Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen Inledande
matematik. Z/TD. 2020
Begerpp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reela tal. Rationella tal.
Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s. 5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning: a/b+c/d=(ad+bc)/(bd) (ac+bc)/c=(a+b)
Egenskaper hos olikheter s. 9
Bråkräkning. Lösa olikheter. s. 9-11 Funktion, definitionsmängd, värdemängd, Def. 1, s. 24. Sammansatta funktioner, s.35 Överenskommelse om
definitionsmängd s. 25 Bestäm definitionsmängd och värdemängd till en funktion.
För komplicerade funktioner måste man undersöka absolut
maximum och minimum för att svara på den frågan. Graf av en funktion s.26,
och dess egenskaper. s. 26-29
Rita grafer till enkla funktioner En-entydiga funktioner. Def. 11 s. 166 Inversa funktioner Def. 2, s.167. Kap. 3.1 Inversa funktioner för funktioner som inte ä en entydiga. s. 170
Begränsningar av funktioner s. 170.
Kap. 3.1 Cancellation identities: f(f^(-1)(y))=y; f^(-1)(f(x))=x s. 168
Egenskaper hos inversfunktioner s. 169.
En-entydiga funktioner har inversfunktion. Monotona
funktioner är en-entydiga och har inversfunktion. Graf till en funktion och graf till dess inversfunktion är spegelbilder av varandra med avseende på linjen y=x. s.168
Bestäm om en funktion har inversfunktion.
Rita grafen till en funktion och dess inversfunktion.
Gränsvärde av en
funktion. Kap. 1.2, s. 66, s. och s. 89, Def. 8, kap.1.5 Höger och vänster -gränsvärde Def. 2, s. 68, kap. 1.2 Def. 9, s. 91, kap. 1.5
Relation mellan ensidiga
gränsvärden och gränsvärde. Th.2, s. 68.
Regler för gränsvärden. Kap. 1.2, Th. 2, s. 69.
Gränsvärde av summa, Ex. 4, s. 90 Gränsvärde av produkt, Exercise 33, s. 93
Gränsvärde av sammansatta funktioner Th. 7, s. 82
Beräkna gränsvärde, höger och vänster gränsvärden av en funktion. Kunna bevisa att en funktion saknar gränsvärde, vänster, eller höger gränsvärde.
Måste kunna använda konjugat,
Beräkna gränsvärden av rationella funktioner o.s.v. Instängningsatsen (Satsen om två
polismännen) kap. 1.2,
Th.4, s. 71.
Beräkna ett gränsvärde med hjälp av instängningsatsen (Satsen om två polismännen). Gänsvärden när x går mot oåndlighet. x→ ±∞. Def 3, s. 73, def. 10, s. 91.Oändliga Gränsvärde av:
Summa, produkt, kvot av funktioner. Gänsvärden när x→ ±∞ Beräkna gränsvärde när x→ ±∞ Beräkna gränsvärden då f(x)→ ∞ eller f(x)→ -∞.
gränsvärden ±∞. s.75, Def. 11, s.92 Funktion kontinuerlig, vänster-högerkontinuerlig i en punkt, diskontinuerlig i en punkt. Kap.1.4, Def. 4, 5, 6 s. 79, 80 Kontinuerlig utvidgning (continuous extension) s. 82 Försumbar (hävbar) diskontinuitet -removable discontinuity s. 83
Samband mellan vänster, höger kontinuitet och vanlig ”tvåsidig” kontinuitet. Kap.1.4, Th. 5, s.80 Summa, produkt, kvot av kontinuerliga funktioner och sammansatta kontinuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. Th. 6, 7 s. 82. Sammansatta kontinuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. Th. 7, s. 82
För en funktion given med formler eller med en graf, bestäm i vilka punkter den är konitunuerlig,
diskontinuerlig, väntser, högerkontinuerlig.
Bestäm om funktion har en försumbar (hävbar)
diskontinuitet i en punkt.
Begerpp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Kontinuerliga funktioner på
ett begränsat slutet intervall. s. 83
Funktion kontinuerlig på ett begränsat slutet intervall [a,b] antar sitt maximalt och sitt minimalt värde på [a,b] kap. 1.4, Max Min Th. 8 s. 83
Bestäm om en funktion f kan utvidgas till en punkt utanför dess definitionsmängd så att funktionen f blir kontinuerlig i den punkten.
