De soliditate columnarum disquisitio quam venia ampliss. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Carolus Dan. Arosenius ... et Robert Fornmark Vestm.-Dalecarli. In audit. Gustav. die XXII April. MDCCCXXXV. h. a. m. s. pars prior.

7 " v 2 ; ' DE SOLIDITATE COLUMNARUM

D IS Q U IS IT IO ,

QUAM

VENIA AMPLISS. FACULT. PHILOS. ÜPSAL.

r. r.

M

.

_{C A R O L U S D A N . A R O S E N I U S}

AD SCHOL. TRIV. FAHLÜN. COLLEGA

t

ET

R O B E R T

F O R N M A R K

'

VESTM. - DALZCAKLI.

*

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XXII APRIL. MDCCCXXXV. n . a. m. s.

Pars Prior.

U P S A L I Æ

D E N H U L D A S T E F A D E R

D E S O L I D I T A T E C O L U M N A R U M .

Jf. i .

P e r m u l t a quidem facta sunt experim enta copiosique s u b ­ ducti calculi ad determinandam trabum tignorumque tam absolutam quam respectiyam cohaerentiam. N e c ad te r­ tiam hujus quaestionis p artem , scilicet de cohaerentia c o r ­ p oru m com pressoru m , enodandam defuerunt co m p u ta to ­ r e s , etsi diversæ diversorum corporum qualitates inyicta o b jicere videantur im p ed im en ta, quo m inus generalis h u ­ jus rei theoria exp on i possit. E u le r primus, quod q u id em nos sciam u s, analytice hanc rem eo m odo tra­ c t a v it , ut theoriam laminarum elasticarum ad determ inan­ dam soliditatem columnarum in oneribus ferendis e x te n ­ derit. Iisdem jam datis principiis r e m , in h o c opusculo p r o p o s it a m , calculis subjicere conabim ur. Q uu m tamen c o n s u m m a ta theoria co lu m n a ru m , ratione habita et m a ­ teriei et formæ v a rieta tis, hujusmodi operis finevS nostras-a) Vide : Histoire de f Académie Royale des Sciences etc. année i l S j , à Berlin i y 58.

que prorsus vires e x c e d e r e t, in iis tantum colum nis, quas m aterie h o m o g en eæ , eà autum forma s u n t, quam usus v e - nustasque architectonica e x p o s c a n t, considerandis su b ­ sistamus.

Jf. 2.

N o ta m e M echanice primam proferre juvat funda­ m entalem theoriae laminarum elasticarum form ulam

k

P p = — , in qua P vim efficientem d e n o ta t, P p m om en ­

tum hujus ad punctura quodlibet laminae relatum , r r a ­ dicem curvaturae atque k m om entum vis laminæ elarsticæ,

quæ e dim en sion ib us et materia laminae p en d en s, his co n sta n tib u s, ipsa constans permanet. — Form ulam jam allatam ad o n e r a , quæ columnae ferre v a lea n t, d eterm i­ nanda adplicare in animo esi.

§.

3.

S it igitur P v is , quæ extrem itatem columnæ cu ju s- dam verticalis afficiat secundum directionem cum verticali facientem angulum r z ooy respectu ambitus columnæ d ia - metralis aequaliter distributa. T anta praeterea sit P , quanta re q u ira tu r, ut incurvationem quam minimam e

fll-ciat co lu m n æ , quæ in fundam ento fix a , ne de loco c e ­ d a t, ponalur. Quum jam liqu et, colum nam , ubi flectitur, ab uno latere comprim i ab altero vero dilatari, inedia necesse est ut Sit lin e a , quæ integram suam conservet longitudinem . E materia columnæ et magnitudine vis a r gentis p e n d e t, u tru m hæc linea ipsum axem constituat nec ne. E x p erien tia tamen d o c e t , vires Cohæsionis et repulsionis, quando corpora parcius o n e r a n tu r , esse aequa­ l e s , ita ut fibrae illae, quæ nec dilatantur nec comprimun­ t u r , locu m v ere medium teneant a). C u rvam , in quam abit media illa linea, examinare juvabit: quem in finem originem in extrem itate ipsius c u r v æ , ubi applicatur vis

P , lineamque verticalem liinc progredientem axem abscis­

sarum sumamus. U t aequilibrium sit, aequationi supra a l

-k

latae P p = — satisfiat necesse est. Quantitatem k in ge*-r

n e r e con,stantem adsumere n on fas estj quum tamen e diam etro columnæ variante p en deaf, illam cum abscissa

X yariare p o na m us, ita ut per f ( x ) in genere exprimi

possit.

