Vad erbjuds i
läromedel?
En analys av läromedels möjligheter att synliggöra tals additiva
del-helhetsrelationer
KURS:Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3
FÖRFATTARE:Caroline Stern
EXAMINATOR:Robert Gunnarsson
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete, F-3, 15hp
School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och
grundskolans 1–3 VT21
SAMMANFATTNING
__________________________________________________________________________________ Caroline Stern
Vad erbjuds i läromedel? En analys av läromedels möjligheter att synliggöra tals additiva del-helhetsrelationer
Antal sidor: 30 __________________________________________________________________________________ Läromedel har en styrande roll i många matematikklassrum vilket innebär att läromedel påverkar vilka uppgifter som elever erbjuds i undervisningen. Men vad är det som erbjuds i läromedel? Syftet med studien var att undersöka hur uppgifter i svenska läromedel för årskurs 1 behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Teorin om handlingserbjudanden och begrepp från variationsteorin har använts i syfte att utifrån ett funktionellt perspektiv undersöka vad som erbjuds i läromedel. Studien genomfördes genom en kvantitativ innehållsanalys och en kvalitativ dataanalys av fem läromedelsserier. Den kvantitativa analysen visar förekomsten av uppgifter som behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Den visar också att elever erbjuds olika representationsformer samt att växla mellan dessa. Språk, symbol och bild är de som erbjuds i störst utsträckning medan konkret modell endast erbjuds i ett fåtal uppgifter. Vidare visar den kvalitativa analysen skillnader i hur uppgifter är utformade för att synliggöra tals additiva del-helhetsrelationer. Uppgifternas form erbjuder elever skillnader i struktur, systematik samt i vilket utsträckning de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp synliggörs. För att undervisningen ska främja elevers förståelse för tal och relationen mellan tal behöver läraren vara medveten om de möjligheter som läromedel erbjuder samt eventuella begränsningar. Detta för att kunna rikta elevers uppmärksamhet mot det som avses att läras.
__________________________________________________________________________________ Sökord: taluppfattning, del-helhetsrelationer, handlingserbjudande, addition och subtraktion
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete, F-3, 15hp
School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och
grundskolans 1–3 VT21
ABSTRACT
__________________________________________________________________________________ Caroline Stern
What is afforded in mathematics textbooks? An analysis of mathematics textbooks´ opportunities to make the additive part-whole relations of
numbers visible
Pages: 30 __________________________________________________________________________________ Mathematics textbooks have a governing role in many mathematics classrooms which means that textbooks affect the tasks that learners are afforded in teaching. But what is afforded in these textbooks? The aim of the study was to investigate how Swedish textbooks for first grade treats additive part-whole relations of numbers. The theory of affordances and concepts from the variation theory has been used for the purpose, that based on a functional perspective to investigate what is afforded in textbooks. The study was conducted through a quantitative content analysis and a qualitative data analysis of five series of textbooks. The quantitative analysis shows the existence of tasks that treat additive part-whole relations of numbers. It also shows that learners are afforded different forms of representations and to switch between them. Language, symbol and image are afforded to the greatest extent while concrete model is only afforded in a few tasks. Furthermore, the qualitative analysis shows differences in how tasks are designed to make the additive part-whole relations of numbers visible. In the design of tasks, learners are afforded differences in structure, systematics and the extent to which the different ways in which a number can be divided are made visible. To promote learners´ understanding of additive part-whole relations of numbers, the teacher needs to be aware of the opportunities that textbooks can afford, as well as limitations. This is to be able to draw the learners´ attention to what is intended to be learned.
__________________________________________________________________________________ Keywords: numerical understanding, part-whole relations, affordances, addition and subtraction __________________________________________________________________________________
Innehållsförteckning
1
Inledning
... 12
Syfte och frågeställning
... 23 Bakgrund
... 33.1 Teoretiskt ramverk... 3
3.1.1 Handlingserbjudanden ... 3
3.1.2 Variationsteorin ... 4
3.2 Läromedels användning i matematikundervisningen ... 4
3.3 Tals additiva del-helhetsrelationer ... 5
3.3.1 Att använda tals del-helhetsrelationer vid addition- och subtraktionsproblem ... 6
3.3.2 Undervisning av tals del-helhetsrelationer ... 6
4
Metod
... 9 4.1 Val av metod ... 9 4.2 Urval ... 10 4.3 Genomförande ... 11 4.3.1 Analysprocess ... 11 4.4 Forskningsetiska principer ... 135 Resultat
... 145.1 Läromedels erbjudanden av tals del-helhetsrelationer ... 14
5.2 Uppgifters erbjudanden av representationsformer ... 15
5.3 Uppgifters utformande för att synliggöra tals del-helhetsrelationer ... 19
5.3.1 Ostrukturerat utformande ... 20
5.3.2 Strukturerat utformande ... 21
5.3.3 Synliggör ett tals del-helhetsrelationer systematiskt ... 22
6
Diskussion
... 266.1 Metoddiskussion ... 26
6.2 Resultatdiskussion ... 27
7
Referenser
... 31Bilaga 1: Översikt av analyserat material Bilaga 2: Samtyckesbrev
1
1 Inledning
I kunskapskraven för årskurs 3 avser godtagbara kunskaper inom området Taluppfattning
och tals användning bland annat att ”Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga
tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal”
(Skolverket, 2019, s. 59–60). Att utveckla en god taluppfattning, vilket innefattar bland annat en förståelse för relationen inom och mellan tal, ses som en av grunderna för att förstå matematik (Skolverket, 2017). Tals additiva del-helhetsrelationer syftar till hur ett tal, helheten kan delas i två mindre delar vilket i sin tur innebär relationen mellan tre tal. Exempelvis kan talet 9 delas upp i två delar på följande sätt: 8│1│9, 7│2│9, 6│3│9 och 5│4│9 (Ljungblad, 2001). Forskning lyfter fram att undervisningen är av betydelse för hur och i vilken utsträckning som elever tillägnar sig kunskaper. För att elever ska tillägna sig kunskaper om tals additiva del-helhetsrelationer indikerar forskning att undervisningen behöver vara utformad så att delarna och helheten synliggörs samtidigt på mer än ett sätt (Cheng, 2011; Ekdahl et al., 2016; Ekdahl, 2020; Jung, 2011; Kullberg et al., 2019). Vidare lyfts det fram att läraren behöver ha ett tydligt syfte med vad elever ska lära sig samt att elevers uppmärksamhet riktas mot detta (Ekdahl, 2016). Lärarens roll är att planera en undervisning som främjar elevers lärande och utveckling i riktning mot kunskapskraven vilket gör att de didaktiska val som läraren gör är av stor betydelse.
Utifrån de erfarenheter som jag tillägnat mig under den verksamhetsförlagda utbildningen och den egna skolgången använder lärare i ämnet matematik i stor utsträckning läromedel som utgångspunkt för undervisningen. Det överensstämmer med resultatet i Monica Johanssons (2006) studie som visar att läromedel upptar ett stort utrymme i matematikundervisningen, inte minst vid elevers enskilda arbete. Hon menar att de läromedel som läraren använder i undervisningen påverkar vilken typ av uppgifter som elever arbetar med under lektionerna samt vilka exempel som lärare använder vid genomgångar. Det gör det intressant att undersöka vad som erbjuds i läromedel.
Syftet med studien är inte att visa på styrkor eller svagheter i olika läromedel utan syftet med studien är att få en bild av hur uppgifter i svenska läromedel för årskurs 1 möjliggör för elever att se tals additiva del-helhetsrelationer. Detta för att bidra med kunskap om samt utveckla ett analytiskt tänkande kring, val av samt användningen av, läromedel i matematikundervisningen.
2
2 Syfte och frågeställning
Syftet med denna studie är att få en bild av hur svenska läromedel för årskurs 1 behandlar tals additiva del-helhetsrelationer. Tals additiva del-helhetsrelationer syftar i studien till hur ett tal, helhet kan delas i två mindre heltalsdelar.
Detta syfte vill jag uppfylla genom att svara på följande frågor:
• I vilken utsträckning erbjuds elever uppgifter där tals additiva del-helhetsrelationer synliggörs?
• Vilka representationsformer erbjuds elever i uppgifterna?
• Hur är uppgifter utformade för att synliggöra helheten och delarna samtidigt, samt de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp?