Intermediate value theorem
kap. 1.4, Th. 9, s. 85 Använd Th. 9 för att visa att en ekvation f(x)=0 med kontinuerlig f har rötter på ett intervall. Lutningen av graf kap. 2.1, def. 1 s. 97 Derivata : kap. 2.2, def. 4, s.100 singulära punkter, s. 101. Deriverbar funktion, s. 101 Differential, s. 106
Definition för ln, exp, Def. 6, Th. 1, sid 172, s. 174.
Def. för a^x: Def. 7. s. 181
Th. 1 om kontinuitet av deriverbara funktioner. s. 109 Derivata av summa: Th. 2 s. 109, produkt Th. 3, s. 111, reciproc Th. 4, s. 112, kvot Th. 5, s.114 Derivator av funktioner: potens, exp, ln, sin, cos, tan, inverser för sin, cos, tan.
Derivera komplicerade funktioner med hjälp av formler för: summa, produkt, reciprokregeln, kvotregeln, kedjeregeln, definition för a^x Kedjeregeln: derivatan av sammansatta deriverbara funktioner. Th. 6, s. 116. Formeln för derivatan av inversa funktion s. 170 Beräkna derivatan av inversfunktion till en given funktion.
Gränsvärde sin(x)/x då x →0, Th. 8, sid 122
Växande, avtagande
Kritiska punkter.
Kap. 2.8, Th. 13, s. 140 öppet intervall (a,b) och f är deriverbar i c så är c en stationär punkt till f: f’(c)=0 kap. 2.8, Th. 14, s. 142 funktion. Rolles’ sats kap. 2.8, Th. 15, s. 142 Medelvärdessatsen, Th. 11, s. 138. Bevis s. 143 Generalizerad Medelvärdes- satsen. Kap. 2.8, Th. 16, s.144. Använd Medelvärdessatsen för att jämföra en funktion på ett intervall med en linjär funktion.
Implicit derivering
Kap. 2.9. exempel. Att beräkna derivatan av en funktion. Att bestämma tangentlinje till en kurva given av en implicit ekvation.
Obestämda uttryck av olika
typer. Kap. 4.3, s. 231. Metoder för gränsvärden av olika typer av obestämda uttryck. S.
L’Hopitals första regel s.231 L’Hopitals andra regel s. 233
Beräkna gränsvärden av alla typer av obestämda uttryck.
Extrempunkter: absolut maximum, minimum, lokalt maximum, minimum. Kap. 4.4, S. 236
Kritiska punkter, endpunkter, singulära punkter. Kap. 4.4, S. 237
Kap. 4.4, Th.5 s. 236 (exis-tens sats för extrempunkter). Th. 6, s. 237 (vilka punkter som kan vara extrempunkter) Förstaderivatans test: Kap. 4.4, Th.7, s. 239 Andraderivatans test: kap. 4.5, Th.10, s. 243 Extrempunkter på öppna interval. Th. 8, S. 240
Bestäm alla lokala och
absoluta extrempunkter till en funktion på ett begränsat intervall eller på reella linjen.
Högre derivator. Kap. 2.6, s. 127
Funktion konvex, konkav böjningspunkt. Kap. 4.5, def. 3,4, s. 243
Satser om funktion som är konvex, eller konkav. Andra derivata i en böjnings-punkt a är noll om f''(a) finns.
Kap. 4.5, Th. 9, s. 244
Beräkna högre derivator av en funktion. Bestäm på vilka intervall en funktion är konvex, eller konkav. Ange böjningspunkter.
Asymptot till graf av en funktion: lodrät (vertical), vågrät(horisontal), sned asymptot (oblique) Kap. 4.6, s. 248-249
Bestäm vågräta, lodräta och sneda asymptoter till graf av en funktion.
Skissa graf till en funktion med alla möjliga detaljer. Praktiska
extremvärdesproblem av olika typer. Kap. 4.8, s. 261
Begerpp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Analystisk geometri i planet: kapitel P2 –från introduk- tionskursen är bra att
kunna! Rum R^3, R^n. Mängder,
punkter, vektorer.
(utan öppna, slutna mängder, inre, yttre punkter) Kap. 10.1
Vektorer i planet och i
rummet Kap. 10.2 s. 575-578. längden av vektor s.578
summa, multiplikation med tal. s. 576 Skalärprodukt av två vektorer Def. 3. S. 581, Avståndet mellan två punkter. Projektion av en vektor på annan vektor Def. 4, s. 582.
Formler för summan av två vektorer. 276-278
Formel för skalärprodukt, cos av vinkel mellan två vektorer, Th. 1, s. 581.
Längden av en vektor,
avståndet mellan två punkter. Formler för vektor och skalära projektioner, s. 582.
