För matematiken i tiden - matematiken i tidslinjer

Malmö högskola

Examensarbete

För matematiken i tiden

- matematiken i tidslinjer

Mathematics in time-lines

Hedvig Francke & Nina Lundgren

Lärarexamen 140 poäng Handledare: Nanny Hartsmar Matematik och lärande

Abstrakt

Vi har undersökt vilka delar inom matematiken som kan hjälpa eleverna att utveckla sin förståelse för ”lång tid” och tidslinjer. I analysen diskuteras resultaten utifrån utveck-lingspsykologiskt perspektiv/strukturteori (Piaget), sociohistorisk/sociokulturell teori (Vygotskij) och konstruktivistisk teori (von Glasersfeld). Undersökningen har genom-förts med två grupper elever i årskurserna 3-5 där vi har använt oss av intervjuer och undervisningsförsök för att få svar på våra frågor. Gruppernas resultat har analyserats och jämförts med varandra för att försöka hitta den matematik som har hjälpt eleverna att förstå tidslinjer och dess användningsområden, eller som vållat dem bekymmer. De matematiska delar som synliggjordes i undersökningen är bland annat proportionalitet, positionssystemet, stora tal och negativa tal. Vi har också funnit att i arbetet med ab-strakta begrepp som tid, är dialogen mellan elever och lärare-elever av stor betydelse för kunskapsutvecklingen.

Nyckelord: avstånd, dialog, matematik, negativa tal, proportionalitet, samtal, stora tal,

Innehållsförteckning

2.1 Barns kognitiva utveckling/kunskapsbegreppet ... 10

2.2 Kunskapspaketet... 14

2.3 Barn och tidsuppfattning ...15

2.4 Barn och tidslinjer ... 18

2.5 Klassrumsmiljöer...20 2.6 Styrdokument ... 21 2.6.1 Kursplan för matematik ... 22 2.6.2 Kursplan för svenska ... 23 2.6.3 Kursplan för biologi ... 23 2.6.4 Kursmål för fysik... 23

2.6.5 Kursmål för samhällsorienterande ämnen ... 23

2.7 Sammanfattning av teorin... 24 3 Metod ... 27 3.1 Urval ... 27 3.2 Datainsamlingsmetod ... 27 3.3 Undervisningsförsök... 30 3.4 Procedur... 32 3.5 Databearbetningsmetod ... 32 3.6 Analysmetod... 33 3.7 Tillförlitlighet ... 34 3.8 Metoddiskussion... 34 4 Resultat ...36 4.1 Förintervju ...36

4.1.1 Frågor kring begreppet tid ...36

4.2 Undervisningsförsök... 42 4.3 Tidslinjernas matematik ... 53 4.3.1 Proportionalitet ... 53 4.3.2 Positionssystemet ...57 4.3.3 Stora tal... 59 4.3.4 Negativa tal... 60 4.3.5 Multiplikationshopp ...62 4.3.6 Avrundning... 64 4.4 Slutintervju ... 65

4.4.1 Frågor kring begreppet tid ... 65

4.4.2 Tidslinjer... 66 5 Analys ...71 5.1 Matematiksvårigheter ... 71 5.2 Klassrumsmiljöer... 73 6 Diskussion... 77 7 Slutord ... 81 8 Litteraturlista...82 Bilaga ... 85

1

Inledning

Redan i ett tidigt skede i vår utbildning upptäckte vi att elever ofta har problem med att förstå tidslinjer och ”lång tid”. Kommentarer som ”fanns det dinosaurier när du var li-ten” eller ”träffade du Jesus” har vi fått höra från elever under vår verksamhetsförlagda tid. Dessa och andra liknade kommentarer fick oss att inse att detta var något som många elever har svårt för att förstå. Tidslinjer hade vi sett ute i skolorna, men vi var osäkra på hur pass mycket stöd och konkretion de egentligen var. I många fall verkade det som tidslinjerna främst användes som dekoration och inte som ett verktyg. Vi börja-de därför funbörja-dera på hur man matematiskt kunbörja-de hjälpa börja-dessa elever att utveckla sin för-ståelse för ”lång tid”. I arbetet med tidslinjer ligger flera olika matematiska områden som genom att synliggöras och bearbetas kan underlätta elevernas förståelse av dessa.

Under vår utbildning har vi insett betydelsen av att arbeta både ämnesövergripande, och också kring begrepp som kan rymma många olika aspekter av lärande. I Lpo 94 definie-ras kunskapsbegreppet i fyra former; fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. För att öka förståelsen för tid och tidslinjer hos elever måste vi utgå ifrån deras förförståelse (Gröning 1993). Utifrån förförståelsen kan vi bygga vidare och belysa vårt område ur flera olika perspektiv och aspekter. Det är viktigt att ge eleverna en kunskapsbredd men också ett djup som är nödvändigt för verklig förståelse. Eleverna ska få ta del av många olika begrepp och områden, men vi vill också att de ska titta närmare på några noga ut-valda kunskapsområden och fördjupa sig i de kunskaper och perspektiv som dessa om-råden innehåller. Dessa djupare kunskaper kan sedan skapa nya strukturer till andra kunskapsfält.

I den verksamhet som vi har varit i under vår verksamhetsförlagda tid har arbetslag ofta uteslutit matematiken i tematiskt arbete. Pedagogerna har svårt att hitta matematik i skilda ämnesområden. Alla ämnesområden ska, enligt Lpo 94, ha ett historiskt perspek-tiv.

I all undervisning är det angeläget att anlägga vissa övergripande perspektiv. Ge-nom ett historiskt perspektiv kan eleverna utveckla en beredskap inför framtiden och utveckla sin förmåga till dynamiskt tänkande. (Lpo 94 sid. 7 f.)

Eftersom historia bygger på tidsaspekterna då-nu-sedan tror vi att matematiken skulle kunna underlätta och skapa förståelse för området tid. Tidsaspekten återkommer i andra kursmål i andra ämnen och gör därför förståelsen för begreppet angeläget. Genom äm-nesövergripande arbetssätt kan vi också visa hur världen ser ut. Då världen inte är upp-delad i ämnesområden med knivskarpa gränser emellan kan ett ämnesövergripande tema avbilda verkligheten så som den ser ut. Tid kan vara ett sådant arbetsfält. Eftersom tid dessutom är ett så abstrakt begrepp, kanske matematik är det enda medlet vi har för att kunna förstå detta abstrakta och av människan skapade begrepp. Algebran fungerar ge-nom att låta eleverna upptäcka enkelhet och struktur i komplexa sammanhang. Tydligast är kanske formler, diagram och tabeller som är ett exempel på hur matematiken går in och förklarar komplicerade samhällsstrukturer på ett för de flesta begripligt sätt.

Vi har i vårt arbete valt att titta på elevernas svårigheter med att förstå ”lång tid” och tidslinjer. Vår definition på ”lång tid” är sådan tid man inte använder klockan till att ut-läsa. Det innebär alltså dagar, veckor, månader, år, decennier, sekel, millennium och så vidare. Kort tid avses i detta arbete sådan tid som timmar, minuter och sekunder. Vår definition på ”tidslinje” är en rät linje med tidsindelningar i kronologisk ordning enligt den konvention som används av historiker. Inom matematiken används ofta begreppet tidsaxel men då vårt arbete utgår från ett ämnesövergripande perspektiv har vi valt att använda den historiska benämningen. I vårt arbete har vi också använt oss av begreppet ”stora tal”, med detta menar vi tal där antalet nollor kan ställa till bekymmer. Vi menar alltså inte tal som får ett annat värde beroende på siffrornas placering i talet, detta hand-lar istället om positionssystemet. 1500, 150 000 och 1500 000 är enligt vår definition exempel på stora tal.

1.1 Syfte

Syftet är att identifiera den matematik som kan hjälpa elever att utveckla förståelsen för ”lång tid” och tidslinjer. Tidslinjer är ett sätt att konkretisera tid och lyckas vi med att få eleverna att bättre förstå tidslinjer innebär det att eleverna kan drar nytta av detta red-skap. Genom tidslinjerna kan eleverna utveckla sin förståelse för tiden som förflutit i form av varaktighet och succession, och orsakssammanhang. Innan vi påbörjade under-sökningen försökte vi komma fram till vilka matematiska kunskaper som krävs för att förstå tidslinjer och vi kunde urskilja proportionalitet, stora tal och negativa tal. Vi vill

hitta fler nyckelfrågor och nyckelbegrepp som kan vara användbara i ett arbete med syf-te att fördjupa elevers förståelse för ”lång tid” och tidslinjer.

1.2 Problemformulering

• Vilka delar inom matematiken kan hjälpa eleverna att utveckla sin förståelse för ”lång tid” och tidslinjer?

• Hur ser det matematiska "kunskapspaketet" (Ma 1999) ut i arbetet kring ”lång tid” och tidslinjer? Mas kunskapspaket urskiljer kunskapsområden kopplade till ett ma-tematiskt begrepp som krävs för att begreppet ska kunna förstås i sin helhet och be-skrivs närmare under punkten 2.2.

• Finns det några skillnader i kunskaper om ”lång tid” och tidslinjer mellan de två grupperna i vår undersökning? Vilka är det, och varför?

