Fingeranvändning vid aritmetikuppgifter : Elever i förskoleklass kvalitativt olika sätt att använda fingrarna

Fingeranvändning vid

aritmetikuppgifter

Elever i förskoleklass kvalitativt olika sätt att använda

fingrarna

KURS:Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp

PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3

FÖRFATTARE:Rebecca Karlsson

EXAMINATOR:Martin Hugo

JÖNKÖPING UNIVERSITY KursXX hp School of Education and Communication Program

Termin

SAMMANFATTNING

___________________________________________________________________________ Rebecca Karlsson

Fingeranvändning vid aritmetikuppgifter

Elever i förskoleklass kvalitativt olika sätt att använda fingrarna.

Antal sidor: 38

______________________________________________________________________________

Fingrarna har länge använts som en konkret representationsform för att lösa aritmetikuppgifter. Det finns flera olika sätt att använda sig av fingrarna och dessa beror på vilka aspekter som individen har urskilt. Med utgångspunkt i fenomenografin har kvalitativa intervjuer observerats för att undersöka variationen av hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter. Utifrån den valda metoden syftar studien till att undersöka elevers olika uppfattningar och sätt att använda fingrarna vid aritmetikuppgifter.

Resultatet visar på att eleverna använde sig av tre kvalitativt olika sätt för att lösa aritmetikuppgifter. Utifrån analysen visade det sig att eleverna använder olika sätt utefter sina erfarenheter, vilka aspekter som urskilts och hur fenomenet uppfattas. Detta resulterade i tre kvalitativt skilda sätt, enskilda enheter, strukturerade delar och enskilda delar samt strukturerade fingermönster. Sätten går att skriva i en hierarkisk ordning då de innehåller olika framgångsrika kvaliteter. För att eleven ska kunna använda sig av det sätt som har högst framgångsrika kvaliteter krävs det att kunskaper om del-helhetsrelationer och fingermönster har urskilts.

Alla elever har olika förutsättningar och förkunskaper. Vetskap om elevernas individuella förmåga gör att läraren kan anpassa och utmana eleven. För att eleven ska urskilja mer framgångsrika kvaliteter krävs det att läraren synliggör betydelsefulla aspekter i undervisningen, som exempelvis fingermönster.

___________________________________________________________________________ Sökord: matematik, fingrar, aritmetik, del-helhetsrelationer, förskoleklass

___________________________________________________________________________

Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp School of Education and Communication.

Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3. Vårterminen 2020

JÖNKÖPING UNIVERSITY

School of Education and Communication

ABSTRACT

_______________________________________________________________________ Rebecca Karlsson

Fingers in arithmetic tasks

Preschool pupils’ qualitatively different ways of using fingers

Number of pages: 38

_______________________________________________________________________ The fingers have long been used as a concrete representation form for solving arithmetic tasks. There are several different ways to use your fingers and it all depends on which aspects the individual has distinguished. Based on phenomenography, qualitative interviews have been observed to investigate the variation in how pupils in preschool use their fingers to solve addition and subtraction tasks. Based on this chosen method, the study aims to investigate pupils’ different views and ways of using their fingers in arithmetic tasks.

The result shows that the pupils used three qualitatively different ways to solve arithmetic tasks. Based on the analysis, it showed that the pupils use different ways along with their experiences, what aspects are distinguished and how the phenomenon is perceived. This resulted in three qualitatively different ways, individual pieces, structured parts and individual pieces, and structured finger patterns. These ways can be written in a hierarchical order as they contain different successful qualities. In order for the pupil to use the method that has the most successful qualities, it is necessary to have knowledge of partial-whole relationships and finger patterns.

All pupils have different prerequisites and prior knowledge. Knowledge of the pupils' individual ability that enables the teacher to adapt and challenge the pupil. In order for the pupil to distinguish more successful grades, it is necessary for the teacher to make visible important aspects of the teaching such as finger patterns.

___________________________________________________________________________ Keywords: mathematics, fingers, arithmetic, partial-whole relationships, preschool

____________________________________________________________________________

Degree Project for Teachers in Preschool Class and School Years 1-3, 15 hp. Teacher Education Programme for Primary

Education - Preschool and School Years 1-3 Spring semester 2020

Innehållsförteckning

2.3 Ordinalitet och kardinalitet ... 4

2.4 Styrdokumenten ... 5

2.5 Fenomenografi ... 6

3. Syfte och frågeställningar ... 8

4. Metod ... 9 4.1 Val av metod ... 9 4.2 Data ... 9 4.3 Urval ... 11 4.4 Etiska ställningstaganden ... 11 4.5 Materialanalys ... 13

4.6 Validitet och reliabilitet ... 14

5. Resultat ... 16

5.1 Elevers kvalitativt olika sätt att använda fingrarna ... 16

5.1.1 A - Enskilda enheter ... 17

5.1.2 B - Strukturerade delar och enskilda enheter ... 19

5.1.3 C - Strukturerade fingermönster ... 21 5.2 Förekomst av respektive sätt ... 22 5.3 Sammanfattning av resultatet ... 27 6. Diskussion ... 28 6.1 Metoddiskussion ... 28 6.2 Resultatdiskussion ... 31 6.3 Fortsatt forskning ... 34 7. Referenser ... 36 Bilagor ... Bilaga 1 ... Bilaga 2 ...

1

1. Inledning

Det är ingen nyhet att barn använder sina fingrar som ett verktyg redan från tidig ålder när de börjar utforska tal. Fingrarna används som ett verktyg för att symboliskt indikera ett specifikt antal. Hos yngre barn kan det handla om att visa hur många år de är. När barnet blir äldre används fortfarande fingrarna och detta ofta i samband med att de ska lösa olika typer av aritmetikuppgifter (Björklund et al., 2018; Kronqvist, 2003).

I en litteraturstudie där fingeranvändningens för- och nackdelar ställdes emot varandra visade det sig att forskare är oense om huruvida fingrarna bidrar eller begränsar eleverna i deras matematiska utveckling (Crollen & Noël, 2014; Domahs et al., 2007). I studierna framgår det att vissa forskare anser att fingrarna är ett bra verktyg vid räkning i början av skolgången då eleverna arbetar med talområdet 0–10. Forskarna som förespråkar fingeranvändning i matematiken menar att det är ett lämpligt och framgångsrikt verktyg då de används som en representationsform, synliggör talen samt underlättar räkningen då man viker upp ett finger för varje räkneord. Även vid ensiffriga additions- och subtraktionsuppgifter är fingrarna till hjälp och konkret verktyg för eleverna (ibid). Anledningen varför denna studie görs är att jag uppmärksammat att fingrarna är vanligt förekommande hos elever i förskoleklass, vilket gjorde att jag ville undersöka elevers fingeranvändning mer ingående. Det har tidigare gjorts studier där man undersöker elevers användning av fingrar men det har bland annat visat sig att elevers fingeranvändning vid aritmetikuppgifter kan vara komplext. Komplexiteten som har uppmärksammats gällande fingeranvändning vid aritmetikuppgifter är att elever med svårigheter i matematiken förlitar sig på fingrarna och använder dem som ett konkret material. Detta kan bidra till att eleven inte utvecklar mentala strategier eller lär sig talfakta (Björklund et al., 2018; Neuman 1989). Komplexiteten som uppmärksammats i tidigare studier tyder på att området behöver undersökas ytterligare.

Syftet med denna studie är att genom en fenomenografisk ansats observera hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa enklare additions- och subtraktionsuppgifter.

2

2. Bakgrund

I detta avsnitt kommer betydelsefulla begrepp och aspekter presenteras för att bidra med förståelse för kommande läsning i studiens avslutande avsnitt, resultat och diskussion. Bakgrundsavsnittet kommer avslutas med en redogörelse om studiens teoretiska ansats fenomenografi.

2.1 Taluppfattning

När ett barn visar hur gammal hen är med hjälp av sina fingrar sker det vanligtvis utan att barnet har kunskap om mängdens kardinalitet. En mängds kardinalitet innebär att det sista räkneordet som sägs anger den mängd som har räknats (Fuson, 1992). Ett annat barn kan ha lärt sig att para ihop ett räkneord med samma antal fingrar. Detta kallas parbildning och innebär att barnet använder sina fingrar för att kommunicera genom att byta ut räkneordet och visa samma antal fingrar (Kronqvist, 2003). I den tidiga utvecklingen är räkning en aktivitet som är kopplat till något inövat, som en ramsa, och inte till något specifikt antal. En inövad räkneramsa är vanligtvis barnens första kontakt med aritmetiken då räkneramsan har en bestämd sekvens och struktur som skapar minnesbilder (Kronqvist, 2003; McIntosh, 2008). Räkneförmågan innebär att kunna använda sig av räkneprocessen, vilket betyder att eleven kan ange ett antal objekt som hen räknat. Denna kunskap är något som utvecklas i samspel med en vuxen och det är av betydelse att eleven ges stöd, undervisning och möjlighet att utveckla denna process (Skolverket, 2019).