3
3 Bakgrund
I följande avsnitt redogörs det för studiens teoretiska ramverk. Därefter beskrivs användningen av läromedel i matematikundervisningen. Avslutningsvis redogörs det för det ämnesinnehåll som studien behandlar.
3.1 Teoretiskt ramverk
Syftet med studien är att få en djupare förståelse för hur de uppgifter som elever erbjuds i läromedel är utformade för att möjliggöra lärande av tals additiva del-helhetsrelationer. Det är hur läromedel i matematik behandlar ämnesinnehållet snarare än andra aspekter av undervisningen som står i centrum för studien. Teorin om handlingserbjudanden syftar till att förklara hur vi uppfattar vår omgivning och utifrån variationsteorin sker lärande när något uppfattas på ett förändrat sätt (Gibson, 1986; Runesson, 2018). Variationsteorin erbjuder också verktyg och begrepp för att analysera de möjligheter till lärande som elever erbjuds (Ekdahl, 2019). Utifrån detta ansågs teorin om handlingserbjudanden och variationsteorin som lämpliga ramverk.
3.1.1 Handlingserbjudanden
Gibsons (1986) teori benämns affordances vilket har översatts till handlingserbjudanden. Som tidigare nämnts syftar teorin till att förklara hur vi uppfattar vår omgivning. Vidare menar Gibson att utgångspunkten för att undersöka hur vi uppfattar vår omgivning är att sätta människan i relation till miljön. Det innebär således att ett objekt bär med sig information om hur det ska användas och genom interaktionen mellan objektet och människan sker handlingserbjudanden. Ett exempel från vardagen kan illustrera vad begreppet handlingserbjudanden innebär. Gaver (1991) vill med exemplet dörrhandtag (figur 1) visa hur utformandet av ett objekt skapar olika erbjudanden. Om handtaget är smalt och vertikalt skapas ett erbjudande av att dra i handtaget för att öppna dörren. Om handtaget är platt och horisontellt skapas istället ett erbjudande av att trycka för att öppna dörren.
Figur: 1 Handtagens olika utformande erbjuder olika sätt att öppna dörrarna. (Gaver, 1991, s. 2)
Vidare menar Gaver att handlingserbjudanden existerar även om det inte uppfattas av människan vilket innebär att handlingserbjudanden kan vara både dolt och synligt. Ett objekts handlingserbjudanden styrs både av hur objektet är utformat för att en interaktion med människan ska kunna ske och hur människan utifrån det uppfattar objektet. Ett synligt handlingserbjudande innebär att erbjudandet är så tydligt att människan uppfattar det. Ett
4
dolt handlingserbjudande innebär i sin tur att människan inte uppfattar erbjudandet utan att mer information behöver tillskrivas för att det ska kunna uppfattas. Begreppet erbjudande kommer i studien att användas och syftar till de handlingserbjudanden som elever möter i läromedel.
3.1.2 Variationsteorin
Variationsteorin har sitt ursprung i fenomenografin som utgår från att det vi uppfattar har en betydelse för oss. Det innebär att vi alltid uppfattar något som något. En person kan uppfatta något på ett sätt medan en annan person kan uppfatta samma fenomen på ett annat sätt. Vidare syftar variationsteorin till att belysa de olika sätt som något kan uppfattas på samt vad som behövs för att skapa förutsättningar till att förändra sättet att uppfatta något. När något uppfattas på ett förändrat sätt menar man inom variationsteorin att ett lärande sker. För att ett lärande ska ske behöver elevers uppmärksamhet riktas mot det som avses att läras. Genom att elevers uppmärksamhet riktas mot det som avses att läras skapas förutsättningar för att de ska kunna urskilja viktiga aspekter. De aspekter som är nödvändiga att urskilja för att ett lärande ska ske kallas inom variationsteorin för kritiska aspekter. Dessa behöver dock sättas i relation till den som lär sig vilket innebär att de inte är knutna enbart till ämnesinnehållet eller till personen. Eftersom de kritiska aspekterna behöver sättas i relation till den som lär sig kommer de inte vara kritiska för alla elever. Utifrån variationsteorin är utgångspunkten för att identifiera kritiska aspekter hur en person uppfattar ett ämnesinnehåll. Hur en person uppfattar något beror således på vilka aspekter som personen urskilt, hur aspekterna relaterar till varandra samt om de urskiljs samtidigt (Runesson, 2018). Det innebär i sin tur att det finns ett samband mellan urskiljning, variation och samtidighet. Inom ett variationsteoretiskt perspektiv räcker det inte att kunna se likheter i olika uppgifter utan elever behöver kunna urskilja skillnader (Marton, 2015). Marton (refererad i Runesson, 2018) menar att ”det är erfarenheten av att se skillnader, det vill säga vad som skiljer något från något annat, som är grunden för vårt erfarande. Vi kan inte veta vad något är förrän vi vet vad det inte är” (s. 51). För att kunna uppfatta skillnader är dock samtidighet nödvändigt. Det innebär att ingen skillnad kan uppfattas utan samtidig uppfattning av aspekter som skiljer sig åt. För att kunna urskilja en skillnad behöver det finnas en skillnad, dock behöver det också finnas aspekter som är konstanta (Marton, 2015). Exempelvis om vi vill att elever ska tillägna sig ett tals additiva del-helhetsrelationer behöver vi rikta deras uppmärksamhet mot detta genom att visa hur ett tal kan delas i två delar på olika sätt. På så sätt hålls talet, helheten konstant och de olika delar som talet kan delas upp i varierar. Det innebär att elever kan urskilja skillnaden, i detta fall de olika sätt på vilket ett tal kan delas i två delar (Ekdahl, 2019). Begreppet samtidighet kommer i studien att användas i syfte att undersöka hur uppgifter är utformade för att elever ska kunna urskilja ett tals additiva del-helhetsrelationer.
3.2 Läromedels användning i matematikundervisningen
Nationalencyklopedin (u.å.) definierar beteckningen läromedel som resurser för lärande och undervisning. Det kan vara läroböcker, läseböcker och övningsböcker men också
5
exempelvis kulramar och digitala resurser. I studien syftar definitionen läromedel till den bok som elever använder i matematikundervisningen när de löser uppgifter.
För att ge elever likvärdiga möjligheter att lära behöver följande bejakas; innehållet i läroplanen samt den undervisning kring innehållet som elever möter i klassrummet. Kvaliteten på den undervisning som elever möter spelar en avgörande roll för deras likvärdiga möjligheter att lära sig (Hirsh, 2017). Det gäller även användningen av läromedel i matematikundervisningen. Användningen av läromedel kan ses ur olika perspektiv, dels hur läromedlet behandlar innehållet i läroplanen, dels hur den används i klassrumsundervisningen. Johansson (2006) lyfter fram att läromedel har en styrande roll för matematikundervisningen i många klassrum. Läromedel påverkar inte bara vilka uppgifter som elever möter under det enskilda arbetet utan också vilka exempel som läraren lyfter i genomgångar. Läromedel används i stor utsträckning under matematiklektionerna där elever enskilt löser uppgifter. Under tiden som elever löser uppgifter ger läraren stöd. Vidare menar Johansson att uppgifterna och hur de är konstruerade även påverkar interaktionen mellan lärare och elev. Läromedel kan ses som ett hjälpmedel som förenklar lärarens dagliga arbete. Den kan också ses som ett stöd för progression och likvärdig utformning av undervisning. Johansson (2011) lyfter fram läromedels interaktion med elever. Likt en skönlitterär bok vars syfte är att fånga läsarens intresse behöver även läromedel i matematik fånga elevers intresse. För att läromedel ska bidra till elevers lärande behöver uppgifter rikta elevers uppmärksamhet mot det som avses att lära.
3.3 Tals additiva del-helhetsrelationer
För att utveckla en god taluppfattning är det flera aspekter av tal som elever behöver tillägna sig. Det kan exempelvis vara relationen inom tal och mellan tal. Relationen inom tal innebär en förståelse för ett tal som en helhet samt att ett tal kan delas upp i mindre delar (Sterner & Johansson, 2008). I kommentarmaterialet till kursplanen i matematik framkommer att taluppfattning, som handlar om förståelsen av tal såsom relationer och storlek, är primär för att elever ska utveckla förståelse av matematiken (Skolverket, 2017). Tals additiva del-helhetsrelationer1 syftar till att tal kan delas upp i mindre heltalsdelar. Exempelvis kan talet 9 delas upp i två delar på följande sätt: 8│1│9, 7│2│9, 6│3│9 och 5│4│9 (Ljungblad, 2001). Studien kommer behandla de tio första naturliga talen2 samt de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp i två delar. Det innebär att denna studie kommer behandla relationen mellan tre tal. De olika sätt, på vilket ett tal kan delas, utgår från det Neuman (1989) benämner som ”de 25 kombinationerna” vilka framkommer i figur 2 nedan. Som tillägg till Neumans kombinationer kommer studien även behandla kombinationer som inkluderar talet 0.
