Malmö Högskola
LärarutbildningenMatematik 51-60p. Aktionsforskning 10p. Vårterminen 2004
De som inte löser något!
Ett aktionsforsknings projekt med fenomenografisk ansats om elever som inte lämnar svar på matematiska textproblem
Författare: Per Larsson
Handledare: Anders Jakobsson
Sammanfattning
Matematikstuderande i den svenska grundskolan och gymnasiet har allmänt svårt att lösa textuppgifter av icke-rutinartad karaktär. Elevernas svårigheter har studerats av Möllehed (2001) i avhandlingen Problemlösning i
matematik – en studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4 – 9.
En grupp står ändå outforskad, de som inte lämnar svar! För att nå denna grupp använde jag en variant av intervju som undersökningsmodell, ett semistrukturerat, informellt
problemlösningssamtal. Samtalet var öppet kring ickeproblemlösningens innehåll för eleven, ett explorativt angreppssätt då få fakta med klar koppling till elever som inte svarat stått att finna.
Jag valde från ett övergripande aktionsforskningsperspektiv den grupp elever jag arbetade med som undersökningsgrupp. Jag arbetade även med en fenomenografisk ansats, intresserade mig för hur fenomenet att inte ge svar upplevs, vilka delar det innehåller. Den fenomengrafiska ansatsen ledde mig till ett medvetet urval av ickeproblemlösare för undersökningsarbetet. Erfarenhet kan ses som den grund vi bygger vårt problemlösningsarbete på. Då den för problemlösning basala erfarenheten visade sig var karaktären av negativ natur; ”det här är svårt”, ”man trodde man hade rätt men det hade man inte därför att … ” är uttalanden som belyser detta.
I samtalen visade eleverna brister och svagheter för mindre lyckosamma problemlösare i linje med vad som beskrivs i litteratur. Varje elev var dock individualist, hade en egen modell av problemlösningssvårigheter.
Jag var dessutom intresserad av att se på undersökningsmetoden, ett
individuellt, informellt problemlösningssamtal som pedagogisk modell med mål att nå eleverna i ickesvarsgruppen. Samtalets kraft borde dessutom förstärkas av att vi, eleverna och jag, kände varandra väl.
Som pedagogisk modell visade sig problemlösningssamtalet svagt i ett avseende. Styrkan hos samtalet som social interaktion förstärkt med goda relationer bröt inte alltid ickesvarsbeteendet. Vid personlig fråga om
deltagande i samtal valde knappt hälften av eleverna som tydligast tillhörde ickesvarsgruppen att inte delta. Här antar jag att det inom eleven finns någon starkare kraft som driver ickesvarsbeteendet. Kanske det av psykologin studerade begreppet matematikängslan kan utgöra en förklaring.
Problemlösningssamtalet visade styrkor som pedagogisk modell i andra avseenden. I den nya kontexten, enskilt samtal med matematikläraren, fanns en problemlösarvilja hos eleverna. Ett motsatt beteende mot det tidigare dokumenterade ickesvarsförhållningssättet. Samtalet visade sig även ha förmåga att påverka attityden hos elever.
Innehållsförteckning
1. INLEDNING ... 4 1.1 BAKGRUND... 4 1.2 PROBLEMFORMULERING... 5 1.3 SYFTE... 8 2. TEORETISK BAKGRUND ... 9 2.1 PROBLEMLÖSNING ALLMÄNT... 9 2.2MATEMATISK PROBLEMLÖSNING...10 2.2.1 Problemlösningens transfererbarhet ...102.2.2 Problemlösares kognitiva förmågor ...11
2.2.3 Problemlösares arbetsmodeller...12
2.3 OM ATTITYDER TILL MATEMATIKÄMNET...13
2.4 OM SVÅRIGHETER MED MATEMATISKA TEXTPROBLEM...18
2.5 ANNAT SOM KAN PÅVERKA PROBLEMLÖSNINGSFÖRMÅGAN...19
2.5.1 Phils diskussion kring ”Känslomässiga blockeringar i matematik”. ...21
2.6 SOCIOLOGISKA OCH SOCIALPSYKOLOGISKA TEORIER...23
2.7 AKTIONSFORSKNINGSTEORI...24
2.8 FENOMENOGRAFI...28
3. METOD...30
3.1 VAL AV UNDERSÖKNINGSGRUPP...30
3.1.1 Medvetet urval i undersökningsgruppen ...30
3.1.2 Forskningsetiska ställningstaganden och faktisk undersökningsgrupp ...31
3.2 OM AKTIONSFORSKNING OCH DESS KOPPLING TILL STUDIEN...33
3.2.1 Om en mindre cyklisk utveckling av intervjuer i studien ...33
3.3 OM METODVAL...34
3.4 OM DEN FENOMENOGRAFISKA ANSATSENS UTVECKLING AV METODEN...34
3.5 OM UNDERSÖKNINGENS INTERVJUER/SAMTAL...36
3.6 OM BEARBETNING AV MATERIAL OCH PRESENTATION...37
3.7 METODENS RELIABILITET OCH VALIDITET...37
4 DEFINITION. VAD ÄR ETT MATEMATISKT PROBLEM?...41
5 RESULTAT OCH DISKUSSION/ANALYS...42
5.1 RESULTAT AV TYPEN ”SVAGA PROBLEMLÖSARE”...42
5.1.1 Diskussion om resultat ”svaga problemlösare” ...44
5.2 OM DILEMMAT ATT UNDERSÖKA DEM SOM INTE LÅTER SIG UNDERSÖKAS...45
5.2.1 DISKUSSION OM UNDERSÖKNING AV DEM SOM INTE LÅTER SIG UNDERSÖKAS...47
5.3 OM ICKEPROBLEMLÖSARE SOM LÖSER PROBLEM...49
5.3.1 Diskussion om ickeproblemlösare som löser problem...50
5.4RESULTAT KRING ATTITYDFÖRÄNDRINGAR...51
5.4.1 Diskussion om attitydförändringar ...52
5.5 RESULTAT KRING ERFARENHETER...53
5.5.1 Diskussion om erfarenheter ...53
6 SLUTSATSER OCH ÅTGÄRDSPLAN...54
6.1 SLUTSATSER ELLER UTFALLSRUM...54
6.2 ÅTGÄRDSPLAN SAMT VIDARE AKTIONSFORSKNINGSCYKEL...56
7. AVSLUTNING ...58
8. REFERENSER...59
9. BILAGOR ...61
9.1 BILAGA 1 DE PROBLEM SOM ANVÄNDES VID INTERVJUER...61
9.2 BILAGA 2 ELEVERNAS GRUPPTILLHÖRIGHET OCH INTERVJULÄNGD. ...63
9.3 BILAGA 3 PHILS GENOMGÅNG AV MATEMATIK ”MYTER” ...64
1. Inledning
1.1 Bakgrund
Då jag är yrkesverksam matematiklärare och samtidigt studerande med matematiklärarinriktning får bakgrunden en tvådelad beskrivning. Det är ett faktum att nuvarande studier, 51 - 60 poäng Matematik för Lärare, ställer krav på att en enklare forskning ska genomföras. Forskningen ska anta
aktionsforskningsklädedräkt (se 2.6), det är ett krav. En yttre formell påverkan som driver mig att göra något, intressera mig för något inom
matematiklärarsfären, det är en del.
Den pågående matematiklärargärningen påverkar. Inte i form av krav som studentrollen. Utan som ett intresse att utveckla yrkeskunskaperna.
Läraryrkeskunskap definierar jag här som:
Genomföra kurser på ett sätt så att alla elever har möjlighet att nå sin fulla potential i förhållande till kursens innehåll.
I yrkesrollen, matematiklärare, har jag undervisat två klasser gymnasieelever. Jag har följt dem genom matematik A-kursen. Kursen var utlagd på två av gymnasiets tre läsår. Jag har arbetet på ett yrkesförberedande program, Hotell- och Restaurangprogrammet. I början möttes jag av stor osäkerhet från
eleverna i förhållande till matematikämnet. Uttalanden i stil med: -Jag är sämst på matte, -Du ska inte vänta dig att jag förstår något, -Matteläraren på högstadiet var sämst, jag lärde mig ingenting, … var vanliga. De var mer frekventa än jag föreställt mig. Även med hänsyn taget till att ett
yrkesförberedande program troligen inte attraherar ”matematikbegåvningar” i någon högre grad.
Alltså valde jag att rikta mycket av min kraft mot att bryta denna inställning. De skulle inte längre tycka: -Jag är sämst på matte! …
Efter ett och ett halvt läsår av kursen satte jag mig ned för att summera mina upplevelser och kunskaper. Jag fann i stort att jag fått igång eleverna på ett eller annat sätt, med ett eller annat trick kanhända. Jag tog mig också tid att bläddra igenom alla prov (se 3.1.1) eleverna genomfört under A-kursens gång. Här gjorde jag iakttagelsen att de flesta elever lyckats väl med de
provuppgifter som explicit kontrollerade kursens matematikteoriinnehåll. Men när samma teori, i samma prov, inlindads i text lyckades eleverna markant sämre!
