NATUR–MILJÖ–SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet
Matematik
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Begreppsträning och problemlösning för
ett meningsfullt lärande
Concept training and problem solving for a meaningful learning
Johanna Andersson
Ämneslärarexamen med inriktning mot gymnasieskolan, 300 högskolepoäng
Datum för slutseminarium: 2020-06-02
Examinator: Leif Karlsson Handledare: Jöran Petersson
i
Förord
Jag som har författat den skriftliga framställningen av detta självständiga arbete som en del av kursen Examensarbete i fördjupningsämnet matematik på avancerad nivå heter Johanna Andersson. Jag har i detta examensarbete utgått från en konstruktivis t isk kunskapssyn och har därför valt att utreda den centrala frågeställningen Vilken påverkan
har begreppsträning på elevers matematiska problemlösningsförmåga? Detta
examensarbete bygger på en idé om att matematisk problemlösning och begreppsförståelse är de mest centrala förmågorna i skolmatematiken samt att en stimulering av dessa förmågor kan stimulera en utveckling av majoriteten av de övriga förmågorna; kommunikationsförmågan, resonemangsförmågan, procedurförmå ga n, modelleringsförmågan och relevansförmågan (Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola, 2011). Arbetets kunskapsöversikt och bedrivandet av en empirisk forskningsstudie har bidragit till bekräftandet och vidareutvecklingen av etablerad kunskap av relevans för lärarprofessionen.
Jag vill ge ett stort tack till samtliga deltagare som medverkat i denna forskningsst ud ie för deras engagemang trots omständigheterna med den då rådande pandemin. Detta examensarbete har i sin helhet förankrats via Shpetim Ademi och reviderats efter granskning av examinator Leif Karlsson. Ett stort tack till både Shpetim Ademi och Leif Karlsson för den värdefulla vägledning som jag anser har varit mycket betydande under bearbetningsprocessen av detta examensarbete.
Maj 2020
ii
Sammanfattning
Detta självständiga arbete i fördjupningsämnet matematik utgör dels en kunskapsövers ikt och dels en empirisk forskningsstudie med utgång i forskningsområdet matematisk
begreppsförståelse och matematisk problemlösning och vänder sig i första hand till
yrkesverksamma lärare och lärarstuderande. Den producerade kunskapsöversikten är huvudsakligen baserad på forskning som belyser och problematiserar elevers begreppsliga inlärning i samband med matematisk problemlösning. Den centrala frågeställningen som den empiriska forskningsstudien ämnar utreda är Vilken påverkan
har begreppsträning på elevers matematiska problemlösningsförmåga?
Forskningsstudiens deltagare utgör sju matematikstuderande gymnasieelever och det empiriska materialet (empirin) som dessa deltagare har producerat utgör begreppskartor och lösningsförslag med tillhörande reflektionstext. Två olika analysverktyg som är förankrade i tidigare forskning om begreppsliga representationer och aspekter av två konstruktivistiska vetenskapsteorier tillämpas vid kvalitativ och kvantitat iv innehållsanalys av forskningsstudiens empiriska material.
Den empiriska forskningsstudiens resultatanalys utgör huvudsakligen en kvantitat iv poängbedömning av deltagarnas konstruerade begreppskartor och en kvalitat iv bedömning av deltagarnas producerade lösningsförslag med tillhörande reflektionste xt. Av den bedrivna forskningsstudiens resultatanalys framgår det att en god förmåga att tillämpa matematikbegrepp vid matematisk problemlösning förutsätter en god förmåga att under begreppsträning beskriva förhållandet mellan motsvarande matematikbegrepp. Vidare tyder studiens resultatanalys på att förmågan att under begreppsträning översätta mellan olika uttrycksformer för att representera matematikbegrepp innebär en god kommunikationsförmåga vid matematisk problemlösning. Avslutningsvis utmynnar diskussionsavsnittet i förslag på hur den empiriska forskningsstudiens resultatanalys via framtida forsknings- och utvecklingsarbeten kan bidra till att nya och effektiva bedömningsverktyg implementeras i matematikundervisningen.
Nyckelord: Begreppsbilden, begreppskartor, begreppsliga objekt, begreppsliga representationer, handlingar, innehållsanalys, matematisk problemlösning, mentala konstruktioner, noder, processer, propositioner, uttrycksformer
iii
Abstract
This independent project in the major subject mathematics constitutes partly a knowledge review and partly an empirical research study based on the research area of mathematical
conceptual understanding and mathematical problem solving and is primarily aimed at
teachers and teacher students. The knowledge review produced is mainly based on research that elucidate and problematizes students’ conceptual learning in conjunctio n with mathematical problem solving. The main question that the empirical research study aims to investigate is What influence does conceptual training in have on students’
mathematical problem solving ability? The participants in the research study constitute
seven mathematics students in upper secondary school and the empirical material (empirical evidence) that these participants have produced constitutes concept maps and solution proposals with associated reflection text. Two different analysis tools that are rooted in previous research on conceptual representations and aspects of two constructivist science theories are applied to qualitative and quantitative content analysis of the empirical material of the research study.
The empirical research study’s result analysis constitutes mainly a quantitative score assessment of the participants’ constructed concept maps and a qualitative assessment of the participants’ produced solution proposals with associated reflection text. The result analysis of the conducted research study shows that a good ability to apply mathemat ica l concepts in mathematical problem solving requires a good ability to describe the relationship between the corresponding mathematical concepts during concept training. Furthermore, the result analysis of the study indicates that the ability to translate between different forms of expressions to represent mathematical concepts during concept training means a good communication ability in mathematical problem solving. Lastly, the discussion section culminates in suggestions on how the empirical research study’s result analysis through future research and development projects can contribute to the implementation of new and effective assessment tools in mathematical education.
Keywords: Actions, concept maps, conceptual objects, conceptual representatio ns, content analysis, forms of expressions, mathematical problem solving, mental constructions, nodes, processes, propositions, the concept image
iv
Innehållsförteckning
1. Inledning och bakgrund... 1
1.1 Syfte och frågeställning ... 2
2. Teoretiska ramverk ... 4
2.1 APOS teorin ... 4
2.2 Ausubelsteorin om meningsfullt lärande ... 6
3. Tidigare forskning ... 8
3.1 Definitionen av matematisk problemlösning... 8
3.2 Matematisk begreppsförståelse i skolan ... 9
3.3 Begreppsbilden och den matematiska problemlösningsförmågan – Ett
ömsesidigt samspel ... 12
3.4 Begrepps- och problembaserad matematikundervisning- Vilken
påverkan har det på elevers lärande?... 14
4. Metod... ..18
4.1 Metodval och metoddiskussion ... 18
4.2 Urval, genomförande och forkningsetiska överväganden ... 21
4.3 Analysverktyg ... 25
4.3.1 Analysverktyg för en kvantitativ framställning ... 26
4.3.2 Analysverktyg för en kvalitativ framställning ... 27
5. Resultat och resultatanalys ... ..28
5.1 Empiriskt forskningsresultat från fas 1 och fas 2... 28
5.1.1 Analys av empiriskt forskningsresultat från fas 1 och fas 2... 29
5.2 Empiriskt forskningsresultat från fas 3 ... 34
5.2.1 Analys av empiriskt forksningsresultat från fas 3 ... 36
6. Diskussion och framtiden ... ..41
6.1 Diskussion av resultatanalys – Del 1 ... 41
6.2 Diskussion av resultatanalys – Del 2 ... 44
6.3 Framtida forsknings- och utvecklingsarbeten ... 48
iv
1
1. Inledning och bakgrund
Mina observationer från den verksamhetsförlagda delen av min utbildning tyder enligt mig på att elever i skolan ofta tycks förlita sig på algoritmer och lösningsförslag från högre auktoriteter som exempelvis lärare vid behandling av matematikproblem. Enligt Skolverket (2011) finns matematisk problemlösning i den aktuella kursplanen både som en matematisk förmåga och som ett centralt innehåll. Även matematiska begrepp finns med i kursplanen som en matematisk förmåga och som ett centralt innehåll (Skolverket, 2011). Pettersson (2009) betonar att utmanande frågor kan stimulera elevernas metakognition på så sätt att eleverna kan upptäcka nya möjligheter att tolka en problemuppgift. Elever tycks således genom problembaserade aktiviteter kunna sträva åt att utveckla en fördjupad förståelse för centrala begrepp inom skolmate matik (Pettersson, 2009). Vidare understryker författaren att en fördjupad begreppsförståelse kan hjälpa elever att utveckla resonemangsförmågan, vilket i sin tur kan hjälpa eleverna bearbeta problemlösningsprocessens olika faser och i förlängningen träna deras matemat iska problemlösningsförmåga. Bergqvist (2014) bekräftar att ett av huvudmålen med matematikundervisning som är baserad på problemlösning är att ge eleverna en möjlighet att utveckla begreppsförståelse inom matematik. En problembaserad matematikundervisning kan enligt författaren emellertid ställa höga krav på matematikläraren, ty läraren under sådana betingelser måste ha viss kännedom om vad som är ett lagom utmanande problem för varje elev.