1 Fortsättningsvis kommer tals additiva del-helhetsrelationer endast benämnas ”del-helhetsrelationer”. 2 Dessa avser vårt talsystems tio första positiva heltal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 och 10 (Neuman, 1989, s. 52).
6
Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio Tio
1│1│2 2│1│3 3│1│4 4│1│5 5│1│6 6│1│7 7│1│8 8│1│9 9│1│10 2│2│4 3│2│5 4│2│6 5│2│7 6│2│8 7│2│9 8│2│10 3│3│6 4│3│7 5│3│8 6│3│9 7│3│10 4│4│8 5│4│9 6│4│10 5│5│10
Figur 2: ”De 25 kombinationerna” (Neuman, 1989, s. 52).
3.3.1 Att använda tals del-helhetsrelationer vid additions- och subtraktionsproblem Elevers olika uppfattningar av att lösa addition- och subtraktionsproblem visar samband med vilka strategier som de tillägnat sig. Elever som endast använder strategin att räkna ett-till-ett behöver tillägna sig fler strategier för att på ett effektivare sätt kunna lösa addition- och subtraktionsproblem. En strategi som forskning lyfter som effektiv är att använda sig av tals del-helhetsrelationer (Neuman, 1987; Cheng, 2011). Det har visat sig att när elever har tillägnat sig alla de olika kombinationer som ett tal kan delas upp i kan se lösningen och behöver därav inte använda fingrarna eller konkret material för att räkna ett-till-ett. Neuman (1989) uttrycker det på följande sätt:
Att besitta räknefärdigheter är […] att kunna laborera i tankarna med tal och delar av tal på ett flexibelt sätt; att direkt, utan långa uppräkningar och användande av fingrar eller annat konkret material, kunna relatera två givna tal till varandra så att ett tredje blir det självklara resultatet. (Neuman, 1989, s. 42)
Forskning visar även att tals del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att se sambanden mellan räknesätten addition och subtraktion, att se additionens kommutativa egenskap samt att kunna använda talet 10 som referenspunkt för att lösa addition- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång (Cheng, 2011; Neuman, 2013; Ekdahl et al., 2016).
3.3.2 Undervisning av tals del-helhetsrelationer
I kunskapskraven för årskurs 3 avser godtagbara kunskaper inom ämnesområdet
Taluppfattning och tals användning bland annat att ”Eleven har grundläggande kunskaper
om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relationer samt genom att dela upp tal” (Skolverket, 2019, s. 59–60). Där framkommer också att eleven genom att använda olika representationsformer såsom konkret material, bilder och symboler ska kunna beskriva olika matematiska begrepp och samband mellan begrepp (Skolverket, 2019). Kommentarmaterialet till kursplanen i matematik lyfter fram att elever i undervisningen ska få utforska tal i syfte att utveckla förståelse för tal och relationen mellan och inom tal (Skolverket, 2017). Undervisningen behöver erbjuda elever utforskande aktiviteter samt möjligheten att kommunicera om deras förståelse för tal och dess relationer, i olika situationer och under en längre tid (Cheng, 2011; Ekdahl et al., 2016; Jung, 2011; Sophian & McCorgray, 1994).
7
Med hjälp av olika representationsformer kan en situation uttryckas på olika sätt. Det har visat sig att en undervisning där elever får utforska tal genom att växla mellan olika representationsformer främjar elevers förståelse av matematiska begrepp, samband mellan begrepp samt deras förmåga att lösa problem (Baroody, 2000; Barteletti & Booth, 2015; Bergsten et al., 1997; Cheng, 2011). Att växla mellan olika representationsformer kan innebära att gå från en språklig form såsom en skriven text till ett matematiskt symbolspråk. Det kan också innebära att skriva talet nio med symbolen 9 och sedan visa antalet som talet representerar med hjälp av konkret material (Bergsten et al., 1997). En undervisning som använder olika representationer av tal har visat sig främja elevers förmåga att gå från det konkreta till det abstrakta (Baroody, 2000; Cheng, 2011). Baroody (2000) visar i sin studie att barn redan i 3–4 års åldern kan jämföra grupper innehållande en till fyra objekt genom att växla mellan olika representationsformer. Ett exempel som lyfts fram är när barn kan matcha tre ljudsekvenser med bilder i form av tre prickar. Ytterligare ett exempel som lyfts fram är när barn växlar från konkret material till en muntlig strategi när något ska fördelas lika. I exemplet fick tre barn i uppgift att dela på sex kakor. Det barnen gjorde var att dela ut en kaka i taget för att därefter räkna det antal kakor som varje barn fick.
Det har även visat sig att hur undervisningen riktar elevers uppmärksamhet mot det som avses att lära är av betydelse för elevers förståelse. Sambanden som elever kan upptäcka genom uppgifters olika utformande behöver synliggöras på ett mer systematiskt sätt (Baroody, 2000; Cheng, 2011, Ekdahl et al., 2016; Neuman, 2013). Likt Baroody (2000) visar Cheng (2011) i sin studie av 5–6 åringar att elevers förståelse för tal och relationen mellan tal främjas när elever får arbeta med uppdelning av tal genom att växla mellan olika representationsformer. I studien använde eleverna konkret material för att dela upp ett tal i två delar. Därefter skrevs de olika kombinationerna med hjälp av matematiska symboler såsom siffror och additionstecken på följande sätt: 1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 4 + 6 = 10, 5 + 5 = 10. Genom att de olika kombinationerna skrevs på ett systematiskt sätt kunde elever se att när ena termen ökade med ett minskade den andra med ett. Detta sätt att systematiskt beskriva hur helheten och delarna förhåller sig till varandra bidrog till att elever kunde se sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion. På ett likande sätt menar Neuman (2013) att elever, som har tillägnat sig ett tals samtliga kombinationer och därmed direkt kan se hur ett tal kan delas upp, visar förståelse för sambandet mellan räknesätten. Forskning visar även att genom att systematiskt beskriva tals olika kombinationer främjas förmågan att se additionens kommutativa egenskap, alltså att 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Cheng, 2011, Ekdahl et al., 2016; Neuman, 2013). Att i undervisningen visa tals del-helhetsrelationer på ett systematiskt sätt kan ske genom att uppgifter har ett strukturerat utformande. Ett strukturerat utformande för att visa tals del-helhetsrelationer kan kännetecknas vid att delarna och helheten synliggörs samtidigt. Med hjälp av exempelvis ett triaddiagram, ett talhus eller en 10-mask kan helheten och delarna synliggöras samtidigt (Ekdahl, 2020). Exempel på hur ett strukturerat utformande kan se ut framkommer i figur 3 nedan.
8
(a) (b) (c)
Figur 3: Olika sätt att strukturera tal för att synliggöra tals del-helhetsrelationer. Figuren visar ett triaddiagram (a), ett talhus (b) och en 10-mask (c).
Triaddiagram
Ett triaddiagram erbjuder en struktur som synliggör delarna och helheten samtidigt. I exemplet (figur 3a) är talet 8, helheten och talen 3 respektive 5 de delar som talet i två delar kan delas upp i. Exemplet visar följande kombination 3│5│8.
Talhus
Ett talhus erbjuder en struktur som synliggör delarna och helheten samtidigt. Med hjälp av ett talhus kan olika sätt på vilket ett tal kan delas upp i synliggöras. I exemplet (figur 3b) står talet 8, helheten i ”husets tak” och de olika sätt på vilket talet kan delas upp i ”husets stomme”. Med hjälp av ett talhus kan tals olika kombinationer även synliggöras på ett systematiskt sätt. Exemplet visar följande kombinationer 1│7│8, 7│1│8, 2│6│8, 6│2│8, 3│5│8, 5│3│8 och 4│4│8. Genom att visa uppdelning av tal på ett systematiskt sätt likt exemplet i figur 3b synliggörs additionens kommutativa egenskap.
