Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Elevers svårigheter med bråk
Pupils difficulties with fractions
Jari Kinnunen & Roger Tunryd
Lärarexamen 180 poäng Matematik och lärande Höstterminen 2006
Handledare: Eva Davidsson Examinator: Per-Eskil Persson
3
Sammanfattning
I vårt examensarbete har vi studerat åtta elevers ur årskurs åtta och nio svårigheter med bråk. Under våra praktikperioder på en grund- respektive gymnasieskola har vi upptäckt att många elever inte behärskar de fyra räknesätten för bråk. Vi använde en intervjumetod där vi
grupperade eleverna två och två och de fick gemensamt lösa tio bråkuppgifter. Syftet var att identifiera felmönster för att se hur elever uppfattar begreppet bråk i dess olika
representationer. Vi spelade in intervjuerna på band och avidentifierade eleverna. Resultatet av vår studie visar att elever uppfattar bråk som svårt och att vi ser en samstämmighet med forskningsresultat över tid i fråga om felmönster. Vår förhoppning är att den kan öka kunskapen om elevers syn på begreppet bråk.
5
Innehållsförteckning
Innehållsförteckning ... 5
1. Inledning ... 7
2. Syfte och frågeställningar ... 7
2.1 Syfte ... 8
2.2 Frågeställningar... 8
3. Teoretisk bakgrund... 9
3.1 Konstruktivismen ... 9
3.2 Läroplan och kursplan... 11
3.3 Rationella tal ... 11 3.4 Division ... 12 3.5 Perspektiv på bråk ... 12 3.5.1 N-distraktion... 13 3.5.2 Konstruktiva mekanismer ... 14 3.5.2a Delning ... 15 3.5.2b Likasättande ... 15 3.5.2c Formandet av enhet ... 16 4. Metod... 16 4.1 Urval... 16 4.2 Datainsamlingsmetod ... 17 5. Resultat/Analys av uppgifterna... 18
5.1 Uppgift 1- del av antal... 18
5.2 Uppgift 2 – dela figur i lika stora delar ... 19
5.3 Uppgift 3 – dela figur i givna lika stora delar ... 20
5.4 Uppgift 4 – dela figur i givna lika stora delar ... 22
5.5 Uppgift 5 – jämförelse av bråk... 23
5.6 Uppgift 6 – förhållande, del av figur... 25
5.7 Uppgift 7 – jämförelse, relation ... 28
5.8 Uppgift 8 – formandet av enhet... 29
5.9 Uppgift 9 – formandet av enhet... 30
5.10 Uppgift 10 – formandet av helhet ... 32
6. Diskussion ... 33 6.1 Metoddiskussion... 33 6.2 Resultatdiskussion... 33 6.3 Avslutning ... 35 Litteraturförteckning... 36 Bilaga 1 ... 37 Bilaga 2 ... 42
7
1. Inledning
Vi är två lärarstudenter som läser till lärare för grundskolans senare år respektive gymnasiet. Under våra praktikperioder har vi sett att många elever har stora svårigheter att hantera bråkuppgifter. Våra handledare har också vittnat om hur svaga kunskaper elever har i
grundläggande bråkräkning när de kommer till gymnasiet. I ett projekt ”Gymnasiets mål och högskolans förväntningar” (Thunberg, 2006) ser vi också exempel på hur dåliga förkunskaper i bråk medför svårigheter att klara uppgifter i gymnasiekurserna. Vi har därför velat belysa de problem och svårigheter som elever har med bråk. Vi har intervjuat åtta elever ur årskurs åtta och nio och jämfört deras felmönster med matematikforskares resultat. De resultat vi har kommit fram till finner stöd hos svenska och utländska matematikforskare och vi menar att det behövs fler studier och framför allt en diskussion om bråkräkningens betydelse i
skolmatematiken eftersom den har en stark relevans i fortsatta matematikstudier. Arne Engströms avhandling ”Reflektivt tänkande i matematik- om elevers konstruktioner av bråk” (1997) har varit av speciellt intresse för vår undersökning. Den har inspirerat oss och varit mycket värdefull för vår studie. Problemen är inte nya och det är därför angeläget att de lyfts fram för att undervisningen om bråk ska bli mer effektiv. Elevers kunskaper om bråk måste befästas och de resultat vi har kommit fram till i vår studie tycker vi är ett argument i diskursen.
8
2. Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med det här examensarbetet är att försöka öka kunskaperna om vad svårigheterna med bråkräkning består i och att presentera vilka några av de bakomliggande orsakerna till
svårigheterna kan vara med bråkräkning. Vi vill också undersöka hur väl eleverna har
uppfattat bråkbegreppet och hoppas att denna undersökning kommer att vara till nytta för oss som blivande lärare. Vi vill också fördjupa oss i vilka konsekvenserna kan bli om man inte har ett väl utvecklat bråkbegrepp.
2.2 Frågeställningar
1. Hur resonerar elever när de löser uppgifter med bråk? 2. Hur uppfattar elever tal i bråkform?
3. Vilka svårigheter har elever med bråkräkning?
9
3. Teoretisk bakgrund
3.1 Konstruktivismen
När man talar om konstruktivismen så menar man i allmänhet en syn på elevers lärande som bygger på idén att eleven konstruerar sitt vetande genom att organisera fakta och information till en syntes i sitt tänkande istället för att passivt ta emot den. Under senare delen av 1900-talet har den konstruktivistiska teorin kommit att framträda som ett mönster för synen på lärande även om dess genomslag i undervisningen inte till fullo ägt rum (Engström, 2004).
En undervisning som präglas av konstruktivistiskt tänkande lägger tonvikten på elevens självständiga arbete (Engström, 2004). Den uppmuntrar till gruppaktiviteter och
gruppdiskussioner, lärande i grupp och eget tänkande. Den schweiziske
utvecklingspsykologen och pedagogen Jean Piagets idéer har varit grundläggande för modern konstruktivistisk lärandeterori och genom främst Ernst von Glasersfeld har konstruktivismen som en bärande teori inom didaktisk forskning fått ett uttryck och en framträdande plats inom lärandevetenskapernas diskurs. Konstruktivismens första princip som den formuleras av von Glasersfeld (refererad i Engström 2004) slår fast att ”kunskap mottas inte passivt utan konstrueras aktivt av det lärande subjektet”. Subjektet (eleven) måste agera för att kunskap överhuvudtaget ska vara möjlig att erövra.