1.3 Arbetets disposition

I kapitel 2, Teori tar vi upp den teoretiska bakgrund vi har utgått från inom de områden som berör tid och kunskap. Exemplifieringar ur kursplaner och annan litteratur ges. I kapitel 3, Metod, beskrivs genomförandet av undersökningen. Undersökningsgruppen presenteras och intervjufrågorna och syftet med dem redovisas. I kapitel 4, Resultat, finns en sammanställning av intervjusvaren och av väsentliga delar av undervisnings-försöken. I kapitel 5, Analys, analyseras resultatet både angående de matematiska delar-na och angående orsakerdelar-na till grupperdelar-nas skilldelar-nader. I kapitel 6, Diskussion, diskuteras problemställningarna i relation till resultaten och analysen. Arbetet avslutas med Kapitel 7, Slutord, där våra slutliga reflektioner över arbetet redovisas.

2 Teori

I det följande behandlas två teorier som har betydelse för studien, Piagets (1968) struk-turteori och Vygotskijs (2001) sociohistoriska teori. I föreliggande arbete används i det följande begreppet sociokulturell teori så som det definieras av till exempel Dysthe (2001) och Säljö (2000). Då våra resultat och analyser kommer att kopplas till konstruk-tivismens syn på lärandet avhandlas deras grunddrag nedan. Mas kunskapspaket är ock-så av betydelse då arbetet kommer att innehålla ett kunskapspaket om ”lång tid” och tidslinjer.

Vi har tagit avstamp i Hartsmars doktorsavhandling (2001). Utifrån hennes resultat och analyser har vi byggt upp våra egna tankar om hur matematiken skulle kunna tillföra det svåra ämnet ”tid” ytterligare en dimension. Resultatet från den Nationella

kvalitets-granskningen (1998) om A-, B- och C miljöer används då resultatet analyseras.

Styrdo-kument (2000) som på något sätt tar upp tid, tidslinjer och den matematik som är kopp-lad till detta avhandlas i slutet av teoridelen. Som avslutning på teoridelen ges en sam-manfattning samt tankar om hur vi har kopplat ihop de olika teoridelarna.

2.1 Barns kognitiva utveckling/kunskapsbegreppet

Piaget (1968) lägger stor vikt vid det han kallar assimilation och ackommodation. As-similation är den aktiva anpassningsprocess barnet går igenom när han/hon möter nya intryck eller påverkningar. Barnet försöker inlemma de nya intrycken i gamla tanke-mönster och redan fastlagda tankestrukturer. Om detta inte skulle visa sig möjligt måste barnet ändra sina tankestrukturer och mönster så att de nya erfarenheterna kan förenas i barnet. Detta är ackommodation. Denna adaption förklarar hur barnet lär och utvecklas.

Där Piaget låter lärandet och den kognitiva utvecklingen vara något individuellt och närmast självstyrande, betonar Vygotskij (2001) den sociala faktorn och låter det vara utgångspunkten i sina teorier. Vygotskij menar att all mänsklig kognition är sociokultu-rellt betingad och att detta samspel med omgivningen till och med styr vad du ska tänka. Detta måste innebära att intellektuell utveckling inte kan vara universell. Tvärtemot Pi-aget säger Vygotskij att en allmängiltig utvecklingsspiral inte kan gälla för alla, utan in-dividens ursprung och den sociala kontexten har betydelse (ur: Evenshaug och Hallen

2001 sid. 135 ff.). Kunskapsutveckling, hur barnet lär sig, sker enligt Vygotskij genom den närmaste utvecklingszonen. Varje människa har en zon runt sig som består av de möjligheter vi har att lära om ett specifikt ämne eller att erövra ny kompetens. Om indi-viden får rätt hjälp av någon i sin omgivning, kan han/hon erövra ny kunskap. Därmed har en ny närmaste utvecklingszon bildats (Williams m.fl. 2000).

Piaget menar att en kognitiv utvecklingsprocess verkar inifrån individen. Vygotskij (2001) däremot säger att processen är avgörande utifrån de sociala strukturer individen har runt omkring sig och att språk- och kunskapsutveckling går hand i hand. ”Männi-skan föds in i och utvecklas inom ramen för samspel med andra människor” (Säljö 2000, sid. 66). Säljö har tolkat Vygotskij och jämför hans teorier med Piagets. Så här ut-trycker han orden och begreppens betydelse för vår kognitiva utveckling, hur språket utgör länken mellan barnet och hans/hennes omgivning:

Detta innebär att barnet tänker med och genom de intellektuella redskap i form av språkliga uttryck som det stött på och tagit till sig i samspel med andra. Eller, an-norlunda uttryckt, människor lever på kunskaper och insikter som de lånat från andra. Kommunikation föregår tänkande och att lära sig ett språk är att lära sig att tänka inom ramen för en viss kultur och en viss samhällelig gemenskap.” (a.a., sid. 67)

Detta tolkar vi som att pedagoger, genom att utnyttja språkets alla bottnar och aspekter, kan utmana elevers tänkande och därmed verka för en gynnsam miljö för kognitiv ut-veckling. Undervisningen måste bestå av öppna frågor, eleverna måste tillåtas diskutera med varandra och språkutveckling måste genomsyra alla skolans ämnen. Pedagogen måste vara medveten om hur språket används och hur en språklig utveckling ser ut. All typ av litteratur och språkliga former måste få utrymme i undervisningen; facklitteratur, poesi, drama, bild, nyheter, associationer och så vidare. Begrepp knutna till ämnesom-rådet måste synliggöras för att kunna tydliggöras.

von Glasersfeld (den radikala konstruktivismens grundare) klargör i Matematik och

re-flektion (1998) om assimilationens och ackommodationens omedvetna struktur. En

kon-sekvens av detta tolkar von Glasersfeld som att kunskap aldrig kan vara en ”avbildning” av den verkliga världen. Kunskap ska först genom det filter av subjektiva bedömningar

som vi gör när vi tar till oss nya erfarenheter. Assimilation och ackommodation är ett exempel på att det vi möter måste genom vår egen erfarenhetsbank innan vi kan ta det till oss och inkorporera det till att bli en del av oss och vårt medvetande. Ernest (1998), som skriver om socialkonstruktivismen, menar att barnet/individen hela tiden eftersträ-var jämvikt mellan assimilation och ackommodation och att det måste till en störning för att rubba jämvikten. Ett barn behöver alltså på något sätt rubbas i sin ”kognitiva” jämvikt för att få den stimuli som krävs för att komma vidare i den kognitiva utveck-lingen.

Konstruktivismens grundpelare är att barnet på något sätt ska ”konstruera” sina kunska-per. Definitionen på kunskap är därför viktig, hur vi förhåller oss till begreppet och hur vägen till kunskapsutveckling kan eller ska se ut. Inom konstruktivismen betecknas kunskap som en samling begreppsliga strukturer som ska vara livsdugliga i den tanke- och språktradition vi befinner oss i (a.a.). Just ordet ”livsduglig” återkommer ofta i de-finitionen av kunskap i texter där konstruktivismen behandlas. Med ett konstruktivis-tiskt perspektiv på kunskapsutveckling är det genom konstruktioner som vi tillägnar oss kunskap, men också genom våra erfarenheter och tolkningar. Med ett sådant synsätt fin-ner vi inga rena sanningar eller enkla svar på frågan om hur vår värld är beskaffad. I ett klassrum där pedagogen anammat konstruktivismens idéer handlar det om att införliva ny kunskap i den personliga erfarenhetsvärlden och att tolka den så, att vi kan göra den användbar för oss. Undervisning byggd på elevernas förförståelse är alltså av största be-tydelse för en gynnsam kunskapsutveckling. Ernest har sammanfattat det han tror är konstruktivismens konsekvens i en pedagogisk miljö; det handlar om ”kunskapens språkliga grundval, om framhävande av diskussioner, samarbete, underhandlingar och gemensamma uppfattningar”, om att ingen ”kungsväg” finns till sanningen eftersom vi filtrerar våra intryck genom våra personliga erfarenheter (Ernest sid. 30 f.). Dessa kon-sekvenser kan tolkas som en fortsättning på Vygotskijs teorier eftersom konstruktivis-men har utvecklat Vygotskijs tankar om vikten av det sociala samspelet i lärandesitua-tioner (Dysthe 2001).

”Språk och kommunikation är grundläggande element i läroprocesserna”, skriver Dysthe (2001 sid. 31). Vidare skriver hon att det sociokulturella perspektivet på lärande sker genom samarbete, att interaktionen är helt avgörande för lärande. I ett sociokultu-rellt perspektiv är lärandet alltid kollektivt, med en tyngdpunkt på kontexten. Om en

kontext innebär autentiska aktiviteter i skolan (i motsats till konstruerade skolbokspro-blem), är en tolkningsfråga, både i vad autenticitet innebär eller vad som läggs i begrep-pet, men också i hur detta kan låta sig göras (Dysthe 2001). På enheten Natur, Miljö, Samhälle på Lärarutbildningen i Malmö pågår en forskning om dialogens betydelse för kunskapsutveckling. Studien är gjord på matematikers, naturvetares och geografers ar-beten under en termin (Malmberg & Svingby 2004). Resultatet av forskningen kommer att, precis som Dysthes resultat, visa dialogens betydelse för inlärning och kunskapande.

