Elevers utveckling under matematiska diskussioner om problemlösning : En kvalitativ observationsstudie i årskurs 2 och 3

Examensarbete

Grundlärarutbildning åk F-3

Elevers utveckling under matematiska

diskussioner om problemlösning

En kvalitativ observationsstudie i årskurs 2 och 3

Examensarbete II, 15 hp

Halmstad 2020-06-04

Förord

Efter åtta terminer med studier på lärarprogrammet för grundskolelärare F-3 är vi nu äntligen i mål som färdiga lärare. Under terminen som gått då vi har arbetat med denna studie har vi återigen insett vikten av att tidigt arbeta med problemlösning i matematikundervisningen. Arbetet har kantats av både medgångar och motgångar och det ligger ett gediget arbete bakom denna studie ni nu har framför er.

Med ett gott samarbete har vi tillsammans genomfört denna kvalitativa studie. Det har genomgående varit en jämn fördelning av arbetet oss emellan där alla delar har bearbetats gemensamt. Däremot har empiri samlats in på varsitt håll i samband med den verksamhetsförlagda utbildningen. Arbetsgången har inneburit en öppen dialog där vi tillsammans har diskuterat och analyserat vårt arbete. Detta har medfört att studien hela tiden har utvecklats och förbättrats. Vårt goda samarbete har också inneburit att vi har haft roligt tillsammans under arbetes gång.

När vi nu har detta examensarbete bakom oss ser vi fram emot vår första termin där vi kan titulera oss som grundskolelärare. Vi ser fram emot de utmaningar som nu ligger framför oss och vi kommer med glädje ta oss an matematikundervisningen.

Tack till alla som har hjälpt oss att göra denna studie möjlig. Vi vill framföra ett extra tack till vår handledare Claes Malmberg.

Melissa Nilsson & Ebba Olsen

Innehållsförteckning

1. Inledning... 4

2. Problemområde och problemformulering ... 6

2.1 Syfte och frågeställningar ... 6

3. Bakgrund ... 7 3.1 Teoretisk utgångspunkt ... 8 3.2 Centrala begrepp ... 9 3.2.1. Definition av problemlösningsuppgift ... 9 3.2.2 Definition av strategier ... 10 3.3 Tidigare forskning ... 10

3.3.1 Kunskapsutveckling genom grupparbete ... 10

3.3.2 Interaktion i grupparbete ... 11

3.3.3 Elevers uppfattning av problemlösning ... 12

3.3.4 Gruppkonstellationer ... 12

3.3.5 Stöttning i problemlösning ... 13

3.3.6 Sammanfattning av tidigare forskning ... 13

4. Metod ... 15 4.1 Urval ... 15 4.2 Genomförande ... 15 4.3 Insamling av empiri ... 17 4.4 Analys av empiri ... 17 4.4.1 Analysredskap ... 17 4.4.4 Analysens genomförande ... 18 4.5 Etiska aspekter ... 19

5. Resultat och analys ... 20

5.1 Från trygghetszon till lärande-/utvecklingszon ... 20

5.2 Från frustrations-/ängslanzon till lärande-/utvecklingszon ... 22

5.3 Växelverkan mellan flera zoner... 24

5.4 Fast i uttråkningszonen ... 27

5.5 Sammanfattning av resultatet ... 29

6. Diskussion ... 30

6.1 Resultatdiskussion ... 30

6.2 Metoddiskussion ... 32

7. Konklusion och didaktiska implikationer ... 35

8. Referenslista ... 36

8.2 Litteratur ... 36 8.3 Internetkällor ... 37 Bilagor ...

Bilaga A ... Bilaga B ...

4

1. Inledning

Problemlösning bör vara en central del av undervisningen i matematik där alla delar inom matematikämnet möts eftersom det ger eleverna möjlighet till att sammanfoga delarna till en helhet (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001, s.420–421). I Nämnaren kan man läsa en artikel av Hedrén, Taflin och Hagland (2005, s.36) där de talar om vikten av att bygga broar inom matematiken. Författarna menar att genom att använda sig av problemlösning kan flera delar inom matematiken sammanfogas och ge eleverna möjlighet till att se samband mellan områden, till exempel inom procent och bråk (s.41). För att kunna bygga upp sin kunskap i problemlösning är klasskompisarna en viktig del och författarna poängterar vikten att lärarna låter eleverna diskutera problemen i grupp (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005, s.18). Författarna talar om att när elever med liknande kunskaper tillsammans får diskutera ett problem eller begrepp och värdera varandras lösningar ges eleverna möjlighet till att utveckla sina kunskaper.

I en granskning av undervisningen i matematik i grundskolan gjord av Skolinspektionen (2009) menade de att undervisningen då inriktades till stor del på enskilt arbete i matematikboken. En undervisning som till stor del bygger på enskilt arbete gör att eleverna går miste om tillfällen att utveckla sina förmågor i problemlösning och resonemang (Skolinspektionen, 2009, s.8). Lärare borde istället ha en undervisning som inbjuder till en större utveckling för eleverna och istället för

procedurräkning i matematikboken borde läraren låta andra förmågor som

problemlösningsförmågan få en större plats i undervisningen (Skolinspektionen, 2009, s.8–9). År 2020 publicerade Skolinspektionen (2020, s.5) en granskning av undervisningen i matematik för årkurs 4–6. Granskningen visar att numera implementeras gruppdiskussioner i undervisningen i matematik, däremot behöver kvalitén på dessa förbättras. Granskningen visar även att det finns många elever som inte deltar aktivt i de matematiska diskussionerna. Skolinspektionen (2020, s.5) lyfter fram att problemlösning i par oftast engagerar båda eleverna medan när eleverna samtalar i helklass är det få elever som är delaktiga.

Kursplanen i matematik för årskurs 1–9 har en explicit inriktning till problemlösning eftersom problemlösning är kärnan av matematiken (Skolverket, 2017, s.6). Detta kan vi se genom att problemlösning i läroplanen skrivs fram som en förmåga där det står att eleverna ska utveckla sin förmåga att “formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket, 2019, s.55). Problemlösning skrivs också fram som ett centralt innehåll där eleverna ska arbeta med “strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer” samt med “matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer” (Skolverket, 2019, s. 56). För att eleven i årskurs tre ska ha godtagbara kunskaper utifrån kunskapskraven i kursplanen i matematik krävs det att eleven ska kunna “lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven ska också kunna beskriva tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatets rimlighet” (Skolverket, 2019, s.59).

Att arbeta med problemlösning är något som man bör göra så tidigt som möjligt och med fördel redan i förskoleklass (Palmér & van Bommel, 2019, s.14). Fortsättningsvis hävdar författarna att eleverna inte behöver vara väl insatta i matematikens grunder, dessa lär eleverna sig genom att

5

arbeta med problemlösning. Problemlösning tränar även andra förmågor så som att samarbeta med varandra. Att arbeta med problemlösning i matematiken är en process där eleverna efter hand utvecklar sina kunskaper inom området. Lester och Lambdin (2007, s.95) talar om problemlösning som idag är något som kommer efter undervisningen inom begrepp- och färdighetsträning. Problemlösning borde implementeras tidigt i matematikundervisningen som en metod för att bilda sig nya kunskaper inom matematiken. Lester och Lambdin (2007, s.95) tillägger även att med hjälp av att arbeta med problemlösning utvecklar eleverna sin förståelse inom begrepp och metoder. För att undervisa genom problemlösning krävs det att läraren är väl insatt i problemet som ska lösas och att läraren kan anpassa problemet utifrån vilken klass som ska arbeta med det. Istället för att problemlösning ska ses som en extrauppgift till eleverna ska det ses som en gemensam aktivitet där eleverna arbetar med samma problem (Hagland & Åkerstedt, 2014, s.5).

Sammanfattningsvis visar ny granskning av Skolinspektionen att elever samtalar om matematik i olika former av gruppkonstellationer, däremot behövs kvalitén på dessa samtal förbättras. Granskningen visar också att alla elever inte deltar aktivt i diskussionerna. Det är av vikt att ge samtliga elever möjlighet till att arbeta med problemlösning som en huvudaktivitet och inte som en extrauppgift under lektionen. Att arbeta med problemlösning tidigt i elevers skolgång är positivt eftersom genom problemlösning kan eleverna ta till sig ny kunskap inom området.

6

2. Problemområde och problemformulering

Problemlösning ses som en viktig del i elevernas matematikundervisning genom att den har förutsättningar för att vara en länk mellan olika matematiska områden (Kilpatrick et al., 2001, s.420–421; Hedrén et al., 2005, s.36). Även Skolverket (2019, s.55–56) förstärker vikten av problemlösning i matematiken, där problemlösning finns med både som en förmåga men också ett centralt innehåll i kursplanen för matematik. Problemlösning i matematik bör introduceras tidigt i undervisningen och genom problemlösning kan eleverna lära sig grundläggande kunskaper (Palmér & van Bommel 2019, s.14; Lester & Lambdin, 2007, s.95). För att utveckla elevernas kunskaper inom problemlösning är det viktigt att lärarna ger elever möjlighet att diskutera sina lösningsstrategier i grupp (Hagland et al., 2005, s.18).