Den problembaserade matematikundervisningen med fokus på begreppsträning leder enligt Fatqurhohman (2016) till förbättrade resultat med avseende på problemlösning om elever regelbundet tar del av sådana begreppsbaserade aktiviteter. Mina observationer från den verksamhetsförlagda delen av min utbildning visar enligt mig att matematikundervisningen vanligtvis tycks präglas av s.k. katederinlärning där envägskommunikativa lektionsgenomgångar efterföljs av att eleverna individuellt räknar på rutinuppgifter i läroboken eller arbetsblad. Med envägskommunikation menas här att den undervisande läraren i sin lektionsgenomgång antar rollen av att vara en föreläsare och mycket sällan under dessa genomgångar bjuder in elever för kommentarer och diskussion. Med katederinlärning menas här att elever som tar del av envägskommunikativa lektionsgenomgångar utan ett kritiskt förhållningssätt bearbetar den presenterade informationen. Mina undervisningserfarenheter visar enligt mig på att elever som genomgår en katederinlärning oftast leder till en utantillinlärning på så sätt att
2
eleven inte tydligt visar att hen kan relatera den nya informationen till tidigare förvärvärvd kunskap. Enligt Quinnell (2010) påvisar elever en förståelse för relationen mellan matematikbegrepp om eleverna kan upptäcka matematikbegrepp och uppfinna matematiska procedurer. Artikelförfattaren understryker att syftet med begreppsträning via begreppsbaserade aktiviteter nämligen är att träna eleven att relatera nya lärda matematikbegrepp till tidigare lärda matematikbegrepp och i förlängningen utveckla elevens förmåga att utnyttja den egna begreppsbilden vid matematisk problemlösning.
Begreppsbilden är en benämning för samtliga av individens förvärvade kunskaper om ett begrepp och motsvarande processer som individen associerar till begreppet (Pettersson, 2009). Sewell (2002) lyfter fram att lärandet i enlighet med konstruktivistisk lärandeteori inte är ett direkt resultat av själva undervisningen, utan snarare resultatet av hur eleven aktivt behandlar informationen för att konstruera ny kunskap. Vidare understryker artikelförfattaren att det konstruktivistiska lärandet förutsätter en välutveck lad komplexitet i elevens begreppsbild. Vetenskapsteoretiska begrepp som utgår från konstruktivismen kan därför enligt mig vara lämpliga vid analys av elevers begreppsbild och vid analys av motsvarande processer som används vid matematisk problemlösning.
1.1 Syfte och frågeställning
Detta arbete lyfter fram en översikt av tidigare vetenskapligt granskad forskning om huruvida en begrepps- och problembaserad matematikundervisning i skolan inverkar på elevers begreppsutveckling. Kunskapsöversikten behandlar dessutom det ömsesidiga samspelet mellan begreppsbilden och den matematiska problemlösningsförmå ga n. Kunskapsöversikten från avsnittet 3. Resultat och analys i ett självständigt arbete bedriven av Andersson (2018) utgör den större delen av den kunskapsöversikt som rapporteras under avsnittet 3. Tidigare forskning i denna uppsats. Vidare bedrivs en empirisk studie, vars resultat analyseras och diskuteras utefter delar av kunskapsöversikten och aspekter av de två konstruktivistiska vetenskapsteorierna APOS (Actions, Processes, Objects och Schemas) och Ausubelteorin om meningsfullt lärande med fokus på begreppskartläggning. Begreppen från APOS teorin är integrerade i ett analysverktyg som används vid analys av det resultat från den empiriska studien som behandlar matematisk problemlösning. Detta analysverktyg kan bidra till att olika processer från deltagarnas begreppsbild på olika nivåer kritiskt kan studeras. Begreppen från begreppskartläggning baserad på idéer från Ausubelteorin är integrerade i ett
3
analysverktyg som används vid analys av det resultat från den empiriska studien som behandlar deltagarnas konstruerade begreppskartor. Detta analysverktyg kan bidra till att komplexiteten hos deltagarnas begreppsbild indirekt kan studeras genom att relatione n mellan olika begrepp samt olika begreppsliga representationer direkt kan studeras i deltagarnas konstruerade begreppskartor.
Forskningsområdet för det självständiga arbetet är matematisk begreppsförståelse och
matematisk problemlösning. Den empiriska studiens huvudsyfte är att m.h.a kvalitat iva
och kvantitativa metoder undersöka elevers begrepps- och problemlösningsförmåga då elever arbetar med matematisk problemlösning och begreppsbaserade aktiviteter. En avgränsning av en central frågeställning är nödvändig för att bibehålla en röd tråd genom hela arbetet och för att förhindra att texten avviker från det valda forskningsområdet (Backman 2008). Vidare understryker Backman (2008) att en sådan central frågeställ ning ska vara utredningsbar och uppmuntra till ett sökande efter kunskap inom det relevanta forskningsområdet. Den centrala frågeställningen som detta arbetets empiriska studie baseras på är Vilken påverkan har begreppsträning på elevers matematiska
problemlösningsförmåga? Med begreppsträning i undervisningen avses här en undervisning innehållande begreppsbaserade aktiviteter som ämnar stimulera begreppsförmågan. Exempel på sådana aktiviteter kan vara arbete med begreppskartor, laborativa inslag och arbete med problemuppgifter. En begreppskarta definieras enligt Novak och Cañas (2007) och Afamasaga-Fuata’i (2008) som en konstruktion av hierarkiskt ordnade underbegrepp till ett centralt huvudbegrepp. Relationen me llan begreppen i en sådan begreppskarta beskrivs vanligtvis av ett verb mellan utritade pilar som förbinder begreppen. Med en problemuppgift avses här enligt Taflin (2007) ett matematiskt problem som problemlösaren på förhand inte kan lösa på rutin eller m.h.a. kända strategier.
4
2. Teoretiska ramverk
Under detta avsnitt presenteras två konstruktivistiska vetenskapsteorier, vars begrepp tillämpas vid analys av den data som den bedrivna forskningsstudien genererar. De analysverktyg (se underavsnittet 4.3 Analysverktyg) som används i den bedrivna empiriska forskningsstudien är bl.a. baserade på begrepp från APOS teorin och Ausubelsteorin med fokus på Novaks begreppskartläggningsteknik. För den empiriska forskningsstudien används APOS teorins begrepp vid studium av matemat isk problemlösning medan nyckelelementen från Novaks begreppskartläggningstek nik används vid studium av begreppsträning.