Gustavsson (2002) beskriver i artikeln Vad är kunskap, skillnaden mellan information och kunskap i kvalitativa termer. Information består av uppgifter som inte behöver nå-got sammanhang, medan kunskap är att förstå, tolka och sätta det in i rätt sammanhang, eller att hitta ett sammanhang där det kan sättas in. Säljö (2000) bekräftar detta när han beskriver kunskap som något situerat men han säger också att i skolans värld är kunskap inte alltid något som är överförbart till andra miljöer. Ett konstaterande som Säljö menar inte är eftertraktansvärt, eftersom överföringen, ”transferen” mellan dessa världar eller användningsområden inte är helt okomplicerade.

Carlgren och Marton (2001) beskriver hur kunskapssynen har förändrats i den svenska skolan. Den rådande kunskapssynen är i huvudsak fortfarande kunskap som en ”sub-stans”, något som eleverna ska ”ta in”. Carlgren och Marton pläderar för en annan typ av kunskap som också bättre ska fungera med livet efter skolan.

I stället för att se kunskap som en substans kan man uppfatta den som en relation mellan människan och världen. Det innebär att kunskap ses som uttryck för männi-skans (elevens) förhållande till världen snarare än som något som ska tas in eller lä-ras in. En persons kunnande kommer till uttryck som särskilda sätt att erfara värl-den. (a.a. sid. 195)

Carlgren och Marton liknar tillägnandet av kunskap som en vandring i ett landskap, ju längre man vandrar där desto fler nyanser och detaljer förmår man urskilja. Detta sätt att betrakta kunskapandet förutsätter ett ämnesövergripande arbetssätt. Världen utanför skolan är inte uppdelad i ämnesområden. Vi finner inte biologin i en del av landskapet, kemin i en annan, svenska i en tredje del och så vidare. Kontentan av Carlgrens och

Martons resonemang blir en omprövning av kunskapsbegreppet, en öppen diskussion kring vilken kunskap som behövs, för individen men också för samhället.

Vi behöver en kunskapsvision för skolan som gör det möjligt att ta itu med frågan vilka kunskaper människor behöver för att leva ett gott liv i det samhälle de själva ska var med och förändra – eller vilka slags människor samhället behöver för att bli ett gott samhälle. Den ska också visa varför det är viktigt med en skola, vad det är man kan lära sig just där och inte någon annanstans och varför. (Carlgren och Mar-ton 2001, sid. 207)

2.2 Kunskapspaketet

Ma (1999) har jämfört kinesiska och amerikanska pedagogers syn på matematik och matematikundervisning för att om möjligt ta reda på varför kinesiska elever lyckas bätt-re på matematiska tester jämfört med sina amerikanska kamrater. Resultaten av hennes undersökningar visar att de kinesiska lärarna bättre behärskar matematiska färdigheter, men också att de har bättre begreppsmässiga kunskaper. Som exempel lyckades inte de amerikanska lärarna ge ett exempel på vad division med bråk kunde ha för matematisk händelse som grund. De kinesiska lärarna kunde hitta flera olika händelser för samma matematiska problem. De visade också en större förståelse för matematiska färdigheter. Algoritmer kunde i alla delar förklaras av de kinesiska lärarna. De amerikanska lärarna klarade av hantverket men visste inte alltid varför de gjorde som de gjorde. De kinesiska lärarna lyckades därför sätta in matematiska problem i olika kontexter vilket berikade eleverna med fler valmöjligheter, både när det handlade om uträkningsstrategier och tolkningsalternativ.

Ma menar att varje lärare bör utveckla ”kunskapspaket” inom varje område som ska in-troduceras. I kunskapspaketet ska alla de delar eleverna behöver behärska för att kunna ta till sig det nya området finnas, men delar som behöver bearbetas under arbetets gång ska också finnas med. Detta ger läraren en överblick men också ett fokus, och är nöd-vändigt för att läraren ska kunna presentera olika lösningsförslag och/eller tolkningsal-ternativ. Men kunskapspaketet är också nödvändigt för att kunna utvärdera elevernas kunskapsinhämtande och utveckling. Varje lärare måste kunna hitta i vilka delar en elev brister när han/hon inte förstår. Kunskapspaketet är ett verktyg i detta arbete. Ma

näm-Figur 1. Liping Mas kunskapspaket gällande division av bråk (Ma 1999, sid. 77)

ner inte i sin bok vikten av att knyta an undervisningen till elevernas förförståelse, men genom att tolka figuren nedan är Mas kunskapspaket en kartläggning av elevernas för-kunskaper. Här nedan visar vi ett av Mas exempel på ett kunskapspaket, här gällande division av bråk.

I den rektangulära rutan överst finns huvudämnesområdet, det som kunskapspaketet handlar om. I den gråfärgade ovalen under rektangeln har Ma skrivit det kunskapsfält som direkt knyter an till, som i detta fall, division med bråk. Kunskap om multiplikation med bråk är en förutsättning för att klara av division med bråk. Vidare ska figuren tol-kas som att man kan följa vad som krävs för att förstå multiplikation med bråk. Varje ämnesområde kräver sina kunskaper och pedagogens ansvar blir att kartlägga hur dessa kunskaper är befästa hos eleverna.

2.3 Barn och tidsuppfattning

I begreppet tid finns aspekter som behöver särskiljas från varandra, forskare gör en skillnad mellan upplevd tid och den tid som vi kan mäta. Piaget (1968) delar upp tiden i 3 observerbara fält, vari tiden delvis kan förstås; samtidighet, succession och varaktig-het. Utifrån dessa tre tidsindelningar visar Piaget hur barn i cirka 12 års ålder förstår det abstrakta begreppet tid. När dessa tre tidsindelningar är synkroniserade och barnet för-står dem och deras inbördes förhållande till varandra, har barnet nått den mognad som gör att han/hon kan förstå abstraktionen tid. Dessa tre indelningar finns beskrivna även av Oakden och Sturt så tidigt som 1922.

I Piagets stadieindelning (1968) sker en utveckling från det senso-motoriska stadiet vi-dare mot det motoriska och konkret operationella stadiet till det abstrakta (formellt

ope-rationella stadiet) och dessa stadieindelningar sker i en given ordning. När barnet har nått det konkret-operationella stadiet kan barnet förstå viktiga storheter, såsom till ex-empel längd, massa och area men barnet är fortfarande beroende av konkreta situatio-ner. Konstantbegreppet har utvecklats under stadiet och innebär att barnet kan förstå oförändligheten. I den formellt-operationella perioden som brukar infalla vid cirka elva till tolv års ålder utvecklar barnet sin förmåga att föra logiska resonemang som inte all-tid ter sig konkreta. Abstrakta resonemang och abstrakt tänkande är möjligt från den här perioden. Härifrån fortsätter sedan utvecklingen in i vuxenvärlden. Piaget visar genom psykologiska experiment hur barn genom adaption ständigt utvecklar sin begreppsvärld. Med ett konstruktivistiskt perspektiv på kunskapsutveckling, innebär detta, att barn ge-nom att observera och manipulera sin omgivning och gege-nom att konstruera och proble-matisera begrepp kan skapa sig en djupare förståelse för tid (Säljö 2000). Piaget säger å andra sidan att den mognad som sker stegvis inte kan forceras. Piaget menar också att varje stadium följer på ett annat på förhand givet stadium. Därför måste en viss mognad infinna sig innan abstrakta begrepp kan eller bör tas upp i skolan. Eftersom tid i stor ut-sträckning är ett abstrakt begrepp måste barnet, för att förstå detta, utgå ifrån konkreta handlingar för att kunna bygga upp strukturer kring det logisk-matematiska begreppet tid. Detta kan, enligt Piaget, ske först vid 11-12 års ålder, då är de satslogiska struktu-rerna klara (1968). När barnet förstår de satslogiska struktustruktu-rerna är han eller hon moget att förstå enkel orsakssammanhang. Satslogiken är den vanligaste av våra logiker, den mest grundläggande. Piaget menar att det är först i det här stadiet barn kan förstå impli-kationer (följder, konsekvenser) och disjunktioner (antingen eller), två nödvändiga be-grepp för att kunna gå in i abstraktion. När barnet kan se konsekvenser och förstå att li-vet inte är antingen svart eller vitt, har ytterligare en dimension lagts på barnet. Den här mognaden infinner sig efter det att barnet har gått igenom det konkret operationella sta-diet Tänkandet har vid den här åldern blivit hypotetiskt deduktivt vilket innebär att bar-net kan befria sig från konkreta anknytningar och kräver heller inte direkt stöd i iaktta-gelser av verkligheten. Tidmätning är något som skapats av människan och begreppet tid ett abstrakt begrepp som rymmer stora bitar av erfarenhetsmässig förståelse (Piaget 1968). Detta tolkar vi som ett motsatsförhållande. Den erfarenhetsmässiga förståelsen står i kontrast till Piagets annars närmast biologiska stadieindelning. I erfarenheten lig-ger det som Vygotskij menade var socialt betingat, beroende av omgivningen. Om Pia-get menar att begreppet tid rymmer stora erfarenhetsmässiga komponenter så möjliggörs förståelsen av detta begrepp genom den stimulans vi utsätter våra elever för, precis det

som Vygotskij menade när han utvecklade sina teorier om den närmaste utvecklingszo-nen.