10-mask
En 10-mask erbjuder en struktur som synliggör delarna och helheten samtidigt. Med hjälp av en 10-mask kan de olika sätt på vilket talet 10 kan delas upp i synliggöras. 10-masken i figur 3c gör det möjligt att synliggöra talets samtliga kombinationer, vilka är: 0│10│10, 1│9│10, 2│8│10, 3│7│10, 4│6│10 och 5│5│10. Om 10-masken används på ett systematiskt sätt likt det som visas i figur 3b kan exempelvis additionens kommutativa egenskap synliggöras.
9
4 Metod
I följande avsnitt beskrivs det tillvägagångssätt som använts för att uppfylla studiens syfte. Det redogörs även för forskningsetiska ställningstaganden.
4.1 Val av metod
Studien utgick från ett funktionellt perspektiv vilket kan kännetecknas av läromedels betydelse i undervisningen. Ett funktionellt perspektiv ser uppgifter i läromedel som de erbjudanden som elever möter och som en orsak till vad de lär sig (Ammert, 2011). För att besvara studiens frågeställning valdes både en kvantitativ och en kvalitativ metod, vilket redogörs för nedan.
Flermetodsforskning
Tillvägagångssättet som använts i studien är flermetodsforskning, vilket innebär ett användande av både en kvantitativ och en kvalitativ metod (Bryman, 2011). Genom att använda flermetodsforskning kan materialet studeras utifrån olika metoder i syfte att komplettera varandra och på så sätt ge en bredare bild (Denscombe, 2018). Eftersom studiens syfte var att undersöka förekomsten av erbjudanden valdes en kvantitativ innehållsanalys. En kvantitativ innehållsanalys kan tillämpas på olika texter där begreppet text ses ur ett vidgat perspektiv och innefattar såväl muntlig och skriftlig text som visuella bilder och konkret material (Denscombe, 2018). I studien består det material som samlats in av visuella bilder och innehåll i illustrationer. En kvantitativ innehållsanalys är en metod som på ett systematiskt och replikerbart sätt kvantifierar innehållet i en text utifrån kriterier som på förhand satts upp (Bryman, 2011). Det gör att en styrka med metoden är att den är tydlig och därav möjliggör för andra forskare att genomföra samma studie. Det är dock viktigt att material av kvantitativ karaktär, framför allt i småskaliga studier likt denna, hanteras med försiktighet. Det kan ske genom att materialet exempelvis presenteras i antal istället för i procent. Det är också viktigt att ta i beaktning att en kvantitativ innehållsanalys tenderar att lyfta ut materialet som analyseras ur dess kontext (Denscombe, 2018). Som ett komplement till den kvantitativa innehållsanalysen som fokuserade på förekomsten av erbjudanden i läromedel valdes metoden kvalitativ dataanalys. Den kvalitativa dataanalysen användes i syfte att undersöka hur uppgifters erbjudanden möjliggör för elever att se tals del-helhetsrelationer. Till skillnad från den kvantitativa analysmetoden som används, där materialet analyserats utifrån förutbestämda kriterier, innebär den kvalitativa dataanalysen att nya kriterier kan skapas under analysprocessen. Den kvalitativa dataanalys som används har likheter med forskningsmetoden Grounded theory. Detta eftersom kodning gjorts genom att söka efter likheter och skillnader i uppgifter för att därefter organisera och sammanställa materialet. Kodningen är av en prövande karaktär då materialet som samlats in ses som indikationer av exempelvis förekomst eller struktur. Indikationerna jämförs sedan med varandra för att därefter kodas efter en kategori (Bryman, 2011).
10
4.2 Urval
De läromedel som inkluderats i studien valdes efter ett bekvämlighetsurval samt efter ett godtyckligt urval. Ett bekvämlighetsurval innebär i detta fall att tillgängligheten av läromedel styrt urvalet (Denscombe, 2018). Ett godtyckligt urval innebär i sin tur att forskaren utifrån sin bedömning av relevans för studien väljer materialet. Materialet väljs utifrån hur typiska de är för den valda kategorin av enheter (Larsen, 2017).
Läromedel
För att utifrån ett godtyckligt urval kunna välja läromedel, relevanta för studien skapades kriterier för inklusion. Första kriteriet var att läromedlet är framtaget för att kunna
användas i undervisningen för årskurs 1. Andra kriteriet var att läromedlet är framtaget för att användas av elever. Eftersom syftet med studien var att undersöka de erbjudanden
som elever möter i läromedel var det inte relevant att inkludera exempelvis lärarhandledningar. Tredje kriteriet var att läromedlet ska vara utgivet efter 2011. Detta för att säkerhetsställa att den senaste läroplanen (LGR11) ligger till grund för utformandet.
Uppgifter
Urvalet av uppgifter gjordes utifrån teorin om handlingserbjudanden, alltså vilka erbjudanden möter elever i läromedel (Gibson, 1986). Definitionen uppgift syftar i studien till de enskilda uppdrag som elever möter i läromedel. Exempelvis är 5 + _ = 7 en uppgift där elevens uppdrag är att finna den saknade delen. Ska eleven visa hur talet 7 kan delas upp med konkreta föremål, exempelvis genom att rita bollar är det också en uppgift. För att utifrån ett godtyckligt urval kunna välja uppgifter, relevanta för studien skapades kriterier för inklusion. Första kriteriet var att uppgifterna ska behandla tals additiva
del-helhetsrelationer. Tals del-helhetsrelationer kan även vara multiplikativa. De
multiplikativa del-helhetsrelationerna kan kopplas till räknesätten multiplikation och division vilka också grundar sig i att se sambandet mellan delarna och helheten. De multiplikativa del-helhetsrelationerna bygger på att se ett antal av grupper med lika många objekt i varje grupp. Exempelvis ska 5 𝑥 7 = 35 ses som 7 grupper med 5 objekt i varje (McIntosh, 2008). I studien kommer multiplikativa del-helhetsrelationer att exkluderas. Andra kriteriet var att uppgifterna ska behandla hur de tio första naturliga talen kan delas
upp i två delar. Ett tal kan delas upp i fler mindre delar men uppgifter som syftar till en
uppdelning av tal i fler än två delar kommer i studien att exkluderas. Tredje kriteriet var att uppgifterna ska ha en strukturell konstruktion. En uppgift kan vara konstruerad utifrån två aspekter, som en operation eller som en struktur. En uppgift som är konstruerad som en operation innebär att den ger uttryck för att räkna ut ett svar. Exempelvis i uppgiften 5 + 2 = __ fungerar likhetstecknet operativt, alltså som en uppmaning till att räkna ut ett svar. En uppgift som har en strukturell konstruktion är mer statisk och syftar till att se en struktur. Exempelvis i uppgiften där eleven ska visa vilka olika sätt som talet 7 kan delas upp i, så har uppgiften en strukturell konstruktion då den syftar till relationen mellan talen och inte som en uppmaning till att räkna (Bergsten et al., 1997). I studien kommer uppgifter som är konstruerade som en operation att exkluderas. De uppgifter som valdes utifrån dessa tre kriterier utgör grunden vid analysen.
11
4.3 Genomförande
Studien inleddes med att förlag som tillhandahåller läromedel kontaktades för att se om statistik över antalet sålda läromedel fanns tillgängligt. Det visade sig dock att statistik kring försäljning ej offentliggjordes. Utav de förlag som kontaktades var det ett som skickade gratis provexemplar. Provexemplaren uppfyllde de kriterier för inklusion som skapats och kom därav att inkluderas i studien. För att få tillgång till fler läromedel besöktes Jönköping University, efter kontakt med handledaren för studien, där fanns ett brett utbud av olika läromedel i matematik. På Jönköping University återfanns fyra av de fem läromedelsserier som inkluderats i studien. En översikt av inkluderat material återfinns i tabell 1 nedan.
Tabell 1: Översikt av inkluderat material
Läromedel Utgivningsår Författare Förlag
Mera Favorit matematik 1A 2013 Haapaniemi, S. Mörsky, S. Tikkanen, A. Vehmas, P. Voima, J.
Studentlitteratur
Mera Favorit matematik 1B 2013 Haapaniemi, S. Mörsky, S. Tikkanen, A. Vehmas, P. Voima, J.
Studentlitteratur
Prima matematik 1A 2019 Brorsson, Å. Gleerups
Prima matematik 1B 2019 Brorsson, Å. Gleerups
Mondo matematik 1A 2015 Brorsson, Å. Gleerups
Mondo matematik 1B 2016 Brorsson, Å. Gleerups
Matte Eldorado 1A 2015 Olsson, I.
Forsbäck, M.
