Tre exempel på mentala tallinjer

NATUR–MILJÖ–SAMHÄLLE

Examensarbete i fördjupningsämnet (Matematik och

lärande)

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Tre exempel på mentala tallinjer

Three examples of mental number-lines

Nils Rickdorff Lahrin

Ämneslärarexamen, 270 hp

Handledare: Ange handledare

2018-01-12

Examinator: Birgitta Nordén

Handledare: Jonas Dahl

i

Förord

Denna studie utgör mitt examensarbete inom lärarutbildningen och utfördes under

hösten 2017. Jag studerar till ämneslärare i matematik, biologi och teknik för senare år,

7-9. Utbildningen motsvarar 270 högskolepoäng varav examensarbetet utgör 15

högskolepoäng.

Jag vill tacka mina klasskamrater Elin, Andjelika, Maha och Wid som har varit med

mig sedan dag ett på högskolan (nu universitetet) och som har bidragit genom goda

samtal och (stått ut) som goda lyssnare under hela studietiden. Ett stort tack även till

min handledare Jonas Dahl som har varit ett gott stöd och som fått oss alla fem att växa

och utvecklas inom det forskningsvetenskapliga området. Tack även till er som ställde

upp på att intervjuas. Detta arbete hade inte varit detsamma utan er. Slutligen tack till

mina två familjer: Tack mamma och pappa för allt ert stöd ni gett till er son under hela

studietiden och under denna sluttamp och tack Hanna för livet jag har tillsammans med

dig och hur du, även fast du bär på familjemedlem nummer tre, ändå har haft tid och ork

att fylla mig med ny energi och inspiration.

ii

Not all those who wander are lost;

iii

Abstract

Starting from the Swedish curriculum’s goals of a school for all children this study’s

main purpose is to contribute to the understanding of how mental number-lines are

being described and related to by people with visualized number-forms. The study aims

to answer the two questions:

- How are the mental lines described by people with visualized

forms and in what way do these descriptions differ from a conventional

number-line?

- What relations can be found between the visualized number-line and the choice

of counting-strategies on number-tasks?

The study used a qualitative method in which three participants with visual mental

number-lines described their preferred counting-strategies and relation to their mental

number-lines in three semi-structured interviews. The data was then analyzed by

connecting counting-strategies to the described mental number-lines and by comparing

the described mental number-lines to conventional, linear, number-lines. Two of the

participants in the study displayed a distinct connection between counting-strategies and

number-line-visualization. This was shown by the way they adapted their

counting-strategies to fit their personal visualization of the mental number-line. The result

highlights the importance of understanding how students visualize their number-lines.

For further studies this study suggests further investigations regarding how mental

number-line-visualizations hinders students from achieving important steps in their

understanding of mathematics.

Nyckelord: Matematik, mental tallinje, tallinje

1

Innehållsförteckning

1. Bakgrund ... 3

2. Teori ... 5

2.1 Begrepp ... 5

2.1.1 Tallinje ... 5

2.1.2 Synestesi ... 7

2.1.3 Mental tallinje ... 8

3. Tidigare forskning ... 9

4. Syfte och frågeställning ... 11

5. Metod ... 12

5.1 Urval ... 13

5.2 Etiska överväganden ... 13

6. Resultat ... 15

6.1 Anna ... 15

6.1.1 Beskrivning av tallinjen ... 15

6.1.2 Uträkningsmetoder ... 16

6.1.3 Bild av tallinjen ... 18

6.2 Bodil ... 20

6.2.1 Beskrivning av tallinjen ... 20

6.2.2 Uträkningsmetoder ... 20

6.2.3 Bild av tallinjen ... 22

6.3 Christina ... 23

6.3.1 Beskrivning av tallinjen ... 23

6.3.2 Uträkningsmetoder ... 24

6.3.3 Bild av tallinjen ... 25

2

7.1 Metoddiskussion ... 26

7.1.1 Urval ... 26

7.1.2 Intervju ... 26

7.2 Hur uppfattar och beskriver personer sina mentala tallinjer? ... 28

7.3 På vilket sätt skiljer det sig från överenskommelser som föreslagits av tidigare

forskare om tallinjen som modell? ... 29

7.4 Vilka kopplingar kan finnas mellan personer med mentala tallinjers val av

räknestrategier och deras uppfattning och beskrivning av sin mentala tallinje? ... 30

7.5 Slutsats ... 31

7.6 Förslag på fortsatt forskning ... 32

8. Referenslista ... 33

Bilagor ... 36

Bilaga 1 – Intervjufrågor ... 37

Bilaga 2 – Transkribering ... 38

Annas intervju ... 38

Bodils intervju ... 50

Christinas intervju ... 61

3

1. Bakgrund

När jag själv tänker på tal ser jag en linje med tal framför mig där noll är i mitten,

negativa tal finns jämnt fördelade till vänster och positiva tal finns jämnt fördelade till

höger. Detta är antagligen en artefakt jag har med mig från matematikundervisningen i

den svenska skolan (Liberg & Säljö, 2014). Under mina fyra och ett halvt år som

blivande matematiklärare har jag mött flera personer som delat med sig av personliga

upplevelser om matematik. Vissa av dessa har beskrivit hur talen för dem har en rumslig

placering och att de kan peka var vart och ett av talen “är”. För de personerna är talen

utspridda på ett sätt som för mig framstår som ologiskt. Deras “tallinje” svänger och rör

sig i höjd- och djupled och talen kan förekomma framför och bakom varandra. Eftersom

jag inte har hört om något liknande under min utbildning fångade detta mitt intresse. Jag

har berört ämnet i tidigare (opublicerade) arbeten men kommer nu i detta examensarbete

fördjupa mig ytterligare kring personer med mentala tallinjer.

Mentala tallinjer beskrevs redan så tidigt som på artonhundratalet av Francis Galton.

Galton (1880) beskrev hur en del människor ofrivilligt ser mentala rumsliga vyer av tal

när de tänker på dessa och kallade detta för “number forms”. Fenomenet är kopplat till

begreppet synestesi som avser ett mentalt tillstånd där två eller flera av en persons

sinnen sammankopplas och blandas med varandra (Vester, 2004). Denna

sammankoppling av sinnen kan ge upphov till att en människa kan känna lukten eller

smaken av ord, höra ljud kopplade till föremål eller att varje bokstav och siffra har en

egen färg kopplad till sig (a.a.). Det troligt att lärare med största sannolikhet kommer

stöta på elever med synestesi genom sin karriär (a.a.).

I läroplanen för den svenska grundskolan framgår det tydligt att undervisningen ska

anpassas till varje elevs förutsättningar och behov (Skolverket, 2013). Därför anser jag

att det är viktigt att lärare har en förståelse för elevers mentala föreställningar av tal för

att kunna göra dessa anpassningar. Många personer har mentala föreställningar utan att

själv reflektera över det eller ifrågasätta hur de förhåller sig till andras föreställningar

(Crawley, 2010). Personer med synestesi uppfattar världen annorlunda och det är därför

viktigt som lärare att ta hänsyn till detta i undervisningen (a.a.). Elever med egna

mentala taluppfattningar kan ha en egen lärostil som ofta skiljer sig från de övriga

eleverna i klassrummet och det är därför viktigt att veta hur elever relaterar till sina

4

mentala taluppfattningar (a.a.). Om de mentala tallinjerna inte uppmärksammas kan

eleverna förhindras från att beskriva speciella färdigheter kopplade till dessa (a.a.).

Genom att representera tankemodeller tillhandahåller läraren en skriftlig dokumentation

av barnens aktivitet vilken tillåter andra barn att “se” tankemodellen; den blir en bild

som kan diskuteras och läras av (Fosnot & Dolk, 2001). På samma vis bidrar detta

arbete genom att presentera tre olika visualiseringar av mentala tallinjer till grund för

fortsatta diskussioner och ytterligare fördjupad kunskap inom området.

