Lärande och samhälle Natur, miljö och samhälle
Examensarbete i matematik och lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
För- och nackdelar med att använda det
digitala hjälpmedlet Geogebra i
matematikundervisningen.
Pros and cons using the digital tool Geogebra
chen teaching mathematics.
Magnus Ödmo
Kompletterande pedagogisk utbildning Examinator: Per-Eskil Persson Ämneslärarexamen med inriktning
Förord
Tack till lärare och elever för att ni ställde upp.
Sammanfattning.
Uppsatsen syfte är att undersöka för- och nackdelar med att använda det digitala hjälpmedlet Geogebra i matematikundervisningen. Via intervjuer av elever vid
elevaktivitet och intervjuer av lärare har jag fått kvalitativ information som jag analyserat, satt i ett teoretiskt perspektiv samt kopplat till styrdokument och tidigare forskning.
Slutsatserna är att Geogebra är ett smidigt, dynamiskt tekniskt hjälpmedel som möjliggör gestaltning av många matematiska representationer. Det möjliggör också presentationer som blir exakta och ser professionella ut och detta i sig skapar motivation hos eleverna. Digitala hjälpmedel kan vara motiverande också bara av det faktum att eleverna redan lever i en digital kultur och upplever att undervisningen är modern och tidsenlig. Dessutom används digitala hjälpmedel redan till viss del i tex PISA-undersökningen. Geogebra kan med fördel även användas som centrum för dialog vid undervisning.
Flera nackdelar framkommer också, såsom tekniska svårigheter, inlärningstid och att annat lockar på datorn som gör att eleverna tappar fokus. De automatiserande funktionerna i programmet kan innebära att elever inte lär sig de manuella steg som erfordras för att kunna lösa uppgifterna utan det digitala hjälpmedlet. Det är dessutom en utmaning för skolan då tekniska verktyg blir en del av deras sätt att lösa matematiska uppgifter. Eleverna behöver då få tillgång till verktygen vid examination. Informanterna nämner också att variation är viktigt mellan mer traditionell undervisning och undervisning med tekniska hjälpmedel. Uppsatsen visar på flera för och nackdelar som lärare kan ha nytta av när de överväger när, hur och varför de skall använda Geogebra i sin undervisning.
Innehållsförteckning
1 Inledning...5
1.1 Bakgrund...5
1.2 Styrdokument...5
1.3 Syfte och frågeställningar...6
2 Litteraturgenomgång...8
2.1 Tidigare forskning...8
2.1.1 Motivation...8
2.1.2 Dynamisk matematik med modeller...9
2.1.3 Lärarnas kunskapsutveckling...10
2.2 Teoretiskt perspektiv...12
2.2.1 Matematiska representationer och mentala modeller...13
3 Metod och genomförande...16
3.1 Metod...16
3.2 Genomförande...17
3.2.1 Genomförande av intervju med lärare...17
3.2.2 Genomförande av elevintervjuer under elevaktivitet...18
3.3 Informanter...19
3.4 Reliabilitet och urval...20
3.4.1 Urval...20
3.4.2 Reliabilitet...20
3.5 Etiska aspekter...21
4 Resultat...23
4.1 Resultat av intervjuer med lärare...23
4.1.1 Fråga 1...23 4.1.2 Fråga 2...24 4.1.3 Fråga 3...25 4.1.4 Fråga 4...25 4.1.5 Fråga 5...26 4.1.6 Fråga 6...27 4.2 Resultat av elevaktivitet...27
4.2.1 Resultat klass T1a:...27
4.2.2 Resultat klass T1b:...28
4.2.3 Resultat klass T2...29
5 Analys av resultat...32
6 Diskussion och slutsats...37
6.1 Diskussion...37
6.2 Metodval...38
6.3 Slutsats...39
6.4 Slutord och framtida forskning...41
1 Inledning
1.1 Bakgrund
En av många utmaningar för lärare i matematik är att förklara och visualisera förändringar och rörelse, tex förändringar i hur normalfördelningskurvan ändras då standardavvikelsen förändras eller hur grafen för den räta linjen ändras då k- och m-värdena varieras.
En ytterligare utmaning för lärare är att eleverna inte kan se vad de har för nytta av sina matematikkunskaper. Därför är det viktigt att undersöka för- och nackdelarna med att använda det digitala hjälpmedlet Geogebra i matematikundervisningen för att se om det kan hjälpa till att skapa förståelse och motivation. I forskningen finns det stöd för att digitala hjälpmedel är främjande för elevers lärande (Myndigheten för skolutveckling, 2007).
1.2 Styrdokument
Det finns ett antal styrdokument som styr över hur digitala hjälpmedel används i undervisningen. På grund av dessa styrdokument så kan den svenska skolan inte bortse från att använda digitala hjälpmedel i matematikundervisningen.
I Skolverkets läroplan (2011, s.90) för gymnasiet står det för ämnet matematik att: ”I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg som kan förekomma inom
karaktärsämnena”.
Läroplanen (2011, s.15) nämner också att: ”utbildningen utformas så att eleverna, för att själva kunna söka och utveckla kunskaper, får tillgång till handledning och läromedel av god kvalitet samt andra lärverktyg för en tidsenlig utbildning, bl.a. bibliotek, datorer och
andra tekniska hjälpmedel”.
Läroplanen (2011, s. 51) för teknikprogrammet förklarar att: ”Utbildningen ska ge kunskaper om interaktiva och digitala medier för att eleverna till exempel ska kunna presentera tekniskt innehåll och framställa modeller”. I denna undersökning deltog elever som läste teknikprogrammet.
I Skolverkets kursplan för matematik 2b, står det i det centrala innehållet att digitala medier och digitala verktyg skall användas vid problemlösning. Mer specifikt står det att i kursen ska eleverna genomföra konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg. Vid problemlösning ska strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg, tas upp i kursen.
Det är alltså tydligt uttryckt på flera ställen i kursplanen och läroplanen att digitala
hjälpmedel är en viktig del i gymnasieutbildningen. Vad kursplanen och läroplanen menar med digitala hjälpmedel är dock inte så tydligt specificerat utan är öppet för tolkning och eftersom tekniken går snabbt framåt ändrar sig detta också med tiden.
1.3 Syfte och frågeställningar
Syftet är att undersöka för- och nackdelar med att använda det digitala hjälpmedlet Geogebra i matematikundervisningen. Målgruppen är lärare som undervisar i matematik. Följande forskningsfrågor har identifierats.
• Vilka är fördelarna med att använda Geogebra i matematikundervisningen? • Vilka är nackdelarna med att använda Geogebra i matematikundervisningen? • Inom vilka områden finns det fördelar med att använda Geogebra i
matematikundervisningen?
• Vad är det som gör att det finns fördelar av att använda Geogebra i matematikundervisningen?
• När och hur skall lärare använda Geogebra i sin matematikundervisningen för att få fördelar?
2 Litteraturgenomgång
2.1 Tidigare forskning
2.1.1 Motivation
Forskning belyser att digitala hjälpmedel har en motiverande effekt och ökar elevers lärande. Zucker och Hug (2008) påvisar i sin studie att elever känner sig stolta och därigenom får en ökad motivation, då de skapar presentationer som ser professionella ut. De menar att undervisningen blir mer realistisk och ger fler möjligheter samt används på ett sätt som liknar det i arbetslivet.
För att lära sig hur undervisningen kan varieras är det viktigt att förstå hur en lektion vanligtvis ser ut. Löwing (2002) beskriver att i den traditionella matematikundervisningen börjar lektionen med att läraren har en genomgång. Efter genomgången räknar eleverna i matematikboken självständigt. Läraren finns närvarande för att svara på frågor och att hjälpa eleverna framåt. Eleverna samarbetar ofta med varandra och diskuterar
frågeställningarna. Den traditionella undervisningen har inga digitala hjälpmedel, det innebär att själva introducerandet blir en variation i sig enligt Löwing. Dessutom ökar utbudet av tillgängliga applikationer snabbt vilket ger möjlighet till ytterligare variation i undervisningen.
En annan faktor som spelar in på motivationen för elever är enligt en studie av Eubanks och Hajj (2015) att elever känner att det är roligt på något sätt. Elever gör det som skall göras i större utsträckning pga den känslan än om man känner att det inte är roligt. Digitala hjälpmedel i matematiken kan hjälpa till att skapa känslan av det blir roligare enligt denna studie.
Uppnåendets värde påverkar också hur sannolikt eleven bedömer det är att han eller hon kommer att lyckas enligt Jenner (2004). Eleven har med sig erfarenheter och tar dessa i beaktande för att utvärdera sannolikheten i att klara av uppgifterna.