Samtidigt kan man läsa i Skolinspektionens rapport (2009, s.8–9) att om undervisningen i matematik till stor del består av enskilt arbete i matematikboken gör det att eleverna mister viktiga tillfällen att utveckla sina förmågor i problemlösning. En ny granskning av Skolinspektionen (2020, s.5) visar att gruppdiskussioner förekommer i matematikundervisningen, dock behövs kvalitén på diskussionerna förbättras eftersom det fortfarande finns elever som inte är aktiva.

2.1 Syfte och frågeställningar

Syftet med denna kvalitativa studie är att bidra med kunskap om hur gruppdiskussioner inom matematisk problemlösning kan bidra till elevers lärande och utveckling.

Frågeställning:

Vilka omständigheter påverkar elevers förflyttningar mellan undervisningens och lärandets fyra zoner när de för matematiska diskussioner?

7

3. Bakgrund

I detta avsnitt kommer denna kvalitativa studies bakgrund att beskrivas. Nedan kommer ni först att få ta del av en inledning för att få en förståelse inom ämnet. Därefter presenteras studiens teoretiska utgångspunkt och centrala begrepp. Slutligen kommer ni att läsa om den tidigare forskning som gjorts inom området.

Ur ett historiskt perspektiv har problemlösning varit en del av läroplanen i matematik under en längre tid och är således inte något nytt i skolan. Hur problemlösning har framställts genom de olika läroplanerna har utvecklats genom åren. Vilket innebär att sättet eleverna ska arbeta med problemlösning har ändrats (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000, s.47). Författarna skriver att i läroplanerna fram till och med år 1969 undervisade lärarna i matematik för problemlösning. Detta genom att problemlösning var det övergripande målet i undervisningen och eleven betraktades då som en härmare. I läroplanen från 1980 började man även att undervisa om problemlösning. Detta genom att problemlösning blev ett huvudmoment och eleven betraktades då som en behandlare av information. Från och med läroplanen från 1994 övergick man till att också undervisa genom problemlösning. Då började man istället se problemlösning som ett helhetsperspektiv inom matematiskt tänkande och som ett sätt att lära sig matematiska kunskaper. I och med denna syn på problemlösning betraktas eleven som en tänkare (Wyndhamn et al., 2000, s.47).

Schoenfeld (2016, s.1) skriver att för att kunna förstå det matematiska språket krävs det att man lär sig regler. Författaren framhåller även vikten av att eleverna inte enbart ska förhålla sig till att lära sig regler utan att eleverna också ges möjlighet att utforska matematiken på ett högre plan. Detta innebär i praktiken att eleven inte bara ska memorera procedurer utan också få möjligheten att söka lösningar. Det innebär även att eleven inte bara ska komma ihåg formler utan också få utforska mönster samt att eleven inte enbart ska göra uppgifter utan också få göra antaganden. Schoenfeld (2016, s.1) har visat att elevers arbete med problemlösning utvecklar förmågor som att tänka logiskt, systematiskt och strukturerat men utvecklar även elevernas intresse för matematik.

Lester (1996, s.87) skriver fram fyra principer som ses som grundläggande i forskningslitteratur. En av dessa är principer innebär att elever måste få möjlighet att lösa många problem för att bli bättre. Något som också spelar stor roll är att problemlösningsförmågan utvecklas långsamt under en längre tid. Något annat som ses som betydelsefullt är att läraren utstrålar till eleverna att arbetet med problemlösning är viktigt. En sista viktig princip som Lester (1996, s.87) ser som framstående i forskningslitteratur är att merparten av eleverna gynnas av att undervisas regelbundet i problemlösning. I undervisningen om matematik genom problemlösning är det viktigt att läraren inte hjälper eleverna med vilken strategi som ska användas eftersom uppgiften då istället blir till en rutinuppgift för eleven (Hagland & Åkerstedt, 2014, s.5). Att läraren förbereder sig inför undervisningen är också viktigt, sådana förberedelser kan vara att läraren väljer ett problem som passar alla elever. I genomgångar ska läraren använda sig av olika typer av elevlösningar och för att kunna bemöta dessa måste läraren själv vara insatt i problemet och vilka lösningsstrategier som kan användas (Hagland & Åkerstedt, 2014, s.5).

8

Lester (1996, s.91) menar att barn är problemlösare av naturen. Däremot skriver Lester (1996, s. 87) fram en svårighet inom problemlösning genom att elever inte är bekanta med olika lösningsstrategier, vilket missgynnar elevers arbete med problemlösning och gör det svårt. Detta beror på att elever inte undervisas i vilka strategier man kan använda sig av när man löser problemlösningsuppgifter. Ofta får eleverna enbart undervisning om en strategi vilket oftast innebär strategin att göra olika beräkningar (Lester, 1996, s.88). Det är inte tillräckligt att bara se till svårigheterna i problemlösning och arbeta med dessa (Ahlberg, 2001, s.44). Något som författaren framhåller som betydelsefullt är undervisningskontexten, i synnerhet vikten av att arbeta med problemlösning i mindre grupper. Att arbeta tillsammans med andra är något som vi gör ofta när vi löser problem i vardagen men det är inte lika vanligt vid arbetet med problemlösning i matematiken i skolan (Ahlberg, 2001, s.44). Författaren talar även om att eleverna vid grupparbete får en ny förståelse över problemet när de möter andra elevers tankar och kunskaper. Problemlösning är ett bra sätt att ge eleverna möjlighet att diskutera matematik med sina klasskamrater (Wyndhamn et al. 2000, s.49). Författarna menar att eleverna behöver få tid till att diskutera och jämföra sina uppfattningar med andra elever och samtidigt få tal del av andra elevers tankar och erfarenheter.

3.1 Teoretisk utgångspunkt

I denna kvalitativa studie är det sociokulturella perspektivet centralt då syftet med denna kvalitativa studie är att bidra med kunskap om hur gruppdiskussioner inom matematisk problemlösning kan bidra till elevers lärande och utveckling. Säljö (2015, s.89) beskriver människan som en biologisk, kulturell, social samt historisk varelse. Detta resulterar i att människan kan och lär utifrån hens bakgrund och förutsättningar samt den sociokulturella erfarenheten hen lever i. Vidare skriver författaren att när lärandet bygger på en variation av kunskaper blir barnen en del av den sociokulturella gemenskapen. Detta betyder att en person med högre kompetens stöttar eleven för att nå en bredare kunskap (Vygotskij, 1978, s.86). Fortsättningsvis talar Vygotskij om the zone of proximal development som förkortas ZPD. Vygotskij (1978, s.86) beskriver ZPD som ett stadie där eleven är i behov av stöttning för att kunna klara av uppgiften i fråga. Stöttning får eleven av någon med bredare kunskap inom området. Detta gör att elever som får möjlighet att samarbeta med andra klarar också av mer än vad de hade klarat på egen hand (Vygotskij, 1999, s.330). Däremot skriver han att elever inte klarar av hur mycket samarbete som helst då de har en begränsad utveckling. Dock poängterar Vygotskij att samarbete stärker barnets förmågor och de blir starkare och klokare än vid enskilt arbete (1999, s.331). Gibbons (2016, s.33) som inspirerats av Vygotskij skriver om att det ett barn kan klara av med hjälp av stöttning, kan barnet självständigt imorgon. Författaren talar om vikten av att lärarna har lika höga förväntningar på samtliga elever men också ger passande stöttning för att en uppgift skall kunna lösas med framgång. Stöttning är i denna studie likställt med det engelska begreppet scaffolding, vilket är ett vanligt förekommande begrepp i det sociokulturella perspektivet.

Gibbons (2016, s.33) skriver att stöttning kan kombineras med kognitiv utmaning när elever arbetar med olika typer av uppgifter. En forskning som har studerats är Marianis (1997, s.10) undervisningens och lärandets fyra zoner. Marianis (1997, s.10–11) forskning presenterar hur olika typer av stöttning kan kombineras med olika kognitiva nivåer och i vilken zon som eleverna hamnar i vid de olika tillfällena. Författaren talar om att det finns fyra olika klassrumsmiljöer utifrån hur undervisningen utformas. Vi har valt att namnge dessa zoner efter Gibbons (2016, s.34)

9

benämningar. Dessa benämningar är frustrations-/ängslanzonen, uttråkningszonen, trygghetszonen samt lärande-/utvecklingszonen.

1. Den första zonen är den zon som här benämns som frustation-/ängslanzon (Gibbons, 2016, s.34). Eleverna befinner sig i zonen när de möter uppgifter med en hög kognitiv utmaning och med låg stöttning. Detta kan skapa osäkerhet, ångest samt frustration hos eleven (Mariani, 1997, s.10).