Begreppet konstruktivism innehåller även teorier som avviker från grundbegreppet och som har bildats och utvecklats över tid. Detta har skett eftersom synen på vilka faktorer som påverkar elevers lärande har skiftat samtidigt som det västerländska samhället har utvecklats. Socialkonstruktivismen, som har emanerat ur framför allt sovjetisk psykologi och filosofi har förgrenat sig i ytterligare riktningar enligt Ernest (refererad i Engström, 2004) som tar hänsyn till samspelet mellan eleverna, deras samlärande. Man menar att lärandet är en social
konstruktion och att man inte kan se lärandet enbart som en mental och cerebral process utan att man bör ta hänsyn till interaktionen mellan eleverna som en avgörande faktor i deras lärande. Den gren av konstruktivismen som vi har använt i analysen av vårt material baserar sig på Vygotskijs teorier, och är en form socialkonstruktivism som diskuteras av Ernest (refererad i Engström, 2004). Samtalet och språket ges en betydelsefull roll i både lärande och undervisning. Det är genom samtalet som eleven utvecklar och konstruerar sin matematiska
10
kunskap i en dialektisk process. Att erövra matematisk kunskap innebär att eleven diskuterar sina tidigare erfarenheter med andra och genom att interagera med andra formar en individuell begreppsförståelse. I vår undersökning har eleverna sökt lösningar till uppgifterna genom att samarbeta. Vår roll som lärare har varit att uppmuntra eleverna till diskussion om uppgifterna. I ett vidare perspektiv bör läraren uppmärksamma elevens metakognition, att göra eleven medveten om hur han/hon konstruerar sitt lärande och också att han/hon blir medveten om de kognitiva processer som styr tänkandet, vilket diskuteras av Ernest (refererad i Engström, 2004).
Det är också viktigt att inse att konstruktivismen är en teorietisk modell för lärande och att den inte utesluter att andra former av lärande existerar och kan vara fullt möjliga att applicera på andra lärandesituationer, vilket påpekas av Ernest (refererad i Engström, 2004). Att lyssna passivt till en föreläsning kan generera kunskap lika väl som utantillkunskaper och övningar kan göra det
Hur kan ett konstruktivistiskt synsätt på lärande fungera i en klassrumssituation? Jaworski (refererad i Engström, 2004) har identifierat en klassrumsatmosfär med olika nivåer av konstruktivt kunskapsbyggande. Genom att arbeta individuellt eller tillsammans konstruerade eleverna sin förståelse av matematik. Lärarens roll var att ge eleverna uppgifter som
uppmuntrade till matematiskt tänkande och tillsammans skapade de en klassrumssituation där matematisk utveckling kunde äga rum. Sålunda är lärarens roll betydelsefull genom att han/hon väljer vilket material eleverna ska arbeta med. I en kontext med engagerade elever och en lärare som var medveten om konstruktivtisk teori noterade Jaworski att en
kunskapsbyggande process ägde rum.
I vårt arbete har samarbetet mellan eleverna varit en viktig del av det resultat de har kommit fram till då de har löst uppgifterna. Det sociokulturella perspektivet menar vi spelar en viktig roll då eleverna ska angripa ett problem. De lär av varandra och genererar en kunskap genom ett samlärande. Att identifiera elevernas felmönster och att jämföra dem med vad forskare har kommit fram till i sina undersökningar har varit av stort intresse för oss då vi har kunnat se hur forskningen stödjer det vi har kommit fram till och även var våra resultat skiljer sig som t.ex i diskussionen om elevers uppfattning om diskreta respektive kontinuerliga mängder.
11
3.2 Läroplan och kursplan
I läroplanen för den obligatoriska grundskolan. Lpo 94 tas bråkbegreppet upp som en del av elevens taluppfattning och detta specificeras i kursplanens mål (Utbildningsdepartementet, 1998). I slutet av det femte skolåret skall eleven:
ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö.
Utöver detta skall eleven också
ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform.
I slutet av det nionde skolåret skall eleven
ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning.
Utöver detta skall eleven även ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform
3.3 Rationella tal
Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal, p/q, där q ≠ 0 (Nationalencyklopedin (a), 2006). Talet p kallas täljaren och talet q nämnaren.
Strecket mellan dem kallas bråkstreck. Ett rationellt tal är inte definierat för nämnaren noll. Engström (1997) talar om bråken som brutna tal och refererar till latinets ord
fractio. Engelskans ord för bråk fraction och franskans fraction ges som exempel på
latinets inflytande medan vårt svenska ord bråk härstammar från tyskans Bruch. Nämnare kommer från tyskans Nenner medan ordet täljare har sitt ursprung i tyskans
Zähler (Thompson, 1996).
Freudenthal (refererad i Engström, 1997) menar att de rationella talen är komplexa och att det är en möjlig orsak till att elever stöter på svårigheter när de utsätts för
12
uppgifter ned bråk i skolmatematiken. Begreppet rationellt tal tas upp av Kilborn (1999):
lika bråk kan vara namn för samma tal… varvid man skiljer mellan det rationella talet å ena sidan och beteckningen – bråket – å andra sidan. Ett rationellt tal kan betecknas på ett obegränsat antal sätt:
20 12 , 15 9 , 10 6 , 5 3 , osv är t ex alla namn för samma rationella tal.
Naturligt tal är ett positivt heltal eller talet 0, dvs. något av talen 0, 1, 2, 3, ... (Nationalencyklopedin (c), 2006).
3.4 Division
Nationalencyklopedin (Nationalencyklopedin (b), 2006) definierar division som:
Delning, indelning, avdelning; en av de grundläggande
operationerna inom aritmetiken. Division är omvändningen till multiplikation, i analogi med att subtraktion är omvändningen till addition. Uppgifter är att för ett givet tal A (täljaren, dividenden) och ett annat tal B (nämnaren, divisorn) finna ett tal K
så att A=B⋅K.
3.5 Perspektiv på bråk
Det finns många infallsvinklar på bråk. Innan en elev uppfattar bråk som ett tal som man kan addera, subtrahera, multiplicera och dividera, så uppfattar han/hon bråk som en operation, relation eller en kvantitet. För att ett rationellt talbegrepp ska utvecklas krävs en
sammanställning av flera aspekter (Engström, 1997). Vi har undersökt aspekterna N-distraktion och konstruktiva mekanismer. Nedan följer en sammanfattning av dem.
