NATURVETENSKAP– MATEMATIK–SAMHÄLLE
Självständigt arbete i matematik och lärande
15 högskolepoäng, grundnivåUtveckla relationell förståelse i
matematikundervisningen
Develop relational understanding in mathematics teaching
Misha Izadi-shad
Linnéa Lindqvist Fant
Självständigt arbete på grundnivå, 15 högskolepoäng 2021-01-13
Förord
Målet med kunskapsöversikten är att skriva om ett ämne som är relevant för vår framtida profession, matematiklärare. Arbetet inriktar sig på instrumentell och relationell förståelse inom matematik. Kunskapsöversikten är skriven i par och bägge parter har samarbetat genom hela arbetsprocessen. Vi sökte efter studier var för sig och läste studierna vi hittade var för sig . Därefter kunde vi skriva anteckningar om vad artiklarna gav för information. Efter det diskuterade vi och skrev olika delar som sedan vävdes samman . I slutskedet läste vi även studierna vår partner hittade.
Tack till vår handledare!
Abstract
Kunskapsöversikten är en litteraturstudie och berör frågor gällande instrumentell och relationell förståelse i matematikundervisningen. Studiens syften är att undersöka karaktäristiska drag för undervisning som resulterar i relationell förståelse samt hur elevperspektivet ser ut i förhållande till det relationella lärandet. Det är framförallt den relationella förståelsen som skildras men den sätts även i kontrast med den instrumentella förståelsen i matematikundervisningen. Resultatet visar att undervisning som resulterar i relationell förståelse består av sociala interaktioner, diskussioner, presentation av lösningar, olika representationsformer, kreativa uppgifter med tillåtelse till utforskande genom att experimentera, digitala verktyg, varierande undervisning samt hänsyn till elevens egna reflektioner om matematiken. I matematikundervisningen visar det sig att relationellt lärande är mer optimalt än att kombinera detta med instrumentell lärande i undervisningssekvenser. Det visar sig att elever har positiv inställning inför relationell undervisning, även om undervisningsnormen är instrumentell förståelse. Elever menar att de får bättre självförtroende av experimentering med egna lösningar istället för att härma lärarens lösningar.
Nyckelord: elever, instrumentell förståelse, matematik, relationell förståelse, undervisning.
Inledning 1
Bakgrund 2
Instrumentell förståelse 2
Relationell förståelse 2
Instrumentell förståelse i kontrast till relationell förståelse 3
Klassrumskultur i matematikundervisning 3
Syfte och frågeställningar 5
Metod 6
Grundläggande information 6
Sökord 6
Sökprocess 6
Hur artiklarna valdes 7
Databaser 8
ERC 8
ERIC via EBSCO 8
LIBSEARCH via EBSCO 8
Brister i undersökningen 8
Resultat 11
Vad karaktäriserar matematikundervisning som leder till relationell förståelse? 11
Ge elever tillfälle till självreflektion 11
Använda förkunskaper och representationsformer 11
Arbeta med experiment för utveckling av relationell förståelse 13
Sociala interaktioner för relationell förståelse 14
Digitala verktyg som ett lärande-instrument för relationell förståelse 15
Sammanfattning 16
Hur upplever elever instrumentell och relationell matematikundervisning? 17 Elevperspektiv inom instrumentell och relationell undervisning 17
Elevers förhållande till digitala verktyg 18
Tolkning av elevers förståelse vid beräkning 19
Sammanfattning 20
Diskussion och slutsatser 21
Diskussion 21
Koppling till lärarprofession 23
Slutsatser 24
Vidare studier 24
Referenser 26
Inledning
Innebörden av orden instrumentell och relationell förståelse är intressanta inom ämneslärarutbildningen med inriktning gymnasieskola. Instrumentell förståelse innebär ytliga matematikkunskaper medan relationell förståelse innebär djup matematikförståelse (Skemp, 2006). Begreppen introduceras under första året av lärarutbildningen på Malmö Universitet där en studie av Skemp (2006) lade grunden till ett intressant seminarium om matematisk förståelse. Innan påbörjad utbildning hade vi inte reflekterat över dessa två typer av förståelse och dess innebörd för lärande, utan såg förståelse mer svart och vitt. Efter att ha bekantat sig med begreppen kunde deras innebörd upplevas under vår verksamhetsförlagda utbildning, VFU. Flertalet elever förstod inte det som gjordes under lektionen medan andra hade bättre förståelse för matematiken. Elevers muntliga redovisningar om sina tankegångar i problemlösning avslöjade deras instrumentella förståelse.
Det är lärarens uppdrag att uppmuntra och engagera eleverna i matematikundervisningen (Skolverket, 2011). Enligt Skolverket (2011) ska skolan främja ett livslångt lärande med engagemang för att utveckla elever. Förutom ett livslångt lärande ska eleverna förstå matematiken och kunna tillämpa sina kunskaper i problemlösningar (Skolverket, 2011). Skolverket (2011) skriver att: “Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel” (Skolverket, 2011, s. 90). Lärarens val av undervisningsmetod påverkar elevens lärande. Inom matematikundervisningen har läraren en viktig roll när det kommer till att strategiskt välja val av undervisningsmetod (Löwing, 2004). Löwing (2004) påpekar vikten av förhållandet mellan undervisningsmetod och elevernas tidigare erfarenheter, förkunskaper samt elevens inställning. Eleverna ska förstå matematiken, dock är fallet inte alltid så. Vissa elever stannar vid instrumentellt lärande och förstår inte varför procedurer genomförs. Det är därför av vikt att vidare fördjupa samtalet och upplysa kring detta.
Bakgrund
Begreppen instrumentell och relationell förståelse introduceras samt deras konsekvenser i undervisningen. Rådande klassrumskultur beskrivs för bättre förståelse av frågeställningen.
Instrumentell förståelse
För att förstå relationell förståelse av matematik är det också viktigt att vara medveten om instrumentell förståelse. Instrumentell förståelse är ytlig, inom matematik innebär det att kunna genomföra en beräkning utan bakomliggande förståelse för beräkningen (Skemp, 2006). Skemp (2006) förklarar att processen för instrumentell förståelse är mer tidseffektiv med dess korta beräkningar och formler att följa, lättare att förstå men också att det ger direkta svar. Elever som har en instrumentell förståelse har därför en procedurell förståelse och memorerar matematiken. Eleven kan använda sig av matematiska formler men förstår inte innebörden av formeln. Skemp (2006) förklarar att elever kan följa formeln för area utan att förstå operationerna som formeln innehar. Det resulterar i eventuella missförstånd vid areaberäkning i en annan matematisk kontext, exempelvis vid byte av enheter. Det förklaras också att i vissa fall är elevens enda mål att följa formler för att gå vidare till nästa uppgift. I dessa sammanhang är det svår för läraren att motivera eleven till relationell förståelse (Skemp, 2006).
Relationell förståelse
Med relationell förståelse kan en formel användas med bakomliggande förståelse (Skemp, 2006). Det finns djup förståelse för samband och konceptet om matematiken vilket gör att eleven blir mer anpassningsbar för nya uppgifter. Eleven förstår hur och framförallt varför operationer i en formel genomförs. Till skillnad från exemplet ovan om instrumentell förståelse innebär detta att, elever med relationell förståelse kan formeln för area användas övergripande (Skemp, 2006). Eleven förstår när en enhetsomvandling krävs. Med relationell förståelse för arean av en rektangel, används logik för att förstå varför arean divideras med två för att få en triangels area. Således krävs ingen memorering av formler, med logiska resonemang går det att förklara varför formler används (Skemp, 2006). Med
relationell förståelse utvecklas kunskapen långsiktigt, vilket underlättar tillämpning av kunskap på andra matematikuppgifter (Skemp, 2006). Med andra ord har eleven en förståelse för sammanhang inom matematiken. Däremot förklarar författaren att relationell tänkande individer tillämpar instrumentella metoder i sina beräkningar för att det går snabbare (Skemp, 2006).