Under elevens första skolår utvecklas kunskap om grundläggande aritmetik där de lär sig att operera med naturliga tal (Löwing, 2008). I förskoleklass är arbete med naturliga tal en stor del i undervisningen, där fokus är på dess egenskaper och hur de naturliga talen används för att ange antal och ordning (Skolverket, 2019). För att detta ska vara möjligt krävs det att eleven i undervisningen ges möjlighet att utveckla en god taluppfattning. För att operationen ska ske med flyt behöver eleven förstå talen och dess egenskaper, vilket innefattar grundläggande taluppfattning (Kronqvist, 2003). Innebörden av taluppfattning kan beskrivas som att eleven har en förståelse för tals betydelse, storlek och dess relation till varandra. Att elever utvecklar en god taluppfattning är av stor betydelse för området tal och räkning (McIntosh, 2008)

Fingrarna är ett lämpligt verktyg vid aritmetikuppgifter i början av skolgången då eleverna arbetar med talområdet 0–10. Vid ensiffriga additions- och subtraktionsuppgifter kan

3

fingrarna dessutom användas som ett konkret verktyg för eleverna (Crollen & Noël, 2014; Domahs et al., 2007).

2.2 Tals del-helhetsrelationer

När eleven opererar med tal krävs det en medvetenhet om hur talen går att dela upp i två delar (Neuman, 1989). Detta kallas del-helhetsrelationer och innebär att ett tal består av en helhet som går att dela upp i två delar. I de tio bastalen finns det 25 olika kombinationer (Se figur 1) för hur de tio bastalen kan delas upp i två delar. För utvecklingen av aritmetiska färdigheterna menar Neuman (1989) att kunskaper om del-helhetsrelationerna är avgörande och det är 25 kombinationerna som är grunden för den aritmetiska utvecklingen. För att upptäcka dessa kombinationer är fingrarna ett lämpligt och konkret verktyg. Syftet med del-helhetsrelationerna är att eleven ska kunna ”se” de olika kombinationerna automatiskt utan att behöva räkna sig fram. Med detta menas att eleven direkt kan ”se” att exempelvis en full hand är fem fingrar, utan att behöva räkna dem som enskilda enheter. Kunskapen att ”se” talen gör att eleven får lättare att uppskatta en mängd. Likaså att se hur den mängden förhåller sig till en annan mängd utan att behöva räkna varje enskild enhet, vilket sparar energi. Har eleven kunskap om tio bastalens 25 kombinationer är detta mycket användbart för addition och subtraktion vid talområdet 0–10. Har eleven kunskaper om 25 kombinationerna vet eleven vilken den okända delen i exempelvis 4 + __ = 9 är eftersom hen är medveten om tals del-helhetsrelationer. Dessa kombinationer är även användbara för addition och subtraktion vid högre talområden och övergången mellan tiotalsgränserna (Neuman, 2013)

Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio Tio

1|1|2 2|1|3 3|1|4 2|2|4 4|1|5 3|2|5 5|1|6 4|2|6 3|3|6 6|1|7 5|2|7 4|3|7 7|1|8 6|2|8 5|3|8 4|4|8 8|1|9 7|2|9 6|3|9 5|4|9 9|1|10 8|2|10 7|3|10 6|4|10 5|5|10 Figur 1. Tio bastalens 25 kombinationer

4

2.3 Ordinalitet och kardinalitet

För att kunna utveckla kunskap om tal krävs det bland annat kunskap om talens ordinalitet och kardinalitet (Heiberg Solem tl al., 2011). Begreppet ordinalitet går att beskriva som en bestämd sekvens och ordningsföljd av tal (Fuson,1992). Ordinalitet hör ihop med begreppet ordningstal. Ordningstal används för att ange en specifik position om något inom en ordnad sekvens. Detta kan exempelvis vara första, andra, tredje och så vidare. För att använda tal behövs det även kunskap och förståelse om en mängds kardinalitet. Kardinalitet innebär att det sista räkneordet som sägs i en uppräkning anger den mängd som har räknats (Fuson, 1992)

Ordinalitet och kardinalitet hör ihop med begreppet fingertal som Neuman (1989) förespråkar. Innebörden av fingertal är att varje finger går att koppla samman med ett specifikt räkneord. För att detta ska fungera krävs det att fingrarna är i en specifik ordning och på så vis får varje finger ett namn/räkneord som alltid tillhör just det fingret. Fingertal bidrar med att eleven utvecklar kunskaper om både talens ordinalitet och kardinalitet. Den ordning som Neuman (1989) talar om är att fingertalet ett är vänster lillfinger, fingertalet två är vänster ringfinger och så vidare (Se figur 2).

Figur 2. Fingrarnas numrering och ordningsföljd.

För att fingertalen ska bli automatiserade krävs det att eleverna får möjlighet att upptäcka sina fingrar och använda fingertalen. När fingertalen har automatiserats kan eleven direkt ”se” talen utan att någon uppräkning behövs. En kombination av del-helhetsrelationer och

5

fingertal är användbart vid enklare lösningar av additions- och subtraktionsuppgifter (Neuman, 1989). Dessa kunskaper används när eleven exempelvis ska lösa uppgiften 2 + __ = 8. Har eleven kunskaper av de 25 kombinationerna samt vilket fingertal som är åtta kan hen subtrahera två fingrar och hamna på fingertalet som fattas i ekvationen. Eleven behöver inte räkna resterande fingrar utan vet mängdens kardinalitet på det fingertal som visas.

Det finns olika tillvägagångssätt att använda fingrarna vid aritmetikuppgifter. Har eleven strukturerade fingermönster och förståelse för tal kommer detta att ge en positiv inverkan när eleven opererar med tal (Björklund et al., 2018; Kullberg & Björklund, 2019a). I förståelsen av tal är fokus inte på om fingrarna ska användas eller exkluderas. Fokus bör istället ligga på hur fingrarna används. Detta eftersom det finns fingerbaserade tillvägagångssätt som både är mer och mindre effektiva och framgångsrika vid räkning. Detta visades exempelvis i Neumans studie (1989) där hon såg 7-åringars olika tillvägagångssätt i att lösa aritmetikuppgifter. I studien uppmärksammades att elever som inte kunde svaret direkt tog hjälp av fingermönster och lyckades på så vis lösa uppgiften. Det visade sig dock att de elever som räknade fingrarna som en till en korrespondens inte lyckades lika bra med att lösa uppgifterna (Neuman, 1989)

2.4 Styrdokumenten

Naturliga tal är en stor del av förskoleklassens arbete. Fokus ligger på dess egenskaper och hur de naturliga talen används för att ange antal och ordning (Skolverket, 2019). I kommentarmaterialet för förskoleklass till årskurs 3 i matematik förklaras det att eleven behöver kunskap och förståelse för att tal går att uttryckas genom olika typer av representationsformer, som exempelvis konkret material (Skolverket, 2017).

I läroplanens avsnitt där förskoleklassens syfte och centrala innehåll beskrivs går det att utläsa hur undervisningen ska utveckla elevernas intresse för matematik (Skolverket, 2019). Detta genom att utmana, stimulera och ta vara på elevernas nyfikenhet och intresse. Vidare står det skrivet att eleverna ska ges möjlighet att lösa problem, utforska och använda olika uttrycksformer (ibid).

6

”Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang.” (Skolverket, 2019, s.54).

I kursplanen för matematik i årskurs 1–3 går det läsa att eleven ska ges förutsättningar att utveckla sin matematiska förmåga. Eleven ska ges möjlighet att utveckla sin förmåga att lösa problem med valda metoder och strategier vid beräkningar med naturliga tal. Eleven ska även ges förutsättningar att utveckla sin förmåga om tals del av en helhet samt en del av ett antal (Skolverket, 2019).