2.1 APOS teorin
En vetenskaplig teori om lärande som utgår från antagandet om att matematisk kunskap består i en individs tendens att hantera upplevda matematiska problemsituationer genom konstruering av mentala konstruktioner är APOS teorin (Dubinsky & McDonald, 2001). APOS teorin är akronym för Actions, Processes, Objects och Schemas och teorin innebär att individen mentalt konstruerar handlingar, processer, begreppsliga objekt och organiserar dessa mentala konstruktioner i scheman i syfte att förstå problemsituatio ne n och lösa problemet. Det är därför enligt artikelförfattarna inte tillräckligt att enbart känna till definitionen av ett matematiskt begrepp för en fullständig förståelse av begreppet. Det krävs nämligen att individen i lämpliga situationer vid problemlösning kan tillä mpa begreppet. APOS modellen är en konstruktivistisk teori som särskilt fokuserar på lärande i matematik och utvecklades i ett försök att förklara Jean Piagets koncept reflective
abstraktion in learning till att dessutom innefatta utveckling av mer avancerade
matematikbegrepp (Dubinsky & McDonald, 2001).
Ett första steg i individens begreppsliga förståelseprocess utgör mentalt konstruerade handlingar som individen på förhand bekantat sig med i sina studier (Meel, 2003). En mentalt konstruerad handling kännetecknas enligt artikelförfattaren specifikt av en extern uppfattning om en transformation av ett matematiskt begrepp. Detta innebär att individe n endast kan genomföra begreppsliga transformationer via specifika externa ledtrådar och detaljerade steg för steg instruktione r om hur en operation ska utföras. På denna procedurnivå krävs det nämligen att individen blir informerad om vilka handlingar som ska användas och i vilken sekvens de ska användas. På nästa nivå som utgör minst en
5
mentalt konstruerad process är individen redan kapabel till att välja vilka handlingar som ska utföras och kan bestämma i vilken ordning de ska utföras och på så sätt sker en internalisering (interiorization) av handlingarna för att bilda en process. Denna internaliseringsprocess inträffar nämlige n då individen börjar reflektera över de utförda processerna samt att individen kan reflektera över, beskriva eller t.o.m. omvända stegen i en transformation av tidigare lärda begrepp utan att faktiskt utföra dessa steg (Meel, 2003). Individen utför i.o.m. omvändningen av transformationerna således upprepade gånger samma process, men är inte längre i behov av externa stimuli och individen kan mentalt utföra en process och sammansätta den med andra tänkta processer (Dubinsky & McDonald, 2001). Enligt Meel (2003) uppnår individens begreppsliga förståelse en objektsnivå när individen har identifierat de olika konkreta stegen i en process som ett nytt begreppsligt objekt, vilket innebär att individen då har inkapslat (encapsulated) processerna till ett matematiskt begreppsligt objekt. I denna inkapslingsprocess då ett mentalt begreppsligt objekt konstrueras krävs det dessutom att individen via reflektio n blir medveten om objektet, dess uppsättning processer och att objektet kan transformeras . Individen kan emellertid vid matematisk problemlösning behöva ”kapsla upp” det begreppsliga objektet till de olika processerna, varvid en eller flera av dem används vid behandling av en specifik problemställning (Meel, 2003). Detta är enligt artikelförfattare n en indikation på att individen dessutom kan konstruera mentala scheman för specifika matematikbegrepp, vilket är en mental struktur av sammanlänkade begreppsliga objekt, motsvarande processer och handlingar. Ett schema är sammanhängande där begrepp kan manipuleras och relateras till varandra och schemat bildas av tematiseringe n (thematization) av flera handlingar, processer och begreppsliga objekt. Vidare kan olika scheman dessutom inkapslas och tillämpas som nya begreppsliga objekt tillhöra nde scheman av högre ordning. Enligt Dubinsky och McDonald (2001) kräver konstruktio ne n av schemastrukturer en mekanism som går under benämningen generalisering av ett redan konstruerat schema när individen förstorar området för tillämplighet utan att ändra schemastrukturen. Denna form av expansiv generalisering är enligt Piaget den enklaste formen av reflektiv abstraktion eftersom att den involverar tillämpningen av ett redan existerande schema till en ny uppsättning objekt (Dubinsky & McDonald, 2001).
Borji, Font, Alamolhodaei, och Sánchez (2018) bedrev en multipel fallstudie med 14 deltagande universitetsstudenter som studerade första kursen i matematisk analys i Iran. Studenternas förståelse för att lösa grafiska problem i relation till förstaderivata n undersöktes och deras konstruerade scheman i enlighet med APOS teorin
6
karakteriserades i termer av olika nivåer. Resultatet av denna forskning visar att en majoritet av de studenter som deltog i studien hade stora svårigheter med att utveckla mentala konstruktioner. Därmed uppvisade de även svårigheter med att utföra det praktiska arbete som krävs för att lösa de matematiska problemen med koppling till grafisk representation av derivatabegreppet. Artikelförfattarna hänvisar till forskning i lärande som avslöjar att grundläggande matematikbegrepp inom matematisk analys är komplexa och att det finns ett behov av att lära olika betydelser av sådana begrepp och relatera dem till varandra för en utvecklad begreppsförståelse. Det understryks att APOS teorin bidrar till att försöka karakterisera denna komplexitet. Detta kan enligt artikelförfattarna åstadkommas genom användningen av olika begreppsliga representationer och översättningen mellan dessa representationer och detta betonas vara fundamentalt för utvecklingen av begreppslig förståelse.
2.2 Ausubelsteorin om meningsfullt lärande
Teorin om meningsfullt lärande (meaningful learning theory) tillskrivs den amerikanske psykologen David Ausubel och går även under benämningen Ausubelteorin. Enligt teorin betraktas eleverna som centrala för undervisningens inlärningsprocess och läraren betraktas vara en facilitator (Ausubel, 2009). Meningsfullt lärande sker enligt artikelförfattaren när ny information relateras till förkunskaper och är initialt en långsam process. Detta kontrasteras till utantillärande (rote learning) som istället innebär att den lärande individen oftast via upprepning i en inledningsvis snabb process memorerar ny information utan att relatera den till förkunskaper. En fördel med utantillärande i jämförelse med meningsfullt lärande som lyfts fram är att utantillärande är användbart då information ska memoreras på ett exakt sätt. Exempelvis måste informationen om telefonnummer vara exakt lagrad i minnet. Meningsfullt lärande har å andra sidan tre viktiga fördelar i jämförelse med utantillärande. En av dessa fördelar är att den kunskap som förvärvas meningsfullt bevaras under en mycket längre tid eller t.o.m. under en livstid. En annan fördel är att informationen inte exakt memoreras, vilket underlättar för förvärvandet av ny kunskap som är relaterad till tidigare förvärvad kunskap. Ännu en fördel är att den information som lärts meningsfullt kan tillämpas på många olika sätt för att lösa nya problem (Ausubel, 2009).
Genom att basera sina idéer på Ausubelteorin utarbetade Joseph Novak en teknik som går under benämningen begreppskartläggning (concept mapping) eller begreppskartor
7
(concept maps) (Novak & Cañas , 2007). En begreppskarta representerar enligt artikelförfattarna elevernas kunskap som en hierarkisk struktur av begrepp och tillhöra nde beskrivningar där eleverna relaterar ny information till redan kända idéer. Novaks begreppskarta innehåller fyra nyckelelement. Ett av elementen är huvudbegreppet och tillhörande underbegrepp och detta element definieras som mönster eller regelbundenheter i händelser eller objekt, vilka tolkas m.h.a. begreppen. Huvudbegreppet och underbegreppen betecknas med namn eller symboler inneslutna i en s.k. nod i form av sluten plangeometrisk form. Ett annat element som ingår i en begreppskarta är propositioner och definieras som det semantiska förhållandet mellan minst två begrepp som är sammanlänkade genom användandet av relaterade ord och fraser. Vidare element som ingår i en begreppskarta är länkande ord, vilka fungerar som en union mellan två begrepp och representerar hur de förhåller sig till varandra. Länkande ord kan vara prepositioner och/eller konjunktioner och måste innehålla minst ett verb och det är de länkande orden som sammanlänkar minst två begrepp för att bilda explicita propositioner. Ett sista element som ingår i begreppskartor är länkar, vilka per definition kan vara pilar eller dubbelpilar och dessa används i syfte att relatera begrepp från olika segment av begreppskartan. En slutledning från Novaks 12 år långa studie är att meningsfullt lärande involverar assimileringen av nya begrepp och propositioner i befintliga kognitiva strukturer (Novak & Cañas, 2007).