Natur & Kultur
Matte Eldorado 1B 2015 Olsson, I.
Forsbäck, M.
Natur & Kultur
Mitt i Prick matematik 1A 2016 Mårtensson, A. Öhman, Y.
Majema Mitt i Prick matematik 1B 2016 Mårtensson, A.
Öhman, Y.
Majema
Därefter behandlades ett läromedel i taget i syfte att samla in de uppgifter som uppfyllde kriterier för inklusion. Samtliga kapitel i de valda läromedlen behandlades. För att säkerhetsställa att samtliga uppgifter samlats in genomfördes denna process två gånger. Därefter skapades ett analysschema (se figur 4 och figur 5, s. 12–13). I analysschemat sammanställdes samtliga uppgifter i syfte att få en översikt av insamlat material samt för att kunna användas som verktyg vid analysprocessen.
4.3.1 Analysprocess
Kvantitativ innehållsanalys
Analysprocessen inleddes med att materialet kodades efter följande, på förhand bestämda kategorier: konkret modell, bild, språk och symbol. En konkret modell är fysiska objekt som elever kan använda laborativt. Det kan exempelvis vara klossar och knappar (Bergsten et al., 1997). En konkret modell kan också vara om eleven använder fingrarna för att representera tal som sammansatta enheter, så kallade fingertal (Kullberg & Björklund,
12
2019). Representationsformen bild avser när man använder bilder som symbol för en konkret modell. Språk kan uttryckas verbalt och som skriven text. Språk som representationsform syftar till skriven text. I studien kommer språk vars syfte är att tillskriva uppgiften information att betraktas som en representationsform. Representationsformen symbol är mer abstrakt än exempelvis representationsformen bild. Det kan vara siffror, exempelvis är siffran 7 en symbol för antalet sju. Det kan också vara operationssymboler såsom additionstecken och subtraktionstecken (Bergsten et al., 1997). Förekomsten av de olika representationsformerna kodades med hjälp av siffror. Siffran 1 representerar förekomsten av konkret modell, siffran 2 förekomsten av bild, siffran 3 förekomsten av språk och siffran 4 förekomsten av symbol. I ett andra steg analyserades materialet utifrån frekvens och förhållandet mellan de olika representationsformerna. Detta i syfte att få en tydligare bild av när och varför de förekommer som de gör (Denscombe, 2018). Kodning av förhållandet mellan de olika representationsformera gjordes genom att olika kombinationer av siffror kodades med hjälp av olika färger. Ett exempel på hur materialet kodas utifrån den kvantitativa innehållsanalysen återfinns i figur 4.
Figur 4: Analysschemat visar ett exempel på hur materialet kodats. Siffrorna 1, 2, 3 och 4 visar förekomsten av de olika representationsformerna: konkret modell, bild, språk och symbol. Färgen grön visar att uppgift 9 innehåller en kombination av representationsformerna konkret modell, språk och symbol. Färgen blå visar att uppgift 10 innehåller en kombination av representationsformerna bild, språk och symbol.
Kvalitativ dataanalys
I steg tre inleddes den kvalitativa dataanalysen genom att fokus riktades på hur uppgifters erbjudanden möjliggör för elever att se tals del-helhetsrelationer. Utifrån analysen skapades kategorierna: Strukturerad utformning och Ostrukturerad utformning. Kodning gjordes genom att sätta symbolen X i den ruta som stämde för uppgiften. I steg fyra tillkom under kategorin Strukturerad utformning följande kategorier: Visar de olika sätt på vilket
ett tal kan delas upp samt Inkluderar talet 0 som en del av ett tals kombinationerna.
Kodningen gjordes genom att sätta symbolen A och B i de rutor som stämde med uppgiften. I steg fem tillkom ytterligare en kategori: Synliggör kombinationer systematiskt. Kodning gjordes genom att sätta symbolen C i den ruta som stämde med uppgiften. I steg sex tillkom under kategorin Synliggör kombinationer systematiskt följande kategorier:
Kompensatorisk struktur och Struktur som synliggör kommutativitet. Kodning gjordes
Läromedel Utgivningsår Författare Förlag
Prima matematik 1A
2019 Brorson, Å. Gleerups
I vilken utsträckning erbjuds elever uppgifter där tals del-helhetsrelationer synliggörs? Vilka representationsformer erbjuds elever i uppgifterna?
Hur är uppgifter utformade för att erbjuda elever att se tals del-helhetsrelationer samt se de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp?
Uppgift Konkret modell Bild Språk Symbol
Konkret modell = 1; Bild = 2; Språk = 3; Symbol= 4
9 1 3 4
13
genom att sätta symbolerna + − för kategorin Kompensatorisk struktur och symbolen k för kategorin Struktur som synliggör kommutativitet. Ett exempel på hur materialet kodas utifrån den kvalitativa dataanalysen återfinns i figur 5. Kodningen kan ses i sin helhet i bilaga 1.
Läromedel Utgivningsår Författare Förlag
Mitt i Prick matematik 1A
2016 Mårtensson, A., & Öhman, Y. Majema I vilken utsträckning erbjuds elever uppgifter där tals del-helhetsrelationer synliggörs? Vilka representationsformer erbjuds elever i uppgifterna?
Hur är uppgifter utformade för att erbjuda elever att se tals del-helhetsrelationer samt se de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp?
Uppgift Konkret
modell
Bild Språk Symbol Strukturerat utformande
Ostrukturerat utformande
Konkret modell = 1; Bild = 2; Språk = 3; Symbol= 4
Ett strukturerat utformande för att visa tals del-helhetsrelationer kännetecknas vid samtidighet, alltså att delarna och helheten samtidigt synliggörs.
Ett ostrukturerat utformande för att visa tals del-helhetsrelationer saknar samtidighet. De uppgifter som har ett strukturerat utformande kategoriseras utifrån följande: Visar de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp = A
Inkluderar talet 0 som en del av ett tals kombinationerna = B Synliggör kombinationer systematiskt = C
De uppgifter som var utformade för att synliggör kombinationer på ett systematiskt sätt kategoriserades utifrån följande: Kompensatorisk struktur = +-
Struktur som synliggör kommutativitet = k
3 X A B C
+ -
23 X
Figur 5: Analysschemat visar ett exempel på hur materialet har kodats utifrån den kvalitativa dataanalysen. Symbolerna X, A, B, C samt + - visar vilka kriterier som uppgiften uppfyller, vilka kan kopplas till hur uppgifterna är utformade för att synliggöra tals del-helhetsrelationer.
4.4 Forskningsetiska principer
När forskning bedrivs är det viktigt att det görs enligt god forskningssed. God forskningssed rör frågor om relationen mellan forskning och etik såsom etiska krav på forskaren och forskningens genomförande. För att hålla en god kvalitet på forskningen spelar etiska överväganden en viktig roll. Det har utvecklats forskningsetiska kodexar som beskriver de etiska överväganden som forskaren behöver förhålla sig till. De forskningsetiska kodexarna beskriver exempelvis hur personuppgifter ska behandlas samt att personer som berörs av forskningen ska informeras och ge samtycke (Vetenskapsrådet, 2017). Eftersom denna studie är en läromedelsanalys är det inga andra personer än jag som skribent som är involverad i studien. Däremot har berörda förlag kontaktats och informerats om studiens syfte och genomförande samt för att få deras godkännande att använda och visa uppgifter från läromedel i studiens resultat. Berörda förlag har via mejl kontaktats för information och samtycke (Se bilaga 2). Samtliga förlag gav sitt godkännande. I godkännandet framkom dock skillnader kring aspekter av hur uppgifter får användas, vilka jag har tagit hänsyn. För att få använda uppgifter från förlaget Natur & Kultur skall hela sidor ur läromedlet visas. Övriga förlag har gett godkännande att visa enskilda uppgifter.
14
5 Resultat
I följande avsnitt redogörs det för studiens resultat. Resultatet består av tre delar där uppdelningen är gjord utifrån studiens frågeställning.
5.1 Läromedels erbjudanden av tals del-helhetsrelationer
Figur 6 visar resultatet av den kvantitativa analys av antalet uppgifter som utifrån en strukturell konstruktion behandlar tals del-helhetsrelationer. En strukturell konstruktion syftar till att se en struktur i relationen mellan tre tal. Figur 6 visar också det antal uppgifter som synliggör ett tals samtliga kombinationer, alltså de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp (se figur 2, s. 6).