2.5 Fenomenografi

Inom vetenskapen talas det om första och andra ordningens perspektiv (Kroksmark, 2007). Första ordningens perspektiv syftar till hur någonting faktiskt är, det bestämda. Andra ordningens perspektiv handlar däremot om människors olika sätt att uppfatta och erfara världen. Studier som har fenomenografin som forskningsmetodisk ansats intresserar sig av andra ordningens perspektiv, hur människor uppfattar och erfarar olika fenomen (Matron & Booth, 2000). Denna studie är kvalitativ och har sin teoretiska utgångspunkt i just fenomenografin. Fenomenografin är likt ovan nämnt en forskningsmetodisk ansats vars syfte är att undersöka människors uppfattningar kring ett visst fenomen och företeelse (ibid). Fokus inom fenomenografin är inte att komma fram till hur något är, utan att undersöka och skildra ett fenomens variation ur ett mänskligt perspektiv (Larsson, 1986). Den fenomenografiska forskningsansatsen används främst för forskning som är relevant för lärande, didaktik och pedagogik för att undersöka hur ett specifikt fenomen uppfattas genom att urskilja olika aspekter. Uppfattningar är ett begrepp som är av stor betydelse inom fenomenografin. Den fenomenografiska ansatsen används främst för att synliggöra, skildra och kategorisera uppfattningar kring ett fenomen. Varför uppfattningar skiljer sig åt är eftersom människan uppfattar omvärlden utefter sina erfarenheter. Det finns två typer av uppfattningar, den ena innebär att man har en uppfattning om något medan den andra innebär att man har en uppfattning av något. Det är det sistnämnda som är av betydelse inom fenomenografin, personers uppfattningar av något (Marton & Booth, 2000). Alla människor är olika och uppfattar fenomen på skilda sätt. I fenomenografin går människan

7

att beskriva som personer som bär på olika uppfattningar och sätt att erfara ett fenomen. Inom den fenomenografiska ansatsen är det dessa skillnader som är av intresse (Kroksmark, 2007; Matron & Booth, 2000).

I studier med en fenomenografisk ansats är studiens resultat ofta hierarkiskt. Den hierarkiska strukturen i en fenomenografisk ansats visar på de urskilda uppfattningarnas olika kvaliteter. Den hierarkiska ordningen görs utefter hur utvecklade de olika uppfattningarna anses vara. Detta eftersom det finns uppfattningar och förmågor som kan upplevas mer kraftfulla, komplexa eller avancerade än andra. Hur avancerade, kraftfulla och komplexa uppfattningar upplevs vara är av betydelse vid uppfattningar och strategier som är utvecklingsbara, då dessa sätts i relation till varandra. Enligt vissa forskare uppfattas ett fenomen olika beroende på vilka aspekter som har urskilts (Marton & Booth, 2000; Kullberg & Björklund, 2019a).

8

3. Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att med hjälp av en fenomenografisk ansats undersöka variationen av hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter. Detta syfte avser jag att uppfylla genom att besvara följande frågor: - På vilka kvalitativt olika sätt använder elever i förskoleklass sina fingrar för att lösa

enklare additions- och subtraktionsuppgifter? - Hur vanligt förekommande är respektive sätt?

9

4. Metod

Detta avsnitt innehåller en redogörelse om hur studien har genomförts. I metodavsnittet redogörs även forskningsansats, urval samt etiska ställningstaganden. Avsnittet kommer anslutas med en redogörelse för hur det insamlade materialet analyserades.

4.1 Val av metod

Syftet i denna studie har besvarats genom den kvalitativa metoden intervju i kombination med observation. Den kvalitativa metoden har sin utgångspunkt i elevernas olika sätt att använda sina fingrar i samband med att de löser aritmetikuppgifter, vilket är kopplat till den forskningsmetodiska ansatsen fenomenografin (Larsson, 1986). Observationen har skett genom videoinspelningar som sedan tidigare är en del av ett forskningsprojekt (FASETT1). Observation av ett videomaterial kan ses som fördelaktigt eftersom olika oberoende observatörer kan analysera samma material vid olika tillfällen. Ännu en fördel är att materialet går att analysera flertalet gånger, då observatören enkelt kan gå tillbaka och analysera igen. Däremot har en observatör ingen interaktion med de deltagande vilket både kan ses som fördelaktigt och som begränsande. Genom videoobservationer får observatören möjlighet att både undersöka och analysera elevens verbala språk, rörelser och gester (Fangen, 2005; Silverman, 1993).

Studien har en fenomenografisk ansats vars syfte är att undersöka variation och skillnader av hur ett fenomen kan uppfattas ur ett mänskligt perspektiv. Eftersom fokus är hur ett fenomen uppfattas är detta genomförbart via videoinspelningar utan interaktion med de deltagande eleverna.

4.2 Data

Grundtanken var att jag skulle genomföra egna intervjuer men detta var inte genomförbart på grund av den rådande situationen i samhället2. Intervjuerna som observeras är ursprungligen en del från ett nyligen avslutat forskningsprojekt vid namnet FASETT. I

1_{Förmågan Att Sinnligt Erfara de Tio första Talen som nödvändig grund för aritmetiska färdigheter.} (Vetenskapsrådet, No. 721-2014-1791).

2 _{På grund av viruset Covid 19 blev det inte möjligt för mig att genomföra intervjuer då de skolor jag varit i} kontakt med för tillfället inte tog emot utomstående.

10

forskningsprojektet ingår forskare från både Göteborgs Universitet och Högskolan för Lärande och Kommunikation på Jönköping University. Projektet syftar till att utveckla kunskaper om barns lärande i aritmetik (Ekdahl, 2019). En av studierna i forskningsprojektet byggde på ett interventionsprogram vars fokus var att förbättra barns förståelse för del-helhetsrelationer och aritmetik. Barnen som utgör underlaget för denna studie tillhörde en kontrollgrupp i forskningsprojektet. Kontrollgruppen har vid undervisningen inte blivit introducerade för någon specifik metod för hur fingrarna kan användas i samband med lösning av uppgifter. Detta är av stor betydelse för studien, eftersom min studie undersöker elevers variation och sätt att använda fingrarna vid aritmetikuppgifter.

I studien deltog totalt 103 barn varav 65 tillhörde en interventionsgrupp och 38 tillhörde en kontrollgrupp (Ekdahl, 2019; Kullberg et al., 2019b). Skillnaden mellan interventionsgruppen och kontrollgruppen var bland annat forskarnas involvering och påverkan. I interventionsgruppen var forskarna mer involverade och arbetade tillsammans med lärarna och i kontrollgruppen hade forskarna en mer tillbakadragen roll och lyssnade in lärarnas diskussioner utan att själva delta (Kullberg et al., 2019b). Samtliga barn som deltog i studien intervjuades vid tre olika tillfällen. Den tredje intervjun gjordes när eleverna gick andra terminen i förskoleklass och det är dessa intervjuer som utgör data för min observation. Valet att använda den tredje intervjun var eftersom eleverna vid detta tillfälle gick i förskoleklass, vilket tillhör en av årskurserna som jag kommer vara behörig i vid avslutad utbildning som grundlärare inom årskurserna F-3. Anledningen varför det fanns en interventionsgrupp och kontrollgrupp var för att forskarna ville undersöka utvecklingen av de aritmetiska färdigheterna. Studien resulterade i att eleverna i interventionsgruppen presterade bättre än kontrollgruppen. Elever i interventionsgruppen hade urskilt kunskaper om del-helhetsrelationerna och kunde tillämpa dessa i aritmetikuppgifter, genom att använda strukturerade fingermönster, medan kontrollgruppen oftast använde sig av en till en korrespondens (ibid).

Under intervjuerna från forskningsprojektet använde forskarna en utarbetad intervjuguide som de förhöll sig till (Se bilaga 1). Vid kvalitativa intervjuer används frågor som är förbestämda och dessa är formulerade i en intervjuguide (Trost, 2010). Vid intervjuerna utgick forskaren från intervjuguiden, dock betyder inte det att samtliga frågor ställs till alla elever. Det är upp till forskaren att känna av situationen så att eleverna inte upplever en

11

otrygg position (Kvale & Brinkmann, 2009). Vid intervjutillfällena undvek forskarna att ställa frågor och påståenden med en ledande karaktär. Däremot ställdes följdfrågor och verifierade frågor under intervjun för att undersöka elevers olika uppfattningar, vilket även är grunden för fenomenografin (Ekdahl, 2019; Larsson, 1986).

4.3 Urval

Intervjuerna som har analyserats är gjorda i förskoleklasser belägna utanför en större stad i södra Sverige. För att de videoinspelade intervjuerna skulle kunna användas i studien var ett urvalskriterie att innehållet i intervjuerna skulle motsvara studiens syfte och frågeställningar. Ännu ett urvalskriterie var att samtliga deltagare var förskoleklasselever. Inom projektet gjordes 38 intervjuer på elever i slutet av andra terminen i förskoleklass. Av de 38 intervjuer som gjordes valdes sedan tio intervjuer ut och det är dessa intervjuer som utgör datamaterialet för denna studie. Antalet utvalda intervjuer anser jag vara en lämplig mängd både tidsmässigt och för att finna en variation i sätten eleverna använder fingrarna. Intervjuerna som används i studien är gjorda på både pojkar och flickor då ett urval var att undersökningen ska ske i en heterogen grupp. Intervjuerna är gjorda på fyra pojkar och sex flickor från fyra olika förskoleklasser. Att intervjuerna är gjorda i olika förskoleklasser stärker studiens tillförlitlighet och trovärdighet. Jag har även valt att begränsa antalet uppgifter från intervjuerna som kommer att analyseras i denna studie. Detta för att mer specifikt undersöka variationen och sätten som eleverna löste uppgifterna med hjälp av sina fingrar. Ett urvalskriterium för de utvalda uppgifterna var att de skulle vara olika i sin semantiska struktur. Exempelvis att någon av uppgifterna skulle behandla addition, subtraktion, överstiga talområdet 10 och att någon uppgift efterfrågade en saknad del i form av en öppen utsaga.