Studentrollen i Matematik för lärare vid Malmö Lärarhögskola hade, under 21 – 40 poäng delen av kursen, styrt mitt intresse mot begreppet ”lust att lära” i förhållande till matematikämnet. Jag genomförde en litteraturstudie om begreppet ”lust att lära”. Jag fann att elevens tilltro till den egna förmågan i matematik är av stor betydelse för framgång i ämnet. Jag stötte på tanken att matematikämnet i sig, med sin tydlighet i fråga om rätt eller fel, har en tendens att undergräva elevens tro på den egna förmågan. Ett tankesätt som föreföll givande och som jag tog till mig. Jag ansåg att matematik skiljer sig
För mig, som syntes av matematiklärare och matematiklärarstuderande, var fenomenet ”inte lyckas väl med provens textproblem” att anse som en del av underminerandet av elevens tro på sig själv i matematikämnet. Inte bara faktum att eleven inte lyckas och därmed inte stärks i den egna tilltron fanns att ta hänsyn till. Textproblem låg i provens slutdel, och brukar väl så göra. Placeringen utgjorde en kraftfull och tydlig markering av textproblemens betydelse. Dessutom var det i problemdelen, eleverna kunde hämta en stor del av provens poäng. Rätt lösning på textproblemen var alltså i stort vägen till ett högre betyg.
Om stor del av min kraft som matematiklärare på ett yrkesförberedande gymnasieprogram lades på att bryta attityder av negativ art hos elever var det inte positivt att en del av varje prov eleverna genomförde underminerade mina ansträngningar.
Textproblem i matematikprov var ett intresseområde när jag startade 51 – 60 poängs delen av Matematik för Lärare vid Malmö Lärarhögskola.
1.2 Problemformulering
Då mitt tankearbete kring denna studie startade var jag (se kapitel 1.1) inställd på de matematiska textproblemen. Jag uppfattade det som ett svagt område i min matematikundervisning, tydligt besvärligt för eleverna. Att jag inte är ensam om detta tänkande om elevers svårigheter i samband med
problemlösning belyses t.ex. av Mayer och Hegarty (1996). De talar om svårigheter för matematikelever vid problemlösning och hänvisar till ett test på 17-årigar i USA. Testet visar att så länge färdigheterna som krävs för lösningar av uppgifter är vad Mayer och Hegarty kallar ”låg-nivå”, som addition, … är resultaten goda. När uppgifterna ställer andra krav på elevens förmåga ändras bilden. Mayer och Hegarty menar att när krav ställs på kunskaper/egenskaper på ”hög-nivå” är resultaten inte längre goda. De säger:
”…, but nearly all failed to solve multistep word problems…”.
(Mayer & Hegarty 1996, sid.29)
En studie av Ebbe Mölleheds (2001) rapport kom mig att mer fokusera och konkretisera mitt problemlösningsintresse. Möllehed har studerat
problemlösningsproblematiken hos elever på högstadiet, åk 4-9 med en kvalitativ ansats. Undersökningen avser att förstå och slå fast vilka kognitiva förmågor elever har eller saknar i förhållande till matematisk problemlösning. Ett antal ”påverkansfaktorer” i elevernas problemlösning definieras.
Möllehed noterar att hans undersökning inte nått en grupp elever. De elever som inte går att inordna under någon ”påverkansfaktor”. De elever som inte skapar något lösningsförslag eller lämnat ofullständigt förslag på
undersökningens problem.
Elever som av någon anledning valde att inte lösa problem fanns även i min omgivning, i de klasser jag undervisade. Efter en djupare studie av elevernas prov fann jag dem, elever som mer eller mindre klart uppvisande
ickesvarsbeteende. I proven fanns en mängd obesvarade textproblem eller avgivna oförståeliga lösningar.
Möllehed särredovisar resultat från vissa av undersökningens textproblem. Jag intresserar mig för åk 9 elevers resultat då dessa ligger nära gymnasiet. Från Mölleheds (2001) kan jag skapa följande tabell för att studera omfattningen av fenomenet ”inget eller ofullständig och oanalyserbart svar” i hans
undersökningsgrupp:
Tabell 1.1 (Sammandrag av material från Möllehed 2001, sid. 111-123)
Uppgift Ingen eller ofullständig lösning i % av totalt antal svar
3 2 5 17 8 8 10 23 13 14 15 48 16 7 18 7 20 57 23 2 25 34
Storlek på gruppen som Möllehed varierar markant. En förklaring till detta behöver inte vara invecklad. Mölleheds undersökning innehöll ”lättare” och ”svårare” problem. Problem 3 lyder:
Mohammed och Mustafa ska dela på 18 kronor så att Mohammed får dubbelt så mycket som Mustafa. Hur mycket får Mohammed?
(Möllehed 2001, sid.195)
Att jämföra med problem 20 som har följande ordalydelse:
En snickare har på sitt lager 15 spånplattor som är 244 cm långa, 120 cm breda och 2,4 cm tjocka. Han får en beställning på 15 hyllor som ska vara 150cm långa och 35 cm breda och 60 hyllor som ska vara 105 cm långa och 28 cm breda. Han vill använda ett så litet antal spånplattor som möjligt. Hur många behöver han använda? Rita och berätta!
(Möllehed 2001, sid. 198)
Jag menar, trots den variation tabell 1.1 visar, att gruppen tydligt existerar. Jag anser också att den är tämligen stor. Medelvärdet för gruppens storlek i
Mölleheds undersökning är omkring 20 %. I mitt provmaterial, på ett yrkesförberedande gymnasieprogram, fann jag denna grupp utgöra något mellan 40 % och 15 % beroende av eleverna beroende på hur snävt ickesvarsbeteendet definierades..
Möllehed säger i sin avhandling att vad eleverna i ”icke svar” gruppen ställs inför i samband med problemlösning inte kan påvisas med utgångspunkt från
Betydelsen av att klara något, eller omvänt att ställas inför en rad av misslyckanden har jag diskuterat i avsnitt 1.1. Att ”klara av” är av stor betydelse för elevens förhållningssätt till matematik. Att ”klara av” är också av stor betydelse för tron på den egna förmågan och därmed för möjligheten att lyckas väl. Vikten av detta ”att lyckas, att vara bra på” belyses t.ex. av Burton (enligt Ahlberg, 2001). I en undersökning bland matematiskt
framgångsrika flickor visar Burton att tron på den egna förmågan i matematik blev stark först när det ytterst explicit klargjordes att flickorna var ”duktiga”. Det krävdes ett uttalande från en, för flickorna, betydelsefull person. Ett explicit ”du är bra på matematik” från lärare, förälder eller någon annan för flickorna signifikant individ.
Jag menar att en grupp elever som kan sägas tillhöra gruppen ”icke svar eller oanalyserbart svar på matematiska textproblem” finns i den svenska skolan. Gruppen är tämligen stor där jag utför min matematiklärargärning, ett yrkesförberedande gymnasieprogram.
Det förefaller dessutom oklart vad eleverna i denna grupp ställs inför i samband med problemlösning som manifesterar sig som ”ickesvar … ”. Att inte kunna lämna svar i matematikämnet kan mycket väl sänka elevens tilltro till sin matematiska förmåga. Därmed kan ”ickesvar …” försvåra för eleven att nå goda resultat i matematikämnet även i ett längre perspektiv än det prov där ”icke svar …” ger svagt resultat.
Problemet jag nu gett konturer är vad som finns inom elever i den av Möllehed (2001) uppmärksammade ”Ingen eller ofullständig lösning” – gruppen i förhållande till matematikämnets problemlösning
1.3 Syfte
Enligt Möllehed (2001) finns det i den svenska skolan en elevgrupp som är svår att nå i samband med matematikämnets problemlösning. Svårigheten ligger i att eleverna i denna grupp inte avger svar, eller endast ofullständiga svar, på uppgifter av problemlösningskaraktär.
De uppfattningar, åsikter, attityder, brist på kunskaper och eventuellt annat som orsakar detta beteende nås inte med matematikämnets välkända medel. Medel som analys av inlämnade svar på matematikproblem. Denna väg att förstå vad som resulterar i fel svar har utforskats. Eleverna i denna grupp går alltså inte att nå med det för matematikämnet vanliga ”gör uppgift och se på svaret”.
Denna studies primära syfte är att skapa en förståelse för vad som finns hos eleverna i ”icke svar … ” –gruppen i förhållande till matematikämnet. Studien har också ett sekundärt syfte. Jag är verksam matematiklärare inom gymnasieskolans Hotell- & Restaurangprogram. Där undervisar jag många elever som passar in i gruppen ”ickesvar …”. För att ge dessa elever bättre förutsättningar att lyckas i matematikämnet generellt bör de också kunna lyckas med problemlösning. Om mitt primära syfte uppfylls medför det att en modell skapats att nå eleverna i ”icke svar …” –gruppen. Mitt sekundära syfte är att se på undersökningsmetoden som en pedagogisk/didaktisk arbetsmodell och låta den ge implikationer för min framtida matematikundervisning.
