Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poängHur kan lämpliga aktiviteter befrämja
förståelsen för multiplikation?
How Can Proper Activities Promote Understanding of
Multiplication?
Biljana Petrovic
Zelija Zufer
Lärarexamen 140 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Examinator: Mats Areskoug Handledare: Karl Åke Kronqvist
Sammanfattning
Huvudsyftet med vårt arbete är att ta reda på hur elevers förståelse för multiplikation kan stärkas av lämpliga aktiviteter. I vår undersökning har vi använt oss av prov, enkäter, observationer och intervjuer i årskurs fyra. Det visar sig, av de resultat vi har fått fram att aktiviteterna, som vi har genomfört har hjälpt eleverna att utveckla sin kreativitet, uttrycka olika tankesätt och även olika möjligheter att uppfatta och granska uppgifter.
Innehållsförteckning
1. Bakgrund och Inledning ... 7
2. Syfte och frågeställningar ... 9
3. Begreppsdefinitioner ... 9
4. Teorier ... 10
4.1 Litteraturgenomgång och forskningsöversikt ... 10
4.1.1 Metoder för att arbeta kring multiplikation... 10
4.1.2 Didaktisk forskning ... 13
4.2.3 Empirisk forskning... 19
5. Metod... 21
5.1 Urval ... 21
5.2 Datainsamlingsmetoder och procedur... 22
5.2.1 Prov ... 22 5.2.2 Enkät... 22 5.2.3 Aktiviteter... 23 5.2.4 Observationer ... 23 5.2.5 Intervju ... 23 5.3. Processen ... 24 5.3.1 Etapp 1... 24 5.3.2 Etapp 2... 24 5.3.3 Etapp 3... 26 5.3.4 Etapp 4... 26 5.3.5 Etapp 5... 26 6. Resultat... 27 6.1 Prov 1... 27 6.2 Enkät 1... 29 6.3 Aktivitet 1... 29 6.4 Aktivitet 2... 29 6.5 Aktivitet 3... 30 6.6 Observationer ... 30 6.7 Prov 2... 31 6.8 Enkät 2... 33 6.9 Intervjuer... 34 7. Diskussion ... 37 7.1 Analys av aktiviteterna... 37 7.2 Analys av intervjuerna ... 38
7.3 Bearbetning av våra frågeställningar... 41
7.3.1 I vilken utsträckning upplever eleverna att aktiviteterna är intressanta och lärorika? ... 41
7.3.2 På vilket sätt gynnas eleverna när de arbetar med aktiviteterna i grupp? ... 42
7.3.3 Vad kan en lärare upptäcka genom att låta eleverna arbeta med aktiviteter? ... 43
7.3.4 Hur kan lämpliga aktiviteter befrämja förståelsen för multiplikation? ... 44
Referenser: ... 46
Litteratur: ... 46
Webreferenser: ... 47
1. Bakgrund och Inledning
Under vår skolgång ifrågasatte vi aldrig lärarnas definitioner av matematiska begrepp trots att vi inte förstod mycket av vad de sa. Resultatet var att vi var bra på att handskas med formler och få fram ett svar, utan att veta vad det egentligen föreställde. Att vi saknade förståelse ledde till brist på motivation för att bl.a. lära oss multiplikationstabellerna. Senare när vi började läsa till matematiklärare fick vi många aha- upplevelser.
Det finns flera anledningar till varför vi har valt att undersöka om hur lämpliga aktiviteter befrämjar förståelse av multiplikation. Exempelvis, har vi lagt märke till att det finns elever som har svårigheter med att lära sig multiplikationstabellerna.
Som blivande lärare tycker vi att förståelse för multiplikation är en viktig förutsättning som kan stimulera och stödja elevernas inlärning av multiplikationstabellerna. I Lpo 94 står det bl. a. att målet är att eleverna skall:
”… – förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler,” (Skolverket 2006)
På VFT:n har vi mött elever som har haft svårigheter med att lära sig
multiplikationstabellerna. Detta, tillsammans med de andra anledningarna, har stimulerad oss att fokusera på detta ämne. Eleverna lär sig tabellerna utantill, utan att koppla dem till sin erfarenhet. Drill är det arbetssätt som många lärare använder sig av. De flesta elever upplever tabelldrillen som rolig, men för några kan den bli en plåga. Träningen behöver å andra sidan inte vara mekanisk.
Vidare har vi sett på vår VFT att den mekaniska träningen är den metod som fortfarande vissa lärare använder. Lärare ger eleverna papper med enkla multiplikationsuppgifter som de skall klara på en viss tid. Vi har upplevt det som stressande och påfrestande. Även vi som vuxna hade inte kunnat klara det under den press eleverna ställs inför. När vi har reagerat på det frågade en av våra handledare om vi kunde hitta andra sätt att träna multiplikationstabellerna på. Vi undrar vad tanken bakom att lära sig multiplikationstabellerna är. Att kunna rabbla upp hela multiplikationstabellerna eller att ha förståelse för vad de står för är två olika saker. Elever kan komma fram till samma svar fast vägen dit kan se olika ut beroende på deras
erfarenheter. En lärare skall, tycker vi stödja eleverna i deras strävan att hitta och förbättra effektiva strategier.
Vi har sett, ute på våra VFT, att det finns en del laborativa material som vi tycker är bra, men vissa lärare använder dem sällan. En del lärare argumenterar emot laborativa övningar
eftersom det tar lång tid och det blir pratsamt såväl som stökigt i klassrummet. I motsats till detta vill vi påpeka att meningen är att eleverna ska diskutera när de arbetar laborativt och lära sig av varandra. Tyvärr är det ett fåtal lärare som arbetar på ett sådant sätt.
Vi tycker att vårt ämne är intressant och relevant eftersom undersökning inom detta problemområde kan hjälpa oss att se hur olika aktiviteter kan stärka elevers förståelse för multiplikation. Vidare vill vi se hur eleverna kan utveckla sin kreativitet och tankesätt med hjälp av aktiviteterna. Detta kan vägleda oss som lärare när vi planerar vår undervisning.
2. Syfte och frågeställningar
Vårt arbete handlar om hur elevers förståelse för multiplikationstabellerna kan stärkas av lämpliga aktiviteter. Vidare vill vi se om detta skapar gynnsammare förutsättningar och en ökad förståelse för inlärningen av multiplikationstabellerna. Vi hoppas att vår undersökning kommer att vara användbar som underlag för planeringen av både vår och våra kollegors undervisning.
• I vilken utsträckning upplever eleverna att aktiviteterna är intressanta och lärorika? • På vilket sätt gynnas eleverna när de arbetar med aktiviteterna i grupp?
• Vad kan en lärare upptäcka genom att låta eleverna arbeta med aktiviteter? • Hur kan lämpliga aktiviteter befrämja förståelsen för multiplikation?
3. Begreppsdefinitioner
För tydlighetens skull vill vi förklara begrepp som ingår i vår undersökning.
Enkla multiplikationsuppgifter – med detta begrepp menar vi uppgifter som består av bara tal som t.ex. 5 * 8 =.
4. Teorier
4.1 Litteraturgenomgång och forskningsöversikt
För att få en mer realistisk bild av elevernas inlärningsprocess har vi gjort en överblick av olika didaktiska och empiriska forskningar. Forskningarna skulle vägleda oss i vår
undersökning och ge oss möjlighet till att få fram mer trovärdiga slutsatser. Meningen var att se vad forskare skriver angående attityder, på vilket sätt elevernas och lärarnas attityder till matematiken påverkas och hur de kan utvecklas positivt. Samtidigt var det viktigt att ta upp de förutsättningar som kan stödja elevernas inlärning. Betydelsen av kommunikation kan vara ett redskap till en mångsidig inlärning, vilken vi lyfter upp i forskningsöversikten. Vi
beskriver olika metoder för att arbeta kring multiplikation, vad andra forskare anser är viktig när lärarna presenterar multiplikation och varför förståelsen är väsentlig. Vidare tar vi upp det undersökande arbetssättet och betydelsen av att läraren hjälper eleverna att vara medvetna om sitt lärande. Då vi har använt oss av prov i vår undersökning anser vi att det är relevant att se vad forskarna skriver om tillämpningen av prov.
I den empiriska delen tar vi upp två undersökningar. Den första undersökningen handlar om vad några elever upplever är svårt i den tidiga multiplikationsinlärningen och även hur några lärare undervisar om multiplikation. Den andra undersökningen förklarar vad en laborativ matematik är och hur läraren använder olika laborativa material i sin matematikundervisning.