5

2. Teori

Det här arbetet tar sin teoretiska ansats utifrån ett konstruktivistiskt perspektiv. Piaget

intresserade sig för hur barn kommer fram till en föreställning om världen (Liberg &

Säljö, 2014). I denna konstruktivistiska teori studeras tänkandet som en process och inte

enbart som en produkt (a.a.). I ett pedagogiskt sammanhang innebär det att vi ställer oss

frågor om hur barn tolkar och förstår världen (a.a.). Viktigt för det konstruktivistiska

synsättet är personers strävan mot en jämvikt mot sin omgivning på så vis att man

förstår vad som händer runt omkring en och hur man ska agera (a.a.). Piaget

intresserade sig för tänkandets struktur och beskriver hur nya erfarenheter bygger på de

redan befintliga kunskaper som barn besitter (a.a.). Utan denna aktiva konstruktion av

världen genom våra erfarenheter kan vi, enligt Piaget, aldrig förstå den och varje individ

konstruerar själv sin verklighetsbild baserad på sina egna erfarenheter (a.a.).

Pedagogiken bör utvecklas utifrån kännedomen om vad som utgör svårigheter för barns

förståelse av centrala begrepp på så vis att pedagogiken underlättar

begreppsutvecklingen.

2.1 Begrepp

2.1.1 Tallinje

I den svenska undervisningen används ofta en tallinje för den grundläggande

taluppfattningen (Kilhamn, 2014). Tallinjen är ett enkelt utformat tankeredskap som är

lämpligt att använda vid uträkningar (a.a.). Kilhamn (2014) listar överenskommelser

som finns kring tallinjen som vi måste vara överens om för att tallinjen ska fungera som

modell:

6

Textruta 1: Lista på överenskommelser kring tallinjen. Listan är till stor del direkt citerad från Kilhamns (2014, s. 21-22) lista på Egenskaper hos tallinjen men med kondenserade förklaringar på varje punkt.

En liknande beskrivning görs av Kozulin och Kinard Sr. (2008) och är denna

beskrivning som tillsammans med Kilhamns överenskommelser ovan kommer att

användas för att definiera begreppet tallinje.

“The structure of a number line stems from linear space that has been analyzed into equal-sized segments with each segment representing the same range of quantitative value as the others (Figure 5.2). The alignment of these sequenced segments is used to organize quantitative values into sequenced part/whole relationships that are sequentially encoded with numbers. These segments of linear space may be further analyzed into equal-sized parts and encoded appropriately, thus further differentiating the part/whole relationship. When such structures have been fully appropriated by learners as a tool, they can use these internalized sets of relationships to analyze, compare, form proportional relationships, sequence, and provide logical evidence about quantity. The appropriation and internalization of this tool helps learners to understand that each part is a whole while at the same time it is a part of numerous larger wholes, a defining aspect of the construct “number.” ”(Kozulin, & Kinard Sr., 2008 s. 114)

Genom att se talen från vänster till höger i en utsträckt längd kan elever få

representationshjälp vid uträkningar på bästa sätt (Klingberg, 2016). Via tallinjen blir

talen synliga och tillvaron förenklas då vi endast behöver röra oss i en dimension vid

uträkningar (Kilhamn, 2014). Kilhamn beskriver även hur vi använder lägen, sträckor

- Ordningen måste vara från vänster till höger där talens värde ökar åt höger och minskar till vänster

- utgångspunkten för tallinjen är talet 0. Talet 0 endast en punkt och inte en strecka eller rörelse

- Tallinjen byggs upp av enhetsintervall. Enhetsintervallet är alltid ett avstånd som är lika långt som avståndet mellan 0 och 1.

- Större intervall byggs upp av enhetsintervallet och är proportionella mot enhetsavståndet. Till exempel är avståndet eller rörelsen 5 på tallinjen alltid 5 gånger så lång som enhetsintervallet.

7

och rörelser för att beskriva egenskaper hos talen i förhållande till tallinjen och att detta

gör att talens egenskaper på detta vis blir synliga.

“Till exempel säger vi att 37 är långt från 370 men 4,9 ligger nära 5. Vi kan räkna upp alla jämna tal mellan 62 och 80 men hoppa över de udda. När vi multiplicerar med 5 gör vi 5-skutt. Vi räknar baklänges från 63.” (s. 18, mina kursiveringar)

Som tankeredskap är tallinjen till sin karaktär både generell och specifik (Kozulin &

Kinard Sr., 2008). Generell på det vis att den beskriver hur tal konstrueras men även

som specifik då den används vid till exempel jämförelse (a.a.). I detta arbete görs en

distinktion mellan tallinjen som tankeredskap och den mentala tallinjen som en mental

visualisering.

Bild 1: Traditionell tallinje.

2.1.2 Synestesi

Synestesi är ett tillstånd i hjärnan där två eller flera av en persons sinnen

sammankopplas och blandas med varandra (Vester, 2004). Detta kan ge upphov till att

en människa kan känna lukten eller smaken av ord, höra ljud kopplade till föremål eller

att varje bokstav och siffra har en egen färg kopplad till sig (a.a.). Det kan även

manifestera i att personen med synestesi ser talen framför sig. Fenomenet kan inte vara

för vanligt förekommande då få känner till det men kan inte heller vara helt ovanligt då

det trots allt finns en diagnos för detta, kallad synestesi (Cawley, 2010). Simner et al.

(2006) har gjort en undersökning av 1690 personer för att fastställa hur vanligt

förekommande synestesi är. De kom fram till att cirka en av tjugofem personer har

någon form av synestesi där övervägande del med synestesi var kvinnor. Enligt Cawley

(2010) kan det vara svårt att definiera hur vanligt förekommande synestesi är då det

finns så mång olika typer av synestesi. Dessutom menar han att många lever med

synestesi utan att veta om det (a.a.). I det här arbetet används framförallt begreppet

mental tallinje och syftar då på synestesi men även på ett bredare spektrum av mentala

visualiseringar som inte nödvändigtvis bygger på att sinnen är sammankopplade. Denna

bredare definition kan därmed även inkludera till exempel mentala tallinjer som ett

8

resultat av olika minnesstrategier. Detta gör att undersökningen kan genomföras utan de

tester som visar på att kopplingen mellan sinnesintryck är ofrivillig och istället fokusera

på vad informanterna upplever oavsett om det är kopplat till synestesi eller ej.

2.1.3 Mental tallinje

Detta arbete kommer hänvisa till, och använda begreppet mental tallinje även om det

inte är en linje i dess rätta matematiska bemärkning. Andra ord skulle också kunna

användas som exempelvis talrad, talstig eller talvisualisering. Dock att behålls

begreppet mental tallinje och syftar då till tallinjen som tankeredskap och inte dess

utseende.

Mentala tallinjer beskrevs redan så tidigt som på artonhundratalet av Francis Galton.

Galton (1880) beskrev det som att en del människor ofrivilligt ser mentala rumsliga

vyer av tal när de tänker på dessa och kallade det “Number forms”. Det finns även ett

närliggande begrepp som kallas Spatial Numerical Association of Response Codes

Effect, SNARC, vilket skiljer sig från den mentala tallinjen då dessa tal inte är

visualiserade. Denna effekt innebär att personer rangordnar tal från små till vänster och

större åt höger och påvisades genom att testpersonerna svarade snabbare på frågor om

små tal med hjälp av vänsterhanden och större tal med hjälp av högerhanden (a.a.).

SNARC- effekten är antagligen kopplad till sinnesuppfattningen av vänster och höger

mer än den motoriska uppfattningen (Lee, Shek, Mok & Lo, 2014). SNARC-effekten

talar för att personer som inte ser en mental tallinje ändå har en känsla kopplad till en

rumslig placering av tal. Även om informanterna i detta arbete alla visualiserar sin

mentala tallinje är SNARC-effekten värd att ta i beaktning för att förstå den rumsliga

kopplingen till tal. Den mentala tallinjen kan, likt tallinjen, användas som en metafor för

att beskriva storleksordningen på tal (Dehaene, 2011) och utvecklingen av den mentala

tallinjen kan kopplas till gradvis ökande förståelse av siffror och högräkning (Berteletti,

Lucangeli, Piazza, Dehaene & Zorzi, 2010) Efterhand som förståelsen för dessa begrepp

ökar placeras de även in på den mentala tallinjen (a.a.).