Teoh, Koo och Sing (2010) menar att elevernas attityd till matematikämnet påverkar motivationen. Attityden till ämnet, enligt denna studie, kommer från den upplevelse av hur det går i ämnet. Motivationen påverkas alltså på ett positivt sätt om eleven har en positiv attityd till ämnet. Det finns tre faktorer som påverkar motivationen enligt Jenner (2004). Den första är den inre motiverande faktorn, det handlar om nyfikenhet och energi. Att ha ett mål är den andra motivationsfaktorn, hos elever handlar det oftast om att klara ett betyg men det kan även handla om andra mål. Den tredje motivationsfaktorn är en kombination av de två första och handlar om elevens självförtroende och om eleven känner att den klarar av målen. Enligt Jenners definition är alltså motivation något som inte är en egenskap hos eleverna utan ett resultat av erfarenheter.
2.1.2 Dynamisk matematik med modeller
Artikeln av Bu och Schoen (2011) har till syfte att ge lärare verktyg för att stödja elevernas kunskapsutveckling genom att utforma simulationer och modeller. Model-Facilitated Learning (MFL) syftar till att nå djupare förståelse och mening. Modellskapande verktyg, dynamiska metoder och många representationer är grunden för MFL. Elever kan skapa och testa egna modeller. Det praktiska arbetet i MFL är det som utgör grunden för den egna förståelsen, MFL förespråkar att lärandet börjar i det konkreta och gradvis övergår till det mer abstrakta.
Bu och Schoen (2011) tar också upp Realistic Mathematics Education (RME) som är en teoretisk modell om matematiklärande. Teorin handlar om situerat lärande det vill säga att lärande och utveckling av matematik sker i verklighetstrogna situationer med hjälp av en kompetent lärare. Syftet med att använda verklighetstrogna situationer är att detta skapar meningsfullhet. RME förespråkar också att stegvis skapa och bemötas av allt mer
komplexa och abstrakta matematiska begrepp.
Bu och Schoen (2011) konstaterar att matematiken är dynamisk och att behovet av många representationer är stort. Detta är den teoretiska grunden till varför tekniska verktyg såsom Geogebra ska integreras i undervisningen. Geogebra underlättar skapandet av inre
modeller och stärker begreppsförståelsen enligt författarna. Det uppstår dock utmaningar för skolan då tekniska verktyg blir en del av elevernas sätt att lösa matematiska uppgifter. Eleverna behöver då få tillgång till verktygen vid examination (Bu och Schoen, 2011). När Geogebra ska användas i undervisningen måste läraren få tid för att lära sig hantera
verktyget och att få tid till förberedelse enligt författarna.
2.1.3 Lärarnas kunskapsutveckling
I en studie av Verhoef, Coenders, Pieters, van Smaalen och Tall (2015, s. 1) där lärare fått använda programmet Geogebra för att få en djupare förståelse för derivatan hos olika funktioner får lärarna ett annat perspektiv på hur eleverna upplever lektionerna genom att först uppleva lektionerna som elever själva. “The teachers reported that they have learned to use visualizations and experienced the importance of student interaction. The teachers realized that this approach of the derivative – integrating Geogebra –
encouraged them to reflect on how the students made sense of learning activities in general”. Kollegialt lärande gällande Geogebra kan alltså vara bra för lärarna för att tydligt se fördelarna och nackdelarna med verktyget enligt denna undersökning.
Kutlucas (2013, s. 9) tar också upp att lärarnas kompetens är viktig: ”Conveying the opportunities presented by dynamic geometry software into learning environments highly relies on teachers equipped with adequate training.”. En frågeställning som uppstår är vad som är adekvat utbildning av Geogebra. Denna fråga ställer jag till lärarna vid intervjun.
Det är en mångårig process att använda sig av ett nytt sätt att lära ut enligt Pierce och Stacey (2013). Detta gör man genom att ändra sin pedagogiska tanke en lektion i taget. De
nämner också att lärare bör ha en grundläggande pedagogisk idé när de gör sin förändring.
Joglar, Sordo, Juanena och Star (2013) visar i sin undersökning att det ibland var svårt för eleverna att börja arbeta med Geogebra och det påverkade i sin tur läraren som hela tiden fick hjälpa eleverna. Undersökningen visade att det var viktigt att gradvis introducera digitala hjälpmedel i undervisningen?
Krumsvik (2006) påtalar att skolan är långsam på att genomföra tekniska förändringar, enligt studien beror det mest på personerna som är inblandade. Rektor och skolledning beslutar om vilka digitala hjälpmedel som skolan ska tillhandahålla och vilken utbildning lärarna ska få. Lärarnas inställning och motivation påverkar sen utfallet. Införandet av digital teknik sker oftast på skolans ingivelse snarare än att lärare rådfrågas enligt
Krumsvik (2006). Det är alltså inte efterfrågan från lärare som styr införandet av digitala hjälpmedel. Lärare har en tendens att hålla fast vid sin traditionella undervisning trots tillgång till ny teknik, eftersom de saknar kunskapen och motivationen att göra
förändringen. Därför är det viktigt hur nya digitala hjälpmedel introduceras. Införandet av nya digitala hjälpmedel bör ske långsamt och stegvis för att inte skapa motstånd från lärarnas sida. Plötsliga förändringar som omkullkastar lärarnas pedagogiska upplägg är inte något som skapar motivation, därför skall införandet av digitala hjälpmedel ses som en mångårig och långsiktig process (Pierce och Stacey, 2013). Detta för att lärarna skall känna sig säkra med digitala hjälpmedel och göra det till en naturlig del av sitt pedagogiska upplägg. Hur skall lärarna och skolledning veta vilka digitala hjälpmedel som finns tillgängliga och vilket som är det bästa för deras undervisning. Denna problematik har Skolverket identifierat och det finns en kompetensutvecklingsplan på skolverkets hemsida under rubriken ”Utveckla din digitala kompetens”. Innehållet är fritt tillgängligt och öppet för alla att använda. Kompetensutvecklingen sker genom kollegialt lärande vilket innebär att läraren lär tillsammans med sina kollegor och prövar nya verktyg direkt i
undervisningen.
med hjälp av digitala hjälpmedel inom matematiken jämfört med de som inte använder det. En gedigen pedagogisk plan är dock avgörande för att man skall få de önskvärda resultaten men om förutsättningarna finns så kommer läraren att nå fler elever och uppnå ett bättre resultat.
Digital teknik tar allt större plats i samhället och är en del av barn och ungdomars kultur. Krumsvik (2006) menar att detta är ett argument för att tekniken också skall vara en del av skolan. Teknik är dock inte alltid positivt. En studie av Guimarães, Ribeiro, Echeveste och de Jacques (2013) visar att elever och lärare tycker att datorer är övervägande positivt. De beskrev också nackdelar. Ibland var datorerna långsamma och gick sönder. Lokalerna saknade strömkontakter och programmen kraschade eller hade buggar. De uttryckte det som att utmaningen i användandet av tekniken är tekniken själv. Sannolikheten för problem ökar också ju fler elever och lärare som använder tekniken.
Myndigheten för skolutveckling (2007) lyfter i sin rapport fram den ökade motivation som uppstår hos eleverna i samband med att digitala hjälpmedel används i
matematikundervisningen. Tekniken hjälper eleverna till direkt återkoppling, att fundera ut strategier samt att tolka uppgifter rätt. Det ger även en möjlighet att jobba i grupp och att jämföra problemlösningar. Detta gör att eleverna får en praktisk och utforskade
arbetsmetod som hjälper dem att finna mönster och strategier för att lösa uppgifterna. Lennerstad (2012) menar på att digitala hjälpmedel agerar som centrum för dialoger i matematik och att den tillför en högre noggrannhet på exempelvis linjer, grafer och
geometriska figurer. Sammanfattningsvis menar Lennerstad att elevernas lärande påverkas positivt via dialogen som stödjs av tydliga och snabba illustrationer. Detta genom att dialogen väcker ett intresse för matematiken.