4.1.1 Metoder för att arbeta kring multiplikation
Många lärare presenterar multiplikation som en upprepad addition. Bristen med denna metod är enligt Magne (1978) att sambandet med division glöms i kanten. Dessutom är det viktigt att kommutativiteten lyfts upp, vilket man inte kan göra med denna metod. Däremot kan man göra det med en annan metod, skriver han, nämligen nätmetoden (se nedan under rubriken
den geometriska aspekten).
Det finns olika sätt att hjälpa eleverna att ”närma” sig multiplikation och förebygga
svårigheter. För att kunna få fler infallsvinklar om multiplikationstabellerna finns det olika sätt att organisera kunskaperna, såsom:
2. den geometriska aspekten 3. hundraplattan
4. de additiva multiplikationstabellerna 5. faktorisering
Med hjälp av kombinatoriken
I aritmetiken finns det en del som kallas för kombinatorik. Med hjälp av kombinatoriken kan man undersöka på hur många sätt ett givet antal element kan organiseras och kombineras i grupper. I kombinationerna har ordningsföljder inte någon betydelse t.ex. ab är samma kombination som ba, eftersom det räknas för samma sammanställningar.
( Kevius, Bruno 2006)
I vår första aktivitet har vi använt oss av kombinatoriken, som en möjlighet att fördjupa förståelse för multiplikationstabellerna. Samtidigt har vi använt oss av tabell, eftersom det är viktigt att eleverna skall ”kunna avläsa och tolka data givna i tabeller och diagram samt
kunna använda elementära lägesmått.” (Skolverket 2006)
Den geometriska aspekten (tal som rektanglar)
En annan möjlighet att förstå multiplikation är genom att tänka på tal som rutor i rektanglar, som vi har gjort i uppgiften sex. Man kan bl.a. använda sig av rutnät eller punktnät och få olika geometriska figurer, som kvadrater och rektanglar. Produkten av två tal är antalet element i ett rutnät, respektive punktnät. I följande figur visar vi produkten av talen tre och fyra. Den kan avbildas som fyra rader med tre rutor eller fyra kolumner med tre rader (se bilderna 3 a) och 3 b), nedan).
Bild 3 a): Rutnät Bild 3 b): Punktnät
Hundraplattan
Hundraplattan är en annan möjlighet som kan vara en utgångspunkt i arbetet med multiplikationstabellerna. Det är en tabell som omfattar de tio första talens produkter. Metoden bygger på tallinjen. Vi har använt oss av denna metod i vår sista aktivitet.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bild 4: Hundraplattan De additiva multiplikationstabellerna
Ett annat sätt att utveckla förståelse för multiplikation är även de s.k. additiva
multiplikationstabellerna, vilket innebär att man lägger till samma tal hela tiden. Risken med metoden kan vara att eleverna istället för att lära sig använda multiplikation, utnyttjar endast addition. 1 *5 = 5 2 *5 = 10 3 *5 = 15 4 *5 = 20 5 *5 = 25 6 *5 = 30 7 *5 = 35 8 *5 = 40 9 *5 = 45 10 *5 = 50
Bild 5: Femmans tabell
Faktorisering
Faktoriseringen är ett begrepp som innebär att ett tal bryts ner till mindre enheter eller faktorer, men under förutsättningen att faktorerna multiplicerade med varandra ger ursprungstalet. Schematisk kan detta beskrivas som på bild 6 nedan.
Bild 6 : exempel på faktorisering
4.1.2 Didaktisk forskning
Lämplig inledning av multiplikation
Enlig Höines (1997) är det grundläggande att eleverna får veta vad multiplikation är, hur och i vilka situationer man multiplicerar. Hon anser att multiplikationstabellen bör kunnas, men hon påpekar även att det är viktigt vid vilken tidpunkt läraren ska föra in drillen. En lärare bör ge eleverna uppgifter på vardagsspråket som knytas till för dem välkända situationer innan läraren börjar skriva uppgifterna som multiplikation, säger Johnsen (1997). Hon menar att lärarna ska ha många förberedande uppgifter innan de börjar med multiplikationsuppgifterna. I Lpo 94 står det att eleverna skall utveckla sin förmåga att ”…muntligt och skriftligt förklara
och argumentera för sitt tänkande” (Skolverket 2006). Det är vanligt att eleverna inte kan
förklara hur de tänker när de multiplicerar, de frågar sig inte heller hur de tänker. På frågan hur de tänker brukar de säga: ”Det är bara så.” En lärare bör utmana eleverna att tänka och reda ut varför de har fått ett visst svar, påpekar Johnsen (1997). Därmed, säger hon att läraren bör välja ett lämpligt sätt att kommunicera med eleverna för att kunna påverka deras
förkunskaper, vilket läromedlen inte kan göra. När eleverna löser uppgifterna, som en lärare har utvecklat tillsammans med eleverna, kan man se hur de tänker och på vilken nivå de befinner sig, säger hon. Vidare påstår hon att det är betydelsefullt att de praktiska övningarna är en startpunkt, men utesluter inte de enkla multiplikationsuppgifterna som kan vara vid sidan om. Som Settergren (1992, s. 44) säger i sin bok Lärarkunskap: ”Man börjar i det välkända och går vidare mot det okända”.
Attityder och föreställningar
I Lpo 94 påpekas att undervisningen skall formas på så sätt att det skall väcka elevers intresse för matematik (Skolverket 2006). För att se i vilken utsträckning eleverna upplever
aktiviteterna som intressanta och lärorika vill vi se hur vi, med de utvalda aktiviteterna, kan påverka deras uppfattning om multiplikation. Pehkonen (2001) betonar att lärare och alla andra människor i vår omgivning, påverkar elevernas uppfattningar och förställningar om vad som är viktigt att lära sig inom matematiken. Enligt honom kan lärarens attityder styra
elevernas inlärning. Han påpekar att det är viktigt, för att uppnå en kvalitativ inlärning, att elevernas engagemang och intresse ska väckas. Läraren bör, enligt Pehkonen (2001) stimulera eleverna att bearbeta och uppdatera sina kunskaper, eftersom detta kan vara avgörande i elevernas inlärningsprocess.
Vilka typer av uppfattningar som eleverna kan bilda om matematikundervisningen påverkas av lärarens matematikrelaterade uppfattningar och undervisningen, men samtidigt av
läromedelsförfattare, föräldrar och släktingar, säger Wistedt (2001). Därefter påpekar hon att läraren styr med sina matematiska uppfattningar elevernas prestationer i inlärningsprocessen. Om en lärare t.ex. uppfattar matematiken som ett räknesystem kommer eleverna att använda lektionerna till att räkna mycket. Även om eleverna själva uppfattar att matematiken bara handlar om att räkna kommer de att använda sig av formler och att kalkylera. Detta, säger Wistedt (2001) kan bidra till att eleverna får svårigheter när de möter problemlösande
uppgifter. Eftersom eleverna blir vana vid att bara räkna kan det vara svårt för dem att avgöra vilken metod de skall använda vid problemlösande uppgifter, säger vidare Wistedt (2001).
Kommunikation och samtal
En mening bakom att vi har valt att genomföra aktiviteterna i grupp är att få eleverna att kommunicera och samtala med varandra. Både öppenhet och styrning måste förenas i en pedagogisk situation, skriver Inger Wistedt (2001) i sin artikel Rum för samtal. Hon påpekar att samtal och diskussion är förutsättning för en demokratisk skolning. Eleverna har rätt att utrycka sina åsikter och yttranden. Samtidigt, påpekar hon att möjlighet till att bli motsagd är en viktig rättighet. En lärare skall med sitt arbetssätt och sin undervisningsmetod hjälpa eleverna att hitta en riktning för sitt utforskande, påpekar Wistedt (2001). Hon säger att det finns möjlighet att skapa bra förutsättningar för samtal där eleverna kan utrycka sina
är gemensamt för alla som deltar i diskussionen. I en pedagogisk dialog skall de deltagande våga uttrycka sina åsikter, inställningar, tänkesätt och även kunna undersöka egna
uppfattningar. Vidare, säger hon att de som deltar i samtalet skall lyssna på varandra och sätta sig in i hur de andra tänker. En annan förutsättning som kan ge möjlighet att skapa bra grund för samtal, enligt Wistedt (2001), är att öppna sig för alternativa tolkningar av en uppgift. En lärare skall, yttrar Wistedt (2001), skapa en öppen och tillåtande atmosfär men även förhålla sig till uppgiften, stoffet, begreppet, teorin och innehållet. Eleverna som deltar i samtalet skall kunna öppna sig inför nya erfarenheter och ta ansvar för de erfarenheter de redan har, anser Wistedt (2001). I samtalet mellan eleverna och läraren prövas och omprövas olika möjligheter att uppfatta, granska uppgifter och utrycka olika tankesätt. Wistedt (2001, s.228), säger också att då blir ”samtalet ett forum för tankeutbyte och ett viktigt instrument i en undervisning som syftar till en demokratisk skolning av elevernas tänkande”. Vidare säger hon att läraren skall ta ansvar för sitt ämneskunnande, som ger möjlighet att upptäcka det givande i det eleverna säger. Den tredje förutsättningen, säger Wistedt (2001) är att eleverna kan ta en del ansvar för kamraternas inlärning och kunskapsbildning. Att kommunikation och samtal är viktigt för inlärningen påpekar även Settergren (Settergren 1992, s. 42) när han säger att:
1. Kunskapsutveckling sker via språkanvändning i alla ämnen.
2. Kunskapen i alla ämnen är död, om den inte har en anknytning till elevernas erfarenhetsvärld.
3. Kunskapen erövras när den bearbetas av eleverna själva i aktivt språkbruk.
Undersökande arbetssätt
Enligt Lpo94 skall eleverna få möjligheter att kommunicera på det matematiska språket och använda sig av olika uttrycksformer. Detta skall ske genom att eleverna aktivt och öppet söker nya strategier vid lösningen av olika problem. En förutsättning för detta är att lärandet sker i en kontext (Skolverket 2006). Samtidigt är det viktigt att läraren utmanar eleverna att skriva ner sina tankar. När de skriver gör de det för att kunna samtala, bevara, fördjupa och redovisa sina kunskaper, påpekar Settergren (1992). Hon säger att det finns olika sätt för en lärare att knyta elevernas erfarenhetsvärld. En lärare kan använda sig av bilder eller konkreta
iakttagelser i naturen för att kunna fördjupa och utvidga kunskaperna på ett mer generellt plan. Eleverna konstruerar sin kunskap och integrerar även nya insikter utifrån det som de redan vet, skriver Eliasson och Lindö i boken Det öppna lärorummet (1999). En lärare bör inte förmedla kunskap, han/hon ska istället använda sig av ett undersökande arbetssätt. Ett undersökande arbetssätt innebär att eleverna aktivt letar efter att belysa olika frågeställningar
inom ett kunskapsområde med hjälp av olika källor. Det som är grundläggande i att arbeta undersökande är att varje individ lär sig utifrån sina egna erfarenheter och därmed kan bygga upp ett livslångt lärande, påpekar vidare Eliasson och Lindö (1999). Genom att arbeta
undersökande, bearbetar eleverna informationer samtidigt som de analyserar och reflekterar.
Förståelsens betydelse för inlärningen
Meningen med vår undersökning är att se hur aktiviteterna kan befrämja förståelsen för multiplikation. I vårt arbete står förståelsen i fokus och därför vill vi belysa de olika typerna av förståelse och vad de innebär och medför.
Enligt Sutherland (i Douglas 2003) ger förståelsen de skickligheter som mekanisk träning och drill inte kan ge. Förståelsen, säger vidare han, ger förmågan att inse rimligheten av ett
resultat beroende på de givna situationerna. Barnett (i Douglas 2003) jämför begreppen
förståelse och att ha kunskap och påpekar att det förstnämnda rymmer en livslång stabilitet
och underlättar lärande. Douglas (2003) påstår att i klassrummet är begreppslig och
metodologisk förståelse av vikt. Den begreppsliga metoden innefattar bl.a. att förstå
matematiska begrepp som likhet, operation och liknande.
Den metodologiska förståelsen omfattar bl.a. en instrumentell förståelse. I sin artikel
Relational and Instrumental Understanding, tar Skemp (1976) upp två typer av förståelse, den rationella förståelsen och den redan nämnda instrumentella förståelsen. Den instrumentella förståelsen beskriver Skemp (1976, s 20) som ”roules without reasons”, dvs. eleverna förstår
hur man använder regler, utan att veta varför. Detta förekommer när eleverna utför vissa matematiska operationer t.ex. operationer med algoritmer. Däremot beskriver han den
rationella förståelsen som ”knowing, both what to do and why” (1976, s 20). När eleverna
besitter denna typ av förståelse, vet de vad de skall göra och varför de använder bestämda regler. Vidare tar Skemp (1976) upp betydelsen av att använda sig av den rationella
förståelsen, som förutsätter att eleverna förstår innebörden av reglerna i relation till det de
gör. Därmed får eleverna en relation till matematiken och då vinner de i längden. Om man lär sig utan att förstå betydelsen får man en kortvarig kunskap som kan vara svår att tillämpa i vardagen och i andra sammanhang. En variation av båda kategorierna kan vara mest lämplig, anser Skemp.
Douglas (2003) skriver att det inte finns en modell på någon enskild metod som gynnar vägen till förståelse, utan det kan finnas många olika sätt och olika metoder att undervisa. Enligt honom finns det olika anledningar till varför elever kan misslyckas med att förstå. En orsak kan vara att man missar att skapa en mental föreställning och inte kan klara av den mentala belastningen. En annan orsak, enligt honom kan vara ett missförstånd eller en irrelevant föreställning. Som lärare kan man betona förståelsen genom att: ”presentera begreppsliga strukturer, fylla i luckor i slutledningar, ge förklaringar och använda sig av framtvingade förutsägelser och tillfälliga inlärningsstöd” (Douglas 2003, s 93).
I boken ”Läs - och skrivsvårigheter och lärande i matematik” beskriver Sterner och Lundberg (2002) en del problem som kan uppstå om förståelse saknas. Många elever kan hämta fram tabellfakta om de reciterar hela sekvenser, men när de skall använda färdigheterna i olika sammanhang misslyckas de. Det betyder inte att eleverna inte har några strategier, utan att strategierna inte är tillräckligt effektiva. Detta påpekar även Ellis (1996) som säger att de eleverna som har svårigheter kan lära sig att automatisera mekaniska kunskaper, men det tar lång tid och kräver en undervisning som är tydlig och välorganiserad (Ellis m.fl. 1996).
En förändrad undervisning
Läraren ska, enligt Lpo 94, organisera undervisningen så att eleverna utvecklar både tilltro till sitt eget tänkande och den egna förmågan att lära sig matematik. Inom dessa ramar skall eleven få möjlighet att utveckla intresse för matematik och även använda matematik i olika situationer (Skolverket 2006). I många skolor, skriver Ahlberg (2002) driver lärarna
fortfarande undervisningar där eleverna kryssar av i sitt schema och arbetar i egen takt med sina matematikböcker och mål. Enligt henne skall eleverna inte lära sig att matematiken är att göra sidor i sina matteböcker. Som i Lpo 94 betonas är ”matematik en levande mänsklig
konstruktion som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition.” (Skolverket
2006)Eleverna bör istället prata matematik, göra spännande uppgifter och aktiviteter för att sedan kunna reflektera, påpekar hon. Ett sätt som kan täcka de nämnda aspekterna är att läraren inför laborativt material i sin undervisning. För att vi skall benämna ett material som laborativt, bör det äga de konkretiserade egenskaperna som har tillsyfte att underlätta den språkliga förståelsen av en operation eller tankeform (Löwing, M. & Kilborn, W. 2002). Många laborativa övningar kräver samarbete i grupp. Genom att arbeta gruppvis utmanas eleverna att bearbeta informationer och kunskaper i större utsträckning än när de arbetar enskild. Eleverna får samtidigt möjlighet att reflektera och diskutera när de arbetar i gruppen.
Vidare säger Ahlberg (2002) att eleverna skall konstruera sina egna uppgifter och problem. I vardagen möter de olika utmaningar som de skallhantera, de måste välja olika
lösningsmetoder och tänka över möjliga svar. När de gör egna uppgifter reflekterar de över sina egna upplevelser. Läraren kan även se hur de tänker, på vilken nivå de befinner sig och hur de uppfattar ett visst moment.
Linda Joseph beskriver i sin artikel Metamorphosis, i boken Young Children Continue To
Reinvent Arithmetic av Constance Kamii (1989), hur hon, med hjälp av Kamiis anmärkning
har fått bekräftat att hennes elever inte arbetade matematiskt. Att arbeta matematisk förutsätter vissa skickligheter och att tänka är en av dem. Först när Joseph omvandlar sin undervisning upplever hon att hon har skapat möjligheter för att eleverna ska utveckla ett viktigt redskap för att lösa matematiska uppgifter, nämligen sitt tänkande. Denna process är påbörjad och därför måste lärare ta tillvara och bygga vidare på den. Ahlberg (2001) påpekar att det matematiska tänkandet grundas redan i de tidiga åren, då barnet i samspel med världen omkring sig skapar nya erfarenheter genom att vara aktiv både kroppsligt och verbalt.