2. Teoretisk bakgrund
2.1 Problemlösning allmänt
Att alla individer ställs inför problemlösning kan vi anta apriori. Att det sedan sker på olika nivåer och i olika kontexter gör inte problemlösningen mindre viktig för individen. Dominowski och Bourne (1994) säger att ett problems grundläggande aspekt är att man har ett mål men saknar en klar, välkänd väg till målet. Att hitta vägen är problemlösning. Vidareutveckling av detta ges av andra (Ellis och Siegler 1994) som säger att problemlösning inbegriper ett mål, ett hinder mellan utgångsläget och målet samt att individen har en strategi för att kringgå hindret.
Alla individer löser problem, men de gör det olika bra, med olika stor framgång. Herrström (2001) menar att god problemlösningsförmåga är beroende av förmåga att växla mellan tillstånden kreativitet och logik
Herrström kallar den kreativa sidan av tänkandet för divergent och den logiska för konvergent. Herrström säger vidare att vår problemlösningsförmåga inte når sin fulla potential då vår omgivning, det postmoderna samhället, klart premierar konvergent tankesätt.
Hunt (1994) säger att kärnan i problemlösning är att vi förstår något externt problem genom en egen internaliserad modell av problemet. Motsatsen, icke problemlösning, är när vi måste pröva olika modeller i den, reella, externa världen. Andra (Eriksson & Hastie, 1994) konstaterar att tidigare forskning kring problemlösningsförmågan visat att den förbättras markant av erfarenhet. Problemlösningsförmågan ökar hos individer med erfarenhet från
problemområdet. Den typen av ökad problemlösningsförmåga, erfarenheter från liknande problem, visar sig dock vara av mycket specifik natur. Den hjälper individen endast i samband med lösning av problem inom området. Erfarenhet inom ett specifikt område ger inte ökad lösningsförmåga om problemet ligger utanför området. Individen reagerar vid problemlösning genom att dra sig till minnes tidigare lösningar. Om tidigare och nya problem inte har klara likheter ger tidigare lösningserfarenheter ingen hjälp. Detta tankesätt utvecklas vidare. Till exempel Nickerson (1994) säger att det inte råder någon tvekan om att områdesspecifika kunskaper är en nödvändighet för att kunna lösa problem. Enligt Nickerson är de specifika kunskaperna också nödvändiga för djupare tänkande inom problemområdet.
Hunt (1994) definierar två problemlösningsmodeller som utgår från den problemlösande individens status inom problemområdet. Hunt menar att experten till stor del litar på och till erfarenheter: Den ”okunnige” tvingas bedöma sina egna kunskaper, ställa dem i relation till det mål han önskar nå (problemets lösning) samt balansera dessa två faktorer mot varandra. Hunt menar att en typisk problemlösningsmodellen är att dra sig till minnes hur något liknande problem löstes.
Hunt säger också att problemlösning är omöjligt om problemlösaren inte tillägnat sig rätt tankemönster eller uppsättning regler. Problemlösning blir framgångsrik om, och endast om, problemlösarens regelverk inte leder in i en återvänds gränd.
Nickerson (1994) konstaterar att det finns metoder för problemlösning som är områdesspecifika och att det finns metoder som är allmänna. En mer specifik inriktning ger ett kraftfullare verktyg och vice versa. Nickerson säger att förmågan att skapa en bild, en modell av problemet är en karaktäristisk egenskap hos goda problemlösare. Nickerson menar att
problemlösningsförmåga kan läras ut, tränas och därmed förbättras. Det är dock osäkert om en sådan inlärning inom ett visst område kan skapa en generaliserad problemlösningsmodell. Nickerson ifrågasätter om
problemlösningskunskapen är transfererbar till ett annat område. Nickerson menar att de problemlösningsmodeller och strategier som redovisas av olika forskare och praktiker i stort är variationer av ”ursprungsproblemlösaren” George Polyas modell.
• Förstå problemet • Utarbeta en plan • Genomför planen
• Se tillbaka och kontrollera resultatet
Nickerson noterar att de flesta moderna modeller kompletterar Polyas modell med en ytterligare punkt.
• Internt skapad representation av problemet.
2.2Matematisk problemlösning
2.2.1 Problemlösningens transfererbarhet
Att lösa problem i matematikämnet är svårt. Samtidigt som det är ett sätt att ge den isolerade företeelsen ”matematiska operationer på siffror” en koppling till verkligheten. Björkqvist (2001) säger att i länders kursplaner intar
problemlösningen ofta en central plats. Central då problemlösning tar matematikkunskaper och tillämpar dem på ett område utanför matematiken. Problemlösning ger alltså, i tanken, den livskunskap skolan vill ge eleven. Skolkunskaper konkret tillämpade på ”livet”. Problemlösningen tänks utgöra en överflyttning av den inlärda matematiska teorin till ”verkligheten”. Det stora värdet hos problemlösningsarbete med detta synsätt kan ses och förklaras på två sätt. Dels i att föra ut matematiken från sin kontext ”bara skolämne” till verkligheten. Dels i att problemlösningens modeller, strategier och tankesätt kan användas på andra problemområden. Enligt Bjökqvist ses problemlösning i diskussionen om dess värde som ett mer allmänt begrepp och verktyg.
Uppfattningen om transfererbarhetens värde är inte allmän. Eller snarare stämmer den för läroplaner givande transfererbarheten hos problemlösning
Hos flera (Eriksson & Hastie 1994, Nickersson 1994, Hunt 1994, Palm 2003) finns åsikter som innebär att erfarenhet är grundläggande för
problemlösningsarbete. Men erfarenheten är områdesspecifik. Specifika metoder är starka medan generella metoder är svaga. Problemlösaren måste ha rätt rörelsemönster inom problemområdet och styras av rätt regelverk. Den önskade kopplingen mellan matematik och ”verklighet” fungerar inte som ett direkt samband genom problemlösningen. Kopplingen är riktad.
2.2.2 Problemlösares kognitiva förmågor
Caroll (1996) försöker reda ut vilka kognitiva förmågor som behövs för matematiskt tänkande. Han menar att det behövs någon typ av generell
kognitiv förmåga vilken han benämner G. Carroll finner att denna kan delas in i mindre och mer specifika delförmågor:
• Förmåga att se regler och mönster.
• Förmåga att föra ett logiskt stegvis utvecklat resonemang som leder till slutsats.
• Förmåga att resonera kvantitativt, besitta ett utvecklat språk (och motsvarande läskunskaper).
• Förmåga att hantera siffror (addera, subtrahera, multiplicera och dividera).
• Förmåga att använda minneskapacitet.
Carrolls kognitiva förmågor nödvändiga för matematiskt tänkande återfinns till stor del hos Krutetskii (enligt Möllehed, 2001 sid. 27). Krutetskii ser på problemlösare i matematik och har antagit en djuplodande, kvalitativ hållning. Krutetskii har med intervjuer samt avlyssnande av elevers tänkande vid problemlösning funnit att elever med god problemlösningsförmåga urskiljer matematiska delar i problem men också finner någon gripbar struktur hos problemet. De inser att matematik kan generaliseras. De kan föra in det aktuella problemet i en känd huvudgrupp som sedan kan kopplas ihop med vissa lösningsmodeller. De har en plan för sitt problemlösande arbete. De uppvisar flexibelt tankesätt i fråga om lösningsmodeller och kan förhålla sig fritt i förhållande till konventionella lösningsmodeller men de kan också helt anta det konventionella, alltså en förmåga att växla tanke- och
förhållningssätt.
Bransford et al (1996) säger att elevernas bild av bra och dåligt i förhållande till matematik ofta är kopplat till rena algebraiska övningar. Detta ger återverkningar längre fram i matematikstudierna. De elever som lyckas väl i matematiken inser tidigt att bra i matematik består av flera dimensioner. Denna insikt hos eleven om ”bra i matematik” som ett brett fält av förmågor leder ofta till en framgångsrik karriär i matematikämnet.
Caroll (1996) menar att även om flera kognitiva förmågor har identifierats av psykologer i laboratorieförsök är det fortfarande osäkert hur de egentligen påverkar konkreta händelser, t.ex. problemlösning i matematik.
Nickerson (1994) gör det nyttiga påpekandet att förmågan att lösa problem är mångdimensionell. Det krävs användbara egenskaper inom ett helt spektrum av kognitiva förmågor hos individen för att bli en god problemlösare. Detta innebär också att när dikursen förs om problemlösning är det inte alls säkert att alla har samma fokus.
2.2.3 Problemlösares arbetsmodeller
Mayer och Hegarty (1996) ser två huvudmodeller i matematiska problemlösarnas arbetssätt:
1. Ett direkt angreppssätt där man letar efter siffror i problemets beskrivning och direkt börjar matematiska operationer.
