Algebraiska aktiviteter inom gymnasiets Samhällsprogram

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, Miljö, Samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng

Algebraiska aktiviteter inom gymnasiets

Samhällsprogram

Algebraic activities within the Social Science Programme at

upper secondary school

Åsa Wikborg

Lärarexamen 270 hp Examinator: Tine Wedege

Matematik och lärande

3

Sammanfattning

Syftet med arbetet är att undersöka i vilken mån algebraiska aktiviteter förekommer på Samhällsprogrammet på ett gymnasium. Undersökningen har genomförts på en

gymnasieskola i södra Sverige med kvalitativa intervjuer av matematiklärare som undervisar i matematik B på Samhällsprogrammet. En textanalys av lärobok och lärarhandledning, som används på det aktuella programmet, har också gjorts med avseende på algebraiska aktiviteter. Resultatet visar att det på den aktuella skolan förekommer en del aktiviteter som variation till enskild räkning i läroboken. Resultatet visar också att de aktiviteter som är mest förekommande är av karaktären

transformerande. Slutsatsen är att det i viss mån bedrivs en varierad undervisning i algebra på skolans matematikkurs B, Samhällsprogrammet.

5

Innehåll

Sammanfattning ... 3

Inledning ... 7

Syfte och frågeställningar ... 7

Teoretisk bakgrund ... 8

Algebra ... 8

Skolalgebra ... 9

Att undervisa i algebra ... 10

Läroplaner och styrdokument ... 11

Kursböcker ... 13 Algebraiska aktiviteter ... 13 Spel ... 14 Laboration ... 15 Problemlösning ... 15 Modellering ... 16 Metod ... 16 Undersökningsmetoder ... 16

Kvalitativa och kvantitativa intervjuer ... 16

Textanalys ... 17

Tillvägagångssätt ... 17

Informanter ... 17

Studie av läroböcker ... 18

Validitet och Reliabilitet ... 19

Urval ... 20

Informanter ... 20

Läroböcker och lärarhandledningar ... 20

Resultat ... 21

Intervjuer ... 21

Undersökning av förkunskaper ... 21

Introduktion av området algebra... 21

Problemområden ... 22

Förekomst av aktiviteter ... 23

Lärobok och lärarhandledning ... 24

Exponent Gul ... 24

Matematik 3000 ... 25

Diskussion ... 26

6

Förekomst av algebraiska aktiviteter på Samhällsprogrammet ... 27

Algebraiska aktiviteter i lärobok och lärarhandledning ... 28

Lärarnas uppfattning om algebraiska aktiviteter i undervisningen ... 28

Lärares fortbildning ... 29

Konsekvenser för mitt framtida yrkesutövande... 30

Referenslista ... 32

Bilaga 1. Algebrakapplöpning

Bilaga 2. Schema för kategorisering av aktiviteter Bilaga 3. Intervjufrågor

7

Inledning

Arbetet handlar om algebraiska aktiviteter. En algebraisk aktivitet kan vara ett matematikspel, laboration, eller en gruppaktivitet av formen större

problemlösningsuppgift. Studien behandlar algebra på gymnasienivå och vad lärare anser om aktiviteter som en möjlig väg i undervisningen för att öka förståelsen och intresset för matematik.

Ett önskemål från min partnerskola var att undersöka varför elever som läser Samhällsprogrammet har svårare för Matematik B-kursen än elever som valt det Naturvetenskapliga programmet. Eftersom algebra är ett av mina favoritmoment i matematiken har jag valt att fokusera endast på detta. Jag anser att det är viktigt att kunna hantera algebraiska uttryck på ett korrekt sätt, bland annat för att det ligger till grund för förståelse om funktioner och ekvationer. Efter att själv ha arbetat som lärare och undervisat i Matematik B har jag insett att det behövs något mer än endast en presentation av de algebraiska reglerna på tavlan och färdighetsträning med uppgifterna från läroboken. För att riktigt behärska algebran, och för att se dess styrka krävs det att eleven har mer än en instrumentell förståelse. En möjlig väg, anser jag, är att genomföra algebraiska aktiviteter på matematiklektionerna. Denna studie undersöker i vilken utsträckning lärare på en gymnasieskola i Skåne använder algebraiska aktiviteter och vilken sorts aktiviteter det är. Jag undersöker också vad läroböckerna och

lärarhandledningarna tar upp om ovanstående.

Syfte och frågeställningar

Syftet med arbetet är att undersöka vilka algebraiska aktiviteter som förekommer på gymnasiet och om de kan underlätta elevers inlärning. Undersökningen ska svara på vad lärare anser elever har svårast för i algebra och om de har några undervisningsmetoder utöver läroboken. Vad de aktuella läroböckerna och lärarhandledningarna tar upp om algebra och aktiviteter ska också undersökas.

 Vilka sorts algebraiska aktiviteter används i Matematik B-kursen inom Samhällsprogrammet på en gymnasieskola, enligt lärarna?

 På vilka sätt tar den aktuella läroboken upp sådana aktiviteter och hur presenterar lärarhandledningen avsnittet algebra?

8

Teoretisk bakgrund

Algebra

I många matematikböcker kan man läsa om algebrans väg till Norden via araberna. Ca 300 e Kr verkade astronomen och matematikern al-Khwarizmi i Visdomens hus i Bagdad. Han skrev en bok med titeln al-jabr, överföring av termer (Björk, Borg m fl. 2000) som har grundat nutidens namn algebra.

Historiskt sett har algebra sitt ursprung i det antika Grekland.

Charbonneau (1996) skildrar algebrans uppkomst som en matematisk teori utvecklad under tusen år. Den har sitt ursprung både i aritmetiken och i geometrin. I Euklides elementa löses geometriska resonemang med hjälp av algebra där mängder jämförs. Detta var den rådande teorin fram till år 1484 då Nicolas Chuquet skrev La triparty en

la science des nombres där han löser geometriska problem med algebraiska

beteckningar. Men den algebra som svenska elever möjligtvis känner igen från sina matematiklektioner utvecklades runt 1600-talets mitt, främst av matematikerna Viète och Descartes. Viète separerade till vissa delar algebran från geometrin i Introduction to

the Analytic Art (Charbonneau, 1996). Symbolisk algebra blir nu ett verktyg för att lösa

problem. Descartes teori kallas analytisk geometri och är en vidareutveckling av Viètes arbete. Charbonneau menar att algebra inte alldeles enkelt kan sammanfattas på grund av dess ursprung i både geometrin och aritmetiken. Bell (1996) resonerar kring

algebraiskt tänkande och menar att de finns en multiplicitet i begreppet, det är kanske omöjligt att bygga ihop grundläggande aritmetik, algebra och geometri till en harmonisk enhet eftersom det har en så splittrad historia.

Det är ändå nödvändigt att på något sätt definiera algebra för att vidare kunna definiera skol-algebran. Wheeler (1996) ger ett förslag på vad algebra är:

 ett symboliskt system

 kalkylering – beräkningar av numeriska lösningar till matematiska problem

 ett representationssystem som matematiserar situationer och upplevelser Det finns också en bredare definition av vad algebra är enligt Persson (2010), som innefattar allt från pre-algebra, algebraiskt och relationellt tänkande, funktioner och abstrakt algebra.

9 Skolalgebra

Flertalet människor uppfattar skol-algebran som endast en bokstavsräkning; ”räkna med x och y”. Det obekanta talet när det handlar om algebra, oftast bokstaven x, kan

representera många saker. Dels kan det vara ett obekant tal i en ekvation, dels ett tal som varierar i en funktion. Bokstavssymbolen kan representera hela fyra aspekter; obekant, mönsterbeskrivande, variabel eller symbol (Usiskin, 1998, citerad i Nämnaren Tema, 2004). För att hantera algebraiska uttryck krävs det att man kan översätta en situation eller problem till ett uttryck, manipulera uttrycket, det vill säga skriva om det och även tolka uttrycket. Eleven måste kunna förstå och hantera algebran utifrån två olika synsätt, nämligen både som process och objekt (Persson 2010). Det första innebär en operationell och det andra en strukturell känsla för uttrycken.