2. Den andra zonen är den zon som här benämns som uttråkningszonen (Gibbons, 2016, s.34). Eleverna befinner sig i zonen när de möter uppgifter med en låg kognitiv utmaning och med låg stöttning. Detta kan få eleverna att känna att undervisningen är enformig eller tråkig (Mariani, 1997, s.10–11).

3. Den tredje zonen är den zon som här benämns som trygghetszonen (Gibbons, 2016, s.34). Eleverna befinner sig i zonen när de möter uppgifter med låg kognitiv utmaning och med hög stöttning. Detta kan få eleverna att känna sig trygga och bekväma (Mariani, 1997, s.11). 4. Den fjärde zonen är den zon som här benämns som lärande-/utvecklingszonen (Gibbons,

2016, s.34). Eleverna befinner sig i zonen när de möter uppgifter med hög kognitiv utmaning och med hög stöttning. Detta kan få eleverna att stärka sitt självförtroende samt att eleverna känner en tillfredsställelse (Mariani, 1997, s.11).

Figur 1. Undervisningens och lärandets fyra zoner (Gibbons 2016, s.34, inspirerad av Mariani 1997, s.10).

3.2 Centrala begrepp

3.2.1. Definition av problemlösningsuppgift

Det finns olika typer av uppgifter inom matematiken, vilka är rutinuppgifter, textuppgifter, problemlösningsuppgifter och rika problemlösningsuppgifter (Hagland & Åkerstedt, 2014, s.3–4). Rutinuppgifter är uppgifter där eleven redan på förhand är bekant med lösningsstrategin. Textuppgifter är uppgifter som skrivs i löpande text och som avslutas med en eller flera frågor som

10

eleven ska besvara. Problemlösningsuppgifter är uppgifter där eleven från början inte vet vilken lösningsstrategi som skall användas. Eleverna måste istället hitta en strategi för att kunna lösa uppgiften. Rika problem har förutsättningar för att eventuella diskussioner om problemet ska vara innehållsrika och dessa ska till exempel kunna handla om matematiska begrepp och strategier (Hagland & Åkerstedt, 2014, s.3–4). Även Skolverket (2017, s.7) har samma uppfattning genom att de talar om problemlösning eller matematiska problem som uppgifter där det inte finns en given lösning på problemet. Istället måste eleverna ha strategier och testa sig fram till en lösning. I denna studie definieras problemlösning som uppgifter där lösningsstrategierna inte är given för eleverna till en början.

3.2.2 Definition av strategier

Strategier är olika metoder som kan användas när man tar sig an en problemlösningsuppgift. Dessa strategier eller metoder kan till exempel vara (Lester, 1996, s.88):

 Välj en eller flera operationer/beräkningar att arbeta med

 Rita en bild

 Gör en lista

 Gör en tabell eller ett diagram

 Arbeta baklänges

 Lös ett enklare problem

 Använd laborativa material eller modeller

I denna studie definieras strategier som ovan.

3.3 Tidigare forskning

3.3.1 Kunskapsutveckling genom grupparbete

Att arbeta i grupp tillsammans med sina klasskamrater gynnar elevernas resultat i problemlösning (Davenport & Howe, 1999, s.66). I en studie med 77 elever i 10-års åldern har Davenport och Howe (1999, s.58–59) undersökt resultatet av att arbeta med problemlösning i grupp jämfört med att arbeta med problemlösning enskilt. Resultatet av studien visar att eleverna som arbetat i grupp förbättrade sina resultat jämfört med eleverna som arbetade enskilt med problemlösning. Fortsättningsvis talar Davenport och Howe (1999, s.68) om att elever med matematiksvårigheter kan specifikt gynnas av samarbete då eleverna kan ta del av klasskamraters förklaringar av ett problem. Davenport och Howes (1999, s.66) studie visar också att både eleverna som arbetade enskilt men också eleverna som arbetade i grupp hade svårigheter med att utföra korrekta beräkningar, varav eleverna som arbetade enskilt hade detta i en högre grad.

I en liknande studie som Davenport och Howes (1999) gjord av Bostic, Pape och Jacobbe (2016, s.34–35) undersöktes om elevers förmåga att lösa problem gynnades av att arbeta i grupp. Studiens design innebar att en grupp av elever undervisades genom problemlösning och en kontrollgrupp av elever undervisades genom traditionella lärarledda lektioner och därefter jämfördes gruppernas resultat. Totalt deltog 58 elever i studien. Resultatet av studien visade att de elever som undervisades genom problemlösning i grupp presterade bättre på sluttestet jämfört med de elever som istället hade undervisats genom de traditionella lärarledda lektionerna. Interventionen varade 30 dagar och

11

resultatet av studien påvisar att elevers resultat i problemlösning ökar då problemlösning undervisas dagligen (Bostic et al., 2016, s.46).

3.3.2 Interaktion i grupparbete

I en klassrumsstudie som gjordes med 121 stycken elever i årskurs 3 kunde Ahlberg (1992, s.128) påvisa att genom gruppdiskussion fick eleverna syn på att det fanns flera rätta lösningar i ett problem. En skillnad med att undervisa genom det traditionella lärarledda sättet och att undervisa genom gruppdiskussionen är att diskussionerna har sin utgångspunkt i elevernas egna lösningsförslag (s.132). Ahlberg poängterar att läraren ska ge eleverna möjlighet att visa och förklara sina lösningar för varandra, detta för att eleverna ska inse att det finns flera rätta lösningar till ett problem (s.132–133). Även Taflin (2007, s.155) talar om att elever gynnas av diskussioner i både grupp och i helklass eftersom eleverna då får ta del av andra elevers förståelse och genom det ökar deras förståelse över helheten. Detta har Taflin undersökt genom intervjuer, videoinspelningar samt insamling av elevernas arbetsblad av elever från årskurs 7–9. Likaså Palmér och van Bommel (2018, s.1784–1785) förefaller vara av samma mening att grupparbete är av betydelse för elevernas kunskaper inom matematik. I Palmér och van Bommels (2018. S.1784–1785) studie, där 145 elever deltog, hölls en lektion där eleverna skulle arbeta med en uppgift som kallades för Tornet. Syftet med studien var att undersöka möjligheten att basera matematikundervisningen på problemlösning. Resultatet av deras studie visade att med enskilt arbete med enbart papper och penna var det få elever som lyckades lösa uppgiften. Det var först när eleverna arbetade i grupp och med laborativt material som eleverna förstod att det behövdes fler än sex stycken kuber för att bygga tornet. I en studie har Francisco (2013, s.417) undersökt hur gruppdiskussioner kan bidra till att öka elevers matematiska förståelse. Genom videoinspelning av en fokusgrupp där sex elever arbetar med problemlösning i grupp och intervjuer kom Francisco fram till att gruppdiskussioner kan bidra till att elever ökar sin matematiska förståelse (Francisco, 2013, s.422, 434). När eleverna ges möjlighet till att utveckla sitt resonemang genom att bygga vidare på varandras tankegångar ökar elevernas matematiska förståelse. I resultatet av studien kan man följa hur en grupp tillsammans löser ett problem. I den ena sekvensen kan man läsa att en elev föreslår en lösning på problemet och att en annan elev i gruppen bemöter det genom att förklara att den lösningen inte är trovärdig, hela gruppen kommer sedan överens om att inte arbeta vidare med den lösningen. I en annan sekvens kan man läsa i transkriberingarna hur eleverna ställer frågor till varandra och resonerar med varandra för att komma fram till en lämplig lösning. I en senare sekvens hjälper forskaren eleverna vidare i problemlösningen genom att stötta eleverna i hur de kan tänka vidare kring problemet. När forskaren inflikade i elevernas diskussion hjälpte det eleverna vidare i uppgiften och gjorde så att de kom fram till en lösning på problemet. Resultatet visade också att när elever arbetar i grupp kommer fler synsätt och förslag fram vilket gör att individerna funderar och reflekterar mer än när de sitter enskilt med ett problem. När eleverna i en gruppdiskussion har en variation av lösningsstrategier ökar gruppens potential att lösa matematiska problem (Francisco, 2013, s.434– 436).

Davenport och Howe (1999) undersökte också hur elever samverkar med varandra i gruppdiskussioner. Detta undersöktes genom att kategorisera elevernas gruppsamtal utifrån fyra kategorier. Dessa kategorier bestod av följande: att eleven lyssnar, ger riktiga förklaringar, ger felaktiga förklaringar och diskuterar inte. Resultatet av deras studie visade att de elever som

12

förbättrade sina resultat från förtestet till efter-testet tenderade till att under gruppdiskussionerna ha lyssnat på sina gruppmedlemmar samt gett riktiga förklaringar. Elever som inte förbättrade sina resultat i sluttestet var elever som under gruppdiskussionerna till största del hade gett felaktiga förklaringar samt inte deltagit i diskussionerna. Resultatet visar också att elever som sågs som lågpresterande var de elever som lyssnade mest medan eleverna som var medel eller högpresterande varierade mer mellan de olika kategorierna. Däremot var det eleverna som var lågpresterande och som till mestadels intog ett lyssnande förhållningssätt i gruppdiskussionerna som var de elever som gjorde störst förbättringar i sluttestet (Davenport & Howe, 1999, s. 66–68).