2. Ett angreppssätt mer enligt ”problemlösningshandboken” där man först söker det som beskrivs i problemet och därefter söker en plan för lösning. Problemlösare enligt modell 1 kommer ofta fram till felaktiga svar och det omvända förhållandet gäller för dem som arbetar enligt modell 2.
En variation av problemlösningsmodell 1 beskrivs av Bransford et al. (1996). De säger att elever ofta söker nyckelord i en problemtext. Efter nyckelordets innebörd väljer de typ matematisk operation.
Neuman et al. (2000) har studerat elevers självförklarande arbete vid
matematisk problemlösning. Elever har studerats medan de löser problem och ombetts att ”Tänka högt”. Elevens högtänkande spelades in för att senare analyseras. Man har identifierat mönster i ”Högtänkandet” som skiljer mellan starka och svaga problemlösare. Detta skedde genom att indela elevernas högtänkta ord i olika kategorier och sedan behandla kategorierna statistiskt. Högtänkandet eller den självförklarande verksamheten definieras av Neuman et al. som en generell företeelse av medlande natur när problem ska föras från utgångsläge till mål. De problem som använts var textuppgifter som antytt lösningar av algebraisk natur. Neuman et al. fann att klargörande och slutsatser var de viktigaste självförklarande tankesätten för goda
problemlösningsresultat. Man fann ett mönster där svaga problemlösare ofta rättfärdigade de metoder och regler de skapat eller använt sig av. Svaga problemlösare gav förklaringar och klargöranden kring sina slutsatser. Björkqvist (2001) säger att problemlösning är en mycket komplex företeelse och därför svår att avgränsa vid forskning, detta leder till problem när det gäller att hitta klara, pålitliga samband. Björkqvist menar ändå att forskningen i ämnet visat att problemlösare ofta är opportunister. De följer tankemönster som verkar mest lönsamma i en given situation. Problemlösare byter eller förändrar ofta tankemönster vid påverkan.
Björkqvists ”opportunistiska” tanke om den matematiska problemlösaren utvecklas av Ellis och Siegler (1994). De ger en förklaring till fenomenet att ”inte planera” i samband med problemlösning hos barn och ungdomar. Planeringen upplevs som en av flera konkurrerande metoder för att lösa problem. Planeringens företräden är att den ger möjlighet till direkta och riktiga lösningar. Att ställa emot detta är att planering är tidskrävande, ofta upplevs tråkig då den inte innehåller något direkt handlande. Den
”oplanerade” problemlösningen är direkt kopplad till händelser, man gör saker och den ger möjlighet att direkt nå målet. Dessutom förekommer
undervärderings/övervärderings förhållanden. Planeringens potentiella kraft undervärderas och chansen att lösa ett problem utan planering övervärderas.
Palm (2003) har undersökt hur svenska åk5 elever löser matematiska
textproblem med speciellt intresse för dem som lämnat orealistiska svar. De elever som lämnat ”orealistiska” svar intervjuades. Palm fann två huvudspår. Det ena var användning av ”ytliga” lösningsstrategier. Det innebär för Palm att eleverna inte satt sig in i uppgiftens innehåll och frågeställning. De inriktar sig istället på i uppgiften förekommande tal. Eleverna värderar inte sitt svar i förhållande till den situation som beskrivs i problemtexten. Palms andra huvudspår var elevernas egen föreställning om matematikämnet samt om uppgifter av problemlösningskaraktär mer specifikt. Här fanns tankar som, -uppgifter har ett och endast ett rätt svar, -svaret skall vara tal, -uppskattning får inte användas som lösningsmodell. Palm menar att många elever, inte bara lågpresterande i matematik, har en tendens att inte koppla ihop sina
allmänkunskaper med sina matematikkunskaper när de ställs inför ett matematiskt textproblem.
2.3 Om attityder till matematikämnet
Att ha en attityd till något, en fast uppsättning ställningstaganden, åsikter och utgångspunkter, är det något som är en fast egenskap hos individen? Cooley säger om människans, individens inställningar och attityder:
”Människan är en social produkt, helt och hållet social. Individens jag, identitet och medvetande uppstår och omskapas i samspel med andra, i interaktion med människor och ting.”
(Angelöw och Jonsson, 1990. Sid. 22.)
Uppfattningen om ”människor och ting” utvecklas av Mead (1995) som påpekar att dessa andra kan utgöras av fysiska personer men likväl av ”den generaliserade andra”. ”Den generaliserade andra” står för uppsättningen normer, åsikter och förhållningssätt individen möter i sina interaktioner med samhället. Samhället som helhet kan ersättas av en för individen viktig del eller grupp. Ett allmänt socialpsykologiskt tankesätt som kan överföras på matematikundervisning. Malmer (2002) varnar för en inbyggd egenskap hos matematikämnet. Att på traditionellt sätt mäta kunskaper i matematik som antalet rätt på ett prov är mycket tydligt och konkret. Så tydligt att eleverna får en stark bild av sig själva i förhållande till matematikämnet. En bild som visar: -Jag är bra, – Jag är dålig. Den tydliga kunskapsmätningen har för dem som inte ”är bra” en starkt hämmande effekt på utveckling i matematik. Malmer menar att ju längre en elev har denna inställning desto svårare blir det att komma åt den, svårare att ändra den. Ahlberg (2001) tänker i
liknande banor. Ahlberg säger att det är viktigt att lyckas i matematik för de flesta. När eleven inte ”lyckas” kan det inom eleven skapas en aversion mot matematikämnet.
Ahlberg pekar på förhållandet att det tidigt i skolgången ofta finns en positiv inställning hos eleverna till matematik vilket styrks av Skolverket (2003A). Denna positiva inställning ändras ofta till ett svagt intresse och bristande självtillit i senare årskurser. Ahlberg menar att det till stor del kan vara ett resultat av matematikens obevekliga rätt eller fel. Tydligheten i vem som kan och vem som inte kan.
Bransford et al (1996) menar att elever under högstadietiden skapar en bild av sig själva i förhållande till matematiken.
Ytterligare om matematikens sociala eller socialpsykologiska aspekt diskuteras av Engström (1997). Engström säger att matematik är en social konstruktion, skapad i en bestämd samhällelig kontext. I klassrummet formas en sociomatematisk kultur, ett resultat av medvetna handlingar. Handlingar som enligt Engström utförs av någon individ eller allmängiltig individ, t.ex. samhället. Ytterligare sociomatematiska tankar finns hos Björkqvist (2001). Björkqvist talar om sociomatematiska normer vilket innebär en parallell till det vi känner som sociala normer, regler som styr vårt liv i samhället. De sociomatematiska normerna är det förhållningssätt som skapas inom eleven gentemot matematik. Har det upplevts OK att gissa så tar eleven till sig den matematiska gissningen som en norm, har man alltid utvärderat lösningar och svar så blir detta en norm osv. Även Pekhonen (2001) menar att elevens uppfattning om matematik är sociomatematisk. Uppfattning om matematik skapas från elevens egen utgångspunkt men även från den generella uppfattning om matematik som eleven träffar, hos lärare osv. Pekhonen särskiljer innehållet i matematik som akademisk disciplin och som kunskap hos elever. Den rena, logiska och strikta matematiken är ett kunskapssystem. Eleven tar kunskapssystemet och omformar det, påverkad av ett socialt sammanhang. Resultatet, en ny internt skapad uppfattning om matematik kallar Pekhonen ”uppfattningssystem”. Uppfattningssystemet blir elevens eget och därmed kraftfullt och giltigt. Pekhonen går igenom vanliga delar i sådana uppfattningssystem, jag refererar här ett urval som kan vara intressanta för mitt syfte:
• Matematik är räkning.
• Det är svaret som räknas i matematiken. • Man måste få fram sitt svar på det rätta sättet. • Ett svar i matematik är oftast ett tal.
• För att lösa problem bra måste man veta och komma ihåg vad man ska göra.
Pekhonen säger att dessa uppfattningar kan ses hos ett flertal forskare och som resultat av undersökningar i olika kontext. Jag har t.ex. funnit liknande
tänkande hos Bransford et al. (1996) som säger att matematiskt tänkande för elever ofta innebär användandet av siffror och formler samt att minnas matematiska termer.
Pekhonen illustrerar komplexiteten i den sociomatematiska påverka med en bild hämtad från Underhill ( i Grevholm (red) Matematikdidaktik-ett nordiskt
perspektiv 2001).
Bild 2.1 (Grevholm (red) 2001, sid, 240)
Skolverket (2003A) visar att elevers tilltro till den egna förmågan i
matematik sjunker från åk5 och uppåt i skolsystemet. I åk5 har ungefär 70 % av eleverna god tilltro till sin egen förmåga i matematik såväl som till
förmågan i andra ämnen. På gymnasiet har denna allmänna tilltro oftast minskat. Olika gymnasieprogram visar dock olika resultat. SP-programmets elever visar god tilltro till den egna allmänna förmågan hos 70 %. Övriga undersökta program; BF, EC, ES, OP och NV visar att elever har en svagare tilltro, 50-60%. På gymnasiet skiljer sig tilltron till förmågan i matematik från tilltron till den allmänna förmågan i ämnen. NV-programmet särskiljer sig genom en 60%-ig god tilltro till den egna förmågan i matematikämnet. I övriga undersökta program finns god tilltro till att den egna förmågan i matematik hos mellan 30% och 40% av eleverna.