Ett uttryck för matematisk förmåga är number sense som jag här översätter med talförståelse. Det betyder kortfattat att ha förmågan att hantera beräkningar utan att tillgripa mekanisk kunskap som är instrumentellt inlärt. Arcavi (1994) kopplar ihop förmågan att hantera algebraiska uttryck med symbol sense, symbolförståelse.

Even those students who manage to handle the algebraic techniques successfully often fail to see algebra as a tool for understanding, expressing, and communicating generalizations, for revealing structure, and for establishing connections and formulating mathematical arguments (proofs).

(Arcavi, 1994, sid 24)

Elever som lär sig algebraiska regler utan att ha någon uppfattning om varför

lösningsmetoden gäller, riskerar att misslyckas när de träffar på liknande uppgifter i ett annat sammanhang exempelvis problemlösning. Arcavi ger i sin artikel exempel på vad symbolförståelse skulle kunna vara utan att direkt definiera begreppet. Nedanstående uppräkning är min egen översättning:

 Förmåga att avläsa algebraiska uttryck och göra uppskattningar av mönster som uppträder i numerära eller grafiska presentationer

 Förmåga att göra jämförelser mellan funktioner av formen n, n2, n3,…, nk

 Förmåga att tolka värden i tabell, ur en funktion eller översätta en situation presenterad som text för att identifiera den troliga formen av en algebraisk regel som beskriver det lämpliga mönstret

10

 Förmåga att tolka algebraiska operationer och förutsäga dess resultat eller bedöma resultatet utifall det har blivit korrekt genomfört

 Förmåga att bestämma vilken av flera jämbördiga uttryck som är mest lämplig att besvara olika frågeställningar

Ett exempel är ekvationen . Om den löses instrumentellt genom att multiplicera nämnaren på båda sidor och lösa ut x, fås lösningen vilket ger nämnaren värdet noll. Det finns alltså ingen lösning eftersom täljaren är halva nämnaren. Arcavi (1994) hävdar att en förståelse för symboler krävs för att tolka liknande uttryck och inse, utan att utföra några manipulationer, att ekvationen saknar lösning.

Hur bedrivs då den undervisning som medför att eleven når dit? Även denna fråga förblir obesvarad men ett par implikationer delges läsaren (Arcavi, 1994); att algebra presenteras i varierande kontexter för att utveckla förståelsen för hur och när manipulationer ska utföras, att teknologiska verktyg är möjliga hjälpmedel att använda för undersökande laborationer, att läraren uppmuntrar alternativa lösningsmetoder för att upptäcka beröringspunkter mellan dessa och de algebraiska. Slutligen föreslår Arcavi klassrumsaktiviteter som stimulerar till Vad händer om-frågor där symboler och regler ifrågasätts.

Persson (2010) hävdar att elevers svårigheter med algebra ibland uppstår ur missuppfattningar om vad symbolerna står för. De blandar exempelvis ihop

parametrar och variabler i ett uttryck, eller hanterar minustecknet felaktigt. Han skildrar förmågan att förstå och behärska algebra både operationellt och strukturellt som

strukturkänsla. Liksom symbolförståelse är strukturkänsla att inte bara lära sig

instrumentell hantering utan att utveckla förmågan att se ett algebraiskt uttryck som en helhet, känna igen det från tidigare strukturer och veta vilka manipulationer som ska, och är fruktsamma, att utföra (Hoch & Dreyfus 2004, citerad i Persson 2010).

Att undervisa i algebra

Mason (1996) påstår att algebran är en vattendelare för många människor. Med det menar han att elever som inte har större problem med matematiken stöter på svårigheter när de kommer till den abstrakta algebran. Detsamma visar Oltenau (2003) i sin rapport. Det som framkommer är att flera faktorers påverkan är väsentliga för elevers

kunskapsinhämtning. Bland annat nämns elevens motivation och lärarens inställning till ämnet som avgörande faktor för hur algebran uppfattas. Hennes slutsats om

11

algebraundervisning är att det är väsentligt att eleven inte bara utför mekaniska upprepningar utan också verkligen förstår vad de gör. Vidare hävdar hon att algebra måste bygga på begreppsförståelse, det vill säga eleven bör träna sig på att formulera hur han/hon tänker och reflektera över sina tankar.

Persson (2010) presenterar fyra olika vägar att närma sig algebra:

 Generaliseringsvägen

 Problemlösningsvägen

 Modelleringsvägen

 Funktionsvägen

Han menar att det är viktigt att variera undervisningen och utgå från olika vägar för att eleven ska ha möjlighet att uppnå både operationell och strukturell förståelse. En matematikkurs som varvar färdighetsträning, laborationer och problemlösning i olika former som räkning och gruppövningar är den bästa vägen för att uppnå detta. Persson poängterar att undervisningen ska utgå från matematiska aktiviteter som utvidgar elevens begreppsvärld;

Man skaffar sig istället kunnande inom algebra via ett

komplicerat samspel mellan förståelse och färdighet, och båda krävs för att ett symboliskt, algebraiskt tänkande ska kunna uppnås. (Persson, 2010, sid 127).

Läroplaner och styrdokument

I Skolverkets styrdokument, strävansmålen för ämnet matematik (Skolverket, 2008a) finner man många kopplingar till algebra. Målen beskriver bland annat att eleven ska beredas i sin utbildning: ”… förmåga att kommunicera med matematikens språk och

symboler, som är likartade över hela världen.” En tolkning kan vara att undervisningen

ska innehålla träning i att med algebra, som är matematikens symbolspråk, beskriva händelser eller samband. Dessutom anger målen att eleven ska bli medveten om hur denne tänker i olika matematiska situationer:

… utvecklar sin förmåga att reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i matematiken och sina egna matematiska aktiviteter….

(Skolverket, 2008a, hämtat från internet)

Algebra har utvecklats över tusentals år och eleven bör förslagsvis få en bild av hur denna progression har skett för att tillägna sig en vidgad bild av ämnet. Detta synsätt får stöd i Styrdokumenten:

12

Matematikens idéhistoria kan bidra till en bild av hur olika begrepp och samband utvecklats. Detta kan motverka uppfattningen om matematiken som ett opersonligt färdigt ämne som är uppbyggt av fasta regler som endast skall läras utantill. (Skolverket 2008a, hämtat från internet)

Sammanfattningsvis ges här ges en möjlig anvisning att det är olämpligt att eleven endast lär sig instrumentell hantering av de algebraiska reglerna.

Färdighetsträning av operationer som upprepas i uppgift efter uppgift lär eleven hur man gör i det specifika fallet men vari ligger den undervisningsbredd som

styrdokumenten då antyder? I kursplan för matematik B (Skolverket, 2008b) står det angivet att eleven ska lära sig att hantera algebraiska uttryck:

kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning. (Skolverket, 2008b, hämtat från internet)

Det är intressant att här koppla samman det första citatet till den algebraiska cykeln (Bell, 1996, citerad i Nämnaren TEMA, 2004) som beskriver de nödvändiga

kompetenserna:

För att eleven ska kunna tillämpa sin algebraiska kunskap vid problemlösning, som styrdokumenten kräver, behövs alla faserna i cykeln behärskas. Om detta förbises i

Algebraiskt uttryck Händelse Algebraiskt uttryck Översättning Tolkning Omskrivning

13

undervisningen förstår inte eleven algebran som både representativ och manipulativ (Nämnaren Tema, 2004)

Ytterligare ett avsnitt i kursplanen (Skolverket 2008b) kan kopplas till algebra: ”kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära

olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder”.Funktionsvägen är en av fyra inriktningar/vägar som kan användas för att bygga upp kunskaper i algebra (Persson, 2010). NCM:s rapport (Nationellt Centrum för Matematik, 2001) visar på försämrade resultat för svenska gymnasieelevers kunskaper i bland annat algebra. Rapporten framhäver att läraren ska arbeta för en klassrumssituation där eleven känner nyfikenhet och glädje med ett undersökande arbetssätt och problemlösning. En väg att nå dit är med algebraiska aktiviteter.