Diagnostisering som ett redskap
Enligt Olof Magne (1980) är diagnostiseringen ett medel för att planera inlärningen och ett sätt att få upplysningar om elevers arbetsvanor. Detta skall sedan användas för att rätta till eventuella brister i räknemetoder. Han påpekar även att drill utan förståelse kan hindra kunskapsutvecklingen. Det är helt fel att diagnostiseringen används för att stämpla eleverna, anser Magne (1980). I kontrast till detta skall diagnostisering användas för att identifiera brister för att börja med åtgärder. För elever som gör många räknefel skall diagnosen vara grunden för att planera undervisning.
Enligt Magne (1980, s 183) skall diagnostiseringen svara på två centrala frågor: 1. ”Hur bra eleven klarar uppgifter som återspeglas i undervisningen? 2. Hur arbetar eleven med uppgifterna?”
I första fallet jämför man eleven till något som man tycker är standard. I andra fallet studeras elevers tanke- och arbetsprocesser. Den nödvändiga fortsättningen är att tolka och planera, anser han. I den här fasen är elevers personlighet en viktig faktor för att fatta beslut hur eleven ska arbeta vidare.
Magne (1980) skiljer mellan två typer av diagnoser, funktionell diagnos, då man analyserar elevers matematikprestationer i ett helhetssammanhang och etiologisk diagnos, där
bakgrunden till elevers arbetsvanor undersöks. Vidare anser han att den funktionella
diagnosen inte är en tillräcklig premiss, utan den bör kompletteras av den etiologiska diagnosen för att få en helhetsbild av elevers inlärningspotential.
Enligt Ostad (i Magne 1980) kan en funktionell diagnos bedrivas på olika sätt bl.a. som: • Lärarens egen observation
• Genomgång av skriftliga arbeten • Samtal med eleven
• Lärarens egna prov m.m.
Observationsmetoden ger bra resultat om man genomför den systematiskt, vilket innebär att läraren på förhand bestämt sig för vad som skall iakttas och vilka elever som skall studeras. Detta antecknas så detaljerat så möjligt och därefter följer tolkningen och åtgärderna, skriver Magne (1980). Under genomgången av elevernas skriftliga arbeten är det viktigt, fortsätter han att få fram så omfattande information som möjligt, utan att vara till stort besvär för eleverna. Vidare påstår han att samtalen med eleverna är individuella och därför kan de se olika ut. Tanken med lärarens egna prov kan variera beroende på vad läraren vill veta om eleverna utöver sin undervisning, tycker Magne (1980).
4.2.3 Empirisk forskning
Multiplikation i de tidiga åldrarna
I sitt examensarbete Den tidiga multiplikationsinlärningen, undersöker Anders Ljunggren och Camilla Ramstorp (2006) om hur eleverna lär sig multiplikationstabellerna och vilka
svårigheter de har vid inlärningen. De säger att eleverna inte upplever multiplikation som en upprepad addition. Deras åsikt är att detta kan bero på att läraren går för snabbt fram och att eleverna inte hinner med att ta till sig kunskapen och förståelsen. Lärarna fokuserar sig för att eleverna skall kunna rabbla multiplikationstabellerna snabbt. Detta sker under en intensiv period och elevernaförhörs sedan under tidspress. Författarna påpekar att en sådan inlärning medför att eleverna inte lär sig att använda sina kunskaper, utan att de endast tränar på att klara multiplikationstabellerna under en tidsgräns. Ljunggren och Ramstorp (2006) betonar också att eleverna måste förstå varför och hur man utför multiplikation. Författarna anser att
läraren bör börja tidigt med bilder. De tror att med hjälp av dem kan läraren tydliggöra
multiplikation för eleverna och tycker att genom att använda sig av bilder stärkas intrycken av vad som sker i multiplikation. För att få svaren har Ljunggren och Ramstorp (2006) gjort undersökningen med elever i årskurs fyra. Eleverna har fått besvara multiplikationsuppgifter och sedan har de blivit intervjuade om hur de har tänkt när de löste uppgifterna. Därefter har Ljunggren och Ramstorp (2006) intervjuat lärare för att se hur de undervisar om
multiplikation. I undersökningen visas att lärare arbetar med laborativt material i den ”tidiga” multiplikationen. Eleverna får möjlighet att arbeta laborativt för att kunna förstå vad som sker. De säger att inga lärare använder begreppet multiplikation utan använder sig av ord som
stycken, gånger och plussa. Vidare skriver författarna att eleverna stöter på svårigheter när de
löser problemuppgifter med text. Eleverna är inte säkra på vilka strategier de bör använda i en problemlösande uppgift. De säger likaledes att lärarna skall tidigt börja lära eleverna att använda olika strategier när de multiplicerar. I klassen, som de har undersökt i har lärarna varit väldigt öppna för att arbeta laborativt. Författarna anmärker att språklig kompetens kan påverka elevernas förståelse av uppgifterna. De påpekar även att en lärare bör ge uppgifter till eleverna som är vardagsanknutna.
Laborativ matematik
Terese Fernberg har i sitt examensarbete Hur arbetar lärare med laborativ matematik (2005) forskat om vad laborativ matematik är och hur läraren använder olika laborativa material i sin matematikundervisning i år F-6. Hon har genomfört en litteraturstudie och intervjuat sex lärare. Utifrån sin undersökning säger Fernberg (2005) att laborativ matematik kan vara allt från plockmaterial till inköpt material. Vidare säger hon att även när eleverna arbetar utomhus, bakar, bygger, använder datorer mm använder de sigav ett laborativt arbetssätt. Samtidigt sätter hon fokus på att en lärare måste ha ett färdigt pedagogiskt koncept för att kunna använda materialet på det rätta sättet. När eleverna arbetar laborativt gör de något som är praktiskt och konkret och ökar förståelsen av matematiska begrepp, säger Fernberg (2005). I hennes undersökning säger de intervjuade lärarna att eleverna experimenterar när de arbetar laborativt. Lärarna påpekar även att eleverna använder sina händer och kroppen och utvecklar en mer konkret uppfattning om det de arbetar med. Vidare säger hon att även läraren kan, när hon/han arbetar laborativt, genom att prova sig fram förklara och träna olika begrepp.
5. Metod
För att få svar på våra frågeställningar har vi använt oss av enkäter, prov, observationer och intervjuer. Prov, följd av enkät, upplevde vi var den lämpligaste metoden med tanke på att vi ville se hur våra aktiviteter kunde befrämja förståelsen för multiplikation. Orsaken till att vi valde enkäten var att metoden passade då vi ville se hur eleverna upplevde proven och se vilka förändringar hade skett innan och efter aktiviteterna. På samma sätt ville vi jämföra hur eleverna löste uppgifterna i proven, innan och efter aktiviteterna, för att se vilka förändringar hade förekommit. När det gällde att ta reda på i vilken utsträckning eleverna upplevde
aktiviteterna som intressanta och lärorika tyckte vi att observation var en bra metod. För att få en helhetsbild har vi kompletterat observationerna med intervjuer. Med observation var det även möjligt att besvara frågan om på vilket sätt eleverna gynnades när de arbetade med aktiviteterna i grupp. Observation var lämplig även när vi ville veta vad en lärare kunde upptäcka genom att låta eleverna arbeta laborativt i grupper.
5.1 Urval
Den klass som ingick i vår undersökning var det enda valet vi hade med tanke på den begränsade tiden. En av oss har haft sin VFT i den klass som ingår i vår undersökning. Fördelen med detta var att, förutom att det sparade vår tid, en av oss redan hade en relation med både lärare och elever. Vi har undersökt en fjärdeklass med 22 elever. Tre av dem deltar inte i den vanliga matematikundervisningen och har inte heller ingått i vår undersökning. Vid det första tillfället hade vi bortfall med tre elever, vilket även varorsaken till att de inte har svarat på de första enkätfrågorna och inte ingår i jämförelsen. Samtliga var med vid de återstående tillfällena. När det gäller intervjuerna fick vi tillstånd att intervjua fyra elever av 19 elever.
Prov → enkät → gruppsammansättning → aktiviteter och observation → prov
→ enkät → intervju
Bild 1: Schematisk bild av hur metoden gick till.
I bilden ovan beskriver vi schematiskt hur undersökningen gick till. Vi började med ett prov, följd av en enkät, som bl.a. hjälpte oss att sammanställa grupper. Därefter genomförde vi våra
aktiviteter och observationer. Efter aktiviteterna fick eleverna ett prov till, som också var följt av en enkät. Avslutningsvis har vi intervjuat fyra elever.
5.2 Datainsamlingsmetoder och procedur
För att få data till vår forskning har vi, som vi tidigare nämnt, använt oss av enkäter, prov, observationer och intervjuer.
Från början hade vi bestämt att vår undersökning skulle börja med prov (bilaga 1 och bilaga 2), som skulle ge oss en översikt av hur eleverna löser multiplikationsuppgifter. Därefter skulle de svara på enkätfrågor (bilaga 3 och bilaga 4), som skulle ge oss en överblick om elevernas attityder angående multiplikation.