Berakna avstandet mellan två punkter. Berakna skalär och vektorprojektion av en vektor pa annan vektor. Berakna cos av vinkeln mellan två
vektorer
Bestam koordinatan av mitten av en stracka mellan två punkter i rummet. Kryssprodukt, Geometrisk definition Def. 5 s. 585 geometrisk mening, Determinant. s. 588 Kryssprodukt som determinant s. 589 Skalär trippelprodukt s. 590 Formler för determinanter, s. 588. Formler för kryssprodikt s. 589. Geometrisk formel för kryssprodukt, s. 585. Def. 5, s. 585
Arean av triangel med kryssprodukt, Ex. 3 s. 589. Formeln för trippelprodukt av tre vektorer. Def. 6 s. 590 Volum av en parallelepiped med hjälp av trippelprodukt, Ex. 4 s. 590.
Användning av kryssprodukt i geometriska problem t.ex. för att beräkna volum, arean, och vinklar mellan vektorer. Bestäm en vektor ortogonal mot två givna vektorer eller linjer. Bestäm en vektor som är samtidigt parallell med två givna plan.
Beräkna skalär trippelprodukt av tre vektorer.
Plan i rummet, räta linjer i rummet, ekvationer for dem. Geometriska meningen med koefficienter.
Knippeplan (pencil of planes) s. 595
Ekvationer för ett plan på följande former: standard, genom en given punkt s. 593, med sträckor (intercept form) s. 594, och deras geometriska mening.
Ekvationer för en linje i rummet: på vektorform s. 596, på skalär parametrisk form s. 596, i form av två ekvationer Ex. 6, i standard form Ex. 5, s. 597.
Begerpp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Typiska problem med plan och linjer:
Ange ekvation for ett plan: a) genom tre givna punkter; b) genom en punkt och en linje; c) genom en punkt och vinkelrat mot en linje; d) genom en punkt och parallelt med annat plan; e) parallelt med två givna linjer. Ange ekvation for en linje: a) genom två punkter; b) genom en punkt och vinkelrät mot ett plan. d) som är skärningslinjen av två givna plan.
Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan (Ex. 7, s. 597) eller en linje (Ex. 8, p.598). Bestäm avståndet mellan två linjer (Ex. 9, s. 599). Bestäm avståndet mellan två parallella plan. Bestäm projektion av en punkt på ett plan eller en linje. Bestäm projektion av en linje på ett plan. Bestäm om två linjer korsar varandra. Bestäm om fyra punkter ligger i samma plan. Använd ekvationen for planet for att identifiera hur det ligger med avseende på
koordinataxlarna.
Tenta kommer att bestå av följande typer av problem:
Formulering av definitioner, begrepp och satser från listan kan komma som en del i alla tentauppgifter.
Mest AV FÖLJANDE TYPER AV PROBLEM KOMMER PÅ TENTAN.
Formulera en sats från listan och svara på en fråga om något element i dess bevis eller villkor.
Formulera en sats eller definition. Beräkna ett gränsvärde av en funktion.
Ange punkter där en given funktion är kontinuerlig, diskontinuerlig, vänster eller högerkontinuerlig, eller en hävbar (removable) diskontinuitet.
Använd medelvärdessatsen för att visa att en ekvation f(x) =0 har lösningar (eller det är samma att funktionen f har rötter) på ett intervall.
Beräkna derivator av första eller högre ordning av en komplicerad funktion inklusive inversa funktioner.
Beräkna derivator av implicita funktioner. Bestäm tangenter till kurvor definierade av ekvationer med två variabler x och y.
Använd mellanvärdessatsen för uppskattningar av typ: f(x-a)< L(x-a) för en funktion. Bestäm singulära punkter, absoluta (om de finns) och alla lokala extrempunkter, och
böjningspunkter av en funktion.
Bestäm och intervall där en funktion är växande, avtagande, konkav eller konvex. Rita graf till en funktion, bestäm asymptoter och alla detaljer i grafen som
extrempunkter, konvexa områden och böjningspunkter. Bestäm definitionsmängd och värdemängd av en funktion. Lös ett praktiskt extremvärdesproblem med geometriskt innehåll.
Lös ett problem som innebär beräkning av: avstånd mellan punkter, projektioner av vektorer, beräkning av vinklar mellan vektorer o.s.v. i samband med vissa geometriska frågor.
Skriv en ekvation för ett plan eller en linje som uppfyller vissa geometriska villkor. Eller tvärtom: bestäm geometriska egenskaper eller parametrar (avståndet, vinklar
mellan plan, linjer, eller punkter givna med ekvationer)