Kursböcker

Läroböckerna i matematik har över tid följt styrdokumenten (Jakobsson-Åhl, 2006). Den största förändringen inträffade under 1960 – 1970. Från att mestadels ha

presenterat skolalgebran som bokstavssymboler och manipulation av dessa visar nutidens böcker en mer nyanserad bild med grafiska presentationer. Sverige har, till skillnad från andra länder, funktionsavsnittet uppdelat i ett särskilt kapitel i

kursböckerna (Jakobsson-Åhl, 2006). Detta har medfört att övningsuppgifter där eleven tränar omformulering har minskat. Kursböckerna styr undervisningen i svenska

klassrum till övervägande del enligt en rapport från Skolverket (2003). Det är fortfarande sällsynt att lärare utgår från målen när de planerar sin undervisning.

Traditionell katederundervisning är den vanligaste formen för en matematiklektion där eleven väldigt ofta räknar enskilt i kursboken.

Algebraiska aktiviteter

En algebraisk aktivitet innebär ett hanterande av matematiska uttryck där det

förekommer symboler, bokstäver, vilket kan delas in i tre områden (Kieran, citerad i Persson 2010):

 genererande aktiviteter, utvecklande av förståelsen för symboler som generella tal, variabler och okända tal. Ett exempel är där elever i grupp undersöker studshöjd för olika bollar och ska bestämma en generell formel för beräkning av studshöjden.

14

 transformerande aktiviteter, utvecklande av manipulation och omformulering av algebraiska uttryck, där Matematikmemory är ett exempel på sådan aktivitet, se beskrivning nedan.

 Globala/metanivå-aktiviteter, utvecklandet av algebran som verktyg vid problemlösning, modellering, bevis. Här ingår båda ovanstående kategorier. Mönstergeneralisering är ett exempel på sådan aktivitet, där eleven ska lägga mönster av tändstickor och bestämma hur många stickor i figur n.

Att enskilt räkna uppgifter från läroboken som tränar faktorisering av uttryck är då egentligen en form av algebraisk, transformerande aktivitet. I denna studie gör jag en annan definition men använder mig av de beskrivna kategorierna; med algebraisk aktivitet menar jag elevaktivitet utöver enskild räkning i kursboken och lärarens genomgång av nytt stoff. Exempelvis kan aktiviteter betyda att man med hjälp av grafräknare/datorprogram undersöker algebraiska uttryck eller funktioner med avseende på parameterns betydelse. Under nedanstående rubriker presenteras aktiviteterna utifrån (undervisnings-)form och därefter angivit vilken kategori de tillhör. Spel

Spel definierar jag här som aktivitet där det ingår någon form av tävlingsmoment. Ett vanligt spel är Algebrakapplöpning. Spelplanen har formen av en kapplöpningsbana där olika algebraiska uttryck är skrivna, se bilaga 1. Eleverna tävlar två och två genom att kasta en eller två tärningar och beräkna värdet av uttrycket. Den som har störst värde när målet nås, vinner. En annan variant är aktiviteten ”Värdet av ett polynom” där principen är densamma som för Algebrakapplöpning men här väljer eleven själv vilket värde (av fyra möjliga) som ska gälla för kastet. Dessa båda är transformerande

aktiviteter.

Matematikmemory är ett annat spel där man precis som i vanligt memory ska para ihop två brickor. Eleven tränar på att se att två uttryck kan skrivas på olika sätt. Ett algebramemory, som är också är en transformerande aktivitet, går ut på att para ihop två kort med samma uttryck som är skrivet på två olika sätt, exempelvis ska paras ihop med uttrycket ( . Fördelen med dessa spel är bland annat att svårighetsgraden är enkel att variera. Inget av spelen ger eleven tillfälle att själv konstruera uttryck utan dessa fungerar mer som färdighetsträning på ett lustfyllt sätt.

15

Tankenötter, eller knep & knåp kan vara matematiska klurigheter där algebran är ett användbart redskap. Dessa tar, till skillnad från problemuppgifter, inte så mycket tid i anspråk. Ur rent definitionsmässig aspekt kanske detta inte räknas som algebraisk aktivitet, men det är en form av uppgift som avviker från läroboken. Syftet med en avbrytande aktivitet av denna art kanske inte främst är att eleven ska skaffa sig någon fördjupad kunskap inom något område, utan istället att skapa mer avslappnad och rolig gruppaktivitet.

Laboration

Laboration definieras som experimenterande aktivitet eller försök (Rystedt & Trygg, 2005). En laboration är strängt taget ett problem som löses i grupp men där mätningar förekommer. Ett exempel på en laboration är att eleverna ska mäta studshöjd för en boll och komma fram till ett samband mellan nedsläppshöjden och studshöjden (Olsson 1994). Detta är en algebraisk laboration med funktionsperspektiv där bokstäverna representerar variabler. Här tränar eleven på att finna samband mellan variabler och upptäcka på vilka olika sätt de kan presenteras, vilket hör till kategorin

global/metanivåaktivitet. I ämnet fysik är liknande laborationer vanligt förekommande, men för elever på andra program än naturvetar- och teknikprogrammet kan detta vara ett nytt angreppsätt för att förstå algebra.

Grafräknare eller datorprogram är hjälpmedel som kan användas i algebralaborationer. Exempelvis kan parametrars betydelse för linjära funktioner undersökas och presenteras både grafiskt och i tabellform. En sådan laboration hör till kategorin genererande karaktär eftersom eleven tränar förståelse av symboler som variabler och okända tal. Malmer (2002) hävdar att ett laborativt arbetssätt gynnar elever med svårigheter för matematik eller de som tycker ämnet är tråkigt. Genom att konkretisera en situation där eleven ser, upplever och samtalar om vad som händer förstärks dennes begreppsbildning.

Problemlösning

En textuppgift i läroboken är ingen problemuppgift i betydelsen skolmatematik enligt Björkqvist (2001). Han menar att ett problem definieras som en större uppgift där lösningsmetoden inte är given på förhand av lösaren. Problemlösning har visat sig vara utvecklande för den matematiska kommunikationen förklarar han. Algebra är verktyget som behövs för att bevisa att alla lösningar är funna. Om eleverna tränar på

16

pekar också på andra fördelar med att eleven får möta problemlösning i undervisningen. Bland annat kan nämnas att eleven tränar förmågan att läsa och tolka text, kritiskt granska resultat, skaffar en beredskap att hantera vardagsmatematik. Det finns tre lösningsstrategier i problemlösning; numeriskt prövande, laborativ/logisk och algebraisk (Malmer, 2002).

Modellering

Modellering, som är en sorts problemlösning i sig, utgår från en situation som inte betraktas som matematisk. Den beskrivs, undersöks och presenteras sedan med matematiska metoder. Ett exempel är ”Matematiska morgnar” (Blomhøj, 2006) där eleven arbetar i projektform för att beskriva sina vardagsmorgnar med matematik.

Metod

Undersökningsmetoder

För ett examensarbete som behandlar elevers intressen, värderingar eller lärares uppfattningar om undervisning, attityder eller planering lämpar sig intervjuer som metod väl enligt Johansson och Svedner (2006). De beskriver principerna för hur man får den intervjuande att ge svar som är fruktsamma att använda i studien. Bland annat föreslår de att man ska föra mindre stödanteckningar under intervjun för att på så sätt skapa tid för informanten att fullfölja sin tankegång utan att intervjuaren avbryter för tidigt. På så vis kan svaren bli mer uttömmande och informativa.

Enligt Johansson och Svedner (ibid.) kan enkäter vara en vansklig metod då svaren tenderar bli alltför kortfattade och svårtolkade. Denna metod var också något som min handledare avrådde mig ifrån. Eftersom jag inte var en alldeles obekant person för mitt urval passade dessutom intervjuer bättre.