13
3.5.1 N-distraktion
N-distraktionen innebär att man övergeneraliserar räkneregler från de naturliga talen till de rationella talen. Att frestas att använda aritmetiska regler som tillhör naturliga tal när man har att med bråk att göra, är en indikation på en bristande förståelse för rationella tal. (Streefland, 1993). Det gäller för eleven att bygga upp ett motstånd mot N-distraktioner. I vår
undersökning har N-distraktionen varit mest förekommande bland de felmönster elever har visat och vi har kunnat se att det förekommer i alla grupperna. Att det visar på en bristande förståelse för tal i bråkform gör att det känns än mer angeläget att i läraryrket arbeta för en grundläggande taluppfattning som omfattar alla tal som kan representeras på tallinjen.
N-distraktionen kan t.ex. innebära att en elev uppfattar 1/4 som ett större tal än 1/3 därför att 4 är ett större tal än 3. Här har eleven tagit över en oreflekterad ordningsrelation inom de
naturliga talen. Enligt Padberg (refererad i Engström, 1997) tyder felet på en bristande förståelse där eleven antingen riktar uppmärksamheten mot antalet delar eller mot delens storlek.
Andra typer av felmönster som kan uppstå hos elever är när de ska räkna med de fyra
räknesätten (Engström, 1997). Vid addition av två tal i bråkform, låt oss säga 1/2 + 1/4, är det vanligt att de lägger ihop nämnare och täljare var för sig och får bråket till 2/6. Ett annat fel som kan uppstå vid addition är när en elev ska lägga ihop ett heltal med ett tal i bråkform. Då är det inte ovanligt att om eleven ska lägga ihop t.ex. 1 och 1/4, får detta till 2/4.
Ett vanligt förekommande fel vid subtraktion är precis som vid addition att eleven subtraherar nämnare och täljare var för sig. Även då eleven utför en subtraktion med ett heltal från ett tal i bråkform förekommer det att han/hon använder samma metod som vid addition och
subtraherar endast heltalet från täljaren (Engström, 1997).
Vid förlängning och förkortning, dvs. multiplikation/division, är det vanligt att eleven skriver t.ex. 9/18 = 1/9. Enligt Padberg (refererad i Engström, 1997) handlar det här om ett
associationsfel. Ibland skriver eleverna att 3/4 = 7/8, dvs. både nämnare och täljare adderas med 4. Eleverna använder sig här av en felaktig additions och subtraktionsstrategi.
14
3.5.2 Konstruktiva mekanismer
Kieren (1993) har presenterat en modell för den ideala uppfattningen av bråk. Modellen beskriver hur rationella tal kan konstrueras. Det finns inget unikt sätt att göra detta på, utan beskrivningen är bara ett sätt att se på bråk. Vi har intresserat oss för den nedersta nivån (I) i modellen som i huvudsak beskriver intuitivt baserat kunnande. Den nedersta nivån handlar om tre s.k. konstruktiva mekanismer, nämligen delning, likasättande (ekvivalens) och formandet av en enhet.
Figur 1 En ”ideal” uppfattning av de rationella talen (Kieren, 1993).
De uppfattningar och föreställningar vi utvecklar om ett fenomen benämner man ibland konstruktor. Det är personliga konstruktor som är särpräglade från individ till individ. För den grundläggande undervisningen är det av intresse att studera hur dessa personliga konstruktor byggs upp (Engström, 1997). Ibland brukar man tala om räkning som en konstruktiv
mekanism för de naturliga talen och för de rationella talen talar man om tre s.k. konstruktiva mekanismer, nämligen delning, likasättande och formandet av en enhet.
15
3.5.2a Delning
Elever har problem att integrera delen i helheten ända upp till 9-10års åldern enligt Piaget (refererad i Engström, 1997). De fokuserar antingen på delarna eller helheten och klarade inte av att integrera delarna i helheten. Det kan innebära att om elever ska svara på om det finns flest vita eller svarta kulor i en urna (diskret mängd), svarar de t.ex. att det finns fler svarta än vita och klara inte av att behålla helhetsuppfattningen.
Ett annat exempel på det här kan vara att en elev får ett antal dockor, kaka och en kniv och ska dela kakan mellan dockorna (kontinuerlig mängd). De yngsta eleverna behåller hela kakan eller ger bort hela kakan. De ser antingen helheten eller delen och med tiden börjar de
uppfatta delen som något som ingår i helheten. När vi betraktade mekanismen delning har vi både tittat på kontinuerliga (tårta) och diskreta mängder (kulor i en urna). Den största skillnaden här är att eleven måste kunna föreställa sig lösningen innan den görs med
kontinuerliga mängder medan i det diskreta fallet kan det lösas direkt med delning (Engström, 1997).
3.5.2b Likasättande
Två ekvivalenta uttryck som 1/3 och 4/12 är olika namn för samma tal. Elever är tidigare vana vid att ett tal representeras med en symbol. Nu kan samma tal representeras med olika
symboler. Det kan få till följd att elever har svårigheter att uppfatta bråk som ett tal. Ett annat problem är att även om eleverna ”ser” att 1/3 går att förlänga till 4/12 så har de svårigheter att förstå innebörden i detta. Traditionell bråkundervisning kan ligga till grunden för detta
problem. Multiplikation brukar läras ut som upprepad addition. Då bortser man ifrån att multiplikation kräver en högre grad av abstraktion Enligt Clark och Kammi (refererad i Engström, 1997) beskrivs skillnaden mellan ett additativt tänkande och multiplikativt
tänkande. Additativt tänkande (a) går ut på att man inkluderar delen med nästa del och sedan den delen med nästa del osv. (3+3+3+3=12) medan multiplikativt tänkande (b) beskriver en relation mellan enheterna som i sig måste förstås innehålla andra enheter. Additativt tänkande kräver av eleven att hon tänker på bara en abstraktionsnivå medan multiplikativt tänkande kräver abstraktivt tänkande på mer än en nivå (Engström, 1997).