3.3.3 Elevers uppfattning av problemlösning

I Ahlbergs (1992, s.136–137) studie genomfördes även intervjuer med elever. Intervjuerna visade att elevernas inställning till problemlösning kan variera men majoriteten förknippade problemlösning med något positivt. Problem som ger eleverna en större frihet när det ska komma på en lösningsstrategi ses av eleverna som relativt enkla och roliga. Ställer läraren stora krav på eleverna kan det resultera i att de ger upp och anser att de inte har tillräckligt med kunskap för att finna rätt lösningsstrategi. Således är det av vikt att ge eleverna problem som de upplever som möjliga att lösa detta för att de ska associera problemlösning som något roligt (Ahlberg, 1992, s.136–137). Palmér och van Bommels (2018, s.1785) studie visar å andra sidan att en problemlösningsuppgift kan klassificeras som rolig av eleverna trots att eleverna tycker det är en svår uppgift där svaret inte är givet från början. I deras studie skrev eleverna i utvärderingen av lektionerna att uppgiften hade varit rolig att arbeta med, detta trots att majoriteten av eleverna i den inledande delen av uppgiften hade kommit fram till fel lösning.

Eleverna i Ahlbergs (1992, s.140) studie uttryckte själva i intervjun att de ansåg att deras lärande påverkades i en positiv riktning genom att diskutera sina enskilda lösningar i grupp och sedan i helklass. Eleverna poängterade att arbeta i grupp var bra eftersom de fick ta del av sina kamraters lösningsstrategier. Eleverna i intervjun menade att man lärde sig av detta och att de på så vis kunde vid ett senare tillfälle använda sig av en liknande lösningsstrategi (Ahlberg, 1992, s.139).

3.3.4 Gruppkonstellationer

Även gruppkonstellationer kan ha betydelse när elever löser matematiska problem. I en avhandling skriven av Sjödin (1991, s.25) skrivs det om en klassrumsstudie i mellanstadiet där han har studerat hur arbete i grupp kan ha betydelse i arbetet med problemlösningsuppgifter. Studien innebar att 166 elever var indelande i nivåanpassade grupper när de löste matematiska problem. En kontrollgrupp med 140 elever löste samma matematiska problem individuellt och sedan jämfördes hur grupperna presterade i ett test. De högpresterande eleverna som arbetade i grupp var de som fick högst resultat på testet. Detta menar Sjödin (1991, s.30–31) beror på att de högpresterande eleverna har en bredare förståelse om vilken lösningsstrategi som är bäst lämpad för uppgiften. De högpresterande eleverna har också en större förmåga att validera huruvida det är en giltig lösning eller inte. Tvärtemot blir det när de lågpresterande eleverna arbetar tillsammans i grupp, Sjödin skriver att de lågpresterande eleverna inte har tillräckligt med kunskap att se om en lösning är korrekt eller inte till den specifika uppgiften (Sjödin, 1991, s.31).

I en studie har Riesbeck (2000, s.131) undersökt hur elever resonerar och löser problemlösningsuppgifter i grupp. I studien fick 78 elever i årskurs fem arbeta i grupp om tre elever

13

för att lösa en problemlösningsuppgift. Eleverna delades in i grupper efter lärarens syn på elevernas kunskapsnivå. Resultatet av studien uppvisar att eleverna som hade en högre kunskapsnivå hade ett bredare och ett mer innehållsrikt samtal där eleverna analyserade problemet under en kortare tid fast mer detaljrikt än de grupper med elever som ansågs ha en lägre kunskapsnivå (Riesbeck, 2000, s.150).

3.3.5 Stöttning i problemlösning

För att eleverna skall få goda förutsättningar att finna rätt lösningsstrategi krävs det att läraren stöttar eleverna. Detta gör läraren genom att ge rätt verktyg och kunskaper för att eleverna skall kunna använda sig av dessa i arbetet med olika problemlösningsuppgifter. Det är positivt om eleverna arbetar fram sina egna lösningar vid en uppgift och det är således viktigt att läraren inte bara ger eleverna den rätta lösningen (Sidenvall, 2019, s.48). Sidenvalls resultat skrivs fram i hans avhandling som utgår ifrån studier som han genomfört med lärare och elever i gymnasiet.

Riesbeck (2000, s.72) skriver i sitt resultat om hur lärarna har uppmärksammat att eleverna lär sig genom att förklara sin lösningsstrategi till andra. Detta menar Riesbeck (2000, s.72) leder till att eleverna kan utveckla sina förmågor utan att läraren behöver närvara. Webb, Franke, De, Chan, Freund, och Melkonian (2008, s.56) skriver i sin studie å andra sidan att elever har svårigheter med att diskutera sina lösningsstrategier med varandra om de inte fick en påminnelse av läraren. Ett exempel på påminnelse kunde vara “prata med din bordskamrat” eller mer specifikt som “berätta om varför du anser att varför du tänkt som du tänkt”. Vid påminnelserna arbetade eleverna mer aktivt med att diskutera med varandra. Detta resultat har Webb et al. (2008) skrivit fram i sin observationsstudie i årskurs 2 och 3.

3.3.6 Sammanfattning av tidigare forskning

Problemområdet i denna studie visar att numera förs det matematiska diskussioner bland eleverna inom matematikämnet men ett problem som fortfarande kvarstår är att alla elever inte deltar aktivt. Samtidigt visar tidigare forskning att när elever arbetar tillsammans i grupp främjas elevernas resultat i problemlösning. Den främsta anledningen till att deras resultat förbättras är att fler synsätt framkommer i gruppdiskussioner och detta gör att eleverna reflekterar mer än om de sitter enskilt med ett problem. Att eleverna kan utveckla varandras idéer är också något som ses som betydelsefullt inom gruppdiskussioner i problemlösning. De elever som förbättrar sina resultat genom gruppdiskussioner är de elever som i diskussionerna ha deltagit genom att lyssna och ge korrekta förklaringar. De elever som inte förbättrar sina resultat har en benägenhet att inte delta i diskussionerna eller inte ge korrekta förklaringar.

När det kommer till valet av problemlösningsuppgifter går forskningen lite isär. Å ena sidan framhålls vikten av att uppgifterna ska vara möjliga för eleverna att lösa för att problemlösning ska ses som något roligt. Å andra sidan kan en uppgift vara svår att lösa och ändå ses som en rolig uppgift att arbeta med av eleverna. Att eleverna får arbeta fram sin egen lösning ses som viktigt. Läraren ska vara ett stöd för eleverna när det gäller att hitta rätt strategier men läraren ska inte ge den riktiga lösningen till eleverna. Det framkommer också i den tidigare forskningen att eleverna kan utveckla sina förmågor utan att läraren behöver närvara.

14

När grupperna delas in homogent där högpresterande elever grupperas med högpresterande elever och lågpresterande elever grupperas med lågpresterande elever tenderar de högpresterande eleverna lösa uppgifterna medan de lågpresterande eleverna inte gör det. Detta beror på att högpresterande elever har en förmåga att kunna värdera om deras lösning är rätt eller inte, något som lågpresterande elever inte har tillräckligt med kunskap i.

15

4. Metod

I detta avsnitt kommer denna kvalitativa studies metod att beskrivas. I metoden kommer ni först att få ta del av hur urvalet och genomförandet för denna studie har sett ut. Därefter redogörs tillvägagångssättet för insamlingen av empirin till denna studie. Efter detta presenteras hur analysen av empirin gått till. Slutligen beskrivs hur etiska aspekter har tagits i beaktning.

4.1 Urval

För att kunna undersöka och besvara studiens frågeställning; “Vilka omständigheter påverkar elevers förflyttningar mellan undervisningens och lärandets fyra zoner när de för matematiska diskussioner?” behövs empiri. I denna kvalitativa studie är det elever som arbetar med problemlösningsuppgifter i grupp som representerar empirin. Empirin samlades in i två klasser, en klass i årskurs två och en klass i årskurs tre. I klass två var det sex elever som deltog, varav tre flickor och tre pojkar. I klass tre var det tio elever som deltog varav sex flickor och fyra pojkar. Totalt deltog 16 elever. Empirin samlades in under en period av tre veckor när verksamhetsförlagd utbildning genomfördes, vilket gör att empirin har samlats in utifrån ett bekvämlighetsurval. Att göra ett bekvämlighetsurval innebär att man använder sig av deltagare som redan är tillgängliga för de som utför studien (Patel & Davidson, 2003, s.141). Insamlingen av empirin skedde under det första kvartalet av år 2020. Empirin samlades in på en kommunal grundskola i södra Sverige. Skolan ligger i en mindre ort och har cirka 210 elever och cirka 25 anställda pedagoger. Skolans har två klasser i varje årskurs, vilket innebär att skolans klasser är tvåparallella. Antalet elever i varje klass på skolan varierar mellan 15 till 25 elever. Skolans upptagningsområde kan ses som ett socioekonomiskt starkt område.

