Vad menar läroboksförfattarna att syftet med matematikbokens textuppgifter är?

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

Vad menar läroboksförfattarna att syftet

med matematikbokens textuppgifter är?

What does the authors of textbooks mean is the purpose of

texted-based tasks in the mathematic textbook?

Joakim Larsson

Martin Lindsäter

Lärarexamen 210hp Matematik och lärande 2008-01-16

Examinator: Claes Malmberg Handledare: Johan Nelson

Sammanfattning

Syftet med denna studie är att få en förståelse för hur läroboksförfattare tänker om syftet till textuppgifternas varande i matematikboken, deras syn på matematisk kunskap och hur elever lär sig matematik. Metoden vi använder i vår studie är kvalitativa intervjuer där sju

läromedelsförfattare deltar. Genom våra intervjuer fick vi fram en del syften med

matematikbokens textuppgifter vilka vi ansåg relevanta för eleverna. I vårt resultat kan vi se att majoriteten av författarna anser att huvudsyftet med textuppgifterna är att knyta an till verkligheten. En annan del som vår studie visar är att författarna anser att eleven bör ha en djupare matematisk förståelse, eftersom detta medför att eleven vet vad den gör och varför den utför matematiska uträkningar. Vidare menar författarna att god taluppfattning bidrar till en matematisk utveckling samt en god matematisk förståelse. Slutsatsen vi kan dra av vår studie är att läroboksförfattarna anser att huvudsyftet med matematikbokens textuppgifter är att skapa en verklighetsanknytning och synliggöra detta för eleverna.

Innehållsförteckning

3.3 Barns kunskap och lärande... 10

3.4 Textuppgifternas innebörd och syfte... 12

3.5 Hur utvecklar barn sin problemlösningsförmåga? ... 14

3.6 Svårigheter med textuppgifter ... 15

4 Metod... 18 4.1 Urval... 18 4.2 Forskningsetiska övervägande ... 19 4.3 Datainsamlingsmetoder ... 19 4.4 Genomförande ... 20 4.5 Databearbetning ... 21 4.6 Undersökningens tillförlitlighet ... 21 5 Resultat... 23

5.1 Vilken kunskapssyn har författarna gällande matematik ... 23

5.2 Hur ser författarna på barns inlärning i matematik ... 25

5.3 Vilken syn har författarna på textuppgifternas roll och syfte... 27

6 Diskussion ... 32

6.1 Vilka styrkor och svagheter ser vi i vårt arbete? ... 32

6.2 Vad har författarna för syn på matematisk kunskap samt, hur barn lär sig matematik?.33 6.3 Hur definierar författarna textuppgifter och vad menar de att syftet med textuppgifter är? ... 34

6.3.1 Hur definierar författarna textuppgifter?... 34

6.3.2 Vad menar författarna att syftet med textuppgifter är ... 34

6.4 Slutsats ... 36

6.5 Förslag till vidare forskning ... 37

7 Referenser ... 39 Bilagor

1. Inledning

I kursplanen för matematik står det formulerat att skolans undervisning skall sträva efter att eleven skall utveckla sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen. Undervisningen i matematik har till uppgift att, hos eleven, utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer (Skolverket 2007).

Vi har under vår utbildning vid Lärarutbildningen på Malmö Högskola, ofta fått höra hur viktig matematisk kunskap är i vuxenlivet, vilket även stått att läsa i delar av kurslitteraturen, exempelvis ”Baskunskaper i matematik” (Löwing & Kilborn 200) och ”Matematik – ett kommunikationsämne” (Emanuelsson m.fl 2004). I synnerhet gäller det problemlösning och förmågan att applicera sina kunskaper i vardagliga situationer. I läromedel för matematik arbetar man med detta genom textuppgifter, antingen tillämpningsuppgifter eller

problemlösningsuppgifter.

Vår erfarenhet från den verksamhetsförlagda tiden säger att stora delar av aktuella elevgrupper tycker att just arbetet med textuppgifter är tråkigt och ointressant. Trots att majoriteten av eleverna på vår VFT har en negativ inställning till textuppgifterna, är vår känsla, att arbetet med dessa uppgifter fortgår som vanligt utan någon direkt motivation från eleverna.

Istället för att undersöka hur pedagoger arbetar med textuppgifter i matematikundervisningen, ansåg vi att det kunde vara intressant och viktigt att få en insyn i läroboksförfattarnas syn och tankar kring dessa uppgifter.

2. Syfte

Vi vill i vår rapport undersöka anledningen till att det finns textuppgifter i matematikboken. För att få reda på detta vände vi oss till läromedelsförfattare som författat läromedel för skolår 4-6. Syftet med intervjun var att få en inblick i författarnas syn på kunskap, vad de hade för tankar om lärande och deras tankar kring textuppgiftens varande i matematikboken.

2.1 Frågeställning

1. Vad menar läroboksförfattarna är syftet med matematikbokens textuppgifter? Delfrågor

1. Hur anser författarna att barn lär sig matematik? 2. Vad är viktig matematisk kunskap enligt författarna?

3. Litteraturgenomgång

3.1 Begreppsdefinitioner

Vi väljer här att definiera en del begrepp vilka förekommer i olika utsträckning i vårt arbete. Anledningen till detta är att en del av begreppen kan ha olika innebörd vilket kan skapa förveckling under läsandet. Nedanstående definitioner gäller i vårt arbete. De definitioner vilka saknar referens är våra egna definitioner.

Textuppgift: Ett samlingsnamn för tillämpningsuppgifter, benämnda tal och problemlösningsuppgifter. Vidare är det en uppgift som är textbaserad.

Problemlösningsuppgift: Ett problem är en situation som kräver en lösning men där man från början saknar metod att nå målet (Möllehed 2001).

Tillämpningsuppgift: Textbaserade uppgifter vilken visar hur man kan tillämpa matematiken i vardagen.

Benämnda uppgifter: Har vi valt att definiera på samma sätt som tillämpningsuppgift.

3.2 Vad är matematik?

Vi har i detta avsnitt för avsikt att presentera några förklaringar på vad matematik är.

I kursplanen för matematik framkommer:

Matematik är en levande mänsklig konstruktion och en kreativ och undersökande aktivitet som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition. Undervisningen i matematik skall ge eleverna möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet

sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem.

Skolverket (2003) beskriver i rapporten, ”Lusten att lära – med fokus på matematik”,

matematik som en problemlösande verksamhet vilken är en förutsättning för individen att lösa vardagens problem. Exempelvis används matematiska begrepp och metoder i vardagsliv och yrkesliv samt i både social och vetenskaplig verksamhet. Skovsmose (i Unenge m.fl. 1994) menar att den matematiska kunskapen innehåller tre delar av matematik, nämligen en

matematisk, en teknisk och en reflekterande kunskap. Detta menar Unenge m.fl. skulle kunna leda till att beskriva förmågan att lösa ett problem i tre faser enligt följande, att välja en strategi, att utföra en eller flera beräkningar och sist att reflektera över resultatet av beräkningen. I fas A är huvudsaken att tolka problemet och därefter hitta lämplig formel, matematisk modell, räknesätt etcetera. I fas B ska vald beräkning utföras. Detta kan ske med hjälp av huvudräkning, papper och penna, miniräknare eller med annat hjälpmedel. Slutligen innebär det i fas C att bedöma svaret och om möjligt kontrollera genom till exempel en rimlighetsbedömning. Christer Bergsten har (i Unenge m.fl. 1994) delat in kunskap i begreppsförståelse, förståelse för logiska samband och avslutningsvis formförståelse. I en elevstudie har Bergsten visat att, en grupp, elever exempelvis kan ha både god formförståelse och begreppsförståelse men samtidigt ha dålig förståelse för logiska samband. Detta visar att det finns andra skillnader mellan elever än den sedan tidigare kända bedömningen att vissa elever är allmänt sämre än andra

.

Det visar sig alltså att matematik är ett ämne som till stor del innehåller en problemlösande verksamhet där kopplingen till individens vardag är av stor vikt.

3.3 Barns kunskap och lärande

Vad säger olika teorier i lärande om hur undervisning bör bedrivas?