Observationer är något som blivit vanligare senare år (ibid.). För att få ett större bredd i min studie, och kunna studera elevers agerande på lektioner där det förekom någon algebraisk aktivitet, hade denna metod varit att föredra. På min valda skola var avsnittet algebra redan genomfört varför jag inte hade möjlighet att utföra några observationer.

Kvalitativa och kvantitativa intervjuer

Kvalitativa intervjuer är en metod som används när man vill ta reda på attityder,

17

vill göra jämförelser och generaliseringar. Enligt Johansson och Svedner (2006) är fördelen med intervjuer att man får omfattande information om ett litet område. Mitt val av semistrukturerade intervjuer med fasta frågor motiveras med att mitt

undersökningsområde innefattade förekomsten av algebraiska aktiviteter i undervisningen, men studien innefattade också vilka attityder lärarna hade till algebraiska aktiviteter. Mitt urval var begränsat till en skola och de verksamma matematiklärarna. Eftersom urvalet endast inbegriper en skola har jag valt att inte presentera informanterna enskilt, detta för att säkerställa anonymiteten i största möjliga mån.

Textanalys

Komparativ undersökning innefattar en jämförelse av flera texter. Här ingår inte bara att beskriva och kritiskt granska utan även försöka förklara skillnaderna mellan dem. En textanalys av läromedel bör innehålla en viss form av kategorisering som kan användas för analys i resultatet (Johansson och Svedner 2006).

Jag har utgått från både Perssons (2010) sammanfattning av de fyra ingångarna till algebra (generalisering, funktion, problemlösning och modellering) och Kierans (Persson, 2010) tre kategorier (Genererande, Transformerande och

Global/Metanivå). Med dessa indelningar har jag skapat ett schema (bilaga 2) som jag använt till kategorisering av både uppgifter och aktiviteter.

Tillvägagångssätt

Intervjufrågorna, totalt sex, författades utifrån frågeställningarna, se bilaga 3. De första tre frågorna valde jag att ta med som inledning till intervjun och för att få igång

samtalet. De tre sista frågorna är direkt kopplade till frågeställningarna. Jag började med att personligen fråga de aktuella lärarna om de kunde tänka sig att ställa upp på en intervju. Totalt uppgick antalet till fem informanter. Jag förklarade kortfattat vad mitt examensarbete gick ut på och klargjorde att de skulle vara anonyma. Jag berättade också att jag ville spela in intervjun så att jag hade möjlighet att få med allt som sades. Alla lärarna accepterade att bli intervjuade. Jag hade på förhand skrivit ned frågorna, se bilaga 3 och diskuterat dem med min handledare. Intervjuerna tog mestadels plats i lediga klassrum, några utfördes i en någorlunda avskild del i personalrummet.

18

att lärarna var koncentrerade på intervjun och inte behövde stressa iväg till en lektion. Var intervju varade mellan 20-25 minuter. Alla intervjuerna spelades in med hjälp av en mobiltelefon. Dessförinnan hade jag kontrollerat kvaliteten på ljudfilerna och att dessa var möjliga att föra över till min arbetsdator. Under intervjuerna tog jag också

anteckningar i form av stödord för att lättare kunna sammanfatta resultatet av svaren. Efter att ljudfilerna överförts till datorn transkriberades de.

Studie av läroböcker

Matematikboken är oftast basen i undervisningen på gymnasieskolor idag. (Skolverket, 2003). Därför ansåg jag det intressant att studera vilket arbetsmaterial lärarna har att tillgå och i vilken omfattning algebraiska aktiviteter förekommer i kursböckerna. Med en lärobok följer alltid en tillhörande lärarhandledning. Många gånger finns det endast ett exemplar tillgängligt på skolorna. En lärarhandledning fungerar som ett stöd när läraren planerar sin undervisning. Det kan finnas exempel på diagnostiska prov eller extra övningar som läraren kan använda som kursmaterial. Förekomsten av mål från kursplanerna är också vanligt. I min studie av läroböcker och lärarhandledningar har jag utgått från följande frågeställningar:

 Vilka är de algebraiska aktiviteterna som tas upp i läroboken respektive handledningen?

 På vilket sätt förekommer de, som extraavsnitt eller del i kapitlet?

 Vilken kategori är vanligast, genererande, transformerande eller metanivå?

 Vad är de största skillnaderna/likheterna mellan böckerna i fråga om ovanstående?

Jag lånade alla böckerna på min partnerskola. Efter att ha gjort en grov översiktsläsning räknade jag igenom några valda uppgifter. Jag kategoriserade aktiviteterna utifrån det schema jag konstruerat i avsnittet Textanalys och antecknade förekomsten.

19

Validitet och Reliabilitet

Intervjuer mäter uppfattningar och beteenden (Johansson och Svedner 2006). Som enda observatör kan mina slutsatser ha färgats av mina subjektiva åsikter om algebraiska aktiviteter och om informanterna själva vilket påverkar reliabiliteten. Även

informanternas svar kan spegla det faktum att de är bekanta med mig. Jag försökte säkerställa reliabiliteten genom att spela in alla intervjuer och utföra intervjuerna på så liknande sätt som möjligt.

Validitet anger i vilken mån arbetsmetoderna är kopplade till undersökningen. Innehållsmässigt borde mina resultat täcka vad jag avsåg att undersöka, då jag begränsade mig till en enda skola. Jag har utförligt beskrivit tillvägagångssättet under rubriken Urval för att säkra den inre validiteten.

Begränsningen bidrar till att en generalisering inte kan göras. För att svara på frågan om algebraiska aktiviteter förekommer på Samhällsprogrammet generellt måste urvalet vara mycket större. I min projektplan stod först en undersökning av elevers uppfattning om algebraiska aktiviteter med. Min tanke var att genomföra en lektion med några elever där jag skulle leda en algebraisk aktivitet av karaktären laboration på metanivå. Eleverna på skolan avslutar kurs B innevarande termin och det fanns ingen lärare som var villig att frångå sin redan tidspressade planering och låta mig leda en lektion så kort tid innan kursprovet, med så kort varsel. Mitt arbete hade haft större yttre validitet, anser jag, om jag hade kunnat utföra denna laboration. Dessutom ger examensarbeten som baseras på en enda undersökningsmetod, så kallat platt design, större svårigheter att formulera diskussionsavsnittet (Johansson & Svedner, 2006). När inriktningen på min projektplan ändrades strök jag de frågeställningar som handlade om elevers synpunkter om algebraiska aktiviteter. För att till viss del komplettera den uteblivna

20

Urval

Eftersom jag tidigt i utbildningen har fått förfrågan från min partnerskola om att undersöka elever på Samhällsprogrammet har jag valt att begränsa min studie till algebraiska aktiviteter som förekommer i Matematik B-kursen.

Informanter

De lärare som undervisade eller nyligen hade undervisat i B-kursen på

Samhällsprogrammet var intressanta för mitt arbete. Skolan som valdes för min studie var min partnerskola. Jag har haft samma partnerskola under hela utbildningen och har god kännedom om hur undervisningen generellt bedrivs. Under senare år har det varit en del personalomsättning, flera av matematiklärarna har arbetat på skolan endast några år. Efter att precis ha fullföljt min verksamhetsförlagda tid kändes det naturligt att utföra intervjuerna på den aktuella skolan då jag lärt känna lärarna en del. Detta anser jag var en fördel för arbetet då jag kunde förvänta mig att ett visst förtroende för mitt arbete hade uppstått. Jag kunde också dra fördel av en mer avspänd intervjusituation jämfört med om jag aldrig träffat informanten ifråga, vilket bidrar till att lärarna ger ärligare svar på frågorna (Johansson och Svedner, 2006).

Läroböcker och lärarhandledningar

Då skolan nyligen bytt kursbok för Samhällsprogrammet har jag valt att ta med både den aktuella boken och den tidigare. Skälet till detta är att jag vill ha möjlighet att göra en mindre jämförelse mellan böckerna. Detta kan också vara till användning för matematiklärarna som just nu utvärderar den nya kursboken.