16
Figur2 Additativt tänkande (a) och multiplikativt tänkande (b), enligt Clark och Kamii (1996)
3.5.2c Formandet av enhet
Formandet av en enhet kan sägas vara förmågan att se att det hela är en multipel av delen. Mätning spelar en väsentlig roll vid bildandet av nya sammansatta enheter. Det kan handla om att elever ska beskriva geometriska figurer delade i olika delar. Här gäller att eleven kan föreställa sig helheten när hon får se delen. Eleven måste inse att det hela är en multipel av delen och har här nytta av ett multiplikativt tänkande. Saenz-Lulow (refererad i Engström, 1997) föreslår ett schema kallad metric part-whole. Schemat grundar sig på återbildandet av det hela som en multipel, men även avskiljandet av delen från helheten medan eleven mentalt bevarar helheten. Eleven ska också känna igen geometriska föremål oberoende av form och storlek
4. Metod
Undersökningen bygger på individuella intervjuer med åtta elever i årskurs 8 och 9. Varje intervju pågick vid ett tillfälle och pågick i ungefär 30 minuter. Eleverna intervjuades i grupper om två under höstterminen 2006. Intervjuerna genomfördes i ett tomt klassrum och spelades in på band.
4.1 Urval
Åtta elever i årskurs 8 och 9 valdes ut i en medelstor kommun i södra Sverige efter resultatet på det senaste diagnostiska provet i matematik som handlade om bråk. Grupperna valdes ut
17
efter resultat där en svagpresterande och högpresterande fick samarbeta. Tanken var att få en stimulerande diskussion bland eleverna i grupperna. Vi sammansatte grupperna med en pojke och flicka i varje grupp för att jämna ut skillnader sett ur ett genusperspektiv. Alla de utvalda eleverna informerades i förväg och de var alla villiga att medverka. Vi hade inget bortfall i undersökningen.eftersom alla eleverna fullföljde intervjun.
Vi har valt att benämna eleverna i urvalsgruppen med bokstäverna A, B, C och D. Samtliga namn på eleverna är fiktiva
• A: Linus och Anna, åk 8
• B: Mikael och Lina, åk 8
• C: Jenny och Anders, åk 9
• D: Jonas och Sandra, åk 9
4.2 Datainsamlingsmetod
Vi har valt intervju som insamlingsmetod. Undersökningens syfte ligger till grund för detta val. Intervjumetoden passade vårt arbete bättre eftersom vi antog att vi skulle få ut mer information när eleverna gavs tillfälle att uttrycka sig muntligt och vi kunde se hur de hade gått till väga. Eftersom vi ville se hur eleverna hade tänkt passade inte enkäter för den här typen av undersökningen. För att anknyta till god forskningsetik valde vi att i god tid före undersökningen skicka ut information till de berörda elevernas föräldrar om syftet med undersökningen och påpekade där att undersökningen är frivillig och konfidentiell. Undersökningen är gjord som en kvalitativ intervju innehållande olika områden inom
bråkbegreppet. Intervjuerna genomfördes på skolan under lektionstid. Eleverna var utrustade med penna, linjal och radergummi, miniräknare användes inte. Vårt mål och syfte med att intervjua eleverna var att upptäcka eventuella felmönster vid lösning av bråkuppgifter. Vi tittade på elevernas lösningsförslag och jämförde dem med Engströms undersökning (1997). Intervjumaterialet bestod av tio uppgifter som berörde bråkbegreppet ur olika aspekter såsom likasättande, delning, formandet av enhet. Uppgifterna har vi hämtat från Engström (1997). Vi
18
har dock modifierat en del av dem något så att de bättre passar vår undersökning. Eftersom Engströms undersökning handlade om elever i grundskolans tidigare årskurser ökade vi svårighetsgraden något i en del uppgifterna. Vi har i efterhand bearbetat datamaterialet genom att lyssna på banden och skriva ut texten i ett ordbehandlingsprogram. Vår analys av elevers diskussioner jämför vi med Engströms resultat och ställer dem i relation till våra elevers svårigheter med bråk.
5. Resultat/Analys av uppgifterna
Då vi lyssnat genom intervjumaterialet har vi plockat ut de delar vi funnit intressanta för vår undersökning Vi har sammanfattat det vi har ansett vare mest väsentligt. Det har fått till följd att intervjusvaren är något kortfattade.
5.1 Uppgift 1- del av antal.
Skugga en tredjedel av kulorna.
○ ○ ○
○ ○ ○
Grupp A:
Linus: Två av sex.
Anna: Då kan vi skugga två av sex.
Grupp B:
Mikael: Vi gör så här. Lina: Ja det blir bra.
Grupp C:
Jenny: Vi skuggar en rad:
19
Grupp D:
Jonas: Det här är lätt, det blir två. Sandra: Ja, det tycker jag med.
Analys
Grupp A och C ser relationen del av antal. Grupp B och D ser också relationen direkt och tycks vara säkra på att de har svarat rätt. Alla grupperna tycks ha en god uppfattning om vad en tredjedel betyder när de ser en diskret mängd, de löser problemet snabbt och verkar förstå att resultatet är korrekt. Engström (1997) har funnit att visuella faktorer har betydelse för elevers uppfattning om tal i bråkform. Det tycks också vara fallet hos grupperna i vår undersökning då eleverna inte var oeniga utan svarade direkt efter att ha tittat på figuren.
5.2 Uppgift 2 – dela figur i lika stora delar
Skugga en åttondel av figuren
Grupp A
Linus: En åttondel är en halv av hälften och då kan vi skugga den. Anna: Menar du att en åttondel är en halv?
Linus: Nej, men halva hälften av figuren, jo om vi delar den och så skuggar halva den så här. Anna: Nu förstår jag, då blir det rätt.
Grupp B
Mikael: Om det är 4 st så är 8 1
en halv.
Lina: Hur kan det vara det? Mikael: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Lina: Ja, det är sant.
20
Grupp C
Jenny: Det borde vara halva rutan. Anders: Ja, det är det.
Jenny: Det är rätt, för då blir det åtta.
Grupp D
Jonas: En åttondel. Sandra: Vet inte riktigt. Jonas: En halv.
Analys
Grupp B räknar rutorna och fokuserar på delarna och delar rutorna på hälften med två. Grupp A resonerar på samma sätt medan Grupp C är mer tveksamma och gör en gissning. Grupp D provar sig fram efter en visuell skattning. Här är åter ett fall av relationen del-antal men figuren representerar en kontinuerlig mängd vilket gör att eleverna har svårare att komma fram till ett resultat som de är säkra på. Kontinuerliga mängder tas upp Engström (1997) och han har i sin forskning funnit att elever presterar bättre i uppgifter med diskreta mängder medan att just kontinuerliga mängder upplevs som svårare.