Instrumentell förståelse i kontrast till relationell förståelse
Skemp (2006) förklarar att lärare upplever att det är lättare om eleven får memorera matematiken än att förstå den. Författaren menar att lärare inte har tid att undervisa matematik mot relationell förståelse. I vissa fall är däremot instrumentella metoder faktiskt mer fördelaktigt, exempel vid beräkning av negativa tal (Skemp, 2006). Det kan emellertid uppstå problem mellan lärare och elev i undervisningen. Problemet grundar sig i elevens förväntningar på matematikundervisningen som ibland inte överensstämmer med lärarens. Skemp (2006) tar upp ett exempel med en liten pojke, med högt iq, som inte förstod sig på matematik och blev frustrerad. Problemet var att läraren undervisade matematik instrumentellt medan pojken ville förstå relationellt. Detta resulterade i att pojken blev frustrerad över att inte förstå, han ville inte bara acceptera proceduren (Skemp, 2006). Det förklaras vidare också hur viktigt men utmanande det är för läraren att förstå elevens tankeverksamhet. Skemp (2006) menar emellertid att tolka en elevlösning inte är tillräckligt för att avgöra huruvida eleven förstår relationellt respektive instrumentellt. Däremot förklarar författaren att det är bättre att avlyssna klassdiskussioner, men att läraren inte har möjlighet att lyssna på alla elever samtidigt.
Klassrumskultur i matematikundervisning
En klassrumskultur har växt fram i skolan under matematikundervisningen. Denna klassrumskultur innebär att elever sitter tysta i skolbänken och lyssnar på lärarens order. Eleverna tar in lärarens formler, memorerar dem och engageras inte i lärandet (Makar & Fielding-Wells, 2018; Skolinspektionen, 2016; Smith, Hillen & Catania, 2007). Det är alltså en traditionell instrumentell undervisning som är normen i den svenska skolan (Skolinspektionen, 2016). En sådan klassrumskultur pratar även Ricks (2009) om och
förklarar den som icke stimulerande då matematikundervisningen inte ger stimulans i elevens tänkande och begränsar lärandet. Detta resulterar i minskad motivation kring ämnet matematik. Ett mer självupptäckande och experimenterande arbetssätt skapar en större motivation för eleven (Ricks, 2009).
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna kunskapsöversikt är att få en bild av hur lärare kan bedriva undervisning som leder till relationell förståelse av matematik samt hur elever förstår och förhåller sig till sådan matematikundervisning. Hur elever förstår matematik kan påverka hur läraren tillämpar matematikundervisning för att optimalt utveckla elevens förståelse. Följande frågor är frågeställningar:
❖ Vad karaktäriserar matematikundervisning som leder till relationell förståelse? ❖ Hur upplever elever instrumentell och relationell matematikundervisning?
Metod
Grundläggande information
En stor del forskning publiceras på engelska. Sökningar gjordes på svenska, men utan sökresultat. Vi ville generellt undersöka undervisning i matematikämnet och har därför ingen specifik gränsdragning gällande årskurs och artiklarnas ålder. Ett viktigt kriterium var att artiklarna skulle vara “peer reviewed”. Dessa artiklar har granskats av forskare och är därför vetenskapliga (Thurén, 2019).
Sökord
Viktiga sökord var följande: instrumental och/eller relational. Instrumental understanding mathematics kan översättas som instrumentell förståelse av matematik. Relational understanding mathematics går att översättas som relationell förståelse av matematiken. Andra sökord var
relational understanding AND instrumental understanding AND math som inkluderar både den relationella och instrumentella förståelsen med matematik. Ordet understanding ersattes också med thinking. Eftersom sökorden gav få träffar bedömdes att vidare begränsning ej behövdes. Svenska sökord som användes var relationell förståelse matematik och instrumentell förståelse matematik.
Sökprocess
Vi gjorde först en preliminär sökning med sökorden. Vid sökningen fick vi fram artiklar som framförallt var fokuserade på yngre elever än vår åldersinriktning, gymnasienivå. Det fanns få artiklar med inriktning mot universitetsnivå. Det fanns också få relevanta artiklar med inriktning mot gymnasienivå. Artiklarna saknade begränsning i tid, eftersom forskning inom olika tidsperspektiv ger bredare perspektiv på området (Backman, 2008). De artiklar som sökbaser erbjöd ansågs ändå tillräckliga för genomförande av den här kunskapsöversikten. Databaserna som använts vid sökning var Education Research Complete (ERC), Education Resources Information Center (ERIC) via EBSCO, LibSearch samt Swepub. Databaserna innehåller internationell forskning inom ämnesdidaktik, pedagogik och utbildningsvetenskap (Friberg, 2017). Sökning i databaser möjliggör
booleska termer. Sökningarna i databaserna möjliggjorde användandet av booleska termerna AND OR och NOT, i sökningen (Friberg, 2017). Sökorden som testades i alla databaser, ERIC via EBSCO och ERC, gav emellertid likartade resultat. Ibland gav sökningen inom en viss databas relevanta artiklar, medan en annan sökbas inte gjorde det. Under sökprocessen har vi sökt efter studier i den svenska databasen SwePub. Sökorden som vi använde på SwePub var relationell förståelse matematik samt instrumentell förståelse matematik, däremot fick vi inga/ inga relevanta artiklar genom vår sökning. En sökmetod av artiklar är att titta i referenslistor, kedjesökning (Friberg, 2017). Denna metod bidrar till att man som läsare får ta del av andra relevanta artiklar som hör ihop med ens egna forskningsarbete (Backman, 2008). Artikeln av Yuan (2009) och Schackow (2007) refereras i Loong (2014). Artikeln av Schackow (2007) hittades inte trots försök och vi är medvetna om att originalkällan inte har lästs.
Hur artiklarna valdes
Undersökningen saknade begränsning i tid, eftersom forskning inom olika tidsperspektiv ger bredare perspektiv på området (Backman, 2008). Arbetet fokuserar på själva matematikämnet som helhet och därför saknas begränsning gällande åldersinriktning. Därför var åldersinriktningen från förskoleklass till äldre elever/studenter. Matematiken från resultatet anser vi även är relevant för äldre elever. Dessutom fanns få artiklar riktade mot äldre elever. Vidare var även en inklusionskriterie artiklar som prioriterades kopplade instrumentell förståelse och/eller relationell förståelse till matematikundervisning och elever, samt artiklar om elevers förståelse om matematik (Friberg, 2017). Artiklar valdes ut genom att läsa titeln och sedan läsa abstract för att värdera relevansen för kunskapsöversikten. Efter att relevanta artiklar valts ut lästes studien. En exklusionskriterie var artiklar som bestod av lärarens utbildning i samband med lärarens förståelse, vilket inte ansågs vara relevant för frågeställningarna (Friberg, 2017). Vidare exkluderas även studier vars innehåll endast inriktades mot matematiken, än mot matematikundervisningen och elevens förståelse (Friberg, 2017). Under vår arbetsgång har vi varit öppna för forskningsartiklar innehållande olika undersökningsmetoder.