2.2 Teoretiskt perspektiv
Uppsatsen har ett pragmatiskt teoretiskt perspektiv, som kännetecknas av fokus på handlingars och påståendes praktiska konsekvenser. En av de mest inflytelserika
pragmatikerna var pedagogen John Dewey. Forsell (2011) beskriver att Deweys människosyn är att alla människor har ett lika värde och att för att förverkliga alla människors sanna utvecklingspotential måste man utgå från individens egna
förutsättningar. Dewey menar att man måste se människan som en social varelse och detta ger då konsekvenser för skolan. Den enskilda elevens behov och intressen är en självklar utgångspunkt för allt lärande. Han menade också att om elever själva får välja
arbetsuppgift så blir den självdisciplinerade. När det gäller hans kunskapssyn så ansåg Dewey att människan inte kan lära sig allt, utan man måste sortera, metoden att sortera är att låta den enskildes intresse vara med och avgöra vad den enskilde skall lära sig. Läraren skall utgå från de erfarenheter och symbolspråk som eleven har och bygga vidare på det. John Dewey menar att alla har en bild av något slags mål, detta är själva drivkraften att göra, handla och agera. Pedagogiken, menar Dewey, ska utveckla människors förmågor till att ställa upp mål för det egna handlandet, planera hur dessa mål skall kunna förverkligas, sen genom handling försöka uppnå dem och att bedöma konsekvenserna av handlingarna.
2.2.1 Matematiska representationer och mentala modeller
Gustafsson (2011) skriver att när vi erfar eller uppfattar omvärlden skapar vi mentala modeller. Omvärlden kopplas på detta sätt till vår fantasi. Människan kan sedan basera sina beslut eller göra förutsägelser utifrån dessa modeller. När skolan vill testa eller examinera dessa inre modeller uppstår dock problem. Därför är det viktigt att öva på att gå från det interna till det externa. Gustafsson (2011, s. 36) menar att Pden som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till problemlösningsförmågan”.
Enligt Gustafsson kan matematiska begrepp representeras på olika sätt som kan skilja sig mycket åt och ha olika funktion. De kan delas in i fem kategorier: fysisk, bildlig eller grafisk, verbal, numerisk och symbolisk. Vilken eller vilka representationer som är
utveckling. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp måste eleven behärska olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem. Det talade språket har här en viktig funktion. Vi använder det talade språket för att stegvis bygga upp
representationer från det konkreta till det mera abstrakta. Språket används även för att utforska och se sambanden mellan olika representationer. Elever som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan representationer är också något som många menar starkt bidrar till problemlösningsförmågan. Nedan följer exempel på olika typer av representationer.
Fysisk representation
Vi tar fram en förpackning havregryn och läser hur mycket vatten och havre vi behöver beroende på hur många portioner vi skall koka. Vi kan då mäta upp korrekt mängd vatten och havre även i ett fall som inte står angivet på förpackningen.
Verbal representation
Vi kan säga att en linjär funktion är en funktion som går igenom origo och som är sådan att vi kan få y-värdet för vilken punkt x som helst genom att ta y-värdet för x =1 och multiplicera med vårt aktuella x.
Numerisk representation
Vi ger ett exempel i form av tre värdetabeller och observerar mönstret. Speciellt ser vi att vi enkelt kan beräkna värdet för vilket x som helst bara vi känner värdet för x =1.
Bildlig representation
Vi ger exempel på linjära funktioner i en graf och ser att de är linjer som är räta och går genom origo
Symbolisk representation
En linjär funktion eller en funktion där y är proportionell mot x ges av uttrycket y=k⋅x
där k kallas proportionalitetskonstanten. Alternativt kan vi säga att en linjär funktion är en funktion som uppfyller f (a⋅x1+ b⋅x2)=a⋅ f ( x1)+ b⋅f (x2) för alla värden på x1 och
x2 där a och b är godtyckliga konstanter. Det senare sättet att beskriva en linjär funktion är mera abstrakt och fokuserar på egenskaper.
Geogebra är ett exempel på hur multipla representationer av samma matematiska objekt kan utnyttjas.
3 Metod och genomförande
3.1 Metod
Det insamlande materialet består bland annat av semistrukturerade intervjuer och för dessa används en kvalitativ analysmetod. Semistrukturerade intervjuer har varit lämpliga då de tillåter relativt öppna samtal. Kvalitativ metod lämpar sig när undersökningens frågor rör sig om människors upplevelser av olika saker eller deras syn på verkligheten, när man vill beskriva, förklara och tolka. Kvalitet kommer från det latinska "qualitas" som betyder beskaffenhet, egenskap, sort – det handlar alltså om beskrivande aspekter.
De uttalanden i intervjuerna som går att koppla till och är relevanta för forskningsfrågorna är transkriberade och citat från dessa används senare i analysen. Citat från enskilda
individer har använts för att låta informanternas röster komma fram. Transkriberingsmetoden är enligt följande tabell.
Kortare paus #
Längre paus ##
Ofullständigt yttrande +
Uteslutning av för studien irrelevant material
[...]
Kvalitativ metod lämpar sig dessutom då det är relativt få informanter involverade. Metodvalet innebär också att jag har analyserat och diskuterat på ett djupgående sätt utifrån de svar jag fått från informanterna. Jag har också använt mig av triangulering, d.v.s. flera metoder, i mitt fall, lärarintervjuer och elevintervjuer under elevaktivitet, för att få en bredare belysning och öka trovärdigheten. Forskningsprocessen är induktiv, d.v.s. att jag på basis av iakttagelser försöker komma fram till en förklaring. Forskningsprocessen
innefattar också litteratursökning för att kunna beskriva det aktuella läget inom
Forskningsprocessen inom kvalitativ metod innefattar insamlande av data, analys av data, sammanställning av resultaten och en diskussion av forskningsfrågorna i ljuset av vad som var känt sedan tidigare.
3.2 Genomförande
Alvehus (2013) nämner att skälet till att man genomför intervjuer är att det är ett sätt att få reda på hur en annan person tänker kring och känner inför ett speciellt ämne, en viss händelse eller ett fenomen. Att intervjua en person är att sätt att komma åt hennes åsikter, känslor, erfarenheter och tankar. På många sätt fyller intervjuer en viktig roll i att skapa förståelse för hur individer och grupper bygger upp och håller ihop sin sociala värld. Alvehus (2013) beskriver att i en semistrukturerad intervju har intervjuaren förberett ett antal öppna frågor som samtalet centreras till. Respondenten har stor möjlighet att påverka intervjuns innehåll, och intervjuaren måste vara mer aktiv i sitt lyssnande och i att arbeta med följdfrågorna.
3.2.1 Genomförande av intervju med lärare
Intervjun med lärare skedde på skolan och det började med att jag informerade att intervjun kommer att ta cirka 15 minuter, samt att deras uppgifter kommer att behandlas konfidentiellt och att de är anonyma. Jag informerade också att intervjun spelas in för att möjliggöra återkoppling om det finns några oklarheter.
Följande frågor ställdes till lärarna:
1. Vilka fördelar ser du med att använda Geogebra i matematikundervisningen? 2. Vilka nackdelar ser du med att använda Geogebra i matematikundervisningen? 3. Vilka fördelar och nackdelar har elever uttryckt till er gällande att använda
Geogebra mot att inte använda Geogebra i matematikundervisningen?
4. Inom vilka områden i matematiken tycker du att det finns fördelar att använda Geogebra?
5. Hur länge har du använt Geogebra och hur lärde du dig programmet? 6. Har du några andra idéer eller kommentarer gällande Geogebra?
3.2.2 Genomförande av elevintervjuer under elevaktivitet.
Undersökningen började med att jag informerade om undersökningens syfte d.v.s. för- och nackdelar med det digitala hjälpmedlet Geogebra i matematikundervisningen. Jag
berättade att undersökningen kommer att ta cirka 30 minuter, samt att deras uppgifter kommer att behandlas konfidentiellt och att de är anonyma. Jag informerade också att deras svar spelas in för att möjliggöra återkoppling om det finns några oklarheter.
Det digitala hjälpmedlet Geogebra valdes därför att det som Kutluca (2013) också nämner är ett av få program som har alla moment d.v.s. det visuella, aritmetiska och algebraiska. Katalucas undersökning visar att för det geometriska området är Geogebra ett bra hjälpmedel och han visar via sin undersökning på att elevgruppen som använder detta hjälpmedel presterar bättre på tester än kontrollgruppen.
Undersökningen gjordes genom att eleverna självständigt fick lösa ett antal uppgifter med hjälp av Geogebra. När någon elev hade några frågor eller kommentarer spelade jag in detta. Jag tog även en bild av den aktuella situationen på elevens skärm. Även stegen för att kunna komma igång med uppgifterna är en del av aktiviteten. Här är det intressant att iaktta vilka tekniska problem och frågeställningar som uppstår. Valet av uppgifter är gjort enligt MFL vilket förespråkar att lärandet börjar i det konkreta och gradvis övergår till det mer abstrakta (Bu och Schoen, 2011). Detta skapar också motivation enligt Jenner (2004) eftersom eleven bedömer hur sannolikt det är att den skall lyckas med uppgiften. Eleven har med sig erfarenheter och tar dessa i beaktande för att utvärdera sannolikheten i att klara av nästa uppgift.