Detta läsår har eleverna haft Exponent Gul som ges ut av Gleerups förlag (Gennow, Gustafsson & Silborn, 2008). Serien Exponent förekommer i flera versioner med olika svårighetsgrad. Boken Exponent Gul har enligt författarna en svårighetsgrad som passar de elever som ska läsa kurserna A till B och kanske C. Till boken hör också en CD-skiva som är tänkt som ett komplement till lärarens teorigenomgångar. En sida på internet finns också att tillgå enligt boken, www.gleerups.se/exponent.

Den tidigare kursboken var Matematik 3000 (Björk, Borg m fl.2002). Även denna kursbok och dess lärarhandledning har granskats i min studie.

Jag har inte undersökt vilka algebraiska aktiviteter lärarhandledningen föreslår i boken Exponent Gul då den inte var inköpt på skolan.

21

Resultat

Intervjuer

Totalt intervjuades fem lärare. Alla har arbetat flera år på skolan, varav tre lärare har mer än tjugo års yrkeserfarenhet. Det är endast fyra av lärarna som innevarande termin har en grupp elever från Samhällsprogrammet i Matematik B. Den femte läraren ingick i urvalet på grund av att denne haft motsvarande grupper flera gånger tidigare.

Undersökning av förkunskaper

De senaste åren har skolan organiserat en nivågruppering för alla Sp-elever. Utifrån elevernas resultat och slutbetyg i Matematik A-kursen har klasserna delats upp i något mindre grupper om ca 25 elever vilket innebär att det finns en grupp mer än antal klasser. Man har plockat ut de högpresterande eleverna, de som förväntas ha möjlighet till MVG på B-kursen och satt dem i en grupp. Sedan har man sorterat ut de

lågpresterande eleverna som antas kräva mer lärarhandledning för att lyckas. Denna grupp är den minsta med endast 15 elever. Resterande ”mellannivå” har fördelats jämnt på resterande grupper/lärare. Detta framkommer när jag ställer första frågan om hur informanten undersöker förkunskaperna i algebra. Någon annan dokumentering om förkunskaper förekommer inte enligt lärarna. Inför Matematik A-kursen utförs ett diagnostiskt test som innefattar alla områden från kursen. Lärarna anger vidare att de har goda uppfattningar om var eleverna befinner sig utvecklingsmässigt, dels från kommunikationen i klassrummet, dels genom att ställa frågor direkt till eleven. Introduktion av området algebra

Alla informanter säger sig lägga introduktionen så nära elevernas egen vardag som möjligt. Med detta menar de att de kan börja med att ställa upp exempelvis aritmetiska termer som representerar pris på olika varor. Sedan byter de ut ett tal mot en bokstav, x. Då visar de på symbolhanterandet av algebran, att x står för ett okänt tal. En lärare börjar med att berätta om hur algebran utvecklats genom tiderna och var ordet algebra ursprungligen betyder. Men även denne läraren säger sig starta området med en genomgång som har en låg nivå begreppsmässigt men nära förankrat i elevens verklighet. Lärarnas svar är också samstämmigt vad gäller repetition av algebra som förekommer på A-kursen, någon lektion avsätts alltid för detta. Det de främst repeterar är då distributiva lagen, faktorisering, lösning av förstagradsekvationer. Ingen av lärarna säger att de börjar med en algebraisk aktivitet, efter genomgång tränar eleverna på

22

uppgifter i boken. Här bör återigen poängteras att funktionsavsnittet finns i ett särskilt kapitel vilket kommer före algebraavsnittet. Vid intervjuerna framkom det att

informanterna inte berättade om vad de gör i inledningen av funktioner eftersom det är så starkt avskilt. För alla lärare utom en krävdes det att jag kompletterade med en följdfråga om hur de introducerade funktioner (som också innehåller mycket algebra). Svaret jag fick var att de, med lite variation, hade en genomgång på tavlan av ett konkret exempel från elevens möjliga vardag (exempelvis årskort på ett gym där y är summan det kostar totalt, x är antal gånger man tränar) där slutklämmen resulterade i en linjär funktion som beskrev sambandet.

Problemområden

Samhällselevernas sämre prestationer i matematik, jämfört med

Naturvetenskapselevernas, är ofta uppe för diskussion bland lärarna. Den allmänna uppfattningen är att Sp-eleverna har svårt med det mesta i matematik, inte endast

algebra. Från intervjuerna framkommer det att lärarna är mest frustrerade över bristande kunskap om omskrivningar av algebraiska uttryck. De säger att eleverna exempelvis har svårigheter att förstå skillnaden mellan och . Även ekvationslösningar anges som ett område där de lägger mycket tid. De matematiska reglerna, kvadreringsreglerna, konjugatregeln, distributiva lagen är också något som eleverna har svårt att lära sig. Enligt lärarna är detta en sorts baskunskaper som måste behärskas för att kunna gå vidare med andragradsekvationer och funktioner varför dessa nämns som första prioritet.

Alla lärare har samma uppfattning om varför elever som valt

Samhällsprogrammet har sämre resultat än de elever som läser Naturvetenskap. I andra ämnen som fysik och kemi är det nödvändigt att kunna avancerad matematik, till exempel exponentialfunktioner och trigonometri. Formler för rörelse vid fritt fall resulterar ofta i att en andragradsekvation ska lösas och eleverna har då inga problem med att inse nyttan av att behärska algebra enligt lärarna. Från andra ämnen får de alltså naturligt utökad begreppsbildning i matematik. Att Sp-eleverna inte kan se nyttan med att lära sig abstrakt matematik är den huvudsakliga anledningen till lägre resultat eftersom det då inte finns någon motivation till att lära sig något, mer än för betygets skull menar lärarna.

Lärarna uttrycker också att elevernas negativa attityd till matematik är svår att komma förbi då den härrör från händelser i elevernas grundskoleutbildning. Deras

23

motstånd till ämnet och uppfattning om sig själv som icke-matematiska är fast

cementerat och lärarna anser inte att det går att arbeta bort på detta stadium. Vad gäller matematisk begåvning går åsikterna isär. Någon lärare säger att eleverna inte har den begåvningen eller känslan för matematik och därför inte heller kan nå upp till några goda resultat. Men de övriga anser att elevernas bristande intresse är den främsta orsaken, vilket de också säger visar på val av program.

Grundskolans hanterande av algebra är också en bidragande faktor enligt lärarna. Att omvandla algebraiska uttryck och förstå att bokstäver ibland står för ett obekant tal och ibland för en variabel kräver färdighetsträning. Denna träning bör starta tidigare i årskurserna och det är även grundskolans tidiga införande av räknare och dåliga undervisning som betraktas vara en del av problemet anser lärarna. En lärare menar att det är förekomsten av många obehöriga lärare på grundskolorna, de har anställts som billig arbetskraft av kommunerna för att spara pengar, och kvalitet på undervisningen uteblir av den anledningen påstår han.

Förekomst av aktiviteter

Det existerar en del algebraiska aktiviteter i undervisningen bland informanterna. Bland de intervjuade är det de som studerat på lärarutbildningen mindre än tio år tidigare som direkt förstår min fråga. De kan genast räkna upp flera aktiviteter och har lätt för att förklara varför de anser att det är en bra metod. Men alla lärarna säger sig någon gång i algebraavsnittet bryta med en gruppaktivitet av något slag. Det är endast en lärare som i år enbart bedriver så kallat traditionell katederundervisning. Han motiverar detta med sin negativa erfarenhet, eleverna har inte varit vana vid det och mer betraktat det som lek och studieron i klassrummet har uteblivit.