5.3 Uppgift 3 – dela figur i givna lika stora delar
Skugga en sjättedel av figuren
Grupp A
Anna: En sjättedel. Där är ju nio och om man tar sex av dem och så är där ju en hel plus tre stycken så är det en och en halv. Tre delat med sex är en halv.
Linus: Vad blir det då?
21
Grupp B
Mikael: En sjättedel. Hur många var det såna här? Vänta. Lina: Vad är 8 gånger 2 i sex?
Mikael; Där är nio stycken.9 delat med 6, vad blir det? Lina: Jag vet inte.
Mikael: Man måste tänka på det här. Vi har ju precis slutat med det här, nu håller vi på med annat.
Lina: 6 och så tre till. Om det här är 6 så är det 6 9
, det är typ 1, .. det är 3 kvar. 1,5…
Mikael: Ja, det är nåt sånt, typ.
Lina: Ja, vänta, en så är det två, tre, fyra, fem, sex. Mikael: Exakt, vad smart.
Lina: Så.
Grupp C
Anders: En sjättedel. Jenny: Nio stycken.
Anders: Man kan alltid gissa… Jenny: Om det är en halv emellan var. Anders: Då borde det vara en fjärdedel då. Jenny: En och en halv.
Grupp D
Sandra: Sex stycken. Jonas: Det är väl 0,66 jo.
Sandra: Ska vi ta två stycken såna här. Jonas: 1,5. En och en halv?
Sandra: Det här borde ju vara enkelt., är det inte en och en halv? Jonas: Vi tar en och en halv.
22
Analys
Alla grupperna kommer fram till rätt svar. De visar på en god uppfattning om begreppet delning. Grupp A och B resonerar på ett liknande sätt. men grupp B antyder att de ser på bråkräkning som ett avslutat kapitel i kursen, något som de har studerat färdig men nu glömt. Detta har även noterats av Engström (1997) som en faktor som påverkar lärandet. Detta kanske speglar en uppfattning hos elever om bråkräkning som någonting de inte behöver kunna.
5.4 Uppgift 4 – dela figur i givna lika stora delar
Hur stor del av kulorna är svarta?
○ ○ ● ●
● ● ● ●
Grupp A
Anna: Sex åttondelar.
Linus: Ja just de. De kan också vara tre fjärdedelar väl.
Det kan säkert vara nåt annat också. Det går inte att förminska för det är inte jämnt.
Grupp B
Lina: Hur stor del av kulorna är svarta? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 och 8. Och så är det 6 såna svarta.
Mikael: 8 6 . Lina: Mm. Mikael: Yes. Grupp C Jenny: Det är 6 av 8. Anders: Eller 3 av 4. Jenny: 4 3 .
23
Grupp D
Jonas: Det är sex åttondelar. Sandra: Sex svarta och två vita.
Analys
Grupp A och C har förstått konceptet likasättande och använder sig spontant av förkortning. De har insett att olika bråk kan representera samma tal. Grupp B och D använder sig av konceptet delning men förkortar inte bråket. Engströms (1997) undersökning stödjer vårt resultat. Alla uppfattar resultatet som ett tal i bråkform, omvandling till andra representationer sker ej. Kilborn (1999) menar att enkla tal i bråkform uppfattas intuitivt av yngre barn vilket skulle kunna förklara grupp A och C:s omedelbara identifikation av förhållandet mellan de svarta och vita kulorna.
5.5 Uppgift 5 – jämförelse av bråk
Vilket tal är markerat på tallinjen?
a) 4 14 b) 5 4 3 c) 5 15 d) 4 3 3 Grupp A
Anna: Det måste vara tio mellan varje. Linus: Jag förstår inte det här.
Läraren: Det här är en tallinje. Det finns tal mellan talen. Kan man göra tal i bråkformen till decimalform?
Linus: Det har jag aldrig förstått.
1 2 3 4
24 Anna: Vad är
4 14
, det är 3 hela och ... två fjärdedelar och det är 3,5.
Läraren: Vad är 5 4
3 i decimalform?
Linus: Det är 3.
Anna: En femtedel är 20. 0,20 och fyra femtedelar är då 0,80. Alltså 3,80.
Linus: 15 delat med 5 är 3. 4 3
3 är 3 och …
Anna: En fjärdedel är 0,25 och 3 fjärdedelar är då 0,75. Linus: 3,75.
Läraren: Talet med pricken ligger ju mellan 3,5 och 4 på tallinjen. Anna: Det kan ju inte vara 3,5 för det är ju i mitten.
Linus: Då är det 3,75 eller 3,8, det kan ju vara vilket som. Anna: Det är 3,8.
Linus: Ja, det är det.
Grupp B
Lina: Ja ha, vilket tal. Där är ju punkten ju. Mikael: Nej, jag fattar inte.
Lina: Där är komma fem.
Mikael: Men vi ska svara en av dessa. Det är tre, tre och nånting. Lina: Det är tre hela och 3 fjärdedelar.
Mikael: Tre plus fyra är ju sju.
Lina: 3 hela och 3 fjärdedelar är 3,75.
Mikael: Om den är 3,5, och 3,75, den ska vara så nära 4 som möjligt. Lina: Men det är 3 gånger 25 som är 75.
Mikael: Då måste det vara 0,8 för det är ju fyra femtedelar och en är ju 0,2. Lina: Då är det den.
Grupp C
Jenny: 4 3 3 .
Anders: Det är ju 3,75, Det är ju inte det, för det ligger ju där mittemellan.
Jenny: Då är ju 5 4
25
Grupp D
Jonas: Ska vi ge med decimaltal?
Sandra: Det är mer än tre. De här måste man förenkla.
Jonas: Det verkar mest rimligt. 5 4
3 är ju tre och 0,8 är det inte?
Sandra: Det ligger ju nära i alla fall.
Jonas: Jag vet inte hur jag ska förklara, man glömmer ju bråk, det är det som är problemet.
Analys
Utan att omvandla bråken till decimalform verkade uppgiften svår att lösa för samtliga grupper. Att angripa tal i bråkformen med begreppet minsta gemensamma nämnare är det ingen av grupperna som gör. Tallinjen vållade initialt problem för grupp A men grupperna visade god taluppfattning vid jämförelse mellan talen. Att jämföra tal i bråkform kräver ofta samma nämnare vilket är en komplex operation som eleverna i vår undersökning verkar vara ovana vid och osäkra på. Schrage och Padberg (refererade i Engström, 1997) poängterar vikten av att integrera bråkform och decimalform i skolan.