Elevernas uppgifter vid elevaktiviteten var följande och valdes med tanke på att det skall vara något som de kan ha nytta av privat och i sitt yrkesliv i Deweys anda.
Uppgift 1.
Starta Geogebra genom att gå till geogebra.org.
Uppgift 2.
Rita linjen A: y = 0.5x + 1 genom att först ändra bakgrunden till rutnät genom att klicka på ikonen med tre-streck till höger på skärmen och därefter välja rutnät. Tryck på ikonen ”punkt” till vänster på skärmen och sätt ut två punkter på rutnätet. Välj därefter ikonen ”dra linje mellan två punkter”. Högerklicka på funktionen till vänster och välj att visa på formen y=kx+m. Flytta därefter punkterna så att linjen har ekvationen y=0.5x+1.
Uppgift 3.
Rita en ny linje B som har k-värdet 1.5 och går igenom punkten (6,4). Vilket m-värde har linjen B?
Vid elevaktiviteten ställde jag några frågor och var observant på elevernas resonemang och frågeställningar. Följande frågor ställdes till eleverna.
• Vilka fördelar finns det med Geogebra? • Vilka nackdelar finns det med Geogebra?
Följdfrågor ställdes även beroende på vad eleverna svarade för att få ett mer uttömmande svar. Studien spelades in och jag tog bilder på elevernas datorskärmar vid tillfällen då eleverna upplevde något problem eller diskuterade en intressant frågeställning.
3.3 Informanter
Lärarintervjuerna och elevintervjuerna gjordes på en gymnasieskola och jag går inte närmare in på vilken skola det var för att hålla elever och lärares identiteter dolda.
arbetat med Geogebra och undervisar i matematik, jag benämner dem som lärare A,B,C och D i uppsatsen.
3.4 Reliabilitet och urval
3.4.1 Urval
Eleverna som har valts ut går teknikprogrammet årskurs 1 och 2. Teknikprogrammet är matematikinriktat vilket innebär att eleverna är relativt intresserade av och duktiga på matematik, vilket är något som man bör ta hänsyn till när man tar del av uppsatsen.
Lärarna som deltog i undersökningen har alla arbetat med Geogebra och de undervisar i matematik på gymnasienivå. Ett aktivt val gjordes alltså i termer av yrke,
undervisningsämne samt användandet av Geogebra i undervisningen. Flera lärare tillfrågades men dessa hade ingen erfarenhet av Geogebra och valdes av detta skäl bort.
3.4.2 Reliabilitet
Den svåra uppgiften att bedöma resultaten från en undersökning börjar när undersökningen börjar producera resultat. Detta är en viktig aspekt på forskningens kvalitet och en del av själva undersökningen. Enligt Vetenskapsrådet (2011) är ett frestande och vanligt misstag att överskatta betydelsen av resultaten och att använda slutsatserna långt utanför det område där man har funnit att de gäller.
I forskningen brukar man kräva en noggrann felanalys eller en diskussion av tänkbara felkällor och annat som kan påverka resultatens validitet. Det svåra är att göra realistiska bedömningar. Det är etiskt oförsvarbart om man medvetet förtränger väsentliga felkällor. Det kan gälla att man undanhåller vissa data för att kunna få en artikel publicerad eller att man chansar på att resultaten ska vara riktiga. Man bör dock inte heller på grund av en överdriven försiktighet avstå från att dela med sig av sina resultat. Som Vetenskapsrådet (2011, s. 44) uttrycker det: ”Det viktigaste är att vara tydlig, kritisk och ärlig om hur man
bedömer sina felkällor.”.
Bedömningen av felkällor är beroende av den forskningsmetodik som man arbetar med. Om man utför analysen utifrån en viss teoretisk utgångspunkt eller modell så syns inte vissa felkällor. Det är alltså viktigt att man i felanalysen försöker bredda perspektivet till andra, alternativa synsätt och inte bara begränsar sig till de ”interna fel” som ryms inom ramen för det synsätt som man har valt. Detta är dock inte lätt, då kan man behöva dra ner på ambitionsnivån, men då är det desto viktigare att man är noga med att redovisa
utgångspunkten för analysen och begränsningarna.
Eftersom ett aktivt val gjordes både för lärarintervjuerna och och elevintervjuerna bör man ta detta aktiva val i beaktande då man bedömer resultaten. När det gäller lärarintervjuerna har endast lärare med erfarenhet av Geogebra och matematik valts ut. I fallet med
elevintervjuerna har elever valts som går på Teknikprogrammet och är relativt intresserade och duktiga på matematik. Man bör också ta i beaktande att både lärarintervjuerna och elevintervjuerna skedde med relativt få deltagare och under kort tid.
3.5 Etiska aspekter
Vetenskapsrådet (2011) tar upp att individer som medverkar i forskning ska skyddas från skada och kränkning, de benämner detta som individskyddskravet, de tar också upp att det inte är rimligt att en obetydlig skada får hindra forskningen. Forskningen är viktig för samhället genom de förbättringar av hälsa, miljö och livskvalitet, som den kan leda till. Dessutom har forskningsresultaten ofta ett egenvärde. Vetenskapsrådet (2011) menar att det är etiskt motiverat att bedriva forskning och benämner det: forskningskravet.
Forskningsetiska problem kan därför beskrivas som vägningar mellan dessa krav. Man ska utföra kvalitativt god forskning med ett viktigt syfte och samtidigt skydda de individer som deltar i forskningen. Avvägningen av detta blir avhängigt av vad slags forskning det är fråga om.
Enligt Vetenskapsrådet (u.å.) är det fyra principer som bör tas i beaktande vid genomförandet av vetenskapliga studier; informationskravet, samtyckeskravet,
konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. Informationskravet innebär att forskaren skall ge information om studiens syfte till informanterna. I enlighet med informations- och samtyckeskraven informerades alla berörda lärare och elever. Eleverna informerades inte om vilka uppgifter de skulle lösa vid elevaktiviteten, detta för att inte påverka
undersökningens resultat, utan informerades endast om att syftet är att undersöka för- och nackdelar med digitala hjälpmedel.
Det var frivilligt för eleverna att delta i elevaktiviteten, eleverna hade även möjlighet att avbryta sitt deltagande när som helst. Elevaktiviteten innefattade inga privata eller etiskt känsliga frågor, därför ansågs det inte nödvändigt att samla in skriftliga medgivanden från elevernas vårdnadshavare (Vetenskapsrådet, 2011).
Konfidentialitetskravet, den tredje forskningsetiska principen, handlar om att deltagarnas personuppgifter ska förvaras så att obehöriga inte kan ta del av dem (Vetenskapsrådet, 2011). Det insamlade materialet förvaras säkert skyddat från obehöriga, och alla deltagande är avidentifierade. Detta är gjort för att säkerställa att materialet inte kan användas för annat än vetenskapliga syften.
4 Resultat
4.1 Resultat av intervjuer med lärare.
4.1.1 Fråga 1.
Frågan jag ställde var: ”Vilka fördelar ser du med att använda Geogebra i
matematikundervisningen?”. Lärare A svarade att han tycker det finns tydliga fördelar när eleverna skall testa något nytt i matematik, då de behöver rita, testa och prova nya saker inom området. Han poängterar dock att det är viktigt att eleverna också ritar själva med papper och penna för att verifiera att kunskapen finns där. Han anser att Geogebra kan användas först för att bygga upp förståelse och sen kan eleverna använda papper och penna för att rita själva.
En annan fördel är att eleverna upplever att det känns lite nytt och spännande med ett nytt verktyg. Både lärare A och C menar på att detta dock är ett snabbt övergående intresse som man som lärare måste fånga upp snabbt med intressanta och tydliga uppgifter för att inte bara intresset skall urarta i lek med verktyget. Lärare A uttrycker detta på följande sätt.