Den kritik som finns riktad mot Piagets utvecklingsteori tar upp avsaknaden av dialo-gens betydelse i barnets utveckling (Donaldson 1985). Den tar också upp det faktum att Piaget utförde sina studier i en klinisk miljö utan hänsyn till det sociala sammanhang barnet befinner sig i. Det material Piaget använde sig av hade ingen anknytning till ele-vernas verklighet. Donaldson (1985) har låtit göra om Piagets försök i ett sammanhang som var känt för barnet och uppvisar också andra resultat än vad Piaget kom fram till.

Oakden och Sturts (1922) undersökningar visar att barn är mogna att förstå djupare ab-straktion i 11-12 års ålder. Undersökningarna visar på stor skillnad i resultat mellan 10 åringar och 11 åringar. Barn fick ordna kända personer efter för hur länge sedan de lev-de, de fick också läsa en berättelse där felaktigheter av tidskaraktär låg i texten. Uppgif-ten var att påpeka dessa felaktigheter. Dessa och andra experiment visade att elvaåringar fick bättre resultat än sina ett år yngre kamrater. Detta överensstämmer med Piagets slutsats att det är vid cirka 11 års ålder som barn lyckas förstå abstraktioner såsom tid. Jahodas (1963) arbete om barn och deras begreppsbildning om tid visar hur de efterhand utvecklar sin förståelse för tid. Jahoda har, genom att sammanställa bland annat Oakden och Sturts undersökningar, visat hur utvecklingen ser ut. Kvintessensen i Jahodas sam-manställning är att begreppet utvecklas genom kommunikation i så motto att orden kopplade till begreppet är avgörande för den intellektuella förståelsen för abstraktionen ”tid”. Jahoda nämner som ett exempel barnet som berättar att hon besökte sin mormor igår. Innehållet i barnets berättelse ändras inte om barnet i själva verket var hos sin mormor förra veckan. Om barnet missförstått ordet igår och använder det i betydelsen

det som har varit går inte att tyda i barnets berättelse. Därför behöver orden belysas och

eventuellt problematiseras. Vidare visar Jahoda att vissa av de fält som Piaget lät indela förståelsen av tid i; samtidighet, succession och varaktighet, inte är koordinerade förrän i tonåren. Även Oakden och Sturt visar på betydelsen av att förstå de ord och symboler som är kopplade till tid.

Karlegärd (1991) betonar att tid är ett centralt begrepp inom historieämnet och att det behöver bearbetas och synas. Problematiken med begreppet tid är dess mångfacettering och för att få grepp om ”tiden” behöver många skolämnen samverka. Karlegärd ger i

Undervisa svensk historia exempel på vad fysik-, biologi- och geografiläraren kan göra

för att arbeta med tid. Karlegärd visar också, genom att tala om tid som avståndsupp-fattning och proportioner, vad matematikläraren kan göra.

Vygotskij (2001) betonar språkets betydelse för begreppsutvecklingen. Kopplat till ele-vens erfarenhetsvärld kan olika (vetenskapliga) begrepp angripas ur flera olika aspekter för att utveckla förståelse. Eftersom språket är intimt förknippat med kognitiv utveck-ling, måste tidsbegreppet bearbetas genom språket.

Medvetandet avspeglar sig i ordet, så som solen i en liten vattendroppe. Ordet för-håller sig till medvetandet som den lilla världen till den stora, som en levande cell till organismen och som atomen till kosmos. Så är det också medvetandets lilla värld. Det meningsfulla ordet är det mänskliga medvetandets mikrokosmos. (Vy-gotskij 2001, sid. 474)

Vygotskij har lyckats verbalisera ordets betydelse för individens (kognitiva) utveckling och självbild. Språket är en förutsättning för kognitiv utveckling (till skillnad från Pia-get som menar att kognitiv utveckling är en förutsättning för språkets utveckling). Vi kan inte skilja kognitiv utveckling från annan utveckling, eftersom den sociala samver-kan är själva utgångspunkten för lärande och utveckling.

2.4 Barn och tidslinjer

Hartsmar (2001) skriver i sin avhandling att elever i den svenska grundskolan sällan möter begreppet tid genom ett problematiserande. Hon menar att begreppet i allt för stor utsträckning tas för givet och att det inte lyfts ur sitt sammanhang. Vidare påpekar Hartsmar att när tid tas upp i matematiken handlar det främst om färdighetsträning. För-fattaren efterlyser mer av analyser och tolkningar kopplat till begreppet tid.

Hartsmar har genom sina undersökningar funnit att elever från årskurs 2 till årskurs 9 i stor utsträckning inte känner till grunddragen i vad vår tideräkning bygger på. En av frågorna i studien var; ”Varför tror du att vi säger 1996 och inte t ex 5323?” (a.a. sid. 174). Hon får i sina intervjuer och undersökningar ofta svaren ”Det vet jag inte, det har vi inte pratat om i skolan”. Hartsmar menar att vi inte ska luta oss tillbaka och invänta en högre mognad och att eleverna därmed per automatik ska utveckla sin förståelse.

Hon stöder sitt påstående på Vygotskijs teori om den närmaste utvecklingszonen. Vy-gotskij menade, i motsats till utvecklingpsykologerna, att man kan arbeta med abstrakta begrepp innan barnets formellt operationella period inträder. Vår intellektuella förmåga växer i en sociokulturell kontext. Hartsmar menar att vi, genom den miljö vi erbjuder, kan problematisera svåra begrepp såsom tid och låta eleverna tillsammans med andra utveckla sin förståelse. I skolan bör vi således medvetandegöra och kommunicera, vrida och vända på begrepp så att tidsbegreppet får en chans att växa till kunskap inom ele-verna.

Den konflikt vi kan se mellan Piagets teorier å ena sidan och Vygotskijs å andra sidan har belysts av åtskilliga forskare och efterföljare till dem båda (Dysthe 2001, Carlgren och Marton 2001, Säljö 2000). Piaget betonar vikten av adaption, en kunskapsutveck-ling som startar i individens inre, i en närmast biologisk bestämd ordning. Detta sker egentligen helt oberoende av den sociala miljö som individen har runt sig. Vygotskij menar att i den närmaste utvecklingszonen (zpd = the zone of proximal development) ligger barnets utvecklingsmöjligheter, och den närmaste utvecklingszonen och möjlig-heterna att nå dessa är starkt beroende av den hjälp som barnet kan få. Här tolkar vi det som att kunskapsutveckling är en ständig process och växelverkan mellan individer. Detta lämnar oss att ta ställning till var vi vill lägga vår fokus. De resultat som vi kom-mit fram till gynnar Vygotskijs teorier om ”zpd”. Det är dock möjligt att vi ändå måste ta viss hänsyn till det som Piagets undersökningar kom fram till, om hur barnet, i det närmaste biologiskt, utvecklas kunskapsmässigt.

Ett exempel i undersökningen är två flickor i årskurs 9 som båda har haft samma histo-rieundervisning, med tidslinjer som verktyg. En av flickorna har en mamma som på oli-ka sätt utmanar henne intellektuellt och de två diskuterar ofta historisoli-ka skeenden. Den-na flicka har också ett helt anDen-nat djup i sin förståelse av historiska orsaker och verk-ningar, av tidsbegreppet och vår tideräkning. Flickan förstår också hur en tidslinje kan användas. Den andra flickan, som inte har utmanats intellektuellt i samma utsträckning, skulle enligt Piagets teorier inte anses mogen att förstå abstraktionen tid. Denna flicka har svårt för att placera händelser och personer i kronologisk ordning, ”För henne förblir kronologi en fråga om memoreringskonst.” (a.a. sid. 217)

Karlegärd (1991) visar exempel på hur tidslinjen kan tas upp i historieundervisningen, han manar till att låta tidslinjen få en aktiv roll i undervisningen. Hur elever ser tid, hur visualiseringen ser ut är en viktig aspekt. Det är inte självklart för alla hur en tidslinje ser ut. Karlegärd ger exempel på bilder/symboler som tid kan ha hos elever; linjär, cir-kelformad, vågrörelser, bruten tidslinje och så vidare.

Hartsmars intervjuer (2001) visar att många elever använder, eller tror att tidslinjer en-bart används, som ett stöd för minnet. En slutsats hon drar är att arbete kring tidslinjer idag är fakta som memoreras; årtal, epoker, händelser och så vidare. Begrepp som tid, tidslinjer, kontinuitet, förändring och utveckling går skolan inte på djupet med. Harts-mar har lämnat frågan öppen om vad matematiken kan bidra med för att fördjupa förstå-elsen hos våra elever kring tidsuppfattning och förståförstå-elsen av tidslinjer.