5.2.1 Prov
Eleverna fick prov vid två olika tidpunkter, ett före och ett efter de aktiviteter vi genomförde. Varje prov bestod av sex uppgifter. Det som var gemensamt för båda proven var att
uppgifterna var av samma typ, men formulerade på olika sätt.
Vi har diskuterat vilka uppgifter som skulle vara lämpligast för vår undersökning och vi kom fram till att provet skulle börja med enkla multiplikationsuppgifter (se begreppsdefinitioner), som eleverna oftast möter i sina arbetsböcker. I den första uppgiften har vi tagit upp tabellerna 1-5 och i den andra uppgiften har vi behandlat tabellerna 6-9. Den tredje och den fjärde
uppgiften har vi konstruerat som textuppgifter, för att se hur de upplever uppgifter där operationen inte är given direkt. På den femte uppgiften ville vi se om eleverna kunde
översätta bilder till det matematiska språket. Avslutningsvis, på den sjätte uppgiften (bilaga 1, uppgift 6), ville vi att eleverna ska både rita och översätta till det matematiska språket. Detta för att vi skulle se vilken taluppfattning de har och hur de tänker när de konstruerar
multiplikationsuppgifter.
5.2.2 Enkät
Vi har konstruerat två enkäter. En enkät fick eleverna vid det första lektionstillfället, efter det första provet och den andra enkäten fick de vid det sista lektionstillfället, efter det andra provet. Varje enkät bestod av fem frågor, som inte var helt identiska.
5.2.3 Aktiviteter
Gemensamt för alla aktiviteter som vi har konstruerat är att de skulle vara konkreta, undersökande och intresseväckande. Idén till den första aktiviteten (bilaga 5) har vi fått i boken Konkret matematik av Olof Magne (1969, s 61). För aktivitet två (bilaga 6) som handlar om konkreta fall, då föremål ordnas i rader med lika många föremål i varje rad har vi hittat idé i Olof Magnes bok Matematik metodik (1978, s 66). Tanken bakom den tredje aktiviteten (bilaga 7) har vi funnit i kompendiet Rutinfärdigheter (1997, s 44).
5.2.4 Observationer
Medan eleverna arbetade iakttog vi hur de bearbetade uppgifterna. Vi hade utgångspunkt i följande frågeställningar:
På vilket sätt gynnas eleverna när de arbetar med aktiviteterna i grupp?
Vad kan en lärare upptäcka genom att låta eleverna arbeta laborativt i grupper? I vilken utsträckning upplever eleverna att aktiviteterna är intressanta och lärorika?
Våra observationer har vi diskuterat efteråt och även fört anteckningar om,för att få en mångsidig bild av situationen. En sådan metod kallar Johansson & Svedner (2001) för
deltagande metod. Med deltagande observationer får man ”inifrånkunskap” och en del av den
tysta kunskapen, påpekar Johansson & Svedner (2001).
5.2.5 Intervju
För att få medgivande av föräldrarna har vi skriftligt formulerat en blankett (bilaga 8). I blanketten presenterar vi oss och vårt arbete och därefter frågar viefter föräldrarnas tillåtelse att fåintervjua deras barn. Vi hade konstruerat intervjufrågor (bilaga 9) som vi ville ha besvarade. Intervjuerna var individuella och genomfördes i ett separat rum. Vid två fall har vi använd oss av bandspelare och i de övriga två har vi skrivit för hand.
5.3. Processen
För att kunna få svar på våra frågeställningar har vi planerat undervisningen i fem etapper. Varje etapp motsvarade ett lektionstillfälle som varade i 40 minuter. Under en hel vecka hade vi fyra lektioner och den femte, som var det sista tillfället hade vi på måndagen veckan därpå.
5.3.1 Etapp 1
Först ville vi se på vilken kunskapsnivå eleverna låg och om de hade eventuella svårigheter med multiplikation. För detta syfte har vi konstruerat olika uppgifter (se bilaga 3) som
eleverna genomförde individuellt. Uppgifterna löste de under ett lektionstillfälle och upplevde det som ett prov. De första två uppgifterna innehåller endast enkla multiplikationsuppgifter, som skiljer sig i svårighetsgrader. Vi valde dessa typer av uppgifter för att se om de behärskar multiplikationstabellerna utantill. Därefter har vi valt uppgifter med text respektive bilder, där vi uppmanade eleverna att rita och beskriva hur de kom fram till lösningen. Den tredje
uppgiften föreställer enstegsprocess och den fjärde kräver två steg för att komma fram till lösningen. Med uppgift fem ville vi lyfta fram för eleverna kända situationer där eleverna kunde ha användning av multiplikation. Uppgift sex skulle ge eleverna möjlighet till att undersöka de olika faktorerna av ett givet tal.
Efter att eleverna var klara med uppgifterna fick de enkätfrågor (se bilaga 4) som de skulle besvara. Svaren skulle hjälpa oss att se hur eleverna upplevde multiplikation och uppgifterna de har fått. Meningen var även att jämföra svaren och se vilka förändringar hade skett innan och efter aktiviteterna. Sedan fördelade vi eleverna i grupper om fyra. Vi grupperade eleverna enligt hur de löst uppgifterna. Varje grupp bestod av två elever med högre, respektive lägre resultat på provet. Endast fyra av 19 elever fick föräldrarnas samtycke att delta i vår intervju. Detta fick delvis avgöra gruppsammansättningarna, eftersom vi ville ha minst en elev i varje grupp som vi kunde intervjua.
5.3.2 Etapp 2
En omgruppering av eleverna var nödvändig, då två elever som inte var med vid det första tillfället nu tillkom. De eleverna bildade en grupp, vilken inte skulle ingå i observationerna. Anledningen var att det saknades både svar från enkäten och resultat från det första provet.
Vi observerade två grupper var, med tre till fem deltagare i varje grupp. I var och en av de grupperna som vi observerade ingick en elev som vi fick tillstånd att intervjua.
Under detta lektionstillfälle utförde vi en aktivitet. Aktiviteten leder till multiplikationsidén genom att låta eleverna undersöka sambandet mellan punklinje – mönster och tal – mönster.
Bild 2: På hur många sätt kan flickorna höra ihop med djuren?
http://helenas.dagar.se/bilder/rita/flickdocka_051030.gif http://www.eksjo.se/mathpuzzle/djur.gif
Vi ritade både flickorna och djuren (se bild 2) och ställde frågan på hur många sätt flickorna kan höra ihop med djuren. Sedan drog vi streck mellan djuren och flickorna. Tillsammans med eleverna gjorde vi en tabell (se tabell1), där vi skulle översätta händelsen till det matematiska språket.
Problem Antal flickor Antal djur Antal streck Uträkning
1 2 2 4 2*2=4
2 2 3
3 2 4
4 2 5
Tabell 1: På hur många sätt flickorna kan höra ihop med djuren, skrivet på det matematiska språket.
Varje grupp fick två flickdockor och fem leksaksdjur för att vidare undersöka med olika antal djur, först med tre, fyra och slutligen med fem. Eleverna använde pinnar som föreställde streck. De räknade antalet pinnar och kopplade det till det matematiska språket genom att skriva i tabellen. På slutet kom somliga grupper fram till tavlan och förklarade hur de hade tänkt.
5.3.3 Etapp 3
Till den andra aktiviteten hade vi ritat skåp med olika antal hyllor och klippte 24 muggar till varje skåp. Eleverna fick som uppgift att klistra in muggarna i skåpen med lika många muggar i varje hylla. Idén med hyllorna fick vi i Magnes (1978) bok. Vi tycker att detta är en uppgift som ger eleverna utrymme att undersöka talet 24 och även uppleva multiplikationen som en effektivare räkning än ett-till-ett principen. Efter att de hade klistrat skulle eleverna skriva det på det matematiska språket. Eleverna fick redovisa sina tillvägagångssätt gruppvis framför tavlan.
5.3.4 Etapp 4
Den tredje och sista aktiviteten gick ut på att undersöka multiplikationstabellerna. För att se om eleverna kände igen hundratabellen hade vi den på OH-blad och tillsammans med
eleverna tittade vi efter mönster. Sedan skulle eleverna hitta ett hemligt tal som vi hade tänkt på, i vårt fall var det talet 15. Detta skulle underlättas av ledtrådar som eleverna fick.
Ledtrådar:
1. Det hemliga talet finns i treans tabell 2. Det hemliga talet är udda
3. Det hemliga talet finns i nedre delen av tabellen, under sexans tabell 4. Det hemliga talet finns i femmans tabell
5. Det hemliga talet är delbart med tre
Efter att de har löst uppgiften fick de gruppvis tänka på ett hemligt tal som de skulle skriva ledtrådar till. Eleverna fick komma fram till tavlan och läsa ledtrådarna för sina kamrater, som i sin tur skulle hitta det hemliga talet.