4.2 Genomförande

I klasserna skapades heterogena elevgrupper om 2–4 elever. Heterogena grupper valdes eftersom detta ger en rik och varierad grund av olika strategier och förmågor vilket gruppmedlemmarna kan dra nytta av i sitt samarbete (Forslund Frykedal, 2008, s.119). För att kunna skapa heterogena grupper analyserades elevernas resultat i problemlösning i skolverkets bedömningsstöd. Sammanlagt skapades i årskurs två åtta grupper, varav tre grupper spelades in. I årskurs tre skapades sex grupper, varav tre grupper spelades in. Att urvalet såg ut som sådant berodde dels på att vissa elever föll bort då deras samtyckesblankett inte hade lämnats in i tid, dels eftersom heterogena grupper hade valts ansågs de resterande grupperna representera en bild av klassen i stort. Medlemmarna i grupperna blev inte tilldelade några roller innan arbetets början utan blev ombedda att hjälpas åt att tillsammans lösa uppgiften. Här nedan ses en tabell över de grupper som ingick i resultatet.

16

Tabell 1., Tabellen visar en översikt av gruppernas medlemmar och gruppernas namn vilka det hänvisas till i resultatet. Eleverna i tabellen är avidentifierade och alla namn är fiktiva.

Årskurs 2 Årskurs 3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 Lars Liv Sanna Viktor Anton Ronja Alma Elina Gillis Kim Elin Ida Sam Lilly Olle Shadia

Klasserna som studien bedrevs i var sedan tidigare inte vana vid att arbeta med problemlösning utanför matematikboken, däremot var klasserna vana vid att arbeta i grupp med varandra. Vid varje lektionstillfälle valdes en likartad undervisningsmetod. Varje lektionstillfälle inleddes med att läraren presenterade det matematiska problemet som eleverna skulle arbeta med. Undervisningen var därefter indelad i tre delar där eleverna arbetade efter en procedur som inledningsvis bestod av individuellt arbete, därefter arbete i grupp och slutligen en interaktiv genomgång i helklass. Vid det inledande individuella arbetet fick eleverna under en stund fundera på problemet som presenterats och vilken strategi de ansåg kunde användas för att kunna lösa den specifika uppgiften. Därefter fick eleverna arbeta i sina grupper för att tillsammans med sina gruppmedlemmar diskutera och arbeta fram en lösning med hjälp av minst en lösningsstrategi. Det var dessa gruppsamtal som spelades in, transkriberades och analyserades eftersom det var innehållet i dessa samtal som var av intresse att analysera för att besvara frågeställningen. Slutligen samlades alla eleverna i klassen och grupperna fick redovisa sina lösningar och lösningsstrategier för varandra. Grupper som hade fått fram både rätta och felaktiga lösningar fick möjlighet att visa upp sina lösningar. I de fall som eleverna redovisade en lösning som var felaktig fick eleverna i klassen tillsammans arbeta fram en ny lösning. Läraren valde ut vilka elevgrupper som skulle redovisa vilken fråga. Intentionen med detta var att eleverna skulle få syn på så många olika lösningsstrategier som möjligt.

På Skolverkets webbsida finns en lärportal som är forskningsbaserad och avsedd för kompetensutveckling (Skolverket, u.å.a). I portalen för matematik finns en modul inom problemlösning för årskurs 1–3 (Skolverket, u.å.b). I denna modul finns en problembank där de matematiska problem som eleverna fick arbeta med var utvalda från (Hagland, Sundberg & Hårrskog, 2014, s.1). Problemen i problembanken har författarna försökt att anpassa så att samtliga elever i klassen ska kunna arbeta samtidigt med dem. I materialet finns det även tips på ytterligare anpassningar och hur du som lärare kan ha genomgångar av problemet (Hagland et al., 2014, s.1). De matematiska problem (se bilaga A) som användes i undervisningen bestod av 2–3 delfrågor som benämndes a), b), och c). Deluppgifterna a-c hänger ihop och bygger delvis på varandra. Svårighetsgraden ökar vilket innebär att en a-uppgift anses vara enklare än vad en c-uppgift är (Hagland et al., 2014, s.3). Tillhörande till varje matematiskt problem fanns även en delfråga som benämndes som d, vilken innebar att eleverna skulle hitta på ett eget, liknande problem. Denna fråga togs bort vid samtliga tillfällen då vi ansåg att tiden inte fanns för att arbeta med den frågan. Tiden eleverna fick på sig att arbeta med de matematiska problemen i grupp varierade mellan 15– 20 minuter. Eleverna fick inte någon begränsad tid från början utan under grupparbetets gång gick

17

läraren runt och stämde av hur långt eleverna hade kommit. Vid tillfälle, som ansågs lämpligt av läraren, avbröts grupparbetet för därefter fortsätta arbeta med det matematiska problemet i helklass. I arbetet med problemlösning är det en förutsättning att eleverna får arbeta med samma problem och utan tidspress (Hagland & Åkerstedt, 2014, s.5).

4.3 Insamling av empiri

Empirin som samlades in inför denna studie bestod av sammanlagt 30 ljudinspelningar där elevgrupper arbetade med matematiska problemlösningsuppgifter. De gruppsamtal som spelades in avgränsades till tre grupper i årskurs två och i tre grupper i årskurs tre. Totalt spelades varje grupp in under fem tillfällen där eleverna samtalade om och arbetade med ett matematiskt problem. Som dokumentationsmetod användes ljudinspelning. Ljudinspelningarna spelades in via surfplatta där läraren iordningställde och förberedde inspelningarna inför varje tillfälle. Ljudinspelning är en bra observationsmetod att använda sig av när dialogen och samspelet är det intressanta (Bjørndal, 2018, s.98). Vid det första tillfället testades videoinspelning som dokumentationsmetod i en av klasserna detta med syfte att få med elevernas arbetsgång på film. När man använder video som inspelningsmetod fångas både verbala och icke-verbala signaler, detta gör att materialet i efterhand blir enklare att analysera (Bjørndal, 2018, s.98). Efter det inledande tillfället utvärderades videodokumentation som metod. Det som kunde noteras var att eleverna som filmades la en stor del av deras uppmärksamhet på kameran snarare än på uppgiften i fråga vilket gjorde att fortsättningsvis gjordes avgränsningen att enbart använda ljudinspelning som metod. För att komplettera empirin valdes det att samla in elevernas arbetsblad för att följa deras arbetsgång och uträkningar när analysen av ljudinspelningarna genomfördes. De grupper som observerades placerades i största möjliga mån i ett avskilt utrymme för att minska störande bakgrundsljud. Bakgrundsljud kan upplevas starka och kan störa eller förstöra en ljudinspelning om samtalen inte hörs (Bjørndal, 2018, s.89).

4.4 Analys av empiri

4.4.1 Analysredskap

Studien har genomgående genomförts utifrån en kvalitativ ansats. Det innebär att de som utför studien, i detta fall vi, under processen har arbetat nära eleverna (Svensson, 2015, s.210). Med frågeställningen i åtanke ligger intresset i de processer eller rörelser som individer gör mellan dessa zoner (se figur 1) när eleverna samtalar om matematisk problemlösning i grupp och inte av hur ofta något specifikt begrepp förekommer i observationerna.

En tematisk analys har gjorts där elevernas samtal har klassificerats. En deduktiv ansats har tagits då empirin som samlats in i denna studie har analyserats utifrån modellen undervisningens och lärandets fyra zoner, vilket innebär att vi har utgått från en teori. Svensson (2015 s.219) skriver att genom att använda en deduktiv metod applicerar man en vedertagen teori och drar sedan slutsatser av sitt material utifrån teorin. Teorin om undervisningens och lärandets fyra zoner har alltså använts som en utgångspunkt i denna studie där teorin har utvecklats till ett praktiskt redskap att analysera med. Dessa zoner har i denna studie tolkats och i tabellen nedan karaktäriseras och ges exempel på uttalanden som anses tillhöra respektive zon.

18

Tabell 2., Tabellen visar studiens teoretiska ramverk. (Ramverket är inspirerat av och bygger på Mariani, 1997) Lärande-/utvecklingszonen kännetecknas av att

eleverna till en början inte kan lösa uppgiften men med stöttning lyckas eleverna lösa uppgifterna. En sådan stöttning kan till exempel vara läraren men också att eleverna i gruppen stöttar varandra. I lärande-/utvecklingszonen möter elever uppgifter med hög kognitiv utmaning och hög stöttning.

Frustrations-/ängslanzonen kännetecknas av en osäkerhet hos eleven till exempel när en elev säger sina svar i frågor “kan det vara 12? eller 8? eller?”. Frustrations-/ängslanzonen kan också kännetecknas av höjd röst eller ord/meningar som uttrycker frustration eller stress till exempel “det här är svårt” eller “vi kan väl bara skriva något så att vi kommer vidare”. I frustrations-/ängslanzonen möter elever uppgifter med hög kognitiv utmaning och får en låg stöttning.