Databaser
ERC
Vid sökning med orden instrumental relational fick vi 61 träffar. Instrumental relational AND mathematics gav 13 träffar av vilka en relevant artikel valdes. Tidigare kurslitteratur var även med i sökresultatet. Med sökorden relational understanding mathematics fick vi 12 träffar av vilka en relevant artikel som hittades var tidigare kurslitteratur. Vidare fortsatte sökningen med sökorden relational understanding AND mathematics fick vi 62 träffar. Efter urval och läsning valdes det ut två artiklar. Med sökorden relational thinking AND mathematics fick vi 28 träffar. Efter urval och läsning valdes det ut en artikel. Valda artiklar redovisas i tabell 1.
ERIC via EBSCO
Vid sökning med orden instrumental relational fick vi 40 sökningar. Instrumental relational AND mathematics gav 14 träffar av vilka valdes redan relevanta artiklar från förra sökningen i databasen ERC. Vid sökning med orden relational understanding mathematics fick vi nio träffar av vilka två artiklar ansågs vara relevanta. Vid sökning av relational understanding AND mathematics fick vi 66 träffar. Efter urval och läsning valdes det ut en artikel. Artiklar valdes också genom granskning av referenslistan till en artikel, av vilka sex stycken artiklar fanns i referenslistan. Valda artiklar redovisas i tabell 1.
LIBSEARCH via EBSCO
Vid sökning med orden relational understanding AND instrumental understanding AND math ges 65 träffar. Efter urval och läsning valdes en artikel ut, i vidare utvalda artiklar hittades en artikel i referenslista. Urvalet gjordes genom läsning av sökningens titlar och sammandrag. Valda artiklar redovisas i tabell 1.
Brister i undersökningen
Brister i kunskapsöversikten är metodens sökord. Få synonymer tillämpades till de sökord som användes/kombinerades. Eftersom kunskapsöversikten undersöker karaktäristiska drag av relationell förståelse i matematikundervisningen samt gällande elevperspektiv, kan följande sökord listas : mathematics education, mathematics teaching, mathematics learning, learning.
Under sökprocessen användes understanding samt thinking som sökord/synonymer, en till synonym är comprehension, som skulle kunnat vara med i sökprocessen. Möjligen skulle synonymer till instrumental vara procedural och för relational innebära conceptual. Vidare begränsades sökningens sökresultat i samtliga databaser genom att trunkering inte har använts (Backman, 2008). Exempel på sökord med trunkering skulle kunna vara relational understanding AND math*. Sökprocessen på SwePub hade även brister då sökorden inte var på engelska, vilket gjorde att vi ej fick några träffar. Ovanstående sökord, booleska termer, trunkering samt sökmetod skulle kunna ha tillämpats i SwePub. Av denna anledning består inte kunskapsöversikten av svenska studier och svenska kontext. Kunskapsöversikten var bred med olika infallsvinklar. Den skulle kunna vara snävare och endast undersöka till exempel relationell förståelse med sociala interaktioner. Vidare är en brist i undersökningen elevens åldersinriktning, då alla studier inte var inriktade mot gymnasienivå.
Litteratur Databas Land
Byers & Erlwanger (1985). Memory in mathematical understanding . Educational Studies in Mathematics.
Andrahandskälla Kanada
Durmus & Karakirik (2006). Virtual manipulatives in mathematics education: A theoretical framework. The Turkish Online Journal of Educational Technology.
Andrahandskälla Turkiet
Loong (2014). Fostering Mathematical Understanding through Physical and Virtual Manipulatives. Australian Mathematics Teacher.
ERIC VIA
EBSCO Australien
Molina & Ambrose (2006). Fostering Relational Thinking while Negotiating the Meaning of the Equals Sign. Teaching Children Mathematics.
ERC Spanien
Moyer, Bolyard & Spikell (2002). What are virtual
manipulatives? Teaching Children Mathematics. Andrahandskälla USA Permata & Prabawanto (2019). Characteristics of
students’ answer in solving absolute value inequality problems based on mathematical
LIBSEARCH
understanding. Mathematics Department, Universitas Pendidikan Indonesia.
Pesek (2000). Interference of Instrumental Instruction in Subsequent Relational Learning.
Journal for Research in Mathematics Education
ERC USA
Powell, Driver & Julian (2015). The Effect of Tutoring With Nonstandard Equations for Students With Mathematics Difficulty. Journal of Learning Disabilities.
ERC USA
Raphael & Wahlstrom (1989). The influence of instructional aids on mathematics achievement.
Journal for Research in Mathematics Education.
Andrahandskälla Kanada
Schackow (2007). Using virtual manipulatives to model computation with fractions. Online Journal of School Mathematics.
Andrahandskälla -
Schettino (2016). A Framework for Problem-Based Learning: Teaching Mathematics with a Relational Problem-Based Pedagogy.
Interdisciplinary Journal of Problem-based Learning.
ERIC VIA EBSCO
USA
Sowell (1998). Effects of manipulative materials in mathematics instruction. Journal for Research in Mathematics Education.
Andrahandskälla USA
Terence (2018). Towards a relational understanding of the regression line. University of Manchester.
ERC Australien
Yuan (2009). Taiwanese elementary school teachers apply web-based virtual manipulatives to teach mathematics. Journal of Mathematics Education.
Andrahandskälla Taiwan
Verhoef, Tall, Coenders & Smaalen (2014). The Complexities of a Lesson Study in a Dutch Situation: Mathematics Teacher Learning.
International Journal of Science & Mathematics Education.
Resultat
Vad karaktäriserar matematikundervisning som leder till
relationell förståelse?
Ge elever tillfälle till självreflektion
Det är viktigt att ge elever möjlighet till självupptäckande inom matematiken (Schettino, 2016; Verhoef et al., 2014). Det skapar stimulans och engagemang. Elevers självreflektion är något som lärare bör nyttja som resurs för vidareutveckling av elevers kunskaper (Schettino, 2016). Lärarens misstag är att inte låta elever reflektera kring matematiken (Verhoef et al., 2014).
Verhoef et al. (2014) skriver en så kallad “lesson study” som genomfördes i Tyskland i ett år där forskarna undersökte gymnasielärares arbetssätt. Lärarna undervisade derivata . Forskarna demonstrerar vikten i att läraren inkluderar eleverna i kunskapsutveckling istället för att exkludera (Verhoef et al., 2014).. Studien visar att en lärare inte nyttjar möjligheten att notera elevernas förståelse Lärarens misstag var att under en genomgång av grafer ge detaljerade förklaringar. Det resulterade i att eleverna inte hade något kvar att själva reflektera över då läraren avslöjade allt. Därmed förlorar läraren ett tillfälle att genom diskussion kartlägga elevernas förståelse. Läraren började ställa skriftliga frågor till eleverna och därmed kunde deras förståelse upptäckas, vilket läraren ansåg värdefullt. Tidigare visste inte läraren hur eleverna tänker kring problem (Verhoef et al., 2014). Det viktigt att inkludera elever i sin egen kunskapsutveckling. Schettino (2016) lyfter fram hur den relationella förståelsen utvecklas genom att låta eleven resonera fram kunskap. Schettino förklarar exempelvis hur elever fick beräkna arean av en pizzaslice, utan förkunskaper. Det ledde till självreflektion, engagemang och stimulans (Schettino, 2016).