Ja det är nog mest intresse för verktyget i början # det gäller nog att ha bra uppgifter eller att göra bra grejer med det för att det skall utveckla ett intresse för matematiken # annars fastnar
de nog i att det finns lite intresse för programmet # sen tröttnar de på programmet eller så börjar de leka lite
Vidare uttrycker lärare A att det är bra med något nytt matematikverktyg. Grafritare typ Texas TI-84 har fått en slags industristandard menar han, som det är svårt att komma vidare från. Lärare A yttrar sig om detta på följande sätt.
ja de är ju ganska dåligt upplösta de här grafritarna # det har ju blivit som en industristandard
detta. Att använda moderna och tidsenliga hjälpmedel nämns också i läroplanen.
utbildningen utformas så att eleverna, för att själva kunna söka och utveckla kunskaper, får tillgång till handledning och läromedel av god kvalitet samt andra läroverktyg för en tidsenlig utbildning, bland annat bibliotek, datorer och andra tekniska hjälpmedel
Lärare B säger att Geogebra leder till bättre förståelse hos eleverna vilket reflekteras i följande citat.
jag märker att eleverna förstår det bättre när jag använder Geogebra #när vi kör vektorer, och addition av vektorer
Lärare C har samma erfarenhet men inom ett annat område av matematiken.
Jag tycker det är bra när man skall gå igenom cirkeln # och när vi pratar om radianer#då kan man rita och marker vad som händer med vinkeln # det blir tydligt och exakt och går snabbt att ändra och ställa frågor till eleverna
Lärare D menar att alla elever lär sig på olika sätt, men ”jag tror alla har nytta av att se matematik i rörelse”. Han tycker det är bra att eleverna har möjlighet att själva justera variabler och/eller konstanter för att se vad som händer.
4.1.2 Fråga 2.
Frågan jag ställde var: ”Vilka nackdelar ser du med att använda Geogebra i
matematikundervisningen?”. Både lärare A och C uttrycker att det finns en risk att eleverna inte lär sig att rita på egen hand utan har fått för mycket givet automatiskt via programmet, det är därför viktigt att eleverna också ritar själv med papper och penna för att verifiera att kunskapen finns där.
En annan nackdel är att det initiala intresset för det nya verktyget kan svalna snabbt, läraren måste snabbt ta tillvara på intresset med tydliga uppgifter för att inte intresset skall urarta i lek med verktyget. Lärare C uttrycker detta på följande sätt.
jag tycker det är bra med Geogebra och eleverna är intresserade i början # men det är lätt att det blir lek av det # de drar snurrar och leker # man måste ha bra uppgifter
Lärare B och D nämner att det är tidskrävande för eleverna att sätta sig in i hur
programmet fungerar. Därför använder de Geogebra endast vid sina genomgångar. Lärare D uttrycker det på följande vis.
nackdelen är ju att man måste lära sig ett nytt verktyg och att man på något sätt måste ta ett beslut på om det är värt att lära ut till eleverna eller bara använda rent som ett undervisningsverktyg # för det är ju en till rörlig del att hålla koll på
4.1.3 Fråga 3.
Frågan jag ställde var: ”Vilka fördelar och nackdelar har elever uttryckt till er gällande att använda Geogebra mot att inte använda Geogebra i matematikundervisningen?”. Tre av lärarna svarar ungefär likadant, att eleverna har uttryckt att verktyget är smidigt och att resultatet blir snyggare än om man ritar själv med papper och penna, dessutom går det att ändra snabbt och enkelt. Lärarna har också uttryckt att eleverna visar ett ökat intresse när lärarna använder digitala hjälpmedel vid genomgångar. Lärare D uttrycker det så här:
Jaja absolut # säg att du har en andragradsekvation ekvation och skall visa då i ett allmänt fall vad det är som händer då du justerar dina variabler # då är det alltid någon som säger så här å shit vad coolt eller jaha eller sådana reaktioner # när de ser matematiken i rörelse så är det bara positiv respons
4.1.4 Fråga 4.
Frågan jag ställde var: ”Inom vilka områden i matematiken tycker du att det finns fördelar med att använda Geogebra?”. Tre av lärarna svarar att de använder Geogebra vid
genomgångar av geometri och funktioner, den fjärde läraren, lärare D, uttrycker sig mer generellt och menar att det är bra varje gång man går igenom ett nytt koncept som går att lösa grafiskt. Lärare D tar upp ett exempel när han använder Geogebra.
jag projicerar bilden på whiteboard-tavlan och frågar eleverna vad de tror skall hända när variablerna ändra#sen ändrar jag variablerna och eleverna kan se vem som fick rätt # då får jag också ett utmärkt tillfälle att förstå hur varje elev tänker
Lärare C uttrycker sig så här
Jag tycker det är bra när man skall gå igenom cirkeln # och när vi pratar om radianer#då kan man rita och märker vad som händer med vinkeln # det blir tydligt och exakt och går snabbt att ändra och ställa frågor till eleverna
Lärare C och D använder här Geogebra som centrum för dialoger i
matematikundervisningen. De upplever att de får en chans att se hur eleverna tänker och resonerar.
4.1.5 Fråga 5.
Frågan jag ställde var: ”Hur länge har du använt Geogebra och hur lärde du dig programmet?”. Alla lärare svarade att de lärt sig själva genom att prova sig fram i programmet och någon har även använt sig av en tutorial på Youtube. Lärarna uttrycker också att de är medvetna om att det finns mer funktionalitet i Geogebra som de inte har använt och har bara undersökt den funktionalitet som de har behövt i sin undervisning. Lärare A och D menar också på att det kan vara vettigt att använda sig av kollegialt lärande gällande Geogebra, det finns en risk annars att det helt enkelt inte blir av att man börjar utnyttja programmet i sin undervisning. Kollegialt lärandet kan enligt lärare A vara en kort genomgång vid ett veckomöte av de grundläggande och mest användbara funktionerna i programmet. Lärare D skulle också vilja se en kort manual på några sidor som delas ut till lärarna som ett sätt att komma igång. Lärare B nämner vid intervjun att hon har använt andra digitala hjälpmedel vid sin undervisning och att det finns andra sidor där man kan göra simuleringar som alternativ till Geogebra. I en återkoppling via mejl framkom det senare att det handlar om programmet Desmos. Desmos är ett grafritande
matematikprogram liknande Geogebra och är ett av många alternativ som det finns att välja på. Det kan vara vettigt att försöka följa med i utvecklingen av de olika verktygen,
det kommer ständigt nya förbättringar och vilket program som leder utvecklingen ändras ständigt. Lärare D nämner att det tog ett tag innan han fick reda på att Geogebra fanns via en kollega. Här har kollegialt lärande en viktig funktion där lärare kan dela ny information med varandra och eventuellt också hålla någon grundläggande kurs.
4.1.6 Fråga 6.
Frågan jag ställde var: ”Har du några andra idéer eller kommentarer gällande Geogebra?”. Lärare A tycker att Geogebra är ett stort steg framåt. Han anser att grafritare har använts under lång tid och att det känns omodernt vilket flera elever också har uttryckt. Grafritare, exempelvis Texas TI-84, har länge varit en typ av industristandard som det varit svårt att komma vidare ifrån. Flera lärare nämner också att de uppskattar att programmet finns fritt tillgängligt och att det är relativt lätt att börja använda det. Det finns också färdiga
uppgifter som andra lärare lägger ut på Geogebras hemsida som underlättar för nya användare.
Lärare D vill se en integration med Google classroom. Han har även upptäckt ett sätt att använda Geogebra som passar hans lärostil väldigt bra, han förklarar på följande sätt.
jag har kommit på ett sätt som passar min lärostil#jag projicerar bilden direkt på whiteboard-tavlan och frågar eleverna vad de tror skall hända när variablerna ändra#sen sätter jag graferna i rörelse och går igenom varför eleverna hade rätt eller fel # då får jag också en utmärkt möjlighet att förstå hur varje elev tänker
Lärare D använder här den dynamiska aspekten av Geogebra och använder det digitala hjälpmedlet som centrum för dialog.
4.2 Resultat av elevaktivitet.
Stämningen i början av undersökningen var positiv, eleverna var angelägna om att visa att de kunde klara av uppgifterna. Detta knyter an till Jenners (2004) första faktor gällande motivation nämligen, den inre motiverande faktorn, det handlar om nyfikenhet och energi. Denna nyfikenhet och energi kan dock vara snabbt övergående, speciellt om eleverna stöter på tekniska problem. En elev uttryckte följande.
Det är bättre med Geogebra för att man kan dra och ändra på linjerna men jag vill också lära mig med papper och penna för att det använder vi på proven.
Detta är en kommentar som återkommer ofta och anknyter till en annan av Jenners (2004) faktorer gällande motivation nämligen, att ha ett mål, i detta fallet att få ett bra betyg på provet.
En elev fastnade i uppgiften med att hitta skärningspunkten då han tog för givet att den andra linjen måste luta åt det andra hållet för att linjerna skall skära varandra, men i uppgiften var det givet att båda linjerna skall ha positiva k-värden och alltså luta åt samma håll.