Figur 6: En jämförelse av i vilken utsträckning olika läromedel erbjuder elever uppgifter där tals del-helhetsrelationer synliggörs. Svarta staplar visar det antal uppgifter som behandlar tals del-del-helhetsrelationer. Gråa staplar visar det antal uppgifter som synliggör ett tals samtliga kombinationer.
I läromedelsseries första del, alltså de läromedel som har beteckningen 1A är medelvärdet för antal uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer 26,8 uppgifter. Det innebär att de läromedel som hamnar över medelvärdet är Mera Favorit matematik 1A och Matte Eldorado 1A. I läromedelsseries andra del, alltså de läromedel som har beteckningen 1B är medelvärdet för antal uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer 8,0 uppgifter. Det innebär att de läromedel som hamnar över medelvärdet är Mera Favorit matematik 1B och Matte Eldorado 1B. Resultatet visar att elever i en större utsträckning erbjuds uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer utifrån en strukturell konstruktion i läromedelsseries första del. I läromedelsseries andra del minskar antalet uppgifter i genomsnitt med 18,8 uppgifter, vilket motsvarar en minskning med cirka 70 procent.
28 15 23 7 23 3 36 9 24 6 21 8 5 1 4 0 11 0 8 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Mera Favorit 1A Mera Favorit 1B
Prima 1A Prima 1B Mondo 1 A Mondo 1B Eldorado 1A Eldorado 1B Mitt i Prick 1A Mitt i Prick 1B Antal uppgifter som behandlar tals additiva del-helhetsrelationer
15
I läromedelsseries första del, 1A är medelvärdet för antal uppgifter som synliggör ett tals samtliga kombinationer 9,8 uppgifter. Det innebär att Mera Favorit matematik 1A och Matte Eldorado 1A är de läromedel som hamnar över medelvärdet. I läromedelsseries andra del, 1B är medelvärdet för antal uppgifter som synliggör ett tals samtliga kombinationer 1,8 uppgifter. Det innebär att det endast är Mera Favorit matematik 1B som hamnar över medelvärdet. Resultatet visar att elever i en större utsträckning erbjuds uppgifter som synliggör ett tals samtliga kombinationerna i läromedelsseries första del. I läromedelsseries andra del minskar antalet uppgifter i genomsnitt med 8 uppgifter, vilket motsvarar en minskning med cirka 80 procent. Analysen visar även att i tre av de läromedel som analyserades fanns inga erbjudanden av uppgifter där samtliga kombinationer synliggjordes.
5.2 Uppgifters erbjudanden av representationsformer
Vid den kvantitativa analysen av uppgifters erbjudande av representationsformer har uppgifterna analyserats utifrån förekomst samt utifrån hur olika representationsformer kombineras. I resultatet redogörs det för en samlad bild vilket innebär att det ej kommer redogöras för varje enskilt läromedel. Förekomsten av de olika representationsformerna,
språk, symbol, bild och konkret modell visas i figur 7 nedan.
Figur 7: En jämförelse av i vilken utsträckning uppgifter erbjuder elever de olika representationsformerna: språk, symbol, bild och konkret modell. Totalt har 174 uppgifter analyserats. Staplarna visar det antal uppgifter som innehåller respektive representationsform.
Analysen visar att representationsformen språk förekom i 173 av 174 uppgifter. Språk som representationsform syftar till skriven text vilket i sin tur tillskriver uppgiften information. Analysen visar också att representationsformen symbol förekom i 150 av 174 uppgifter.
Symbol som representationsform syftar till matematiska symboler såsom siffror,
173 150 92 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Språk Symbol Bild Konkret modell
16
additionstecken och likhetstecken. Vidare visar analysen att bild som representationsform förekom i 92 av 174 uppgifter. Bild som representationsform syftar till när bilder används som symbol för att visa en konkret modell. Representationsformen konkret modell förekom i 5 av 174 uppgifter. I de uppgifter som konkret modell förekom uppmanades elever via representationsformen språk att använda fysiska objekt laborativt. Vidare framkom i analysen att elever erbjuds en kombination av de olika representationsformerna i en och samma uppgift. De olika kombinationer som framkom var följande: språk och symbol,
språk, symbol och bild, språk och bild samt kombinationer innehållande konkret modell.
Figur 8 visar förekomsten av de olika kombinationerna av representationsformer, vilka redogörs för nedan.
Figur 8: En jämförelse av förekomsten av olika kombinationer av representationsformer. De kombinationer som jämförs är följande: språk och symbol, språk, symbol och bild, språk och bild samt kombinationer innehållande konkret modell. Totalt har 174 uppgifter analyserats. Staplarna visar det antal gånger som varje kombination förekommer.
Språk och symbol
I analysen framkom att den kombinationen av representationsformer som elever erbjuds i störst utsträckning är språk och symbol. Kombinationen språk och symbol återfanns i 75 av 174 uppgifter. Figur 9 visar ett exempel på en uppgift där representationsformerna kombineras. I uppgiften används representationsformen språk i syfte att tillskriva uppgiften information. Representationsformen symbol används för att visa de olika sätt på vilket talet 5 kan delas upp i två delar.
Figur 9: Prima matematik 1A, kapitel 3. ”Dela upp talet 5”. (Brorsson, 2019a, s. 71) 75 71 18 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Språk och symbol Språk, symbol och
bild
Språk och bild Kombination
innehållande konkret modell Antal uppgifter som innehåller respektive kombination av representationsformer
17 Språk, symbol och bild
Att lägga till representationsformen bild till kombinationen språk och symbol förekom i 71 av 174 uppgifter. Figur 10 nedan visar ett exempel på en uppgift där representationsformerna kombineras. Genom att kombinera representationsformen bild och symbol, i detta fall en bild föreställande kulor och en symbol som representation för en siffra, skapas ett erbjudande som möjliggör för elever att se det antal som siffran representerar. I exemplet används representationsformen språk för att tillskriva uppgiften information kring hur kulorna som ligger i en rad med hjälp av ett streck skall delas upp, hur siffror som symbol ska användas för att visa de olika sätt som talet 5 kan delas i två delar samt för att beskriva hur bilden, föreställande händer som håller i kulor kan användas för att söka efter den saknade delen.
Figur 10: Matte Eldorado 1A, kapitel 1. ”5-kamraterna”. (Olsson & Forsbäck, 2015a, s. 14)
Språk och bild
I 18 av 174 uppgifter förekom kombinationen språk och bild. Figur 11 visar ett exempel på en uppgift där representationsformerna kombineras. Representationsformen språk syftar i uppgiften till att tillskriva uppgiften information. Det är genom representationsformen språk som talet 5, helheten framkommer. Vidare används representationsformen bild för att visa en av de två delar som talet 5 kan delas upp i. Bilden föreställande bollar visar det antal som finns synliga, vilka kan räknas ett-till-ett. I exemplet är elevens uppdrag att finna den saknade delen samt ange den siffra som representerar det antal bollar som är i lådan.
18
Figur 11: Mitt i Prick matematik 1A, kapitel 2. ”Hur många bollar är i lådan”. (Mårtensson & Öhman, 2016a, s. 36)
Konkret modell
I 5 av 174 uppgifter återfinns erbjudanden av konkret modell som representationsform. I läromedlet Prima matematik 1A och Matte Eldorado 1A fanns 2 erbjudanden och i Mondo matematik 1A fanns ett erbjudande, innehållande konkret modell. I övriga läromedel som analyserats saknades erbjudanden av konkret modell i uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer utifrån en strukturell konstruktion. I de uppgifter där erbjudanden av
konkret modell återfanns skedde det genom att uppgifter kombinerades med
representationsformerna språk, symbol och bild, språk och symbol eller språk och bild. Figur 12 visar ett exempel där representationsformerna språk, symbol och konkret modell kombineras. I exemplet uppmanas elever via representationsformen språk att använda en
konkret modell laborativt, i detta fall att ta fram ”plockisar”. Vidare används
representationsformen språk för att tillskriva uppgiften information i form av att talet 5 ska delas upp på olika sätt samt att eleven ska skriva de olika sätt som talet kan delas upp i. Representationsformen symbol används för att representera det antal ”plockisar” som visar de olika sätt på vilket talet kan delas upp i.