Enligt (Novak, 1990) representeras betydelsen av ett begrepp av samtliga propositionella länkar som individen kan konstruera och som inkluderar begreppet. Artikelförfattaren understryker via tidigare forskning att begreppskartor förutom att kunna användas som verktyg för att representera individens kunskapsstruktur före och efter undervisning dessutom kan användas som verktyg för att hjälpa den lärande individen att genomgå en progression från utantillinlärning till ett meningsfullt lärande. Vidare forskning på området som artikelförfattaren hänvisar till betonar att majoritete n av de deltagande studenterna uppgav att de blev förvirrade av begreppskartor som redan var konstruerade av deras föreläsare, ty deltagarna själva inte deltog i konstruktionen av dessa kartor. Vidare resultat från en studie med deltagande högstadieelever visade att elever som regelbundet använder begreppskartor i samband med andra aktivitetsbaserade strategier i test som kräver matematisk problemlösning med bred marginal överträffade de elever som inte använder begreppskartor (Novak, 1990). En slutsats i denna studie som även bekräftats av andra studier är att elever och lärare som är vana vid utantillinlär ning har stora svårigheter att anpassa sig till meningsfullt lärandestrategier.
8
3. Tidigare forskning
Under detta avsnitt presenteras en kunskapsöversikt som till stor del är hämtad från det självständiga arbete rubricerad som Elevers begreppsutveckling genom problemlösning
och begreppsträning (Andersson, 2018). Denna kunskapsöversikt är en sammanställ ning
av vetenskapligt granskad didaktikforskning och syftar till att belysa och problematisera den centrala frågeställningen Vilken påverkan har begreppsträning på elevers
matematiska problemlösningsförmåga?
3.1 Definitionen av matematisk problemlösning
Erfarenheter från skolvärlden har format kulturella antaganden om matematikens särart på så sätt att matematik vanligtvis associeras med vishet och förmågan att snabbt finna det korrekta svaret (Lampert, 1990). Henningsen och Stein (1997) hänvisar till Schoenfelds idé om att matematik är dynamiskt och utforskande till sin natur, vilket kräver aktiva genererande tankeprocesser av den som engagerar sig i ett matemat iskt arbetssätt. Detta perspektiv på matematikens natur står i tydlig kontrast till idén om att matematik istället skulle vara en statisk systemstruktur av fakta, procedurer och begrepp. Den dynamiska hållningen till matematik innebär att elevers lärande betraktas som den process eleven genomgår då hen arbetar med och konstruerar kunskap. Motsvarande lärandeaktiviteter för dessa matematiska processer kräver att eleven systemat iskt använder matematiska verktyg för att upptäcka mönster i syfte att förstå matemat iska strukturer och underliggande samband. Eleven förväntas således kunna använda tillgängliga resurser och på ett adekvat sätt kunna formulera samt lösa matemat iska problem genom att organisera matematiska idéer, tankar och resonera flexibe lt. Artikelförfattarna menar att matematisk problemlösning är en process som kräver flexib la resonemang, vilket innebär att problemlösaren kan formulera antaganden, generalisera antaganden och har förmågan att kunna motivera samt på olika sätt kunna kommunicera de matematiska tankegångarna.
Taflin (2007) nämner i sin avhandling att ett matematiskt problem per definition är en matematisk uppgift som för problemlösaren inte direkt kan lösas på rutin eller m.h.a. kända lösningsstrategier. Ytterligare ett krav som framställs för att den matemat iska uppgiften skall uppfattas som ett problem är att uppgiften måste kräva en ansträngningsnivå och stimulera ett engagemang att fullfölja problemlösningsprocesse n.
9
Nunokawa (2005) beskriver att den matematiska problemlösningsprocessen kan indelas i flera steg. I ett första steg tillämpar problemlösaren sina befintliga kunskaper för att förstå en given problemsituation och anpassar sina kunskaper till problemsituationen. I nästa steg av problemlösningsprocessen inhämtas ny information om problemsituatio ne n som sedan kan relateras till den redan befintliga kunskapen. Vidare lyfter artikelförfattaren fram att ett alternativt steg efter inhämtandet av ny information kan vara att problemlösaren reflekterar över lösningsprocedurer eller bristen på effektiva lös-ningsprocedurer. Därigenom kan problemlösaren utveckla nya lösningsprocedurer och matematiska idéer, vilka i sin tur integreras till den redan befintliga kunskapen. Clarke, Goos, och Morony (2007) instämmer i att den matematiska problemlösningsprocesse n innebär en tillämpning av redan befintliga kunskaper på nya problemsituatio ner. Artikelförfattarna tillägger att matematisk problemlösning kan beskrivas som en problembaserad aktivitet som befrämjar ett matematiskt arbetssätt som i sin tur kräver ett matematiskt tänkande. Artzt och Armour-Thomas (1992) hänvisar till Pólyas heurist iska processer som en standardmodell för att beskriva matematisk problemlösning genom fyra faser; (1) förståelsefasen, (2) planeringsfasen, (3) utförandefasen och (4) utvärderingsfasen. Vidare beskriver artikelförfattarna Schoenfelds episodiska mod ell som en derivering av Pólyas modell för den heuristiska problemlösningsprocesse n. Schoenfelds modell beskriver matematisk problemlösning i fem heuristiska episoder; (a) avkodning/tolkning, (b) analysering, (c) utforskning, (d) planering/implementering och (e) verifikation. Artikelförfattarna understryker att erfarna matematiker tenderar att ett flertal gånger återvända till olika heuristiska episoder medan oerfarna problemlösare kan tendera att genomgå ett fåtal episoder. Exempelvis kan den erfarna matematikern uppvisa heuristiksekvensen; (a)-(b)-(d)-(e)-(b)-(c)-(d)-(e) och den oerfarna problemlösaren kan uppvisa heuristiksekvensen; (a)-(c). Mer forskning för att undersöka de heuristiksekvenser som kännetecknar oerfarna problemlösare vid matemat isk problemlösning i mindre grupper efterlyses idag.
3.2 Matematisk begreppsförståelse i skolan
Rittle-Johnson, Siegler och Alibali (2001) definierar begreppsförståelse som implicit eller explicit förståelse av de grundläggande matematiska begrepp som gäller inom ett kunskapsområde och förhållanden mellan dessa begrepp. Enligt Engelbrecht, Harding och Potgieter (2005) innehåller undervisning som fokuserar på begreppsförståe lse
10
matematiska problem som kräver flexibla resonemang. Artikelförfattarna definie rar undervisning av procedurkunskap som utveckling av kunskap inom definitio ner, algoritmer och system av symboliska representationer, utan koppling till relevanta begrepp. Vidare lyfter artikelförfattarna fram att procedurkunskap enbart är betydelsefullt i samspel med begrepp.
Afamasaga-Fuata’i (2008) introducerar begreppskartor som ett redskap för att ge en systematisk beskrivning av elevers uppfattning av ett visst kunskapsområde. En begreppskarta är konstruerad genom hierarkiskt ordnade begrepp även kallade noder. Dessa noder länkas därefter med enkel- eller dubbelriktade pilar tillsammans med en kort fras som beskriver relationen mellan begreppen. Begreppskartor har visat sig kunna användas för att ge läraren en kartläggning av elevens uppfattning av begreppen. Haiyue och Khoon Yoong (2015) undersökte begreppsförståelsen hos 48 högpresterande hög-stadieelever från Kina genom de begreppskartor som eleverna hade skapat. Begreppskartorna bedömdes utifrån de inkommande- och utgående länkarnas giltighet och antal. Artikelförfattarna fann insikt om dessa länkar mellan flera begrepp på tre nivåer; individuella begrepp, par av begrepp och en kollektiv begreppskarta. Enligt artikelförfattarna kan studium av begreppskartor påvisa styrkan hos de länkar som förbinder två eller flera begrepp och på så sätt kan elevens konceptuella förståelse i viss mening kartläggas. Exempelvis kan avsaknaden av dessa länkar eller svaga länkar vara tydliga indikationer på att eleven saknar eller har bristande förståelse för relatione n mellan två eller flera begrepp (Haiyue & Khoon Yoong, 2015). Artikelförfattar na förtydligar emellertid inte tillvägagångsättet som de har använt för att avgöra hur styrkan hos en länk som förbinder två eller flera begrepp uppmäts. Av denna anledning kan graden av reliabiliteten hos forskningsresultatet ifrågasättas. Det uppstår nämlige n svårigheter i att säkerhetsställa om forskningsresultatet kan replikeras vid upprepade mätningar och oberoende av vem som utför forskningen. Om forskarna använder en hög grad av tolkningar i metodiken för att avgöra styrkan hos en länk i en begreppskarta kan förtydliganden i form av exempelvis tolkningskriterier öka forskningsresultat ets reliabilitet.
