruerar densamma.

Generellt har våra modeller svag överensstämmelse med data, det vill säga de har låga R2-värden. Vi kan dock se att modelleringen generellt är bättre för korrekthet än för fullständighet, vilket tyder på att det verkar viktigare att rita rätt än att inkludera samtliga detaljer (vilket kanske är föga förvånande). Alla våra jämförelser pekar också på en positiv korrelation mellan både korrekthet och fullständighet å ena sidan och de olika resultaten å den andra sidan. Hade det varit mer stokastiskt så skulle vi sannolikt sett olika tecken på korrelationerna. Denna sannolikt positiva korrelation mellan

figurers förekomst, typ, korrekthet och fullständighet mot diverse resultat i skolan tyder på att figurer funktionellt verkar som ett hjälpmedel, eller ett medierande Vygotskijskt verktyg (Säljö, 2011).

Vi har även sett att de högsta uppgiftsbetygen nås av de som både har hög

fullständighet- samt hög korrekthets-nivå. Genom att exklusivt få högt på endera skalan ger således inte högsta möjliga uppgiftspoäng. Det är igen på intet sätt förvånande att korrektheten delvis begränsas av fullständigheten då detta är enligt våra

bedömningskrav, se figur 7. Dock är det inte uppenbart att en låg korrekthet skulle förhindra en hög fullständighet vilket verkar vara fallet.

(32)

Vi har visat att korrekthet och fullständighet korrelerar mot resultat på olika nivåer. Det är dock troligt att dessa resultat inbördes korrelerar, se Figur 9, vilket skulle kunna undersökas i vidare statistiska analyser. En inte orimlig ansats är ändå att de samvarierar då resultatens olika nivåer bygger på varandra, exempelvis är uppgiftsresultatet en direkt bidragande del till provresultat.

Figur 9. Överföringsmodell med korrelationer som undersökts (heldragna linjer) samt ytterligare möjliga korrelationer (streckade linjer), jämför Figur 3 och 4.

Slutligen noterade vi att det fanns elever med höga resultat som löste uppgifterna utan att rita, vilka alltså stämmer särskilt dåligt med våra linjära modeller. En möjlig förklaring till detta är att dessa elever ansåg att den kognitiva kostnaden för att

producera en figur skulle varit högre än att lösa uppgiften direkt. Vidare kan de ha haft tillräckligt med medierande verktyg eller strategier och därför inte sett figurer som ett hjälpmedel.

Slutligen kan vi bara spekulera om orsakssambanden mellan de korrelerande entiteterna; vi får inga förklaringar om "varför” av denna undersökning. Kanske är ritandet en kognitiv process som underlättar och banar väg för lösningar? Konstruktion av figurer kräver ofta ritande av enklare och mindre element som sammanfogas till en enhet. Denna strukturerade uppdelning kan göra problemet tydligare (Polya, 1957), jämför uppdelningen a), b) och c) på prov. En annan spekulation är att vid utförande av kognitiva enkla relevanta uppgifter, exempelvis ritande, assimileras/ackommoderas problemställningen omedvetet. Då denna omedvetna process är klar varseblir eleven plötsligt hur lösningen kan genomföras.

Korrekthet

Fullständighet

(33)

Metodreflektion

Reflektion över forskningsprocessen

Då vi studerade tidigare forskning fann vi ett behov av att utöka kvantifieringen av data, jämför korrekthet/fullständighet med motsvarande kvantifiering i Rellensmann,

Schukajlow, och Leopold (2017). I vår studie har vi inte kunnat påvisa ett tydligt

samband mellan elevritad figurtyp (illustrativ/matematisk) och resultaten men det är inte omöjligt att den kan vara relevant för andra typer av uppgifter eller andra åldersspann på eleverna. Även om vi sett korrekthet och fullständighet inbördes korrelerar är denna korrelation inte tillräckligt stark för att exklusivt kunna använda det ena eller andra måttet för att mäta korrelation till resultaten. Denna insikt ger arbetet en ny dimension jämte övriga studier.