Vygotsky menar att lärande och utveckling tar sin utgångspunkt i den sociala samverkan. Kognitiva redskap som exempelvis räkning, och processer som begreppsbildning, startar i en social aktivitet för att därefter skapas på ett inre plan hos den enskilde människan. Vidare står Vygotsky för en tanke där lärande och utveckling inte är identiska processer utan har ett förhållande till varandra. Han förklarar delvis detta förhållande med den så kallade närmaste utvecklingszonen hos ett barn. Denna zon är ett område som ligger mellan det ett barn klara av själv och vad den klarar av med assistans. I denna zon finns funktioner som befinner sig i utveckling. Det barnet idag kan göra med assistans kan den senare göra helt själv (Dysthe 2003). Möllehed (2001) tar upp konstruktivismen, vilken har sina rötter i Piagets teorier. Att

konstruera kunskap sker genom ett aktivt deltagande vilket individen själv bidrar med. Med utgångspunkt i egna erfarenheter försöker individen strukturera sin omvärld. En helt annan syn på inlärning är den behavioristiska. Dysthe (2003) beskriver hur den tar sin utgångspunkt i att eleverna lär sig grundläggande fakta i små steg med förstärkning efter varje uppnått steg. När eleven klarat av alla olika utvecklingssteg, ofta i ett senare stadium, förväntas de att kunna tänka, reflektera, och använda vad de har lärt sig.

Skemp (1976) presenterar i sin artikel ”Relational and instrumental understanding” två olika sätt på vilka man kan uppfatta/förstå matematiken. Antingen har man relationell

förståelse/uppfattning, vilket betyder att man vet vad man gör och varför. Vidare besitter man en bred kunskap samt har en god matematisk förståelse. Har man däremot en instrumentell förståelse/uppfattning, ser man matematiken mer åt det formella hållet. Här är formler en förutsättning och matematiken är något mekaniskt. Dessa synsätt kan kopplas till Unenge m.fl. (1994) som beskriver två begrepp ”A body of knowledge” och ”A form of knowledge”. ”A body of knowledge” innebär att det finns en fastställd mängd kunskap vilken man

tillgodogör sig genom läromedlets uppgifter. Dessa löses genom att reproducera en viss kunskap med en bestämd metod. Dominerande i denna syn är att eleverna skall räkna ut ett svar på en viss uppgift. Svaret är inte förhandlingsbart. Anledningen är att det rätta svaret står att finna i facit. ”A form of knowledge” präglas av öppenhet och diskussion. Denna syn ger eleverna en högre kvalitet i tänkandet samt bättre kunskaper att hantera olika situationer. Vidare kommer förmågan att öka gällande generaliserbarheten i matematiken. Att försöka fördjupa elevers förståelse, diskuterar McIntosh (2006) i sin artikel ”Nya vägar in i

räkneundervisningen”. McIntoch har gjort två studier i Australien där han tittat på elevers förhållningssätt till huvudräkning. Han menar att det är vanligt att elever undervisas i

algoritmlösningar innan de fått en god grund att stå på. Räknandet blir med det mekaniskt och utförs utan någon som helst förståelse, istället hämmar algoritmer utvecklingen av exempelvis elevens taluppfattning. Maltén (2003) är inne på en liknande tanke; han menar att ”Kunskap är allt som ger mig beredskap för framtiden” (s. 109

).

färdighetskunskaper. Det behövs en mer fördjupad kunskap om den omgivande verkligheten. Exempelvis måste eleven ”lära sig att lära” (s. 109), det vill säga förbättra den metakognitiva förmågan.

Löwing (2006) beskriver sina resultat från sin doktorsavhandling,

”Matematikundervisningens konkreta gestaltning”, vilka visar att de flesta lärare låter eleverna arbeta på egen hand i en lärobok eller ett arbetsmaterial. Här förekommer ingen anpassning till elevernas förkunskaper. Detta menar Löwing leder till inlärningsproblem. Malmer & Adler (1996) är också inne på hur läroboken kan påverka undervisningen; de menar att det är svårt att individanpassa matematikundervisningen då en hel grupp följer en gemensam lärobok i samma takt. Vidare menar författarna att det är vanligt att lärarna känner en trygghet att följa en lärobok eftersom läroboksförfattarna bör vara kunniga. Följs boken i för stor utsträckning blir arbetet i matematik mer resultatinriktat och mindre processinriktat. Istället menar Malmer (2002) att matematiken skall lämna fokus på en gemensam lärobok och därmed ta större hänsyn till elevmedverkan. Isolerade uppgifter skall ersättas med

temainriktade ämnen. Avslutningsvis bör det nämnas hur undervisningen i matematik bör bestå av en god kontext och att undervisningen är individanpassad. Boaler (1993) skriver i sin avhandling ”The role of context in mathematics classrooms” om hur viktig kontexten är i undervisningen. Boaler menar att det är viktigt med kontext men att denna måste vara öppen så att alla kan identifiera sig i denna. Vidare menar hon att kontexten inte skall finnas ”för finnandets” skull utan sträva mot att ge matematiken en så kallad ”real life situation”. När det gäller individanpassad undervisning betonar Malmer (2002) att en viktig del av

undervisningen är att alla elever känner att de har möjlighet att bli uppmärksammade och att de duger. Ett sätt att nå dit är att eleverna får arbeta med lämpligt material på den nivå de befinner sig. Arbetet skall ske i den takt de har förutsättning för.

3.4 Textuppgifternas innebörd och syfte

I detta avsnitt synliggörs olika teorier och aspekter kring matematikens textuppgifter.

Matematiska uppgifter har genom tiderna definierats som ett problem. I denna kategori finns även uppgifter som i första hand skall ge eleven träning i speciella lösningstekniker. Därför har ofta textuppgifter, eller så kallade benämnda uppgifter, fått samma innebörd som ett problem. Numera väljer man att definiera ett matematiskt problem som en uppgift där du som lösare i inledningsskedet inte kan se vilken lösningsmetod som skall användas. Detta medför att varje problem är individrelaterat, det vill säga att en uppgift kan vara ett problem för en individ medan samma uppgift inte uppfattas som ett problem av en annan individ (Björkqvist 2001). Det finns några andra liknande definitioner av begreppet problem. Magne (1998)

menar att en vanlig definition som ofta används är att problem handlar om en ny situation som skall bemästras. Möllehed (2001) beskriver i sin avhandling, ”Problemlösning i matematik”, att ett problem är en situation som kräver en lösning men där man från början saknar metod att nå målet. När det gäller matematikbokens benämnda uppgifter finns det några olika definitioner. I boken ”Kul matematik för alla” (1998), menas att de så kallade benämnda uppgifterna visar hur man kan använda matematiken i verkligheten. Magne (1998) beskriver de benämnda uppgifter som ”räkneläreproblem, alltså texter och liknande som

förhoppningsvis speglar förhållanden i omvärlden” (s. 156). Riesbeck (2000) menar att benämnda uppgifter är en speciell klass av problem. Dessa uppgifter anser hon spelar en betydande roll i förmedling av kunskaper samt ger träning i problemlösning. När eleven arbetar med benämnda uppgifter, vilka beskrivs som realistiska problemställningar som är hämtade från verkligheten runt omkring oss, tränas exempelvis det matematiska resonemanget och användandet av algoritmer.

När det gäller elevens förmåga att kunna lösa problem beskriver styrdokumenten några viktiga faktorer. Det står exempelvis i läroplanens strävansmål att varje elev skall lära sig att använda sina kunskaper som redskap för att bland annat kunna lösa problem. Vidare står det i uppnåendemålen att skolan ansvarar för att alla elever efter att ha avslutat

grundskoleutbildning, ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Skolverket 2006, s.10). I ”Kursplanen för matematik” (Skolverket 2007), framkommer att undervisningen i matematik skall sträva mot att utveckla elevernas förmåga att lösa problem. I kursplanen beskrivs också att ett problem både kan vara kopplat till mer konkreta vardagssituationer samt att vissa situationer emellanåt är i behov av att lämna sitt sammanhang. Vidare kan också problem ha en relation till matematik som inte är kopplad till det konkreta i vardagen.

Man kan uppfatta problemlösning på olika vis. Riesbeck (2000) nämner i sin

licentiatavhandling ”Interaktion och problemlösning” en beskrivning av hur problemlösning kan uppfattas som tre olika föreställningar. Ett förperspektiv där elever och lärare arbetar med problemlösning ur ett behavioristiskt synsätt, där de först måste lära sig aritmetiska

operationer, som sedan kan användas i problemlösandet. Nästa perspektiv, synsätt beskrivs som en undervisning om problemlösning. Läraren hjälper eleven igenom lösandet där eleven ges möjlighet till att redogöra för hur, vad och varför hon eller han har valt sina strategier. I det tredje sättet används problemlösning som ett sätt att undervisa. Här blir kunskapen aktivt konstruerad av eleven genom sitt kunnande och ses därmed inte som en passiv mottagare av

kunskap. Det förekommer också andra föreställningar kring problemlösning. Unenge m.fl. (1994) berättar att man i den engelskspråkiga litteraturen börjat diskutera ett nytt begrepp istället för ”problem solving” – problemlösning. Istället används termen ”problem posing” vilket innebär problemhantering eller problembehandling. Litteraturen säger att det inte är problemlösning som är det viktiga från början utan det viktiga är att först ställa upp och formulera problem och på så sätt göra dessa hanterbara. Efter det kan man börja behandla problemet.