9

3. Tidigare forskning

De som ser mentala tallinjer ofta har mentala tallinjer som, för de lägre talen, rör sig i

samma riktning som text från deras modersmål, det vill säga växande från vänster till

höger i till exempel engelsk skrivtradition och från höger till vänster i till exempel

hebreisk skrivtradition (Lee, Shek, Mok & Lo, 2014; Tang, Ward och Butterworth,

2008; Jarick, Dixon och Smilek, 2011). När talen blir större ser man dock att

riktningarna på de mentala tallinjerna inte längre tenderar att följa skrivspråkets riktning

utan svänger åt olika håll (Tang, Ward och Butterworth 2008; Jarick, Dixon och Smilek,

2011).

Klingberg (2016) menar att barn bäst tränar upp sin matematiska förståelse genom att

använda sig av en tallinje. Det är viktigt för elever att förstå hur tal förhåller sig till

varandra längs med en tallinje, då utvecklas de bättre och snabbare i sin matematiska

förståelse. För att bli förtrogen med tankeredskapet är det viktigt att eleverna själva

konstruerar och bildar relationer till det (Kozulin & Kinard Sr., 2008). Barns känsla för

hur tal befinner sig rumsligt utvecklas långt innan den obligatoriska utbildningen börjar

(Berteletti et al., 2010; Praet och Desoete, 2014; Rouder och Geary, 2014). Från början

ser barn talen i en logaritmisk skala där talen sitter tätare desto högre de blir för att i

senare åldrar övergå till en linjär skala (Berteletti et al., 2010; Praet och Desoete, 2014;

Rouder och Geary 2014). Övergången till en linjär skala är förknippad med att barnen

finner fler ankarpunkter längs med tallinjen som de känner sig säkra på, till exempel att

de kan placera ut talen tjugofem, femtio och sjuttiofem på en tallinje mellan ett och

hundra (Rouder och Geary, 2014). Även hos vuxna kan man ana en föreställning om en

logaritmisk tallinje (Dotan och Dehaenes, 2013). Denna föreställning påvisades genom

att låta vuxna med hjälp av sin hand placera ut tal längsmed en tallinje (a.a.). De vuxna

placerade ut talen enligt en linjär fördelning på tallinjen men datainsamling av deras

handrörelser visade att de initialt började röra sig mot en logaritmisk talfördelning för

att sedan korrigera placeringen till en linjär fördelning (a.a.). Elever som är bra på att

jämföra värden på tal (comparing digits) och som är mer exakta i placeringen av tal på

en tallinje har högre poäng på standardiserade prov än genomsnittet (Sasanguie, Van

den Bussche & Reynvoet, 2012). Dessa två förmågor förlitar sig dock troligen på två

skilda mekanismer eftersom träning på det ena inte visar någon övergångseffekt på det

10

andra (Maertens et al., 2016). Begreppskunskap, taluppfattning och förmåga att använda

tallinjen kan kopplas till goda studieresultat (Schneider, Grabner & Paetsch 2009).

Däremot är den mentala tallinjens påverkan på studieresultat i högre åldrar försumbar

jämfört med begreppskunskap, taluppfattning och förmåga att använda en extern tallinje

(Schneider, Grabner & Paetsch 2009). SNARC-effekten tycks inte heller påverka

förmågan att använda en extern tallinje (a.a.). Matematiker är bättre på att placera ut tal

korrekt längs med en tallinje, vilket kan tyda på att det finns en koppling mellan den

grundläggande förmågan att använda tallinjen och framgång i mer avancerad

matematik. (Sella, Sader, Lolliot & Cohen Kadosh, 2016)

Den mentala bilden av tallinjen verkar inte förändras över tiden (Tang, Ward &

Butterworth, 2008; Gould, Froese, Barrett, Ward & Seth, 2015; Hubbard, Ranzini,

Piazza & Dehaene, 2009). Flera studier har genomförts för att mäta hur väl personer

med mentala tallinjer kan uppskatta storleken på tal. Personer med mental tallinje har en

betydligt snabbare reaktionstid jämfört med övriga om talen presenteras i

överensstämmelse med deras egen uppfattning om talens placering men har samtidigt

långsammare reaktionstid om talen är placerade på något annat sätt. (Tang Ward och

Butterworth, 2008; Gertner, Henik, Cohen Kadosh, 2009; Hubbard, Ranzini, Piazza och

Dehaene, 2009; Arend, Gertner och Henik, 2013) Dessutom konstaterar Arned, Gertner

och Henik (2013) att värdet på talen har betydelse. De menar att personer med mental

tallinje reagerar snabbare på lägre talvärden men långsammare när talvärdet är högre. I

en undersökning av Ward, Sagiv & Butterworth (2009) konstaterar de att personer som

ser mentala tallinjer, oavsett om de har synestesi eller ej, oftast är snabbare än övriga på

subtraktion men långsammare på addition och multiplikation.

Denna tidigare forskning är till stor del fokuserad på resultat. I ett konstruktivistiskt

sammanhang är det viktigt att förstå hur elever lär sig är det viktigt att förstå

tankeprocessen som ligger bakom resultaten. (Lärande skola bildning) I detta arbete

studeras tänkandet som en process och inte enbart som en produkt. Därför kommer detta

arbete ha fokus på hur personer med mentala tallinjer använder sig av - och tänker kring

dessa.

11

4. Syfte och frågeställning

I samband med ovan nämnd forskning har det gjorts flera avbildningar av personers

mentala tallinjer. För den som endast är intresserad av att se olika exempel på dessa

rekommenderas Galton (1880), Gertner, Arend & Henik (2012) Gertner, Henik, Cohen

Kadosh (2009), Gould, Froese, Barrett, Ward & Seth (2015), Hubbard, Ranzini, Piazza

& Dehaene (2009), Jarick, Dixon, & Smilek (2011) Seron, Pesenti, Noël, Deloche &

Cornet (1992) och Tang, Ward & Butterworth (2008). De flesta av dessa beskrivna

tallinjer är kopplade till forskning om olika typer av prestationer så som reaktionstid,

skolresultat och matematisk utbildningsnivå. Detta examensarbete fokuserar inte på

prestationer utan försöker istället fokusera på personens relation till sin mentala tallinje.

I arbetet betraktas den mentala tallinjen som ett tankeredskap och fördjupar sig i det sätt

på vilket personen använder sig av den. Flera av de tidigare nämnda beskrivningarna av

mentala tallinjer är tvådimensionella. Detta kan bero på att de redovisats på ett

tvådimensionellt medie (papper) men undersökningen kommer ändå att observera om de

de intervjuade kan avbilda och beskriva sina tallinjer i tre dimensioner.

Syftet med examensarbetet är att, genom att synliggöra och beskriva några personers

relation till sina mentala tallinjer, bidra till en ökad förståelse för hur personliga mentala

tallinjer kan se ut och användas

Detta besvaras genom frågeställningarna:

- Hur uppfattar och beskriver personer sina mentala tallinjer och på vilket sätt

skiljer det sig från överenskommelser som föreslagits av tidigare forskare om

tallinjen som modell?

- Vilka kopplingar kan finnas mellan personer med mentala tallinjers val av

räknestrategier och deras uppfattning och beskrivning av sin mentala tallinje?