De uppgiftspoäng som vi registrerat har blivit satta av olika lärare för olika prov. På grund av detta har rättningsförfarandet säkerligen inte varit lika för alla lösningar. Vi har inte kontrollrättat uppgifterna som inkluderats i studien för att kunna bedöma och undanta dessa rättningsskillnader. Detta då vi utgått från standardiserade nationella prov vilka vi anser lärare ha god kännedom om gällande både upplägg och rättning. Således antar vi helt enkelt att bedömningen i mångt om mycket varit likvärdig mellan de olika klasserna och årgångarna av prov. På samma sätt har vi accepterat samtliga betyg givna av lärare.

Vår studie baseras på nationella prov som ofta kan ha stor påverkan på elevernas betyg, medan övriga refererade studier i detta arbete inte verkar baserade på betygsgrundande prov. Detta kan ha påverkat elevernas inställning till en både tids- och kognitivt energi-krävande figur. Hur detta har påverkat eleverna är dock svårare att fastställa varför vi inte spekulerar vidare om detta.

Vi valde att vikta och normalisera uppgiftspoäng och betyg inför jämförelsen. Detta sätt att värdera data är inte okontroversiellt utan skulle behöva utvärderas; exempelvis kan olika uppgifterna få olika maxpoäng.

(34)

Reliabilitet och validitet

Det har framkommit att elever som läst texter med figurer eller gjort egna figurer utifrån texten visat på bättre förståelse än elever som endast haft text att tillgå (Hall, Bailey, och Tillman, 1997). I de problem vi valt ut har någon typ av figur redan existerat vilket följaktligen borde gett ett generellt högre resultat än om det inte funnits. En grov uppskattning av snittpoängen på Ma2c VT2015-provet (Umeå universitet, 2017) för lösningar till uppgifter med och utan figurer i problembeskrivningen gav poängen 50% respektive 63% av maxpoängen, vilket står i kontrast till slutsatserna av Hall, Bailey, och Tillman (1997). Dock finns det fog för att ifrågasätta denna diskrepans då figurerna i Ma2c VT2015-provet generellt introducerats på mer avancerade uppgifter. På grund av detta onyanserade urval anser vi slutsatserna från Hall, Bailey, och Tillman (1997) vara mer relevanta för vår undersökning. Med detta vill vi säga att faktumet att det finns figurer i problembeskrivningen generellt kan underlätta både skiss av egna figurer samt lösning av problemet. Således föreligger en överhängande risk att delar av de resultat vi sett är påverkade av uppgifternas svårighetsgrad.

Vad gäller uppgift 15 VT2015 har vår urvalsgrupp totalt sett fått 66% av full poäng medan snittet på naturvetenskaplig linje var ~50% (~30% på teknisk linje) (Umeå universitet, 2017). Detta tillsammans med en jämförelse av det totala provbetyget mot genomsnittet visar att vår urvalsgrupp ligger över rikets snitt och är alltså inte

representativt.

Generaliserbarhet

Studien baseras på data från gymnasieskolor i Malmö, det vill säga från ett nationellt och internationellt begränsat geografiskt område. Vi har även begränsat oss till underlag från naturvetenskapligt program då vi i pilotstudien såg att elever på handelslinjen, samhällslinjen och ekonomlinjen hade en mindre variation gällande poäng, betyg, fullständighet av lösningar och liknande. Slutsatserna som dras här kan således inte göras generella utan ytterligare underlag.

Uppgifterna som studerades i denna studie hör framförallt till gruppen problemlösning. I likhet med Rellensmann, Schukajlow, och Leopold (2017) kommer vi fram till en korrelation mellan figur-typ/kvalitet/fullständighet och elevers resultat. Vi utökar dock

(35)

detta till att innefatta kursbetyg och även andra betyg. Dock är det inte säkert att

resultaten står sig för andra typer av matematiska problem såsom intra-matematiska och “dressed up” problem.