4.4 Etiska ställningstaganden

Eftersom jag utgår från intervjuer som är en del av ett forskningsprojekt redovisas både projektforskarnas och mina etiska ställningstaganden. Under forskningsprojektet har forskarna förhållit sig till flera olika etiska riktlinjer. Dessa riktlinjer och ställningstaganden är av betydelse under fältarbetet men också genom hela

12

forskningsprocessen. Samtycke, konfidentialitet och konsekvenser är tre etiska riktlinjer som är av betydelse för forskare (Ekdahl, 2019; Kvale & Brinkmann, 2009).

Innan forskningsarbetet startade anordnade forskarna ett möte på varje skolenhet där lärare, vårdnadshavare och elever blev informerade om projektets syfte och tillvägagångssätt. Under mötet poängterades att deltagandet var frivilligt och att man när som helst kunde välja att avbryta sitt deltagande. De som ville delta i forskningsprojektet fyllde därefter i en samtyckesblankett där elevens deltagande godkändes (Ekdahl, 2019). Detta kallas informerat samtycke och innebär att berörda parter blir informerade om projektets syfte och upplägg (Kvale & Brinkmann, 2009).

En etisk princip som forskarna har förhållit sig till är att samtlig information och data behandlas enligt konfidentiellkravet, vilket innebär att deltagarnas identitet och information skyddas från obehöriga. Däremot får data användas enligt den etiska riktlinjen nyttjandekravet för forskningsändamål som är i linje med forskningsarbetets syfte, vilket gör det möjligt för mig att genomföra denna studie (Ekdahl, 2019; Kvale & Brinkmann, 2009).

Ett etiskt dilemma som uppmärksammandes av forskarna var hur mycket press man skulle sätta på eleverna samt när man skulle avsluta en uppgift. Detta resulterade i att varje intervju hanterades på ett unikt sätt (Ekdahl, 2019). Detta går att koppla till den etiska principen konsekvenser, som innebär att intervjuaren har skyldighet att överväga möjliga konsekvenser. Det är av betydelse att intervjuaren är uppmärksam och öppen för att eleven inte ska känna sig i en otrygg position (Kvale & Brinkmann, 2009).

Forskarna har likt ovan nämnt förhållit sig till ett antal etiska principer och det har även jag gjort i denna studie. De etiska ställningstaganden som jag gjort när jag observerat videoinspelningarna som jag tagit del av är att materialet kommer behandlas konfidentiellt. Data och observationer som kan identifiera elever kommer behandlas vaksamt och inte avslöjas. Under arbetet är det mitt ansvar att ingen obehörig får åtkomst av videoinspelningarna. Ännu ett etiskt krav är att studien ska uppnå en hög vetenskaplig kvalitet. Detta innebär att studiens publikation och resultat ska vara representativt och så korrekt som möjligt (Kvale & Brinkmann, 2009).

13

4.5 Materialanalys

Studiens materialanalys har genomförts i flera olika steg. Materialanalysens första steg var att sätta mig in i intervjuguiden och vilka frågor som intervjuerna innehöll. Detta gjordes för att undersöka vilka uppgifter som var av intresse och betydelse för studien. Vid undersökningen av intervjuguiden uteslöts de två första avsnitten, talraden och fingertal, då dessa inte är av intresse för studiens syfte och frågeställningar (Se bilaga 1). Efter att intervjuguiden studerats påbörjades nästa steg i materialanalysen som var observation av de tio intervjuer som utgör den insamlade data för studien. Inför observationerna gjordes en tabell som innehöll intervjuns olika uppgifter. I tabellen kunde jag som observatör markera om eleverna använde sina fingrar eller inte vid respektive uppgift (Se bilaga 2). När samtliga intervjuer observerats och tabellen hade fyllts i gav det en tydlig överblick för vilka uppgifter eleverna använde sina fingrar.

Nästa steg i materialanalysen var att sortera ut uppgifter som ska utgöra studiens grund. Genom att granska den tabell som fylldes i under den föregående sekvensen kunde jag tydligt se i vilka uppgifter som majoriteten av eleverna använde sina fingrar. I studien ville jag att uppgifterna skulle vara olika i sin semantiska struktur vilket resulterade i att jag valde ut uppgifter som innehöll addition, subtraktion samt övergång över talområdet 10. Uppgifterna som valdes ut var 4 + __ = 7 där helheten är känd och en del saknas, 10 − 6 = __ en subtraktionsuppgift där eleven vet delarna men inte helheten, 3 + __ = 8 där helheten är känd och en del saknas och 8 + 5 = __ där eleverna vet delarna och ska räkna ut helheten. När en uppgift valts ut för vidare analys påbörjades nästa steg av materialanalysen som var transkribering av intervjuerna. Elevernas intervjuer transkriberades inte i sin helhet utan transkriberingen skedde när de utvalda uppgifterna gjordes. Transkribering är en viktig del av analysarbetet då det bidrar med förståelse för elevens uppfattning kring ett fenomen. Skälet varför endast vissa delar av intervjun transkriberas är för att det är en tidskrävande process och därför transkriberas endast de delar som är av betydelse för studiens syfte och frågeställning (Bryman, 2011). Transkriberingen skedde endast i samband med de fyra utvalda uppgifterna som utgör grunden för studiens resultat. Efter att transkriberingen gjorts genomfördes en analys för att undersöka elevernas likheter och skillnader gällande hur eleverna gick tillväga när de olika uppgifterna löstes. Under analysen av transkriberingen var fokus på att urskilja elevernas olika sätt att använda fingrarna för att lösa uppgifterna. Under analysarbetet färgkodades de olika sätt på vilket eleverna använde fingrarna. Transkriberingarna och de

14

videoinspelade intervjuerna analyserades parallellt flera gånger under arbetet. Vid analysen lästes transkriberingen samtidigt som de videoinspelade intervjuerna spelades upp för att säkerställa att de stämde överens och för att stärka studiens validitet.

Efter att materialet analyserats flera gånger gjordes ännu en tabell där jag sammanställde och kategoriserade elevernas olika sätt att använda fingrarna för att lösa uppgifterna. Då studien har en fenomenografisk ansats utgör detta grunden då dess syfte är att undersöka och skildra ett fenomens variation ur ett mänskligt perspektiv (Larsson, 1986). I de uppgifter som valdes ut uppmärksammades det att eleverna visade på olika sätt att använda sina fingrar.

Analysarbetet av de utvalda additions- och subtraktionsuppgifter resulterade i tre olika kategorier och sätt som eleverna använde sina fingrar på. Utifrån analysen framkom även att dessa sätt var kvalitativt skilda från varandra och kan på så vis beskrivas utifrån en hierarkisk ordning (Matron & Booth, 2000). Det vill säga i ett visst sätt urskilde eleverna fler aspekter än i ett annat sätt. Detta kan exempelvis handla om ordinalitet och kardinalitet. På så vis resulterade analysen i att sätten kan beskrivas utifrån kvaliteter. Elevernas olika sätt att använda fingrarna kommer kategoriseras, presenteras och beskrivas i resultatet tillsammans med en tabell.

4.6 Validitet och reliabilitet

Validitet och reliabilitet är två begrepp som används både i kvalitativa och kvantitativa forskningsstudier. Begreppen validitet och reliabilitet är kvalitetskriterier som används för att studiens trovärdighet och tillförlitlighet ska bli högre (Bryman, 2011). Beroende på om studien antingen är kvalitativ eller kvantitativ används begreppen med viss skillnad. Begreppen har olika betydelser där reliabilitet syftar till studiens tillförlitlighet och om studien har genomförts på ett korrekt sätt (ibid). För att studiens resultat och tillförlitlighet skulle stärkas gjordes ett identiskt analysarbete på samtliga videointervjuer som utgör studiens material. Videointervjuerna observerades och analyserades flera gånger för att bidra med att reliabiliteten i studien stärks. Utifrån observationerna och analyserna beslutades vilka delar som skulle användas i studien för vidare analys och transkribering. De utvalda delarna i videoinspelningarna transkriberades och utifrån transkriberingarna genomfördes flera analyser för att bidra med en ökad reliabilitet till studien.