5.3.5 Etapp 5
Vid det sista tillfället fick eleverna samma typ av uppgifter som de fick vid det första lektionstillfället. De uppgifterna ville vi jämföra med de första uppgifterna för att se om det hade skett förändringar i deras tankesätt. Därefter har de svarat på enkätfrågor. I den andra enkäten har vi ändrat på fråga nummer två (jämför bilaga 3 och bilaga 4). Efter lektionen har vi intervjuat fyra elever. För att se i vilken utsträckning eleverna upplevde att aktiviteterna var intressanta och lärorika frågade vi eleverna om vad de tyckte om aktiviteterna och om de hade lärt sig något nytt. De övriga frågorna som vi har ställt till eleverna skulle hjälpa oss att se
6. Resultat
Eleverna skulle lösa uppgifterna och besvara våra enkäter, inledningsvis och avslutningsvis, för att vi sedan skulle jämföra och se eventuella skillnader. Intervjuerna skulle vi jämföra med våra observationer för att få möjlighet att se hur eleverna tänkte och upplevde aktiviteterna i relation till hur vi tolkade dem.
6.1 Prov 1
Nedan följer en analys av det första provet. I följande analys ingår 16 elever där vi har två bortfall.
När det gäller uppgift ett som barabestår av enkla multiplikationsuppgifter har de flesta elever klarat det bra. Inga elever hade mindre än nio rätt (se tabell 2). Av 16 elever har 10 alla rätt på de två första uppgifterna. Fyra elever har ett fel och två elever tre fel.
Antal rätt uppgift 1 och 2 Antal elever
12/12 10
11/12 4
9/12 2
Tabell 2: Resultat av den första och andra uppgiften.
Alla som hade 11 och 12 rätt på de första två uppgifterna har även klarat den tredje uppgiften. Däremot har de, som hade 9 rätt på de två första uppgifterna svarat fel (se tabell 3).
Uppgift Antalet elever som svarat rätt av 16 elever
3 14
4 10
När det gäller den fjärde uppgiften, som är en textuppgift har fem elever utav 16 svarat fel och en elev har inte alls svarat.
Uppgiften fem består av a, b och c uppgifter. Utifrån tabell 4 ser vi att i uppgiften a är det 14 elever av 16 som svarat rätt, samma antal elever har svarat rätt i uppgiften b och på c har 11 elever svarat rätt.
Uppgift 5 Antal elever som svarat rätt av 16 elever
a 14
b 14
c 11
Tabell 4: Resultat av den femte uppgiften.
I uppgift sex har vi analyserat elevernas svar utifrån hur de konstruerat lösningarna. Vi har uppmanat eleverna att redovisa sina lösningar både genom att rita och skriva på det
matematiska språket. När vi gick igenom elevernas lösningar kunde vi se att alla förutom en elev hade skrivit ett svar. Dessutom hade en elev använd sig av fel antal. Det som är intressant för vår del är tabell 5 (se nedan). Utifrån tabellen ser vi att sju elever har använt sig av bara bilder, två elever bara av det matematiska språket, medan sju elever har använd sig av både bilder och skrivit på det matematiska språket. När det gäller antal sätt att utforma det givna talet har sju elever kommit fram till ett sätt, fyra elever har kommit fram till två sätt och fyra elever har gestaltat talet på fyra olika sätt.
Antal sätt Uppgift 6
Antal elever
Bara ritat Bara skrivit som produkt Både ritat och skrivit som produkt 0 eller fel antal 1
ett 3 4
två 2 2
tre
fyra 1 2 1
6.2 Enkät 1
På frågan vad multiplikation betydde för eleverna var det nio elever utav 16 som svarade
gånger. För en elev betydde multiplikation matte. Två elever svarar att de inte vet och två att
det var någonting som är roligt. En har svarat att det inte betydde någonting, men han bara gillade. En elev svarar, att det inte betyder mycket för honom.
På frågan hur eleverna lärde sig multiplikation har de flesta svarat att de har tränat mycket på det hemma och/eller i skolan. En av eleverna har tränat med miniräknare. En annan elev säger att det var lätt att lära sig multiplikation och två svarat att de inte vet.
När det gäller frågan om vilka av uppgifterna, som eleverna har fått av oss, de tyckte bäst om att lösa har de svarat olika. En av eleverna tyckte om alla uppgifterna. En tyckte inte om någon alls. Tre elever vet inte. Två gillade uppgifterna med text och tre gillade de med bilder. Sex av eleverna tyckte bäst om de två första uppgifterna.
Lättast att lösa var de två första uppgifterna, upplevde fem elever. Tre elever tyckte att uppgifterna med bilder var lättast, medan sju elever tyckte att alla uppgifter var lätta. En elev säger att uppgift ett, tre, och fem var lättast.
Svårast att lösa var uppgifterna med text, tyckte två elever, medan en tyckte att uppgift två var svårast. En elev viste inte och en annan upplevde att ingen uppgift var svår.
6.3 Aktivitet 1
Vi valde aktiviteten med flickorna och djuren, eftersom vi tyckte att aktiviteten kan bidra till ökad förståelse då den erbjuder eleverna att undersöka multiplikation.
6.4 Aktivitet 2
I aktiviteten med hyllorna skulle vi lyfta fram användningen av multiplikation i vardagslivet. I grupperna fick eleverna hjälpa varandra för att hitta lösningar till de olika skåpen. När de redogjorde för klassen visade det sig att de var en mängd variationer av tillvägagångssätt.
6.5 Aktivitet 3
I denna aktivitet har vi använd oss av hundratabellen. Tillsammans med eleverna undersökte vi hundratabellen för att se hur den är uppbyggt. Det visade sig att hundratabellen var bekant för vissa elever. Därefter har eleverna fått i uppgift att hitta ett hemligt tal som vi har valt. För att eleverna skulle hitta talet fick de ledtrådar (se i metod, etapp 4). När eleverna hittade det rätta talet fick de gruppvis konstruera en uppgift. De skulle välja ett hemligt tal och skriva ledtrådar. Efteråt läste de ledtrådarna för sina klasskamrater som skulle hitta talet.
6.6 Observationer Aktivitet 1
Under vår observation, vid den första aktiviteten, var många elever stökiga, hade svårt att sätta i gång och koncentrera sig på uppgiften. Samtidigt har de inte etablerat tydliga relationer och roller i gruppen. Vissa elever kunde inte fokusera på att lösa uppgiften.
Grupp1: Eleverna i denna grupp kände inte behov av att använda sig av materialet som vi hade delat ut. De frågade om de fick undersöka med ett större antal utan att använda material.
Grupp2: I denna grupp var det överraskande att en elev som hade presterat lågt på provet visade stor engagemang och kompetens vid aktiviteten. En annan lågpresterande elev var inte med och visade inte något engagemang, utan la fokus på föremålen som han upplevde var spännande.
Grupp3: Samarbeten i gruppen fungerade inte på riktigt. Ingen givande diskussion pågick och eleverna arbetade enskilt.
Grupp4: En elev upplevde aktiviteten som tråkig eftersom den var lätt. De andra undersökte och försökte lösa uppgiften.
Aktivitet 2
Under denna aktivitet var eleverna aktiva och engagerade. Rollerna i grupperna var tydligare. Eleverna har arbetat för att få fram lösningen. Eleverna redovisade sina lösningar för
Grupp1: Alla i gruppen arbetade flitigt.
Grupp2: I gruppen förekom diskussion mellan två elever. Den ene eleven klarade inte uppgiften men fick hjälp av sin kamrat som förklarade hans sätt att lösa uppgiften.
Grupp3: En elev från denna grupp frågade en elev från grupp fyra, som hade ett likadant skåp, om hur många föremål det skulle vara på en hylla. När den andra började förklara hur hon själv kom till lösningen sa eleven att hon bara ville ha svaret.
Grupp4: Alla arbetade flitigt. En elev tyckte att det var för lätt.
Aktivitet 3
Efter presentation av den tredje aktiviteten visade eleverna intresse och engagemang. Eleverna arbetade flitigt i sina grupper och samarbetade i större utsträckning än vid de föregående aktiviteterna.
Grupp1: Eleverna samarbetar för att hitta det hemliga talet. Efteråt diskuterar de helhjärtat med varandra om vilket tal skulle vara svårast för kamraterna att gissa.
Grupp2: När eleverna fick ledtrådarna till det hemliga talet frågade en av eleverna sin kamrat vilka var udda och jämna tal. En annan elev, som presterade lågt på provet, var engagerad och utstrålade självsäkerhet.