5.6 Uppgift 6 – förhållande, del av figur
Vilken av figurerna är mest skuggad?
Figur1
Grupp A
Linus: Det är tre svarta och tolv.
Anna: 3 tolftedelar. Det är 4 1
26
Grupp B
Mikael: Mest skuggad.3 tolftedelar är en fjärdedel. Lina: Då måste man räkna rutor.
Grupp C
Anders: Det är ju tolv rutor tillsammans med de svarta. Det är väl 12
3 .
Jenny: Det är en fjärdedel för tre går fyra ggr i tolv.
Grupp D
Jonas: Hur många rutor är det, det måste vara tre gånger fyra, tolv. Sandra: Ja, det är det.
Jonas: Vi räknar de svarta, de är tre. Och de vita är nio. Sandra: Tre och nio.
Jonas: Tre av tolv är ju 12
3 .
Figur 2
Grupp A
Anna: Det är två åttondelar och det är en fjärdedel.
Grupp B
Mikael: Det är trianglar i en rektangel.
Lina: 2 svarta och 6 vita trianglar. Då är det 2 av 6. Mikael: Nej det måste bli 2 av 8.
27
Grupp C
Anders: Där är 2 av 8 svarta.
Jenny: Man räknar ju alla och så får man förenkla det.
Grupp D
Sandra: Vad blir det, 3 1
eller?
Jonas: Det kan ju inte stämma. Det måste ju bli 4 1
, det är ju två svarta av åtta.
Figur 3
Grupp A
Anna: 3 niondelar som är 3 1
Det är den som är mest skuggad för att 3 1 är större än 4 1 . Grupp B
Mikael: Där är 3 av 9. Där är 2 av 8. Där är 3 av 12. Vilken är störst? Det är ju olika tal. Lina: 3/9 är ju större än 3/12. Mikael: Då är det 3/9. Grupp C Jenny: Vilket är störst, 9 3 8 2 , 12 3 eller ? Anders: 9 3 för det är 3 1 . Grupp D Jonas: Här 3 av 9. Den är störst.
28
Analys
Alla grupperna visar förståelse för relationen del – helhet. I grupp B ser vi dock en antydan till relationen del-del, då gruppen delar antalet svarta trianglar med antalet vita. Enligt
Engström (1997) har barn i 10-årsåldern svårt att integrera delen i helheten och det är möjligt att samma fenomen går att iaktta hos äldre barn.
5.7 Uppgift 7 – jämförelse, relation
Vilket eller vilka av talen är lika med
3 1 ? 12 1 20 7 9 2 36 12 15 5 Grupp A Anna: 36 12 och 15 5 .
Linus: Men inte de andra för de går inte att förminska med tre.
Grupp B
Lina: En tredjedel.100 delat på tre ska man i så fall ta. Mikael: 100 delat på 3 är 33.
Lina: Är du säker på det?
Mikael: Nej, jag bara skämtar. Jo 100 delat på 3 är 33,3, fast jag vet inte vad det har med det där att göra. Eller vad är i sexans tabell eller treans tabell som blir 36? Men man ska kunna
förkorta. Om man gångar den med fem och den med fem så blir det 15
5
. Så det är den.
Lina: 12.
Mikael: Men det är en etta där uppe så det går inte. Mikael: 3 gånger 6 vad är det?
Lina: 18.
Mikael: Men hur kommer jag på 36 med 3. Lina: 12.
29 Mikael: Men då är det den också (pekar på
36 12
) .
Grupp C
Jenny: Det borde vara 36 12 . Anders: Och 15 5 . Grupp D
Sandra: Man kan ju förkorta femman, och femton. Jonas: De som går är de två sista.
Sandra: Kan man förkorta 7, nej det kan man inte. 36 12
. 36 kan man dela med 6.
Jonas: Det blir två sjättedelar som är lika med en tredjedel. Då är det ju det.
Sandra: Och den sista är ju också en tredjedel. Fem delat med fem är ett och femton delat med fem är tre.
Jonas: Man kan ta 5-5 där uppe och 15-5 där nere så blir det en tiondel.
Analys
I grupp B förekommer ett resonemang om procent som går ut på att omvandla talen till procentform. Grupperna tycks förstå att förkortning är den metod som fungerar bäst i uppgiften. Ett felmönster - N-distraktion, beskriven av Striefland (1993) - kunde vi notera i grupp D där gruppen förkortade ett bråk med subtraktion med samma tal i både täljare och nämnare. Enligt Engström (1997) är detta ett typiskt fel som förekommer vid bråkräkning.
5.8 Uppgift 8 – formandet av enhet
30
Grupp A
Linus: Det är nio.
Anna: Ja det är nio rutor.
Grupp B
Mikael: Då ritar vi hela figuren. Lina: Ska vi rita: Ska vi rita 3 såna till. Mikael: Vi ritar 6 rutor till.
Grupp C
Jenny: Det är bara att rita sex rutor typ. Anders: Jo.
Grupp D
Sandra: Den är ju lätt. Det är ju bara att rita till.
Jonas: Sånt här har man ju lätt för sig, men inte det andra. Sandra: Vi ritar sex rutor till.
Analys
Alla grupperna kunde lätt se helheten av en kontinuerlig mängd. De hade inga problem med formandet av en enhet. Grupperna har löst uppgiften främst genom att titta på figuren och det framgår att det visuella intrycket har spelat en roll för lösning.
5.9 Uppgift 9 – formandet av enhet
Hur många svarta kulor måste du lägga i för att de svarta kulorna ska utgöra
5 3
av totala
antalet kulor?
31
Grupp A
Anna: 2 svarta till.
Linus: 2 svarta, är du säker?
Anna: Ja, för då är det fem stycken och tre stycken som är svarta.
Grupp B
Mikael: Där är 3 kulor och en är vit. Lina: En är vit? En är svart menade du… Mikael: Ja jag sa…
Lina: 5 3 . Mikael: Det är 10 6
. Där ska vara 6 svarta och 4 vita.
Lina: Ja. Rita.
Mikael: Bara svarta kulor får jag lägga i.
Lina: Om där är en svart kula, hur många ska du rita? Då ska du rita där, vad är det… 3. Mikael: 3 svarta?
Mikael: 5 3
av fem kulor, nej. Vänta lite… det är 3 svarta och 2 vita så är det rätt.