Trygghetszonen kännetecknas av att eleverna uttrycker att uppgifterna är enkla till exempel genom att säga “det här var lätt”. Trygghetszonen kännetecknas också av att elever i gruppen löser uppgiften snabbt utan att diskutera med de andra i gruppen. I trygghetszonen möter elever uppgifter med låg kognitiv utmaning och hög stöttning.

Uttråkningszonen kännetecknas av att eleverna har tråkigt och börjar prata om annat till exempel “vad ska du göra i eftermiddag?”. Uttråkningszonen kan också kännetecknas av att eleverna börja sjunga eller störa de andra i gruppen eller går iväg. I uttråkningszonen möter elever uppgifter med låg kognitiv utmaning och låg stöttning. 4.4.4 Analysens genomförande Sammanfattning av analysarbetet: 1. Genomlyssning av ljudinspelningarna 2. Transkribering av ljudinspelningarna

3. Kategorisering och sortering av innehållet från transkriberingarna

Genomlyssning av ljudinspelningarna innebar att lyssna igenom alla ljudinspelningar. Inspelningarna sorterades efter elevgrupp och problemuppgifter. Inspelningar med dålig ljudkvalité valdes bort eftersom det var svårt att höra gruppdiskussionerna då det kunde vara olika typer av störande bakgrundsljud. Totalt valdes tre ljudinspelningar bort.

Transkribering av ljudinspelningarna innebar att alla inspelningar lyssnades igenom och transkriberades. När all empiri var transkriberad lyssnades ljudklippen igenom ytterligare en gång. Samtidigt lästes alla transkriberingar igenom för att se att transkriberingarna överensstämde med ljudinspelningarna.

Kategorisering och sortering av innehållet från transkriberingarna innebar att läsa igenom transkriberingarna för att kategorisera delar av de olika samtalen efter undervisningens och lärandets fyra zoner. De olika zonerna som kunde identifieras i empirin markerades med olika färger. Detta gav en överblick över de olika zonerna och deras övergångar. Båda läste igenom och kategoriserade allt material var för sig. Därefter analyserades materialet tillsammans där vi jämförde och diskuterade de olika övergångarna vi urskilt mellan zonerna.

19

4.5 Etiska aspekter

Under genomförandet av denna studie har vi följt de etiska principer som Vetenskapsrådet (2002) rekommenderar. Dessa principer består utav fyra olika krav vilka är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet (Vetenskapsråden, 2002, s.6).

För att uppfylla informationskravet skrevs ett informations- och samtyckesblankett (se bilaga B). Blanketten skickades till klassens mentorer som vidarebefordrade blanketten till samtliga elevers vårdnadshavare. Föräldrarna informerades om studien och om den dokumentation som skulle komma att ske och att dokumentationen enbart skulle användas för forskningssyfte. På detta sätt uppfylldes också nyttjandekravet. Vårdnadshavarna fick även information om att studien byggde på frivillighet och att studien inte kunde åsamka skada. Genom enkäten fick vårdnadshavare ge sitt skriftliga samtycke om eleverna fick delta i studien eller inte. Vårdnadshavarna var positiva till studien och samtliga elevers vårdnadshavare gav samtycke till elevernas medverkan. Ett möte hölls även med skolans rektor som blev informerad om studiens struktur. Vid det första lektionstillfället informerades även eleverna muntligt om studien och om varför vissa grupper under några kommande matematiklektioner skulle spelas in. Eleverna informerades om att deras medverkan var frivillig och att de när som kunde avbryta sin medverkan. Eleverna blev därefter tillfrågade om de ville medverka. Samtliga berörda blev informerade om att personuppgifter skulle avidentifieras och att fiktiva namn skulle användas. Detta innebär att ingen utomstående kan avgöra vilka elever och klasser studien avser. För att skydda individerna togs inspelningarna bort från de surfplattor som användes vid tillfällena. Detta skedde direkt efter varje tillfälle när överföring till externa hårddiskar hade skett. Genom detta fick inga obehöriga tillgångar till dokumentationsmaterialet och i och med detta har vi tagit konfidentialitetskravet i beaktande.

20

5. Resultat och analys

I detta avsnitt presenteras studiens resultat. Analysen av empirin är gjord utifrån undervisningens och lärandets fyra zoner. Dessa zoner är lärande-/utvecklingszon, frustation-/ängslanzon, trygghetszon och uttråkningszon. Studiens resultat nedan är indelat under olika rubriker. Rubrikerna är framtagna utifrån hur eleverna förflyttar sig mellan de olika zonerna, då eleverna position i zonerna inte är statiska. Resultatet har även ställts i relation till studiens syfte som är att bidra med kunskap om hur gruppdiskussioner inom matematisk problemlösning kan bidra till elevers lärande och utveckling. Frågeställningen som är “Vilka omständigheter påverkar elevers förflyttningar mellan undervisningens och lärandets fyra zoner när de för matematiska diskussioner?” har genomgående varit central i analysarbetet av resultatet.

5.1 Från trygghetszon till lärande-/utvecklingszon

I resultatet framkom det att elever förflyttade sig från trygghetszonen till lärande-/utvecklingszonen. Det krävdes någon form av högre kognitiv utmaning för att en förflyttning mellan dessa zoner skulle ske. Eleverna i utdraget nedan arbetade med ett problem som innebar att fördela kattungar till kattmammor. Uppgift a innebar att det fanns totalt tre kattungar som skulle fördelas på tre kattmammor och i uppgift b var det totalt nio kattungar som skulle fördelas.

1. Elina: Får jag läsa? Tre kattmammor har kattungar samtidigt. Hur många kattungar kan varje kattmamma ha om det sammanlagt finns 3 kattungar 9 kattungar? Men kolla. Det här är ju världens enklaste. Titta här. Det är 3 kattmammor. Vi kan rita upp det här.

2. Gillis: Men hallå vi tar rita. Vi kan ju rita kattmammor.

3. Elina: Men jag vet hur man gör det med mattespråk. Tre kattungar då får de en kattunge var. Finns det nio kattungar så får de tre kattungar var. Eftersom 3+3+3 är nio.

4. /.../

5. Lärare: Men hur tänker ni på den med 9 kattungar? 6. Alma: 3 kattungar var. För 3+3+3 är lika med 9. 7. Lärare: Men finns det fler svar på den?

8. Gillis: Aaa 3x3

9. Lärare: Men finns det fler svar? Det är rätt som ni tänker. Men finns det fler möjliga svar? Måste varje kattmamma få lika många kattungar var? 10. Kim: Nepp.

11. Lärare: Fundera på hur det skulle kunna vara. 12. Elina: Okej, jag ritar fler kattmammor. 13. /.../

14. Gillis: En kattmamma kan ju få en unge. 15. Alma: Ja och en tre ungar

16. Elina: Då får en kattmamma fem ungar.

17. Elina: Det kan ju finnas flera olika lösningar. Till exempel 4+4+1 är lika med 9. 2+2 är lika med vadå?

18. Gillis: Det rimmar…

19. Elina: Hallå lyssna nu! 2+2. Vad fattas mer för att det ska bli nio? 20. Kim: 5.

21. Elina: 2+2+5 är lika med 9.

I den inledande delen av diskussionen (se rad 1) kan man förstå att Elina är i trygghetszonen när hon fördelar både de tre kattungarna samt de nio kattungarna till kattmammorna utan svårigheter.

21

Detta beror på att uppgiften troligtvis innebär en låg kognitiv utmaning för henne eftersom hon löser uppgiften utan svårigheter. Dessutom kan man på rad 1 se att hon uttrycker själv att uppgiften var enkel. När läraren sedan frågar hur gruppen tänker kring uppgiften om nio kattungar, visar både Alma (se rad 6) och Gillis (se rad 8) att de också befinner sig i trygghetszonen när de bekräftar att varje kattmamma får tre ungar var. Eleverna befinner sig i trygghetszonen och är bestämda med att alla mammor ska ha lika många ungar var.

Under rad 9 kan man se att läraren i utdraget vill få eleverna att inse att det finns flera olika lösningar på denna uppgift. Läraren utmanar således eleverna genom att fråga om det finns fler svar på uppgiften samt ställer en fråga om varje kattmamma måste få lika många ungar var. När läraren ställer de frågorna så utvecklas uppgiften från att vara en uppgift med låg kognitiv nivå till en uppgift med hög kognitiv nivå. Eleverna är bestämda över att varje kattmamma ska ha lika många ungar. Genom lärarens fråga “måste varje kattmamma få lika många kattungar var?”, förtydligar läraren uppgiften för eleverna vilket ger uppgiften en högre kognitiv utmaning. Till följd av detta förflyttas eleverna från trygghetszonen till lärande-/utvecklingszonen. Detta eftersom att eleverna till en början mötte en uppgift med låg kognitiv utmaning som med lärarens hjälp utvecklades till en uppgift med hög kognitiv utmaning. Detta kan vi se genom att eleverna från rad 14 till 21 utvecklar sina svar och kommer fram till att kattmammorna inte nödvändigtvis måste ha lika många kattungar var. Alla i gruppen ger ett varsitt svar vilket tyder på att gruppen tillsammans har flyttats till lärande-/utvecklingszonen.