Under perioden 2002-2003 deltog 17 elever från den naturvetenskapligt inriktad gymnasieskolan i Anatolia i en empirisk studie som ämnade använda begreppskartor i matematik både som ett examinations- och utvärderingsverktyg samt som ett facilliterande lärandeverktyg (Ozdemir, 2005). Artikelförfattaren konkluderade i sin studie att det inte är lämpligt att använda begreppskartor som direkta underlag för
11
examination och utvärdering. Begreppskartor bör i första hand användas som ett stöd för att underlätta för elevernas eget lärande innan det börjar användas som medel för examination och utvärdering. Vidare behöver elever ägna relativt lång tid åt att lära sig använda och konstruera begreppskartor. Artikelförfattaren föreslår därför att studier som involverar användningen av begreppskartor som lärandeverktyg i undervisningen bör bedrivas under en lång tidsperiod som utgör minst två månader. Men samtidigt kan begreppskartor på lång sikt utgöra ett effektivt hjälpmedel för utveckling av begreppsförståelse samt en förståelse för relationen mellan olika begrepp inom matematik. Hough, O'Rode, Terman, och Weissglass (2007) instämmer i att begreppskartor har ett egenvärde i sig själv, ty det är en lärandeaktivitet som uppmuntrar till en självvärdering av den egna förståelsen av begrepp. Artikelförfattarna har bedrivit ett fem år långt projekt där både nyexaminerade och erfarna matematiklärare via handledning ökat den egna matematikförståelsen. Matematiklärarna uppvisade en ökad förmåga att implementera effektiva aktiviteter i klassrummet och deras språkutveckla nde kunskaper med avseende på matematikundervisningen visade på en förbättring. Resultatet av denna studie indikerar att lärares professionella utveckling bidrar till att lärares begreppsbild ökar i komplexitet. Detta sker på så sätt att förståelsen för och mellan underbegrepp är tydligt sammanbunden i ett komplext associationsnät som utgör en be-greppsbild eller en sammanställning av kunskap. Vidare betonar Hough m.fl. (2007) att begreppskartor är ett respektfullt verktyg för att bedöma lärares utveckling av förståelse för begrepp inom matematik. Dessutom kan gemensam diskussion av olika representationsformer från lärares egna begreppskartor bidra till en modifierad begreppsbild som i större utsträckning tenderar att bli kongruent med övriga deltagares begreppsbild. Artikelförfattarna resonerar inte om möjligheterna att överföra den kollaborativa fasen med gemensamma diskussioner om begreppsliga representationer i begreppskartor till att istället gälla deltagande elever. Det faktum att elever i kontrast till lärare kan vara mer oerfarna i användandet av begreppskartläggning som lärandeverkt yg och inte i lika stor utsträckning reflekterat eller kommunicerat centrala matematikbegrepp försvårar användningen av kollaborativa moment med deltagande elever. Deltagande elever har således inte nödvändigtvis samma utfall som deltagande lärare. Enligt Ozdemir (2005) är tidsaspekten avgörande för den mognad som en oerfaren individ behöver utveckla för att kunna använda och skapa begreppskartor. Med utgång i detta resonemang kan elever med lång tidserfarenhet av begreppskartläggning vara tillräckligt mogna för
12
att kunna delta i ett kollaborativt moment i syfte att diskutera olika aspekter av andra elevers begreppskartor och på så sätt utmana den egna begreppsbilden.
3.3
Begreppsbilden
och
den
matematiska
problemlösningsförmågan – Ett ömsesidigt samspel
En studie av lärarkandidaters förmåga att formulera problem utefter givna premisser påvisade att en gemensam reflektion över de formulerade problemen gav kandidaterna en fördjupad begreppsförståelse och en värdefull översikt av olika lösningsansatser till problemen (Tichá & Hošpesová, 2013). Deltagarna uppgav att de insåg behovet av flera representationsformer vid matematisk problemformulering såväl som vid problemlösning. Lester (2013) som under de senaste 40 åren har forskat kring matemat isk problemlösning sammanställer viktiga principer för en framgångsrik problembaserad undervisning. Artikelförfattaren betonar att regelbundet och långvarigt arbete med matematiska problemuppgifter av varierande karaktär är ett strängt villkor för att elevers matematiska problemlösningsförmåga ska kunna utvecklas. Vidare understryker artikelförfattaren betydelsen av den dynamiska interaktion som råder mellan matemat iska begrepp och de tankeprocesser som används för att lösa problem som involve rar motsvarande begrepp. Med detta menas heuristiska färdigheter, en utvärderingsfas och en medvetenhet om utvecklingen av den egna tankeprocessen i samband med utvecklingen av en matematisk begreppsförståelse. Den senare principen förmedlar enligt Lester (2013) att den matematiska problemlösningsförmågan bäst utvecklas i ett sammanhang då elever lär sig viktiga matematiska begrepp. Niemi (1996) tillägger att endast en liten mängd forskning visar att utantillärande leder till begreppsförståelse och att undervisning därmed borde fokusera på att utveckla begreppsförståelse genom begrepps- och problembaserad undervisning. Vidare hävdar artikelförfattaren att elever bör kunna behärska olika representationsformer på ett lämpligt sätt för att bli duktiga problemlösare och därmed förstå matematikens begrepp. Panasuk (2010) instämmer i att behärskandet av olika representationsformer är en nödvändighet för en fördjupad begreppsförståelse. Artikelförfattaren har i en longitudinell studie undersökt huruvida elevers begreppsförståelse kan bedömas. Det fokuseras på hur matematisk kunskap konstrueras och hur matematikundervisning kan bedrivas för att stimulera till lärande. Resultatet tyder på att elever som övergår från en operationell färdighet till en strukture ll färdighet indikerar att eleven kan uttrycka begreppet m.h.a. olika representationsfor mer
13
och på så sätt uppvisar en fördjupad förståelse av matematiska begrepp. Panasuk (2010) betonar emellertid att det är matematikläraren som bör exponera eleverna för olika representationsformer, ty oerfarna elever inledningsvis inte kan förväntas konstruera dessa representationsformer.
O'Meara, Fitzmaurice och Johnson (2017) belyser ett antal observationer från deras förstudie där lärarkandidater i matematik deltog. En huvudsaklig observation som artikelförfattarna lyfter fram är hur mekaniskt lärande och betoningen på procedurell färdighetsträning på bekostnad av begreppsförståelse resulterar i en svårbruten cykel av ineffektivt lärande. Lärarkandidaterna från det bedrivna projektet var oförmögna att förklara de regler och procedurer som används för att lösa matematiska problem. Istället för att ge en förklaring demonstrerade dessa lärarkandidater många av de egenskaper associerade med procedurell kunskap för lärande. Artikelförfattarna hänvisar dessutom till Schoenfelds påstående om att det huvudsakliga problemet med procedurellt lärande är att det förhindrar ett meningsfullt lärande. Quinnell (2010) hänvisar till forskning som antyder på att matematikundervisningen är i ett stort behov av begrepps- och problembaserade aktiviteter och matematisk problemlösning (Quinnell , 2010, figur 1). Sådana aktiviteter tycks nämligen bidra till matematiskt lärande och utvecklingen av elevernas matematiska förmåga samt en fördjupning av elevers begreppsförståelse.