Skolverket säger vidare att skillnaderna i uppfattning om matematik är stor bland gymnasieeleverna. I gymnasieskolan har några elever fått en djupare förståelse för matematik vilket genererat en positiv syn på ämnet. Men det finns många elever som inte längre är beredda att ge matematikämnet en chans. Den obegriplighet matematiken innebär för dem samt tidigare misslyckanden har dödat motivationen. De elever som finns inom ”inte ge en chans” gruppen inser dock att matematik är viktigt men de tror sig själva inte om att kunna klara kurserna
Skolverket belyser ytterligare gymnasieelevers attityder till matematik i TIMSS-studien, Skolverket (1998). Studien är gjord bland gymnasieskolans avgångselever för att mäta kunskaper i matematik och naturkunskap. Den är en del av en internationell undersökning med samma syfte. I samband med kunskapsstudien genomfördes en enkät som intresserade sig för elevernas familjebakgrund, ambitionsnivå, läxläsningsarbete, inställning till matematik
Skolverket särredovisar på vissa platser enkätundersökningens resultat i följande grupper:
A-yrkesinriktade utbildningar
B-samhällsinriktade utbildningar och
C-naturvetenskapligt och tekniskt inriktade utbildningar.
Man undersöker bland annat om det är viktigt för eleven eller någon annan i elevens omgivning att eleven lyckas i matematik. Resultaten (Skolverket 1998, sid. 106) sammanställer jag i följande tabell där siffrorna är
procentangivelser:
Tabell 2.1 (Skapad av material från Skolverket 1998, sid. 106)
Det är viktigt att prestera bra i matematik A B C Totalt Enligt …
Eleven själv 68 70 90 79
Pappa 74 76 85 80
Mamma 72 68 82 76
Vänner 43 38 50 45
Enkäten undersökte också elevernas inställning till matematik genom att de fick ange i vilken grad de instämde med tre påståenden. Jag redovisar
resultaten i tabell 2.2 genom att använda avlästa värden. Tabellen visar andel elever i % som angett antingen ”Instämmer” eller ”Instämmer absolut” i förhållande till de givna påståendena:
Tabell 2.2 (Skapad av material från Skolverket 1998, sid.108)
Skolverkets påstående A B C Jag tycker om att lära mig matematik 57 66 84
Matematik är tråkigt 54 49 21
Matematik är ett lätt ämne 31 26 44
I samma enkätundersökning har Skolverket frågat i vilket grad eleverna tycker om matematik. Andelen som svarat ”gillar” eller ”tycker mycket om” är 65%. Detta uppdelar sig på 82% i C-gruppen, 51% i B-gruppen och 48% i A-gruppen. Till påståendet ”Det går bra i matematik” genmäler 63%
”Instämmer” eller ”Instämmer absolut”
Skolverket (2001) har undersökt liknande frågor i PISA 2000.
Undersökningen i Sverige är en del av en internationell undersökning där 20 länder medverkat. Skolverket har försökt ge en bild av svenska elevernas inställning till matematik. Man har frågat efter elevers intresse för- och självuppfattning i förhållande till matematik. Skolverket konstaterar att det i många länder finns ett samband mellan stort intresse för matematik och goda resultat i ämnet. Sambandet gäller dock inte generellt. Svenska elever har t.ex. ett lägre intressemått för matematik än övriga OECD-länder i
undersökningen men lyckas bättre i undersökningens matematikuppgifter. Svenska elever visar lågt värde för självuppfattningen i förhållande till matematik jämfört med undersökningens övriga länder, inte på något sätt sämst men klart placerat i den undre tredjedelen.
Diagram 2.1 Elevers intresse för matematik (Skolverket 2001. sid. 69)
Diagram 2.2 Elevers självuppfattning i matematik (Skolverket 2001, sid. 69)
En annan rapport från Skolverket (2004) visar på en allmän och till ovanstående motsägelsefull trend. Eleverna tycker att nyttan av
skolkunskaperna är god samt att skolan inspirerar, ger lust att lära mer. Från 2000 till 2003 har inställningen att skolkunskaperna är av nytta ökat med c:a 4% och känslan att skolan ger lust att lära med c:a 12%.
Hur låter elevers egna tankar om svaga resultat i matematik?
Harmoniseringsprojektet (i Löwing & Kilborn, sid.65) genomfört 2000 i Helsingborg där elever i en enkät ställer frågor till andra elever belyser detta. På frågan om varför man tror att man fått betyget IG på matematik
A-kursens nationella prov svarade 45% något som kunde samlas under rubriken ”Det var mitt eget fel”. Några vanliga svarsalternativ var:
• För jag hade en dålig dag då inget fungerade … • Jag hade en del slarvfel …
• … Jag vet att jag hade kunnat mycket mer om jag pluggat • Jag började för sent att plugga …
• Jag hade inte läst på tillräckligt …
2.4 Om svårigheter med matematiska textproblem
Att lösa matematiska problem formulerade med ord och med ämnen hämtade utanför den rena, teoretiska matematiken utgör ofta ett stort problem för elever. Fenomenet utgör grunden för den här undersökningen. Om varför ordproblem är svåra säger Ahlberg (2001) att ett antal faktorer påverkar:
• Antalet ord och meningar i problemet. • De ingående ordens svårighetsgrad. • Textens grammatiska komplexitet. • Antalet påståenden i problemtexten.
• Problemets struktur – öppna utsagor är svårare än slutna.
Mölleheds (2001) och Ahlbergs mening att i problemlösning utgör text- eller ordförståelse den stora stötestenen för elever som gör fel understryks av Hegarty och Mayer (1996) som säger att det stora arbetet för problemlösaren i ett textproblem ligger i att förstå problemets innebörd.
Ahlberg (2001) refererar till Magne som 1994 kom fram till att följande är kännetecknande hos elever som har svårigheter med matematisk
problemlösning:
• Ger upp snabbt.
• Litar på lärarens initiativ och hjälp.
• Analyserar problemet ofullständigt eller från fel utgångspunkt. • Använder fel information i problemet för lösningsmodell (söker
siffror eller tal att bearbeta, låter texten styra mot ett räknesätt). • Håller fast vid en lösningsmodell även om den ser ut att inte leda till
lösning av problemet.
• Börjar med matematiska beräkningar innan textanalysen är slutförd. • Saknar matematiska kunskaper och räknefärdigheter.
Engström (1997) säger att elever med svårigheter i matematik ofta hämmas av systematiska felreaktioner. Då de skapat sin matematiska kunskap har en uppfattning som är mindre effektiv, mindre rätt om man så vill, bildats. Mayer och Hegarty (1996) säger att de flesta elever har problem med att skapa en representation av textproblem, inte med den matematiska beräkning det så småningom kommer att leda till.
Skolverket (1998) redovisar lösningsfrekvenser på matematikproblem bland svenska elever i sin rapport om Third International Science Study, TIMSS. Studien innehöll en matematikdel och en naturvetenskaplig del. De uppgifter som eleverna haft att lösa i studiens matematikdel var av karaktären
matematiska textproblem. Problemen var avsedda att mäta kunskaper nödvändiga för framgång i ett teknologiskt och informationsrikt samhälle. Syftet var att hos eleverna avläsa förmågan att använda kunskaper på ett metodiskt och resonerande sätt. Provuppgifterna hade olika
matematikteoriinnehåll; taluppfattning, mätningar och algebra. Skolverket redovisar lösningsfrekvenser för elevgrupper från tre olika programtyper:
A, yrkesinriktade program
B, samhällsinriktade program
C, tekniskt/naturvetenskapligt inriktade program Jag gör här en tabell med avlästa, ungefärliga värden för ”rätt svar” (Skolverket 1998, sid. 61) vilken kan vara av intresse för mitt syfte då den pekar på vilken typ av matematikteori de svenska eleverna har störst svårigheter med i problemlösningssituationen:
Tabell 2.3 (Skapad av material från Skolverket 1998, sid.61)
Teoriområde A B C
Taluppfattning 57% 69% 88%
Mätningar 43% 59% 76%
Algebra 51% 63% 83%
Skolverket noterar att skillnaden mellan grupperna A, B och C var väntad då matematikinnehållet i gymnasieprogrammen ökar från A till C.
2.5 Annat som kan påverka problemlösningsförmågan
Kan rent kontextuella faktorer påverka, t.ex. hur den svenska skolan ”lär” eleverna matematik? Skolverket (2003A) beskriver i rapporten Lusten att
lära – med fokus på matematik hur de personer som studerat
matematikundervisningen på högstadiet generellt uppfattat att den bedrivs. Skolverkets undersökare fann att eleverna arbetar individuellt med ”boken”. Läraren ger individuell hjälp. Gemensamma matematikteorigenomgångar genomförs oftast inte. Skolverkets undersökare beskriver läget:
Aktivitetsgraden för de flesta elever är i dessa observationer mellan 50 och 100 procent. De flesta arbetar större del av tiden men många verkar omotiverade och uttråkade. Flera av de senare arbetar aktivt under mindre än 25 procent av tiden och hinner inte mer än en tiondel av uppgifterna.