(36)

Nya frågor/vidare forskning

En intressant studie vore att göra samma studie som gjorts här men med uppgifter där figurer inte finns tillgängliga i problemformuleringen. På så sätt skulle det kunna vara möjligt att observera hur detta inverkar på resultatet.

Då vi hade svårigheter att hitta uppgifter i de nationella proven som inte hade figurer givna och på så sätt gav möjlighet för elever att rita själva vore det intressant att undersöka om figurritning är något som svenska nationella prov testar. Behöver lärare över huvud taget undervisa elever att rita, om det inte testas direkt i nationella prov?

Vad vi har förstått så har ämnet Bild inte samma utbredning som det har haft tidigare. Då vår studie indikerar att just den illustrativa förmågan i någon mening förbättrar resultatet i skolan vore det intressant att gå tillbaka till äldre data och möjligtvis finna korrelation mellan olika egenskaper i Bild-ämnet och resultat i matematik.

(37)

Slutsats

Vi har studerat hur figurers förekomst, typ, korrekthet och fullständighet i lösningar på nationella matematikprov korrelerar till elevers olika resultat inom gymnasieskolan. Vi har funnit tydliga korrelationer mellan flera av dessa och vidare konstaterat att

korrelationerna är positiva, det vill säga “bättre” figurer ger bättre resultat. Vi har även funnit att både korrekthet och fullständighet är nödvändiga (givet figur alls) för att uppnå maximalt resultat på uppgifter och i förlängningen även provresultat och kursbetyg. Denna korrelation avtar dock i takt med att avståndet från figuren till mätpunkten ökar, exempelvis är korrelationen mellan figurer och betyg för icke-matematikkurser låg. Slutligen har vi också funnit ett starkare positivt samband mellan att rita figur och goda resultat förhållandevis mot att inte rita figur och goda resultat. Med detta anser vi att frågeställningen är besvarad.

(38)

Referenser

Alesandrini, K. L. (1981). Pictorial--verbal and analytic--holistic learning strategies in science learning. Journal of Educational Psychology, 73(3), 358.

Bloom, Benjamin S med flera. (1956). Taxonomy of educational objectives. vol. 1: Cognitive domain. New York: McKay, , 20-24.

Carpenter, T. P., Lindquist, M. M., Matthews, W., & Silver, E. A. (1983). Results of the third NAEP mathematics assessment: Secondary school. The Mathematics

Teacher, 76(9), 652-659.

De Corte, E., & Verschaffel, L. (1986). Effects of computer experience on children's thinking skills. Journal of Structural Learning,

Dewey, J. (1980). The school and society SIU Press.

Garcia, F. J., Pérez, Higueras, J.P., & Casabó M.B. (2006). Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics. Zdm, 38(3), 226-246.

Hall, V. C., Bailey, J., & Tillman, C. (1997). Can student-generated illustrations be worth ten thousand words? Journal of Educational Psychology, 89(4), 677. Hanna, G., Jahnke, H. N., & Pulte, H. (2010). Explanation and proof in

mathematics Springer.

Hegarty, M., & Kozhevnikov, M. (1999). Types of Visual–Spatial representations and mathematical problem solving.Journal of Educational Psychology, , 684-689. Krug, A., & Schukajlow, S. (2013). Problems with and without connection to reality

and students' task-specific interest. Proceedings of the 37th Conference of the

International Group for the Psychology of Mathematics Education, , 3 209-216.

Kulpa, Z. (1994). Diagrammatic representation and reasoning. Paper presented at the Machine GRAPHICS & VISION 3 (1/2,

McGee, M. G. (1979). Human spatial abilities: Psychometric studies and environmental, genetic, hormonal, and neurological influences. Psychological Bulletin, 86(5), 889.

(39)

Nesher, P., & Teubal, E. (1975). Verbal cues as an interfering factor in verbal problem solving. Educational Studies in Mathematics, 6(1), 41-51.

Olkun, S. (2003). Making connections: Improving spatial abilities with engineering drawing activities. International Journal of Mathematics Teaching and

Learning, 3(1), 1-10.