Vidare kan det vara av vikt att nämna vilken skepnad textuppgifter många gånger förekommer i. Dysthe (2003) skriver att problemlösningsuppgifter är ofta skapade genom en konstruerad kontext, situation. Vidare nämner hon hur inlärningskontexter i skolan betonas som autentiska aktiviteter och vad man skall lägga i denna betoning. Vissa forskare menar att det gäller att skapa lärandemiljöer som liknar livet utanför skolan. Andra forskare menar att de autentiska kontexterna skall ha sin utgångspunkt i utbildningens mål, det vill säga förbereda eleven för ett livslångt lärande. Ulin (1991) menar att det även är av stor vikt att uppgifterna är

realistiska och anknyter till elevernas vardag samt att eleverna erbjuds en varierande undervisning mellan textuppgifter och numeriska uppgifter.

3.5 Hur utvecklar barn sin problemlösningsförmåga?

Ulin (1991) redogör för några olika faktorer som är viktiga inom matematikens

problemlösning. Han menar exempelvis att en god problemlösare behöver utveckla en rad olika färdigheter: analysförmåga, kreativitet (gissningsförmåga), tålamod, självförtroende, förmåga att tänka logiskt samt förmågan att tillämpa kunskaper. Det handlar därför om att tillhandahålla olika sorters problem som kan träna upp dessa färdigheter. Om man även ger eleverna material som stimulerar till eget tänkande samt möjlighet att göra upptäckter redan i skolans tidigare klasser, utvecklar de en fruktsam syn på matematiken samt olika former av problemlösningsstrategier. Ulin anser också att lärarens intresse och erfarenhet av

problemlösning är avgörande för elevens utveckling av kompetens och självförtroende. Det finns olika lösningsstrategier som eleven kan använda i lösandet av textuppgifter. George Polya (2004) är en företrädare när det gäller hur man i olika steg skall lösa ett problem. Han beskriver i sin bok ”How to solve it” att problemlösningsprocessen går igenom fyra steg, nämligen förstå problemet, gör upp en plan, utför planen för att slutligen gå tillbaka och se

över det som är utfört. Magne (1998) förklarar utifrån Polyas fyra steg, hur eleven inledningsvis måste läsa uppgiften ordentligt och därefter göra en egen översättning av innehållet. Efter att eleven tror sig veta vad problemet går ut på, gäller det att funderar kring exempelvis problem som kan vara av samma art, val av räknemetod eller om en ritning kan vara till hjälp. När en passande plan finns kan eleven utföra sina beräkningar och därefter redovisa sina metoder och resultat. Som avslutning försöker eleven se över sitt resultat med exempelvis överslagsräkning eller andra kontrollmetoder. Det finns fler faktorer som kan förbättra elevens förmåga att lösa problem. Ahlberg (1991) beskriver fördelarna med när eleverna samarbetar i grupp. Bland annat beskrivs hur elevers förståelse förändras när de exempelvis får delge sina egna erfarenheter, ställa frågor och hypoteser samt samtala om lösningsstrategier. Några forskare menar att när eleverna arbetar med problemlösning i grupp, blir de medvetna om sitt eget sätt att tänka och dessutom kan de även styra och kontrollera detta tänk. Vidare anses dessa färdigheter vara av stor betydelse i momentet problemlösning. I ”Barn och matematik”, beskriver Ahlberg (1995) när barn i grupp löser problem får de ta ansvar för sitt arbete, vilket kan få dem att bli engagerade samt att öka deras motivation. I Ahlbergs avhandling ”Att möta matematiska problem” (1992), går det att utläsa hur tidigare forskning visat att tillgången till konkret material som exempelvis klossar, räknestavar och pengar har förbättrat problemlösningsförmågan hos barn, och då särskilt för de yngre. Berggren och Lindroth (1998) beskriver också laborativa material som kan ge eleverna stöd när de skall lösa problem. Finns där stor tillgänglighet på olika material kan också eleverna lösa problemen på olika sätt, som de kan jämföra med varandra och därmed skapa ett utbyte av olika lösningsstrategier. Vidare betonar författarna att det laborativa materialet kan

underlätta för eleverna att slutligen komma fram till generella lösningar och lösningsmetoder.

3.6 Svårigheter med textuppgifter

Det finns en del problematik kring elevers förmåga att ta sig an matematikens textuppgifter. Vi avser därför att synliggöra några svårigheter som är kopplade till dessa uppgifter.

Problemlösning i matematik utvecklas under en lång tid. Det beror på att det inom detta moment ”tycks vara en funktion av fem kategorier av faktorer” (Lester 2004, s. 85), som samtidigt är beroende av varandra. Dessa faktorer är kunskap och användning, kontroll, uppfattningar av matematik, affekter och socio-kulturella sammanhang. Exempelvis

innehåller den första faktorn några betydelsefulla typer av kunnande, som exempelvis fakta och definitioner, algoritmer, strategier och kännedom om problemtyper. När eleven då är engagerad i problemlösning är det troligt att en av de många matematiska begrepp som behövs i sammanhanget, fortfarande är under utveckling. Utan att gå djupare in på de andra faktorerna, betonas deras inbördes beroende som kanske den viktigaste orsaken till att elever uppfattar problemlösning som ett svårt moment (Lester 2004).

Magne (1990, i Sahlin 1997) har sett att elever misstolkar texten i uppgifterna. De saknar förmågan att fullständigt tolka texten eller fokusera på de väsentliga ledtrådarna. När elever sysslar med problemlösning ger de snabbt upp, håller sig envetet till en lösningsvariant samt avstår från att kontrollera lösningen genom en rimlighetsuppskattning. Några elever känner redan efter genomläsningen av texten en osäkerhet och de flesta kan inte klara av uppgiften helt utan ett samtalsutbyte med läraren. Det förekommer andra faktorer som kan påverka elevens förmåga att lösa textuppgifter negativt. Hembree (i Magne 1998) har visat att läsfärdighet och ordförrådskunskap kan sättas i samband med problemlösning. Denna

koppling kommenterar han, ”här om någonsin borde språklig förmåga ha betydelse” (s. 160). Malmer och Adler (1996) menar också att en elev med dyslexi kan ha svårigheter att avkoda budskapet i en textuppgift. De menar emellertid att får bara eleven hjälp, genom uppläsning, kan de vara goda problemlösare. Magne (1998) beskriver dessutom undersökningar som har visat att läromedelsförfattare använder ord som uppfattas som svåra både i förklaringar och i textuppgifterna. I arbetet med benämnda uppgifter är det viktigt med en god språkförståelse. Har man en dålig läsfärdighet hindrar detta. Vidare kan svårigheterna bero på dålig språklig och logisk analysförmåga, det vill säga att eleverna inte förstår vad texten vill säga.

Matematik är ett sätt/verktyg för att beskriva verkligheten (Bergren & Lindroth 1998). För att matematiken skall bli meningsfull krävs det att denna sätts i ett sammanhang. En förutsättning för att kunna se problemet i en uppgift är att det finns en bra kontext. De så kallade benämnda uppgifterna i matematikboken räcker inte. Dessa visar förvisso hur man kan använda

matematiken i verkligheten men dessa uppgifter har i de flesta fall stora brister. ”Böckerna har ofta ett tillrättalagt språk vilket ger vardagsuttrycken en bestämd betydelse och det som nämns är fackuttrycken” (s. 26). Vidare poängterar författarna att brister i träningen av

vardagsuttrycken kan hämma den matematiska kommunikationen. Riesbeck (2000) beskriver ytterligare en aspekt när det gäller benämnda uppgifter. Hon menar att forskningslitteraturen för en ganska enad diskussion kring elevers hantering av dessa uppgifter . Resultaten i

forskningen pekar entydigt mot att människor har svårigheter att matematisera resonemang samt göra en matematisk tolkning av en språklig och naturlig beskrivning av en företeelse eller ett förlopp. Människan har problem med att översätta innebörden i vardagsspråkets uttryck till begrepp och termer som exempelvis används i matematiska sammanhang. En fara när elever skall lösa problemlösningsuppgifter är att eleverna lotsas genom

problemen. Det kan handla om lotsning från både läraren och läroboken. När eleven behöver hjälp ställer läraren några ledande motfrågor som kan lotsa eleven mot en lösning utan att någon kunskap erhålls. Texten i uppgifterna eller själva rubriken kan också lotsa eleven mot en lösning eftersom eleven lär sig att avkoda vissa ord och koppla dem mot matematiska symboler eller räknesätt. När lotsning förekommer uteblir den begreppsmässiga utvecklingen

(Wyndhamn 1991). Det är emellertid viktigt att eleven ges möjlighet att interagera i lösandet av problem. Malmer och Adler (1996) påpekar att när elever arbetar med matematiska problem sitter de ofta enskilt. Vidare betonar författarna att vi i vardagslivet ofta löser problem tillsammans med andra. Därför är det viktigt att moment som har problemartad karaktär bör lösas tillsammans med någon.