Använda förkunskaper och representationsformer
För att kunna bedriva undervisning mot relationell förståelse är det nödvändigt att veta elevers förkunskaper (Molina & Ambrose, 2006). Vad elever finner svårt inom matematiken avslöjas och avgör hur undervisningen ska fortskrida. Betydelsen av att ta hänsyn till elevernas förkunskaper har därför uppmärksammats i studien (Molina &
Ambrose, 2006). En annan studie förklarar att relationell förståelse av matematik utvecklas genom att tillämpa olika representationsformer i undervisningen (Powell, Driver & Julian, 2015)
I en studie undersöktes en elevgrupps förståelse för likhetstecknet. Eleverna gick i tredje klass i Spanien. Elevgruppens uppgifter skapades med hänsyn till vad eleverna behövde utveckla (Molina & Ambrose, 2006). Forskningen visade att eleverna behövde fem genomgångar innan majoriteten av eleverna förstod likhetstecknet relationellt. Elevernas svårigheter inom matematiken kartlades och avgjorde hur undervisningen skulle fortskrida. Exempel på uppgift som elever inte förstod var 8 + 4 = x + 5 (Molina & Ambrose, 2006). Den andra genomgången skulle därför bestå av att åtgärda färdiga ekvationer, där några var felaktiga. Syftet var att eleverna skulle uppmärksamma högerledet, eftersom det framgick att eleverna inte gjorde det tidigare (Molina & Ambrose, 2006). Vid tredje samt fjärde genomgången gjordes en övning om sanna eller falska uppgifter, baserade på tidigare elevsvar, till exempel 01 + 4 = 6 . Övningen genomfördes enskilt samt i diskussion mellan elever och lärare, i syfte att öka elevernas förståelse (Molina & Ambrose, 2006). Under sista genomgången återskapades första övningen igen för att undersöka om eleverna visade utvecklad relationell förståelse (Molina & Ambrose, 2006). Resultatet visade att elever uppnådde relationell förståelse, men det tog olika lång tid för eleverna (Molina & Ambrose, 2006). Genom att låta elever förklara sina egna tankegångar, får lärare en inblick i elevens tänkande. Därifrån kan elev-förståelsen utvecklas (Molina & Ambrose, 2006).
Powell, Driver och Julian (2015) beskriver hur elever kan förstå ekvationer. Detta kan göras med icke-standard ekvation. Icke-standard ekvation innebär att ekvationer inte har typisk uppbyggnad, utan kan bestå av en till flera matematiska operationer. Exempel på en icke-standardekvation är 4 + 4 + 4 = ☐ + 6 medan en standardekvation kan vara (Powell et al., 2015). I Powell et al:s. (2015) studie får tre elevgrupper i årskurs 0
3 + ☐ = 1
två i USA, med matematiksvårigheter, olika undervisningsmetoder om ekvationslösningar. Den första gruppen fick en standardekvation, den andra en kombination av standard-och icke-standard. Tredje gruppen fick ingen specifik undervisningsmetod. Studiens resultat visar att elever som får en kombination, utvecklade relationell förståelse för likamedtecken-uppgifter och ekvationslösningar. Resultatet visar att elevers relationella förståelse utvecklas genom olika representationsformer av likhetstecken (Powell et al., 2015).
Arbeta med experiment för utveckling av relationell förståelse
En viktig del av undervisningen för relationell förståelse är att elever får experimentera med olika matematikuppgifter och att elever får inkluderas i sin kunskapsutveckling (Molina & Ambrose, 2006; Pesek, 2000; Schettino, 2016; Verhoef et al., 2014). I Molina och Ambroses (2006) studie fick elever liknande uppgifter flertalet gånger innan en majoritet utvecklade relationell förståelse. Pesek (2000) utmanade elever inom areaberäkning genom att sätta areaberäkning i olika kontexter. Med olika presentationer kan samband förstås, vilket också är en del av matematisk förståelse (Schettino, 2016).
I en studie av Pesek (2000) undervisades sex klasser i årskurs fem, i USA. Vissa av eleverna fick uppgifter hämtade från andra källor än läroboken. Syftet med studien var att undersöka effektiviteten av instrumentell undervisning med relationella inslag (Pesek, 2000). Studien innehöll två elevgrupper. En elevgrupp undervisades instrumentellt i fem dagar för att sedan övergå till relationell undervisning i tre dagar. Den andra gruppen fick endast relationell undervisning i tre dagar. Den relationella delen var likadan i samtliga grupper. Ett för- och eftertest gjordes för att jämföra elevgruppens relationella förståelse. Utvecklingen under den relationella undervisningen gick från konkreta exempel, areaberäkning med måttstock, till att beräkna arean av abstrakta figurer. Eleverna skulle beräkna omkretsen av sina skolbänkar genom att använda sina händer som måttstockar. Sedan diskuterades huruvida omkretsen förändras med olika handstorlekar. Eleverna fick vidare experimentera med area och med hjälp av läraren komma fram till hur area kan beräknas. En viktig del av den relationella undervisningen är just experiment, som gynnar kreativ tankeverksamhet och diskussioner. Därför tog läraren upp en jämförelse mellan areaberäkning hos en triangel och fyrhörning som diskussionsämne (Pesek, 2000). Studien innehöll även instrumentell undervisning. Den präglades av formler, metoder för lärande gick ut på memorering (Pesek, 2000). Elever skrev av formler samtidigt som diskussioner och experiment uteblev. Resultatet av studien visar att instrumentellt lärande är ineffektivt, endast elevgruppen med genomgående relationellt lärande utvecklade relationell förståelse. Ändå hade den gruppen färre undervisningstimmar än den andra gruppen. Instrumentell undervisning med relationella inslag gav alltså sämre framgång (Pesek, 2000). Matematisk förståelse uppnås snabbare med relationellt lärande än med instrumentellt lärande. Relationell lärande möjliggör mer kunskap på kortare tid (Pesek, 2000).
Sociala interaktioner för relationell förståelse
För den relationella förståelsen är det viktigt med goda relationer i klassrummet. Sund atmosfär resulterar i bättre diskussioner samt aktivt elevdeltagande under lektioner (Schettino, 2016).
En studie om undervisningsmetoden RPBL, relationellt problembaserad lärande, genomfördes av Schettino (2016). Studien genomfördes på flickor mellan årskurs nio till elva från olika etniciteter på en privat internatskola i USA. Den varade i ungefär ett år, två gånger i veckan. Under lektionerna fick eleverna arbeta med geometriska problemlösningsuppgifter. Detta gjordes kollaborativt i grupper för att det skulle stimulera deras lärande. Efter undervisningen gjordes en sammanfattning tillsammans med klassens elever och läraren. (Schettino, 2016). Intervjuer genomfördes med fem elever om hur RPBL upplevs. Studien drog slutsatser om fyra faktorer som sammanfattar RPBL (Schettino, 2016). Den första är att elever har kontroll över sin kunskap och kunskapsutveckling. Kunskapsutvecklingen görs tillsammans med andra elever i klassrummet, då får eleven insyn i andras elevlösningar (Schettino, 2016). Elever tyckte att det var trevligt att självständigt ta ansvar för sin egen kunskapsutveckling och inte bara lyssna på läraren. Vidare grundas elevens lärande i motivation och inte regelskapande, vilket resulterar till bättre relationell förståelse av matematiken (Schettino, 2016). Samtidigt bidrar RPBL till att eleverna förstår samband mellan olika matematiska ämnesområden, vilket också är en del av matematisk förståelse. Studien visar relationers betydelse i klassrummet och bidrag till elevens möjlighet till att utveckla relationell förståelse. RPBL försöker att inte skapa traditionella maktstrukturer i klassrummet (Schettino, 2016). Det tydliggörs i diskussioner där exempelvis högpresterande elever tar över och lågpresterande elever exkluderas från diskussioner. Det är även viktigt att ta hänsyn till elever som anser sig själva vara underrepresenterade (Taylor & Robinson, 2009). Klassrummets anda ska bestå av tillit för fritt deltagande i klassdiskussioner, vilket resulterar i att den relationella förståelsen optimeras (Schettino, 2016). För att fritt deltagande i klassdiskussioner gäller det att matematiklärare blir bekväma med att dela med sig av sin auktoritet, för elevinkludering.