I utdraget nedan arbetar Liv och Lars med uppgiften Solrosen där eleverna ska räkna ut hur många dagar det tar för solrosen att växa 12 centimeter. I stycket nedan börjar Liv med att säga att uppgiften var enkel, detta eftersom de redan löst en liknande uppgift.

1. Liv: Så, det var ju ganska enkelt.

2. Lars: Hur många dagar tar de, det innan den är 12 cm? Om den växer på 4 dagar 6 cm då är det.

3. Liv: Nej på 4 aaa

4. Lars: 4 dagar på 6 cm. Då blir det ju 8 dagar det för att 6+6 är ju 12 5. Liv: ja,

6. Lars: För 6+6 ä ju 12 så 6+6

7. Liv: Ja men då tänker man ju 4+4 bara 8. Lars: Ja juste 4+4

9. Liv: 4+4 är lika med 8, då skriver vi här 8. Detta var ju ganska enkelt. 10. Lars: Vi kanske ska skriva svaret också.

11. Liv: Ja. 8 dagar!

12. Lars: Ja men hur många cm?

13. Liv: 8 dagar 12cm, frågan var ju hur många dagar tar det innan den är 12 cm? 8 dagar! Hur lång tid tar det innan den är 9 cm? OJ!

/.../

14. Lärare: Kan ni skriva hur ni räknar ut det. Med vilka, använde ni mattespråk, ritade ni en bild?

15. Liv: Vi använde pappret mest.

16. Lärare: Hur menar du med att du använde pappret? 17. Liv: Vi läste här i frågan.

18. Lärare: Så ni läste frågan och då kom det bara fram ett svar?

19. Liv: Aa, för de delar fyra på hälften då är det 2 och då måste man dela 6 på hälften och det är ju 3.

22

20. Lärare: Okej, kan du skriva det på något sätt? Det som du nu sa som 6 delat på 2

21. Liv: Nej 4 delat på 2 och då måste man dela 6 på 2 22. Lärare: Ja skriv ner det.

23. Liv: Men hur ska jag kunna skriva det. 24. Lärare: Ja men hjälps åt.

25. Liv: Men det är ju jätte…

26. Lärare: Men ni använde er av mattespråket 27. Liv: Ja

28. Lärare: Kan man då skriva, vad var de vi sa? 4 29. Liv: Delat på 2

30. Lärare: 4 dagar delat på två är lika med 2 dagar. Kan man skriva så att 4/2=2

31. Liv: 4 men hur skriver man delat med? 32. Lars: Jag vet

33. Lärare: Bra, det är bra att ni hjälps åt ju. 34. Lars: 4 delat på… Nej (suddar)

35. Liv: Bra jobbat!

36. Lars: 2/4 nehejj 4/2 är ju 2. 4/2 =2 nu är vi väl klara.

I det översta stycket från rad 1 till rad 9 visar eleverna tydligt att de kan räkna ut uppgiften. Liv uttrycker också vid två tillfällen att hon tycker att uppgiften var enkel, detta gör att eleverna befinner sig i trygghetszonen. Ett annat tecken på att eleverna befinner sig i trygghetszonen är att de stöttar varandra i sin uträkning när Liv och Lars är överens om svaret. Detta tyder på att uppgiften är en låg kognitiv utmaning. Sedan kommer eleverna till en ytterligare en fråga som lyder “Hur många dagar tar det innan den är 12 cm?”. Här reagerar Liv direkt med ett “OJ” (se rad 13) och därefter funderar och gissar eleverna på problemet. Detta kan tolkas som att uppgiften har en hög kognitiv utmaning. På rad 14 dyker sedan läraren upp i diskussionen och frågar eleverna hur de har kommit fram till det rätta svaret. Eleverna visar en osäkerhet i deras uträkning. Exempelvis undrar Liv hur de skall kunna skriva ner sin uträkning. Läraren ger eleverna stöttning i hur eleverna skall skriva ner det. Detta gör läraren genom att upprepa det eleverna sagt och läraren ger dem exempel på hur man kan skriva. Lars visar då sina kunskaper om hur man skriver division inom matematiken. Eftersom eleverna får stöttning av läraren i uppgiften med hög kognitiv utmaning resulterar det i att eleverna förflyttas från trygghetszonen till lärande-/utvecklingszonen.

5.2 Från frustrations-/ängslanzon till lärande-/utvecklingszon

I resultatet framkom det att elever förflyttade sig från frustrations-/ängslanzonen till lärande-/utvecklingszonen. Eleverna skulle i denna uppgift arbeta med ett problem som innebar att lista ut hur mycket en solros hade växt på tre dagar när den hade växt tio centimeter på sex dagar. Man kan se att eleverna är frustrerade under en lång tid genom att eleverna säger uttryck så som “jag fattar ingenting”. Nedan redogörs ett utdrag där två elever i gruppen förflyttar sig från frustations-/ängslanzonen till lärande-/utvecklingszonen.

1. Lilly: Men hallåå va tyst Olle. På riktigt Olle. 2. Shadia: Du kan rita på baksidan.

3. Olle: Okej, vad är det där? 4. Shadia: Rita en bild. 5. Olle: Ha! Rita en anka.

23

6. Lilly: 2.5. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Men Olle snälla kan du sluta!! (Skriker) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 1,5 1,5 1,5.

7. Shadia: Du ska dra här.

8. Lilly: Nej men titta. Nu blir det ju här en halv och en halv och en hel. 9. Shadia: Ja det blir ju 2.

10. Lilly: Nej det blir ju ändå en halv kvar. Det går inte...

11. Shadia: Det blir ju två. Man kan bara göra så här. Lalala (Sjunger). 12. Lilly: Men det här går ju inte. Alla har redan klarat den här. 13. Shadia:1, 2, 3, 4, 5, 6…

14. Olle: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

15. Shadia: 1, 2, 3, 4, 5. Men om man delar de så här istället då? 16. Lilly: Va?

17. Shadia: Då blir det 20. 18. Olle: 1,5 1,5.

19. Shadia: Det går inte. Vi har testat på alla sätt?

20. Lärare: Nähä. Har ni läst uppgiften? Kjell planterar ett solrosfrö. Efter 6 dagar är solrosen 10 cm hög. Olle är du med?

21. Lilly: Då måste vi räkna ut hur mycket solrosen växer på en dag.

22. Lärare: Hur hög var solrosen efter 3 dagar? Du behöver kanske inte räkna ut vad den växer per dag?

23. Shadia: Det är 5 cm.

24. Lärare: Hur fick du fram det då? 25. Shadia: Jag bara tänkte…

26. Lilly: Det kunde du ju sagt från början.

27. Shadia: Men jag har ju sagt hela tiden. Men du bara vi ska ta en gång. 28. Lärare: Eftersom 3 dagar är hälften av 6.

29. Lilly: Nu får vi lösa det här. 30. Lärare: Olle. Olle är du med här?

31. Lilly: Detta hade vi kunnat lösa för jättelänge sedan. Eftersom det var 3 dagar och det var ju 6 dagar. Det blir ju hälften.

32. Lärare: Hur visar man hälften av 10 på mattespråk då? 33. Olle: 3.

34. Lilly: Om man delar 6 på 2 blir ju det 3. Och sen så 10/2 är lika med 5. Svar 5

Lilly och Shadia befinner sig i frustrations-/ängslanzonen då exempelvis eleven Lilly på rad 12 visar ångest genom att säga att andra grupper redan klarat uppgiften och eleven Shadia uttrycker på rad 19 att uppgiften inte går att lösa. Lilly visar också vid ett flertal tillfällen en frustration mot Olle (se rad 1 och 6) då han stör henne genom att han inte deltar i de matematiska uträkningarna. Olles beteende tyder på att han befinner sig i uttråkningszonen. Olle visar detta genom att han inte deltar i samtalet om uppgiften utan de inlägg han flikar in med handlar om andra saker (se rad 5). Lilly och Shadia har under hela tiden varit inriktade på att ta reda på hur mycket solrosen växer per dag för att kunna få fram hur högt blomman har växt på fem dagar. När läraren därefter påpekar att det kanske inte är nödvändigt att ta reda på hur mycket blomman växer per dag för att kunna lösa uppgiften får eleverna stöttning (se rad 22). Efter lärarens inlägg i konversationen visar eleverna en förståelse över uppgiften vilket man kan se i raderna 23–34. Detta bekräftas genom att Shadia kommer fram till det rätta svaret och genom att Lilly summerar uppgiftens lösning i slutet. Däremot visar Olle fortfarande att han inte varit delaktig under lärarens samtal, vilket resulterar i att han inte får den stöttning han behöver och han når då inte lärande-/utvecklingszonen.