15

När det gäller kvalitativa studier går begreppet validitet att benämna som trovärdighet. Trovärdigheten i kvalitativa studier syftar till att det som är tänkt att undersökas i studien verkligen undersöks (Bryman, 2011). Forskarens sätt att beskriva hur studien har gått tillväga, dess urval och tidigare erfarenheter är av betydelse för studiens trovärdighet. Studiens validitet kan öka genom att utgå från urvalskriterierna och utifrån dessa endast genomföra undersökningen på de som uppfyller samtliga kriterier. Vilket är att studien ska genomföras i en heterogen grupp, att intervjuerna är gjorda på elever i förskoleklass samt att innehållet i intervjuerna är av betydelse för studiens syfte och frågeställningar. Validiteten kan även öka genom att ge läsaren en tydlig bild av studiens tillvägagångssätt (Kvale & Brinkmann, 2009). Föreliggande studies tillvägagångssätt har beskrivits ingående tidigare i metodavsnittet för att bidra med en ökad trovärdighet. Ännu en faktor som kan bidra med att studiens trovärdighet höjs är att studiens syfte, frågeställningar och den forskningsmetodiska ansatsen fenomenografin varit i fokus genomgående under arbetet. Föreliggande studie är kvalitativ och utifrån en fenomenografisk ansats undersöks elevers kvalitativt olika sätt att använda fingrarna. En fenomenografisk ansats syfte är att undersöka människors uppfattningar kring ett visst fenomen och skildra dess variation ur ett mänskligt perspektiv (Larsson, 1986; Marton & Booth, 2000). Studiens tillförlitlighet kan på så vis verifieras genom att påpeka att det finns flera sätt att erfara fenomenet utifrån ett mänskligt perspektiv (Bryman, 2011).

16

5. Resultat

I studies resultatavsnitt kommer studiens forskningsfrågor att besvaras separat. Den första forskningsfrågan kommer besvaras inledningsvis under punkt 5.1 där elevers kvalitativt olika sätt att använda fingrarna presenteras och redogörs. Avsnitt 5.1 innehåller underrubriker där de olika sätten presenteras mer specifikt. Därefter kommer den andra forskningsfrågan att besvaras under punkt 5.2 där frågan är hur vanligt förekommande respektive sätt är.

5.1 Elevers kvalitativt olika sätt att använda fingrarna

Av de utvalda uppgifterna som gjordes vid intervjutillfällena visade det sig att eleverna använde fingrarna vid 32 av 36 uppgifter, vilket utgör en procentsats på 88,9 procent. Utifrån dessa 88,9 procent då fingrarna användes uppmärksammade och urskilde analysarbetet tre kvalitativt olika sätt på vilka eleverna använde sina fingrar för att lösa aritmetikuppgifter. Ett av sätten som uppmärksammats var att eleven använde sig av en till en korrespondens där fingrarna räknas som enskilda enheter. Sättet en till en korrespondens kommer framöver i studien att benämnas som enskilda enheter. Ett annat sätt som urskildes var att eleven använde sig av strukturerade fingermönster för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter. Det tredje sättet som urskildes innefattade att eleven använde sina fingrar som strukturerade delar i kombination med enskilda enheter.

De tre sätt som har urskilts angående hur eleverna använder fingrarna kommer att presenteras i en hierarkisk ordning, utifrån vilket av sätten som innehåller lägst respektive högst framgångsrika kvaliteter. Utifrån fenomenografin skrivs den hierarkiska strukturen inte efter hur många som gör vad, utan den skrivs utifrån uppfattningars olika kvaliteter. I figur 3 nedan redogörs den hierarkiska ordningen för de tre olika sätten som urskildes i analysarbetet (Se figur 3).

17

Figur 3. Den hierarkiska ordningen av elevers olika sätt att använda fingrarna utefter kvaliteter.

Den hierarkiska ordningen i figur 3 är skriven utifrån sättens kvaliteter, från lägst till högst. Bokstaven A utgör det sätt med lägst framgångsrika kvaliteter och bokstaven C det sätt som innehåller högst framgångsrika kvaliteter (Se figur 3). En beskrivning av sätten kommer att göras nedan med utgångspunkt i det sätt med lägst kvaliteter för att avsluta med sättet som har högst kvaliteter.

5.1.1 A - Enskilda enheter

Ett av sätten som urskildes i analysarbetet och som användes av eleverna var att räkna fingrarna som enskilda enheter. Under analysen av materialet visade det sig att sättet att räkna fingrarna som enskilda enheter var den strategi som användes minst av eleverna (Se tabell 1, s.26). Att räkna fingrarna som enskilda enheter innebär att eleven viker upp ett finger i taget för att representera en specifik del och för att lösa aritmetikuppgiften. I samband med att eleven viker upp ett finger sägs ett räkneord samtidigt, som symboliserar mängden fingrar som viks upp. För att tydliggöra hur sättet räkna fingrarna som enskilda enheter urskildes kommer ett exempel nedan redogöra hur Elev 3 gjorde.

Strukturerade fingermönster Enskilda enheter

C

B

A

18

Uppgift: 𝟒 + __ = 𝟕

Vid denna uppgift hade forskaren totalt sju stenar. Forskaren placerade fyra stenar i ena handen och tre i andra. Eleven fick först gissa uppdelningen av stenarna följt av att forskaren öppnade handen med fyra stenar i. Därefter fick eleven i uppgift att räkna ut den dolda delen som befann sig i den andra handen.

Intervjuare: Jag såg precis hur du gjorde. Då öppnar vi en och tittar. Nu är det inte

säkert att man har rätt men det gör ingenting. *Intervjuaren öppnar ena handen och visar antalet stenar* Hur många var det där?

Elev 3: Fyra.

Intervjuare: Nu vet vi att det är fyra där, hur många är det då där? Kan du ta reda

på det? *Pekar på den stängda handen*

Elev 3: *Eleven tar först upp tre fingrar, tummen, pekfinger och långfinger och

därefter ringfingret lite försiktigt. Därefter kontrollräknar eleven fingrarna flera gånger genom att peka på ett finger i taget samtidigt som räkneordet sägs lite tyst. Eleven kontrollräknar fingrarna som enskilda enheter flera gånger för att säkerställa hur många fingrar det är. Eleven viker sedan upp ytterligare två fingrar men återgår till att kontrollräkna de fyra första fingrarna som enskilda enheter igen. Eleven viker därefter återigen upp två fingrar försiktigt som även dessa räknas som enskilda enheter* Då är det två där.

Eleverna som använder sättet att räkna fingrarna som enskilda enheter har inga strukturerade fingermönster, vilket innebär att de inte kan ”se” en specifik mängds kardinalitet på sina fingrar. Detta innebär att eleven behöver räkna dem som enskilda enheter för att kunna utgöra en specifik mängd. Ännu en aspekt som har urskilts hos eleverna som räknar fingrarna som enskilda enheter är att de inte har kunskaper om del-helhetsrelationerna, vilket försvårar lösningen av aritmetikuppgifter.

Eftersom eleven inte urskilt tals del-helhetsrelationer och att se antal som sammansatta fingermönster ännu inte är urskild är eleven i behov av att räkna fingrarna som enskilda enheter. Eleverna som använder sättet att räkna fingrarna som enskilda enheter urskiljer inte tals kardinalitet och ordinalitet samtidigt. Räkna fingrarna som enskilda enheter är det

19

sätt som har lägst kvalitet av de tre sätt som har identifierats i analysarbetet. Detta eftersom eleven inte har urskilt kunskaper om fingermönster eller om tals del-helhetsrelationer. Detta medför att sättet att använda fingrarna som enskilda enheter hamnar längst ner i den hierarkiska ordningen av de sätt som urskilts i analysen (Se figur 3, s.20).

5.1.2 B - Strukturerade delar och enskilda enheter

Av de tre olika sätten som urskildes i analysarbetet var det framför allt ett sätt som var mer återkommande bland eleverna. Det sätt som det visade sig att eleverna använde sig mest av var att använda fingrarna som strukturerade delar och enskilda enheter (Se tabell 1, s.26). Vid sättet att använda fingrarna som strukturerade delar och enskilda enheter uppmärksammades det att eleverna använder en kombination av fingermönster och att räkna fingrarna som enskilda enheter, därav namnet. Den strukturerade delen innebär att eleven kan urskilja en viss specifik del och en mängds kardinalitet på sina fingrar utan att behöva räkna dem. Detta innebär att eleven har urskilt kunskaper om fingermönster vilket betyder att eleven är medveten samt kan ”se” en specifik mängds kardinalitet. Eleven vet exempelvis att en full hand har en mängd på fem och behöver därför inte räkna dessa. Eleven som använder strukturerade delar och enskilda enheter är dock inte fullt medveten och har nödvändigtvis inte urskilt tals del-helhetsrelationer. Detta eftersom ena delen i uppgiften räknas som enskilda enheter. Ett exempel för att tydliggöra detta sätt kommer presenteras nedan. Vid denna uppgift fick eleven frågan hur många stenar som de hade tillsammans om hen plockat åtta stenar och kompisen fem.