Grupp3: Alla arbetade flitigt tillsammans, utom en elev som inte integrerades i gruppdiskussionen. Eleven arbetade, men självständigt.
Grupp4: Under diskussionen upptäckte eleverna att treans tabell kunde vara i två riktningar, vilket vållade svårigheter för somliga.
6.7 Prov 2
För att se om aktiviteterna har bidragit med nya insikter valde vi att ge eleverna uppgifter med liknande innehåll som vid det första tillfället. Nedan följer resultat av elevernas svar.
Antal rätt uppgift 1 och 2 Antal elever
12/12 13
11/12 2
9/12 1
Tabell 6: Resultat av den första och den andra uppgiften från det sista tillfället.
Tabell 6 visar att 13 elever av 16 har fått fullständiga svar på uppgift ett och två. Två av eleverna har svarat rätt på 11 av 12 möjliga svar och en elev har nio rätta svar på de två första uppgifterna.
Uppgift Antalet elever som svarat rätt av 16 elever
3 16
4 9
Tabell 7: Resultat av den tredje och fjärde uppgiften från det sista tillfället.
Tabellen ovan visar resultat från den tredje och fjärde uppgiften. Vi ser att i den tredje uppgiften har alla svarat rätt. Vi vill påpeka att en elev har redovisat svaret med en bild.
På uppgift fyra har nio elever svarat rätt. En elev har använt sig endast av bilder och det är samma elev som hade ritat på uppgift tre. Av de sju som har svarat fel har fyra inte ens försökt lösa den, två har löst bara det ena steget och en elev har räknat fel.
På uppgiften fem, som innehåller bilder och är en a, b och c uppgift, har 13 elever svarat rätt på hela uppgiften. Två av de 13 eleverna har inte använt sig av multiplikation utan har räknat sig fram till svaret genom att räkna varje föremål. De övriga tre eleverna har haft ett felaktigt svar på någon av bilderna. Av tabell 8 kan vi se att 15 elever har svarat rätt på uppgift a. På uppgift b har 14 elever svarat rätt och på uppgift c har 16 av 16 elever svarat rätt.
Uppgift 5 Antal elever som svarat rätt av 16 elever
a 15
c 16
Tabell 8: Resultat av den femte uppgiften vid det sista tillfället.
I uppgift sex har vi som tidigare analyserat elevernas svar utifrån hur de konstruerat svaret. I tabell 9 kan vi se att åtta elever har använd sig av bara bilder, medan sju elever har använd sig av både bilder och skrivit på det matematiska språket. En elev har ritat, men skrivit en produkt som inte stämmer överens med bilden. När det gäller antal sätt att utforma det givna talet har elva elever kommit fram till två sätt, en elev har kommit fram till tre sätt och två elever har gestaltat talet på fyra olika sätt. Två elever har svarat felaktig. I detta sammanhang är det viktigt att påpeka att vi har upptäckt vissa brister på denna uppgift. Vi ville att eleverna ska både rita och översätta till det matematiska språket, men hade glömt skriva det i uppgiften.
Antal sätt Antal elever
Bara ritat
Bara skrivit som produkt
Både ritat och skrivit som produkt
Delvis ritat och delvis skrivit som produkt ogiltigt svar 2
ett
två 5 5 1
tre 1
fyra 1 1
Tabell 9: Resultat av den sjätte uppgiften vid det sista tillfället.
6.8 Enkät 2
I den andra enkäten har vi ändrat på fråga två, eftersom vi ansåg att svaren på hur de lärde sig multiplikationstabellerna inteskulle påverkas av våra aktiviteter. Efter att vi hade genomfört våra aktiviteter uppstod det en mer väsentlig fråga, nämligen när eleverna brukade använda sig av multiplikation.
På frågan vad multiplikation betydde för eleverna var det fem elever utav 16 som svarade
gånger. För tre elever betydde multiplikation matte. Tre elever svarade att de inte visste och
multiplikation inte betydde någonting för dem, medan en elev svarade att multiplikation var viktig.
På den andra frågan, om när eleverna använde multiplikation, svarade sju elever att de använde den när de hade matte. Två elever skrev att de använde multiplikation när de hade
gånger. Tre elever svarade att de inte visste och en skrev att den använde multiplikation när
det behövdes. En elev svarade att hon använde sig av multiplikation ibland. En annan elev svarade att hon använde multiplikation när hon hade matte och hemma och en elev skrev när det var många stycken.
När det gällde frågan om vilka av uppgifterna som de tyckte bäst om att lösa hade fem elever svarat att de inte visste. Tre elever skrev att de tyckte om alla uppgifter. Två tyckte inte om någon uppgift alls. En svarade att det var den sista uppgiften, medan en annan elev svarade uppgiften med många ben. Två svarade att de tyckte bäst om uppgifterna med gånger. En tyckte om uppgiften med blommorna och gånger, medan en elev svarade uppgift ett.
På frågan vilka uppgifter som kändes lättast att lösa var det fyra elever som svarade att det var de två första uppgifterna. Två elever skrev att den första var lättast, medan tre elever inte visste och en elev tyckte att den sista var lättast. Sex elever tyckte att alla uppgifter var lätta.
Svårast att lösa, tyckte två elever var den fjärde uppgiften, medan en elev tyckte att uppgifterna med text var svårast. Tre elever visste inte och tio elever upplevde att ingen uppgift var svår.
6.9 Intervjuer
Nedan presenterar vi våra intervjufrågor och svaren från eleverna.
1.Vad betyder multiplikation för dig? Elev 1: ”Det betyder matte för mig.” Elev 2: ”Man gångar de talen som står.” Elev 3: ”Jag vet inte.”
Elev 1: ”Som matte.” Elev 2: ”Kul”
Elev 3: ”Jag tycker det är alltså roligt” Elev 4: ”Kluriga gåtor ibland.”
3. Vad tycker du är svårt med multiplikation? Elev 1: ”Läsetal”
Elev 2: ”Multiplikation, det är svårt” Elev 3: ”Textuppgifter”
Elev 4: ”Jag tycker inte att multiplikation är svår. Jag har tränat på det så jag kan. Så är det”
4. Berätta hur du tänkte när du löste de olika multiplikationsuppgifterna
Elev 1: ” Det var svårt med multiplikation med olika tal som är svåra. När det är mycket tal. Text. Prov.”
Elev 2: ”Jag vet inte. Jag bara kan det.” Elev 3: ”Jag kan inte förklara.”
Elev 4: ”Jag bara får svaret direkt”
5. Vilka av dessa uppgifter tycker du bäst om att lösa? Elev 1: ”Uppgifterna ett och två”
Elev 2: ”Uppgifterna ett och två är lätta” Elev 3: ”Uppgift ett och två”
Elev 4: ”Vanliga gånger och den med benen”
6. Hur säker är du på multiplikation? Elev 1: ”Väldigt säker”
Elev 2: ”Så där”
Elev 3: ”Väldigt säker” Elev 4: ”Ganska säker”
7. Vilka uppgifter kändes lättast att lösa? Elev 1: ”Den första”
Elev 3: ”Ettan och tvåan” Elev 4: ”Ettan och tvåan”
8. Vilka uppgifter kändes svårast att lösa? Elev 1: ”Fyran”
Elev 2: ”Uppgifterna med text” Elev 3: ”Uppgifterna med text” Elev 4: ”Uppgifterna med text”
9. Attityder till våra aktiviteter:
a) Vad tycker du om de aktiviteter som vi har gjort? Elev 1: ”Roligt. Gånger. Nytt”
Elev 2: ”Kul. Roligt att göra.”
Elev 3: ”Den med multiplikationstabellen, när man skulle hitta på eget tal var rolig.” Elev 4: ”Jag tyckte att den med hyllorna var tråkig, bara den.”
b) Har du lärt dig något från aktiviteterna? Elev 1: ”Ja, matte på ett roligt sätt.”
Elev 2: ”Jag har lärt mig och fick tänka. Det är lättare att förstå så.” Elev 3: ”Jag vet inte, men kanske”
7. Diskussion
För att få en helhetsbild och se hur eleverna tänker och upplever multiplikation har vi gjort en rymlig undersökning under den tid vi har haft till vår förfogande. Vidare ville vi se om
elevernas förståelse av multiplikation kunde stärkas av våra aktiviteter.
De aktiviteterna som vi genomfört går ut på att ge eleverna inre bilder av tal som de kan använda i olika sammanhang. På detta sätt ville vi väcka elevernas intresse och lust till inlärning. Aktiviteterna har vi genomfört i grupper med avsikt att stimulera elevernas samarbetsförmåga.