Figur 12: Prima matematik 1A, kapitel 1. ”Dela upp talet 5 på olika sätt”. (Brorsson, 2019a, s. 27)
Sammanfattningsvis visar analysen att det i uppgifter som behandlar tal del-helhetsrelationer återfinns erbjudanden av olika representationsformer samt olika kombinationer av dessa. Genom att uppgifter erbjuder olika representationsformer samt kombinationer av dessa möjliggörs det för elever att se relationen mellan tal och inom tal på mer än ett sätt. Exempelvis genom att växla mellan representationsformen bild, som visar antal objekt, och en symbol, som en representation för ett antal.
19
5.3 Uppgifters utformande för att synliggöra tals
del-helhetsrelationer
Uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer syftar till att elever ska urskilja relationen mellan tal och inom tal. Ett tal, helheten kan delas upp i två delar i olika kombinationer (se figur 2, s. 7). För att besvara frågan: Hur är uppgifter utformade för att
erbjuda elever att se tals del-helhetsrelationer samt se de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp? har uppgifterna analyserats utifrån en kvalitativ dataanalys. I analysen framkom
följande skillnader i utformandet av uppgifter:
Struktur: Uppgifterna är utformade utifrån tillvägagångsätten, strukturerat eller
ostrukturerat. Ett strukturerat utformande för att visa tals del-helhetsrelationer kännetecknas av samtidighet, vilket innebär en samtidig närvaro av delarna och helheten. Ett ostrukturerat utformande saknar samtidighet.
Visar olika sätt på vilket ett tal kan delas upp: Uppgifterna är utformade för att i olika
utsträckning synliggöra ett tals kombinationer. Uppgifter kan vara utformade för att synliggöra ett sätt eller flera sätt.
Inkluderar talet 0: Uppgifterna är utformandet för att visa ett tals kombinationerna utifrån
figur 2 (s. 6) eller med ett tillägg där kombinationer innehållande talet 0 är inkluderat.
Systematiskt: Uppgifterna är utformade utifrån tillvägagångsätten, systematiskt eller ej
systematiskt. Vid ett systematiskt utformande skapas erbjudanden av att urskilja hur helheten och delarna förhåller sig till varandra på ett systematiskt sätt. Det kan exempelvis ske genom att när ena delen ökar med ett, minskar den andra med ett för att helheten ska vara densamma.
För att synliggöra skillnader i uppgifters utformande kommer en checklista att användas (figur 13). Checklistan utgår från följande punkter: struktur, visar olika sätt på vilket ett
tal kan delas upp, inkluderar talet 0 samt systematiskt.
20
5.3.1 Ostrukturerat utformande
I analysen framkom att 82 av 174 uppgifter erbjuder elever ett ostrukturerat utformande. Ett ostrukturerat utformande innebär att samtidighet för att urskilja ett tals del-helhetsrelationer saknas. I Figur 14 återfinns uppgiften ”Ringa in 5-kamrater” vilken erbjuder elever ett ostrukturerat utformande. I uppgiften är elevers uppdrag att utifrån ett bestämt tal finna två tal som tillsammans bildar helheten. I uppgiften möter elever olika talkort och ska utifrån dessa urskilja vilka som är talet 5:s olika kombinationer. I uppgiften återfinns inte erbjudanden om samtidighet utan elever behöver på egen hand hitta en strategi för att kombinera talen och därmed se hur de relaterar till varandra.
Figur 14: Matte Eldorado 1A, kapitel 1. “Ringa in 5-kamrater”. (Olsson & Forsbäck, 2015a, s. 15)
Ytterligare ett exempel på en uppgift som erbjuder ett ostrukturerat utformande visas i figur 15. Uppgiften innebär att elever utifrån ett bestämt tal ska finna två tal som tillsammans bildar helheten. I uppgiften möter elever olika förslag på kombinationer och ska utifrån dessa urskilja vilka som är talet 10:s olika kombinationer. Likt uppgiften i figur 14 återfinns inte samtidighet vilket innebär att delarna och helheten inte synliggörs samtidigt.
21
Figur 15: Mera Favorit matematik, kapitel 4. ”Hitta 10-vägen” (Haapaniemi, Mörsky, Tikkanen, Vehmas &
Voima, 2013, s. 136).
5.3.2 Strukturerat utformande
I analysen framkom att 92 av 174 uppgifter erbjuder elever ett strukturerat utformande. Ett strukturerat utformande innebär att samtidighet för att urskilja ett tals del-helhetsrelationer erbjuds i uppgiften. Figur 16 nedan visar ett exempel där elever erbjuds en uppgift som har ett strukturerat utformande. Med hjälp av ett triaddiagram synliggörs relationen mellan delarna och helheten, vilket i sin tur möjliggör en samtidig närvaro av dessa.
Figur 16: Mondo matematik 1A, kapitel 2, “Skriv färdigt” (Brorsson, 2015a, s. 83).
Visar de olika sätt på vilket ett tal kan delas upp
Ytterligare ett exempel där elever erbjuds en uppgift som har ett strukturerat utformande visas i figur 17. Uppgiftens utformande påminner om det triaddiagram som visas i figur 16. I uppgiften används ett additionstecken för att sammanbinda delarna. Delarna skrivs även i ett hjärta för att förtydliga relationen mellan talen. Över hjärtat finns talet 10,
22
helheten angett. Utifrån uppgiftens utformande synliggörs relationen mellan delarna och helheten, vilket innebär att det erbjuds en samtidighet. I exemplet synliggörs talet 10:s olika kombinationer. De kombinationer som synliggörs i exempel är 1│9│10, 5│5│10, 2│8│10, 4│6│10, 3│7│10 och 6│4│10. Det innebär att kombinationen som inkluderar talet 0 ej återfinns i uppgiften.
Figur 17: Mera Favorit matematik 1B, kapitel 1, ”Skriv 10-kompisar” (Haapaniemi et al., 2013, s. 146).
Inkluderar talet 0
Vidare visar figur 18, i uppgiften ”skriv 5-kamraterna” ett exempel som synliggör talet 5:s olika kombinationer där även kombinationen som inkluderar talet 0 återfinns. De kombinationer som synliggörs i exempel är: 1│4│5, 3│2│5, 5│0│5 och 2│3│5.
Figur 18: Matte Eldorado 1A, kapitel 2, “Skriv 5-kamraterna” (Olsson & Forsbäck, 2015a, s. 49).
5.3.3 Synliggör ett tals del-helhetsrelationer systematiskt
Analysen av uppgifterna visar på skillnader i hur ett tals kombinationer synliggörs. De skillnader som framkom visar att hur ett tals kombinationer med hjälp av ett strukturellt utformande synliggörs är av betydelse för vad elever erbjuds att urskilja. I analysen
23
framkom två skilda sätt att synliggöra ett tals kombinationer systematiskt, vilka redogörs för nedan.
Kompensatorisk struktur
Det ena sättet att synliggöra ett tals kombinationer systematiskt framkommer i figur 19. I uppgiften är helheten 9 konstant medan delarna varierar. Utifrån ett strukturell utformande bestående av två sidor ska eleverna ange det antal bollar som är på respektive sida. Eleverna ska ange antalet genom att skriva den siffra som representerar antalet. På följande vis skrivs kombinationerna på ett systematiskt sätt: 1│8│9, 2│7│9, 3│6│9 och 4│5│9. Därefter skrivs kombinationerna i en omvänd ordning: 5│4│9, 6│3│9, 7│2│9 och 8│1│9. Genom detta sätt att skriva kombinationerna synliggörs hur helheten och delarna förhåller sig till varandra på ett systematiskt sätt. I exemplet synliggörs att när ena delen ökar med ett, minskar den andra delen med ett för att helheten ska vara densamma.
Figur 19: Mitt i Prick matematik 1A, kapitel 3, ”Hur många bollar är det på varje sida?” (Mårtensson & Öhman, 2016a, s. 93)
Ytterligare ett exempel på en uppgift som systematiskt visar ett tals kombinationer återfinns i figur 20. I uppgiften är helheten, 10 konstant medan delarna varierar. Utifrån ett strukturellt utformande, likt en 10-mask ska eleverna med hjälp av matematiska symboler beskriva vilka mönster de ser, alltså relationen mellan de tal som utgör delarna. På följande vis skrivs kombinationerna på ett systematiskt sätt:
10 + 0 = 10 9 + 1 = 10 8 + 2 = 10 7 + 3 = 10 6 + 4 = 10 5 + 5 = 10
Därefter skrivs kombinationerna i en omvänd ordning: 4 + 6 = 10, 3 + 7 = 10, 2 + 8 = 10, 1 + 9 = 10 och 0 + 10 = 10. Likt exemplet i figur 19 synliggörs hur helheten och delarna förhåller sig till varandra på ett systematiskt sätt. I exemplet synliggörs att när ena termen ökar med ett, minskar den andra termen med ett för att summan ska vara densamma.