Begreppet aktivitet definieras av lärarna som en laboration, större gruppaktivitet eller ett matematikspel. Aktiviteterna bidrar till att elevernas förståelse blir bättre, det vill säga de har lättare för att se de olika uttrycksformerna i

kursböckernas uppgifter enligt lärarna. De känner inte heller lika stor rädsla för algebran om de har fått arbeta med det på ett annorlunda sätt, hävdar informanterna. Samtidigt kan de återkoppla till aktiviteten när de går djupare in i avsnittet. De upplever också att eleverna tycker lektionerna blir roligare och mer stimulerande när de får frångå

kursboken ibland. De lärare som har undervisat samma grupp i matematik och haft kontinuerligt varierande undervisning säger att elevernas syn på laborationer och spel är mer positiv än för de som inte är så vana vid arbetssättet.

24

Källorna till lektionsmaterial är varierande. De lärare med minst

yrkeserfarenhet anger nätet som främsta källa. De söker på varierande sidor, bland annat Nämnarens hemsida. Skolan prenumererar också på Nämnaren och den läses flitigt för inspiration enligt lärarna. Två lärare berättar att de gör egna aktiviteter. De tar uppgifter från boken eller kursprov och gör om till exempelvis söka mönster-aktiviteter.

Lärarhandledningar påstår alla använda för att finna material utöver kursboken, dock inte den aktuella kursbokens handledning som inte finns på skolan. De två lärarna som konstruerar egna aktiviteter anger dessutom att de även har material och förslag på aktiviteter från sin tid på lärarhögskolan.

Lärobok och lärarhandledning

Vid första anblicken har Exponent Gul en mer tilltalande struktur med fyrfärgstryck och foton till skillnad från Matematik 3000 med enfärgstryck och tecknade bilder. Den är också mycket tjockare då både A- och B-kursen ingår. Båda böckerna inleder sina kapitel på liknande sätt. Vart stycke börjar med en förklaring av de matematiska

begreppen följt av lösta exempel. Inledningarna är ofta kontextlösa, Exponent Gul har i liten grad fler förklaringar som kopplar till verkligheten. Upplevelsen av Matematik 3000 som tyngre är både bokstavligt och bildligt menat, boken har väsentligt fler uppgifter, ca 30 %. Ingen av böckerna tar upp grafräknare, eller har uppgifter som ska lösas med hjälp av sådana. Funktionsavsnittet kommer före algebran i båda böckerna. Exponent Gul

Matematiklärarna har innevarande läsår använt Exponent Gul (Gennow, Gustafsson & Silborn, 2008), som ska vara anpassad för elever som endast läser kurs B och möjligtvis C. Algebran kommer efter avsnittet om linjära funktioner och boken börjar med att repetera förenkling av uttryck. Genomgående i kapitlet finner man övningar av

rutinkaraktär som föregås av ett exempel. Dessa uppgifter utgör 90 % av hela kapitlet. Avsnitten avslutar med kontextbaserade uppgifter men dock väldigt få, ca 5 %. Dessa är ibland märkta med en eller två röda pilar vilket betyder att det är extra svåra uppgifter. Sist i algebrakapitlet visas tre uppgifter under rubriken ”Utmaningar” som enligt författarna: ”stimulerar din kreativitet och tränar färdigheten att lösa matematiska

problem.” (Gennow m fl.2008) De två första är av aritmetisk karaktär där egentligen

ingen algebra behövs men eleven bör upptäcka ett mönster. I den sista uppgiften får läsaren en formel med två variabler som beskriver kanonkulor staplade i en pyramid, se nedan. Här ska tre frågor besvaras varav den sista är av karaktären bevis, metanivå:

25 Kulor i fyrkant

På den tiden kanonkulor var klotrunda brukade de staplas i pyramidform. Om basen i pyramiden är en rektangel där den långa sidan har m st kulor och den korta sidan n st kulor blir det totala antalet kulor i pyramiden:

a) Hur många kulor är det i en pyramid med basen 10 x 8 kulor? b) Vilken bas har en pyramid som innehåller 2 091 kulor?

c) Formeln förutsätter att täljaren är delbar med 6. Är den alltid det? (Gennow m fl 2008, sid 92)

Funktioner av första graden inleder boken. Här förutsätter författarna att eleven har kunskaper från matematik A-kursen gällande de olika sätt ett samband mellan två variabler kan presenteras på. Av alla uppgifterna består 56 % av

färdighetsträningsuppgifter, transformerande, utan kontextuellt sammanhang. Hela 30 % av uppgifterna är textuppgifter och i 14 % av uppgifterna förväntas eleven

förklara/undersöka och skriva med ord sin slutsats. Även här avslutas kapitlet med 3 ”utmaningar” som kan betraktas som problemlösningsuppgifter.

Modelleringsperspektivet finns inte i boken. Matematik 3000

I kursboken för Matematik 3000 (Björk, Borg m fl. 2002) är linjära funktioner och algebra uppdelat i ett kapitel var. Algebrakapitlet innehåller även ekvationer och

funktioner av andra graden. Uppgifterna består mestadels av karaktären transformerande och genererande. Uppgifterna är angivna i svårighetsgrader kopplade till betygsnivåer. Det vill säga C-uppgifterna ska motsvara MVG-nivå. Dessa är av karaktären

Global/Metanivå då de kräver mer tankearbete av eleven. Vad gäller andra perspektiv förutom funktionsperspektivet, finner man till största delen generaliseringsperspektivet. Sist i vart kapitel återfinns en sida med rubriken ”Problemlösning” med 5 – 9 uppgifter. Några av dessa uppgifter är av transformerande karaktär, eleven ska förenkla eller beräkna ett komplicerat algebraiskt uttryck. Modelleringsperspektivet återfinns inte alls i någon uppgift.

Lärarhandledningen till Exponent Gul har inte inköpts i samband med kursböckerna, därför är den inte redovisad här. Istället har jag studerat Matematik 3000 kurs B. I den finns det flera förslag på aktiviteter. Författarna anger när dessa anses lämpliga att utföra.

26

Första aktiviteten är en sida med påståenden där eleven ska avgöra om det är sant eller falskt. Handledningen förklarar att aktiviteten ska hjälpa eleven att

reflektera över sina erfarenheter om uttryck, ekvationer och funktioner av första och andra graden. Syftet är att argumentera tillsammans med en kamrat och på så vis träna på att uttrycka sig matematiskt. Denna aktivitet är av genererande karaktär.

I lärarhandledningen finns också en laboration av metanivåkaraktär där eleven ska undersöka rektanglar med olika area men samma omkrets. Syftet med laborationen är att komma fram till en generell funktion som beskriver arean som funktion av basen. Här tränar eleven på att ställa upp, tolka en matematisk modell.

Sista aktiviteten är ett spel, en variant av algebrakapplöpning. Den

rekommenderas som avslutande aktivitet på avsnittet. Spelet består av tre ronder där den eleven med högsta summan på sina uttryck vinner de två första och den med minst summa vinner den sista ronden.

Diskussion

Från min lärarutbildning har jag fått mycket inspiration och material till att utveckla en varierad undervisning. Min litteraturstudie har dessutom bekräftat betydelsen av att arbeta med olika metoder i matematik och särskilt då algebra. De empiriska

undersökningarna jag har tagit del av förstärker min uppfattning om vikten av att

bedriva en konceptuell undervisning där eleven får möta olika arbetssätt. Jag har samma erfarenheter som de lärarna jag intervjuat vad gäller elevers svårigheter för algebra. Att med hjälp av matematiksidor på nätet och tillgänglig forskning ta del av nya metoder och angreppssätt bör vara naturligt för varje lärare anser jag. Denna studie visar att det förekommer algebraiska aktiviteter på gymnasiets samhällsprogram enligt lärarna.

Trovärdighet

Min uppfattning om studiens största brist är att den är genomförd på en enda skola. Det är omöjligt att dra några säkra slutsatser om förekomsten av aktiviteter i

algebraundervisningen generellt. Jag hävdar dock att lärarna jag intervjuat till stor del representerar kategorin matematiklärare på gymnasieskolor. De fem informanterna representerade alla ålderskategorier, från 30 – 65 år. Deras yrkeserfarenhet hade också en stor bredd, men allt från några års yrkesutförande till 40 år. Så en viss bredd i urvalet vill jag ändå påstå fanns. Dock ska tilläggas att om jag genomfört undersökningen på en annan skola i södra Sverige är det mycket möjligt att resultatet hade sett annorlunda ut.