Si P in duas resolvitur v ires, alteram horizontalem, alteram verticalem , hae utique per P Sin. a e t P Cos, a

a) Vide: Handbuch der Mechanik von F. J. R. von Geritner. Prag i8 3 3 . Erster Band, pag. 2g5*

exhiberi possunt: earum qu e m o m e n ta , ad punctum q u o d ­ libet curvæ M relata, erunt c e r t e :_ P x Sin. oo et P yC o t.o o ,

U n d e , si o b serv e m u s, punctum M y secundum nostram jam\

adumbratam figu ration em , extra angulum cadere, quem resolutae constituant v ires , theoria compositionis et reso ­ lutionis virium tradet:

P p z z P (x Sin 00 -\- y Cot. œ). H a b e m u s praeterea

3

(d x 2, d y z ) a

f = s ~ r “

---d x ---d zy

in qua formula signum — lieic a d h ib en d u m , quoniam cur- ya concava sit respectu axis abscissarum. F i t igitur:

f ( x ) . d x d\ (dx* -f- d y 2) T

JF.

4.

E x hac aequatione formula primum deduci potest ad determinandam quantitatem / ( * ) . Q u u m tamen haec d e­ terminatio experim entis nitatur, diametrum columnae c o n ­ stantem adsuinere licet et f ( x ) z z k , atque vim P dire­ ctione horizontali a g en te m , i. e. oo z po°. F it igitur

k dx d z y dy

P x z z - ---7, quae, - y z z p p osito, abit in

( d x 2 -4- d y z) ^ ^ X

k dp

P x d x z z ~ --- — et per integ ra tion em

( ' - H f 1)4

tJ p

1 z z C — — Quantitas constans C d e

-V i *

4

terminari potest ob serv a n d o , tangentem extrem itatis fun­ dam entalis, u tp ote quae axi abscissarum sit p a ra llela , r e d -

dy

dere — z z o. Sit igitur x z z ec abscissa istius puncti ;

dx

P , P

erit utique o z z C - — a 2 , unde C z s — a 2 , atque

2k 2k P P — --- r= — ( « a -

xz).

p = 7 , =

r“ 2 -

V ' ^

' * } 1

=

V + jp

(•' - *"> 1 ’

neglectis superioribus ipsius — dignitatibus, e t per

fhte-2k

g r a t io n e m :

y = ^ (joi2 x - x ' ) - f { a 6 * - * 4 * ’ - * - ! « * * ’ " ! * 7] ’

u bi constantem addere non opus e s t , quoniam x e t y si­ m u l evanescunt. Si sumitur x s a a ; y z z ^ totam e x ­

h ib e t curvaturae am plitudinem , quæ exp erim en tis est i n ­ vestiganda. S it praeterea altitudo columnae = A, erit scilicet

h ~ S l i x ^ l + dh - / > ! / * ■ + ■ ÿ - . / a f P * z) s r / ^ f + — ( a 5 - a: 1 ) > - s oc « / 0 l * p -+ — — 06 *, unde j j k z oc s r /i(f -y * : /i4}. H in c erit P P * P P*

» = i j

il

S i de in cu rva tio n e infinite parva a g itu r, —- ut

infi-Å2

n ite parva negligi p o t e s t , unde

P h 3 •

k r s —y et si per £ significemus valorem ipsius k, quem 3°

traderet c o lu m n a , cujus singulæ dim ensiones = i sin t, habebimus :

k : E =

Sunt taraen, si d significet rdiam etrum , a)

k

=

Si retineamus et p o n a m u s , brevitatis e r g o ,

1 - I * •— = pt et i - y f — s a / / , eod em m od o i n

-Redeamus ad œquationem ( A ) , pressionem vertica­ lem consideraturi, h. e. soliditatem columnae ad onera ferenda. — D u p le x quidem ratio est hanc rem percipien­ di. Si enim materia columnae absolute h o m o g en ea e s s e t , alius sane non exsisteret effec tu s, quam ut co lu m n a , quo magis orescat o n era tio , eo magis com prim eretur. Q u u m

a) Vide: O pus, supra citatum , a F. J. R. von Gerstner pag. 3 a 3 , ubi hocce theorema demonstratur.