4. Metod

Vi har i vår undersökning intervjuat olika läromedelsförfattare för att kunna besvara våra frågeställningar. I detta avsnitt beskriver vi hur valet av informanter utförts samt vilka forskningsetiska övervägande som har tagits i beaktande. Vidare beskrivs vilken metod av intervju som valts och genomförandet av intervjuerna. Avslutningsvis kommer vi även att behandla databearbetningen av intervjuunderlaget och reliabiliteten i vår undersökning.

4.1 Urval

Målgruppen i vår intervjustudie var personer som författat läromedel i matematik. Vi hade som utgångspunkt att intervjua åtta olika författare. Det enda kriteriet som författaren behövde uppfylla var att läroböckerna de författat skulle vara inriktade mot skolår fyra till sex. Dessa författare valdes sedan slumpvist genom att vi kontaktade fyra bokförlag som fick ta del av en muntlig presentation av vår undersökning och dess syfte. Utifrån våra kriterier (se ovan) av vilka informanter som behövdes i vår studie föreslog bokförlagen en rad olika författare som eventuella representanter i våra intervjuer. Några av informanterna är fortfarande aktiva läroboksförfattare medan andra inte längre är verksamma som författare. I resultatdelen har vi gett informanterna följande fingerade namn: Jan, Kalle, Sofie, Jonna, Sara, Anders och Karin. Av både förtrogenhetsskäl samt risken att försvaga deltagarnas anonymitet, valde vi att inte närmare än så här presentera informanterna i vår intervjustudie.

I den inledande kontakten med våra informanter ställdes ett krav. Det gick ut på att en av de tilltänkta författarna ville se vår tolkning av sina egna intervjusvar, innan vår undersökning sattes på pränt. Detta krav kunde vi inte tillgodose eftersom vi, bland annat, ansåg att det inte inom forskningen finns utrymme för en informant att få en, i förväg, insyn i forskarens

tolkning av intervjusvaren och då kanske kunna riskera att påverka utgången av resultatet. När vi inte kunde möta informantens krav ledde det till att vi, från den ursprungliga

intervjugruppen på åtta personen, förlorade en informant i vår intervjustudie. Vår slutliga intervjugrupp bestod av fyra kvinnor och tre män. Den jämlika fördelningen av kön var helt slumpartad.

4.2 Forskningsetiska övervägande

I den inledande kontakten med informanterna redogjorde vi för hur undersökningen skulle gå till samt att varje deltagare skulle behandlas med anonymitet. Därefter fick informanterna via ett brev (bilaga 1), information om vår undersökning, dess syfte och att intervjun spelades in. Vid varje intervjutillfälle påpekades dessa nyss nämnda faktorer innan själva intervjun påbörjades. När intervjuerna avslutades erbjöds varje informant att tillägga något eller ställa egna frågor samt att de när som helst kunde återkomma med frågor eller funderingar kring vår undersökning. Alla informanter blev också informerade (bilaga 2) om att alla inspelade

intervjuer blev raderade, efter vi avslutat vår analys av intervjuerna.

4.3 Datainsamlingsmetoder

Som undersökningsmetod valde vi att utföra kvalitativa intervjuer. Johansson och Svedner (2006) menar att syftet med den kvalitativa intervjun är att få informanten ”att ge så uttömmande svar som möjligt” (s 43). När man i en undersökning är ute efter att få en förståelse av människors resonemang och reaktioner menar Trost (1993) att en kvalitativ studie bör användas. Eftersom vi i vår undersökning ville få en djupare bild av

läroboksförfattarnas tankar kring våra frågeställningar, ansåg vi att den kvalitativa intervjun var en god metod för att lyckas med detta. Vidare valde vi att ge vår kvalitativa intervju en mer halvstrukturerad form. Som underlag för vår intervju hade vi en lista med förutbestämda frågor som skulle ställas till alla de intervjuade. Dessa kompletterades med följdfrågor under intervjuns gång. Lantz (2007) beskriver den halvstrukturerade intervjun som en form där frågeområden ligger i en bestämd följd men att det även ryms följdfrågor. Vi ansåg att dessa följdfrågor bidrog till att informanten fick möjlighet till att ge mer uttömmande svar på våra förutbestämda frågor.

Johansson och Svedner (2006) nämner fördelen med att införskaffa underlag inför sin intervju. En metod är exempelvis att observera det man skall undersöka. Därför valde vi att studera några av informanternas utgivna läroböcker i matematik, som en förberedelse på våra intervjuer samt ett hjälpmedel i vårt arbete kring intervjufrågorna.

För att få svar på våra frågeställningar ansåg vi att intervjufrågorna skulle vara av sådan karaktär att läroboksförfattarnas syn på bland annat lärande, kunskap och matematikbokens

textuppgifter, kunde synliggöras. Våra intervjufrågor delades därför in under olika kategorier (bilaga 3) vilka i sin tur utgjorde en koppling till våra frågeställningar.

4.4 Genomförande

Efter att vi kontaktat bokförlagen och delgett våra önskemål gällande informanter till vår studie, ville bokförlagen själva informera de läroboksförfattare som eventuellt var aktuella för vår studie. Därefter kontaktade läroboksförfattarna oss och var inledningsvis positiva till att delta i vår studie. Därefter utfördes all kontakt mellan oss och författarna via e-post och per telefon. Under vägens gång till själva utförandet av intervjuerna hade några författare anmält olika krav och önskemål. Exempelvis begärde vissa författare att få tillgång till våra

intervjufrågor som en förberedelse. Andra önskade en mer utförlig beskrivning av vår undersökning och dess syfte innan de slutligen bestämde sig för att delta i vår undersökning. Dessa krav och önskemål såg vi inte som något hinder och blev därför tillgodosedda.

För att få en bild av tillämpligheten i våra intervjufrågor genomförde vi en förintervju. Johansson och Svedner (2006) menar att man bör göra förintervjuer för att bland annat se om svaren från den intervjuade belyser frågeställningarna. Detta moment resulterade i att någon enstaka fråga ströks eller omformulerades. Denna intervju valde vi att inte använda i vår intervjustudie. Skälet till detta var att alla våra övriga informanter hade författat läroböcker för grundskolans tidigare år medan informanten i förintervjun, författade läroböcker för grundskolans senare år.

Därefter kontaktades alla informanter via e-post, där vi beskrev vår undersökning, dess syfte samt beräknad tidsåtgång för intervjun. Vi informerade också att intervjun ämnade ske per telefon och att den dokumenterades genom en ljudupptagning. Johansson och Svedner (2006) beskriver vikten av att den intervjuade exempelvis bör informeras om ramarna för intervjun. Brevet innehöll även förslag på intervjutillfällen, men informanterna fick också möjligheten att själva välja tidpunkt för intervjun, om våra föreslagna tider inte passade. Eftersom en del av informanterna för tillfället var upptagna av antingen sitt yrke som lärare eller författare, utnyttjades möjligheten att själv välja intervjutillfällen av fyra informanter. Med anledning av att informanterna var bosatta på avstånd som omöjliggjorde så kallade fysiska intervjuer, valde vi att utföra intervjuerna per telefon. För ljudupptagning använde vi därför oss av högtalartelefon, skypemikrofon och en dator. Varje inspelad intervju laddades nersom en

mp3-fil. Även om vi vid varje intervjutillfälle förde anteckningar ansåg vi att en

ljudupptagning var av stor vikt. Ett viktigt skäl för detta, som Johansson och Svedner (2006) nämner, är att skriftliga anteckningar har svårt att ersätta en bandspelares registreringar av den intervjuades egna ord och formuleringar.

Vid varje intervjutillfälle ringde vi upp informanten på avtalad tid och började med en presentation av oss och vår undersökning samt information kring ljudupptagning. Därefter fick informanten fritt berätta om sin bakgrund och sitt arbete som läroboksförfattare. Denna inledningsfas på intervjun ansåg vi var präglad av en avslappnad atmosfär och bidrog till att få informanten i en stämning som kunde gynna den fortsatta frågestunden där intervjuarens frågor innebär att den intervjuade lämnar ut sitt personliga ställningstagande. Varje intervju tog ungefär 30-40 minuter och det fanns även utrymme för en avslutande konversation där informanten fick möjlighet att tillägga något eller ställa egna frågor.