Digitala verktyg som ett lärande-instrument för relationell förståelse
För att elever ska förstå matematik relationellt kan det vara lämpligt med användning av digitala verktyg. Med digitala verktyg kan elever manipulera exempelvis figurer eller enheter för nya representationsformer av samma uppgift (Moyer, Bolyard & Spikell, 2002). Digitala verktyg kan vara en del av undervisningen för att utöka relationell förståelsen (Yuan, 2009). Det finns digitala verktyg vars syfte är att öka förståelse. Samtidigt finns problematik med digitala verktyg. Digitala verktyg kan effektivisera beräkningar, detta ökar inte nödvändigtvis förståelse för matematiken (Mills, 2018).
Genom möjlighet till manipulation av matematikinnehållet kan elever uppnå bättre kunskaper inom matematiken (Raphael & Wahlstrom, 1989). Att manipulera matematikinnehållet innebär till exempel att uppgiftens figurer förändras för att visa olika representationsformer (Moyer, Bolyard & Spikell, 2002). Manipulationer kan eventuellt utreda missförstånd (Loong, 2014). Med digitala verktyg kan manipulering genomföras smidigare än för hand och ökar tillgången till olika presentationer. Detta i sin tur menar Schackow (2007 citerat av Yuan, 2009) bidrar till elevens konceptuella förståelse och förbättrar, enligt Sowell (1998), konkret tänkande. Durmus och Karakirik (2006) tar upp exempel på hur elever kan få bättre förståelse, genom att “lära att modellera” och “lära med att modellera”. Skillnaden mellan dessa är att “lära att modellera” handlar om att eleven själv ska lösa ett problem, medan “lära med att modellera” utgår från att elever löser problem genom befintliga lösningsstrategier (Durmus & Karakirik, 2006). Båda lärandemetoderna är fördelaktiga för elevens problemlösning (Durmus & Karakirik, 2006). Även Pesek (2000) menar att elever utvecklas genom att modellera problemlösningar. Med hjälp av digitala verktyg kan elever utveckla sina egna matematiska kunskaper. Genom att använda sig av olika virtuella representationsformer kommer eleven att få olika perspektiv inom matematiken som resulterar i utveckling av matematikkunskaper (Moyer et al., 2002).
En studie gjordes på fyra mellanstadieklasser i Taiwan (Yuan, 2009). Syftet med studien var att undersöka hur väl eleverna lärde sig matematik genom att läraren tillämpade webbaserad manipulation i undervisningen (Yuan, 2009). Undersökningen gjordes under fyra veckor med NLVM (National Library of Virtual Manipulatives). NLVM är ett datorprogram som utför virtuell manipulation av exempelvis enheter och figurer. Elever fick i alla klasser
arbeta med NLVM och fick utforska sig fram på NLVM för att lösa uppgifter. Det var två klasser i studien som arbetade med “base blocks/base blocks decimal”. Exempeluppgift som eleverna fick i klassen “base blocks” var att räkna addition och subtraktion. Detta genomfördes med hjälp av virtuella klossar som skulle symbolisera ental, tiotal, hundratal och så vidare. Den redje klassen fick arbeta med att hitta talmönster på NLVM. Den fjärde klassen lärde sig om polyedrar med hjälp av NLVM. Läraren i denna klass gjorde förtest och eftertest för att undersöka hur väl elevernas förståelse hade utvecklat om vad polyedrar var för något med NLVM som resurs. Testen visade att eleverna hade utvecklat sina matematiska kunskaper och hade utvecklat bättre förståelse för matematiken. Studiens resultat visade också att lågpresterande elever lyckades förstå matematiken med hjälp av NLVM. Det digitala verktyget NLVM ger tillgång till flera olika representationsformer, vilket kan utveckla det relationella förståelsen (Yuan, 2009). Studien visar också att digitala verktyg är lämplig för matematikundervisning med olika syften (Yuan, 2009).
Miniräknare eller datorer kan underlätta beräkning av regressionslinje (Mills, 2018). Mills (2018) studerar elever som går i årskurs 12 i Australien. Studien förklarar hur förståelse för olika samband (parabel, kontinuerliga funktioner samt linjära regressioner) behövs för att förtydliga innebörden av regressionslinje. Först därefter är kalkylatorn till hjälp. Eleverna fick alltså förkunskaper om regressionslinje och hur miniräknaren ritar ut en sådan. Alltså menar Mills (2018) om eleven har relationell förståelse bakom underliggande matematiska beräkningar så kan digitala verktyg vara underlättande. I det här fallet gör miniräknaren uträkningen mer effektiv, men miniräknaren tydliggör inte lösningsmetoder.
Sammanfattning
Det finns ett flertal metoder för att matematikundervisningen ska karaktäriseras av relationell förståelse En betydande faktor är att ge elever möjlighet till att reflektera över sina egna kunskaper för att optimera lärandet (Pesek, 2000; Schettino, 2016; Verhoef et al., 2014;). Förutom att eleverna ska ges möjlighet till självreflektion är det även viktigt att tillgodose elevernas förkunskaper för att utveckling av förståelse (Molina & Ambrose, 2006; Verhoef et al., 2014). Förbättring av atmosfären i klassrummet är en annan faktor, eftersom det relationella lärandet tar form i kreativa diskussioner och matematisk utforskande vid problemlösning (Schettino, 2016). Arbetet beskriver hur olika tillvägagångssätt om hur variation av representationer samt att experimentera är väsentligt
för utveckling av relationell förståelse (Molina & Ambrose, 2006; Pesek, 2000; Powell et al., 2015; Yuan, 2009). Digitala verktyg kan tidseffektivt frambringa olika presentationsformer och kan därför utveckla relationell förståelse (Yuan, 2009). Dessutom är digitala verktyg flexibla gällande undervisningens syfte. Samtidigt är det viktigt att förklara hur digitala verktyg beräknar om verktygets syfte är att underlätta elevens lösningar (Mills, 2018) Det visar sig alltså framförallt att undervisning som resulterar till relationell förståelse består av att experimenterar och få utforska sig fram (Pesek, 2000).
Hur
upplever
elever
instrumentell
och
relationell
matematikundervisning?
Nedan beskrivs elevers utmärkande uppfattningar om instrumentell och relationell undervisning inom matematiken. Resultatet redogör även hur lärare kan tolka elevlösningar.
Elevperspektiv inom instrumentell och relationell undervisning
Studier menar på att relationell förståelse optimeras genom utmaningar (Pesek, 2000; Schettino, 2016). Elever kan redovisa sina tankegångar och resonemang i både tal och skrift (Molina & Ambrose, 2006; Pesek, 2000; Verhoef et al., 2014). Kommunikation under matematikundervisningen resulterar i nya representationsformer och tillvägagångssätt av lösningar. Det samt insikten om att läraren inte besitter alla lösningar skapar engagemang (Schettino, 2016).