Detta är ett exempel på att eleven inte enkelt kunde lösa uppgiften trots digitalt hjälpmedel. Eleven måste förstå att linjerna kan skära varandra trots att de inte lutar åt olika håll, eventuellt hade eleven kommit på detta om det funnits mer tid vid undersökningen. Det finns i denna uppgiften vissa steg som eleverna behöver förstå för att kunna lösa uppgiften oberoende om de arbetar med digitala hjälpmedel eller mer traditionell undervisning. Troligtvis är det något enklare att komma fram till insikten att linjerna faktiskt kan luta åt samma håll och ändå skära varandra eftersom eleverna kan snabbt dra och ändra på linjernas lutning.
4.2.2 Resultat klass T1b:
En elev uttryckte följande: ”Det är bättre med Geogebra för att då kan man dra linjerna och behöver inte sudda och hålla på.”. Detta är en väldigt vanlig kommentar under både lärar-
och elevintervjuerna. Det är en av anledningarna till att många lärare använder Geogebra vid undervisning av räta linjens ekvation tex.
Under elevaktiviteten blev en ny problematik tydlig. Elev A har diagnosen Asberger och detta fick konsekvenser under aktiviteten. Det märktes tidigt att elev A blir irriterad vid aktiviteten. Han uttrycker ”jag vet inte var jag skall sätta ut punkterna?”. I uppgiften ingår det att eleven skall sätta ut två punkter och dra en linje mellan dem. När man löser
uppgiften går det bra att sätta ut punkterna var som helst på rutnätet men elev A upplever denna frihet som stressande. Jag fick uttryckligen be honom sätta ut punkterna var som helt på skärmen. Elev A vill ha väldigt tydliga instruktioner om vad det är som skall göras annars tappar han humöret, detta innebär en svår utmaning när man jobbar i helklass tex att vissa elever behöver steg för steg instruktion, medan andra kommer vidare snabbt och kan i sin tur bli irriterade eller ofokuserade om de tvingas vänta på andra som inte kommer vidare.
Elev A hade också svårt att dra linjen som skulle gå igenom punkt (6,4) därför att värdet inte blev exakt utan istället 5.99,4. Det går att lösa uppgiften trots att linjen inte är exakt genom denna punkt men elev A blev väldigt fokuserad på att försöka få linjen att gå exakt igenom punkten och stor frustration uppstod när detta inte lyckades. Detta är en av
anledningarna till att lärare B inte låter eleverna själva använda Geogebra i denna klassen, då lärare B flera gånger har upplevt att frustrationen blir för stor hos elev A. Elev A
uttrycker det själv som: ”jag tycker det är frustrerande med hjälpmedlet men det är nog för att jag inte kan det ännu, kanske är det bra när jag kan det”. Elev A har däremot inget emot att rita med papper och penna, och det blir ingen frustration trots att det kan verka klurigt och tekniskt svårt att rita och få till linjerna men detta upplever elev A inte som något problem.
4.2.3 Resultat klass T2.
behöver rita om i fall att man ritat fel och att det går att vrida på linjen för att få den rätt. Flera elever nämner också att det är bra att linjens ekvation ändras automatiskt när man ändrar på linjen. Detta ser dock många elever också som en nackdel eftersom man inte lär sig den stegvisa metoden att räkna ut linjens ekvation som eleverna sen kommer att behöva vid examination och i andra situationer.
Flera elever säger att de ”gillar Geogebra för att det blir exakt” och de uppskattar
ordningen som det blir på skärmen, att de inte behöver bry sig om att det skall bli rakt och snyggt som när man jobbar med papper och penna.
En elev menar att det beror på uppgiften om det är fördel eller nackdel. Han uttrycker det på följande sätt.
skall man leta upp en linje med en viss ekvation så är det bättre med programmet # men om man skall rita en enkel rät linje där man har ekvationen så är det lättare med papper och penna
En annan nackdel som eleverna nämner är ”att man måste ha en dator och en
internetuppkoppling”. Detta är en insikt som också är viktig, det är först när tekniken fungerar som eventuella fördelar blir uppenbara innan dess kan det finnas flera hinder, Java är inte installerat, batteriet är urladdat, internetuppkopplingen fungerar inte osv. Lärare som har för avsikt att använda Geogebra skall inte ta för lätt på dessa tekniska problem som kan uppstå speciellt om det är så att alla elever skall arbeta självständigt på sina datorer, det finns då stor sannolikhet att någon eller några av felkällorna blir aktuella.
Eleverna uttrycker också att ”det är svårt att flytta punkterna så att de hamnar exakt där man vill ha dem”. Det finns dock andra sätt att sätta ut punkterna genom att mata in exakta koordinater, detta är något som läraren har stor nytta av att förbereda innan och att gå igenom alla olika sätt som det går att göra något med hjälp av programmet. Läraren kan också använda sig av att när så många elever arbetar samtidigt så finns det ofta någon elev som löst uppgiften på något annorlunda sätt. Genom att regelbundet under lektionerna höra efter på vilka sätt som eleverna löst uppgifterna så kan det göra att elever som fastnat
kommer vidare.
Eleverna uttrycker också att en nackdel med att jobba på datorn är ett de börjar med eller kommer in på andra saker på datorn. Det kan vara kommentarer på sociala medier eller att de har något annat projekt på gång på datorn, tex att de håller på att programmera något.
Eleverna nämner också det enkla faktum att ”ibland vill man jobba med något fysiskt också” d.v.s. de är helt enkelt trötta på datorn och tycker det är trevligt med papper och penna som omväxling. Detta är en motiverande faktor som Löwing (2002) nämner i sin studie d.v.s. att det finns en vinst i att variera mellan traditionell undervisning och undervisning med tekniska hjälpmedel.
5 Analys av resultat
Lärare D menar att alla elever lär sig på olika sätt, men ”jag tror alla har nytta av att se matematik i rörelse”. Lärare D tycker det är bra att eleverna har möjlighet att själva justera variabler och/eller konstanter för att se vad som händer. Det finns även stöd för detta i forskningen. Bu och Schoen (2011) konstaterar att matematiken är dynamisk och att behovet av många representationer är stort. Detta är den teoretiska grunden till varför tekniska verktyg såsom Geogebra ska integreras i undervisningen. Geogebra underlättar skapandet av inre modeller och stärker begreppsförståelsen.
Lärare D beskriver också att eleverna tycker det är intressant när han projicerar grafen av en andragradsfunktion på whiteboard-tavlan och frågar eleverna vad som kommer att hända när han sätter grafen i rörelse genom att ändra variablerna.
Denna positiva attityd hos eleverna kan påverka motivationen enligt Teoh, Koo och Sing (2010) som menar att elevernas attityd till matematikämnet påverkar motivationen. Attityden till ämnet, enligt denna studie, kommer från den upplevelse av hur det går i ämnet. Motivationen påverkas alltså på ett positivt sätt om eleven har en positiv attityd till ämnet.
Denna faktor att eleverna känner att det är roligt på något sätt påverkar motivationen för eleverna enligt en studie av Eubanks och Hajj (2015). Elever gör det som skall göras i större utsträckning pga den känslan än om man känner att det inte är roligt. Lärare D uttrycker detta tydligt och denna lekfullhet i undervisningen kan skapa motivation hos eleverna. Lärare D använder här Geogebra på ett sätt som också förespråkas av Lennerstad (2012). Han menar på att digitala hjälpmedel kan på ett effektivt sätt användas som
centrum för dialoger i matematikundervisningen.
ordningen som det blir på skärmen, att de inte behöver bry sig om att det skall bli rakt och snyggt som när man jobbar med papper och penna. Zucker och Hug (2008) påvisar i sin studie samma slutsats att elever känner sig stolta och därigenom får en ökad motivation, då de skapar presentationer som ser professionella ut. De menar att undervisningen blir mer realistisk och ger fler möjligheter samt används på ett sätt som liknar det i arbetslivet.
Flera lärare tycker att Geogebra är ett stort steg framåt. Grafritare har använts under lång tid och det känns gammalt vilket flera elever också har uttryckt. Grafritare, typ Texas TI-84, har länge varit en typ av industristandard som det varit svårt att komma vidare ifrån. Krumsvik (2006) nämner att skolan är långsam på att genomföra tekniska förändringar, och pekar på att orsaken ofta är personerna som är inblandade, ofta är det lärarna själva som kan bli bättre på att börja använda ny teknik. Geogebra är på många sätt den logiska utvecklingen från grafritare, och det finns mycket nytt som man kan göra med Geogebra som en grafritare inte klarar av.