24

5.3 Växelverkan mellan flera zoner

I resultatet framkom det att elever förflyttade sig mellan flera zoner. Eleverna skulle i denna uppgift arbeta med ett problem som innebar att räkna ut antalet kuber i ett torn som var ritat tredimensionellt på ett papper.

1. Elin: Men jag fattar ju inte.

2. Sam: Men titta här. Det ska ju vara 6 koner högt. 3. Elin: Mmm... Aaa...

4. Sam: Titta här. 1, 2, 3, 4. 5. Elin: Jaha.

6. Sam: Så nu ska vi bara bygga. Inte där nä... 7. Elin: Men varför sa du inte det.

8. Sam: Så sätter du den där. 9. Elin: Det är faktiskt svårt. 10. Sam: Nu är där 5. En till. 11. Elin: En enda till.

12. Sam: Men vänta. Hur många kuber för ett liknande torn som är 6 kuber högt. 13. Elin: Bygga. Då får vi ju bygga ett helt hus.

14. Sam: Aa…

15. Elin: Är den klar nu?

16. Sam: Aaa. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Vänta. 1, 2, 3,

17. Sam och Elin: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21. 18. Elin: 21 är svaret.

/.../

19. Elin: 21x4 21x4 20. Sam: Aaa gånger 4.

21. Elin: Jag vet inte, vänta vi skriver upp det för annars kommer vi 22. Sam: 21x4

23. Elin: 21x4

24. Sam: 21x4 är lika med 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 25. Elin: Vet du vad 21 plus 21 blir?

26. Sam: Det är 42.

27. Elin: Okej, 42 plus 42. Det blir 84. 28. Sam: Aaa.

29. Elin: Så svaret är 84. Visst är jag smart.

30. Sam: Vänta hur räknade du? Du får skriva upp hur du räknande. 31. Elin: 21+21 är lika med 42. Och 42+42 är lika med 84.

32. Sam: Svar 84.

33. Elin: Svar 84. Jag är så bäst. 34. Sam: Mmm

35. Elin: Vad roligt.

I utdraget ovan på rad 1 kan man se att Elin tycker att uppgiften är svår eftersom hon uttrycker att hon inte förstår samt att hon benämner att det är svårt. På grund av detta kan man se att hon befinner sig i frustrationszonen och att uppgiften är en hög kognitiv utmaning. Sam befinner sig inledningsvis i trygghetszonen då han är trygg i vad uppgiften innebär och förklarar detta för Elin och hjälper henne på så vis att också blir trygg med uppgiften (se rad 2–4). Därefter hamnar gruppen i en situation där de har kommit fram till att en del av tornet består av 21 kuber och vill då multiplicera det med fyra för att få fram det totala antalet kuber. Gruppen kan inte räkna 21x4 med multiplikation och Sam påbörjar att räkna fyra-hopp men kommer bara sju hopp fram. Elin

25

har en annan strategi vilken blir enklare för gruppen att hantera och de kommer således fram till att det behövs 84 kuber. De båda eleverna förflyttas i och med detta till lärande-/utvecklingszonen eftersom de tillsammans stöttar varandra till att lösa uppgiften (se rad 23–32). Elin uttrycker att uppgiften är rolig och att hon är bäst som klarade av att lösa uppgiften. Nedan kan ni ta del av hur gruppen fortsätter att lösa problemet Tornet.

36. Lärare: Hur har ni kommit fram till 21+21?

37. Sam: För vi gjorde ett torn som är 6 högt. Sen gjorde vi bara en sån och så... 38. Elin: Och så var det 21 här. Och 21 gånger 4 för det var 4 sådana grejer där. 39. Sam: och det blev…

40. Elin: 84, för om man tar 4x21 blir det det. 41. Lärare: Aa.. Hur byggde ni? Kan ni visa? 42. Elin: Aaa. Bygga bygga bygga…

43. Sam: 1, 2, 3, 4, 5, då är det en till. 44. Lärare: Så.

45. Sam: Så räknade vi alla så var det 21x4.

46. Lärare: Men kan man räkna alla bitar 4 gånger? Kan man räkna den i mitten 4 gånger?

47. Elin: Ja 48. Sam: Nää 49. Elin: Nää... 50. Sam: Nää.

51. Lärare: Kan man räkna den 4 gånger då? 52. Elin: Nä

53. Sam: Då kan man räkna bara så och så får man ta bort den. Så 21–6. Det blir… 54. Elin: Vänta vänta

55. Sam: 21–6 56. Elin: 15.

57. Sam: Då är det 15 x 4 58. Elin: 15+15

59. Sam: 30. 30+30 60. Elin: Det blir 60.

61. Lärare: Då har ni räknat alla fyra sidor. Då har ni mittendelen kvar. 62. Sam: Och den är 6. Då blir det 66. Skriv 15+15.

63. Elin: 15+15

64. Sam: 15+15 är lika med 30. 30+30 är lika med 60. 65. Elin: 30+30 är lika med 60. Plus 6.

66. Sam: Varför gjorde du + 6? 67. Elin: Det är ju den i mitten. 68. Sam: Just det.

De båda eleverna befinner sig i lärande-/utvecklingszonen när läraren kommer in i samtalet. Detta kan man se på rad 37–40 genom att de båda är trygga med deras lösning och kan förklara hur de gått tillväga samt att de tillsammans stöttat varandra att nå dit. Läraren ifrågasätter deras svar och utmanar Sam och Elin genom att fråga om de kan räkna kuberna i mittendelen fyra gånger. Elin visar tecken på att hon blir ställd och lite förvirrad. Detta kan man se i rad 47, 49 och 54. De båda eleverna hamnar sedan i lärande-/utvecklingszonen eftersom Sam förstår att man bara behöver ta bort sex kuber ifrån deras svar för att sedan multiplicera svaret med fyra för att därefter addera till mittendelen (se rad 57 & 62). Elin visar också att hon hamnat i lärande-/utvecklingszonen då hon kan förklara varför hon adderar till sex kuber (se rad 67). Att Elin kan förklara detta när hon till en

26

början inte förstod varför man inte kunde räkna mittendelen fyra gånger visar på en utveckling i hennes lärande.

Eleverna i utdragen nedan skulle arbeta med att lösa problemet Klubben. Gruppen löste uppgift a i problemlösningen enkelt med att använda subtraktion. Av detta utläser vi att de tillsammans är i trygghetszonen. Nedan följer ett utdrag av gruppens fortsatta arbete med uppgift b vilken är en uppgift som bygger vidare på uppgift a.

1. Elin: Va… 2. Sam: Eller?

3. Ida: Nej den andra klassen måste vara 11. 4. Sam: Varför då?

5. Ida: En är 14 och en är 11. 6. Sam: Sa vi inte 12.

7. Elin: Hur många flickor går i klass två? Du har ju strukit under dem.

8. Ida: Nej jag har strukit under alla i klass 2 inte bara flickorna. Jag har strukit under 14 stycken eftersom det var 14 stycken i klass 2.

9. Elin: Det här är tandkräm sen i morse. 10. Sam: Har du eltandborste.

11. Elin: Nej.

12. Ida: Vänta lite, nu har vi tappat ämnet nu. Sådär. Hur ska vi lösa uppgift b? 13. Sam: Var det den eller den. Hur många flickor går i klassen? 2.

14. Ida: Jag vet, vi ritar ett frågetecken. 15. Elin: Ja. Vilken bra lösning. 16. Ida: Eller hur.

17. Elin: Jag har ingen aning om vad vi gör här… 18. Ida: Okej om vi ritar… 14 går i klass 3. 19. Sam: Det där är alltså människor. 20. Elin: Väldigt smala.

21. Sam: Snygga streck, inga ben. Så du ritar bara streck?

22. Ida: Ja jag orkar inte göra streckgubbar. Sådär 4 pojkar i klass 2. Okej vi delar upp det i 14 och 11. För det var ju 14 och 11. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

23. Sam: 11 år senare…

24. Ida: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Så där… Här är klass.

I utdragen ovan kan man se att Elin och Sam faller ifrån ämnet och börjar diskutera sådant som inte hör till uppgiften (se rad 9–11). Eleverna har i uppgift b fått ett problem med högre kognitiv utmaning och utan stöd, är Elin och Sams inlägg ett tecken på att eleverna är på väg att hamna i frustrations-/ängslanzonen. Dessutom sätter Elin ord på sin förvirring vilket ytterligare stärker att hon befinner sig i frustrations-/ängslanzonen (se rad 1). På rad 12 ovan kan man läsa hur Ida försöker få med gruppen genom att påpeka att de nu inte längre deltar i gruppdiskussionen och ställer sedan en fråga till dem om hur de ska gå tillväga för att lösa uppgift b. Vilket hon inte lyckas med utan Elin och Sam är fortfarande kvar i frustrations-/ängslanzonen. Detta kan man se genom att Elin på rad 17 säger att hon inte förstår vad de gör och att Sam pratar om hur Ida målar snarare än att samtala om uppgiften. Vilket resulterar att Ida själv befinner sig i trygghetszonen.