Som tidigare nämnts i resultatet är en genomgående relationell undervisning mer fördelaktig än en kombination av båda lärandemetoderna (Pesek, 2000). Det ansågs vara förvirrande med först instrumentellt lärande med tillgång till formler, för att sedan övergå till relationellt lärande med matematiska problem utan formler. Den elevgrupp som hade fått genomgående relationell undervisning såg inte brist på formler som ett problem. Eleverna klarade av att utförligt förklara area och omkrets. Elevgruppen förstod även samband mellan olika formler och hur dessa skulle tillämpas, vilket den andra gruppen, med instrumentell och relationell undervisning, inte kunde. Den gruppen fastnade på en muntlig fråga om beräkning av väggars area. Gruppen förklarade att väggars area är
omöjliga att beräkna. De menade att formeln för omkrets var den rätta, med motivationen att väggar i ett rum “går runt” (Pesek, 2000).
Somliga elever anser den instrumentella undervisningen mer givande och enklare eftersom givna formler ges. Forskarna drog slutsatsen att elever är vana vid instrumentellt lärande och är därför inställda till att tycka om det. En elev, som var ointresserad av matematik, uttryckte uppskattning för typisk traditionell matematikundervisning med tydliga steg (Pesek, 2000). Ointresserade elever menade emellertid att matematikundervisningen, RPBL, blev intressant på grund av interaktion i klassrummet (Schettino, 2016). Det resulterade vidare till en större matematisk förståelse och stimulans (Schettino, 2016). Många elever ansåg att det var underhållande att studera matematik på en djup nivå som bidrar till bättre förståelse för matematik. Elever uttryckte fördelar med god stämning och goda relationer i klassrummet vilket frambringade ett öppet klimat. Atmosfären resulterade i engagemang för att lyssna på varandras lösningar. Därmed fick elever nya perspektiv på problemlösning utanför lärarens metoder. Dessutom upplevdes det roligare att lösa uppgifter utan läraren, vilket förbättrar självförtroendet (Schettino, 2016). Elever är positiva till relationellt lärande, de tyckte det var underhållande med “lekar” (Pesek, 2000).
Elevers förhållande till digitala verktyg
Som tidigare nämnts kan digitala verktyg förbättra elevernas relationella förståelse (Yuan, 2009). Det är inte bara till fördel för elevernas förståelse, utan det kan också förändra elevers inställning till matematiken positivt (Yuan, 2009). I Mills (2018) studie behöver eleverna emellertid förkunskaper för att det digitala verktyget ska utveckla förståelse. Detta eftersom det digitala verktyget som används i studien är till för att effektivisera beräkning snarare än att förklara den.
Med rätt användning kan digitala verktyg förbättra elevernas förståelse och intresse (Yuan, 2009). Studien visade att elever som hade matematiksvårigheter samt var ointresserade av matematik, blev engagerade och aktiva under lektionerna. Studien påpekar emellertid att elever med lässvårigheter stötte på språkliga problem med NLVM. Detta kunde läraren och eleverna däremot komma till rätta med. Eleverna lyckades lösa en stor majoritet av uppgifterna på egen hand (Yuan, 2009). NLVM var omtyckt av eleverna för att det gjorde matematiken roligare (Yuan, 2009). Läraren som undervisade klassen om polyedrar berättade att elever uppskattade datoranvändningen under matematiklektionen. Eleverna
ansåg det positivt att få utveckla kompetenser för digitala verktyg under en matematiklektion. Däremot upplevde en av lärarna i studien att eleverna missförstod enheterna på NLVM vilket störde elevernas lärande. Uppgiften gick ut på att manipulera enheter för ökad förståelse (Yuan, 2009). Läraren som undervisade om talmönster berättar att, om mer information om webbsidan gavs, så skulle eventuella missförstånd i klassrummet om NLVM undvikas (Yuan, 2009).
Tolkning av elevers förståelse vid beräkning
Lärare kan tolka en elevs tankeverksamhet genom att observera hur denne löser matematiska uppgifter. På så sätt kan läraren avgöra var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling (Molina & Ambrose, 2006; Permata och Prabawanto, 2019). Lösningsmetoder visar om eleven innehar instrumentell eller relationell förståelse av matematik (Permata och Prabawanto, 2019).
Med relationell förståelse placeras information i långtidsminnet medan instrumentell förståelse placeras information i korttidsminnet (Byers & Erlwanger, 1985). En studie utfördes i en klass på 30 elever i Indonesien på gymnasial nivå. Eleverna valdes från klassen med hjälp av deras lärare i syfte att tydliggöra hur en elev utför beräkningar med instrumentell respektive relationell förståelse. Elever fick beräkna uppgifter om olikheter med absolutbelopp. Sedan granskades lösningarna för sökning efter kännetecken av relationell och instrumentell förståelse (Permata & Prabawanto, 2019). Uppgiften som skulle beräknas var: || Det visade sig att elever med instrumentell
|
(
2−xx+2)
2| | |≥ | | |(
x x+1)
2| | |.förståelse förstod koncept och tillämpade korrekta tillvägagångssätt vid beräkning. Däremot blev det senare problematiskt vid beräkning av uppgiftens mer komplexa delar. Elever med instrumentell förståelse återkopplar i allt mindre utsträckning tidigare kunskaper med det nya. Studiens resultat visade att instrumentell förståelse resulterar i svårigheter för korrekt användning av matematiska symboler samt algebraiska beräkningar (Permata & Prabawanto, 2019). Elever med relationell förståelse kan associera och tillämpa kunskap på nytt matematiskt innehåll. Detta har elever med instrumentell förståelse svårigheter med. Relationell förståelse resulterar också i korrekta matematiska beräkningar. Lösningsmetoden bestod av korrekta procedurer och användning av lämpliga hjälpmedel, som exempelvis uppritning av graf. Vidare klarar eleven att använda matematiska symboler korrekt, men i beräkningar används det ändå inte kontinuerligt (Permata & Prabawanto, 2019).
Sammanfattning
Arbetet visar att flertalet elever uppskattar relationellt lärande och anser det stimulerande jämfört med instrumentellt lärande. Det är framförallt den sociala biten som är uppskattad, men även uppmaningen till stimulerande självreflektion (Schettino, 2016; Yuan, 2009). En viktig aspekt är emellertid att en blandning av relationell och instrumentell undervisning försvårar elevernas relationella tänkande (Pesek, 2000). För relationellt lärande behöver därmed relationell undervisning genomsyra undervisningen (Pesek). Vidare förklarar resultatet att elever med relationell förståelse förstår matematiska samband och visar det i sina beräkningar, till skillnad från elever med instrumentell förståelse (Permata & Prabawanto, 2019).
Diskussion och slutsatser
Nedan redovisas diskussion utifrån resultatet, koppling till lärarprofession, slutsats samt vidare studier.
Diskussion
En jämförelse och problematisering gjordes utifrån kvalitativa samt kvantitativa utländska studier från resultatet i relation till bakgrunden, för att besvara frågeställningarna.