27

Därför måste reliabiliteten också ifrågasättas. Den metod som studien borde

kompletterats med är observationer. Detta har jag inte genomfört då algebraavsnittet läses på höstterminen. Jag är ganska säker på att lärarna har svarat sanningsenligt, men en viss reservation måste ändå betonas. Det är inte säkert att de har algebraiska

aktiviteter med sina elever i den omfattning som påstås i intervjuerna. Eftersom jag inte har kontrollerat detta med elever kan jag inte säkerställa reliabiliteten. Efter att ha varit lärarkandidat på skolan innevarande termin och besökt flertalet lektioner kan jag dock bekräfta att jag sett en del aktiviteter i geometriavsnittet.

Undersökningen är av intresse inte bara för mig, utan även för min partnerskola som aktivt arbetar för att förbättra matematikundervisningen. Den yttre validiteten är således god även om den kanske inte kan bidra så mycket i andra sammanhang utöver den aktuella skolan.

Förekomst av algebraiska aktiviteter på Samhällsprogrammet

förekomma några algebraiska aktiviteter i undervisningen. Största anledningen till detta var min egen erfarenhet från tidigare praktik på skolan. Även diskussioner bland mina kursdeltagare från lärarhögskolan bekräftade att den vanligaste undervisningen i matematik på gymnasieskolor bestod av traditionell katederundervisning, vilket också bekräftas av gjorda studier (Skolverket, 2003). Men det har visat sig att så inte riktigt är fallet. Min slutsats är att lärare med färskare utbildning i bagaget kan vara mer benägna att variera sin undervisning. Det är också de som flitigast söker efter nya aktiviteter och angreppsätt i algebra. De lärare som använder algebraiska aktiviteter av någon form anger inte direkt motiveringen utifrån aktuell forskning eller lärandeteorier.

De aktiviteter som informanterna berättat om är bland annat

algebrakapplöpning, laboration om studshöjd och mönsterlaboration (exempelvis lägga tändstickor i mönster för att komma fram till ett generellt uttryck för figurerna). Dessa tillhör kategorierna transformerande och metanivå. Alla fyra perspektiven är

presenterade förutom modelleringsperspektivet. Min första kontakt med

modelleringsperspektivet var i kursen Didaktisk forskning på lärarutbildningen där jag läste om ”Matematiska morgnar” (Blomhøj, 2006) och blev mycket inspirerad. Om man ska leda eleverna mot en både strukturell och konceptuell förståelse för algebra är det kanske nödvändigt att även låta eleverna möta den fjärde vägen mot algebra?

28

Styrdokumenten ger inga direktiv hur undervisningen ska bedrivas. I kursplanen för matematik, Ämnets syfte, (Skolverket, 2008b) kan man läsa att ”…

eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem…”. Min åsikt är att om eleven ska ha möjlighet att få utveckla sin

matematiska kreativitet måste denne också då få möjlighet att vara kreativ.

Algebraiska aktiviteter i lärobok och lärarhandledning

Om man bara tar läroboken och handledningen blir det ingen variation i undervisningen då det inte förekommer speciellt mycket aktiviteter. En undervisning baserad endast på läroboken mynnar ut i en torftig uppfattning om vad matematik är. Eleven får en procedurell inställning till vad ämnet står för och begrepp blir inte accepterat på ett djupare plan utan endast instrumentellt inlärt (Skolverket, 2007). Detta visar sig då att eleven inte kan följa hela den algebraiska cykeln och får svårigheter med att hantera algebran, något som även min studie indikerar. Slutsatsen är att en undervisning där aktiviteter är vanligt förekommande kan bidra till att ge elever mer lust att lära och även en syn på algebran som både objekt- och processinriktad. Min undersökning antyder att elever som är vana vid att arbeta med matematik på olika sätt också är mer positivt inställda att frångå enskild räkning som enda aktivitet. Detta bekräftas också av andra undersökningar (Persson 2010).

Jag vill inte påstå att läroböcker i matematik har några stora brister

egentligen. De läroböcker jag hittills stött på är mycket snarlika i sitt upplägg men de är anpassade efter gällande kursplaner (Jakobsson-Åhl, 2006). En studie av Helmertz (2007) som jämfört svenska och japanska läroböcker visar att läroboken styr

undervisningen även där, men bokens upplägg varierar stort från den svenska. Där finns färre övningsuppgifter men istället förekommer det undersökande problem och

bevisföring. Detta är kanske något som läroboksförfattarna borde sätta mer fokus på.

Lärarnas uppfattning om algebraiska aktiviteter i undervisningen

De lärare som påstår sig använda laborationer eller spel för att variera sin undervisning anger motiveringen att de upplever att elevernas inlärning underlättas. En lärare menar att när eleverna blir mer engagerade och tar aktiv del i undervisningen blir det en mer positiv stämning i klassrummet. Hon menar vidare att samhällselever generellt sett har ett stort motstånd till matematik och aktiviteter tar bort rädslan för algebra som något

29

svårt och obegripligt. En enda lärare använder inte alls aktiviteter. Hans motivering är att eleverna inte tycker det är matematik att spela spel, eller lösa problem utanför kursboken.

Lärares fortbildning

Alla lärare är väl medvetna om elevers svårigheter med att förstå bokstavsräkning, men det verkar som att det är svårt att förändra en sedan länge invand föreställning om bästa undervisningsmetoden. Enligt Phekonen (2001) kan en lärare få direktiv utifrån,

exempelvis reviderade kursplaner, som ändå inte påverkar lärarens föreställning om hur undervisning bör bedrivas. Han hävdar att eftersom en föreställning inte nödvändigtvis behöver vara saklig är det tvunget med en störning för att ändra den subjektiva

föreställningen som kan påverka till en mer varierad undervisningspraxis. Fortbildning är både skolans och lärarens ansvar. Skollagen ger

kommunerna och landsting uppdraget att se till att detta sker, men det är också lärarens personliga ansvar att hålla sina kunskaper uppdaterade och där det är nödvändigt komplettera sin utbildning. Ordet fortbildning är numera ändrad till

kompetensutveckling, som inbegriper allt från ämnesfördjupning till

arbetslagsutveckling och verksamhetsutveckling (NCM, 2001). Det finns inga

lagstadgade antal dagar avsatta för detta, det är upp till var skola att organisera tiden. En lärare arbetar alltså på regeringsuppdrag men är anställd av kommunen. Här kan jag se en konflikt mellan intentioner för svensk undervisning och genomförbarheten. För lärare på kommunala skolor är det små summor som avsätts till fortbildning. Oftast har inte matematiklärarna möjlighet att besöka exempelvis matematikbiennaler eller läsa kurser med nedsatt tjänstefördelning på grund av skolornas bristande ekonomiska resurser. Många lärare jag pratat med uttrycker också en oro för ökande

undervisningstid då mindre tid blir över för utvecklande av den egna undervisningen och uppdatering av forskning och rapporter. Persson (2010) menar att det sker förändringar i samhället som medför förändring i undervisningsstrategier och att yrkesverksamma lärare behöver kontinuerlig fortbildning:

Eftersom samhället förändras och utvecklas, måste undervisningen följa med. Detta kräver förstås att man som lärare både är medveten om detta och har beredskap att anpassa sin undervisning, och det i sin tur är avhängigt av vilka kunskaper man har och vilka möjligheter man har att utveckla dem.