Många elever kan inte svara på vad sidan i ”boken” de har uppslagen framför sig handlar om. Elever som väntar på hjälp blir ofta passiva. Skolverkets undersökare tänker kring arbetssättet i matematiklokalen:
För en del elever fungerar kanske denna undervisningsform ändå relativt bra, men flera elever har svårt både med förståelse och motivation och det är stor risk att eleverna passiviseras.
(Skolverket 2003A, sid. 95)
Man fann att läraren kunde tala i genomsnitt två minuter med varje elev. Eleverna var i stort sett utlämnade till ”boken” när det gällde att lära sig ny matematikteori. Denna inlärning styrdes då till en modell; jobba med ”bokens” uppgifter. När eleven får hjälp av läraren är tiden så begränsad att en meningsfull diskussion inte kan genomföras. För eleven återstår att kopiera någons tankar och arbetssätt, ”bokens” eller lärarens. Skolverket menar att arbetssättet för eleven tydligt pekar ut vad som är viktigt i matematik. Det blir viktigt att hinna långt i ”boken”, att klara av många uppgifter. Att förstå, resonera och utveckla nya tankar om matematik framstår inte som viktigt. Skolverket menar att detta drabbar eleverna:
Har man svårt att förstå matematiken i boken är det nog svårt att under 95 procent av tiden på egen hand upprätthålla lusten att lära. … Vi kan också se att en grupp elever väljer bort matematik och tycker det är ett ämne för andra. De inser att det är ett viktigt ämne men undantar sig själva och resignerar. Detsamma har gällt en del duktiga elever som inte fått tillräckligt utmanande
undervisning.
(Skolverket 2003A, sid. 96)
Phil (2001) har intresserat sig för om och i vilket grad svenska
högstadieelever (åk 8) har känslomässiga blockeringar i förhållande till skolmatematiken. Phil definierar begreppet ”Känslomässigt blockering” som innehållande tre komponenter:
• Matematikängslan, bestående av dels en negativ känsla med specifik koppling till matematik skapad inom eleven av tidigare erfarenheter av matematik dels av ett mer emotionellt tillstånd i förhållande till matematik.
• Elevens attityd och inställning till matematikämnet, skapad av egna och andras myter i förhållande till matematik. • Svagt självförtroende eller negativ självbild i förhållande till
matematik, skapad av andras negativa eller positiva
förväntningar på elevens egna förmåga i matematik och egna tidigare resultat.
Phil har i en enkätundersökning försökt få svar på hur vanlig en sådan känslomässig blockering är hos svenska skolungdomar. Undersökningen är genomförd i Karlskoga, en tämligen normal svensk småstad, på alla åk8 elever vilket innebar att urvalsgruppen bestod av 383 elever, Ett bortfall på 45 elever uppstod. Phil finner att cirka 8% av eleverna kan bedömas ha en sådan känslomässig blockering i matematik och i denna grupp kan c:a 44% bedömas ha en stark blockering. Separation av matematikängslan visade att c:a 8% kunde bedömas ha den typen av förhållningssätt till matematik och att det i denna grupp fanns c:a 46% där denna matematikängslan kunde bedömas vara stark. Om attityd/inställning fann Phil att 7% kunde bedömas ha en för matematikämnet negativ form och att c:a 52% av denna grupp kunde bedömas ha starka sådana attityder/inställningar. Angående svagt självförtroende i förhållande till matematik fann Phil att ungefär 8% av de undersökta eleverna uppvisade sådant samt att c:a 52% av denna grupp kunde bedömas ha ett mycket svagt självförtroende. Phil noterar att det är tänkbart låga värdena är då det är troligt att de elever som har känslomässiga blockeringar i förhållande till matematik oftare undviker
matematiklektioner. Då undersökningen genomfördes under
matematiklektioner är det troligt att elever med den av Phil diskuterade attributen är överrepresenterade i bortfallsgruppen.
Enligt Phil är detta en unik undersökning för Sverige. Liknande material att jämföra med har Phil inte funnit. Phil menar att då undersökningsmaterialet var stort borde resultaten kunna ses som allmängiltiga för läget i den svenska skolan. Detta resonemang styrks av Skolverket (2003B) som i rapporten
Självkänslan och skolans vardag noterar att 22% av åk 9 eleverna instämmer
med uttalandet: -Jag avskyr att gå till skolan de dagar vi har matteprov!
2.5.1 Phils diskussion kring ”Känslomässiga blockeringar i matematik”.
Phil (2001) inför begreppet ”Känslomässiga blockeringar i matematik” i sin rapport. Phil hänvisar, naturligtvis, på ett flertal ställen i sin diskussion till andra forskare osv. Jag nöjer mig dock här med att från Phils diskussion dra ut det jag finner vara av intresse för min studies syfte och hänvisar därför här endast till Phil som källa.
Phil menar att matematikängslan växer fram av misslyckanden i ämnet eller då känslor av brist på begåvning, intelligens eller av underlägsenhet
framträtt. Detta kan dels skapas av lärares och andras attityder. Men även av, och enligt Phil troligen av, alla förutfattade meningar om matematik som finns. Matematikängslan skapas enligt Phil av en kombination, insikten att matematik är viktigt och tankar som:
• En del kan matematik och andra inte
• Om du inte lärt dig det du borde är det för att du inte kan, matematik är stelt, korrekt och utan tvivel, att upptäcka eller vara kreativ har inget med matematik att göra … .
Phil har skapat en lång och utförlig lista. Jag känner delvis igen innehållet från andra t.ex. Pekhonen (2001). Phils lista är dock betydligt mer
En negativ självbild i förhållande till matematik skapas. Rädsla för
ytterligare ”dåliga” upplevelser i matematik ger negativa förväntningar på egna prestationer. Eleven får allt svårare att ta till sig nya instruktioner och förklaringar. Vägarna till tidigare kunskaper och erfarenheter begränsas eller blockeras. Matematikängslan är enligt Phil ett psykiskt tillstånd som
utvecklats under tid av negativa upplevelser i samband med matematik. Om denna ängslan får verka under längre tid kan den bli en kraftfull psykologisk faktor hos individen, en blockering.
Andra intresserar sig för detta. Skolverket (2003B) försöker belysa
matematikängslan hos elever i bl.a. åk 9 och gymnasiet. Ett antal påståenden med koppling till matematikängslan ställdes och man studerade i vilken grad eleverna instämmer med dessa påståenden. Instämmandefrekvensen anges i procent och resultaten sammanställer jag i tabell 2.4 ( Svarsalternativen; Instämmer helt samt Instämmer delvis).
Tabell 2.4 (Skapad av material från Skolverket 2003B, sid. 42)
Skolverkets påstående Åk 9 Gymn.
Redovisningar i matte gör mig alltid nervös 20 22
Jag oroar mig alltid för hur jag ska klara matteproven 42 44
Stressen i matte jagar mig så att jag känner mig dålig 24 28
Jag avskyr att gå till skolan de dagar vi har matteprov 22 25
Phil menar att en känslomässig blockering i matematik inte uppstår plötsligt och därför inte heller kan brytas momentant. Den negativa cirkeln måste brytas. Det räcker inte med detta utan eleven måste föras uppåt i en ny spiralrörelse. Kraft måste tillföras då eleven troligen inte klara detta själv. Phil har studerat behandlingsmetoder. De innehåller oftast en studie av elevens tidigare matematikerfarenheter tillsammans med eleven. Fastställandet av en ”framgångsplan” i matematikämnet vilken läraren ställer sig bakom och visar med övertydlighet att han/hon tror på. Det är i behandlingen viktigt att inte utsätta eleven för nya prov eller test innan chans/risk för misslyckande är undanröjd. Detta då eleven behöver få positiva upplevelser av matematik. Den viktigaste behandlingsstrategin är enligt Phil att undanröja alla situationer som skapar eller stärker
blockeringen. Inga tidsbestämda tester bör förekomma, inga krav på rätt svar, ingen tävlan med klasskamrater, inga avsnäsningar från läraren eller kamrater. Detta för att skapa en positiv erfarenhet av
2.6 Sociologiska och socialpsykologiska teorier
Den bild som Phil (2001) målar upp kring elevers förhållande till matematik där insikten att ämnet är viktigt samt att individen tolkar sig själv som ickekapabel att lyckas i ämnet kan skapa psykologiska besvär och kanske gå mot sjukdomstillstånd av psykologisk art. I Phils diskussion är just
medvetenheten o egna tillkortakommandet i ett för den egna utvecklingen i samhället viktigt avseende (matematikkunskaper) grundläggande. Individens förhållande till samhället studeras djupare sociologi och hur individen påverkas i utvecklingen beroende på omgivningen av socialpsykologin kan vi tänka oss med en grov tolkning av dessa vetenskaper innehåll. Här
studeras individers interaktion med andra individer och samhället. Individers avvikande förhållanden, avvikelse mellan individ och omgivande,
normgivande samhälle, signifikant grupp eller … .