24
Figur 20: Matte Eldorado 1A, kapitel 4. “Vilka mönster ser du?” (Olsson & Forsbäck, 2015a, s. 87)
Struktur som synliggör kommutativitet
Det andra sättet att synliggöra ett tals kombinationer systematiskt framkommer i figur 21. I uppgiften är helheten, 5 konstant medan delarna varierar. Utifrån ett strukturellt utformande bestående av bollar i olika färger ska eleverna med hjälp av siffror skriva de olika kombinationerna. På följande vis skrivs kombinationerna på ett systematiskt sätt: 4│1
1│4 3│2 2│3 5│0
Genom att skriva kombinationerna på ett systematiskt sätt likt ovan skapas ett erbjudande av att urskilja, inte bara ett tals del-helhetsrelationer utan även additionens kommutativa egenskap.
25
Figur 21: Matte Eldorado 1A, “Skriv hur många gula och röda bollar det är i varje mönsterdel” (Olsson &
Forsbäck, 2015a, s. 13)
Sammanfattningsvis visar analysen att hur uppgifter är utformande har betydelse för vad elever erbjuds att urskilja. Genom att uppgifter erbjuder ett strukturerat utformande för att synliggöra ett tals del-helhetsrelationer möjliggörs en samtidig närvaro av delarna och helheten. Analysen visar att i uppgifter som visar de olika sätt, på vilket ett tal kan delas, möjliggör för elever att urskilja att storleken på delarna kan variera. Detta synliggörs genom att ett tal, helheten hålls konstant medan delarna varierar. Vidare visar analysen att uppgifter som har ett systematiskt utformande samtidigt som de visar de olika sätten, på vilket ett tal kan delas, inte bara gör det möjligt gör elever att urskilja de olika kombinationerna. Genom att uppgifter erbjuder ett strukturerat utformande samtidigt som ett tals olika kombinationer synliggörs systematiskt kan elever urskilja en kompensatorisk struktur i relationen mellan delarna samt även en struktur som synliggör additionens kommutativa egenskap.
26
6 Diskussion
I följande avsnitt diskuteras tillvägagångssätt för studien utifrån insamling av material och vald metod för analys samt studiens resultat utifrån annan forskning inom området.
6.1 Metoddiskussion
Läromedel valdes utifrån urvalsprinciperna, godtyckligt urval samt bekvämlighetsurval (Larsen, 2017). Hade det exempelvis gjorts utifrån ett obundet slumpmässigt urval hade alla enheter av kategorin haft samma möjlighet att inkluderas i studien (Bryman, 2011). Det innebär att val av urvalsprincip för studien kan ha påverkat utfallet.
Kriterier för inklusion kan också ha påverkat utfallet. Om kriterier inkluderat läromedel som riktar sig till fler årskurser hade uppgifters erbjudanden av tals del-helhetsrelationer kunnat studerats över en längre tid. Det vore intressant eftersom forskning indikerar att undervisningen under en längre tid behöver erbjuda elever uppgifter kring tal samt relationen inom och mellan tal (Cheng, 2011; Ekdahl et al., 2016; Jung, 2011; Sophian & McCorgray, 1994). Dock visar resultatet att elever endast i en begränsad utsträckning erbjuds uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer utifrån en strukturell konstruktion i läromedelsseries andra del för årskurs 1. Det indikerar att kriterier som inkluderar läromedel för högre årskurser inte vore relevant. För att kunna studera uppgifters erbjudande över en längre tid skulle kriterier som inkluderar läromedel som är framtagna att användas i förskoleklass vara av större intresse. Om kriterier inkluderat läromedel som var utgivna när andra läroplaner än LGR11 var aktuella hade de varit möjligt att i studien undersöka hur uppgifters erbjudanden har förändrats över tid. Eftersom studiens syfte var att bidra med kunskap samt utveckla ett analytiskt tänkande kring, val av samt användningen av läromedel i matematikundervisningen ansågs det vara av större intresse att studera de läromedel som är aktuella och används i dagens matematikklassrum. Om kriterier inkluderat exempelvis lärarhandledningar hade uppgifter som elever möter genom lärares val av exempel i en större utsträckning kunna studeras. Utifrån Johanssons (2006) studie, som syftar till att undersöka läromedels användning i klassrummet ur olika perspektiv framkom att läromedel inte bara påverkar vilka uppgifter som elever möter under det enskilda arbetet utan också vilka exempel som lärare lyfter vid genomgångar. Det vore intressant att undersöka vilka uppgifter som lärare lyfter, vilka kan vara hämtade från läromedel som elever använder vid enskilt arbete samt från exempelvis en lärarhandledning.
Vid analys av insamlat material valdes en kvantitativ innehållsanalys och en kvalitativ dataanalys. Det visade sig dock i valet av den kvantitativ innehållsanalysen att en svårighet med metoden var att placera in de olika uppgifterna i de på förhand skapande kategorierna. Detta eftersom det vid kodning finns ett visst utrymme för tolkning. Bryman (2011) lyfter fram att det är viktigt att kategorierna som skapas är tydliga för att begränsa
27
tolkningsutrymmet och därmed öka reliabiliteten. Exempelvis var en svårighet att koda materialet utifrån kategorin språk. Vid analysen framkom att språk används både för att ge instruktioner kring elevens uppdrag samt för att exempelvis ange det tal som ska delas upp i mindre delar. För att minska tolkningsutrymmet och därmed öka studiens reliabilitet gjordes förtydligande i beskrivningarna för kategorierna. Vidare lyfter Bryman (2011) att en svaghet med en kvantitativ analys är att vikten på det innehåll som lyfts fram hamnar på det som går att mäta, i detta fall antalet uppgifter med en viss karaktär. Genom att studien inleddes med en kvantitativ analys kunde förekomsten av uppgifter utifrån en bestämd karaktär urskiljas. Det gjorde det sedan möjligt att med hjälp av en kvalitativ analysmetod urskilja skillnader i uppgifters utformande. Den kvalitativa analysen bidrog till att stegvis upptäcka skillnader vilket i sin tur bidrog till ett större djup i resultatet. Genom att kombinera en kvantitativ och en kvalitativ analysmetod anser jag att studiens validitet ökar.
6.2 Resultatdiskussion
Resultatet i denna studie indikerar att uppgifters utformade påverkar de erbjudanden som elever möter i läromedel. Det är dock viktigt att ta i beaktning att studiens syfte inte var att undersöka hur elever uppfattar de erbjudanden som finns i läromedel utan vad som erbjuds.
Resultatet visar att antalet uppgifter som behandlar tals del-helhetsrelationer i läromedelsseries andra del för årskurs 1 är relativt få. Jag ställer mig därav frågan om det finns en generell uppfattning av att elever redan på vårterminen i årskurs 1 förväntas ha befäst tals del-helhetsrelationer. Det finns dock forskning som pekar på att så inte är fallet för alla elever samt att de matematiksvårigheter som elever påvisar i de tidiga årskurserna tenderar att kvarstå även efter att de gått ur grundskolan (Neuman, 1989). Neuman lyfter fram ett exempel med en gymnasieelev som visar på svårigheter i förståelsen av tals del-helhetsrelationer. I exemplet svarar eleven på frågan 2 + _ = 9: ”Det måste bli sex ...”. Sedan ger eleven följande redogörelse:
-Två plus sex är nio.
-Hur tänker du när du vet det?
-(fem sekunders paus). Jag tänker sex…nej, det är de´ inte…fem…nej de´ e´ fel…sju plus två ska det va´ i nian… (Neuman, 2013, s. 14)
Eleven i exemplet ser inte helheten och delarna samtidigt utan måste uppskatta eller räkna men tappar bort sig. Vidare undersöker Kullberg et al. (u.å) i en pågående studie det faktum att lärare i årskurs 1–3 upplever att elever har svårt med tiotalsövergång. De lyfter fram att elever inte använder sig av tals del-helhetsrelationer när de löser uppgifter med tiotalsövergång, såsom exempelvis 15 − 7 = __. Istället använder elever enklare och mer tidskrävande strategier såsom att räkna ett-till-ett. Det vore intressantatt undersöka om den undervisning som eleverna mött, på ett liknade sätt som resultatet i denna studie indikerar,