Uppgift: 𝟖 + 𝟓 = __

Elev 4: *Eleven lägger upp åtta fingrar som en del direkt, samtliga fem fingrar på

vänster hand och tummen, pekfinger och långfinger på höger hand. Därefter räknar hen fingrarna som enskilda enheter upp till åtta för att kontrollera. Efter åtta lyfter eleven upp resterande två fingrar på höger hand och fortsätter räkna från åtta. När eleven överstiger tio och fingrarna blir otillräckliga börjare hen om att räkna på vänster hand där samtliga fingrar på handen räknas * Femton... tror det.

*Eleven räknar igen och lägger upp åtta fingrar som en del, samtliga fem fingrar på vänster hand och tummen, pekfinger och långfinger på höger hand. Eleven har kvar sina åtta fingrar men börjar denna gång att räkna från ett istället för åtta när

20

hen ska addera fem. Detta görs genom att hen viker ut ett finger samtidigt som ett räkneord sägs. Eleven viker först ut de två resterade fingrarna på höger hand och när elevens fingrar är otillräckliga börjar hen om på vänster hand och lyfter ett finger i taget. Vilket är tummen, pekfingret och långfingret. Detta moment görs två gånger. När eleven har noterat vilket finger hen ska sluta på, räknar hen från åtta och uppåt tills hen kommer till rätt finger och säger därefter räkneordet hen slutar på* Tretton är det!

I exemplet ovan använder sig eleven av metoden strukturerade delar i kombination med enskilda enheter. Eleven visar tydligt på att hen har kunskaper om hur antalet åtta kan visas med fingrarna eftersom hen direkt viker upp åtta fingrar, vilket är en strukturerad del. För att lösa uppgiften väljer eleven att därefter fortsätta att räkna från åtta för att addera resterande fem enheter, vilket görs genom att de räknas som enskilda enheter istället för en del.

Även när en uppgift inom talområdet 1–10 gjordes användes strukturerade delar och enskilda enheter. Elev 1 löste uppgiften 𝟏𝟎 − 𝟔 = på ett likande ett liknande sätt där strukturerade delar användes i kombination med enskilda enheter.

Uppgift 𝟏𝟎 − 𝟔 =

Intervjuaren: På lördag får du tio chokladgodisar men du äter upp sex med en

gång. Hur många har du kvar sen då?

Elev 1: *Eleven lägger upp alla tio fingrar på bordet* Åt jag upp?

Intervjuaren: Sex åt du upp med en gång. Du hade tio men åt upp sex med en

gång.

Elev 1: *Eleven lägger upp samtliga tio fingrar på bordet som representerar

helheten. Därefter tar hen bort fingrarna från bordet och börjar vika upp ett finger i taget, som enskilda enheter. Eleven viker upp totalt sex fingrar, fem på vänster hand och tummen på höger. Fingrarna representerar de godisbitar som hen har ätit upp. Därefter ser hen att det är fyra fingrar kvar utan att behöva räkna dem* Fyra hade jag kvar.

21

Eleverna som använder sig av strukturerade delar och enskilda enheter har kunskaper av att urskilja vissa fingermönster, vilket gör att de har frångått föregående sätt, att räkna fingrarna som enskilda enheter. Detta medför att sättet använda fingrarna som strukturerade delar och enskilda enheter ses som en högre kvalitet i jämförelse med A (Se figur 3, s.20). Strukturerade delar i kombination med enskilda delar hamnar därför över sättet att räkna fingrarna som enskilda enheter i den hierarkiska ordningen (Se figur 3, s.20).

5.1.3 C - Strukturerade fingermönster

Det tredje sättet som uppmärksammades i analysarbetet var sättet att använda strukturerade fingermönster (Se figur 3 bokstav C, s.20). För att lösa de uppgifterna användes detta sätt näst mest hos de intervjuade eleverna (Se tabell 1, s.26). Sättet strukturerade fingermönster innebär att eleven har kunskaper om fingermönster och kan på så vis använda dessa för att representera ett specifikt antal. Har eleven kunskaper om fingermönster behöver inte fingrarna räknas som enskilda enheter. Detta eftersom eleven är medveten om vilket fingermönster som representerar en specifik mängds kardinalitet. För att sättet strukturerade fingermönster ska kunna tillämpas krävs det att eleven har urskilt kunskaper om både fingermönster och tals del-helhetsrelationer eftersom sambandet mellan dessa är utgångspunkten för sättet strukturerade fingermönster. För att strukturerade fingermönster ska tillämpas krävs det även kunskaper om mängds kardinalitet och tals ordinalitet. I uppgiften 𝟑 + __ = 𝟖 berättar intervjuaren att eleven ska duka ett bord. Eleven har redan ställt fram tre glas men det är åtta personer som ska fika. Frågan är hur många fler glas som eleven behöver hämta. Nedan kommer ett exempel på en elev som använde strukturerade fingermönster men som gav rätt svar direkt utan att använda sina fingrar. När forskaren frågade hur eleven gått tillväga för att lösa uppgiften förklara hen följande.

Uppgift 𝟑 + __ = 𝟖

Intervjuare: En annan dag så ska du duka ett bord och du ställer fram tre glas

men det är åtta som ska komma och fika. Hur många glas behöver du hämta till då?

22

Intervjuare: Fem! Du bara sa fem så jättesnabbt, hur visste du det då?

Elev 5: Tre och det ska komma åtta gäster. Så har jag tre glas *Eleven visar upp

tre fingrar, ringfinger, långfinger och pekfinger*.

Intervjuare: Men du hade inga fingrar framme här nu när du tog fem jättesnabbt. Elev 5: Nää… Men om jag har tre och det ska komma åtta *Eleven visar upp tre

fingrar, ringfinger, långfinger och pekfinger. Eleven viker sedan upp fem fingrar, ett i taget och räknar till fem på sin högra hand. Därefter räknar hen ihop samtliga fingrar som enskilda enheter, fem på höger han och tre på vänster hand * …sex, sju, åtta! Fem.

Eleven ovan visar goda kunskaper om strukturerade fingermönster då hen förklarar för forskaren hur hen gick tillväga. Eleven har strukturerade fingermönster som hen använder, dock utan att fingrarna är till hjälp som ett konkret material. Eleven ”ser” fingermönster i sitt huvud samtidigt som hen har kunskaper om tio bastalens del-helhetsrelationer. För att sättet strukturerade fingermönster ska kunna tillämpas krävs det att eleven har kunskap om tio bastalens del-helhetsrelationer, fingermönster, ordninalitet, kardinalitet och dess samband till varandra.

Strukturerade fingermönster är det sätt som utifrån analysen har högst framgångsrika kvaliteter av de tre sätt som urskilts under analysarbetet. Då strukturerade fingermönster innehåller högst framgångsrika kvaliteter hamnar detta sätt längst upp i den hierarkiska ordningen (Se figur 3, s.20).

5.2 Förekomst av respektive sätt

Likt tidigare nämnt har de kvalitativt olika sätten kategoriserats utefter de tre sätt som identifierats under analysarbetet. I tabellen nedan har elevernas olika sätt att använda fingrarna vid additions- och subtraktionsuppgifter sammanställts för att synliggöra de olika sätten samt hur ofta de används. De olika sätten har färgkodats och sammanställts i en tabell för att synliggöra elevernas variation vid lösningen av respektive uppgift. I tabellen nedan är det även noterat om eleverna svarade korrekt eller inte på respektive uppgift.

23

Följande förkortningar har använts i tabellen, SF (strukturerade fingermönster), S+E (strukturerade delar + enskilda enheter), E (enskilda enheter), IF (ingen fingeranvändning) och – (utesluten uppgift).

Uppgift 𝟒 + __ = 𝟕 𝟏𝟎 − 𝟔 =__ 𝟑 + __ = 𝟖 𝟖 + 𝟓 = __ Elev 1 S+E Rätt S+E Rätt S+E Rätt S+E Fel Elev 2 S+E Rätt S+E Rätt S+E Rätt S+E Rätt Elev 3 E Fel S+E Rätt S+E Fel - Elev 4 SF Rätt SF Rätt S+E Rätt S+E Rätt Elev 5 SF Rätt SF Rätt SF Rätt S+E Rätt Elev 6 S+E Rätt SF Rätt S+E Fel S+E Fel Elev 7 SF Rätt IF Rätt S+E Fel S+E Rätt Elev 8 SF Rätt IF Fel IF Rätt IF Rätt Elev 9 E Fel - - - Elev 10 E Fel SF Rätt S+E Fel S+E Rätt Antal rätt: 7/10 8/9 5/9 6/8

Tabell 1. Elevers olika sätt att använda fingrarna.