4.5 Databearbetning

Efter varje intervju genomlyssnades inspelningen där nya anteckningar fördes av båda skribenter, vilka tillades de redan nedskrivna anteckningarna från själva intervjutillfället. När sedan alla intervjuer var gjorda bearbetades varje inspelning vid ytterligare några tillfällen. Avslutningsvis skrevs en sammanfattande text av varje intervju och svaren delades in i

kategorierna lärande, kunskap och matematikbokens textuppgifter. Detta gjordes för att lättare kunna koppla informanternas svar till frågeställningarna i vår undersökning.

4.6 Undersökningens tillförlitlighet

I sammanhang där tillförlitligheten diskuteras används ofta begreppet reliabilitet. Detta begrepp betyder, enligt Johansson och Svedner (2006), noggrannhet vid mätning. I vår undersökning vidtogs några åtgärder för att öka reliabiliteten. Exempelvis var vi båda

närvarande när alla sju intervjuer genomfördes samt att frågorna vi utgick ifrån var identiska vid alla intervjutillfällen. Johansson och Svedner (2006) anser att det kan uppstå

reliabilitetsbrister när informanterna i en studie har blivit intervjuade av olika personer samt om frågorna inte varit samma vid de olika intervjutillfällena. Vidare påpekas det om att de yttre omständigheterna kanske kan störa tillförlitligheten. Eftersom alla våra intervjuer utfördes per telefon och att informanterna själva valt platsen för intervjun anser vi att reliabiliteten inte försvagats.

En annan faktor som vi utnyttjade för att öka tillförlitligheten var att varje intervju spelades in på ljudfiler i en dator. Vi kunde därför alltid lyssna på intervjuerna om vi kände oss osäkra på det fakta eller de citat som vi antecknat och då antingen verifiera eller förtydliga dessa

nedtecknade tolkningar. Något som kan ha stört reliabilitet i vår undersökning är att tre av informanterna, efter egen önskan, fick möjligheten att gå igenom våra intervjufrågor som en förberedelse på själva intervjun. De andra fyra informanterna hade inte samma önskan och fick därför inte samma möjlighet. Vi ansåg emellertid inte att substansen i informanternas svar eller oförmågan att kunna förstå eller svara på våra frågor, skiljde sig i någon större utsträckning mellan de som tagit eller de som inte tagit del av frågorna.

5. Resultat

Vi har valt att presentera sammanfattningen av våra intervjusvar under tre rubriker: Vilken kunskapssyn har författarna gällande matematik?, Hur ser författarna på barns inlärning i matematik? och Vilken syn har författarna på textuppgifternas roll och syfte? Dessa har vi valt med utgång från våra frågeställningar. Under rubriken: Vilken kunskapssyn har författarna gällande matematik? presenteras svaren som ska hjälpa oss att besvara frågeställningen: ” Vad är viktig matematisk kunskap enligt författarna?” Svaren vilka presenteras under rubriken: Hur ser författarna på barns inlärning i matematik? skall hjälpa oss att besvara frågeställningen: ”Hur anser författarna att barn lär sig matematik?” Dessa två rubriker, tillsammans med svaren under rubriken: Vilken syn har författarna på

textuppgifternas roll och syfte? skall bidra till att besvara huvudfrågeställningen: ”Vad menar läromedelsförfattarna är syftet med matematikbokens textuppgifter?”

5.1 Vilken kunskapssyn har författarna gällande matematik

Frågorna vi använde oss av för att få svar på detta var följande, Vad är viktigt för en elev att kunna inom matematik? I vilka situationer är det viktigt att kunna matematik? Vad

kännetecknar en elev som är duktig i matematik? Vilken syn har du på den instrumentella kunskapen som en del barn besitter?

Vad är viktigt för en elev att kunna inom matematik?

Det författarna anser vara matematisk kunskap kan sammanfattas i fem punkter, taluppfattning, huvudräkning, tabellkunskap, likhetstecknets betydelse samt

problemlösningsförmåga, Dessa punkter var mer eller mindre, förekommande i svaren författarna gav oss. Fem av författarna (Jan, Kalle, Sofie, Jonna och Sara) menade att det var av stor vikt att ha en god taluppfattning. Särskilt viktiga bitar inom taluppfattning ansåg författarna vara exempelvis positionssystemet och kunskap om viktiga matematiska

begrepp/ord. Jan uttryckte sig: ”Taluppfattning är grunden för allting” och Kalle sa: ”Får de inte talförståelse kommer de inget vart. Då har man en maxgräns hur långt man kommer i matte”. Tre av författarna (Jan, Kalle och Jonna) tyckte att det var viktigt med att känna sig säker i huvudräkning och därmed slippa räkna på fingrarna. Att besitta goda tabellkunskaper tyckte Jan, Kalle och Jonna var viktig matematikkunskap vilket Kalle motiverade enligt följande: ”Du kan vara hur bra problemlösare eller vad som helst, kan du inte dina tabeller någorlunda hyfsat då blir det väldigt jobbigt ändå”. Jan nämnde likhetstecknets betydelse som

viktigt medan Sofie ansåg att förmågan att lösa problem hörde till viktiga matematikkunskaper.

I vilka situationer är det viktigt att kunna matematik?

Den matematiska kunskapen är viktig för att klara sig i vardagen. De exempel som gavs var att kunna klockan, avläsa tabeller, gå och handla, läsa annonser, planera sin ekonomi etcetera. Om detta var samtliga författare enade. Vidare menade de att matematiken finns omkring oss, överallt. Jan uttryckte: ”Hela livet består av matematik” och Anders ansåg att matematiken behövs för att: ”….tolka vardagen”.

Vad kännetecknar en elev som är duktig i matematik?

Möjligheten att kunna omvandla sina kunskaper, se samband och förmågan att tillämpa sina kunskaper är tre färdigheter som kännetecknar en elev som är duktig i matematik, vilket fem av författarna (Jan, Anders, Sara, Karin och Sofie) uttryckte. Även en god taluppfattning var viktig vilket tre nämnde (Jan, Kalle och Sofie). Jonna tyckte att det var viktigt med en god begreppsförståelse medan Anders betonade förmågan att kunna tänka självständigt. Att besitta förmågan att kunna förklara ansåg Karin känneteckna en duktig elev medan Kalle påpekade att en duktig elev är en elev som är säker på tabellräkning. Vidare förklarade Karin att, en elev som tycker att matematik är kul kan kännetecknas som en duktig elev då lusten är en viktig aspekt.

Vilken syn har du på den instrumentella kunskapen som en del barn besitter?

Den instrumentella kunskapen ansåg Sara och Jonna vara meningslös och kunde inte klassas som matematisk kunskap. De ansåg att all kunskap måste bygga på någon form av förståelse. Sara valde att kommentera den instrumentella kunskapen enligt följande: ”All matematik måste bygga på förståelsen annars är man körd ganska snart” medan Jonna sa: ”Ingen kunskap skall byggas på någon slags utantill lärande utan all kunskap måste byggas på förståelse”. Fem av författarna (Jan, Anders, Kalle, Karin och Sofie) förkastade inte den instrumentella kunskapen helt utan kunde se positiva saker med denna. Anders menade att det är viktigt att ta vara på den kunskapen som finns. ”För många är det, det enda sättet att lära sig, bättre att kunna det än ingenting alls” uttryckte han. Tre av författarna (Jan, Kalle och Sofie) sa att man ibland kan ha nytta av utantill inlärda verktyg, som formler och algoritmer, utan att förstå vad man gör och varför. Att kunna formler och räkna med algoritmer kunde vara en trygghet för många elever, menade Sofie. Författarna var enade om att den

instrumentella kunskapen inte kunde ses som en kunskap med vilken man skulle klara sig i vardagen. För att klara sig var man tvungen att ha någon form av förståelse för vad man gör och varför man gör detta. De fem författarna (Jan, Anders, Kalle, Karin och Sofie) som inte förkastade den instrumentella kunskapen helt var samtidigt noga med att betona vikten av matematisk förståelse.

Sammantaget genomsyrades svaren av att förståelsen hos eleverna är viktig. Taluppfattningen är det som anses vara av stor vikt för en vidare matematisk utveckling samt en god

matematisk förståelse. Författarna menade att förståelsen för de matematiska grunderna är viktigt. Detta för att kunna vidareutveckla sina kunskaper samt utvecklas inom ämnet matematik. Med tanke på att hela vardagen, och till viss del hela livet, består av matematik och matematiska ställningstaganden fann författarna det relevant med goda kunskaper (se ovan) och en god förståelse för matematik.

5.2 Hur ser författarna på barns inlärning i matematik

Underlaget för detta är svaren författarna gav oss på följande frågor i vår intervju: Hur lär sig barn matematik? Vilken roll spelar läraren i barns inlärning? Varför tror du en del elever har svårt för matematik/problemlösning? Hur vill du att läroboken skall användas?