Paris, S. G., & Lindauer, B. K. (1982). The development of cognitive skills during

childhood Cognitive Science, University of Michigan.

Paris, S. G., Lipson, M. Y., & Wixson, K. K. (1983). Becoming a strategic reader. Contemporary Educational Psychology, 8(3), 293-316.

Piaget, J. (1954). The construction of reality in the child (Margaret Cook, Kegan Paul Trans.). Routledge.

Polya, G. (1957). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton university press.

Rellensmann, J., Schukajlow, S., & Leopold, C. (2017). Make a drawing. effects of strategic knowledge, drawing accuracy, and type of drawing on students'

mathematical modelling performance. Educational Studies in Mathematics, 95(1), 53-78.

Säljö, R. (2011). L.S. Vygotskij – forskare, pedagog och visionär. I A. Forssell (Ed.), Boken om pedagogerna (pp. 153-175). Stockholm: Liber.

Sato Jun. (1998). Effects of learners' perceptions of utility and costs, and learning strategy preferences. The Japanese Journal of Educational Psychology, 46(4), 367-376. doi:10.5926/jjep1953.46.4_367

Skolverket. (2017). Ämne - matematik (gymnasieskolan). Tillänglig

https://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-kurser/gymnasieutbildning/gymnasieskola/mat/subject.htm?lang=sv&subjectCode= mat&tos=gy

(40)

Uesaka, Y., Manalo, E., & Ichikawa, S. (2010). The effects of perception of efficacy and diagram construction skills on students’ spontaneous use of diagrams when solving math word problems. Diagrams 2010, , 6170 197–211.

Umeå universitet. (2012). Nationella kursprov i matematik 2-4 - umeå universitet. Tillänglig http://www.edusci.umu.se/np/np-2-4/resultat/

Universitets- och högskolerådet. (2017). Räkna ut ditt meritvärde - antagning.se. Tillänglig

https://antagning.se/sv/Det-har-galler-for-dig-som-gatt/Gymnasieskolan/Gymnasieexamen-2014/Rakna-ut-ditt-meritvarde/

van Essen, G., & Hamaker, C. (1990). Using self-generated drawings to solve

arithmetic word problems. The Journal of Educational Research, 83(6), 301-312. van Meter, P. (2001). Drawing construction as a strategy for learning from text. Journal

of Educational Psychology, 93(1), 129.

van Meter, P., & Garner, J. (2005). The promise and practice of learner-generated drawing: Literature review and synthesis. Educational Psychology Review, 17(4), 285-325.

Vygotskij, L. S. (2001). Tänkande och språk (K. Öberg Lindsten Trans.). Göteborg: Daidalos.

Yetkin, E. (2003). Student difficulties in learning elementary mathematics. ERIC digest. Tillänglig https://eric.ed.gov/?id=ED482727

(41)

Appendix A: Övriga resultat

Nedan presenteras alla mätningar i punktdiagram med linjäriserad modell och dess R2 -värde. Notera att frekvensen av data inte presenteras i dessa för varje datapunkt. Linjäriseringen har använt punkter som viktats med frekvensen av data i varje sådan punkt. Som komplement presenteras även bubbeldiagram vilka visar frekvensen av mätdata i varje punkt.

(42)

Figur A. Uppgiftspoäng mot Korrekthet. yalla= 1,7472x + 3,6918 R² = 0,1471 ymed figur= 3,68x - 2,9655 R² = 0,2868 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Korrekthet U pp gift spoä ng Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Uppg iftspoäng Korrekthet

(43)

Figur B. Uppgiftspoäng mot Fullständighet. yalla= 1,7142x + 4,1269 R² = 0,1133 yMed figur= 3,5555x - 1,5721 R² = 0,2017 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Fullständighet U pp gift spoä ng Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Uppg iftspoäng Fullständighet

(44)

Figur C. Provbetyg mot Korrekthet. yalla= 0,6691x + 13,359 R² = 0,095 ymed figur= 1,2365x + 11,404 R² = 0,1621 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Korrekthet Pr ovb etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 P rovbe ty g Korrekthet