12

5. Metod

Datainsamlingen sker genom tre semi-strukturerade intervjuer. Kvale och Brinkmann

(2014) beskriver två typer av intervjuare: malmletaren och resenären. Malmletare

uppfattar kunskapen som en värdefull metall som ska bringas i dagen medan resenären

istället vandrar i ett okänt område och återvänder med nya erfarenheter (a.a.). I

malmletar-perspektivet är intervjun en plats för insamling av data som är skild från

analysen och målet för malmletaren är att få valida rapporter från intervjupersonen

(a.a.). För resenären vävs intervjun samman med analysen till en kunskapsproduktion

som ska visas för publiken (a.a.). Detta arbete tar sin utgångspunkt i

resenärsperspektivet. De intervjuade agerar i sammanhanget som Informanter vilket

innebär att de har inblick i ett område (där författaren saknar inblick) och därigenom får

agera som experter (a.a). Kunskapen och analysen i detta arbete produceras på så vis

socialt i interaktion mellan intervjuare och informant där kunskapen inte är given på

förhand utan skapas aktivt genom intervjuarens och informantens dialog (a.a.).

Målet under intervjuerna har varit att vara en resenär. Intervjuerna inleddes med ett

samtal kring uppgifter om addition, subtraktion, multiplikation och division med

varierad komplexitet och vilka metoder den intervjuade använde sig av, följt av ett

samtal om informantens bild och relation till sin mentala tallinje och slutligen en

gemensam analys av kopplingar mellan den mentala tallinjen och de val av metoder

som gjordes i samband med addition, subtraktion, multiplikation och division. Mallen

för intervjufrågorna bifogas i bilaga 1.

Intervjuerna spelades in med hjälp av den inbyggda mikrofonen på en dator.

Räkneuppgifterna presenterades var för sig på en extern skärm. Under intervjun med

Christina fanns ej tillgång till en extra skärm och uppgifterna visades då istället i ett

textdokument där alla uppgifterna syntes samtidigt.

De tre intervjuerna talspråkstranskriberades. Vissa upprepningar och stakningar har

tagits bort för att göra transkriptionen mer lättläst. I de tillfällen där informanterna

upprepade sig på ett sätt som vittnar om att de är osäkra på hur de ska beskriva något

har valts att behålla upprepningarna och pauserna då detta ger en tydligare bild av hur

13

svaren framställdes. Informanternas rörelser är även nedtecknade som

metakommentarer inom klamrar. Informanterna heter egentligen något annat och alla

presenteras som av kvinnligt kön. Transkriberingen bifogas i Bilaga 2.

Den transkriberade texten analyserades genom att plocka ut de citat där informanterna

beskriver sina mentala tallinjer, sina val av metod vid de fyra räknesätten och hur dessa

relaterar till varandra. För att svara på den första frågeställningen jämfördes centrala

begrepp i beskrivningarna av de mentala tallinjerna mot de överenskommelser om

tallinjen som beskrivs i den tidigare forskningen. Den andra frågeställningen

analyserades till viss del i datainsamlingen i enlighet med det tidigare beskrivna

resenärsperspektivet.

Informanterna ombads även att själva konstruera bilder av sina tallinjer. De fick inga

instruktioner om hur denna bild skulle skapas eller hur detaljerade dessa skulle vara.

Detta gör att de bilder som redovisas är av väldigt olika karaktär. En av informanterna

ser sin tallinje som en ståltråd och skapade därför en modell med hjälp av en ståltråd

som sedan fotograferades medan de andra ritade skisser på papper.

5.1 Urval

De tre informanterna valdes utifrån de fall av personer med mentala tallinjer som redan

var kända innan arbetet började och består av två kvinnor och en man. Alla deltagande

presenteras med fiktiva namn och kvinnligt kön. De hade alla på förhand uttryckt att de

har någon typ av tallinje som de har en personlig relation till. I sina utbildningar och

yrken har de alla använt sig av mycket matematik. Anna är i medelåldern och utbildad

civilingenjör, Bodil är ung vuxen och även hon civilingenjör, Christina är pensionär och

före detta matematiklärare. De lever alla i Västra Götalands län.

5.2 Etiska överväganden

Min undersökning uppfyller Vetenskapsrådets forskningsetiska principer inom

humanistisk samhällsvetenskaplig forskning (2004). Informanterna informerades före

intervjun om undersökningens syfte, att deras deltagande var frivilligt och att de hade

rätt att avbryta sin medverkan och fick de deltagandes samtycke att delta i

14

undersökningen. Transkriberingen skrivits om eller utelämnat detaljer för att behålla

anonymiteten, till exempel byts en partners namn ut mot “min partner”.

15

6. Resultat

Här presenteras resultatet från varje intervju separat. Varje del börjar med att presentera

informanternas beskrivning av sin mentala tallinje för att sedan övergå till att presentera

vilka uträkningsmetoder de använde.

I denna del av arbetet behandlas endast de mentala tallinjerna och inte externa tallinjer.

Därmed ska tallinje (utan adjektivet mental) då det nämns här tolkas som mental

tallinje.

6.1 Anna

6.1.1 Beskrivning av tallinjen

Anna beskriver sin tallinje som en vindlande stig eller som en ståltråd som svävar mitt i

luften. Själva siffrorna är inte utmärkta på linjen som på en linjal men värdet av de olika

talen är placerade på olika ställen längs med tråden. Talen befinner sig hela tiden på

samma position och när hon beskriver sin visualisering pekar hon i luften framför sig på

de ställen där talen är placerade. Längs med tallinjen upplever hon att det finns vissa

egenheter som vid tio, där tallinjen har ett litet gupp. Tallinjen svänger ständigt och

ändrar riktning. För det mesta rör den sig uppåt men olika brant mellan olika tal och

ibland gör den gupp i små dalar. Talen är inte jämnt fördelade längs med linjen utan

ligger på varierande avstånd från varandra, till exempel ligger talen tjugoett till

tjugofyra nära varandra för att sedan glesa ut upp till trettio. Anna upplever tallinjen

detaljerad på detta vis upp till en liten bit över hundra, därefter blir det grövre drag upp

till tusen. Tusen till tiotusen har ungefär samma utseende som ett till tio och på samma

sätt repeteras utseendet för hundra tusen upp till en miljon på samma sätt som hundra

till tusen. Anna kan röra sig längs med tallinjen och beroende på vad som ska betraktas

kan hon zooma ut eller in på specifika tal. En sträcka som granskas i detalj kan se

guppig och knagglig ut men bli rak när man zoomar ut. Det samma gäller även

decimaltal som antingen kan vara detaljerade landskap eller ses som uppdelade

tiondelar mellan heltalen likt millimeterstreck på en linjal. Under intervjun beskriver

Anna även vissa tal som mer eller mindre viktiga. Talet nitton anser hon vara ett

16

obetydligt tal precis innan tjugo medan talet tjugofyra däremot är väldigt spännande av

det enkla skälet att det är så många tal i multiplikationstabellen som sammanstrålar där.

De tal som används ofta beskrivs som mer viktiga och framträder även tydligare på

tallinjen. Ett tydligt exempel på detta kommer även fram när hon diskuterar talen innan

fyrtio.

“A: Ja, 37, 38 och 39 är ju väldigt oansenliga tal. De används ju inte till någonting vettigt. [Gapskrattar] Nej, de utmärker sig inte. Men det är ju också talande att jag tog fel på min ålder när jag fyllde 37-38. Jag hade inte koll på vad jag fyllde. N: [skratt]

A: Jag tog fel på ett helt år där. [skratt] Det är ju för ointressanta siffror!”

Anna beskriver det som att hon har rört sig oftare på vissa delar av tallinjen och känner

sig mer hemma där. Dessa “familjära tal” är ofta jämna tal och inkluderar till exempel

även de binära talen. På andra tal eller talområden “traskar” hon förbi snabbt och känner

sig inte lika hemma och vet därför inte vad hon ska göra med de siffrorna. Anna

beskriver sin tallinje som något att hänga upp talen på där de blir mer levande till

skillnad från tal på en rak tallinje.

“A: Siffrorna blir mycket tråkigare och döda när de ligger på en rak tallinje. Jag rör mig någonstans i min siffervärld men på en rak tallinje så blir det liksom ointressant. Det blir inte elegant eller vackert på samma sätt, det blir endimensionellt.”