I Hartsmars (a.a.) diskussion betonas vikten av att arbeta med den ”lilla” historien för att förstå den ”stora” historien. Den ”lilla” historien är elevens egen, personliga historia. Den ”stora” historien är den vi alla delar, och har gemensam. Genom att hela tiden koppla begreppet tid till individens egen erfarenhetssfär ökar chansen att eleven utveck-lar förståelse för historiska fenomen och historisk utveckling. Hartsmar menar att histo-riemedvetandet, och då också tidsmedvetandet, inte utvecklas automatiskt efter hand som eleverna blir äldre, vi måste utmana våra elever och därmed fördjupa deras tänkan-de kring tid och historisk utveckling.

2.5 Klassrumsmiljöer

Med tanke på att vår undersökning görs i två skilda elevgrupper på olika skolor anser vi att skillnader i klassrumsmiljöerna kan vara av största vikt och eventuellt ha stor bety-delse för resultatet av undersökningen. Vi har därför valt att här skildra de klassrums-miljöer som den Nationella kvalitetsgranskningen (1998) redogör för i sin rapport. Ut-bildningsinspektörerna beskriver tre olika typer av klassrumsmiljöer så som de utkristal-liserades i granskningen. Inspektörerna i den Nationella kvalitetsgranskningen valde att kalla klassrumsmiljöerna för A-, B- och C-miljöer. De olika miljöerna skiljs åt genom hur mycket man använder sig av läs- och skrivprocessen för att stärka lärandet i alla ämnen.

A-miljön kännetecknas av att man arbetar ämnesövergripande i olika teman. Mycket lit-teratur ingår som till exempel faktaböcker och elevernas egenproducerade texter. Bero-ende på elevernas mognad/ålder kombineras allt fler olika framställningsformer. Läran-det utgår från elevernas erfarenheter och alla ska uppleva undervisningen meningsfull och engagerande. Den sociala aspekten är viktig då mycket av lärandet sker genom sam-tal, lyssnade, skrivande eller läsande. Klimatet är öppet och det anses viktigt att det all-tid finns mottagare till det eleverna gör. A-miljön kallas också flerstämmig eftersom eleverna samarbetar, samtalar och läser i grupper. ”Eleverna läser, skriver och talar, dvs. språket fungerar som ett medel för att lära, förstå, förmedla något”. (a.a. sid. 115)

B-miljöerna kännetecknas främst av att man nästan alltid använder sig av färdiga läro-medel. Tematiskt arbete förekommer men då inom ett ämnesområde. Texterna man lä-ser är inte så engagerande och utmanar inte elevernas tänkande i någon högre grad. Även i B-miljön är eleverna engagerade och använder sig av språket i lärandet, skillna-den är att de oftast samtalar två och två. Detta kallas en tvåstämmig miljö. Mottagaren är antingen eleverna själv eller läraren. Övriga elever förväntas inte lyssna utan bara vara tysta. Elevernas läsande och skrivande görs i syfte att reproducera redan skrivna texter, detta kan till exempel gälla att skriva av från tavlan, skriva av fakta ur läroboken och så vidare. Eleverna får inte heller så många tillfällen att reflektera.

C-miljön är starkt läromedelsstyrd där varje ämne behandlas totalt avskilt från övriga ämnen. Mycket av undervisningen är isolerad färdighetsträning där formen betraktas som det viktiga och innehållet relativt betydelselöst. Miljön i klassrummet är vad man kallar enstämmigt. Det innebär att eleverna arbetar enskilt utan att samtala med var-andra. Undervisningen utgår inte från elevernas erfarenheter och den enda mottagaren till elevernas arbeten är läraren. I C-miljön lär sig eleverna fort att det är ett rätt svar som förväntas och inget annat. Många elever i C-miljöer blir allt mer rädda för att ut-trycka sig efterhand som de blir äldre.

2.6 Styrdokument

Eftersom tidsaspekten på olika sätt återkommer i de olika ämnena tas här upp de delar av kursmålen och läroplanen som berör tidsaspekten och/eller tidslinjer. I Lpo 94 har några övergripande perspektiv lagts in; miljö, internationellt (globalt) perspektiv, etik

och ett historiskt perspektiv. I det historiska perspektivet är begrepp som då-nu-sedan ryggraden i historiskt skeende. Tidsbegreppet är något genomgripande för den svenska skolan och i läroplanen. Språkets betydelse i elevernas kognitiva utveckling återkommer i skolans läroplan. Språket ses heller inte som enbart främjande för kognitionen, språket är också ett verktyg i den sociala och känslomässiga utvecklingen.

Det är nödvändigt att eleverna utvecklar sin förmåga att kritiskt granska fakta och förhållanden och att inse konsekvenserna av olika alternativ. Språk, lärande och identitetsutveckling är nära förknippade. Genom rika möjligheter att samtala, läsa och skriva skall varje elev få utveckla sina möjligheter att kommunicera och där-med få tilltro till sin språkliga förmåga. (Lpo 94, sid. 7)

2.6.1 Kursplan för matematik

Inom skolämnet matematik betonas vikten av att föra logiska resonemang, dra slutsatser och muntligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Vi hittar också ord som; gestal-ta, värdera, tolka och uppskatta. Målen både för årskurs fem och årskurs nio poängterar värdet av att använda sig av matematiska uttrycksformer när vi löser problem. Strävan ligger också i att eleverna utvecklar sin tal- och rumsuppfattning. I taluppfattningen ryms närmevärden, proportionalitet och viktiga storheter. Grundläggande taluppfattning är ett mål elever i årskurs 5 ska ha uppnått. I nionde året är målen utökade till att kunna jämföra, uppskatta och bestämma tidpunkter och tidsskillnader. Proportionalitet åter-kommer i målbeskrivningen för årskurs 9.

När matematikämnets karaktär beskrivs står det bland annat så här:

Problemlösning har alltid haft en central plats i matematikämnet. Många problem kan lösas i direkt anslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda matematikens uttrycksformer. Andra problem behöver lyftas ut från sitt samman-hang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska begrepp och metoder. (sid. 27)

2.6.2 Kursplan för svenska

Ämnet svenska har en nyckelroll i skolan, språkutveckling ska genomsyra hela under-visningen, oavsett vilket skolämne du undervisar i. I kursplanen för svenska står om kunskap som bildas genom språket tillsammans med andra. Tillsammans med andra skolämnen ska svenskan hjälpa till att utveckla elevers kommunikativa förmågor. Ele-vens kognitiva förmåga är beroende av utvecklingen i tal och skrift, tänkandet är språk och vice versa.

Med hjälp av språket är det möjligt att erövra nya begrepp och lära sig se samman-hang, tänka logiskt, granska kritiskt och värdera. (sid. 98)

2.6.3 Kursplan för biologi

I kursplanen för biologi har evolutionsteorin en självklar plats.

Skolan skall i sin undervisning i biologi sträva efter att eleven

- utvecklar kunskap om livets villkor och utveckling och kan se sig själv och andra livsformer i ett evolutionsperspektiv (sid. 51)

Detta innebär ett arbete med långa tidsperspektiv.

2.6.4 Kursmål för fysik

Inom fysiken ska eleverna ha insikt i hur planeter rör sig runt solen och hur detta är för-knippat med tideräkningen. Inom astronomin måste avstånden på ett eller annat sätt tas upp och eleverna möter då stora tal. Avstånden berör tid, om än inte direkt. I kursplanen kan vi läsa om livets uppkomst, om korta tider i atomernas värld, om fortbestånd och så vidare. Tid är ett begrepp som rör alla delar i fysikens mål. Fysiken är härvidlag kopp-lad till matematiken.

2.6.5 Kursmål för samhällsorienterande ämnen

Tid är ett begrepp som inom de samhällsorienterade ämnena hela tiden gör sig påmind. I syftet för ämnena finns formuleringar om att; utveckla kunskaper om vårt samhälle un-der skilda tiun-der, reflektera över samband mellan förfluten tid, nutid och framtiden i

samhället, makt- och konfliktperspektiv i förfluten tid, göra jämförelser över tid och så vidare. Inom samhällsorienterande ämnena finns historia som till sin natur är ett ämne som bygger på tidsaspekten. Huvudtanken med historia är att arbeta med de tre tids-aspekterna; dåtid – nutid - framtid. I kursplanen för historia uttalas särskilt att historia lyfter fram tiden som en dimension, en tidsdimension.

2.7 Sammanfattning av teorin

Vi har nu redogjort för olika riktningar inom utvecklingspsykologin, konstruktivismen och det sociokulturella/pedagogiska perspektivet med fokus riktad på tidsaspekten, kun-skapssynen och utveckling av abstraktion hos barn. Vi har velat visa deras skiftande syn på kunskap och utveckling av förståelse för tid/tidslinjer. Somliga teorier eller delar av teorier står emot varandra. Piaget med Oakden och Sturt menar att barnet måste nå en viss mognad innan man kan introducera främmande ämnesområden. Tid är en abstrak-tion som barnet inte intellektuellt är mottagligt för före en viss ålder/stadie. Stadierna som ett barn utvecklas genom sker i given ordning med ungefärliga åldrar utsatta av Pi-aget. Barnet når inte den mognad som krävs för att förstå abstraktion före cirka 12 års ålder (formellt operationella stadiet). Konsekvensen för det här resonemanget borde bli att skolan, för de yngre barnen, bör undvika ämnesområden där alltför stor grad av ab-straktion finns.