En tolkning av resultatet visar att läraren inte ska stå vid tavlan och hålla en grundlig genomgång inom matematikområden för att ge elever relationellt lärande. Löwing (2004) förklarade hur faktorer som elevens förkunskaper och tidigare erfarenheter är betydande faktorer för elevens förståelse och undervisningen, vilket även visas i flertalet studier (Molina & Ambrose, 2006; Schettino; 2016; Verhoef et al., 2016). Kreativ undervisning som utmanar tankeverksamheten är något som kan spåras från samtliga studier i resultatet (Molina & Ambrose, 2006; Pesek, 2000; Powell et al., 2015; Schettino, 2016; Yuan, 2009). En relationell undervisning utvecklar både elevernas intresse samt deras matematiska förståelse. Emellertid kan resultatet inte verifiera att relationell undervisning är mest lämplig vid samtliga matematiska områden. Det eftersom en kvantitativ studie om det inte har gjorts. Endast ett exempel för när instrumentell undervisning är fördelaktig ges. Det är vid beräkning av negativa tal (Skemp, 2006). Läraren behöver därför bedöma om relationell undervisning är lämplig inom alla matematiska områden. Det är viktigt eftersom resultatet visar att en totalt genomsyrad relationell undervisning frambringar en bättre matematisk förståelse hos elever än en blandning av båda lärande-metoderna (Pesek, 2000). En av studierna redogör för ett matematiskt område där genomgående relationell undervisning är genomförbar (Pesek, 2000). Däremot menar Skemp (2006) att lärare tillämpar instrumentell undervisning för att hinna med alla moment. Då svensk kontext är avsaknad är det osäkert om lärare, verksamma i Sverige, hade hunnit med en genomsyrad relationell undervisning. Tidsåtgång av förberedelser inför lektion med det olika lärande metoderna är också något som saknas i resultatet. Därför är det med hjälp av studien svårt att motivera om läraren hinner med en genomgående relationell undervisning. Mills (2018) poängterar att relationell förståelse kräver bakomliggande förståelse för de digitala verktygens kalkylationer. Annars riskeras ett återfall till instrumentell förståelse (Mills, 2018). Då kommer elevers relationella förståelse inskränkas, digitala verktyg tänker därmed åt eleverna. Eleverna memorerar knapp-tryck (Drijvers, 2013). Av denna anledning bör inte denna typ av digitala verktyg
inkluderas i matematikundervisning, vars syfte är att utveckla relationell förståelse. Alla digitala verktyg underlättar inte matematikförståelse eftersom det finns variationer av digitala verktyg. Läraren behöver avväga användningen av digitala verktyg i förhållande till undervisningens syfte om att utveckla relationell förståelse.
Flera studier från resultatet menar att elever uppskattar relationell förståelse (Schettino, 2016; Pesek, 2000; Yuan, 2006). Elevens inställning till matematiken är en väsentlig faktor i undervisningen (Löwing, 2004). Det är framförallt den sociala biten som är uppskattad, men även uppmuntrande till egen tankeverksamhet (Schettino, 2016). Några elever gillar fortfarande den traditionella instrumentella undervisningen (Pesek, 2000; Skemp, 2000). Skemp (2006) har beskrivit att det finns elever som bara vill ha en formel och svar vilket är instrumentell förståelse, elever vill inte lära sig. Det skulle kunna bero på att matematiken har en instrumentell kultur, som inte förespråkar eget tänkande (Skolinspektionen, 2016). Samtidigt visar Skemp (2006) och Permata & Prabawanto (2019) att även om en individ innehar relationell förståelse händer det att individen tillämpar instrumentella metoder vid beräkning. Skemp (2006) menar däremot att läraren inte bara ska förlita sig på elevlösningar vid tolkning av förståelse. Det är skolans uppdrag att utveckla elevers matematikkunskaper och främja lärande (Skolverket, 2011). Därmed förloras en viktig förmåga med instrumentell förståelse, eftersom förståelsen då hamnar i korttidsminnet (Byers & Erlwanger, 1985; Skemp, 2006). Således är instrumentell förståelse långsiktigt tidskrävande för eleven och läraren, som måste fokusera på repetition. Detta resulterar i en ond cirkel av repetition utan progression. Elever stimuleras inte och matematiken uppfattas monoton (Ricks, 2009). Relationella undervisningssekvenser är att bryta mot klassrumsnormer (Makar & Fielding-Wells, 2018; Smith, Hillen & Catania, 2007). Emellertid menar Prawat (1992) att det är utmanande för lärare att omstrukturera lektioner och reflektera över föreställningar om hur lektioner ska tillämpas. Parallellt synliggörs hur elever uppskattar instrumentell undervisning på grund av igenkännande upplägg (Pesek, 2000). Således bör normerande undervisningsupplägg brytas för bättre implementering av relationell undervisning.
Koppling till lärarprofession
Arbetet visar oss nyttan av relationell undervisning och varför normerande instrumentell undervisningen bör ifrågasättas. Studier visar att instrumentell undervisning inte nödvändigtvis är effektiv. Dock präglas den svenska skolan av instrumentellt lärande som är svårt att förändra (Skolinspektionen, 2016). Ricks (2009) menar, för att stimulera elevernas kreativitet inom matematiken gäller det att distanseras från traditioner av instrumentellt lärande. Relationell undervisning präglas av diskussioner och utforskande. Smith, Hillen & Catania (2007) lyfter fram hur viktigt det är med att engagera eleverna i lärandet på olika sätt i undervisningen. Även om vi kan lära oss av äldre lärare med erfarenhet så visar det här arbetet nyttan med vårt nytänkande. Många lärare accepterar instrumentella undervisnings-upplägget utan att fundera hur det effektiviserar elevens lärande (Prawat, 1992). Vi behöver skapa närmare relationer till eleverna för att kunna individualisera undervisningen. Eleverna behöver alltså delta, inkluderas i undervisningen samt bli stimulerade med variation av metoder (Molina & Ambrose, 2006; Pesek, 2000; Powell et al., 2015; Schettino, 2016; Yuan, 2009; Verhoef et al., 2014). Det är inte möjligt att kopiera en undervisningsmetod rakt av och implementera i klassrummet. Det är ju eleverna som ska utvecklas och klassdiskussioner ska utgå från deras tankeverksamhet och förkunskaper. En utmaning för oss blir att stimulera samtliga elever. Wilson, Cooney och Stinson (2005) menar att det är väsentligt för läraren att vara medveten om elevens förkunskaper och därifrån transformera innehåll till lärande. Relationell undervisning innehåller diskussioner. Vid diskussioner är det viktigt för oss som blivande lärare att vara medveten om rådande hierarkier i klassen (Schettino, 2016). Hierarkier försvårar upptäckandet av elevers förståelse under diskussion. Underlägsna elever förblir tysta och visar därmed inte sin tankegång. Som lösning kan vi dela upp klassen i grupper. Lösningen kan demonstreras med det faktum som Galton (2012) beskriver. Genom att skapa mindre klasser kommer fler våga vara aktiva och delta i klassdiskussioner jämfört med i stora klasser Vidare möjliggör även mindre klasser diskussioner om avancerade matematikuppgifter (Galton, 2012). Vad elever diskuterar behöver vi begripa för att tolka enskilda individers matematiska kunskaper. Däremot menar Skemp (2006) att vi inte hinner lyssna på samtliga elever i en klass. Samtidigt är diskussioner en del av relationellt lärande. Diskussioner ser vi alltså som en prioritet och utifrån det perspektivet anser vi inte diskussioner tidskrävande. Vi ser också som en prioritet att möjliggöra för eleverna att praktiskt stimuleras under lektionerna genom experimentering. Resultatet visar även på hur fördelaktigt det är med variation av representationsformer både fysisk och virtuellt (Molina
& Ambrose, 2006; Powell et al., 2015; Yuan, 2009). Detta är något som vi anser ska prioriteras i matematikundervisningen. Därför tar vi till oss relationell undervisning från den här kunskapsöversikten.