Ett grundläggande beteende för individen är att reagera på socialt stimuli. Socialpsykologen Asplund (2000) förklarar detta med att vi, individer i samhället, normalt svarar på stimuli. Vi har en inneboende egenskap, av grundläggande natur, som delvis definierar oss som sociala varelser, som individer i samhället, som Asplund benämner ”social responsivitet”. Asplund förklarar begreppet social responsivitet:
Nyckelbegreppet innefattar två led: ”socialitet” respektive ”responsivitet”. Ingetdera uttrycket behöver konfundera läsaren; de betyder vad de ser ut att betyda. ”Socialitet” kan översättas med ”samhällelighet” eller ”sällskaplighet”. ”Responsivitet” är bildat till ”respons” med betydelsen ”svar” eller ”gensvar”.
(Asplund 2000, sid. 11)
Asplund menar, grovt tolkat, att den sociala responsiviteten är en elementär faktor i människans sociala liv.
Att inte klara av matematiken, vars vikt individen inser och förstår, kan ses som en avvikelse från det normala. Goffman (1972) framför teorier kring det avvikande beteendet. Om en avvikelse uppfattas som en djupt graverande egenskap, i så mån att individen inte är i stånd att vinna fullt socialt erkännande, benämner Goffman detta STIGMA. Har individen en
stigmatiserande egenskap som inte är döljbar i ett socialt sammanhang eller är egenskapen av en natur som går att dölja? En viktig distinktion enligt Goffamn (Goffman använder termerna misskrediterad respektive
misskreditabel). I första fallet, misskrediterad, har individen att lära sig leva med, socialt anpassa sig till de konsekvenser stigmat ger. I andra fallet, misskreditabel, har individen att i första hand ta ställning till om stigmat ska offentliggöras eller döljas. Att välja att dölja stigmat och försöka ses som en normal individ i sitt sociala sammanhang kallar Goffman att passera.
Goffman diskuterar visibilitet hos ett stigma, synligheten utåt, vilket påverkar den stigmatiserade individens möjligheter att framgångsrikt passera.
Goffman belyser dilemmat för den stigmatiserade om förhållningssättet passering väljs med ett utdrag ur ett samtal med en stammande person.
Vi som stammar talar bara när vi är tvungna till det. Vi döljer vårt lyte, och är ofta så skickliga med det att till och med våra intima vänner blir förvånade när i ett obevakat ögonblick ett ord plötsligt fastnar på tungan och vi hackar och sluddrar, grimaserar och kiknar, tills anfallet ör över och vi kan se oss omkring och betrakta förödelsen.
(Goffman 1972, sid. 91)
Passerande är en möjlighet för en stigmatiserad individ om visibiliteten hos stigma är låg. Är stigmat däremot tydligt för omgivningen finns inte längre möjligheten att passera. Individen kan försöka, och försöker ofta, anpassa sitt liv, sina handlingar så att situationer där stigmat tydlig framträder undviks. Goffman kallar ett sådant val av individen för skylning och anser att det är ett förhållningssätt individen är beredd att kraftfullt inta.
Det är ett känt faktum att personer som är beredda att medge att de har ett visst stigma (i många fall helt enkelt därför att saken är bekant eller påtaglig) icke dess mindre gör stora ansträngningar för att stigmat inte ska bli onödigt påfallande.
(Goffman 1972, sid. 109)
Becker (1997) använder termen ”outsiders” om individer som avviker från det normala för en grupp, ett samhälle … . Becker inför ett karriärtänkande i förhållande till avvikande beteende hos individen. Jag tolkar Beckers
avvikelsekarriärtänkande i tre punkter:
• Individen behöver lära sig sin avvikelses teknik. • Individen behöver lära sig avvikelsens effekter.
• Individen behöver lära sig uppskatta avvikelsens effekter.
2.7 Aktionsforskningsteori
Innebörden av begreppet AKTIONSFORSKNING är inte helt klar och entydig. Aktionsforskning som begrepp är skapat av socialpsykologen Kurt Lewin (enligt Elliot, 2001). Lewin arbetade fram en cyklisk forskningsmodell som innehöll stegen:
• Identifiering av en generell företeelse, • Förberedande undersökning av företeelsen
• Generell planering, Utveckla en ”aktion/händelse” • Genomföra ”aktionen/händelsen”
• Utvärdering
• Revidering av den generella planen.
Efter denna cykel har forskaren skapat ett mått av kunskap och därmed intagit ett något annorlunda perspektiv i förhållande till företeelsen. En ny cykel tar vid och en ny ”aktion/händelse” utvecklas utifrån det nya
En bild från McNiff och Whitehead (2002) beskriver denna utveckling väl:
Bild 2.2 (McNiff, J. & Whitehead, J. 2002, sid. 57)
Modellen används inom flera vetenskapsinriktningar men jag intresserar mig i fortsättningen endast för dess koppling till pedagogiken.
Bell (1993) menar att Aktionsforskning inte är någon direkt metod eller teknik. Det är ett förhållningssätt till forskning med praktisk koppling som visat sig fungera väl inom utbildningssektorn då det är praktiker som utför forskningen. Tankar om aktionsforskning utvecklas av Elliot (2001) som menar att aktionsforskningens grundläggande syfte är att förbättra den företeelse inom skolvärlden som studeras. Aktionsforskningen behöver inte nödvändigtvis skapa ny kunskap om företeelsen. Hopkins (2002) går vidare och menar att aktionsforskning är en kombination av en konkret handling och forskning. En kombination i form av ett försök att skapa personlig förståelse. Samtidigt med ökad förståelse är aktionsforskaren involverad i någon typ av förändringsprocess som syftar till att förbättra.
Ebbutt (enligt Hopkins 2002) menar att aktionsforskning är en systematisk studie av försök att förbättra undervisning. Utförd av personer som är en del av denna undervisning genom att dessa använder egna handlingar och genom att de gör egna reflektioner kring handlingarnas effekter. Detta synsätt förstärks ytterligare av Braz-Diaz (1999) som refererar ett
aktionsforskningsprojekt i Brasilien. Ett antal lärarutbildare i Brasilien som jobbade på frivillig bas med ett program vars syfte var att utveckla läs- och skrivkunskaper hos Brasiliens mer lågutbildade befolkningsgrupper. Den egentliga utbildningen för att stärka läs- och skrivkunskaper samt en del övrigt, främst matematik, sköttes av studenter från lärarutbildningar. Innan dessa studenter påbörjade sitt arbete att utveckla läs- och skrivkunskaper osv. genomgick de ett utbildningsprogram.
Målet var att ge lärarstudenterna en gemensam syn på hur utbildningen skulle bedrivas. Inom delen språk- och skrivkunskaper hade utbildarna inga problem att få eleverna att följa utbildningens pedagogiska grundtanke; att ge
materialet en social kontext. Lärareutbildarna inringade dock ett problem kring denna sociala koppling och ämnet matematik. De såg att studenterna inte införlivade programmets grundtanke att ge undervisningen en social kontext i matematikämnet. Lärarutbildarna menade att det hos studenterna fanns en stark dragning mot det traditionella inom matematikutbildning T.ex. att matematik måste läras in linjärt, att undervisning ska ske genom att gå igenom begrepp och tekniker, att undervisningen bör fokusera sig på matematiska begrepp och tekniker. Det var detta sistnämnda som definitivt kolliderade med tanken att undervisningen skulle ha en social koppling. Braz-Diaz studie hade alltså ett klart pedagogiskt syfte, att utveckla matematikdelen till ett mer socialt kopplat undervisningssätt. Studien involverade dessutom de inblandade i genomförandets utformning. Braz-Diaz tillsammans med
lärarutbildarna designade en metod för att ändra synen på matematikutbildning hos de studenter som skulle förberedas.
McNiff och Whitehead (2002) menar att aktionsforskning är ett sätt att utforska det egna lärandet. Här finns enligt dem också en dialektik, forskaren måste vara praktiker eller praktikern måste vara forskare. De anser också att aktionsforskning innebär kunskapsutveckling genom att göra något och reflektera över det gjorda. Inte direkt något ny tanke kan det tyckas. Så har väl människor alltid gjort för att utveckla sin kunskap.