Grupp C
Jenny: Här var ju knepigt.
Anders: Det ska ligga fem kulor i burken.
Jenny: 3 av dom ska vara svarta och då ska man lägga i två till. Anders: Det var ju löjligt enkelt egentligen.
Grupp D
Jonas: Jo vänta. Mm … tre femtedelar vet jag inte vad det är… En femtedel är ju 0,20. Sandra: Alltså det måste ju vara 60 %.
Jonas: Ska vi bara lägga till svarta? Vi lägger till tre. Sandra: Gör det.
Jonas: Vi får ta bort så blir det klart. Här finns hundra alltihop. 20, 20, 20 det är 60. … och så bara 40 över. Så är det bara två kvar.
32
Analys
Ingen av grupperna hade några svårigheter med att komma fram till en korrekt lösning. Grupp D skiljde sig från de andra genom att de försökte arbeta med procent-och decimaltal.
Problemet med detta är att beräkningarna kan bli omständligare, speciellt då bråken har en oändlig decimalutveckling (Engström, 1997).
5.10 Uppgift 10 – formandet av helhet
John vill spara en fjärdedel av sina pengar. Hur mycket pengar måste han få för att kunna spara 2 dollar?
0,5 dollar 4 dollar 6 dollar 8 dollar
Grupp A
Anna: 8 dollar, för 2 åttondelar är en fjärdedel.
Grupp B
Mikael: (läser texten).
Lina: En fjärdedel. 2 gånger 4 är 8, Och så delar man det på fyra så blir det två. Mikael: mm…
Grupp C
Anders: Jag skulle ha sagt 8. Jenny: Varför det?
Anders: För 4 1
av åtta är ju två.
Grupp D
Jonas: En fjärdedel är 0,25. Alltså man börjar tänka procent. Han vill spara 25 procent av sina pengar. 25 % av 8. Blir det så är det 8.
Sandra: Jepp.
33
Analys
En inte alltför svår uppgift, förmodligen beroende på att grupperna fick alternativ att välja bland och genom prövning har grupperna löst problemet. Grupp A använder additativt tänkande i lösningen medan grupp B resonerar multiplikativt. Grupp D går över till procentform, en strategi som tyder på att eleverna inte är säkra på hanteringen av tal i bråkform.
6. Diskussion
Vi har valt att dela upp detta avsnitt i tre delar:en diskussion om metod, en resultatdiskussion och en avslutande del där vi där vi bl a ger förslag till vidare forskning om elevers svårigheter med bråkbegreppet
.
6.1 Metoddiskussion
Vi valde ut åtta elever ur årskurs åtta och nio. Urvalet byggde på att vi ville ha en jämn könsfördelning och att eleverna skulle känna varandra, varför vi valde elever ur samma matematikgrupp. Några nackdelar med vår metod uppenbarade sig när vi skulle bearbeta materialet då en det var svårt att höra allt som sades på bandet. När eleverna talade om en figur i uppgiften var det ibland svårt att avgöra vilken uppgift de menade.
Vi har valt intervju och grupparbete som metod av flera skäl. Vi ville veta hur elever
resonerade när de löste problem med bråk och då var deras samtal värdefullt att få tillgång till. Vi tror också att när eleverna fick arbeta tillsammans så gynnade det deras kreativa tänkande.
6.2 Resultatdiskussion
Vår undersökning handlar om hur elever i resonerar när de löser uppgifter med tal i bråkform och vilka svårigheter de har med bråkräkning. Under våra praktikperioder har vi kunnat se att elever har svårigheter med att hantera bråkuppgifter på både grundskole- och gymnasienivå. När vi studerade forskningslitteratur om bråk kunde vi notera att problemet har funnits över tid. Artiklarna i Nämnaren från 70-talet (Thompson, 1979) visar att en diskussion om tal i
34
bråkform och elevernas svårigheter med dem var legio. Problemet är alltså inte nytt och vi har sett i Engström (1997) att de felmönster han har identifierat även finns hos elever i vår
undersökning.
De frågeställningar som var aktuella för vår undersökning var
• Hur resonerar elever när de löser uppgifter med bråk? • Hur uppfattar elever tal i bråkform?
• Vilka svårigheter har elever med bråkräkning?
Vi har tittat på olika aspekter av bråkräkning som bråk med olika nämnare, del av helhet, del av antal, bråk i blandad form, förkortning och förlängning eller ett tal på tallinjen, mått på förhållande. Uppgifterna innehåller dessa moment och elevernas lösningar har vi analyserat i förhållande till Engströms (1997) terminologi där han diskuterar elevernas felmönster utifrån begrepp som t ex N-distraktion och konstruktiva mekanismer.
Många av eleverna visade sig vilja använda decimalform och procentform när de jämförde tal i bråkform med varandra, det verkade som det var en strategi för att komma fram till en lösning och vi upptäckte också fall av N-distraktion i addition och subtraktion av bråk. Det förvånade oss att elever i årskurs nio tror att förkortning kan ske med hjälp av addition
respektive subtraktion. Vi observerade också att N-distraktion förekom då eleverna var osäkra på hur de skulle angripa ett problem. Relationen del-helhet visade sig vara begriplig för de flesta även om någon grupp föreslog att dela antalet svarta kulor med antalet vita istället för det totala antalet i lådan.
Elevernas uppfattning om tal i bråkform var skiftande. En del behandlade dem som naturliga tal, andra omvandlade enkla tal i bråkform till decimal-eller procentform. Vi har sett att elever kan hantera addition och subtraktion då bråken har samma nämnare men då bråken har olika nämnare uppstår felmönster som t ex N-distraktion. Svårigheter uppstår också då elever ska integrera delen i helheten. I vår undersökning kunde vi inte komma fram till om diskreta eller kontinuerliga mängder upplevs svårare. Hos forskare som Engström (1997) har vi däremot funnit att elever upplever uppgifter där bråket representerar en kontinuerlig mängd som t ex en limpa svårare än en diskret mängd som t.ex. kulor. En möjlig didaktisk konsekvens är att lärare bör välja uppgifter för eleverna där diskreta och kontinuerliga mängder representeras i olika former.
