Föreläsning 7 i Inledande matematik för Z/TD.
Funktioner, de…nitionsmängd. Grafer, sammansatta
funktioner.
1
Introduktion.
Fi kommer att betrakta funktionsbegreppet och dess användning på ‡era exempel. y = f (x)
De…nition.
En funktion f de…nierad på en mängd D som verkar i mängden S ÄR EN REGEL som till varje värde
x2 D = D(f) ordnar =) ett värde
f (x)2 S:
Mängden D = D(f) i de…nitionen kallas för de…nitionsmängd för f. Alla möjliga värden f (x) bildar en mängd R(f) som kallas för värdemängd.
R(f) S
Man säger att funktionen f avbildar elementet x 2 D(f) i elementet f(x) 2 S.
Exempel.
Vi ville beskriva funktionen ln. En naturlig de…nitionsmängd för ln är D(ln) = fx : x > 0g :
Jag vill beskriva funktionen som använder formeln p1 x2: Dess
de…nitions-mängd är:
För jxj > 1 är funktionen ode…nierad
En partikulär funktion kan beskrivas på ‡era olika sätt. 1) Med en avbildningsbeteckning till exempel
f : D ! S; x! x sin(x)f
där de…nitionsmängden och värdesmängden är explicit angivna. Pilen betyder att f avbildar punkten x i punkten x sin(x).
2) Med en formel
f (x) = x sin(x)
som är mindre strikt, eftersom det är inte direkt angivet vilka värden x får anta. 3) Med hjälp av en oändlig summa: P1
k=0
Aksin(kx) + Bkcos(kx) eller 1
P
k=0
akxk
som kan aproximeras med att addera ett stort ändligt antal termer ur den.
4) Sådana approximationer beräknas vanligen med hjälp av ett program i dator på ett sätt som vi även inte direkt känner till.
5) I gamla tider fanns stora tabeller för funktioner där ‡era vården av intressanta funktioner var angivna.
Överenskommelse om de…nitionsmängden.
Om en funktion f är de…nierad bara med en formel, utan att speci…ciera dess de…nitionsmängd, så väljas de…nitionsmängden D(f) som största mängden av reella tal x 2 R sådana att beräkningsresultat för f(x) blir ett reelt tal.
Exempel.
Betrakta funktionen f (x) =p1 x2. Det är tydligt att uttrycket för funktionn
är de…nierad bara om jxj 1.
Detta medför att naturliga de…nitionsmängden är intervallet D(f) = [ 1; 1]
Exempel.
Betrakta funktionen de…nierad av formeln f (x) = x
x2 4
Uttrycket för funktionen är de…nierad för alla reella tal x förutom x = 2 och x = 2. Vi kan framställa des de…nitionsmängd som unioen av tre öppna intervall.
D(f) = ( 1; 2) [ ( 2; 2) [ (2; 1)
2
Grafer av funktioner:
De…nition.
Graf av en funktion f : D(f) ! S är en mängd av punkter (y; x) i planet sådana att y = f (x) för alla x 2 D(f).
Dessa mängder utgör ofta, men inte alltid en kurva i planet. Lite exempel men grafer till olika funktioner
f (x) =px; D(f) = fx : x 0g 5 3.75 2.5 1.25 0 2 1.5 1 0.5 0 x y x y f (x) = 1 px 4; D(f) = fx : x 4g 8 6 4 2 0 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 x y x y f (x) = x x2 4; D(f) = ( 1; 2) [ ( 2; 2) [ (2; 1) 5 2.5 0 -2.5 -5 50 25 0 -25 -50 x y x y y = f (x) =p4 x2 0
Beräkna kvadrat av vänster och höger i uttrycket y =p4 x2och få: y2 = 4 x2;
x2+ y2 = 4 = 22
Observera att efter kvadrering …ck vi en kurva (cirkeln) som innehåller negativa värden för y.
Det är typisk situation, eftersoim dessa ekvationer är inte ekvivalenta!!! Den andra har ‡era lösningar än den första!!!
Inte varje kurva kan framställas som graf av en funktion. En cirkel är ett bra exempel. f (x) = 1 +px 4 10 7.5 5 2.5 0 4 3 2 1 0 x y x y f (x) = 2 x x 1 = 2 x + 1 1 x 1 = 1 x + 1 x 1 = 1 (x 1) x 1 = 1 + 1 x 1
3.75 2.5 1.25 0 -1.25 10 5 0 -5 -10 x y x y
Udda och jämna funktioner.
Betrakta en funktion f :D(f) ! S sådan att om x 2 D(f) så också x 2 D(f). De…nition.
Funktionen f är kallas för udda funktion om f ( x) = f (x): Summor av udda funktioner är udda. Bevisa själv add detta gäller! De…nition.
Funktionen f är kallas för jämna funktion om f ( x) = f (x):
Summor av jämna funktioner är jämna. Bevisa själv add detta gäller! Graf av en jämn funktion är symmetrisk med avseende på y axeln. Exempel (jämn funktion) y = f (x) = x4+ 10x2 5 2.5 0 -2.5 -5 0 -100 -200 -300 x y x y
Exempel (udda funktion) Grafen till en udda funktion blir symmetrisk med avssende på origo.