i

u

tarnen in nullis sane co rp o rib u s talis occurrat particula­ rum u n iform ita s, ex p er ie n tia com probatum e s t , om nia prorsus corpora p r is m a tic a , ubi o n era n tu r, incurvationi esse o b n o x ia , eo q u e c e r t i u s , quo major sit altitudo pro ratione ceterarum dim ensionum. Interea est o b servan d um , com putationes prioris casus easdem plane dare fo r m u ­ las ac pro cohaerentia co rpo rum absoluta , signis tantum ­ m o d o pro re mutatis. Si vero de incurvatione quae­ stio s i t , ut heic p r o p o s u im u s , aequatio jam supra inventa valeat necesse est. H o c casu habemus igitur œ = 0, n ec opus est ut columna in fundam ento sit fix a , sed s o - lum m od o suffulta, u nde chorda ipsius curvæ axem e x h i­ beat abscissarum. P o n d u s P et h eic aequaliter distribu­ tum p o n a m u s, ita ut co lle c tiv e in ex trem itate curvae a g e ­ re cogitetur a). Æ q u a t io nostra ita erit:

a) Alter 'quidem cogitari potest casus, ubi scilicet pondus, inasqualiter distributijm , marginem ipsius columnae magis, quam axem afficiat, quod quidem valorem , quem quarrimus, finalem ipsius P aliquautalum njutaret et auidem dim inueret.

Jam liquet, liane æquationcm in g e n er e non posse i n ­ tegrari, dum f ( x ) indefinita manet. Prim u m ig itu r , qui sese offerat, casum apprehendam us, ubi f ( x ) "constans sit et z z k , quod quidem eveniat n ecesse e s t , si e. gr. c o ­ lu m n a form am habeat Cylindri. Praeterea quum nostra n o n intersit, curvam exhibere columnae talem, qualem p ro ­

ducat pondus quodlibet, sed tantum m odo d eterm inare, quantum ponderis patiatur colum na, donéc prima incipi­ at i n c u r v a t io , hæc utique infinite parva cogitanda est, unde

dy

sequitur , valorem etiam ipsius — infinite parvum esso

. • *

c e n se n d u m , ita ut superiores ipsius dignrtates negligi

ax

„ . . . p

possint a). H abebim us ig itu r , si ponamus — — m 2 , k

d * y f d y * \ ,

x

5 ^ + m’ 9 V + i ^ i ) ~ » • • • '• (C).

d y z

Si etnafti heic negligeretur et p er 2dy multipli-(XX

caremus, prim um in promptu foret in teg ra le

a) V id e: Traité de mécanique par 5. 1?« PoJsiop, Paris 1833 Tpm. Prem. pag. 6 1 0 .

du7 «

h m 2u7 = C et t dénotante tangentem trigonom.

d x 2 3

anguli, quem cum axe faciat ipsa curva» y = o traderet

Au dy — = / , u n d e C s a » * 1 et d x = z — ---— atque d x 9 v * - m y i m X = a — /tfrr. (Sin — y ) , m t u b i c o n s t a n t e m a d d e r e o p u s n o n e s t » q u o n ia m a; e t y t

sim ul evanescunt. H inc prodiret y = — Sin.vix.

vi

U t t a m e n c a lc u lu m r ig o r o s io r e m in s t it u a m u s , p o n e r e

t

licet: y = — (Sin.ntx) (i -+• u \ unde

m

dl] t du

— z z t (Cos mx) (z -J- «) H (Sin.mx) — , nec n o n

d x ' m d x d z y du — - = - m tS in jn x (t - + - « ) - + - ztC o s.vix — d x 2 > ' d x t d 2 n — Sin. mx ■— . m d x 1 ,

Si hos valores in aequatione (C) substituam us, n e g le ­ ctis terminis, ubi u ejusque coëfücientes differentiales cu m

' • d y \

superioribus ipsius t (qui valor est maximus ipsius — 1

*

da t d 2a 2Cot.mx H Sm.mx - — dx m d x 7

-f- \ m t * Sin.mx Cos7mx r=s o quier si per mdxSin.mx multiplicatur» erit:

d 2a zm Sin.mx. Coi.mx. da -f- S in7m x

——-dx

Sin3m x C o s z m x .d x = o .

C u m v e r o sit:

J

j

du zz, Sin.7 mx — , et d x J s i n ' m x C o s 'm x . d x = £ ^ ( i — C ot.+m x) dx 4 mx -

57

j

3

/

J (

)

— — log. Sin.mx -4 C o i.z m x ; unde

m m

» — Z1 j z m x Coi.m x - f - C o t .2 m x | -f- C»

Q uoniam v e r o « e v a n e s c a t, u bi s i t # — o, erit C = * - T3T / 1 et

u r ± t 1

j

^

t c

r.-y

j ?

-f- Sin. mx Coi. zmx - Sin. mx

= ; — $Sïn,0j# -f* / 2 [m i x C o i m x -f - Sin.mx (Coi.zmx - i))l

tn '

r r ~

5

Jam ob serva n d um , y ev a n escere etia m , ubi sit A ae­ quale totius chordas =5 oc H in c

o 55 Sin.mx 4 - tV (mcc Coi.mct, - Sin^mot)