Fatqurhohman (2016) genomförde en studie av 20 femteklassare i syfte att finna en beskrivning av övergångsprocessen från procedurell förståelse till begreppsförståelse vid arbete med matematisk problemlösning. Det konstateras att den övergångsprocess från procedurell förståelse till begreppsförståelse som elever genomgår vid arbete med matematisk problemlösning är baserad på tre olika aspekter. Den första aspekten innebär en identifiering av begränsningar vid användandet av en algoritm vid problemlösning och den andra aspekten innebär bearbetandet av algoritmen. Med den tredje aspekten menas
Figur 1: De fyra faserna som eleverna kan genomgå under en begrepps- och problembaserad aktivitet.
14
att flera olika begrepp förbinds till en eller flera uttrycksformer av en given struktur som sedan genom matematisk operation omvandlas till en eller flera andra uttrycksformer av en ny struktur. Resultatet visade att endast 10 % av eleverna uppfyllde samtliga tre aspekter och att en överväldigande majoritet endast uppnår den första aspekten (Fatqurhohman, 2016). Artikelförfattaren betonar att en elev som lär sig en matemat isk procedur utan förståelse tycks kräva en omfattande mängd övningar medan elever med en begreppsförståelse sällan uppvisar ”kritiska misstag” vid problemlösning. Nunokawa (2005) betonar att matematisk problemlösning i matematikundervisningen tycks kunna ge elever verktyg för att uppnå en fördjupad begreppsförståelse och därmed ett meningsfullt lärande istället för att elever utan dessa verktyg försöker studera mekaniskt genom att memorera fakta. Artikelförfattaren problematiserar inte om elever dessutom kan utveckla strategier för matematisk problemlösning genom annan form av begreppsträning. Lester (2013) betonar nämligen att elevers problemlösningsför må ga bäst utvecklas under förutsättning att elever lär sig relevanta matematikbegrepp. Det råder således ett ömsesidigt samspel mellan matematisk problemlösningsförmåga och matematisk begreppsförståelse.
3.4 Begrepps- och problembaserad matematikundervisning
– Vilken inverkan har det på elevers lärande?
Haiyue och Khoon Yoong (2015) understryker betydelsen av begreppskartor i en begrepps- och problembaserad undervisning i syfte att undersöka elevers begreppsförståelse av ett specifikt ämnesområde inom matematik samt för att effek tivt kunna kartlägga individuella kunskapsluckor. ”These efforts could strengthen conceptual
understanding among students to overcome the unfortunate common perception that mathematics is only about practicing skills in isolation” (Haiyue & Khoon Yoong, 2015,
s.701). Vidare hävdar annan forskning att elever som upptäcker matematiska koncept och uppfinner matematiska procedurer har en stark begreppslig förståelse för hur de matematiska begreppen är relaterade till varandra (Quinnell, 2010). Vidare konstaterar den hänvisade forskningen att begrepps- och problembaserad undervisning och matematisk problemlösning ger eleverna möjligheten och vanan att använda den egna fantasin i tydlig kontrast till traditionella läromedelsbaserade uppgifter. Påståendet om att läromedelsbaserade problemuppgifter inte i lika stor utsträckning ger elever samma möjligheter som en begrepps- och problembaserad aktivitet är inte tillräckligt välgrundad
15
då artikelförfattaren inte följer upp påståendet med en utvecklad motivering. Svenska läromedel består nämligen idag av slutna och öppna problemuppgifter som testar olika matematikförmågor på olika svårighetsnivåer. Artikelförfattaren understryker dessutom att elever som har möjligheten att utveckla egna lösningsstrategier har en bättre förmåga att tillämpa matematisk kunskap i nya problemsituatio ner än elever som inte har den möjligheten. Hino (2007) sammanställer i sin kunskapsöversikt över olika studier under 1980- och 1990-talet olika effekter som matematisk problemlösning har haft på japansk matematikundervisning. De effekter som artikelförfattaren har identifierat är att matematisk problemlösning (1) har bidragit till fördjupade och vidgande kunskaper om elevers tankeprocesser och lärande i matematik, (2) har motiverat till utvecklandet av en problembaserad matematikundervisning och (3) har utgjort underlag för adekvata verktyg för bedömning av elevers tänkande och inställning.
I en undersökning av 79 elever i årskurs 4 och 5 studerades relationen mellan begrepps-kunskap och procedurbegrepps-kunskap. Resultatet av undersökningen indikerar att de elever som hade begreppsbaserad undervisning visade större framsteg än den gruppen elever som hade procedurbaserad undervisning (Rittle-Johnson & Alibali, 1999). Undersökninge n antyder även att elever som hade procedurbaserad undervisning hade svårigheter att tillämpa förvärvade kunskaper i nya sammanhang. Dessa elever prövade sällan att applicera inlärda procedurer i problem med annan formulering eller i annat sammanha ng. Enligt Rittle-Johnson och Alibali (1999) har tidigare studier visat att elever som förstår grundläggande begrepp inom ett område är kapabla till att använda en korrekt procedur för att lösa relaterade problem, medan elever som lär sig procedurer inte alltid förstår de grundläggande begreppen. En möjlig förklaring till denna asymmetriska relation kan vara att vissa elever försöker komma underfund med varför en procedur fungerar medan andra använder procedurer utan att förstå varför den fungerar. En slutsats av undersökningen är att begreppsundervisning eventuellt kan förhindra att elever utvecklar en felaktig procedur eller att elever inser att deras procedur är felaktig. En utvecklad be-greppsförståelse kan leda till bättre förmåga att tolka problemformulering.
As children solidify their conceptual knowledge, they may begin to realize that their problem-solving procedures are inconsistent with that knowledge. By highlighting such inconsistencies, gains in conceptual understanding may lead children to change their problem-solving procedures. (Rittle-Johnson & Alibali, 1999, sid. 12)
16
Artikelförfattarna resonerar emellertid inte om möjligheter för elever som under en längre tid tar del av en procedurbaserad undervisning ändå eventuellt kan utveckla problemlösningsförmågan och i förlängningen begreppsförståelsen. Om så är fallet kan procedurbaserad kunskap vara en möjlig ingång för att på lång sikt utveckla elevers begreppsbild.
Pugalee (2001) lät 20 elever i årskurs 9 skriftligt reflektera över de egna problemlösningsstrategierna. Genom de skriftliga redovisningarna av problemlösningsprocessen uppvisade eleverna i studien deras matemat iska resonemangsförmåga. Den kvalitativa analysen tyder på att dessa skriftliga beskrivningar kan engagera eleverna i metakognitiva tankeprocesser under problemlösningsprocesse ns orienteringsfas, planeringsfas, utförandefas och utvärderingsfas. Artikelförfattare n understryker att dessa reflektionstexter om den egna problemlösningsprocessen tycks kunna leda till att matematikläraren granskar och förändrar den egna undervisningen i samband med att läraren reflekterar över elevernas skriftliga tankegångar. Resultatet från studien stödjer påståendet om att elevers skriftliga redovisningar av problemlösningsprocessen kan utgöra en informationskälla för matematiklärare vid bedömning. Detta kan nämligen underlätta för lärares kartläggning av hur deras elever lär och tänker om matematik. Henningsen och Stein (1997) betonar betydelsen av Vygotskys idé om stödstrukturer (Scaffolding) för elever i syfte att skapa förståelse och förbinde lser mellan viktiga matematiska begrepp vid matematisk problemlösning. Stödstrukturer inträffar då eleven anses vara oförmögen att lösa en problemuppgift på egen hand och blir vägledd tills dess att eleven själv kan lösa problemuppgiften. Samtidigt uppfattas problemuppgiften fortfarande som en kognitiv utmaning för eleven. Vidare kan läraren stödja eleven under problemlösningsprocessen genom att uppmuntra eleven att modellera de matematiska tankeprocesserna samt uppmuntra eleven att utvärdera och ifrågasätta de egna tankegångarna. Ett dilemma som kan uppstå är att elever av olika anledningar inte alltid är mottagliga för nödvändiga stödstrukturer och artikelförfattarna resonerar inte om hur en sådan utmaning kan bemötas.