5 2.5 0 -2.5 -5 5 0 2 5 0 -2 5 -5 0 x y x y
Shift av en graf i x - led.
Grafen av funktionen y = f (x a) är samma kurva som grafen av funktionen y = f (x) skiftad i avståndet a > 0 åt höger: Om a < 0 så blir grafen av funktionen y = f (x a) samma som grafen av funktionen y = f (x) skiftad i avståndet jaj åt vänster.
f (x) = 5x2 x3;(svarta grafen) Vilken graf kommer f (x 2)(röda) ochf (x + 2)
(blåa) att ha?
7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 500 250 0 -250 -500 x y x y
Shift av en graf i y - led.
Grafen av funktionen y = f (x) + a är samma kurva som grafen av funktionen y = f (x) skiftad i avståndet a > 0 uppåt: Om a < 0 så blir grafen av funktionen y = f (x) + a samma som grafen av funktionen y = f (x) skiftad i avståndet jaj neråt.
Re‡ektion av grafen i y - axeln
Grafer av funktioner y = f (x) och y = f ( x) är re‡ektioner av varandra i y -axeln.
5 2.5 0 -2.5 -5 250 200 150 100 50 0 x y x y
Re‡ektion av grafen i bissektrissan av första rektangeln.
Grafer av funktioner y = f (x) och x = f (y) , d.v.s kurvor som uppfyller ek-vationen y = f (x) och ekek-vationen x = f (y) är re‡ektioner av varandra i linjen y = x.
Exempel:
Betrakta y = f (x) = x2 (svarta kurvan) och x = f (y) = y2
3.75 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5 3.75 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5 x y x y och x = y2(y =px; y = px): Exempel. y = f (x) =p2 x 3 Rita grafen.
Rita först grafen till funktionen g(x) =px; D(g) = [0; 1)
5 3.75 2.5 1.25 0 2 1.5 1 0.5 0 x y x y w(x) = p x = g( x); D(w) = ( 1; 0]
0 - 1 .2 5 - 2 .5 - 3 .7 5 - 5 2 1 .5 1 0 .5 0 x y x y p(x) = p2 x = w(x 2) = p (x 2); D(w) = ( 1; 2]: Grafen ‡yttat i 2 åt höger. 1 .2 5 0 - 1 .2 5 - 2 .5 - 3 .7 5 - 5 2 .5 2 1 .5 1 0 .5 0 x y x y
f (x) =p2 x 3 = p(x) 3:Grafen ‡yttar i 3 neråt.
1.25 0 -1.25 -2.5 -3.75 -5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 x y x y Exempel. y = f (x) = 2 jx + 3j
Rita grafen. Rita själva eller kolla i boken.
Sammansatta funktioner.
Exempel med sammansatta funktioner y = f (x) = sin 1x ;
y = f (x) =px(x 1)(x 2) De…nition.
Betrakta två funktioner: f : D(f) ! S med värdemängden R(f) och g : D(g) ! Q med värdemängd R(g).
Vi skall kräva att R(g) är delmängd i D(f). R(g) D(f)
(f g) (x) = f (g(x))
som funktion f g :D(g) ! Q: I det fallet är f g de…nierad på hela D(g):
Det kan uppstå en mera begränsad situation att hela R(g) inte är delmängd i D(f) eller kortare R(g) 6 D(f):
Man kan ite då beräkna sammansatta funktionen f g(x) = f (g)(x) för vilken x som helst ur D(f).
Vi kan föreställa oss att bara någon delmängd i D(g) avbildas med g till D(f):Vi betecknar den delmängden med D(f g) och använda den som de…nitionsmängden till f g med samma formel som innan. För x 2 D(f g) D(g):
(f g) (x) = f (g(x))
Exempel.
Betrakta funktioner f (x) = px oh g(x) = x + 1 och beräkna alla tänkbara sammansatta funktioner med dem. Bestäm de…nitionsmängder av dessa funktioner.
f g(x) =p(x + 1) D(f g) = [ 1; 1) Exempel. Betrakta G(x) = 1 x1+x och G G(x) = 1 1 x 1+x 1+11+xx::::.(förenkla???) = x
Stämmer då att: D(G G) = R ??? Nej, det stämmer inte!
Bara ett felaktigt resonemang med multiplikation och division med (1 + x) leder till den felaktiga slutsatsen!!!
1+x
1+x 6= 1 , inte för alla x!
Det stämmer inte för x = 1eftersom uttrycket 1+x
1+x är ode…nierad i det fallet.
2.1
Styckvis de…nierade funktioner.
Exempel f (x) = 8 < : (x + 1)2 if x < 1 x if 1 x < 1 p x 1 if x 1 5 2.5 0 -2.5 -5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0 x y x y
Grafen består i det fallet av tre separata kurvor. Man skulle markera med en liten cirkel de punkter på kurvor som inte hör till grafen: ( 1; 0), (1; 1).
Exempel
Golv funktionen.
Ett hel tal n sådant att den är största som är mindre än givet reelt tal x: f (x) =bxc = fmax n 2 Z : n xg
Exempel
Tak funktionen.
Ett hel tal n sådant att den är minsta som är större än givet reelt tal x: f (x) =dxe = fmin n 2 Z : x < ng