Alla lärare svarade att de lärt sig Geogebra själva genom att prova sig fram i programmet och man kan fråga sig om det är bästa sättet att ta till sig programmet. Det finns risk att lärarna missar funktioner som de kan ha nytta av, eventuellt skulle man kunna tänka sig att användandet av digitala hjälpmedel styrs mer centralt, tex att det blir mer uttalat i
läroplanen eller kursplanen eller att ledningen på skolan organiserar lärarnas
kompetensutveckling tex ser till att lärarna får gå en kurs i något digitalt hjälpmedel.
Det framkom efter intervju med lärare B och vid elevaktiviteten att elev A kräver extra uppmärksamhet från läraren pga sin Asberger, kanske är det befogat med särskilt stöd för elev A i en del av matematikundervisningen. Detta sker i så fall genom en kartläggning och en pedagogisk utredning av elev A.
Lärare B och D nämner att det är tidskrävande för eleverna att sätta sig in i hur
programmet fungerar. Därför använder de Geogebra endast vid sina genomgångar. Joglar, Sordo Juanena och Star (2013) visar i sin undersökning att det ibland var svårt för eleverna
att börja arbeta med Geogebra och det påverkade i sin tur läraren som hela tiden fick hjälpa eleverna. Undersökningen visade att det var viktigt att gradvis introducera digitala
hjälpmedel i undervisningen. Läraren bör dock tänka på att det är en mångårig process att använda sig av ett nytt sätt att lära ut enligt Pierce och Stacey (2013). Detta gör man genom att ändra sin pedagogiska tanke en lektion i taget. De nämner också att lärare bör ha en grundläggande pedagogisk idé när de gör sin förändring. Min reflektion är att lärare som undviker att introducera Geogebra på grund av att det är tidskrävande för eleverna bör överväga att konsultera kollegor om deras erfarenhet av att använda programmet, det finns annars en risk att läraren överdriver tidsaspekten det tar att komma igång med programmet.
Lärare A och C beskriver att det ibland kan bli lek med verktyget, och menar på att det gäller att ha bra och tydliga uppgifter. Detta påpekar också Altiparmak (2014) i sin undersökning, som kom fram till att elever kan nå högre studieresultat med hjälp av digitala hjälpmedel inom matematiken jämfört med de som inte använder det men att en gedigen pedagogisk plan är avgörande för att man skall få de önskvärda resultaten.
Digitala hjälpmedel kan introduceras utan större förändringar i den pedagogiska planen tex vid genomgångar för att förtydliga och visualisera vissa koncept.
Flera elever uttrycker att det är en fördel och ”smidigt” med Geogebra därför att man inte behöver rita om i fall att man ritat fel och att det går att vrida på linjen för att få den rätt. Flera elever nämner också att det är bra att linjens ekvation ändras automatiskt när man ändrar på linjen. Detta är ett exempel på den fördel med Geogebra som Gustavsson (2011) tar upp, det vill säga att snabbt kunna se samma sak multimodalt, detta övar upp procedur-, begrepps- och modelleringsförmågan. Detta ser dock många elever också som en nackdel eftersom man inte lär sig den stegvisa metoden att räkna ut linjens ekvation som eleverna sen kommer att behöva vid examination och i andra situationer.
Eleverna nämner också det enkla faktum att ”ibland vill man jobba med något fysiskt också” d.v.s. de är helt enkelt trötta på datorn och tycker det är trevligt med papper och penna som omväxling. Detta är en motiverande faktor som Löwing (2002) nämner i sin
studie d.v.s att det finns en vinst i att variera mellan traditionell undervisning och undervisning med tekniska hjälpmedel.
Gustafsson (2011, s. 40) tar också upp vikten av variation i undervisningen.
Genom det samlade materialet får eleverna en större möjlighet att utforska uttrycksformer än tidigare, då matematikboken var den dominerande källan till kunskap. Vi anser att detta har en mycket stor potential och vi har bara sett början på en snabb utveckling, där olika medieformer används för att belysa och binda samman skilda aspekter av arbetet med matematiska begrepp.
Den som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till
problemlösningsförmågan enligt Gustafsson. Det är denna möjlighet i Geogebra att snabbt kunna visa och växla mellan flera representationer som gör att elever förstår och lär sig bättre. Bu och Schoen (2011) kommer till samma slutsats i sin studie, de konstaterar att matematiken är dynamisk och att behovet av många representationer är stort. Detta är den teoretiska grunden till varför tekniska verktyg såsom Geogebra ska integreras i
undervisningen. Geogebra underlättar skapandet av inre modeller och stärker begreppsförståelsen.
Lärare som har för avsikt att använda Geogebra skall inte ta för lätt på de tekniska problem som kan uppstå speciellt om det är så att alla elever skall arbeta självständigt på sina datorer, det finns då stor sannolikhet att någon eller några av felkällorna blir aktuella. Samma iakttagelse finns i studien av Guimarães, Ribeiro, Echeveste och de Jacques (2013) som visar att elever och lärare tycker att datorer är övervägande positivt. Ibland var dock datorerna långsamma och gick sönder. Lokalerna saknade strömkontakter och programmen kraschade eller hade buggar. De uttryckte det som att ”utmaningen i användandet av tekniken är tekniken själv. Sannolikheten för problem ökar också ju fler elever och lärare som använder tekniken”.
Digitala hjälpmedel i matematiken är ett område som det skrivits mycket om och blir alltmer aktuellt speciellt som en del av testerna i PISA-undersökningen numera utförs med hjälp av digitala hjälpmedel. Här har man sett att det finns en direkt koppling mellan att använda tekniska hjälpmedel i undervisningen och bättre resultat på de delar som utförs med hjälp av digitala hjälpmedel. Det är ett relativt nytt område och många lärare ser nog direkt nyttan de kan ha med att kunna använda digitala hjälpmedel i sin undervisning. Det är dock ett område som bygger mycket på förtrolighet med verktygen och en förståelse av i vilka situationer som det passar att använda digitala hjälpmedel i
matematikundervisningen.
Lärarna uttrycker i intervjuerna att det finns en viss vinst med kollegialt lärande när det gäller Geogebra. Någon lärare uttryckte det också som att ”annars blir det inte av” det kan alltså finnas anledning att använda en del av den avsatta fortbildningstiden till Geogebra. Det kan tex ske genom att någon lärare som redan kan Geogebra håller en kort presentation vid något veckomöte, med de grundläggande funktionerna. Detta hjälper övriga lärare att komma över det svåra första steget att börja använda programmet. Skolan bör dock vara medveten om utmaningarna då tekniska verktyg blir en del av elevernas sätt att lösa matematiska uppgifter. Eleverna behöver då få tillgång till verktygen vid examination (Bu och Schoen, 2011).
6 Diskussion och slutsats
6.1 Diskussion
Geogebra är ett effektivt digitalt hjälpmedel som framför allt lämpar sig inom de områden i matematiken som innefattar dynamiska visualiseringar, exempelvis geometri och grafer. Geogebra möjliggör gestaltning av många matematiska representationer, det ger läraren fler möjligheter jämfört med mer traditionell undervisning med papper och penna. Denna möjlighet till många representationer är något som starkt bidrar till problemlösnings- och modelleringsförmågan enligt flera studier (Bu och Schoen, 2011; Gustavsson, 2011). Representationer kan delas in i fem kategorier: fysisk, bildlig eller grafisk, verbal, numerisk och symbolisk, se kapitel 2.3.1-2.3.5. Alla dessa representationer finns i Geogebra. Vilken eller vilka representationer som är lämpligast beror på vad de skall användas till och också hur långt eleven har kommit i sin utveckling. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp måste eleven behärska olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem. Med hjälp av Geogebra kan eleverna snabbt och enkelt växla mellan olika representationsformer. Den som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till modellerings- och problemlösningsförmågan. Det talade språket har här en viktig funktion. Vi använder det talade språket för att stegvis bygga upp representationer från det konkreta till det mera abstrakta. Språket används även för att utforska och se sambanden mellan olika representationer. Geogebra kan med fördel även användas som centrum för dialog vid undervisning och detta ökar elevernas
resonemang- och kommunikationsförmåga, Lennerstad (2012) konstaterar även detta i sin studie. Detta kan exempelvis göras genom att projicera en graf på whiteboard-tavlan, presentationen blir exakt och tydlig och läraren kan sätta bilden i rörelse vilket skapar intresse hos eleverna. När eleverna deltar i dialogen och övar sig på att uttrycka termer ökar också deras begreppsförmåga. Det finns färdiga uppgifter med lösningar som andra
lärare och elever lägger ut på Geogebras hemsida, det ger eleverna möjlighet att se nya perspektiv på hur ett problem kan lösas och hjälper på så sätt till att öka deras
problemlösningsförmåga.