Taflin (2007) betonar att matematisk problemlösning tycks förutsätta en förmåga att kunna tillämpa fem representationer av matematiska begrepp; fysisk uttrycksfor m, numerisk uttrycksform, retorisk uttrycksform, estetisk uttrycksform och symbolisk uttrycksform. Att undervisa genom olika representationer kräver att matematikläraren har grundläggande kunskaper om det matematiska innehållet, en god planeringsförmåga och en stark förmåga att analysera de matematiska begreppen såväl som de berörda
17
aktivitetsuppgifterna (Panasuk, 2010). Engelbrecht m. fl. (2005) tillägger att förmågan att kunna tillämpa matematiska begrepp i olika problemsituationer liksom förmågan att kunna översätta begreppen mellan olika representationer utmärker en begreppsförståe lse.
Clarke m.fl. (2007) lyfter fram att användandet av olika representationer tycks förbättra elevens förståelse för centrala matematikbegrepp samt att eleven erhåller en fördjupad förståelse för de färdigheter som krävs vid problemformulering och problemlösning. Vidare betonar artikelförfattarna att olika uttrycksformer för den estetiska representationen tycks vara en väsentlig framgångsfaktor för relativt oerfarna problemlösare. Användandet av olika begreppsliga representationer kan således både vara stimulerande för begreppsbilden och den matematiska problemlösningsförmågan.
Pugalee (2001) hänvisar till Vygotskys vedertagna idé om att skrivprocessen är en genererande handling i en medveten analytisk tankeprocess som syftar till att skapa en strukturerad mening som i sin tur kan forma associationer mellan befintlig kunskap och ny kunskap. Matematisk problemlösning är dessutom en process som kännetecknas av olika lösningsstrategier, olika representationer av begrepp och matemat isk kommunikation (Henningsen & Stein, 1997). Dessa kännetecken är enligt artikelförfattarna av stor betydelse för utvecklingen av elevers matematiska be-greppsförståelse och utvecklingen av deras resonemangsförmåga. Clarke m.fl. (2007) betonar att matematisk problemlösning förutsätter ett matematiskt arbetssätt som i sin tur befrämjar ett matematiskt tänkande. Elever kan nämligen via användandet av matemat isk modellering förankra de matematiska begreppen i ett vardagssammanha ng. Artikelförfattarna antyder att detta utgör en lärandemöjlighet för elever på så sätt att det matematiska arbetssättet som utövas genom problemlösning i förlängningen kan leda till att eleven utvecklar den egna abstraktionsförmågan. Vidare har eleven genom matemat isk problemlösning möjligheten att utveckla sin kreativitet i det matematiska tänkandet och den matematiska resonemangsförmågan.
18
4. Metod
Under detta avsnitt presenteras, problematiseras och diskuteras kvantitativa och kvalitativa undersöknings- och analysmetoder adekvata för den bedrivna empiriska studien. Dessa undersöknings- och analysmetoder ämnar tillsammans bidra till ett forskningsresultat som leder till en utredning av den centrala frågeställningen Vilken
påverkan har begreppsträning på elevers matematiska problemlösningsförmåga? Vidare
presenteras och diskuteras den empiriska forskningsstudiens urval av deltagare, forskningsprocessens genomförande samt forskningsetiska överväganden i relation till den bedrivna studien.
4.1 Metodval och metoddiskussion
Metodavsnittet behandlar en redogörelse för hur det empiriska materialet produceras och valda metoders lämplighet för studiens problemområde diskuteras (Alvehus, 2013). Vidare betonar Alvehus (2013) att avsnittet syftar till att lyfta fram hur metoderna förhåller sig till teorierna samt att avsnittet bör innehålla en diskussion om tillhöra nde analysmetoder. En undersökningsmetod som till den empiriska studien tillämpas vid datainsamling från deltagarnas skriftligt inlämnade lösningar av problemuppgifter är riktad innehållsanalys. Denna kvalitativa undersökningsmetod syftar enligt Bryman (2011) till att bekräfta eller vidareutveckla existerande teorier och metoden innebär att den empiriska studiens forskare utarbetar en motsvarande analysmetod för bearbetning av det producerade datamaterialet. Det kvalitativa analysverktyget för denna undersökningsmetod består av på förhand bestämda kategorier i form av ett kodningsschema som tillämpas för att sortera data utefter de givna kategorierna. Kategorierna är baserade på angivna villkor som är förankrade via tre begreppsliga utvecklingsnivåer från APOS teorin och tidigare forskning om begreppsliga representationer (se avsnitten 2. Teoretiska ramverk och 3. Tidigare forskning). Vidare används kategorierna för analys av det delvis latenta innehållet i det skriftliga materia let. Det senare innebär att den empiriska studiens forskare med stöd av kodningssche mat tolkar det skriftliga underlagets innebörd. Tolkningar är centrala inom kvalitat iv forskning och för att undvika att det blir en subjektiv grund att bygga vetenskap på ska forskaren eftersträva att direkt anknyta tolkningarna till teorier och valda problemområden, vilka i sin tur ämnar bilda en restriktion för tolkningarna (Alvehus,
19
2013). Det sistnämnda innebär dessutom att kvaliteten på tolkningarna kan utvärderas mot teorierna och problemområdet.
För det empiriska materialets resultat kan det uppstå svårigheter att utvärdera tillförlitligheten (reliabilitet) eftersom att undersökningen av elevernas skriftliga material endast utförs av en person och motsvarande utfall om en annan person utför undersökningen är oförutsägbar då analysmetoden är tolkningsbaserad. Graden av reliabilitet kan emellertid till viss del uppskattas efter analysen av datainsamlingen, ty denna del av undersökningen upprepas vid ett flertal tillfällen. Det går däremot inte att förutse om resultaten från denna del av undersökningen kommer att variera vid de upprepade mätningarna. Variationer i resultat från de olika tillfällena då deltagarna medverkar i problemlösningsaktiviteten kan bero på faktorer som bristande kommunikation från forskaren under instruktionstillfället, bristande engagemang från deltagare under aktiviteten och/eller det faktum att deltagarna inte är vana vid sådana aktiviteter. Det krävs då mer tid för träning av dessa aktiviteter än den tid som gäller för denna studie. Enligt Bryman (2011) följer det att graden av reliabilitet inte är en garanti för att mätningarna även ska ha motsvarande grad validitet, men att graden av validitet hos mätningarna förutsätter motsvarande grad av reliabilitet hos mätningarna. Under förutsättning att resultatet inte varierar alltför mycket kan den riktade innehållsanal yse n ha en hög validitet då den är förankrad via tidigare forskning och en teori som är beprövad av andra forskare. Den kvalitativa innehållsanalysen kan inte ensamt besvara den empiriska studiens frågeställning även om aspekter av deltagarnas begrepps- och problemlösningsförmåga m.h.a. denna metod undersöks. Andra kompletterande metoder ämnar under andra aktiviteter försöka besvara den centrala frågeställningen Vilken
påverkan har begreppsträning på elevers matematiska problemlösningsförmåga? De
olika aktiviteterna syftar nämligen till att bidra med data som kan indikera att det sker en påverkan av deltagares mentala konstruktioner relaterade till matematiska begrepp. Målet är då att undersöka hur komplexiteten i den begreppsbild som deltagarna försöker synliggöra kan påverka deltagarnas problemlösningsförmåga.