Hur lär sig barn matematik?

Att barn lär sig matematik genom interaktion med andra, både mellan elever samt mellan lärare och elev, som leder till diskussion samt genom praktiska situationer uttrycktes av fem författare (Jan, Anders, Sara, Jonna och Sofie). Sofie utvecklade sig enligt följande: ”Barn och elever lär sig matematik genom interaktion med andra. Man kan inte lära någonting ensam”. Vidare menade Jan att: ”Barn lär sig nog, tror jag, bäst i praktiska situationer”. Tre av författarna (Kalle, Sara och Karin) menade att sätten att lära sig matematik på är oändligt många och att varje barn lär på sitt sätt. ”Det finns lika många sätt att lära matematik som det finns barn” uttryckte Sara. Kalle betonade vikten av att undervisningen har sin utgång i barnets begåvning och kunskapsnivå samt att stödet från hemmet är viktigt vid barns lärande.

Vilken roll spelar läraren i barns inlärning?

Samtliga författare betonade vikten av en bra pedagog i klassen. De var entydiga i sina svar, pedagogen är det viktigaste i barnens lärande. Pedagogen skall stötta, skapa arbetsro, förklara, öppna barnens sinnen och uppmuntra. Detta menade författarna vara viktiga delar i lärarens roll. Jan menade att elever som har en lärare som är duktig i matematik lär sig, tidigt, att abstrahera och generalisera. Sofie stödde sitt svar på gjorda studier vilka pekade på vikten av en bra lärare. Vidare uttryckte Sofie följande på frågan om vilken roll läraren spelar i barns inlärning: ”Jättestor roll och det visar alla undersökningar, mina studier visar det”.

Varför tror du en del elever har svårt för matematik/problemlösning?

Att en elev har matematiksvårigheter kan bero på många olika saker sett till de svar författarna gav. Fyra av författarna (Kalle, Sara, Karin och Sofie) menade att orsaken till matematikproblem är som regel dåliga baskunskaper (utvecklade inte begreppet) i matematik samt att eleverna inte har befäst de matematiska grunderna (utvecklade inte begreppet). Ser man till textuppgifter menade Jan och Kalle att en del elever har läs- och skrivsvårigheter och klarar därför inte av texten i uppgifterna. Vidare menade Jan och Kalle att många av dagens textuppgifter innehåller ett för svårt språk. Karin ansåg att svårigheterna hos många elever berodde på läraren. Läraren har otillräckliga matematiska ämneskunskaper och kan inte ge eleverna den undervisning de behöver och har rätt till, menade hon. Karin förklarade också matematiksvårigheter med att undervisningen tar sin början i ”fel ände”. Det vill säga att barnen introduceras i matematiken med siffror och symboler för att sedan applicera detta i vardagen. Karin menade att det skall vara tvärt om. Matematiken skall ta sin början i vardagen för att sedan gå vidare till siffrorna och symbolerna. Sara påpekade just sambandet mellan verklighet och symbolspråket som ett problem. ”Någonstans blir det glapp i kopplingen mellan verkligheten och symbolspråket” menade hon. Att eleverna arbetade självständigt och i sin egen takt menade Anders vara en orsak till dåliga matematiska kunskaper.

Undervisningen skulle istället bedrivas på ett mer styrt sätt, med gemensamma genomgångar och en sammanhållen elevgrupp inom ett kapitel åt gången. Vidare menade han att dagens klassrumssituation, där elevgruppen är åldersblandad, bidrar till att det är oroligt under lektionerna vilket påverkar koncentrationen och därmed inlärningen hos barnen. I övrigt nämndes begränsat minne (detta förtydligades inte), fel nivå på undervisningen, dålig mognad samt dålig kontinuitet i undervisningen som tänkbara faktorer till elevernas svårigheter i matematik.

Hur vill du att läroboken skall användas?

Att läroboken i matematik är en viktig del av undervisningen är samtliga författare överens om. Jonna anser att hennes lärobok täcker in allt som krävs. Kalle menade att boken är exemplarisk till färdighetsträning. Sex av författarna (Jan, Anders, Kalle, Sara, Karin och Sofie) menar att läroboken ska kompletteras med andra uppgifter. Detta kan vara praktiska moment, exempel vardagsmatematik eller att läraren tar in andra läromedel. Kalle uttryckte sig enligt följande: ”Använd boken som en exempelsamling” och: ”…. framför allt att de inte bara arbetar i boken”. Sara var noga med att poängtera: ”Man kan ju aldrig börja i en lärobok och lära ungarna matematik”. Anders och Sara uttryckte vikten av att lärare och elever skulle prata mycket matematik vilket kunde ske med utgång från boken. Anders och Sofie

poängterade vikten av att ha gruppen samlad i ett och samma kapitel, vilket Sofie förklarade: ”Då vet jag att inom kapitlet där jag håller gruppen samlad har jag elever som behöver tilläggsuppgifter …. och så har jag elever där jag ska välja bort uppgifter för”. Tre av

författarna (Jan, Kalle och Jonna) nämnde begreppet läromedel, ett läromedel innehåller mer än en matematikbok. Begreppet läromedel inkluderade, för dem, även en lärarhandledning eller någon form av exempelsamling. Det var viktigt att man använde hela läromedlet för att inte riskera att missa något i sin undervisning.

Sammanfattningsvis kan man urskönja en viss uppdelning mellan författarna i två läger där de ena representeras av Anders som menar att en undervisning med samlad grupp, gemensamma genomgångar samt ordning och reda på lektionerna är viktigt för elevernas lärande. Övriga sex författare menar att genomgångar skall finnas men att eleverna skall arbeta i sin egen takt med uppgifter som passar aktuell kunskapsnivå. Jan menade att den typ av undervisning där alla elever följs åt genom boken missgynnar många elever. De hinner inte med i det bestämda tempot vilket medför att de inte hinner befästa kunskapen. Sofie förklarade att det gäller att hitta olika lärandesituationer och olika sätt att lära på, utifrån varje elevs förmåga, för att nå alla elever. ”Alla elever lär sig på olika sätt och har utvecklat olika förmågor” förklarade hon.

5.3 Vilken syn har författarna på textuppgifternas roll och syfte

Vi presentera här en sammanställning av svaren vi fick på följande frågor: Hur definierar du problemlösningsuppgift? Hur anser du att eleverna skall arbeta med lärobokens

dig på när du författar problemlösningsuppgifter (styrdokument, didaktisk forskning)? Varför finns det problemlösningsuppgifter i matematikboken (syftet)? Täcker läroboken in allt inom problemlösning eller behöver läraren komplettera undervisningen med alternativa metoder? Vilka är fördelarna med att använda lärobokens uppgifter när läraren undervisar i

problemlösning? Finns det några begränsningar, ramar i ditt arbete (rekommendationer, tid, lagar, förlagens önskemål/krav)? Sammanställningen av dessa svar tillsammans med sammanställningarna under rubrikerna: Vilken kunskapssyn har författarna gällande matematik och Hur ser författarna på barns lärande i matematik, skall vara underlag för att besvara undersökningens huvudfråga: ”Vad menar läroboksförfattarna är syftet med matematikbokens textuppgifter?” Anledningen till att författarnas definition av

problemlösningsuppgift behandlas här är att vi under de två föregående rubrikerna valt att synliggöra författarnas syn på matematisk kunskap och barns inlärning i matematik.

Hur definierar du problemlösningsuppgift?

En sammanställning av författarnas definitioner på en problemlösningsuppgift skall innehålla följande. Sara och Jonna menade att det inte skall finnas något givet räknesätt eller någon given lösningsstrategi. Att tvingas tänka ett steg längre/”tänka vidare” ansåg Sara och Sofie vara en viktig del av en problemlösning. Vidare menade Jan och Sara att det skall finnas många olika sätt att lösa uppgiften på samt att vägarna till lösning skall vara flera. Kalle nämnde att en problemlösning inte behöver innehålla text samt att den kan innehålla

”oväsentlig” information som skall sorteras bort. Karin ansåg att en problemlösningsuppgift bör vara vardagsanknuten.

En tillämpningsuppgift ansåg alla var av enklare karaktär än en problemlösningsuppgift. Jan menade att tillämpningsuppgifter: ”…. fyller inga kriterier för att vara problembaserade”. En tillämpningsuppgift menade Sofie skulle vara en uppgift med en tydlig verklighetsanknytning. Anders ansåg att tillämpningsuppgifterna var ren färdighetsträning. ”En naken sifferuppgift som man klätt med textkläder” menade han.