(45)

Figur D. Provbetyg mot Fullständighet. yalla= 0,6738x + 13,49 R² = 0,0771 ymed figur= 1,2106x + 11,828 R² = 0,1171 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Fullständighet Pr ovb etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 P rovbe ty g Fullständighet

(46)

Figur E. Matematikbetyg mot Korrekthet. yalla= 0,7201x + 12,415 R² = 0,0487 ymed figur= 1,1926x + 10,788 R² = 0,0675 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Korrekthet M ate ma tik be tyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Ma tema ti kbe ty g Korrekthet

(47)

Figur F. Matematikbetyg mot Fullständighet. yalla= 0,726x + 12,555 R² = 0,0396 ymed figur= 1,1394x + 11,275 R² = 0,0464 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Fullständighet M ate ma tik be tyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Ma te matikbety g Fullständighet

(48)

Figur G. Övriga Naturprogramgemensamma betyg mot Korrekthet. yalla= 0,7492x + 12,11 R² = 0,0523 ymed figur = 1,0324x + 11,135 R² = 0,0502 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Korrekthet Övr iga N aturp rogr amge me ns ea mma b etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Övr ig a na turpr og ra mg emensa mm a be ty g Korrekthet

(49)

Figur H. Övriga Naturprogramgemensamma betyg mot Fullständighet. yalla= 0,726x + 12,555 R² = 0,0396 ymed figur= 1,1394x + 11,275 R² = 0,0464 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Fullständighet Övr iga N aturp rogr amge me ns ea mma b etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Övr ig a na turpr og ra mg emensa mm a be ty g Fullständighet

(50)

Figur I. Övriga gymnasiegemensamma betyg mot Korrekthet. yalla= 0,5771x + 13,995 R² = 0,0304 ymed figur= 0,4916x + 14,29 R² = 0,0117 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Korrekthet Övr iga gymna sie ge me ns ea mma b etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Övr ig a g y mnasie g emens amm a be ty g Korrekthet

(51)

Figur J. Övriga gymnasiegemensamma betyg mot Fullständighet. yalla= 0,5875x + 14,095 R² = 0,0252 ymed figur = 0,3728x + 14,76 R² = 0,0051 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Fullständighet Övr iga gymna sie ge me ns ea mma b etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 Övr ig a g y mnasie g emens amm a be ty g Fullständighet

(52)

Figur K. Sammantaget betyg mot Korrekthet. yalla= 0,6636x + 13,046 R² = 0,0431 ymed figur= 0,8232x + 12,496 R² = 0,0346 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Korrekthet Sa mma nta ge t b etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 S am m ant ag et bety g Korrekthet

(53)

Figur L. Sammantaget betyg mot Fullständighet. yalla= 0,6771x + 13,158 R² = 0,0359 ymed figur= 0,7444x + 12,949 R² = 0,0213 0 1 2 3 4 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Fullständighet Sa mma nta ge t b etyg Alla Med figur Linear (Alla) Linear (Med figur) 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 S am m ant ag et bety g Fullständighet

(54)