6.1.2 Uträkningsmetoder

De enklaste additions- och subtraktions-uppgifterna löser Anna utan att använda sig av

tallinjen. De är enligt henne så enkla att man bara vet svaret. När talen går över tio

börjar hon använda sig av tallinjen för att beskriva hur hon räknar och beskriver att hon

rör sig längs med tallinjen. Anna tänker till exempel på hur hon rör sig “över kröken vid

tio och upp på raksträckan mot tjugo”. Samtidigt använder hon även andra strategier

som att addera tio och subtrahera en istället för att addera nio. Större tal ser hon som att

lägga ihop två pusselbitar och sedan se vart hon hamnar på tallinjen. Hon ger även

uttryck för att hon föredrar att räkna med vissa tal framför andra:

17

“A: Jag räknade hur många steg jag tar från sju upp till tolv för jag blev osäker. Fem och sju är otrevliga siffror.

N: Varför är de otrevliga?

A: Det vet jag inte. Åtta och sex är mycket lättare att lägga ihop än fem och sju.”

I detta exempel ser vi även att Anna, för att räkna ut 12-7 räknar avståndet mellan de två

talen genom att utgå från sju och räkna upp till tolv. Detta gör hon även när hon ska

räkna ut talet 7204-2326. Då löser hon problemet genom att först räkna ut hur mycket

det är från 2326 upp till tre tusen och därefter addera resterande upp till 7204. På frågan

om det är lättare att räkna uppåt på tallinjen svarar hon:

“A: Ja, det är det nog. Det är lättare att gå framåt än att gå bakåt på tallinjen. Framåt är tallinjen i promenerbar. Den går antingen framåt eller uppåt med små svaga sluttningar ibland, men om man går neråt på tallinjen så stöter man på branta stup. Det gör att det är lättare att hela tiden gå uppåt än att gå nedåt på tallinjen.”

Hon nämner även att det är lättare att subtrahera jämna tal än udda eftersom stegen blir

mer jämna vid jämna tal. I de svårare uppgifterna med hundra- och tusental använder

hon sig inte längre av tallinjen för att beskriva hur hon tänker utan övergår istället till att

göra en uppställning i huvudet.

Vid multiplikation och division betraktar hon tallinjen lite mer utifrån och ser de olika

täljarna som pusselbitar på tallinjen eller sträckan som en uppklippt ståltråd och räknar

exempelvis ut sju gånger sex genom att addera sju sex gånger. Dessa pusselbitar

används även omvänt när Anna ska dividera. Då ser hon en sträcka på tallinjen och

delar upp den i delar som är lika stora som nämnaren och räknar ut hur många som får

plats. Även vid multiplikation och division upplever hon att det spelar det roll vilka tal

det handlar om. Anna beskriver till exempel att hon kan rabbla upp multiplar av arton

och har en känsla för det men att hon saknar känsla för multiplar av nitton.

Vid multiplikation med fyra beskriver hon hur hen dubblar avståndet två gånger, från

137 till 274 och sedan 274 plus 274. Femmans multiplikationstabell räknas ut genom att

ta talet gånger tio, delat med två.

18

6.1.3 Bild av tallinjen

19

20

6.2 Bodil

6.2.1 Beskrivning av tallinjen

Bodil upplever att talen ligger som på stegar som förändras beroende på vad som

räknas: Handlar det om heltal är varje steg ett heltal och handlar det om decimaler blir

varje decimal ett steg. Hennes tallinje börjar svagt upp åt höger och svänger av till

vänster vid tio. Vid varje tiotal fortsätter tallinjen att göra svängar men mellan tiotalen

är det en räta linjer. Bodil ser talen uppifrån och kan bara se en liten bit bortom varje

sväng (på bilden markerat genom prickar mellan tiotalen). För att se längre sträckor

flyttar hon på sig mentalt och fokuserar på olika delar av linjen för att se fortsättningen

och kan även zooma in och ut på tallinjen för att se olika delar. När hon zoomar ut

försvinner dock detaljerna kring entalen.

När Bodil räknar med tiondelar påminner placeringen av tiondelarna om talen ett till tio.

Talen på tallinjen är för det mesta jämnt fördelade men entalen har större avstånd

mellan sig och avstånden blir mindre ju högre upp hon kommer på tallinjen. Även om

hon inte ser längre sträckor på tallinjen har hon fortfarande en känsla för var talen är.

Dock stämmer inte avstånden överens med storleken på talen eftersom tallinjen är

“hopvikt” och därför framstår som närmare fågelvägen än om man följer tallinjen som

går i sicksack. För Bodil saknar siffrorna betydelse på det vis att hon bara upplever dem

som en kod för talens verkliga placering på tallinjen.

“B: Ja, det är det enda sättet jag ser tal på. Jag och min partner pratade om det igår lite grann. Hen säger att hen ser siffran tolv och det skulle jag aldrig göra. Jag ser ju inte siffran i huvudet överhuvudtaget. Jag ser platsen. “

När Bodil hör en siffra placerar hon automatiskt ut den på tallinjen och kan exempelvis

inte rabbla talen i en multiplikationstabell utan att samtidigt se “hoppen” på sin tallinje.

Talet noll saknar betydelse för Bodil och finns inte med på hennes tallinje.

6.2.2 Uträkningsmetoder

De första uppgifterna med addition och subtraktion har hon sett så ofta att hon på

förhand vet vad det ska bli och inte behöver räkna ut det. När Bodil räknar addition och

21

subtraktion räknar hon först till närmaste tiotal och lägger därefter till det som saknas.

Om Bodil inte stannar vid “brytpunkterna” (tiotal) på hennes tallinje har hon svårt att

hålla koll på vart uträkningen tar vägen. Vid subtraktion där differensen inte är så stor

(inte mycket större än tio) använder hon sig av addition och beskriver exempelvis att

hon ser 12-7 som skillnaden (7 + x =12) och att hon först “tar” tre för att komma upp till

tio och därefter adderar två för att komma upp till tolv. När differensen är större

upplever hon det som svårt att se på tallinjen.

“B: Avståndet… skillnaden mellan åtta och fyrtiosex. Jag ser inte hela det avståndet på min tallinje. Det är för stort för att jag ska kunna se var mina steg är. Då måste jag zooma in räkna ut skillnaden vid fyrtio istället. Då ser jag inte hur många steg det är mellan åtta och fyrtiosex utan måste tänka “Vart kommer jag om jag går åtta steg tillbaka?”, så räknar jag först ned till fyrtio och tar sedan det som saknas.“

I utdraget ovan börjar Bodil beskriva subtraktionen som avstånd, konstaterar att det inte

går att se avståndet på tallinjen och övergår då till att räkna baklänges åtta steg. Även

här stannar hon vid tiotalet vid sin uträkning.

Hon beskriver multiplikationer med entalen som något hon har repeterat. På grund av

att hon inte kan undvika att se talen är, som tidigare nämnts, multiplarna även kopplade

till “hopp” på hennes tallinje. Vid tre gånger fem utgår hon från femman och hoppar två

“femsteg” framåt. Hon väljer fem eftersom de upplevs som lättare och hänger bra ihop

med tiotalen.

”N: Är det några tal i multiplikationstabellen som du brukar ha svårt med?

B: Jag har haft lite problem med 8:ans tabell för den är lite för stor för att hoppa med. Nästan varje gång som man räknar 8:ans tabell så kommer man över ett tiotal.”

Bodil upplever åttans gångertabell som svår eftersom hoppen går utanför hennes

inzoomning. Hon beskriver att treans tabell är enklare eftersom hoppen inte är lika stora

och därför befinner sig inom samma synfält. Division räknas av Bodil som “hur många

gånger nämnaren kan adderas och fortfarande inte var över täljaren”. I vissa fall kan hon

22

svaret utantill, som vid fyrtiotvå, men om talet inte omedelbart kan kopplas till någon

multiplikationstabell hon känner till ser hon först hur många gånger nämnaren får plats

och fortsätter därefter att göra samma sak med den rest som blir över.