Tabellen ovan är en sammanställning av de olika sätt som eleverna använde för att lösa de olika aritmetikuppgifterna. Sammanlagt gjordes 36 observationer på fyra olika uppgifter, uppdelat på tio elever. I tabellen ovan går det utläsa ett bortfall på fyra uppgifter då dessa uppgifter inte gjordes i intervjuerna (Se tabell 1). Anledningen varför fyra uppgifter är uteslutna från två intervjuer var för att intervjuaren upplevde att eleven hade svårt att lösa de föregående uppgifterna. Intervjuaren valde därför att utesluta vissa uppgifter för att eleven inte ska uppleva att hen är i en pressad situation.

I tabellen går det utläsa hur ofta respektive tillvägagångssätt användes och om elevernas svar vid respektive uppgift var korrekt eller inte. Det sätt som förekom minst bland eleverna var att räkna fingrarna som enskilda enheter. Att räkna fingrarna som enskilda

24

enheter användes vid endast 3 av 36 observationer vilket utgör 8,3 procent av uppgifterna (Se tabell 1). Sättet att räkna fingrarna som enskilda enheter användes endast vid en av uppgifterna. Uppgiften som detta sätt användes på var uppgiften 𝟒 + __ = 𝟕 . Uppgiften har en semantisk struktur med en öppen utsaga där eleverna ska räkna ut hur mycket det är i den dolda delen. Nedan kommer ett elevexempel på hur Elev 9 gjorde för att lösa uppgiften.

Uppgift 𝟒 + __ = 𝟕

Vid denna uppgift hade forskaren totalt sju stenar. Forskaren placerade fyra stenar i ena handen och tre i andra. Eleven fick först gissa uppdelningen av stenarna följt av att forskaren öppnade handen med fyra stenar i. Därefter fick eleven i uppgift att räkna ut den dolda delen som befann sig i den andra handen.

Intervjuaren: *Öppnar höger hand* Så många var det i den, hur många var det? Elev 9: Fyra

Intervjuaren: Hur många är det här då *Pekar på vänster hand* om det ska vara

sju tillsammans?

Elev 9: *Eleven börjar att räkna på sina fingrar som enskilda enheter där hen viker

upp ett finger i taget. Eleven har svårt att komma igång men efter ett tag börjar hen att räkna sina fingrar. Eleven räknar sina fingrar som enskilda enheter flera gånger och svarar efter en lång stund med svag röst* Fem.

Utifrån elevens sätt ovan går det att urskilja att hen använder sig av att räkna fingrarna som enskilda enheter, flera gånger. Eleverna som räknade sina fingrar som enskilda enheter vid uppgiften 𝟒 + __ = 𝟕 hade det problematiskt med att lösa uppgiften. Användningen av detta sätt visade sig 3 av 3 gånger vara ett sätt som inte var gynnsam för att identifiera den okända delen i uppgiften. Samtliga elever som använde denna strategi gav ett felaktigt svar angående hur många stenar som befann sig i den dolda handen. I tabellen ovan (se s. 26) visar resultatet att sättet räkna fingrarna som enskilda enheter endast tillämpades av elever på uppgiften 𝟒 + __ = 𝟕.

25

Det sätt som användes näst mest av eleverna för att lösa de aritmetikuppgifterna var strukturerade fingermönster. Strukturerade fingermönster användes vid 9 av 36 observationer vilket utgör 25 procent av uppgifterna (Se tabell 1, s.26). Användningen av strukturerade fingermönster är fördelade på tre olika uppgifter, dessa är 𝟒 + __ = 𝟕 , 𝟑 + __ = 𝟖 och 𝟏𝟎 − 𝟔 = __. Likt ovan nämnt så användes strukturerade fingermönster sammanlagt på 9 av 36 uppgifter. Vid de två första uppgifterna använde fyra elever strukturerade fingermönster på uppgiften 𝟒 + __ = 𝟕 och fyra elever på uppgiften 𝟏𝟎 − 𝟔 = __. Samtliga åtta elever som tillämpade sättet strukturerade fingermönster för att lösa uppgifterna angav korrekta svar. Nedan redogörs hur Elev 10 använde strukturerade fingermönster för att lösa en subtraktionsuppgift.

Uppgift 𝟏𝟎 − 𝟔 = __

Intervjuaren: På lördag så låtsas vi att du får tio colaflaskor och så äter du upp sex

stycken med en gång. Hur många har du sen då?

Elev 10: * Eleven lägger direkt upp samtliga tio fingrar på bordet. Därefter viker

hen ner fem fingrar på vänster hand samt tummen på höger hand. Fingrarna viks ner som en strukturerad del. Eleven ”ser” sedan svaret utan att behöva räkna hur många fingrar som fortfarande är uppe* Fyra.

Den tredje uppgiften där sättet strukturerade fingermönster användes var på additionsuppgiften 𝟑 + __ = 𝟖 som har en semantisk struktur som en öppen utsaga. Under denna uppgift var det endast 1 av 9 elever som valde att använda sig av strukturerade fingermönster för att lösa uppgiften (Se tabell 1, s.26). Eleven som valde att använda sig av detta sätt för att lösa uppgiften angav ett korrekt svar på additionsuppgiften. Analysarbetet av eleverna som använde strukturerade fingermönster resulterade i att samtliga elever som använde strukturerade fingermönster angav korrekta svar. Utifrån detta resultat går det konstatera att strukturerade fingermönster var ett framgångsrikt sätt för eleverna som valde att tillämpa det.

Det sätt som användes vid flest uppgifter var kombinationen strukturerade delar och enskilda enheter. Strukturerade fingermönster och enskilda enheter var ett återkommande sätt som användes av elever vid samtliga uppgifter (Se tabell 1, s.26). Sammanlagt

26

tillämpades strukturerade delar och enskilda enheter vid 20 av 36 uppgifter vilket utgör 55,6 procent av uppgifterna, vilket är en majoritet. Det var framför allt i uppgifterna 𝟖 + 𝟓 = __ och 𝟑 + __ = 𝟖 som detta sätt tillämpades av eleverna. Vid dessa två uppgifter använde en stor majoritet av eleverna (14 av 17) strukturerade delar i kombination med enskilda enheter för att lösa uppgifterna.

För att lösa uppgiften 𝟑 + __ = 𝟖 använde 7 av 9 elever sättet strukturerade delar och enskilda enheter. Av dessa sju elever var det dock endast tre elever som angav ett korrekt svar på uppgiften. Likt ovan nämnt användes sättet strukturerade delar och enskilda enheter av en majoritet av eleverna. Vid uppgiften 𝟖 + 𝟓 = __ visade detta sig tydligt där strukturerade delar och enskilda enheter var det enda sätt som användes och det gjordes av 7 av 8 elever (Se tabell 1, s.26). Av de sju elever som använde strukturerade fingermönster i kombination med enskilda enheter var det fem av eleverna som angav korrekta svar. Ett elevexempel kommer redogöras nedan för hur Elev 10 gick tillväga.

Uppgift 𝟖 + 𝟓 = __

Intervjuaren: Om du har hittat åtta kulor och din kompis fem kulor. Hur många

kulor har ni tillsammans då?

Elev 10: *Eleven tar upp åtta fingrar direkt, fem på vänster hand samt tummen,

pekfingret och långfinger på höger hand. Därefter tar hen ner fingrarna igen och börjar räkna från åtta och fem steg uppåt. Eleven viker upp ett finger i taget på höger hand samtidigt som hen fortsätter att räkna. När eleven vikt upp fem fingrar vet hen att det är svaret är det sista räkneordet som sagts*. Nio, tio, elva, tolv, tretton

Likt ovan nämnt användes strukturerade delar och enskilda enheter i samtliga uppgifter. Men i de resterande två uppgifterna 𝟒 + __ = 𝟕 och 𝟏𝟎 − 𝟔 = __ var det inte samma utsträckning av elever som använde strukturerade fingermönster och enskilda enheter som i de uppgifter som tidigare har presenterats. I dessa två uppgifter använde sammanlagt 6 av 19 elever strukturerade delar och enskilda enheter för att lösa uppgifterna (Se tabell 1, s.26). Av dessa elever hade samtliga korrekta svar på uppgifterna.