30

Skolan som ingick i min studie hade nivågrupperat klasserna. Ett försök att komma tillrätta med de dåliga resultaten var att genom nivågruppering underlätta för lärarna att anpassa undervisningen och även arbeta med färre elever i klasserna. Enligt Skolverket (2007) är nivågruppering i matematikämnet vanligt på skolorna, men det finns ingen forskning som visar att detta är en bra metod. Istället är det undervisningens innehåll och utformning som är de viktigaste faktorerna. Snarare utgör nivågruppering en svårighet för eleven att sträva mot bättre resultat då denna redan blivit ”dömd på förhand”. Är man placerad i G-gruppen är det väl mot det betyget man ska sträva? Vid mina intervjuer framkom det inte att någon särskilt anpassad undervisning bedrevs i klasserna. Jag hävdar att det borde varit en större tanke bakom nivågruppering än att underlätta för läraren att få eleverna godkända. Matematikundervisning i Ostasiatiska länder utgår från en konceptuell undervisning (Skolverket 2007). Det betyder att eleverna utgår från ett problem som kan lösas på olika sätt och arbetar med detta både i grupp och individuellt. De redovisar alla olika lösningar på skrivtavlan och läraren för en dialog med eleverna om resultatet. Mycket av lärarnas planeringstid används också för att utveckla nya problem med flera lösningar.

Konsekvenser för mitt framtida yrkesutövande

Efter att ha forskat om algebra och aktiviteter är jag benägen att påstå att det är en möjlig väg för att öka begreppsförståelsen hos eleverna. Jag tror att man bör ha fokus på alla de fyra vägarna (Persson, 2010) mot algebran. Problemlösningsmetoden är väl dokumenterad som främjande av effektiva tankemönster och matematisk

kommunikation. Bland annat visar Björkqvist (2001) på att Japanska elever, som möter en problembaserad undervisning, starkt utvecklar dessa kompetenser.

Tidigt införande av räknare på grundskolan, som ses som ett problem av någon lärare, är inte vetenskapligt bevisat. Tvärtom har jag funnit ett motsatt påstående av Björkqvist (2001). Han säger att grundskoleelever som använder räknare utvecklar sin talförståelse. De utvecklar förmåga att välja rätt räkneoperationer, bedöma tals storleksordning och välja relevant information i textuppgifter. Räknare på gymnasiets matematikkurser, då särkilt grafräknare, hjälper eleven att förstå algebran ur ett funktionsperspektiv. Persson (2010) drar i sin studie slutsatsen att användandet av teknologiska verktyg (grafräknare, dator) bidrar till att eleven utvecklar en djupare

31

konceptuell förståelse av algebra, både som uttryck och funktioner. Han menar också att en bättre algebraundervisning inbegriper många olika arbetssätt och metoder.

Dessutom visar Perssons studie att elevens förkunskaper inte är den avgörande faktorn för hur eleven lyckas med gymnasiematematiken. De affektiva faktorerna visar sig vara av större betydelse, eleven måste vara motiverad att lära sig algebra, först då är det möjligt (ibid.). Holden (2001) påpekar också detta, matematiken måste vara motiverande för eleven att lära sig. Hon påstår att läraren påverkar ämnet och eleverna genom sin inställning till dessa. Läraren som uttrycker glädje och entusiasm är tillsammans med arbetssättet den viktigaste faktorn som kan bidra till elevens lust att lära. Detta är bara en av de viktiga kunskaper jag tar med tillförsikt tar mig ut i arbetslivet.

32

Referenslista

Arcavi, Abraham (1994). Symbol Sense: Informal Sense-making in Formal Mathematics. For the learning of Mathematics, 14, 3, (sid. 24 – 35).

Bell, Alan (1996). Algebraic thought and the role of a manipulable symbolic language. I Nadine, Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra.

Perspectives for Research and Teaching. (sid167-187). Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers

Bergsten, Christer, Häggström, Johan & Lindberg, Lisbeth (2004), Algebra för alla. Nämnaren – Tema, Göteborg, Göteborgs universitet.

Björk, Lars-Eric, Borg, Kenneth, Brolin, Hans, Ekstig, Kerstin, Heikne, Hans & Larsson, Krister (2002). Matematik 3000. Kurs A och B. Samhällsvetare och esteter. Falköping: Natur och Kultur.

Björkqvist, Ole (2001). Matematisk problemlösning. I Barbro Grevholm (red.),

Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. (sid 115-130). Lund: Studentlitteratur.

Blomhøj, Morten (2006). Matematisk modellering. I Jesper Boesen (red.), Lära och

undervisa – internationella perspektiv (sid. 81-94). Göteborg: Nationellt Centrum för

Matematikutbildning.

Charbonneau, Louis (1996). Historical perspectives in the development of algebra. I Nadine Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra.

Perspectives for Research and Teaching. (sid15-38). Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers

Gennow, Susanne, Gustafsson, Ing-Marie & Silborn Bo (2008). Exponent B Gul.

Matematik för gymnasieskolan. Malmö: Gleerups.

Helmertz, Tomoko (2007). Problemlösning – En jämförelse mellan svensk och japansk

33

Holden, Ingvill M (2001). Matematiken blir rolig – genom ett viktigt samspel mellan inre och yttre motivation. I Barbro Grevholm (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt

perspektiv (sid. 160 - 181). Lund: Studentlitteratur.

Jakobsson-Åhl, Teresia (2006). Algebra in upper secondary mathematics: A study of

textbooks used in the years 1960-2000 in Sweden. Licentiatavhandling,

2006:33. Luleå: Matematikinstitutionen, Luleå tekniska universitet.

Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen.

Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget.

Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med

inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.

Mason, John (1996). Expressing generality and roots of algebra. Nadine Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra. Perspectives for Research

and Teaching. (sid 65-87). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers

Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, (2001). Hög tid för matematik. Göteborg: Göteborgs universitet.

Olsson, Stig (1994). Aktiv och konkret matematik i Gymnasiet. Bromma: Ekelunds förlag AB

Oltenau, Constanta (2000). Varför är skolalgebran svår? (Tsunami, nr 2) Högskolan Kristianstad, Institutionen för matematik och naturvetenskap, Kristianstad

Pehkonen, Erkki (2001). Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i matematikundervisningen. I Barbro Grevholm (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt

perspektiv (pp.230-256). Lund: Studentlitteratur.

Persson, Per-Eskil (2010). Räkna med bokstäver! En longitudell studie av vägar till en

förbättrad algebraundervisning på gymnasienivå. Doktorsavhandling. Luleå tekniska

34

Rystedt, Elisabeth & Trygg, Lena (2005). Matematikverkstad. Göteborg: Göteborgs universitet.

Skolverket (2008a). Kursplan för ämnet matematik. Hämtat från

http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0910&infotyp=8&skolform= 21&id=MA&extraId=. Hämtat 21 maj 2010.

Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr

221. Stockholm: Skolverket/Fritzes.

Skolverket (2008b). Ma 1202 – Matematik B, Mål att uppnå. Hämtat från

http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0910&infotyp=5&skolform= 21&id=3209&extraId=. Hämtat 21 maj 2010.

Skolverket (2008c). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMMS 2007. En

jämförande analys av elevernas taluppfattning och kunskaper i aritmetik, geometri och algebra i Sverige, Hong Kong och Taiwan. Analysrapport till 323. Stockholm:

Skolverket/Fritzes

Wheeler, David (1996). Backwards and forwards: reflections on different approaches to algebra. I Nadine Bednarz, Carolyn Kieran & Lesley Lee (red.), Approaches to Algebra.

Perspectives for Research and Teaching. (sid317-327). Dordrecht: Kluwer Academic

35

Bilaga 1 Algebrakapplöpning

36

Bilaga 2

Perspektiv

Kategori

Genererande

Transformerande

37

Bilaga 3

Intervjumall Lärare

 Hur undersöker du elevers förkunskaper om algebra?

 Hur introducerar du området algebra?

 Vad anser du att eleverna har svårast för? Varför tror du det är så?

 Använder du dig av några aktiviteter i undervisningen? Varför/varför inte?

 Vilka aktiviteter använder du dig av i undervisningen?

 Var anser du är bäst att skaffa lektionsmaterial (annat material än läroboken) om algebra?