Lösningsförslag,
problemsamling 5
1. Gemensamma nollställen finns hos en SGD till de två polynomen … z5-7 z4+21 z3-43 z2+68 z - 60 = Hz - 2L Iz4-5 z3+3 z2+19 z - 30M + 8 Iz3-7 z2+17 z - 15M z4-5 z3+3 z2+19 z - 30 =Hz + 2L Iz3-7 z2+17 z - 15M Så, SGDIz5-7 z4+21 z3-43 z2+68 z - 60, z4-5 z3+3 z2+19 z - 30M =SGDIz4-5 z3+3 z2+19 z - 30, z3-7 z2+17 z - 15M =SGDIz3-7 z2+17 z - 15, 0M = z3-7 z2+17 z - 15
Av ledningen tillsammans med satsen om rationellt nollställe till ett polynom i !@zD följer att det nämnda heltalsnollstället till
z3-7 z2+17 z - 15 tillhör 8-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15<. Efter prövning finner man att det är z = 3.
2. Även -5 Â måste vara en rot, eftesom polynomets koefficienter är reella. Det följer (av faktorsatsen) att fjärdegradsekvationens polynom är delbart med produkten Hz - 5 ÂL Hz + 5 ÂL = z2+25. Faktorisering ger z4+6 z3+30 z2+150 z + 125 =Iz2+25M Iz2+6 z + 5M. De återstående
två rötterna finns som nollställen till z2+6 z + 5. Dessa är -1 och -5. 3. Endera har vi två rötter av typ 1 + Â b och 1 - Â b eller så är 1 en rot. I första fallet följer att z2-2 z + b2+1 är en faktor i z3+a z + 6. Om vi dividerar får vi
z3+a z + 6 !Iz2-2 z + b2+1M Hz + 2L + Ia + 3 - b2M z - 2 b2+4
Resten måste vara lika med noll. Man får Jb ! - 2 Î b ! 2 N Ì a ! -1
Alltså är rötterna -2, 1 + Â 2 , 1 - Â 2 i första fallet. I andra fallet då?
Få se, om 1 är en rot så följer (efter insättning) att 1 + a + 6 ! 0, dvs. a = -7. Och polynomet blir då lika med
z3-7 z + 6 !Hz - 1L Iz2+z - 6M ! Hz - 1L Hz - 2L Hz + 3L. Alltså är rötterna i
andra fallet lika med 1, 2, -3.
Alltså är rötterna -2, 1 + Â 2 , 1 - Â 2 i första fallet. I andra fallet då?
Få se, om 1 är en rot så följer (efter insättning) att 1 + a + 6 ! 0, dvs. a = -7. Och polynomet blir då lika med
z3-7 z + 6 !Hz - 1L Iz2+z - 6M ! Hz - 1L Hz - 2L Hz + 3L. Alltså är rötterna i
andra fallet lika med 1, 2, -3.
4. Rötterna på imaginära axeln måste vara konjugerade, säg att de är  b och - b. För att få en liksidig triangel måste det tredje nollstället ligga som i en av de två figurerna nedanför.
b Â
-b  b 3
b Â
-b  b 3
Av faktorsatsen följer därmed att
z3+a z2+4 z + c =Hz - Â bL Hz + Â bL Iz + b 3 M eller z3+a z2+4 z + c =Hz - Â bL Hz + Â bL Iz - b 3 M I första fallet får vi
z3+a z2+4 z + c = z3+ 3 b z2+ b2z + 3 b3, vilket ger 4 = b2. Det följer att b = !2.
I andra fallet får vi
z3+a z2+b z + c = z3- 3 b z2+ b2z - 3 b3, vilket också ger b = !2.
Alltså,
z4-4 z3+a z2+b z + c =Hz - 2 ÂL Hz + 2 ÂL Hz + 2L eller z4-4 z3+a z2+b z + c =Hz - 2 ÂL Hz + 2 ÂL Hz - 2L
5. (Motsägelsebevis) Antag att m är en heltalsrot. Då följer av
uppgiftstexten att †m§ > 2, och av satsen om rationellt nollställe till ett polynom i !@zD att konstanttermen är delbar med m. Å andra sidan är konstanttermen lika med ! H0L som var lika med 2. Och 2 är delbar endast med fyra tal, nämligen 1, -1, 2 och -2. Det följer att m œ8-2, -1, 1, 2<. Men då är †m§ § 2 vilket strider mot att †m§ > 2.