Hur anser du att eleverna skall arbeta med lärobokens problemlösningsuppgifter för att dessa skall tillföra så mycket som möjligt?

Att arbeta med problemlösning ska ske i grupp eller par där det är viktigt att en diskussion förs, dels inom gruppen men även mellan eleverna och läraren, menade alla författare. Karin menade att det är viktigt att träna olika strategier för hur man kan ta sig an och lösa ett

matematiskt problem. Sofie tryckte på vikten av att problemlösning skulle övas systematiskt från och med skolår fyra och uttryckte: ”Kanske vår internationellt största expert på det som säger att problemlösning måste tränas systematiskt”.

Tillämpningsuppgifter kan man till skillnad från problemlösningsuppgifter arbeta med enskilt. Även här var det viktigt med en systematisk träning. Det kunde dock förekomma ett visst samarbete samt en diskussion mellan elever samt mellan elever och lärare. Det var dock inte lika viktigt här som vid problemlösning.

Vad stödjer du dig på när du författar problemlösningsuppgifter (styrdokument, didaktisk forskning)?

Vid författandet stöder sig framför allt författarna på tre saker. Fem av dem (Anders, Kalle, Sara, Karin och Sofie) ansåg att egna erfarenheter påverkar dem vid författandet. Fyra av författarna (Jan, Sara, Karin och Jonna) hämtade stöd från styrdokument som läroplanen och kursplanen i matematik. Tre författare (Kalle, Jonna och Sofie) nämnde att didaktisk

forskning är en viktig källa och ett stöd. Vidare uttryckte Anders, Jonna och Sofie att elevperspektivet var viktigt medan Sara och Karin menade att de nationella proven i

matematik var ett stöd, Sara uttryckte: ”Vi har stött oss i stor del på de nationella proven som har gjorts, så de har vi läst väldigt noggrant, faktiskt försökt få deras tankar”. Media och aktuell debatt nämndes av Sara som en faktor vilken påverkade hennes författande.

Varför finns det problemlösningsuppgifter i matematikboken (syftet)?

Anledningen till att det finns textuppgifter i matematikboken anser samtliga sju författare vara för att skapa en verklighetsanknytning. Anders sa: ”Vitsen att kunna matematik är att man ska kunna tillämpa den i olika sammanhang” medan Sara uttryckte: ”Det är ett sätt att göra

eleverna uppmärksamma på att man behöver matematik i sitt vardagsliv, hela tiden”. Jan och Anders menade att anledningen var att göra matematiken mer varierad och rolig. Vidare menade Jan att textuppgifterna bidrog till att tillfredsställa som många elevers behov som möjligt. Han menade att boken hade ett stort ansvar i matematikundervisningen då det förekommer lärare som endast använder matematikboken i sin undervisning. ”De lärare som är för boktrogna …. då behöver vi som författare stoppa in sådana saker så vi vet att eleverna får lite av varje” sa Jan. Sofie uttryckte att en ”traditionell bok” innehåller textuppgifter: ”Annars är det ingen mattebok”. Jonna menade att det bidrog till den matematiska träningen och uttryckte sig: ”Tillämpning måste finnas för att nöta in förståelsen”. Det nämndes även att

anledningen var att förtydliga nyttan av vissa räknesätt samt utmana elevers tänkande. ”Problemlösning, det är ju liksom paraplyet över hela matematiken” sa Sofie och menade att problemlösningen var övergripande och fanns överallt. Av den anledningen fanns den även i matematikboken.

Täcker läroboken in allt inom problemlösning eller behöver läraren komplettera undervisningen med alternativa metoder?

Tre av författarna (Anders, Kalle och Jonna) menade att läroboken täcker in ”det mesta” inom problemlösning och syftade då, var och en, på sin egen lärobok. Kalle var noga med att poängtera att läroboken tillsammans med lärarhandledning täckte in ”det mesta”. Jan, Sara, Karin och Sofie menade att en lärobok måste kompletteras med laborationer, konkretiseringar och andra läroböcker. ”Jag tror inte att det än så länge finns det kompletta

matematikmaterialet och jag tror inte att det är möjligt att skapa” uttryckte Jan. Sofie sa att: ”En lärobok kan aldrig täcka in allt, någonsin”. Karin menade att läroboken kan vara hur bra som helst: ”Metoden ligger alltid hos läraren”, och uttryckte därmed hur viktig läraren är. Vidare menade Anders att det var bra om man som lärare hade en ”bank” av samlade idéer och uppgifter. Hade man det fanns det möjlighet att förändra undervisningen och

individanpassa denna. Anders var noga med att poängtera faran med att bli för ”boktrogen” vilket var vanligt i synnerhet om undervisande lärare saknade matematikutbildning eller kanske inte hade någon pedagogisk utbildning över huvud taget.

Vilka är fördelarna med att använda lärobokens uppgifter när läraren undervisar i problemlösning?

Fördelarna med att låta eleverna arbeta med lärobokens textuppgifter ansåg sex av författarna (Jan, Kalle, Sara, Karin, Jonna och Sofie) var att bokens textuppgifter ger eleverna en bra grund till vidare matematisk förståelse samt att eleverna inte skulle riskera att missa några vitala delar. Vidare menade de att läraren spar tid genom att arbeta med redan färdiga

uppgifter och att boken ger en struktur i arbetet vilket leder till att läraren lätt kan ha kontroll över elevernas kunskapsnivå. Sofie förklarade att det krävdes en viss kunskap för att författa bra textuppgifter och sa: ”Man ska vara väldigt duktig, man ska ha väldigt bra kunskaper i matematik och har man det så man har läst väldigt mycket matematik kan man skapa egna uppgifter”. Att uppgifterna är utarbetade med underlag från de nationella proven i matematik, menade Sara vara en anledning till att arbeta med bokens uppgifter. Sex av författarna (Jan,

Kalle, Sara, Karin, Jonna och Sofie) poängterad att de lagt ner mycket tid i arbetet vid författandet, vilket medförde att textuppgifterna blev väl utarbetade.

Finns det några begränsningar, ramar i ditt arbete (rekommendationer, tid, lagar, förlagens önskemål/krav)?

Författarna kände sig ganska fria i sitt arbete med att författa läromedel. Den enda begränsningen från förlagens sida var budgetbegränsning, vilket nämndes av Jan. Styrdokumenten var en begränsning vilket fem (Anders, Kalle, Sara, Jonna och Sofie) nämnde varav tre (Kalle, Jonna och Sofie) såg dessa som den enda begränsningen. Sara och Karin såg elevernas timplan som en begränsning. Karin menade även att ”den faktiska situationen” var en begränsning. Med detta menade hon vad som ansågs vara relevant för en lärobok och för eleverna att kunna i matematik. De nationella proven såg Anders som en begränsning i sitt författande.

Sammanfattningsvis kan sägas att författarna skiljer på problemlösningsuppgifter och tillämpningsuppgifter. De menade att det är två olika typer av uppgifter och att sättet att arbeta med dessa skiljer sig åt. Vidare hävdade de att uppgifterna i läroböckerna är bra att arbeta med. Somliga tyckte dock att dessa skulle kompletteras med någon annan arbetsform.

6. Diskussion

Vi skall i vår diskussion försöka behandla de, i våra ögon, mest relevanta delar från vårt resultat. Vi kommer att jämföra författarnas tankar med den teoretiska delen i vårt arbete samt belysa våra egna tankar och samtidigt försöka urskönja eventuella likheter och skillnader. Vi kommer även kort kommentera validiteten och reliabiliteten i våra resultat.

6.1 Vilka styrkor och svagheter ser vi i vårt arbete?

Efter de första intervjuerna märkte vi att en del av frågorna kunde vara utformade på ett annorlunda sätt för att få ut mer av informanterna. Vi stod emellertid fast vid

ursprungsfrågorna men kompletterade efter hand dessa med en större del följdfrågor.

Begreppsdefinitionerna har varit föremål för förvirring under delar av somliga intervjuer. Vi valde i våra intervjuer att kalla de textbaserade uppgifterna, vilka var föremål för vår

undersökning, för problemlösningsuppgifter. Då majoriteten av författarna ansåg att en problemlösningsuppgift hade en annan innebörd fick vi vara tydliga under intervjuerna samt påminna om vår definition samt vad vi avsåg. Vi vill dock inte säga att detta har varit avgörande för resultatet.