Den begreppsbaserade aktiviteten innebär att deltagarna individuellt producerar en begreppskarta såsom det beskrivs under avsnittet 2. Teoretiska ramverk och 3. Tidigare
forskning. Undersökningsmetoden kvantitativ innehållsanalys tillämpas vid datainsamling från deltagarnas individuellt producerade begreppskartor. Enligt Bryman (2011) används denna metod för att kvantifiera den explicit givna informationen baserat på förhand bestämda kategorier och detta är i kontrast till den kvalitat iva
20
innehållsanalysen där informationen istället tematiskt ämnas sorteras utefter de bestämda kategorierna. Analysverktyget för den kvantitativa innehållsanalysen består av ett kodningsschema för poängbedömning av de producerade begreppskartorna. Kategorierna i kodningsschemat är baserade på angivna villkor för poängbedömningen och dessa villkor är förankrade via begreppsliga representationer (se avsnittet 3. Tidigare
forskning), Ausubelteorin om meningsfullt lärande samt de fyra nyckelelementen från
Novaks begreppskartläggningsteknik såsom de beskrivs under avsnittet 2. Teoretiska
ramverk. En fördel med den kvantitativa innehållsanalysen är att det är enkelt att ge en
beskrivning av urvalet och utformningen av kodningsschemat (Bryman, 2011). Detta innebär enligt Bryman (2011) att de kvantitativa mätresultaten från en sådan forskningsmetod har en hög reliabilitet på så sätt att de enkla beskrivningarna underlättar för framtida uppföljande studier och replikationer oberoende av vilken forskare som upprepar studiens mätningar. Idealt kan den kvantitativa innehållsanalysen beskrivas som en forskningsmetod, vars analysmetod är objektiv. Vidare är forskningsmetoden oftast icke-reaktiv d.v.s. att studiens deltagare inte blir påverkade av forskarens närvaro, vilket är fallet i den empiriska studien då kvantitativ innehållsanalys tillämpas på begreppskartor. Anledningen till detta är att forskaren inte ingriper då deltagarna individuellt konstruerar sina begreppskartor. Koderna från kodningsschemat inrymmer sannolikt alltid en viss tolkningsgrad även om målet för denna undersökning snarare är att koda manifest innehåll snarare än latent innehåll. Denna problematik med kvantitat i vt innehållsanalytiska undersökningar kan vara en indikation på att kodninge ns instruktionsvillkor inte alltid är tillräckligt tydliga. En konsekvens av detta kan vara att en person som tillämpar de konstruerade koderna vid poängbedömning av deltagarnas begreppskartor inte gör samma bedömning som en annan person som tillämpar samma analysverktyg i motsvarande situation. Vidare kräver koderna att personen som tillä mpar analysverktyget för bedömning av begreppskartor är insatt i de teoretiska begreppen som ingår i instruktionsvillkoren samt att personen har gedigna kunskaper och en komplex begreppsbild inom de områden som begreppskartorna behandlar. Exempelvis kan en person med bristande kunskaper inom det berörda området felaktigt poängbedöma förekomsten av nyckelelement som länkande ord och propositioner, vilket genererar en skev bedömning av begreppskartans kvalitet. Detta innebär att tydliga instruktionsvillkor inte är ett ensamt kriterium för en rättvis användning av analysmetoden som ämnar bidra till hög validitet. De dilemman som kan uppstå vid användning av både kvantitativa och kvalitativa innehållsanalytiska undersökningar kan enligt Bryman (2011) förebyggas
21
genom utprövning av kodningsschemat i en pilotstudie och detta proaktiva tillvägagångssätt kan dessutom bidra till en potentiell utveckling av analysmetoderna.
Föregående begreppsbaserade aktivitet som innebär att deltagarna självständ i gt producerar en begreppskarta följs upp av en begreppsbaserad aktivitet där deltagarna i grupp producerar en gemensam begreppskarta. Under denna aktivitet tillämpas samma kvantitativa innehållsanalys som i föregående begreppsbaserade aktivitet.
4.2
Urval,
genomförande
och
forskningsetiska
överväganden
Deltagarna för den empiriska forskningsstudien utgör sju gymnasieelever som under vårterminen 2020 studerade på högskoleförberedande gymnasieprogram på fyra olika gymnasieskolor i södra Sverige. Under vårterminen 2020 studerade två av deltagarna kursen matematik 2c och tre av deltagarna studerade kursen matematik 3b och två av deltagarna studerade kursen matematik 5. Inför forskningsstudiens genomförande valdes tre huvudbegrepp som sedan tilldelades studiens deltagare. Huvudbegreppet
andragradspolynom tilldelades två av deltagarna (deltagargrupp A), huvudbegreppet derivata tilldelades tre av deltagarna (deltagargrupp B) och huvudbegreppet integral
tilldelades två av deltagarna (deltagargrupp C). Under urvalsprocessen söktes frivill iga deltagare bland de matematikstuderande gymnasieelever som då regelbundet besökte bemannade räknestugor anordnade av den ideella verksamheten Mattecentrum. Den undersökta populationen är således matematikstuderande gymnasieelever som besöker någon av Mattecentrums räknestugor i Malmö. Anledningen till att deltagare inte söktes på en eller flera gymnasieskolor är att gymnasieskolorna i Sverige under vårtermine n 2020 då studien bedrevs rekommenderades av Folkhälsomyndigheten (2020) att övergå till fjärr- och distansundervisning. Antalet elever som via Mattecentrums verksamhet anmälde sitt intresse för deltagande i studien blev sju till antalet och det totala deltagarantalet kunde inte öka då samtliga räknestugor från Mattecentrums verksamhet så småningom stängdes.
Genomförandet av den empiriska studien inleddes med att ett elektroniskt meddelande skickades till samtliga deltagare. Meddelandet består av information om forskningse t ik, studien och dess upplägg samt en länk till ett Google Formulär för bl.a. avstämning av datum för det första deltagarmomentet, den matematikkurs som deltagarna då studerade och vilket eller vilka av de tre föreslagna huvudbegreppen som deltagarna önskar bli
22
tilldelade. Vidare uppmanades deltagarna via formuläret att ange om de önskar få resultatet av deras deltagande skickat till dem via e-post samt om de önskar få ta del av den akademiska uppsats som är ett utmynnande av den empiriska forskningsstud ie n. Deltagarna blev dessutom via det utskickade e-postmeddelandet informerade om att den empiriska studiens forskare tillsammans med en kollega erbjuder dem kostnadsfri läxhjälp som ett sätt att visa uppskattning för det frivilliga deltagandet. Erbjudandet om läxhjälp i den matematikkurs som deltagaren för tillfället studerade innebär läxhjälp via elektronisk kommunikation i form av fjärrmöten och/eller e-post. Detta erbjudande grundar sig på idén om att kostnadsfri läxhjälp kan utgöra ett incitament som har en positiv effekt med avseende på att minimera antalet avhopp bland deltagarna i studien. Under genomförandet av forskningsstudien genomgår studiens deltagare tre olika faser.
Fas 1 - Begreppsträning (individuellt). Ett e-postmeddelande med instruktio n om den begreppsbaserade aktiviteten Begreppsträning (individuellt), en
tilldelning av ett huvudbegrepp och en deadline för en skriftlig inlämning av en producerad begreppskarta skickas till varje deltagare. Meddelandet består dessutom av ett bifogat dokument med relevant information om begreppskartläggning, ett bifogat utdrag ur en begreppskarta och ett bifogat dokument för godkänt deltagande (se Bilaga A, B och C). Enligt instruktionen om aktiviteten Begreppsträning (individuellt) ska deltagaren individuellt konstruera en egen begreppskarta utefter det tilldelade huvudbegreppet. Deltagaren tillåts att använda kurslitteratur och andra informationskällor som stöd till konstruktio ne n av begreppskartan. Samtliga deltagare erbjuds en vecka för deltagande under fas 1. Resultatet av den poängbedömning som motsvarar aktiviteten Begreppsträning
(individuellt) är sammanställt i en kvantitativ framställning. Poängbedömninge n
av deltagarens begreppskarta utgår från instruktionsvillkoren tillhörande ett analysverktyg för en kvantitativ innehållsanalys (se underavsnittet 4.3 Analysverktyg).
Fas 2 - Begreppsträning (grupp/par). Ett e-postmeddelande med instruktio n om den begreppsbaserade aktiviteten Begreppsträning (grupp/par), informa t io n om gruppindelning och en deadline för en skriftlig inlämning av en producerad begreppskarta skickas till varje deltagare. Enligt informationen om gruppindelning indelas deltagarna i tre olika grupper eller par baserat på det