Appendix B: Data

E lev rit ad f igu r Ko rr e kth et F u lls tänd igh et C -p o äng A -p o äng Up p g if tspo äng P ro vB etyg P ro v G yG em Ma -kur se r Na -kurs er S amm ant aget - 0 0 0 0 0 E VT2016 15,83 11,67 13,21 14,10 - 0 0 0 0 0 E VT2016 14,58 10,83 5,71 11,20 - 0 0 0 0 0 C VT2015 15,15 13,75 10,19 13,16 - 0 0 0 0 0 F VT2015 - 0 0 0 0 0 D VT2016 15,50 11,67 13,21 13,80 - 0 0 0 0 0 E VT2016 12,50 6,67 10,71 10,43 - 0 0 0 0 0 D VT2016 17,69 13,33 15,36 16,06 - 0 0 0 0 0 E VT2016 15,00 12,50 10,71 13,27 - 0 0 0 0 0 E VT2016 - 0 0 0 0 0 E VT2016 15,77 12,50 12,50 14,13 - 0 0 0 0 0 C VT2016 12,31 15,00 12,14 12,88 - 0 0 0 0 0 C VT2016 17,31 15,83 14,64 16,25 j 4 3 2 2 17,5 A VT2012 j 4 4 2 2 17,5 A VT2012 19,41 18,75 18,85 19,08 j 2 2 0 0 0 E VT2012 13,38 10,63 12,12 12,37 j 4 4 0 0 0 C VT2012 16,18 14,38 15,96 15,72 j 4 4 1 0 3,75 C VT2012 j 3 2 0 0 0 C VT2012 j 4 3 0 0 0 C VT2012 19,12 14,38 16,92 17,37 j 4 3 0 0 0 C VT2012 18,24 15,00 18,85 17,76 j 2 2 0 0 0 E VT2012 15,29 10,63 12,31 13,29 j 4 2 1 0 3,75 C VT2012 18,38 15,63 17,12 17,37 j 4 2 0 0 0 B VT2012 18,09 16,88 19,23 18,22 j 4 4 2 2 17,5 A VT2012 18,97 20,00 20,00 19,54 j 4 3 0 0 0 C VT2012 16,18 13,75 14,04 14,93 j 2 2 0 0 0 D VT2012 18,38 15,00 17,12 17,24 j 4 4 1 2 13,75 B VT2012 15,88 17,50 15,77 16,18 j 3 4 0 0 D VT2015 14,71 11,88 8,85 12,11 j 4 4 1 7,5 E VT2015 13,09 11,88 10,19 11,84 j 4 4 2 15 D VT2015 17,65 13,13 14,62 15,66 j 2 2 1 7,5 E VT2015 13,24 8,13 8,46 10,53 j 4 3 2 15 C VT2015 18,82 15,00 14,42 16,51 j 4 3 2 15 B VT2015 19,71 17,50 17,69 18,55 j 4 2 2 15 C VT2015 17,35 16,25 16,54 16,84 j 2 2 0 0 E VT2015 16,91 13,75 13,27 15,00 j 4 2 2 15 C VT2015 16,32 14,38 13,65 15,00 j 4 2 1 7,5 D VT2015 17,65 12,50 12,69 14,87 j 2 2 0 0 C VT2015 15,59 13,75 13,65 14,54 j 2 2 2 15 C VT2015 j 4 3 2 15 D VT2015 18,24 15,00 15,19 16,51

(55)