Å andra sidan verkar Vygotskij, Carlgren, Säljö och Marton och Hartsmar med flera för att genom att utmana eleverna bidra till att främja lärandet och utvecklingen. Vygotskij betonar vikten av den sociala miljö barnet har runt sig. Språket är en del av kunskapan-det och kan aldrig betraktas som en enskild företeelse. Tillägnankunskapan-det och utvecklankunskapan-det av kunskaper hos individen görs också bäst i en miljö som erbjuder flera olika representa-tivformer, laborativa arbetssätt och tillfälle att på olika sätt verbalisera begrepp knutet till ämnesområdet, givetvis i sammanhang som upplevs meningsfullt (Emanuelsson red. 1996). Men kunskapandet sker också med hjälp och bistånd av en pedagog och lärare, som förmår hitta utmanande uppgifter och som lyckas problematisera rätt saker på rätt nivå. Detta benämner Vygotskij den närmaste utvecklingszonen.

Vi vill ta fasta på den matematiska konstruktivism som kan förena det bästa ur struktur-teorin och sociokulturella struktur-teorins två världar. Piagets strukturteori kan förklara en del av

våra resultat, varför de yngre eleverna inte presterar lika bra. Vi ser emellertid inte detta som den enda förklaringen. Vi måste söka vidare, i elevernas sociala miljöer. Vår be-dömning är att prestationer eller avsaknad av prestationer inte går att förklara enbart med en strukturteori. Vygotskijs fokus på omgivningen är en aspekt som kräver stort ut-rymme. Den kan kanske förklara varför vissa elever utvecklas tidigare än Piagets stadie-indelning antyder, eller varför somliga elever inte utvecklas såsom vi tror och vill att de ska. Därför vill vi jämföra och problematisera Piagets teorier med Vygotskijs. Vi måste ta hänsyn till elevens mognad och var i utvecklingen han eller hon befinner sig. Vi mås-te också våga utmana elevernas tänkande, och lägga grunden för senare kunskapsfält, må vara abstrakta. Eleverna ska ges tillfälle att erövra närmsta utvecklingszonen och skapa nya. Här låter vi konstruktivismen komma in, genom att låta eleverna konstruera och erfara omvärlden kan vi, i den språkliga miljö skolan står för, utforska nya och spännande områden. Pedagogen står för kontexten, begreppen, problematiseringarna, noga uttänka mål och gränser, eleverna står för kunskapandet.

Vi kommer också att använda oss av Mas (1999) grundtanke att systematisera begrepp och kunskapsfält som ligger inom ett arbetsområde. Vi tror att det kan hjälpa lärare och pedagoger att planera och utvärdera sitt arbete på ett effektivare sätt. Men det kan också hjälpa dem att hitta nyckelfrågor eller nyckelbegrepp där eleverna brukar hitta svårighe-ter. Lärarna kan då lättare utarbeta alternativa laborationer eller varierade arbetssätt för att öka möjligheterna till förståelse hos eleverna.

Då kursmålen inom olika ämnen innehåller aspekten tid, om än i mycket skiftande form, ges här ett ypperligt tillfälle att belysa begreppet ur flera olika synvinklar. När vi låter eleverna möta begrepp eller (matematiska) problem sedda ur flera olika aspekter ökar vi elevernas möjligheter att konstruera kunskap. Den begreppsbildning som krävs för att utöka tidsförståelsen kräver varierade arbetsformer, undersökningar, laborationer och kontexter. Ämnenas olika kontexter till tid kan således fördjupa elevernas förståelse för abstraktionen tid, såvida begreppet synliggörs och aktivt arbetas med (Emanuelsson red. 1996).

För att fördjupa elevernas förståelse för ”lång tid” är det också viktigt att vi kan lyfta ut begrepp och problematisera dem. Inom biologin till exempel kan vi läsa om evolutions-teorin som innehåller de stora talens tid. Här kan matematiken bli nödvändig för att hitta

de verktyg som krävs för att förstå den enorma tidsrymden. Inom fysiken möter vi tid i vågrörelser, avstånd, atomernas värld och så vidare. Här kan proportionalitet få utrym-me för att skapa förståelse hos eleverna. I de samhällsorienterande ämnena är tidslinjer ett vedertaget arbetsredskap för att skapa konkretion. Tidslinjen är också viktig för att ha överblick över historiska skeden om orsaker och verkningar. För att skapa förståelse för hur tidslinjen är uppbyggd kan matematiken hjälpa till.

3 Metod

3.1 Urval

I vår studie är eleverna utvalda för att representera ett genomsnitt när det gäller kun-skapsnivå och prestationsnivå. Vi lät lärarna välja ut eleverna med den reservationen att vi ville undvika elever som hade svårt att uttrycka sig i grupp. En av oss bad uttryckli-gen om att läraren inte skulle välja ut en elev eftersom han har en negativ inverkan på andra elever. Detta för att han kommer med nedlåtande kommentarer eller hånskrattar när någon uttrycker något som inte överensstämmer med hans uppfattning. Samtliga 10 elever tillfrågades om de ville vara med. Undersökningen var alltså frivillig för elever-na. Vi valde två grupper elever från olika skolor till vår undersökning. Båda elevgrup-per kom från byskolor utanför tätort. Det var små skolor med till övervägande del svenskfödda barn. Gruppen som benämns som grupp A bestod av fem elever som gick i en 3-4, där en av eleverna gick i årskurs 3 och resterande fyra elever gick i årskurs 4. Grupp B bestod av fem elever i årskurs 5. Eleverna gick i en åldersblandad klass med fyror, femmor och sexor. Alla elever fick välja kodnamn som de benämns med i arbetet. Grupp A bestod av Stephanie som går i årskurs 3 och Majsan, Gustav Mats som alla gick i årskurs 4. Grupp B bestod av Jonathan, Harry, Anna, Cilla och William.

3.2 Datainsamlingsmetod

Vi valde att använda oss av elevintervjuer både före och efter undervisningsförsöken. Johansson och Svedner (2001) beskriver två typer av intervjuer man kan använda sig av i examensarbeten. Det är strukturerade intervjuer som baseras på förvalda frågor och kvalitativa intervjuer där man endast har ett förvalt ämnesområde. Våra intervjuer har varit i strukturerade former där eleverna fick svara på ett antal förvalda frågor men vi tillät oss att ställa följdfrågor vid behov. Med tanke på att vi hade två elevgrupper och för att kunna jämföra elevernas svar med varandra var det viktigt att ställa likadana frå-gor till eleverna. Genom förintervjuerna ville vi hitta en utgångspunkt för våra under-visningsförsök. Första delen syftade till att ta reda på vilka föreställningar och associa-tioner eleverna hade om tid och vilka begrepp som är kända sedan tidigare. Andra delen handlade i huvudsak om tidslinjer och vilken förförståelse eleverna hade kring den.

Frågor kring begreppet tid

1. Vad är tid?

2. Är tid olika för olika människor? 3. Hur kan man mäta tid?

4. Hur har du lärt dig om tid?

5. När var förr i tiden? Hur länge sedan var det? 6. Vilket år är det nu? Varför?

Frågor kring en tidslinje

7. Har du sett – vad föreställer den? (visar tidslinje) 8. Var börjar den här tidslinjen? Vilket år var det då? 9. Var slutar tidslinjen? Vilket år?

10. Kan du visa var du föddes?

11. Var finns mormor/farmors födelse?

12. Vad tror du nyttan är med en sådan här tidslinje? 13. Var finns året 2004 på denna tidslinje?

14. Om en person är 100 år, när föddes den personen då, visa på tidslinjen? 15. Om du haft så här mycket pengar (visar på årtalet 1600), är du rik då? Hur

mycket hade du haft då? Vad kan du handla för så mycket pengar? 16. Kan du peka ut år 1 på tidslinjen?

I våra undervisningsförsök ville vi hitta den matematik som antingen kan ställa till be-kymmer eller kan vara till hjälp i förståelsen för tidslinjer och dess användning. Ett ex-empel kan vara förmågan att avläsa en tidslinje trots att enbart vart femhundrade år står utsatt. Vi gick in i undervisningsförsöken angelägna om att hitta elevernas matematik-svårigheter eller förmågor, därför lät vi inte frågorna spegla något specifikt matematiskt område. Vi hade vissa aningar om vad som kunde vara bekymmersamt, eventuellt pro-portionalitet och kanske negativa tal.

Fråga 1 och 5 syftade till att ta reda på vilka associationer eleverna hade kring tid. I frå-ga 2, 4 och 12 ville vi få svar på vilka tankar eleverna hade om tid och delar kring detta. Fråga 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14 och 16 har vi använt oss av för att ta reda på vilka för-kunskaper eleverna hade om tid och tidslinjer. Förutom att vi ville att intervjuerna skul-le avslöja vilka matematiska brister eskul-leverna hade för att förstå tidslinjer vilskul-le vi också

se hur eleverna lärt sig avläsa en tidslinje, plocka ut information ur en tidslinje och räk-na ut perioders varaktighet eller tidpunkter mellan utsatta sådaräk-na. Fråga 15 syftade till att ta reda på elevernas uppfattning av talets storlek när det placerades i ett för eleverna välkänt sammanhang. Då uttalet för ett årtal (exempelvis 1600) är sextonhundra, ville vi ta reda på om eleverna kunde koppla ihop årtalet till samma matematiska tal som van-ligtvis under matematiklektioner uttalas ettusensexhundra. Vår fråga var att utröna om det bestod någon förvirring eller undran däri.