35
Faktorer som påverkar elevers hantering av bråkuppgifter är identifierade av bl a Engström (1997) och vi ville se om vi kunde upptäcka liknande mönster hos de elever som ingick i vår undersökning. Engströms undersökning har varit inspirerande för vårt arbete och de resultat han har kommit fram till har varit nyttiga för vår analys. Eleverna arbetade i grupper om två och två och vi tror att deras samarbete skulle kunna vara en faktor som ökade deras förmåga att lösa problem.
6.3 Avslutning
Vår studie har pekat på de svårigheter elever har när det gäller bråkräkning. De felmönster som vi har funnit finns identifierade inom matematikdidaktisk forskning nationellt och internationellt: Engström (1997) och Kieren (1993) m.fl. Vi anser att det behövs fortsatt forskning i ämnet eftersom bråkräkning är en del av kursplanerna för grundskolan och gymnasiet och många elever har svårigheter med att hantera matematikuppgifter med bråk. Bråkbegreppet tas upp i samtliga senare årskurserna i grundskolan men elevernas inställning till tal i bråkform verkar inte diskuteras. Om lärarna görs medvetna om mekanismerna bakom elevernas uppfattningar och svårigheter med bråk torde det innebära ett nytt perspektiv på det didaktiska arbetet med bråk i skolan. Att elever så ofta behandlar tal i bråkform som naturliga tal borde kunna väcka tankar hos matematiklärare som skulle kunna leda till en förändrad didaktisk syn på begreppet bråk. Vi anser att vår undersökning pekar på behovet av en diskussion om elevers uppfattningar om bråk och om matematiklärare blir medvetandegjorda om dem så kan undervisningen göras mer ändamålsenlig. I vår undersökning finns en
elevuppfattning om bråk som något man inte behöver komma ihåg. Eftersom vidare matematikkurser kräver en god förståelse av bråkbegreppet är det viktigt att elevernas
förhållningssätt till bråk analyseras från olika perspektiv. Affektiva och kontextuella faktorer spelar säkert en roll och det kan vara ett perspektiv för vidare forskning. Undervisning i matematik skulle i större utsträckning kunna integrera bråk i matematikuppgifterna om t ex ekvationer och procent. Vår undersökning är begränsad och vår förhoppning är att den kan bidra till att öka förståelsen om elevers förhållande till tal i bråkform.
Avslutningsvis vill vi tacka vår handledare Eva Davidsson som har gett oss konstruktiv kritik under resans gång. Vi vill också rikta ett tack till de elever som har medverkat i vår
36
Litteraturförteckning
Engström, Arne (red.) (2004). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Stockholm: Almqvist & Wiksell International
Kieren, Thomas E. (1993). Rational numbers. An integration of research. Hillsdale. NJ: Lawrence Erlbaum.
Kilborn, Viggo (1999). Didaktisk ämnesteori i matematik. Rationella och irrationella tal. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Nationalencyklopedin (a) (2006). Hämtades 2006-12-17 från http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=291046
Nationalencyklopedin (b) (2006) Hämtades 2006-12-17 från
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=154559&i_word=division
Nationalencyklopedin (c)(2006) Hämtades 2006-12-17 från
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=267562&i_word=naturligt%20tal
Thompson, Jan (1996). Matematiken i historien. Lund: Studentlitteratur.
Thompson, Jan (1979). Bråkräkning i grundskolan – behövs det? Nämnaren Tema 5, 58-59
Streefland, Lee (1991). Fractions in realistic mathematics education. A paradigm of
developmental research. Dordrecht: Kluwer.
Thunberg m.fl.( 2006) Hämtades 2006-12-15 från http://www.math.kth.se/gmhf/gylararenkat.pdf
Utbildningsdepartementet (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet. Lpo 94 anpassad till att också omfatta förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
37
Bilaga 1
Uppgift 1
- del av antal.
Skugga en tredjedel av kulorna.
○ ○ ○
○ ○ ○
Uppgift 2 –
dela figur i lika stora delar
Skugga en åttondel av figuren
Uppgift 3 –
dela figur i givna lika stora delar
38
Uppgift 4 –
dela figur i givna lika stora delar
Hur stor del av kulorna är svarta?
○ ○ ● ●
● ● ● ●
Uppgift 5 –
jämförelse av bråk
Vilket tal är markerat på tallinjen?
a) 4 4 b) 5 4 3 c) 5 15 d) 4 3 3 1 2 3 4 0
39
Uppgift 6
– förhållande, del av figur
Vilken av figurerna är mest skuggad?
Figur 1
Figur 2
40
Uppgift 7 –
jämförelse, relation
Vilket eller vilka av talen är lika med ?
12 1 20 7 9 2 36 12 15 5
Uppgift 8 –
formandet av enhet
Du ser en tredjedel av figuren. Rita hela figuren.
Uppgift 9 –
formandet av enhet
Hur många svarta kulor måste du lägga i för att de svarta kulorna ska utgöra
5 3
av totala
antalet kulor?
41
Uppgift 10 –
formande av helhet
John vill spara en fjärdedel av sina pengar. Hur mycket pengar måste han få för att kunna spara 2 dollar?
42
Bilaga 2
Malmö Högskola Lärarutbildningen
Jari Kinnunen och Roger Tunryd tfn 040 30 02 29 (Jari hem) 040 96 98 54 (Roger hem) E-post: ll020064@stud.mah.se
Malmö 4 november 2006
Examensarbetet på lärarutbildningen
Då vi är inne på den sista terminen på lärarutbildningen håller vi på med vårt examensarbete på 10 p. Det kommer att handla om elevers förståelse av begreppet bråk Vi kommer att närmare studera ämnet bl a genom intervjuer och ett antal testuppgifter som några elever ur årskurs 8 och 9 kommer att få genomgå, däribland just i Er sons/dotters klass.
Samtliga personuppgifter som samlas in är sekretessbelagda och är endast tillgängliga för oss och vår handledare Eva Davidsson. Intervjuerna kommer att behandla
matematikundervisning och skolfrågor. Inga känsliga personliga frågor ställs och eleverna avgör givetvis själva om de vill delta eller inte. Skolan, klasserna och intervjupersonerna kommer att avidentifieras. Inga enskilda elever kommer alltså att kunna identifieras. Då alla elever ännu inte fyllt 15 år vill vi på detta sätt informera Er målsmän om projektet. Har Ni frågor eller synpunkter går det bra att kontakta oss via telefon eller e-post. Är det någon som trots garantierna inte vill att Er son/dotter ingår i denna undersökning måste vi få veta detta senast den 2006-11-29
Med vänliga hälsningar