Alla intervjuer har genomförts per telefon. Detta har skett med högtalartelefon och spelats in. Vi har, båda två, närvarat vid samtliga intervjuer samt utgått från samma intervjuunderlag. Genom vårt sätt att genomföra intervjuerna samt dokumentera dessa tycker vi att reliabiliteten i vår studie är relativt hög. Svagheten kan dock vara utformning av vissa frågor samt att vi valde begreppet problemlösningsuppgifter i våra intervjufrågor då vi var ute efter

textuppgifter. I stort menar vi att resultatet stämmer bra överens med vad målet för vår undersökning var. Från början var vår avsikt att intervjua åtta författare. Dessa kom vi i kontakt med via förmedling av läromedelsförlag. En av författarna valde dock att inte medverka. De övriga sju representeras av både kvinnor och män i ett varierat åldersspann. Även om vi menar att många av författarna i vår studie var ganska eniga i en stor del av våra frågeområden, anser vi inte att vi kan dra för stora slutsatser eller göra stora generaliseringar. Anledningen till detta är dels att examensarbetet är en relativt liten studie i tidsaspekt samt att vi inte har någon uppgift på hur stor del av den svenska läromedelsförfattarekåren våra informanter utgör.

6.2 Vad har författarna för syn på matematisk kunskap samt, hur barn

lär sig matematik?

Enligt Skemp (1976) finns det två olika sätt på vilka man kan förstå/uppfatta matematiken. Antingen har man en relationell eller en instrumentell förståelse. Den relationella förståelsen bygger på att eleven vet vad den gör och varför. Även Maltén (2003) påpekar att kunskap inte kan byggas på bara traditionella baskunskaper och färdigheter. Han menar att det krävs en mer fördjupad kunskap. Denna syn på kunskap menar vi återkom i författarnas svar i stor utsträckning. Författarnas kunskapssyn präglas av att matematik skall byggas på en mer djup förståelse, det vill säga en så kallad relationell förståelse. Vidare menade författarna att kunna omvandla sina kunskaper, kunna se samband, kunna tillämpa sina kunskaper är färdigheter vilka kännetecknar en elev som är duktig i matematik.

Dysthe (2003) beskriver Vygotskys tankar kring hur lärande och utveckling utgår från en social samverkan. Författarna påpekade interaktion som en viktig del i elevers

matematikinlärning. Interaktionen skall ske mellan både elever samt mellan lärare och elever och leda till en diskussion. När elever och lärare interagerar med varandra sker ett aktivt deltagande. Möllehed (2001) nämner Piagets beskrivning av eleven som själv bidrar till en konstruktion av kunskap genom sitt aktiva deltagande. Skolverket (2007) betonar också hur kommunikationen skall ge eleven möjligheter att förstå samt få nya insikter och lösningar på problem.

Författarna ansåg att läroboken är en viktig del i matematikundervisningen men den skall användas på ”rätt” sätt. Läroboken kan exempelvis användas som en exempelsamling samt kompletteras med konkreta och praktiska inslag. Vi uppfattade även att undervisningen inte skulle bedrivas endast genom läroboken. Löwing (2006) beskriver att de flesta lärare låter eleverna arbeta på egen hand i en lärobok eller arbetsmaterial vilket leder till att anpassning till elevernas förkunskaper, inte förekommer. Detta menar Löwing leder till

inlärningsproblem. Vidare beskriver Malmer (2002) att matematiken skall lämna fokus från en gemensam lärobok och istället ta större hänsyn till elevmedverkan. Isolerade uppgifter skall ersättas med temainriktade ämnen.

Författarna menade att det är viktigt att eleverna arbetar i sin egen takt och att uppgifterna är anpassade till deras kunskapsnivå. Malmer (2002) nämner att en viktig del av undervisningen

är att alla elever känner att de har möjlighet att bli uppmärksammade och att de duger. Ett sätt att nå dit är att eleverna får arbeta med lämpligt material på det nivå de befinner sig. Arbetet skall ske i den takt de har förutsättning för. Vi menar då att författarna står för en

individanpassad undervisning, där vikten av att känna till varje elevs kunskapsnivå är stor. Malmer och Adler (1996) skriver att det är svårt att individanpassa matematikundervisningen genom att en hel grupp följer en gemensam lärobok i samma takt. Av svaren i vår

undersökning kunde vi se att nästa alla författare poängterade vikten av att eleverna inte skulle följa läroboken gemensamt och i samma tempo. Det är i våra ögon ett ytterligare förtydligande av författarnas syn på vikten av att undervisningen skall präglas av individualisering.

6.3 Hur definierar författarna textuppgifter och vad menar de att syftet

med textuppgifter är?

6.3.1 Hur definierar författarna textuppgifter?

Författarna delar in textuppgifter i två kategorier, tillämpningsuppgifter och

problemlösningsuppgifter. De ansåg inte att man kunde likställa dessa. Enligt våra slutsatser av författarnas svar krävs det mer av en elev för att lösa ett problem än vad det gör då de ska lösa en tillämpningsuppgift. Anledningen till detta kan vara att enligt författarnas definitioner är räknesättet och tillvägagångssättet vid lösandet inte givet i en problemlösningsuppgift vilken det är i en tillämpningsuppgift antingen direkt eller indirekt. Möllehed (2001) beskriver ett problem som en situation som kräver lösning men att eleven från början saknar metoden vilken skall hjälpa denna att nå målet. Vidare menade författarna att sätten på vilket man arbetar med de två olika varianterna av textuppgifter skiljer sig åt. Att arbeta med

problemlösningsuppgifter ansåg de skulle ske i grupp eller parvis där den viktiga diskussionen kunde ske. Andra viktiga aspekter i arbetet var att öva på lösningsstrategier, om detta skriver George Polya (2004) i sin bok ”How to solve it” . Polya menar att problemlösningsprocessen går igenom de fyra stegen, att förstå problemet, göra upp en plan, verkställa planen och slutligen utvärdera lösningen. Med tillämpningsuppgifterna menade författarna att man i större utsträckning kunde arbeta enskilt.

6.3.2 Vad menar författarna att syftet med textuppgifterna är?

I strävansmålen står det att varje elev skall lära sig att använda sina kunskaper som redskap för att bland annat kunna lösa problem. Vidare står det i uppnåendemålen att eleven efter

avslutad grundskoleutbildning, ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Skolverket 2006, s.10). I författandet av textuppgifter stödde sig författarna på bland annat vad som stod formulerat i läroplanen och kursplanen för matematik. De menade att anledningen till att det finns textuppgifter i matematikboken är att skapa en verklighetsanknytning samt att belysa nyttan med matematiken genom att visa situationer i vilken matematiken kan användas. Ulin (1991) poängterar vikten av att textuppgifterna är realistiska samt att dessa anknyter till elevens vardag. Boaler (1993) menar att kontexten i undervisningen skall sträva mot att ge eleverna situationer där de kan se verkligheten, ”real life situation”. Vi menar att författarna genom sitt syfte men textuppgifterna bidrar till att öka chanserna för eleverna att uppnå vissa uppnåendemål och strävansmål. Vi kunde tydligt se i svaren från intervjuerna att läroplan och kursplanen i matematik samt de nationella proven i skolår fem, var viktiga för författarna i deras arbete. Läroplanen och kursplanen är ett stöd vid författandet, dessa avspeglas i textuppgifterna vilka, enligt författarna, har som sitt

huvudsakliga syfte att verklighetsanknyta matematiken för eleverna.

Författarna menade att textuppgifterna bidrog till att matematiken blev mer varierad och rolig. I problemlösning behöver eleven behärska en rad olika färdigheter, som exempelvis

analysförmåga, kreativitet (gissningsförmåga), tålamod, självförtroende, förmåga att tänka logiskt samt förmågan att tillämpa kunskaper (Ulin 1991). Enligt vår uppfattning innehåller arbete med textuppgifter en rad olika moment och färdigheter, som eleven både skall utföra och försöka behärska, vilket, vi menar, medför till att det då finns ett självklart utrymme för variation. Hur ”roliga” textuppgifterna är kan diskuteras. Sahlin (1997) beskriver hur många elever väldigt snabbt ger upp när det handlar om lösandet av textuppgifter. Även om vi tror att det finns elever som finner textuppgifter stimulerande, ifrågasätter vi alltså om textuppgifter verkligen bidrar till att göra matematiken roligare eftersom många elever har problem med dessa uppgifter. Skälet till detta är bland annat att de saknar förmågan att tolka texten eller de väsentliga ledtrådarna i uppgiften. Magne (1998) beskriver att om man har dålig läsfärdighet kan det hämma språkförståelsen i textuppgifterna. Han nämner också hur forskningen visar att läsfärdighet och ordförrådskunskap kan sättas i samband med problemlösning. Detta menar vi då kan ytterligare ifrågasätta, i hur stor utsträckning textuppgifter bidrar till, att för eleverna, göra matematiken roligare.

Textuppgifterna ansågs av författarna, kunna utmana eleverna. Vi håller med att det finns en utmanande karaktär i textuppgifter. Det visar inte minst Polyas (2004) redogörelse av sin