Efter undervisningsförsöken (se nedan) användes i stort sett samma frågor som i för-intervjun. Vi valde att göra detta för att kunna utvärdera resultatet efter undervisnings-försöken. Samma tidslinjer användes inte som i förintervjuerna. Eleverna fick tyda en tidslinje i en historiebok (Salomonsson & Svedelid 1981, sid. 4-5). Ofta är det där ele-verna ser tidslinjer i skolan och våra undervisningsförsök syftade bland annat till att eleverna skulle bli bättre på att avläsa tidslinjer. En tidslinje i en historiebok är därför en väl vald sådan, då det är en sådan de kommer att möta. Utöver denna hade vi tre olika tidslinjer med lite olika tidsindelningar och som sträckte sig över olika lång tid. Elever-na fick i vissa frågor välja vilken eller vilka tidslinjer de tyckte var lämpligast för att peka ut händelser i. Ett kriterium för att kunna kallas kunskap är förmågan att kunna an-vända det i ett för individen vettigt sammanhang, där nyttan är tydlig. Att då välja en tidslinje som sträcker sig från år noll till år 2000 för att peka ut året för sin födelse och andra viktiga händelser i ens liv, när det bredvid ligger en tidslinje över det senaste år-hundrade, är att inte utnyttja tidslinjernas kapacitet.

I första delen av slutintervjun användes samma frågor som i förintervjun, bortsett från att vi hoppade över fråga 4 eftersom svaret på den frågan rimligtvis inte skulle kunna ändras under våra undervisningsförsök. På andra delen av intervjun tillkom några frå-gor; om eleverna på tidslinjerna kunde peka ut vilken tid Gustav Vasa och Richard Le-jonhjärta levde. Detta för att eleverna hade arbetat med dessa personer i undervisnings-försöken. De fick även peka ut år 0 på de tre linjerna samt frågan om de kunde välja en tidslinje att peka ut stenåldern på. År 0 ville vi lägga vikt vid då ingen av eleverna i grupp A i förintervjuerna visste hur det kom sig att vi vid en viss tidpunkt började vår tids tideräkning. Eleverna fick peka ut samma årtal i alla tre tidslinjerna. Detta för att tydliggöra skillnaderna i tidslinjerna, trots att samma årtal återkom. En av tidslinjerna

var mer lämplig att peka ut stenåldern på. Vi ville se om eleverna valde den mest lämp-liga av dem.

3.3 Undervisningsförsök

När de enskilda förintervjuerna var klara påbörjade vi undervisningsförsöken. Här ut-gick vi från elevernas frågeställningar som framkommit under förintervjuerna, (till ex-empel varför vi har år 2004 nu) och föreställningar om begreppet tid. Vår metod var att arbeta fram olika tidslinjer och skapa diskussioner om dem. Med diskussionerna och det praktiska arbetet som grund har vi sedan försökt hitta de matematiska områden som vi tror kan skapa förståelse för det som de just då mötte hinder i. Genom frågeställningar problematiserades negativa tal, proportionalitet, skala och så vidare allt eftersom områ-dena har utkristalliserats. Negativa tal brukar vanligtvis inte förekomma i matematikun-dervisningen förrän eventuellt i årskurs fem eller årskurs sex. Vi var förberedda på att detta område kunde ställa till bekymmer när vi kom till årtalen före Jesus födelse.

Eleverna fick inledningsvis göra tidslinjer över det som ligger nära i tid, till exempel några timmar eller en dag. Försöken gick vidare genom att med att backa allt längre bak i tiden. Målet var att vi skulle komma ner till åren före Kristus födelse innan vi var fär-diga med studien. Idén till upplägget att utgå från här och nu för att sedan backa allt längre bak i tiden fick vi från Jahodas (1963) ifrågasättande av historieundervisningen. Jahodas sammanställning av forskning på ämnet tid och barns tidsmedvetande visar att eleverna har svårigheter att förstå ”lång tid” och tidslinjer, men han visar också hur ut-vecklingen inom ämnet ser ut. Jahoda är inte pedagog och lämnar åt dem att anpassa undervisningen efter forskningsrönen. Däremot har han, genom att synliggöra proble-met, en tanke om att begreppen och förståelsen kan se annorlunda ut om man istället för att traditionsenligt börja längst bak i tiden med de yngsta barnen, börja där de befinner sig och gå bakåt.

En gemensam grundmall (bilaga) användes men frågorna och vilka tidslinjer vi skulle arbeta med kunde få skilja sig åt om någon grupp arbetade snabbare, fastnade i någon frågeställning eller om behovet av annat laborativt material blev nödvändigt att använ-da.

• Gruppmöte 1

Vid gruppmöte 1 ville vi få eleverna att fundera på hur de kunde visa tid som förflutet genom en bild. Vi ville också låta eleverna bekanta sig med tidslinjer genom att göra tidslinjer över till exempel en förmiddag eller ett dygn.

• Gruppmöte 2

Under andra gruppmötet ville vi uppmärksamma eleverna att tidslinjer kan se olika ut, få dem att fundera på hur indelningar kan se ut. Detta kunde de föra genom att få göra tidslinjer över deras liv.

• Gruppmöte 3

Tredje gruppmötet innefattade att göra tidslinjer över föräldrarnas liv för att visa tidslin-jernas användningsområde och kunna jämföra med tidigare tidslinjer.

• Gruppmöte 4

Vid det fjärde gruppmötet ville vi introducera en känd person i historien. Eleverna skul-le då få tillverka tidslinjer som stäckte sig från till exempel Gustav Vasas tid till nutid.

• Gruppmöte 5

Vid det femte grupptillfället ville vi introducera fler kända historiska personer allt läng-re bak i tiden. Vi ville också komma så långt bak i tiden som innan Jesus födelse.

Vid behov skulle vi också ha fler gruppmöten beroende på hur snabbt/långsamt grup-perna hade gått fram.

I grupp A har eleverna mestadels gjort enskilda tidslinjer, där försöksledaren har funnits med som stöd, svarat på frågor och problematiserat avsnitt som eleverna mött. Vid ett fåtal tillfällen gjorde grupp A gemensamma tidslinjer. Då fungerade försöksledaren, precis som tidigare, som stöd i de diskussioner som dök upp, men också genom att låta eleverna möta problemställningar som drev arbetet framåt. I grupp B har eleverna mes-tadels arbetat i grupp med en gemensam tidslinje, försöksledaren i den gruppen har ock-så här funnits med som diskussionsledare, där problem som dykt upp tydliggjorts.

Ele-verna i grupp B gjorde en av gångerna enskilda tidslinjer. Försöksledaren roll ändrades inte nämnvärt, även här fungerade den som stöd i funderingar och diskussioner.

3.4 Procedur

Under både intervjuer och undervisningsförsök har vi suttit i ett litet grupprum och spe-lat in samtalen med bandspelare. Eleverna har använt penna, papper, linjaler, tejp och färgpennor och annat som de har varit i behov av för att kunna tillverka en tidslinje. Vi har suttit med eleverna enskilt i hopp om att få sitta ostörda. De enskilda intervjuernas längd har varierat från 15 minuter till 45 minuter. Undervisningsförsöken varade mellan 20 minuter och 60 minuter.

3.5 Databearbetningsmetod

Efter intervjuernas slut har vi lyssnat igenom kassettbanden några gånger för att därefter skriva ner allt med hjälp av datorn. Vid utskrift har vi valt att inte ta med kommentarer som inte är relevanta för undersökningen. Det kan till exempel röra sig om kommentarer som ”- Var är mitt suddi?” eller ”- Titta, där ute är mitt fadderbarn.”

Efter utskriften har vi jämfört de olika gruppernas resultat för att se vad som var gemen-samt för grupperna och vad skillnaderna bestod i. Efter vi hade studerat resultatet flera gånger bestämde vi oss för att använda grupp B som referensgrupp. Detta val gjordes på grund av att vi ansåg att grupp B redan hade tillräckligt stor förståelse för tid och tids-linjer och därmed inte behövde fördjupa sig i matematiken för att kunna lösa uppgifter-na. Genom att använda dem som referensgrupp kunde vi analysera vilka orsaker det fanns till att dessa elever hade kommit mycket längre i sin utveckling av tidsbegreppet.

Resultatet är upplagt på följande sätt: Vi redovisar först förintervjuerna. Svaren är sorte-rade efter frågorna där gruppernas svar redovisas efter varje fråga. Våra (författarnas) kommentarer i dialogerna är markerade med ett F som står för försöksledare. Det gäller oavsett vem av oss som har sagt kommentaren. På vissa ställen i dialogerna är det ett antal streck på en rad (---), detta innebär att en längre sekvens ur dialogen är bortta-gen. På ett liknande sätt har vi använt oss av tre punkter (…) där delar av meningar eller

enstaka meningar i anslutning till dialogerna tagits bort. Sekvenserna/delarna har inte haft någon betydelse för vår undersökning.