E lev rit ad f igu r Ko rr e kth et F u lls tänd igh et C -p o äng A -p o äng Up p g if tspo äng P ro vB etyg P ro v G yG em Ma -kur se r Na -kurs er S amm ant aget j 4 3 2 15 D VT2015 16,91 14,38 14,42 15,53 j 4 3 2 15 A VT2015 j 2 2 0 0 C VT2015 j 4 4 2 15 B VT2015 19,71 19,38 18,27 19,14 j 4 4 2 15 A VT2015 20,00 18,75 18,85 19,34 j 2 2 2 15 B VT2015 j 4 3 2 15 A VT2015 20,00 20,00 20,00 20,00 j 2 2 2 15 C VT2015 18,82 14,38 13,27 15,99 j 2 2 0 0 D VT2015 16,18 13,75 12,31 14,34 j 2 2 1 7,5 D VT2015 15,00 10,00 9,23 11,97 j 3 3 2 15 C VT2015 13,97 12,50 6,92 11,25 j 1 1 0 0 E VT2016 13,75 14,17 12,50 13,50 j 4 3 1 6,667 B VT2016 9,17 16,67 10,71 11,40 j 4 3 0 0 E VT2016 17,50 12,50 12,50 14,90 j 4 3 2 13,33 A VT2016 17,50 20,00 20,00 18,80 j 4 4 2 13,33 C VT2016 11,67 15,00 12,50 12,70 j 4 4 2 13,33 B VT2016 19,17 19,17 16,43 18,40 j 4 3 3 20 B VT2016 19,58 18,33 18,57 19,00 j 4 3 1 6,667 C VT2016 16,67 15,83 12,50 15,30 j 4 3 2 13,33 C VT2016 12,08 16,67 13,21 13,50 j 1 2 0 0 E VT2016 13,33 8,33 6,43 10,20 j 3 3 0 0 D VT2016 17,08 15,83 15,00 16,20 j 4 3 3 20 A VT2016 17,50 20,00 18,21 18,30 j 4 3 0 0 E VT2016 14,17 10,83 10,71 12,40 j 4 3 2 13,33 C VT2016 18,75 15,83 16,43 17,40 j 4 3 2 13,33 B VT2016 19,17 18,33 17,50 18,50 j 4 4 1 6,667 C VT2016 18,75 15,00 14,64 16,70 j 4 4 3 20 A VT2016 16,67 20,00 20,00 18,40 j 3 2 3 20 A VT2016 19,58 20,00 20,00 19,80 j 4 4 2 2 17,5 A VT2012 19,71 18,13 17,88 18,75 j 1 2 0 C VT2012 15,88 10,63 11,92 13,42 j 3 3 1 3,75 B VT2012 17,65 18,13 17,31 17,63 j 4 4 2 7,5 C VT2012 17,35 15,63 15,00 16,18 j 4 3 0 C VT2012 18,97 16,25 18,27 18,16 j 1 2 0 B VT2012 18,53 18,75 18,08 18,42 j 2 2 0 C VT2012 17,94 14,38 15,19 16,25 j 4 3 2 2 17,5 C VT2012 18,09 16,88 15,00 16,78 j 1 3 0 D VT2012 18,38 14,38 14,42 16,18 j 4 3 2 2 17,5 A VT2012 19,56 20,00 20,00 19,80 j 4 4 2 2 17,5 A VT2012 19,71 20,00 20,00 19,87 j 4 4 2 1 12,5 B VT2012 15,15 15,00 12,50 14,21 j 4 4 2 2 17,5 A VT2012 15,88 16,25 14,62 15,53 j 1 1 0 B VT2012 17,65 16,88 16,73 17,17 j 2 1 0 B VT2012 16,47 15,63 15,38 15,92

(56)