7.1 Analys av aktiviteterna
Den första aktiviteten handlar om att undersöka multiplikation genom att binda ihop flickorna med djuren och se på hur många olika sätt kan de höra ihop. För att aktiviteten skulle vara mer innehållsrik och kreativ använde vi av oss av små leksaksdjur och pjäser som föreställde flickorna. På ett sådant sätt ville vi att aktiviteten skulle vara meningsfull vilken kunde ge eleverna en bättre förståelse av multiplikationsidén. Under våra observationer har vi sett att eleverna upplevde aktiviteten som intressant, men en del elever tyckte att de inte behövde undersöka för attkomma fram till svaret. Vi inledde aktiviteten med en genomgång för att sätta i gång eleverna. Det visade sig att en del elever kunde få en aha-känsla redan under genomgången och upplevde fortsättningen som onödig. De övriga eleverna, som inte fick den grundläggande förståelsen under genomgången var engagerade i aktiviteten.
Efter aktiviteten ifrågasatte vi om genomgången överhuvudtaget var nödvändig. Det är möjligt att det skulle räcka med att vi bara ställde frågan om på hur många sätt flickorna kunde höra ihop med djuren. På så sätt hade aktiviteten varit mer utmanande, tycker vi.
Den andra aktiviteten var upplagt så att vi skulle bjuda eleverna att använda sig av redan befintliga färdigheter. Dessutom skulle de få möjlighet att fördjupa sin förståelse genom att uppleva ett tal på olika sätt. Under observationen lade vi märke till att vissa elever inte utnyttjade tillfället att ifrågasätta varför eller hur andra elever kom fram tilllösningen. Det kändes att det viktigaste var att få ett svar, som var rätt av någon anledning, men behövdes inte klargöras. Eleverna fick nya erfarenheter när de fick ta del av andra elevers lösningar, eftersom de fick fram olika lösningar till samma uppdrag.
Aktiviteten kring hundratabellen var den mest uppskattade av alla tre aktiviteter. Det kan bero på att eleverna upplevde den som mer utmanande och att det var spännandeatt hitta ett
hemligt tal. Eleverna ville visa sig skickliga framför sina kamrater och var tävlingsinriktade. Meningen var inte att aktiviteten skulle vara tävlingsinriktad, men eleverna upplevde den på det sättet. Det var viktigt vem som först skulle lista ut det hemliga talet. Sedan när de fick i uppdrag att konstruera egen uppgift med ledtrådar ville de vara så gåtfulla som möjligt för att kamraterna inte skulle komma förlätt till svaret. Vi inledde aktiviteten med att visa upp hundratabellen, som de flesta elever kände igen. De kunde även förklara hur den var
uppbyggd. När vi resonerade kring tabellens egenskaper tog vi upp fenomenet om hur jämna och udda tal var placerade och upptäckte att en elev inte hade förstått begreppen udda och jämna tal. Eftersom talets egenskaper var en viktig ledtråd för att hitta det rätta talet fick eleven svårigheter med att komma fram till svaret. Vi påpekar även att en del elever var stressade på grund av att de upplevde uppgiften som tävlingsinriktad. Detta ledde till att de inte kunde följa instruktionerna noggrant. Resten av eleverna var med och följde
instruktionerna på ett grundligt sätt.
Tanken bakom aktiviteten var att eleverna undersöker talens olika egenskaper genom ett spel. Genom att utöka dessa kunskaper får eleverna även bättre förutsättningar för en ökad
förståelse av multiplikation.
Vi upplever att hundratabellen kan ge en mängd möjligheter till en varierad och mångfallig undervisning. Genom att undersöka tabellen kan läraren utmana eleverna. Den kan även hjälpaeleverna att utveckla taluppfattningen, eftersom i tabellen hartalen vissa egenskaper och är på sitt sätt unika.
7.2 Analys av intervjuerna
Syftet med intervjuerna var att se hur eleverna upplevde multiplikation, deras tankesätt när de löste uppgifterna och vad de tyckte om aktiviteterna. De svar vi fick vid våra intervjuer skulle hjälpa oss att se vilket förhållningssätt, till både uppgifter och aktiviteter, eleverna hade.
7.2.1 Attityder till multiplikation
Eleverna hade svårt att koppla multiplikation till verkligheten. Detta påstående förstärktes även när eleverna skulle besvara den andra frågan om hur de upplevde multiplikation. På denna fråga fick vi inte några tydliga svar. Vi kan påpeka att eleverna huvudsakligen kopplade multiplikationen endast till matematiklektionerna. Eleverna upplevde inte operationen multiplikation som något svårt, mendäremot tyckte de att det var svårt med uppgifter med text.
7.2.2 Attityder till uppgifterna
En elev påpekade i intervjun att det tog längre tid att lösa en uppgift med text än att lösa en mängd enkla multiplikationsuppgifter. Det betyder att eleverna var ute efter kvantitet. De kände press att klara så många tal som möjligt istället för att förstå själva uppgifter. Vi tror att det är på grund av de signalerna som eleverna har fått från sin lärare. Enligt Ahlberg (2002) driver vissa lärare fortfarande undervisningar där eleverna i stort sett arbetar endast med matematikböcker och mål. Det är framför allt det arbetssätt som bedrevs i klassen vi undersökte. Varje vecka brukade eleverna få uppgifter som de skulle klara under en vecka. Dessa uppgifter kallades för mattemål.
En annan anledning tillatt eleverna hade svårigheter med textuppgifter berodde påatt sådana uppgifter upplevde eleverna som mer krävande. För att kunna klara sådana uppgifter måste eleverna läsa, tänka och konstruera själva. De ville helst undgå hela processen och bara komma direkt till svaret. Vi stötte på samma fenomen även vid observationerna. Som Wistedt (2001) säger måste eleverna göra något annat än att endast arbeta med sina läroböcker. För att nå fram tillmatematisk förståelse skall eleverna göra spännande aktiviteter och uppgifter, som kan leda till att eleverna sedan kan reflektera och diskutera, påpekas av Ahlberg (2002).
Under intervjun påstod en av eleverna att multiplikation betydde matte, medan en annan elev inte visste. De resterande svarade att multiplikation var gånger eller som en elev preciserade
att gånga två tal. Både under observationerna och under intervjuerna hade vi märkt att
eleverna inte använde begreppet multiplikation. Vi försökte anmärka mot de intervjuade eleverna att det var viktigt att använda sig av begreppet. Eleverna motiverade att det var helt oväsentligt att använda begreppet multiplikation, dels för att deras lärare inte ställde det kravet och dels för att läraren själv använde sig av ”slangen” gångertabellen. Ahlberg (2001) påpekar att eleverna redan i de tidiga åren grundar sitt matematiskt tänkande och att både
kroppsligt och verbalt kan bygga upp nya och stärka befintliga erfarenheter. Eleverna skall uppleva olika termer som en naturlig del av deras liv och användas av dem flitigt. För att få en bättre förståelse av matematiska begrepp behöver läraren, tycker vi, involvera begreppen tidigt.
När eleverna skulle förklara hur de tänkte när de löste de olika multiplikationsuppgifterna fick vi ett Jag bara kan det - svar. Som Johnsen (1997) säger beror detta på att eleverna intefrågar sig hur de tänker när de multiplicerar. Därför är det viktigt att vi som lärare utmanar eleverna att reflektera kring sina svar.
Därefter sa en av deintervjuade eleverna att hon tyckte att multiplikation var svårt om det fanns många olika tal som var ”svåra” och även att uppgifterna med text var krävande. Hon menade att pressen under provet kunde påverka hennes prestation. Då blev eleven förvirrad av tanken att det fanns massor med tal, text och det skulle hindra eleven att tidsmässigt klara alla uppgifter.
Eleverna tyckte att vanliga gånger uppgifter, dvs. enkla multiplikationsuppgifter var lättaste. Vår åsikt är att detta skedde på grund av atteleverna kände igen sådana uppgifter från sin undervisning. En av eleverna sa att även uppgifterna med bilder var lätta. Vi hade förväntat oss att fler elever skulle uppleva bilduppgifterna som lätta, men även från enkätarena kan vi se att de flesta eleverna upplevde uppgift ett och två som lättast. Bland de eleverna som tyckte att uppgifterna ett och två var lättaste, fanns det ett antal elever som tyckte att även
bilduppgifterna var lätta. Vi har konstruerat uppgifter med bilder för att förtydliga
multiplikation. Ljunggren och Ramstorp (2006) anser att det ärviktig att införa bilder tidigt. Med hjälp av bilderna, skriver de vidare, kan läraren tydliggöra multiplikation för eleverna och samtidigt stärka intrycken av vad som sker när man multiplicerar.
På frågan om vilka uppgifter somkändes svårast att lösa svarade alla elever att det var uppgifterna med text. Som vi har påpekat i tidigare sammanhang, har eleverna svårigheter med problemlösande uppgifter.