Digitala hjälpmedel kan vara motiverande för eleverna också bara av det faktum att de redan lever i en digital kultur och upplever att undervisningen blir mer modern och tidsenlig. Att lära sig arbetssättet och procedurerna i de digitala hjälpmedlen har också visat sig ha en positiv effekt på resultaten vid prov där digitala hjälpmedel används, tex i PISA-undersökningen. Geogebra möjliggör också presentationer som blir exakta och ser professionella ut och detta i sig skapar motivation hos eleverna.
Flera nackdelar framkommer också, såsom tekniska svårigheter, inlärningstid och att annat lockar på datorn som gör att eleverna tappar fokus. De automatiserande funktionerna i programmet kan innebära att elever inte lär sig de manuella steg som erfordras för att kunna lösa uppgifterna utan det digitala hjälpmedlet Geogebra. Det är dessutom en utmaning för skolan då tekniska verktyg blir en del av deras sätt att lösa matematiska uppgifter. Eleverna behöver då få tillgång till verktygen vid examination. Det framkommer också att variation är viktigt mellan mer traditionell undervisning och undervisning med tekniska hjälpmedel. Ett sätt för lärare att utveckla sin kompetens inom digitala hjälpmedel är via en kompetensutvecklingsplan på Skolverkets hemsida. (Skolverket, 2016)
Innehållet är fritt tillgängligt och öppet för alla att använda. Kompetensutvecklingen sker genom kollegialt lärande vilket innebär att läraren lär tillsammans med dina kollegor och prövar nya verktyg direkt i undervisningen.
6.2 Metodval
Jag valde mellan en enkät-undersökning och intervju men kom efter diskussion med andra fram till att intervju var det lämpligaste i mitt fall. Det insamlande materialet består bland annat av semistrukturerade intervjuer och för dessa används en kvalitativ analysmetod. Att välja semistrukturerade intervjuer gjorde att det tillät ett relativt öppet samtal, det lämpade
sig i denna undersökning då det handlar om att beskriva människors upplevelser av någonting. Citat från transkriberingar av informanternas uttalande har använts för att låta informanternas röster komma fram. Metodvalet innebär också att jag har analyserat och diskuterat på ett djupgående sätt utifrån de svar jag fått från informanterna.
6.3 Slutsats
Fördelarna med Geogebra i matematikundervisningen är följande • Möjliggör gestaltning av många matematiska representationer.
• Eleverna kan snabbt och enkelt växla mellan olika representationsformer.
• Fler möjligheter jämfört med mer traditionell undervisning med papper och penna. • Kan användas som centrum för dialog.
• Möjliggör presentationer som blir exakta och ser professionella ut och detta i sig skapar motivation hos eleverna.
• Undervisningen blir mer modern och tidsenlig.
• Möjliggör variation mellan mer traditionell undervisning och undervisning med tekniska hjälpmedel.
• Presentationen blir exakt och tydlig och läraren kan sätta bilden i rörelse vilket skapar intresse hos eleverna.
• Färdiga uppgifter med lösningar som andra lärare och elever lägger ut på Geogebras hemsida
Nackdelarna med Geogebra i matematikundervisningen är följande • Inlärningstid för programmet.
• Tekniska svårigheter.
• Annat som lockar på datorn som gör att eleverna tappar fokus.
• Elever lär sig inte de manuella steg som erfordras för att kunna lösa uppgifterna utan det digitala hjälpmedlet Geogebra.
Områden där det finns fördelar med att använda Geogebra i matematikundervisningen är följande
• Områden i matematiken som innefattar dynamiska visualiseringar, exempelvis geometri och grafer.
• Som centrum för dialog.
Orsaken till att det finns fördelar av att använda Geogebra i matematikundervisningen är följande
• Många representationer är något som starkt bidrar till problemlösnings- och modelleringsförmågan enligt flera studier.
• Att kunna växla mellan olika representationer är något som starkt bidrar till modellerings- och problemlösningsförmågan.
• När Geogebra används som centrum för dialog hjälper det till att bygga upp representationer från det konkreta till det mera abstrakta.
• När eleverna deltar i dialogen och övar sig på att uttrycka termer ökar deras begreppsförmåga.
• Eleverna lever redan i en digital kultur och upplever därför att undervisningen blir mer modern och tidsenlig.
• De färdiga uppgifterna som andra elever lagt upp ger eleverna nya perspektiv på hur ett problem kan lösas.
Lärare kan använda Geogebra i sin matematikundervisningen på följande vis
• Inom områden i matematiken som innefattar dynamiska visualiseringar, exempelvis geometri och grafer.
• Som centrum för dialog.
• För variation mellan mer traditionell undervisning och undervisning med tekniska hjälpmedel.
Lärare kan förbättra sin kompetens av digitala hjälpmedel enligt nedanstående • Kollegialt lärande med hjälp av Skolverkets kompetensutvecklingsplan.
• Individuellt lärande med hjälp av tutorials på nätet.
6.4 Slutord och framtida forskning
På basis av de resultat och slutsatser jag kommit fram till i denna uppsats vill jag även påstå att digitala hjälpmedel i förlängningen kan utvecklas till interaktiva spel eller applikationer, som kan visualisera matematiska problem. Eftersom matematik är ett internationellt språk finns det möjlighet att dessa applikationer också skulle kunna
användas generellt över hela världen, på ett liknande sätt som Geogebra. Detta är även ett område som det skulle vara intressant att se vidare forskning inom. Det finns redan nu massor av matematikspel för grundskolan men spel och visualiseringar av mer
komplicerad matematik är ännu inte så vanligt. Det finns en känd paradox,
Tudelningsparadoxen som helt enkelt innebär att för att förflytta sig från punkten A till punkten B så måste man först förflytta sig till mitten av dessa punkter, vilket kan kallas punkt C. Och för att förflytta sig från C till B måste man först förflytta sig till mitten av dessa två punkter, vilket kan kallas punkt D. Denna resonemangskedja fortsätter i oändlighet. Kan man då nå punkt B? Hur ser rörelsen ut i verkligheten. Det som många upplever som paradoxalt är att personen aldrig kommer fram till punkt B, hur kan detta komma sig? Detta är ett exempel på när det finns stor vinst i att visualisera rörelse i ett matematiskt problem. När eleverna tydligt kan se vad som utspelar sig så kan det hjälpa till att skapa förståelse och motivation för ämnet. Det är viktigt att påpeka att det finns
mängder av alternativ till Geogebra och det kan vara vettigt att försöka följa med i utvecklingen av de olika verktygen. Det kommer ständigt nya förbättringar och vilket program som leder utvecklingen ändras hela tiden. Efter att ha undersökt elever och intervjuat lärare är jag övertygad om att jag kommer att ha stor nytta av Geogebra i min egen undervisning. Jag kommer dock att ta stor hänsyn till hur klassen ser ut innan jag beslutar när och hur jag kommer att använda Geogebra, och i vissa fall kan det vara fördelaktigt att använda mer traditionell undervisning.
Referenser
Källmaterial
Observation, utförd 2016-11-11 – 2016-11-15, transkribering finns hos författaren.
Intervju med lärare, utförd 2016-11-11 – 2016-12-01, transkribering finns hos författaren.
Litteratur
Altiparmak.K (2014). Impact of computer animations in cognitive learning: differentiation. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2014 Vol. 45, no.8, ss. 1146-1166.
Alvehus, Johan (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod. Stockholm: Liber.
Bu, L och Schoen, R (2011). Model-centered learning: pathcays to mathematical
understanding using GeoGebra. Rotterdam: Sense.
Eubanks-Turner, Christina och Hajj, Najat (2015). Mardi Gras Math. National Council of
Teachers of Mathematics 2015.
Forsell, A. (Red.) (2005). Boken om pedagogerna (6:e upplagan). Stockholm: Liber.
Guimarães, L.B.M., Ribeiro, J.L.D., Echeveste, M.E., och de Jacques, J.J. (2013). A study of the use of the laptop XO in Brazilian pilot schools. Computers and Education, volym 69, ss. 263-273.
Gustafsson, I-M., Jakobsson, M., Nilsson, I., Zippert, M., Lingefjärd, T., Svingby, G och Jönsson, P (2011). Matematiska uttrycksformer och representationer. Nämnaren NR3, ss.