6.2.3 Bild av tallinjen

23

6.3 Christina

6.3.1 Beskrivning av tallinjen

Christina ser talen i cirklar där talen ett till tolv är placerade som siffrorna på en klocka.

Utanför den första cirkeln finns ännu en cirkel där talen tjugo till hundra är placerade på

samma vis som två till tio, det vill säga, tjugo på klockan två och så vidare. På detta vis

byggs cirklarna på för varje tiopotens. Vid tio går det ett rakt sträck till tjugo varefter

cirkeln upprepas igen. Detta sker vid varje övergång vid en ny tiopotens. Hon ser bara

en ring i taget vilket gör att det krävs en omställning för att räkna vid övergångarna, till

exempel mellan ringen för hundratal och ringen för tusental.

“C: Det tror jag eftersom jag placerar siffrorna ett till och med tolv precis som på en klocka. [pekar i en cirkel]

N: Okej, i en cirkel?

C: Ja, och det är ju inte så konstigt. Det gör väl kanske alla barn när man lär sig klockan så. Men sen när man kommer upp till tio, elva, tolv. Om man ska fortsätta då blir det ju lite knepigt. Tjugo ligger där [drar med fingret så att det pekar strax utanför två.]

N: Då har du ett rakt sträck åt sidan?

C: Ja. Där ligger tjugo. trettio, fyrtio, femtio, sextio, sjuttio ligger där [pekar runt i en cirkel på klockslagen], åttio, nittio, hundra. [pekar utanför tio och sedan i ännu en cirkel]

N: Så nu kommer du ut till en större cirkel?

C: Ja, just det. Och då kommer vi upp till hundra, ja då är det samma problem. Då blir det ju: [drar med pekfingret över bordet och sedan i ännu en cirkel]

N: Så då har du längre så att säga. Så att det ligger i större och större spiraler? C: Ja, det gör det ju fast jag upprepar. Räknar jag bara med hundratal så har jag ju bara en cirkel så. [drar en cirkel med fingret] så den är ju inte särskilt stor den heller. Men därför... jag nämnde nog tidigare... jag har ju sjuhundra där. [pekar] och tre hundra där. [pekar] Det ser jag tydlig så. “

För Christina existerar talen inte i djupled utan endast i två dimensioner. Hon ser siffror

utskrivna på klockan men upplever även talen som avstånd längs med tallinjen.

Christina upplever det inte som att det är olika avstånd mellan siffrorna men beskriver

samtidigt det som att mellan de större talen blir talen mer “hoptryckta”.

24

6.3.2 Uträkningsmetoder

Vid de lättare räkneuppgifterna med addition och subtraktion anser sig Christina inte

behöva använda tallinjen. Hon beskriver att hon inte hinner tänka på tallinjen innan hon

har räknat ut svaret. När det blir mer komplicerat tar hon hjälp av sin mentala bild för att

räkna. Hon beskriver hur hon använder tallinjen för att räkna ut hur mycket pengar hon

ska ha tillbaka om hon betalar med en tusenlapp och beskriver fyrtiosex minus åtta på

följande sätt:

”C: ... när du kommer till fyrtiosex minus åtta, då ser jag ju på något sätt fyrtiosex [pekar med fingret mot bordet] och sen får jag backa sex och två till [pekar], så är man ju på trettioåtta.”

Multiplikation beskriver hon som en “rabbelläxa” och beskriver gångertabellen som

något annat än sin tallinje. När hon ombeds beskriva vad tre dividerat med nio betyder

så använder hon sig dock av sin tallinje för att beskriva:

”C: Ja, jag behöver inte använda det men jag kan ju tänka mig att 9:an ligger där och 3:an där, på en klocka. Från min sida sett ser jag att det är 3 och 3 och 3, det ser jag ju. Men man behöver inte gå den vägen på den lätta.”

25

6.3.3 Bild av tallinjen

26

7. Analys och diskussion

Avsnittet inleds med en metoddiskussion och övergår sedan i analys och diskussion

kopplat till frågeställningarna. I denna del sammanfattas de beskrivna mentala

tallinjerna i jämförelse med Kozulin, och Kinards (2008) beskrivning av tallinjen och

Kilhamns överenskommelser om tallinjen (Ordningen från vänster till höger,

Utgångspunkt från noll och enhetsintervall) (Kilhamn, 2014). Detta kopplas även till

tidigare forskning. Därefter diskuteras hur uträkningar beskrivs och hur uträkningarna

kopplas till de mentala tallinjerna.

7.1 Metoddiskussion

7.1.1 Urval

Att informanterna är vuxna skulle kunna ge ett annat resultat än om barn eller ungdomar

hade intervjuats. I detta arbete fanns dock inte tiden eller resurserna att först göra en

undersökning för att hitta potentiella elever med mental tallinje och sedan genomföra

intervjuer. Dessutom kan det vara svårt att upptäcka personer med mentala tallinjer då

de kan vara omedvetna om att deras uppfattning av tal skiljer sig från andras (Cawley,

2010). De vuxnas mentala tallinje bör dock inte skilja sig avsevärt från den uppfattning

de haft under tonåren då mentala tallinjer inte tenderar att förändras över tid (Tang,

Ward & Butterworth, 2008; Gould, Froese, Barrett, Ward & Seth, 2015; Hubbard,

Ranzini, Piazza & Dehaene, 2009). I och med detta anser jag att de utvalda, sina åldrar

till trots, ändå kan göra utsagor som kan relatera till elevers visualiseringar av mentala

tallinjen.

7.1.2 Intervju

Det bästa sättet att utvecklas som intervjuare är genom att göra intervjuer men när detta

inte är möjligt erbjuder en manual tydliga riktlinjer och tumregler som kan öka kvalitén

på intervjuerna (Kvale & Brinkmann, 2014). Inom ramen för detta arbete fanns inte

utrymme för mig att förfina och utveckla mitt hantverk som intervjuare och jag har

därför gjort mitt bästa för att följa de riktlinjer som Kvale och Brinkmann presenterar.

27

Även om informanterna är experter på sin mentala tallinje så gick även jag in med en

viss förkunskap om området baserat på den tidigare forskning jag tagit del av. Detta är

viktigt för att kunna förstå de fenomen som studeras och för att kunna etablera den bas

med vilken den nya kunskapen ska integreras (a.a.). Samtidigt kan detta ha gett upphov

till att jag påverkat resultatet. Trots mina ambitioner att vara medresenär, inte se

kunskapen som given och låta informanterna vara experter på området blev jag vid

transkriberingen smärtsamt påmind om min oerfarenhet som intervjuare. Vid flera

tillfällen låter jag inte informanternas expertkunskap komma fram utan ställer frågor

som är allt för ledande. De tillfällen där informanterna ger svar som bygger vidare på

mina ledande frågor på ett sådant sätt att de egentligen upprepar frågan som ställdes har

jag valt att inte inkludera i resultatet och därmed inte använt som grund för mina

slutsatser. De tillfällen där jag däremot ställer ledande frågor och får ett svar som inte är

i linje med de frågor som ställts har jag valt att behålla och arbeta vidare med.

Inför första intervjun var planen att först låta informanten lösa matematiska uppgifter,

sedan diskutera hur hon visualiserade sin mentala tallinje och slutligen återkomma till

de matematiska uppgifterna för att tillsammans med informanten resonera kring hur

metodvalen påverkats av den mentala tallinjen. Denna uppdelning mellan metoder för

lösning och den mentala tallinjen visade sig svår att hålla då informanten använde sig av

tallinjen för att beskriva hur hon tänkt. I de två följande intervjuerna tilläts samtalet om

den mentala tallinjen växa fram samtidigt som informanterna löste uppgifterna. Detta

skapade en mer naturlig övergång mellan deras mentala bild och deras metoder

Informanterna kände på förhand till att arbetet skulle handla om tallinjer. Detta kan ha

bidragit till att de använde tallinjen vid beskrivningar av uträkningarna oftare än om de

hade varit ovetande om arbetets tema. Samtidigt gjorde detta att tallinjen fick ett större

fokus i samtalet och informanterna var mer förberedda på att beskriva sina mentala

visualiseringar vilket kan ha bidragit till tydligare beskrivningar av hur de upplever

dessa.