Aktionforskningsmetodologin ger dock detta förfarande en ram samt
formaliserar modellen. McNiff och Whitehead säger att en aktionsforskare ser kunskap som något man gör, en levande och pågående process. McNiff utvecklar med den egna åsikten att aktionsforskning för att fungera framgångsrikt som metodologi bör drivas av någon mitt i händelsernas
centrum, inte av någon extern ”åskådare”. McNiff för en intressant diskussion med utgångspunkt från språkforskaren Noam Chomskys tankar. Två begrepp utvecklas, E-torier och I-teorier. E och I står här i stort för Externt och Internt. En vetenskaplig E-teori är enligt McNiff något som finns utanför och i visst avseende avskiljt från sin skapare, kreerad genom en studie av egenskaper hos externa objekt. En I-teori är skapad dels av studie av objekt men också av det, för att använda Pekhonens (2001) nomenklatur, uppfattningssystem som forskaren själv har. McNiff ståndpunkt är att aktionsforskning leder till I-teorier, alltså teorier som till viss del redan fanns inom forskaren som en personlig kunskap och som framträder i aktionsforskningen i form av personliga sätt att handla och veta/kunna.
McNiff menar att kunskap finns i tre former:
• Veta att, vilket innebär kunskap om fakta, värdesiffror … • Veta hur, vilket innebär kunskap om hur man gör samt att äga
förmågan att göra.
McNiff refererar ett antal punkter från International Symposium on Action Research, Brisbane, mars 1989. Återgivna av Zuber-Skerritt 1992, vilka säger att man bedriver aktionsforskning om (jag väljer ut några kriterier):
• Man reflekterar och förbättrar eller utvecklar sitt eget arbete eller sin egen situation.
• Detta sker genom att tätt sammankoppla reflektion och aktion. • Man offentliggör sina erfarenheter i ett vidare perspektiv.
• Datainsamling sker av deltagarna själva, möjligen hos sig själva. • Det förekommer självreflektion, självutvärdering och egen
styrning mot utveckling.
• Kunskapsutvecklingen sker offentligt och går framåt genom en ”självreflekterande spiral av: planering, utförande/observation, reflekterande, ny planering …
McNiff ger också en generell bild av sin uppfattning om
aktionsforskningsprocessen vilken innehåller att se över ”sin egen verksamhet”:
• Att identifiera en del vi vill förbättra. • Att tänka sig en väg framåt.
• Att prova denna väg. Att se vad som händer.
• Att ändra sin väg med utgångspunkt från vad man sett och fortsätta framåt.
• Att se vad som händer med det nya vägvalet. • Fortsätta processen tills man är nöjd med resultatet.
McNiff tillägger dock att detta är en idealiserad bild och att den sällan helt överensstämmer med verkligheten.
Denscombe (2000) definierar eller snarare ytterligare utmejslar bilden av aktionsforskning ytterligare och menar att det är forskning som karaktäriseras av:
• En praktisk inriktning där syftet är att ta tag i verkliga problem och frågor, huvudsakligen på arbetsplatser och i organisationsmässiga miljöer (skolan är ett exempel på organisationsmässig miljö). • Förändring måste vara en integrerad del, både som ett sätt att ta itu
med praktiska problem och ett medel att få större kännedom om fenomen och företeelser.
• En cyklisk process där forskningen inrymmer en återkopplingsprocess, de inledande resultaten ger möjlighet till förändringar som sedan implementeras och utvärderas som utgångspunkt för fortsatta undersökningar … .
• Deltagande av de centrala människorna i forskningsprocessen, ett aktivt deltagande.
Denscombe tydliggör aktionsforskningens cykliska utveckling med denna bild:
Bild 2.3 (Denscombe 2000, sid. 75)
Denscombe visar på några fördelar hos aktionsforskning. • Den ger professionell självutveckling för deltagaren
• Den angriper praktiska problem positivt med direkt återkoppling av resultaten till praktiken.
Denscombe pekar även på nackdelar hos aktionsforskning. • Att deltagarinblandning begränsar ramar och skala
• Ger svårighet att manipulera variabler då forskningen bedrivs kopplad till rutinmässiga aktiviteter (det vanliga arbetet).
2.8 Fenomenografi
Alexandersson (1994) beskriver den fenomenografiska forskningsansatsen. Han konstatera två generella drag hos forskningsfrågor, antingen kan de beröra hur verkligheten ser ut och kanske varför den ser ut så som den gör eller så kan forskningsfrågorna beröra hur verkligheten uppfattas av
Alexandersson lånar namn på dessa två drag från Ference Marton. Alexandersson benämner ”hur något är” ett första ordningens perspektiv, följaktligen blir ”hur något uppfattas” ett andra ordningens perspektiv. Alexandersson menar att fenomenografins grundtanke är att något uppfattas av människor, i fenomengrafi tar forskaren fasta på hur någon annan person än just forskaren själv uppfattar det undersökta.
Den fenomenografiska studien har vad/hur som viktig del. ”Vad” riktar in undersökningspersonerna mot samma sak som de ska beskriva sin
upplevelse av. ”Vad” bör enligt Alexandersson inringas av den
fenomenografiske forskaren medan ”hur”, dvs. det som kommer fram i undersökningspersonens beskrivning av sin upplevelse, lämnas ett fritt spelrum. Alexandersson säger också att ett gemensamt drag hos fenomenografisk forskning är att den antar att människor har olika uppfattning, att beskriva olikheterna blir ett mål för fenomenografin. Fenomenografin har enligt Alexandersson en tämligen fast modell för genomförandet, se bild 3.1.
Bild 3.1 (Alexandersson i Starrin & Svensson 1994, sid 122)
Fenomenografin är intresserad av att visa vilka olika uppfattningar som finns, därför använder den sig gärna av genomtänkt urval av
undersökningspersoner för att få tillgång till dessa olika åsikter. Fenomenografin är inte intresserad av i vilken grad dessa åsikter sedan manifesterar sig i en population. Alexandersson säger också att intervjun är den utan tvekan vanligaste datainsamlingsmetoden i fenomenografiska undersökningar, de må sedan vara öppna, semistrukturerade eller helstrukturerade.
Östlund (2003) har genomfört en fenomengrafisk studie kring hur ”En attraktiv skola” uppfattas. Östlund menar att fenomenografin huvudsakligen inriktar sig på hur människor uppfattar något, hur omvärlden ter sig för dem,
¤Avgränsning av företeelse i omvärlden. ¤Urskiljning av aspekter i företeelsen ¤Intervju om företeelsen ¤Utskrift av intervjun ¤Identifiering av uppfattningar av företeelsen genom analys av utsagor ¤Redovisning i beskrivningskategorier ¤Samordning av beskrivningskategorier i ett gemensamt utfallsrum
3. Metod
Här uppträder ett delikat problem. Hur undersöker man det som inte låter sig undersökas? Jag riktar mitt intresse mot de elever som inte lyckas över huvud taget vid problemlösning i matematikämnet. De lämnar inga svar på
matematikproblem, vilket jag tänker mig är att jämföra med totalt tystnad och total stillhet om jag vore psykoanalytiker och försökte tränga in under skinnet på en patient för att utröna vad detta ”ickehandlings/ickekommunikations” förhållningssätt beror på.
Att finna representanter för denna ”icke svar” elevgrupp bör vara fullt möjligt men när jag vill få reda på orsakerna till denna tystnad och stillhet, hur kan jag eller bör jag gå till väga? Det framstod för mig uppenbart att tystnaden och stillheten på något sätt måste brytas. Bröts den inte hade jag antagligen bara en annan vinkling av Mölleheds (2001) slutsats att dessa elever som inte lämnar svar inte låter sig analyseras. Det verkar föga givande. Men hur bryter jag tystnaden? Vilka undersökningsmetoder är användbara?
3.1 Val av undersökningsgrupp
Min övergripande undersökningsmodell var aktionsforskning, med den huvudsakliga innebörden att en person sysslar med undersökning inom sitt eget verksamhetsområde för att skapa bättre förståelse kring
uppmärksammade företeelser. Valet av undersökningsgrupp blev därmed enkelt. Jag var matematiklärare, intresserade mig för elevers svårigheter när problem skulle lösas, alltså borde jag välja en undersökningsgrupp som utgör en del av mitt matematiklärararbete och där problemlösningssvårigheter framträder.
Då jag vid undersökningstillfället var matematiklärare på Hotell- och
Restaurangprogram vid en mellansvensk gymnasieskola och arbetade med åk 2 elever på valde jag dessa som undersökningsgrupp. Det innebar att gruppen där jag sökte elever som passar in i ”Ingen eller endast rudimentär lösning på matematiska textproblem” -gruppen bestod av tre klasser, totalt 71elever.
3.1.1 Medvetet urval i undersökningsgruppen
Jag hade arbetat med alla dessa elever, undervisat i matematik och/eller andra ämnen i knappt i två läsår. Jag menar att jag kände jag dem väl. Jag hade tillgång till samtliga genomförda prov, även för de elever (16 stycken) jag varken under läsår 1 eller 2 undervisat i matematik.
De prov som genomförts av eleverna i undersökningsgruppen var identiska, oavsett om jag varit deras matematiklärare eller inte.
Jag valde ”Tidigare Genomförda Prov” som urvalsmetod för att finna de elever som fanns inom intressesfären för undersökningen.
A-kursen i matematik som vi genomförde på Virginska skolan i Örebro innehöll sex prov. I dessa prov fanns totalt 33 uppgifter som stämde överens