E lev rit ad f igu r Ko rr e kth et F u lls tänd igh et C -p o äng A -p o äng Up p g if tspo äng P ro vB etyg P ro v G yG em Ma -kur se r Na -kurs er S amm ant aget j 4 4 2 2 17,5 A VT2012 18,82 20,00 20,00 19,47 j 2 1 0 C VT2012 17,94 15,63 14,04 16,12 j 1 2 0 c VT2012 17,35 15,00 17,31 16,84 j 3 3 2 2 17,5 B VT2012 18,82 17,50 17,12 17,96 j 2 2 0 0 D VT2015 14,41 17,50 16,54 15,79 j 2 2 2 15 B VT2015 18,24 18,13 17,69 18,03 j 2 2 2 15 B VT2015 15,88 17,50 18,27 17,04 j 2 2 2 15 C VT2015 19,71 13,13 14,81 16,64 j 2 2 0 0 E VT2015 16,91 12,50 10,00 13,62 j 2 2 1 7,5 E VT2015 15,74 11,25 12,69 13,75 j 2 2 2 15 D VT2015 18,53 13,75 14,62 16,18 j 0 0 0 0 E VT2015 14,12 9,38 11,92 12,37 j 2 2 2 15 F VT2015 15,44 11,25 10,77 12,96 j 2 3 2 15 A VT2015 18,82 20,00 20,00 19,47 j 2 2 0 0 D VT2015 15,00 17,50 12,69 14,74 j 2 1 2 15 C VT2015 18,24 19,38 17,12 18,09 j 4 3 1 6,667 D VT2016 16,00 13,33 15,71 15,22 j 4 3 3 20 A VT2016 18,50 20,00 19,29 19,13 j 2 2 0 0 C VT2016 13,00 14,17 15,00 13,91 j 4 4 2 13,33 C VT2016 17,00 17,50 17,50 17,28 j 2 2 0 0 C VT2016 18,00 15,00 15,00 16,30 j 3 4 1 6,667 D VT2016 16,00 14,17 14,64 15,11 j 1 2 1 6,667 A VT2016 17,00 18,33 15,71 16,96 j 4 4 1 6,667 B VT2016 18,00 17,50 17,14 17,61 j 4 4 2 13,33 C VT2016 16,50 14,17 16,43 15,87 j 4 4 3 20 A VT2016 18,00 18,33 17,50 17,93 j 4 4 3 20 C VT2016 18,50 17,50 18,57 18,26 j 2 1 0 0 B VT2016 16,00 15,83 13,21 15,11 j 1 2 0 0 C VT2016 16,50 13,33 15,71 15,43 j 4 4 2 13,33 C VT2016 j 4 4 1 6,667 C VT2016 18,50 16,67 18,21 17,93 j 4 4 1 6,667 c VT2016 14,00 15,00 15,71 14,78 j 4 4 1 6,667 C VT2016 17,50 17,50 16,43 17,17 j 2 2 0 0 B VT2016 19,00 15,83 14,64 16,85 j 1 1 0 0 E VT2016 17,50 11,67 14,29 15,00 j 4 4 1 6,667 C VT2016 17,50 15,00 14,64 15,98 j 2 1 0 0 D VT2016 19,50 15,00 16,07 17,28 j 3 4 0 0 D VT2016 16,50 15,00 17,86 16,52 j 4 4 1 6,667 C VT2016 16,00 15,83 14,64 15,54 j 4 4 2 13,33 C VT2016 15,00 15,83 17,50 15,98 j 4 2 1 6,667 B VT2016 19,00 16,67 15,71 17,39 j 3 4 1 6,667 D VT2016 15,58 11,67 14,64 14,42 j 4 3 1 6,667 C VT2016 19,04 17,50 20,00 18,94 j 3 4 0 0 C VT2016 j 4 3 3 20 B VT2016 18,65 17,50 16,79 17,88 j 3 3 3 20 B VT2016 17,69 16,67 16,79 17,21 j 2 3 0 0 C VT2016 17,12 15,00 15,36 16,15

Figure

Figur 1. Exempel på en illustration (övre) och en matematisk figur (nedre) av en bil.
Figur 2. Relativity av M.C. Escher (1953).
Figur 3 och 4 visar två olika sätt, indirekt och direkt, att studera relationer mellan  korrekthet/fullständighet och resultat på olika nivåer
Figur 4. Överföringsmodell med korrelationer markerade som pilar där relationen  mellan korrekthet och provresultat direkt studeras
+7

References

Related documents

Alla dessa bibe- tydelser är mycket viktiga men Holmer har inte på något sätt översatt dem och jag har också mycket svårt att se hur det skulle ha gått

I exempelvis en massa-volym-graf där massan ritas som funktion av volymen skall massan avsättas längs vertikala axeln (den vi normalt kallar y-axeln i matematiken) och volymen

De flesta initiativ som tagits under förbättringsarbetet har koppling till hörnstenen sätt kunderna i centrum vilket talar för att de lyckats landa det mest centrala i

[r]

Vår förmåga till egen- finansiering är central, den påverkar våra möjligheter att fortsätta arbeta för människorna i Afghanistan, oav- sett vad som händer i landet och under

Då två (lika) system med olika inre energier sätts i kontakt, fås ett mycket skarpt maximum för jämvikt då entropin är maximal, inre energin är samma i systemen och

De miljöarkeologiska analyserna utförda 2002 på Lasses Hydda var en del i Johan Linderholms (2010a,b) avhandlingsarbete och presenterades i en av de artiklar som utgör avhandlingen.

3 Två rektanglar med olika form, men båda med omkretsen 18 cm. Lite klurigt