De antaganden som görs om räknestrategier bygger på svar under intervjuerna. I vissa

fall bygger antaganden endast på en enda utsago från informanterna. Detta kan vara en

följd av att det fanns för få frågor kopplat till varje räknesätt. Att strukturen strukturen

ändrades om så att samtalet om den mentala tallinjen fick växa fram samtidigt som

28

informanterna löste uppgifterna gjorde att det uppstod färre diskussioner om varför

informanterna valde en viss räknestrategi. Med fler räkneuppgifter hade de uttalanden

som görs om de olika räknestrategiernas koppling kunnat göras ännu tydligare.

Att ta fram en tredimensionell bild av de olika mentala tallinjerna visade sig svårare än

väntat. Till stor del på grund av svårigheten att återskapa något tredimensionellt på en

tvådimensionell yta. Dessutom går det inte att beskriva en hel tallinje eftersom talen

fortsätter i oändlighet. Bodil och Christinas tallinjer var begränsade på så vis att det inte

gick att se hela tallinjen. På grund av dessa begränsningar presenteras därför utdrag ur

olika stycken av de mentala tallinjerna där bilderna tillsammans med utdrag från

intervjuerna beskriver karaktäristiska drag och på så vis kompletterar varandra.

7.2 Hur uppfattar och beskriver personer sina mentala

tallinjer?

Alla de tre informanter beskriver utförligt hur deras mentala tallinjer ser ut. De pekar

med fingret på de ställen där de fysiskt föreställer sig att talen är placerade och de har

alla uppbådat någon form av bild av representation för oss andra att ta del av. Därför

kan det anses att det de beskriver är tydligare uppfattning än endast SNARC-effekten

och snarare kan de kopplas till en upplevelse som ligger närmare synestesi. Bodil

uttrycker att hon inte kan undvika att se talen vilket tycks ligga nära en ofrivillig

koppling till hennes visuella intryck. Gemensamt för alla informanter är att de har en

tydligare, mer detaljerad, bild av de lägre talen samtidigt som tallinjen blir mer diffus ju

högre talen blir. Christina reflekterar över att klockformen på hennes mentala tallinje

kan ha att göra med att klockan var den första talföljden hon upplevde. Anna beskriver

att hon känner till vissa områden bättre eftersom hon har vistats där mycket. Denna

beskrivning av en konstruering av den mentala tallinjen överensstämmer med Dehaenes

(2011) beskrivning av hur den mentala tallinjen är kopplad till en gradvis ökad

förståelse av siffror. Om detta även stämmer för Anna och Bodil skulle det kunna vara

en förklaring till varför de mentala tallinjerna blir mindre detaljerade vid högre tal.

Christina beskriver även en liknande upplevelse när hon ger uttryck för att hon inte har

något grepp om sin mentala tallinje efter tusentalen. Hon beskriver även tallinjen som

ett redskap som hon inte behöver använda om det är för lätt. Samtidigt säger hon även

att hon alltid har sin modell av den mentala tallinjen framför sig. På samma vis växlar

29

de andra också mellan att med hjälp av sin mentala tallinje beskriva räkneoperationer

och hur de upplever olika tal. Informanterna använder därmed sina mentala tallinjer på

liknande sätt som en mer traditionell tallinje används för att beskriva hur tal konstrueras

och förhåller sig till varandra (Kozulin & Kinard Sr., 2008).

7.3 På vilket sätt skiljer det sig från överenskommelser

som föreslagits av tidigare forskare om tallinjen som

modell?

De beskrivna mentala tallinjerna är inte linjära och går inte från vänster till höger enligt

tidigare beskriven definition av tallinjen (Kozulin & Kinard Sr. 2008; Kilhamn, 2014).

Tang, Ward och Butterworth (2008) och Jarick, Dixon och Smilek (2011) beskriver hur

mentala tallinjer initialt börjar från vänster till höger för att sedan börja svänga vid

högre tal. Den enda beskrivna mentala tallinje som till viss del följer detta mönster är

Bodils som rör sig åt höger men samtidigt även bort från henne. Christinas mentala

tallinje börjar åt höger men rundas samtidigt av nedåt i en cirkel och Annas mentala

tallinje börjar snett upp åt vänster och sedan framåt och uppåt.

De bilder av tallinjer vi har fått ta del av speglar även en uppfattning av en logaritmisk

fördelning av talen där de högre talen ligger tätare. Denna fördelning har därmed

likheter med barns ursprungliga uppfattning av tal (Berteletti et al., 2010; Praet och

Desoete, 2014; Rouder och Geary 2014). Bodils avbildning av sin mentala tallinje visar

att det är längre mellan entalen än tiotalen och att avstånden mellan hundratalen är lika

stort som mellan tiotalen. Hon beskriver även att avstånden minskar ju högre talen blir.

Christinas avbildning visar även den en logaritmisk fördelning av tal där varje

“tiopotensring” inte blir nämnvärt större än den förra, även om antalet tal tiodubblas.

Själv säger hon att talen blir mer hoptryckta samtidigt som hon inte upplever att

avstånden förändras. Detta kan tolkas som att hon själv gör en distinktion mellan vad

hon ser och hur hon tolkar avstånden. Det finns en likhet mellan denna beskrivning och

hur vuxna korrigerade en logaritmisk fördelning till en linjär fördelning i Dotan och

Dehaenes (2013) undersökning. På Annas mentala tallinje är talen tätt placerade på

vissa ställen och har långa avstånd mellan sig på andra ställen. Samtidigt finns det en

påtaglig skillnad i avstånd mellan ett och tio och hundraett och hundratio. På detta vis

30

avviker allas beskrivningar från Kozulin och Kinard Sr. (2008) och Kilhamns (2014)

beskrivning av hur enhetsintervallens längd förhåller sig till varandra på tallinjen. Även

om längden på enhetsintervallen skiljer sig åt så byggs större intervall upp av

enhetsintervallet 1 och enhetsintervallet kan delas i delintervall enligt definition av

tallinjen (a.a.). Bodils beskrivning av hur talet noll saknar betydelse är en tydlig

koppling till enhetsintervall och hur noll är “något annat” vilket är väldigt snarlikt

Kilhamns formulering om att talet noll varken är en sträcka eller en rörelse på tallinjen

(a.a.). De störs inte heller av om tal placeras på räta linjer.

7.4 Vilka kopplingar kan finnas mellan personer med

mentala tallinjers val av räknestrategier och deras

uppfattning och beskrivning av sin mentala tallinje?

Anna och Bodil beskriver de flesta av sina uträkningar med hjälp av sina mentala

tallinjer medan Christina tydligare verkar välja när hon vill använda sig av sin tallinje.

För henne är den mentala tallinjen mer ett redskap som hon använder när hon tycker att

det blir svårare att räkna och hon beskriver det som att hon inte hinner tänka på tallinjen

innan hon har räknat ut svaret. Hon beskriver även gångertabellen som något annat än

den mentala tallinjen vilket kan tyda på att hon till skillnad från de andra inte har

konstruerat ihop dessa två begrepp. Berteletti, Lucangeli, Piazza, Dehaene och Zorzi

(2010) beskriver hur nya begrepp efterhand kopplas till den mentala tallinjen vilket

detta kan vara ett exempel på.

Vid uträkningar använder de samma metaforska språk som Kilhamn (2014) och talar

om operationer som rörelser, placeringar och avstånd på sina mentala tallinjer precis

som på tallinjen. Informanterna använde inte sina tallinjer för att beskriva de enklaste

uträkningarna. De beskriver det som att det är för enkelt eller att de direkt vet vad det

blir. Christina beskriver att hon har rabblat multiplikationstabellen och därför vet svaret

på multiplikationer på samma sätt. Inte heller vid additions- och

subtraktions-uppgifterna med tusental använder de sig av tallinjen utan beskriver att de gör

uppställningar i huvudet. Detta skulle kunna vara kopplat till att deras mentala tallinjer

inte är lika tydliga här. Arnes, Gertner och Henik (2013) beskriver att personer med

31

mentala tallinjer har svårare att uppskatta storleken på tal när de blir större vilket kan

förklara informanternas metodval.