Slutsatser
Det finns olika delar som karaktäriserar undervisning som leder till relationell förståelse. Lärarna behöver förstå vad elever kan och inte kan och framförallt utsätta elever i situationer där de får använda sin egen tankeverksamhet. Det betyder att läraren inte ska stå vid tavlan och hålla en grundlig genomgång inom matematikområden. För läraren är det viktigt att tänka på när den relationella undervisningen passar. Det kan finnas matematiska områden där instrumentell undervisning är bra. Dessa områden framgår ej i resultatet, men resultatet kan inte heller bevisa att relationell undervisning alltid är det bästa alternativet eftersom det inte finns tillräckligt med studier. Det här är viktigt att tänka på eftersom en kombination av de båda lärandemetoderna är negativt enligt resultatet. Dessutom framgår det inte i resultatet hur lång tid förberedelser inför en lektion tar med de olika lärandemetoderna. Elever visar uppskattning för relationell undervisning eftersom de blir mer stimulerade av den. Däremot krävs det ett stort arbete för att bryta normen och låta den relationella undervisningen ta plats. Elever visar särskild uppskattning inför den sociala biten och användning av digitala verktyg som relationell undervisning medför. Det går inte att dra slutsats om hur elever i svenska skolor upplever matematikundervisning som resulterar till relationell förståelse, då svensk kontext saknas i kunskapsöversikten.
Vidare studier
Forskare är oeniga om påståendet att instrumentellt lärande genomförs på kortare tid. En vanlig uppfattning, enligt den kvalitativa studien av Pesek (2000), är emellertid att instrumentellt lärande är mindre tidskrävande när relationellt lärande egentligen är tidseffektiv. Arbetet brister i att demonstrera om relationellt lärande är mest effektivt vid samtliga matematiska områden. Vidare intressanta studier är därför kvalitativ och kvantitativ forskning på: När instrumentell jämte relationell matematikundervisning lämpar sig bäst i matematikundervisningen för eleven? Skillnader i tidsåtgång vid förberedelser för undervisning som resulterar till instrumentell/relationell förståelse är avsaknat i arbetet. Tidsåtgång kan vara en faktor om vad läraren hinner med. Därför ger en studie om
förberedelsernas tidsåtgång ytterligare perspektiv i en diskussion om instrumentell och relationell undervisning. Vilken matematikundervisning är mest tidseffektiv gällande förberedelse för instrumentell samt relationell förståelse?
Referenser
Byers, V., Erlwanger, S. (1985). Memory in Mathematical Understanding. Educational Studies in Mathematics, 16(3), 259–281.
Drijvers, P. (2013). Digital Technology in Mathematics Education: Why It Works (Or Doesn’t). PNA, 8(1), 1–20.
Durmus, S., & Karakirik, E. (2006). Virtual Manipulatives in Mathematics Education: A Theoretical Framework. Turkish Online Journal of Educational Technology - TOJET, 5(1), 117–123.
Galton, M., & Pell, T. (2012). Do class size reductions make a difference to classroom practice? The case of Hong Kong primary schools. International Journal of Educational Research, 53, 22–31. https://doi-org.proxy.mau.se/10.1016/j.ijer.2011.12.004
Loong, Esther Yook Kin (2014) Fostering Mathematical Understanding through Physical and Virtual Manipulatives. Australian Mathematics Teacher. 70(4), 3–10.
Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning: en studie av
kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. Diss. Göteborg :
Univ., 2004. Göteborg.
Makar, K., & Fielding-Wells, J. (2018). Shifting More than the Goal Posts: Developing Classroom Norms of Inquiry-Based Learning in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, 30(1), 53–63.
Mills, T. (2018). Towards a Relational Understanding of the Regression Line. Australian Senior Mathematics Journal, 32(1), 13–17.
Molina, M., & Ambrose, R. C. (2006). Fostering Relational Thinking while Negotiating the Meaning of the Equals Sign. Teaching Children Mathematics, 13(2), 111.
Moyer, P. S., Bolyard, J. J., & Spikell, M. A. (2002). What are virtual manipulatives? Teaching Children Mathematics, 8, 372-37
Permata, C. P., & Prabawanto, S. (n.d.). Characteristics of students’ answer in solving absolute value inequality problems based on mathematical understanding. Journal of Engineering Science and Technology, 14, 92–102.
Pesek, D. D. (2000). Interference of Instrumental Instruction in Subsequent Relational Learning. Journal for Research in Mathematics Education, 31(5), 524.
https://doi-org.proxy.mau.se/10.2307/749885
Powell, S. R., Driver, M. K., & Julian, T. E. (2015). The Effect of Tutoring With Nonstandard Equations for Students With Mathematics Difficulty. Journal of Learning Disabilities, 48(5), 523–534. https://doi-org.proxy.mau.se/10.1177/0022219413512613
Prawat, R. S. (1992). Teachers’ Beliefs about Teaching and Learning: A Constructivist Perspective. American Journal of Education, 100(3), 354–395.
https://doi-org.proxy.mau.se/10.1086/444021
Raphael, D., & Wahlstrom, M. (1989). The Influence of Instructional Aids on Mathematics Achievement. Journal for Research in Mathematics Education, 20(2), 173–190.
Ricks, T. E. (2010). Mathematics “Is” Motivating. Mathematics Educator, 19(2), 2–9.
Schettino, C. (2016). A Framework for Problem-Based Learning: Teaching Mathematics with a Relational Problem-Based Pedagogy. Interdisciplinary Journal of Problem-Based Learning,
10(2), 42–67. https://doi.org/10.7771/1541-5015.1602
Skemp, R. R. (2006). Relational Understanding and Instrumental Understanding.
Mathematics Teaching in the Middle School, 12(2), 88–95.
Skolverket (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011. https://www.skolverket.se/download/18.6bfaca41169863e6a659807/1553964056811/pdf
2705.pdf
Smith, M. S., Hillen, A. F., & Catania, C. L. (2007). Using Pattern Tasks to Develop Mathematical Understandings and Set Classroom Norms. Mathematics Teaching in the Middle School, 13(1), 38–44.
Schackow, J. B. (2007). Using virtual manipulatives to model computation with fractions.
Online Journal of School Mathematics, 5(1), 1-11.
Skolinspektionen (2016). “Senare matematik i gymnasieskolan- matematik 3c”. Stockholm: Skolinspektionen
Sowell, E. J. (1989). Effects of manipulative materials in mathematics instruction. Journal for research in mathematics education, 498-505.
Yuan, Y. (2009). Taiwanese elementary school teachers apply web-based virtual manipulatives to teach mathematics. Journal of Mathematics Education, 2(2), 108–121.
Verhoef, N., Tall, D., Coenders, F., & Smaalen, D. (2014). The Complexities of a Lesson Study in a Dutch Situation: Mathematics Teacher Learning. International Journal of Science &
Mathematics Education, 12(4), 859–881.
https://doi-org.proxy.mau.se/10.1007/s10763-013-9436-6
Wilson, P. S., Cooney, T.J., & Stinson, D. W. (2005). What constitutes good mathematics teaching and how it develops: nine high school teachers perspective. Journal of Mathematics Teacher Education