27

5.3 Sammanfattning av resultatet

Sammanfattningsvis så har studien visat på att eleverna använder sig av kvalitativt olika sätt för att lösa aritmetikuppgifter. Utifrån den forskningsmetodiska ansatsen fenomenografin och analysen uppmärksammades det att eleverna använder olika sätt utefter sina erfarenheter och hur de uppfattar fenomenet. Genom observationer av intervjuer visade det sig att eleverna använde sina fingrar som hjälp och stöd vid 32 av 36 uppgifter, vilket utgör 88 procent av uppgifterna. De olika sätten kategoriserades som enskilda enheter, strukturerade fingermönster och strukturerade delar och enskilda enheter. Sätten kategoriserades i en tabell som tydliggjorde vilket sätt som användes minst respektive mest. Det framkom att det sätt som användes mest av eleverna var strukturerade delar och enskilda enheter, detta sätt användes vid 20 av 36 uppgifter vilket utgör 55,6 procent. Sättet som användes näst mest var strukturerade fingermönster. Detta sätt användes vid 9 av 36 uppgifter vilket utgör 25 procent Det sätt som användes minst av eleverna var att räkna fingrarna som enskilda enheter. Enskilda enheter användes vid 3 av 36 uppgifter vilket utgör 8,3 procent. De resterade 11,1 procent bestod av elever som löste uppgiften utan att använda sina fingrar överhuvudtaget.

28

6. Diskussion

Under detta avsnitt kommer studiens styrkor och svagheter att lyftas och diskuteras. Diskussionen kommer inledas med punkt 6.1 där studiens metod kommer att diskuteras följt av punkt 6.2 som innehåller diskussion om studiens resultat. Avsnittet avslutas med punkt 6.3 som handlar om förslag till fortsatt forskning.

6.1 Metoddiskussion

För att besvara studiens syfte ansåg jag att observation av kvalitativa intervjuer var en passande metod för studien. Grundtanken i studien var att jag skulle genomföra intervjuer på elever i förskoleklass och dessa intervjuer skulle sedan observeras, transkriberas och analyseras. Detta blev dock inte genomförbart på grund av omständigheterna och restriktioner för viruset Covid-193. Skolorna som jag varit i kontakt med meddelade att intervjuerna inte var genomförbara då de beslutat om att utomstående inte fick besöka skolorna. Eftersom tidsåtgången för studien är begränsad fick jag därför tänka om och i samråd med min handledare, Anna-Lena Ekdahl, bestämdes det att jag skulle observera redan inspelade videointervjuer. Eleverna i intervjuerna som observerades var en del av en kontrollgrupp i ett forskningsprojekt. Detta tillvägagångssätt som används i studien kallas sekundäranalys vilket innebär att en forskare kan använda redan insamlad data i sin studie för att besvara nya forskningsfrågor (Bryman, 2011). De förinspelade videointervjuerna som observerades och analyserades innehöll både frågor och följdfrågor som gjorde det möjligt för denna studie att ha sin utgångspunkt i en fenomenografisk forskningsansats. Övervägande om utesluten interaktion med eleverna som intervjuas har gjorts men jag anser att det inte påverkar eller är av betydelse för studien och dess syfte. Detta eftersom fokus är på hur eleverna använder sina fingrar i samband med aritmetikuppgifter, vilket går att urskilja genom att endast observera videoinspelningarna.

Studien har sin grund i 10 elevobservationer och 36 uppgifter, vilket visade sig vara ett lagom antal för studien. Antalet elever och uppgifter var lagom både för att kunna urskilja en variation för elevers sätt att lösa additions- och subtraktionsuppgifter men också tidsmässigt för studien. Under materialanalysen uppstod tankar om antalet observationer inte skulle ge studien tillräckligt med underlag med det visade sig efter materialanalysen

29

att antalet elevobservationer var tillräckligt för att kunna besvara studiens syfte och frågeställningar. För att det ska vara möjligt att urskilja olika sätt kring ett fenomen krävs det att det finns en möjlig variation att observera. (Marton & Booth, 2000). I en fenomenografisk forskningsansats kan det vara svårt för forskaren att beskriva samtliga variationer och uppfattningar som finns vid ett fenomen. Forskaren måste därför avgränsa vad som ska sökas och analyseras i studien. Aspekterna som forskaren fokuserar på måste vara relevanta för studiens syfte och frågeställningar medan aspekter som inte är relevanta ska uteslutas från studien (ibid). De aspekter som jag valde att fokusera på vid observationen var elevernas olika sätt att använda fingrarna, sättens olika kvaliteter och vilka aspekter som eleverna urskilt.

Eftersom det uppmärksammades att eleverna använde sig av skilda sätt för att lösa uppgifterna var de i behov av att kategoriseras för att synliggöra skillnader och likheter. Detta bidrog till att analysprocessen tog längre tid än väntat eftersom elevernas intervjuer först skulle observeras, transkriberas, analyseras, färgkodas och sedan kategoriseras. En välarbetad materialanalys bidrar med att studiens trovärdighet ökar och att studiens resultat blir så sanningsenligt som möjligt. Analysprocessen resulterade i tre kategorier där elevernas skilda uppfattningar noterades vid varje uppgift. Som jag nämnt tidigare i studien finns både för- och nackdelar med att observera videoinspelningar. Observation av videoinspelade intervjuer anser jag som en fördelaktig metod i denna studie eftersom jag analyserar elevernas sätt att använda fingrarna. Videoinspelningarna medförde att jag kunde gå tillbaka i sekvenserna och analysera materialet flera gånger, vilket var en bidragande faktor till hur aspekter och sätten utskildes och identifierades. Optimalt hade varit om jag genomförde intervjuerna själv samtidigt som de filmades för en senare observation och analys. Detta eftersom det uppstod sekvenser i videoinspelningarna där eleverna använde sina fingrar under bordet, vilket gjorde det svårt att se hur eleven gick tillväga. Hade jag varit den som intervjuade och satt bredvid eleven hade jag sett hur hen gjorde och hade kunnat föra mindre minnesanteckningar för kommande analys.

En bidragande faktor till hur elevernas skilda uppfattningar kring fenomenet urskildes var genom mina egna förkunskaper om fingeranvändning i matematiken. Med hjälp av mina förkunskaper hade jag under analysarbetet en större förståelse kring hur eleverna gick tillväga när de använde sina fingrar vid uppgifterna. Förkunskaperna gjorde att arbetet med kategoriseringarna av de skilda sätten upplevdes mindre komplicerad. Det finns möjlighet

30

att mina förkunskaper och tolkningar kan ha påverkat studiens resultat. Under analysarbetet hade jag i åtanke att vara noga med att notera vad eleverna urskiljer och inte, för att studien ska vara så sanningsenligt som möjligt. Detta gjordes för att undvika att jag inte tolkar elevernas sätt att använda fingrarna utefter mina förkunskaper och där eleven egentligen inte visar på specifika kunskaper för ett sätt. Det är svårt att frångå sina förkunskaper och att inte göra alltför avgörande tolkningar av elevernas skilda sätt att använda fingrarna. Mina förkunskaper kring fingeranvändning i matematiken upplever jag dock som fördelaktiga för studien och analysarbetet då det var till god hjälp. Bryman (2011) förklarar att det i kvalitativa studier finns plats för subjektiva tolkningar eftersom det är forskaren som tolkar, analyserar och kategoriserar materialet. Med de subjektiva tolkningarna i åtanke var det av betydelse att materialet analyserades flera gånger, för att förstärka studiens validitet. Genom att analysera ett material fler gånger kan forskaren notera olika saker vid varje tillfälle (Marton & Booth, 2000)

I analysarbetet identifierades tre kvalitativt olika sätt som eleverna använde vid aritmetikuppgifter. Hade jag valt att använda mig av flera kategorier hade de nuvarande tre kategorierna eventuellt resulterat i nya uppfattningar och underkategorier. Detta eftersom de sätt som används i studiens resultat har i stort sett liknande tillvägagångssätt fast med mindre skillnader, som hade kunnat resulterat i flera kategorier. Ett exempel på en skillnad som uppmärksammades i ett sätt var att en elev viker ner fingrarna medan en annan viker upp, fast de använder samma sätt. Med detta i åtanke valde jag ändå att använda mig av tre huvudkategorier då jag ansåg att detta gav tillräckligt med variation för att besvara studiens syfte och frågeställningar. Studiens syfte har besvarats med hjälp av en fenomenografisk ansats som har undersökt variationen av hur elever i förskoleklass använder sina fingrar för att lösa additions- och subtraktionsuppgifter.

Eleverna som deltog i studien är från fyra olika förskoleklasser, vilket kan öka validiteten på studiens resultat. Resultatet visar på elevernas skilda uppfattningar av fenomenet vilket är av betydelse för studien. Hade samtliga elever varit från samma skola hade resultatet eventuellt sett annorlunda ut. Likaså om det hade varit fler elever som deltog i studien. Hade jag valt att använda mig av fler elever i studien hade eventuellt fler uppfattningar för fingeranvändning vid additions- och subtraktionsuppgifter framkommit under analysen. Fler intervjuer och observationer hade med stor sannolikhet bidragit till att studien hade fått ett mer mättat material. Ett större antal elever hade även bidragit med att trovärdigheten