Anna och Bodil använder ibland addition för att räkna ut subtraktion vilket kan vara en

konsekvens av att de visuellt ser avstånden mellan talen och därmed räknar skillnaden

från det lägre talet upp till det högre. När avstånden är större gör de dock subtraktion

som en rörelse. För Bodil kan detta hänga ihop med att hon inte ser “bortom krökarna”.

Personer som ser mentala tallinjer, oavsett om de har synestesi eller ej, är snabbare på

subtraktion men långsammare på addition och multiplikation (Ward, Sagiv &

Butterworth, 2009). Anna och Bodil beskriver multiplikation som hopp och pusselbitar

på mentala tallinjen vilka de adderar. Detta kan kopplas till varför multiplikation går

långsammare för personer med mentala tallinjer. Det finns flera exempel där de mentala

tallinjerna och valet av räkneoperationer kan kopplas till varandra Anna beskriver att

hon upplever sin mentala linje som brantare när hon går nedåt vilket kan kopplas till att

hon vid flera tillfällen väljer att räkna addition istället för subtraktion. Bodil räknar

oftast till närmaste tiotal vid addition och subtraktion vilket kan kopplas till hennes bild

av hur varje tiotal är skilda från varandra. Hon upplever även multiplikation med åtta

som svårt av samma anledning. Anna beskriver även att hon har en bättre relation till

jämna tal vilket gör att hon föredrar att addera jämna tal framför udda. Hon väljer även

att räkna femmans tabell som “gånger tio delat på två”, vilket är en uträkning med

jämna tal istället för det udda talet fem.

7.5 Slutsats

Det är svårt att säga om det är de mentala tallinjerna som påverkar hur informanterna

uppfattar tal eller om utseendet på de mentala tallinjerna är ett resultat av hur

informanterna uppfattar och räknar tal. Trots detta bidrar ändå informanternas

förklaringar till att förstå hur de upplever talen på ett konkret sätt. Denna beskrivning

synliggör informanternas tankeprocess. De beskrivna mentala bilderna skiljer sig till

utseendet från en mer traditionell tallinje men som tankeredskap fungerar de på samma

sätt. Två av informanterna uttrycker tydliga kopplingar mellan deras mentala tallinje

och de räknemetoder de väljer att använda. De verkar vara hjälpta av tallinjen vid

uträkningar på så vis att de använder tallinjen som ett redskap. På detta sätt visar denna

32

studie att de mentala tallinjerna påverkar hur personerna väljer att lösa olika

matematiska problem vilket tydligt påvisas genom informanternas kopplingar mellan

deras föreställningar och metodval presenterade ovan. Genom att få insyn i

beskrivningen av de mentala föreställningarna menar denna studie att det går att få en

förståelse för vilka centrala begrepp som kopplats till tallinjen. Denna studie visar även

på att utseendet av de mentala tallinjerna inte påverkar begreppsförståelsen. Alla

informanterna kan anses vara framgångsrika inom matematik. De har studerat mycket

matematik och har yrken där de använder sig av dessa färdigheter. Deras mentala

tallinjer har kunnat kopplas till olika begrepp inom matematiken, eller som i Christinas

fall ersatts av något annat när modellen inte passat. Ändå är de mentala tallinjerna

kopplade till vissa begränsningar som för Bodil som ser varje tiotal för sig. Det leder i

sin tur till frågan om vilka andra begränsningar som olika personer kan uppleva. Även

om informanterna i denna studie är vuxna visar slutsatserna på vikten av att diskutera

och synliggöra elevers mentala föreställningar för att därigenom fånga upp styrkor och

svårigheter kopplade till den förståelse av tal som eleven har konstruerat.

7.6 Förslag på fortsatt forskning

För fortsatt forskning skulle det vara intressant att göra en liknande undersökning med

personer som inte har “bemästrat” sin mentala tallinje för att se vilka föreställningar

som hindrar personer från att utvecklas matematiskt. Genom att låta elever beskriva sina

mentala tallinjer kan fler tankeprocesser synliggöras.

33

8. Referenslista

Arend, I., Gertner, L. & Henik, A. (2013). Perceiving numbers influence actions in

number-space synesthesia. Cortex, 49 (7), 1955-1962.

Berteletti, I., Lucangeli, D., Piazza, M., Dehaene, S., & Zorzi, M. (2010). Numerical

Estimation in Preschoolers. Developmental Psychology, 46(2), 545-551.

Cawley, V. (2010) The Synaesthete: A New Type of “Gifted Student” and How to

Teach Them. Procedia, 7, 574-579. doi: 10.1016/j.sbspro.2010.10.077

Dehaene, S. (2011). The number sense: How the mind creates mathematics. New York:

Oxford University Press.

Dotan, D., & Dehaene, S. (2013). How do we convert a number into a finger

trajectory?. Cognition, 129512-529. doi:10.1016/j.cognition.2013.07.007

Fosnot, C. T., & Dolk, M. (2001) Young Mathematicians at Work: Constructing

Number Sense, Addition, and Subtraction.

Galton, F. (1880). Visualised numerals. Nature 21, 252-256, 494-495.

Gertner, L., Arend, I. & Henik, A. (2012). Effects of non-symbolic numerical

information suggest the existence of magnitude-space. Cognitive processing, 13(1),

179-183.

Gertner, L., Henik, A. & Cohen Kadosh, R. (2009). When 9 is not on the right:

Implications from number-form synesthesia. Conscousness and cognition, 18(2), 366-

374.

Gertner, L., Henik, A., Reznic, D. & Cohen Kadosh, R. (2013). Implications of

number-space synesthesia on the automaticity of numerical processing. Cortex, 49(5),

1352-1362.

34

study on the phenomenology of sequence-space synesthesia. Developing Synaesthesia.

Hubbard, E. M., Ranzini, M., Piazza, M., & Dehaene, S. (2009). What information is

critical to elicit interference in number-form synaesthesia?. Cortex, 45(10), 1200-1216.

Jarick, Dixon, & Smilek, (2011). 9 is Always on top: Assessing the automaticity of

synaesthetic number-forms. Brain and cognition, 77(1), 96-105.

Kilhamn, C. (2014). Tallinjen som ett didaktiskt redskap. Nämnaren,2. Tillgänglig:

http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/1725_14_2.pdf

Klingberg, T. (2016). Didaktorn. Del 26. Hämtad från

http://urskola.se/Produkter/190473-Didaktorn-Den-magiska-tallinjen

Kvale, S., & Brinkmann, S. (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund:

Studentlitteratur, 2014 (Polen).

Lee, L. P., Shek, Y. Y., Mok, R., & Lo, L. Y. (2014). The Role of Linguistics Habits

and Proprioception Sense on Mental Number Line. Procedia - Social And Behavioral

Sciences, 159(5th World Conference on Psychology, Counseling and Guidance,

WCPCG-2014, 1-3 May 2014, Dubrovnik, Croatia), 174-179.

doi:10.1016/j.sbspro.2014.12.352

Liberg, C. & Säljö, R. (2014). Grundläggande färdigheter. I U. Lindgren., R. Säljö.& C.

Liberg. (Red). Lärande, skola, bildning. (s. 268-287, 357-377). Stockholm: Natur &

kultur, 2014 (Lettland).

Maertens, B., De Smedt, B., Sasanguie, D., Elen, J., & Reynvoet, B. (2016). Enhancing

arithmetic in pre-schoolers with comparison or number line estimation training: Does it

matter?. Learning And Instruction, 461-11. doi:10.1016/j.learninstruc.2016.08.004

Praet, M., & Desoete, A. (2014). Number line estimation from kindergarten to grade 2:

A longitudinal study. Learning And Instruction, 33, 19-28.