Undervisningsförsöken har vi valt att redovisa genom att först kort redogöra för händel-serna i kronologisk ordning. Vi har därefter valt att plocka ut de matematiska områden vi har hittat och redovisar dessa delar var för sig. Eftersom grupp B användes som refe-rensgrupp redovisas slutintervjun enbart för grupp A. Majsan, i grupp A, har heller inte slutintervjuats, hon har varit sjuk och tid har inte getts.

3.6 Analysmetod

För att kunna strukturera resultaten som hade med våra två första problemformuleringar (se punkt 1.2) att göra, startade vi med att ringa in alla de matematiska svårigheter som eleverna stött på som vi kunde upptäcka i våra utskrifter. Vi försökte hitta jämförande matematiska svårigheter hos den andra gruppen. Om vi inte hittade några svårigheter hos den andra gruppen så försökte vi hitta avsnitt där de visade att de behärskade det ak-tuella matematiska problemområdet. När vi hade identifierat alla matematiska svårighe-ter försökte vi kategorisera dem. Därefsvårighe-ter letade vi efsvårighe-ter alla begrepp som på något sätt knyter an till området och ringade in dem i utskrifterna. Dessa kategoriserades inom de matematiska kategorierna. De begrepp som inte tydligt tillhörde ett specifikt matema-tiskt område fick en egen kategori. Därefter studerades hur referensgruppen löst mate-matiska problem som den andra gruppen inte kunde lösa. Strategier och begrepp som användes, och frågor de ställde, urskiljdes och jämfördes mellan grupperna.

På samma sätt som när vi kategoriserade matematiksvårigheterna, kategoriserade vi den matematik som eleverna i referensgrupp B klarade av. Hela uttryck och fraser fick vara med i vår kategorisering. Med gula post-it-lappar strukturerade vi upp all data som var av intresse. Data lades in med kolumner för matematiska svårigheter, och rader för ele-vernas namn. På så sätt fick vi en god översikt över vad varje elev brast i förståelse inom ett begrepp eller ett område. Vi lät också begreppen och orden ingå i samma rutsy-stem. Vi fick lättare för att härleda begreppen till matematiska området då.

För att försöka hitta anledningen till de skiftande resultaten skrev vi ner alla de skillna-der som vi kunde komma på i de två unskillna-dervisningsmiljöerna. Även här kategoriserades

miljöerna enligt följande; kunskapssyn, läromedelsstyrt, diskussionsklimat, uttryck för individuella tankar och variation.

3.7 Tillförlitlighet

Eftersom undervisningsförsöken har sett helt olika ut, på grund av de olika förutsätt-ningarna vi har haft, kan våra frågor inte kopieras in i en jämförande studie. Resultatet är beroende av en pedagogs lyhördhet och förmåga att knyta innehållet till elevernas förförståelse. Vi valde också att genomföra intervjuer och undervisningsförsök med var sin grupp vilket medförde att vi i viss mån kan ha satt vår personliga prägel på under-sökningen och detta kan vara en bidragande orsak till gruppernas olikheter. Grupp A gjorde övervägande enskilda tidslinjer, i grupp B arbetade gruppen oftast med gemen-samma tidslinjer. Därför har också samtalen skiljt sig åt en del, gruppdiskussioner kring ett gemensamt problem skiljer sig åt från diskussioner kring ett problem av mer indivi-duell karaktär. Dessutom har ljudkvaliteten på bandupptagningen varit av skiftande kva-litet vilket gjort att bråkdelar av intervjuerna och undervisningsförsöken varit ohörbara.

Det har även varit en del störningsmoment i samband med intervjuer och undervisnings-försöken i grupp A. Detta kan ha lett till att eleverna stundtals fick lite svårt att koncent-rera sig på det de skulle göra. I de inspelade ljudupptagningarna framgår inte heller ele-vernas mimik och kroppsspråk. Detta gör att vissa sekvenser kan vara svåra att tyda. Med en tveksam blick kan ett svar ändras från ett kallt konstaterande till en undran.

Grupp B fick i förhand veta att intervjuerna och undervisningsförsöken inte skulle hand-la om kort tid och klockan. I grupp A fick eleverna ingen förhandsinformation. Detta berodde på ett misstag från vår sida då vi på förhand inte hade kommit överens om vad vi skulle informera eleverna om. Eleverna i grupp A hade dessutom vid detta tillfälle in-tensivtränat klockan sedan några veckor tillbaka med försöksledaren för undervisnings-försöken. Eleverna kan ha varit inställda på ett fortsatt arbete om klockan.

3.8 Metoddiskussion

Genom att använda oss av elevintervjuer ville vi ta reda på elevernas förkunskaper och jämföra grupperna med varandra. Enligt Johansson och Svedner (2001) finns det en fara

att intervjuaren omedvetet påverkar svaren genom att uttrycka sina förväntningar och/eller sina värderingar. Trots denna fara anser vi att intervjuer är den bäst lämpade metod att använda i detta fall.

Styrkan med att använda undervisningsförsök för att synliggöra matematiken i tidslinjer är att vi utgick från de problem våra grupper hamnade i. Vi upptäckte de svårigheter eleverna hamnade i under arbetets gång. Våra resultat kan inte generaliseras, en annan grupp kanske inte hade hamnat i dessa matematiska svårigheter utan kanske i andra.

En annan svaghet med vår metod är urvalet av eleverna. Vi valde bort elever som inte kunde uttrycka sig i grupp. Vår tanke med det var att vi hade riskerat att inte få något resultat att arbeta med om vi fått tilldelat en grupp elever som satt tysta. Bortfallet av data i en sådan liten grupp hade då haft negativa konsekvenser av våra resultat. I en större studie kan man med fördel använda sig av slumpmässigt val av elever.

Ytterligare en svaghet är att vi har haft lite olika yttre förutsättningar i grupperna. För att kunna jämföra två grupper helt korrekt bör de yttre förutsättningarna vara likartade men har i detta fall skilt sig åt en del. Vi har suttit med eleverna enskilt i hopp om att få sitta ostörda. I grupp B gick det bra, intervjuerna och undervisningsförsöken pågick utan störningsmoment. Grupp A däremot, satt i ett genomgångsrum där det då och då kom in andra elever och lärare och detta kan ha påverkat resultatet.

4 Resultat

4.1 Förintervju

4.1.1 Frågor kring begreppet tid

1. Vad är tid?

2. Är tid olika för olika människor? 3. Hur kan man mäta tid?

4. Hur har du lärt dig om tid?

5. När var förr i tiden? Hur länge sedan var det? 6. Vilket år är det nu? Varför?

Fråga 1. Vad är tid?

Grupp A:

På frågan om vad tid är svarade samtliga i grupp A att tid var klockan. Inga andra alter-nativ framkom bland dem.

Grupp B:

I grupp B framkom svar såsom; stenåldern, utveckling, att passa tiden och klockan.

Fråga 2. Är tid olika för olika människor?

Grupp A:

Eleverna i grupp A svarade främst att klockan kan visa olika tid, Sara förklarade att klockan nio på morgonen skiljer sig från nio på kvällen. Mats kommentar var: ”Ja, för vissa är tid arbete och för andra är det att de har ledigt viss tid och för vissa är tid peng-ar”.

Grupp B:

Grupp B:s svar var mest inriktade på skillnaden på klocktid på jordklotet. Anna i grupp B sa: ”De bor längre ifrån och längre bort, det finns ju bara en sol som ska lysa, och den lyser inte på oss samtidigt.” Jonathan i grupp B talade om skillnaden i hur vi upplever tid, för någon som är morgontrött är sju på morgonen mycket tidigt, för den morgonpig-ge upplevs 07.00 inte som tidigt.

Fråga 3. Hur kan man mäta tid?

Grupp A:

I grupp A var klockan det främsta alternativ som nämndes. Stephanie talade om att man på matematiklektionerna kan räkna tid. Mats nämnde även att man kunde använda solen att mäta tid med. Gustav och Majsan visste inte.

Grupp B:

Grupp B visade på fler alternativ såsom solur och tidtagarur, det framgick också i sva-ren att solens roll i tidmätning handlar om hur jorden rör sig i förhållande till solen.

Fråga 4. Hur har du lärt dig om tid?

Grupp A:

Stephanie, Mats och Gustav sa att de hade lärt sig om tid när det handlade om klockan i matteboken och genom stenciler om klockan. Sara och Majsan kunde inte svara på hur de hade lärt sig om tid.

Grupp B:

På frågan om var de har lärt sig det de kan om tid talade de om att de också lärde sig klockan under sin lågstadietid. Grupp B har haft teman med Big Bang eller stenåldern i trean.

F: Vad hade man för tema då?

William: Stenåldern, bronsåldern och sånt gammeldags

Fråga 5. När var förr i tiden? Hur länge sedan var det?

Grupp A:

På frågan vad som är ”Förr i tiden” svarar Sara, Stephanie och Majsan att det var för 7000 – 8000 år sedan. Mats svarade att det är för miljoner år sedan, eller i alla fall för länge sedan. Gustav visste inte.

Grupp B:

I grupp B framkom många olika förslag; – 2001,

– För varje sekund som går så är det förr i tiden, – Länge sen,

– Big bang, – 1900-talet, – på 60-talet,