Institutionen för matematik och fysik
Gymnasieelevers uppfattningar om
matematiska symboler
Upper secondary school student's beliefs on
mathematical symbols
Mattias Rehn
Examensarbete för lärarexamen
Handledare: Andreas Ryve
i kunskapsområdet matematik
VT 2007
Examinator: Sten Lindstam
Examensarbete för lärarexamen Institutionen för matematik och fysik i kunskapsområdet matematik MY1030, 10 poäng
SAMMANFATTNING
Författare: Mattias Rehn
Titel: Gymnasieelevers uppfattningar om matematiska symboler
Årtal: 2007
Antal sidor: 29
För denna uppsats har syftet varit att titta närmare på elevernas uppfattningar om
matematiska symboler på gymnasiet. För att ta reda på elevernas uppfattningar
om matematiska symboler har jag gjort en enkätundersökning. Av de svar jag
fick ger det en antydan om att eleverna kan namnge och beskriva åtminstone en
del av de matematiska symboler som de är förväntade att kunna. Eleverna visar
en viss antydan av att ha lättare för att skriva om en matematisk textformulering
till matematiska symboler än att skriva om matematiska symboler till
matematisk text. De flesta av eleverna anser att de ser en matematisk symbol
som någon form av bild och nästan alla anser sig lära en ny matematisk symbol
på lektionstid där flertalet frågar läraren om de inte kan. Denna studie vänder sig
främst till lärare inom matematik för de senare åren men även till övriga
matematiklärare som vill få en inblick i hur elever kan förhålla sig till
matematiska symboler.
Innehållsför teckning
SAMMANFATTNING...i1 Inledning...1
1.1 Syfte och frågeställningar...1
1.2 Disposition...1
2 Teoretisk bakgrund...2
2.1 Symboler...2
2.2 Matematiska symboler...2
2.3 Definition av matematiska symboler i enkätundersökningen... 4
3 Metod...5
3.1 Procedur...5
3.2 Val av design och metod...5
3.3 Undersökningsgrupp...6
3.4 Insamling och bearbetning av data...6
3.5 Tillförlitlighet...6
3.5.1 Reliabilitet...6 3.5.2 Validitet...7 3.5.3 Generaliserbarhet... 73.6 Forskaretik...7
4 Resultat och analys...8
4.1 Enkät...8
4.1.1 Elevernas svar på om de kan namnge samt beskriva 12 olika matematiska symboler... 8 4.1.2 Hur eleverna själva ser på symboler...16 4.1.3 Elevernas svar på om de har lättare att förstå matematiska uttryck genom symboler eller text... 20 4.1.4 Hur eleverna brukar göra för att lära sig matematiska symboler...225 Slutsats...24
6 Diskussion...25
6.1 Elevers kunskaper kring matematiska symboler...25
6.2 Elevernas uppfattningar om matematiska symboler...26
6.3 Symboler eller text...26
6.4 Inlärning av matematiska symboler... 27
6.5 Förslag till framtida forskning...27
7 Referenser...28
Bilaga 1...29
1 Inledning
Eleverna behöver kunna matematiska symboler för att skriva ned matematiska lösningar och argumentera för sina lösningar. Det kan finnas ett problem, som jag har hört av lärare, att eleverna har korrekt tänkta lösningar men inte klarar att skriva ned dem på ett korrekt vis för att de inte vet vilka matematiska beteckningar som de skall använda. De missar hela sin lösning beroende på att de inte formulerar de matematiska symbolerna på ett korrekt sätt. Eleverna ska kunna framställa symboler som gör att jag kan följa och förstå deras resonemang samt även pröva de tankar som kommer till uttryck enligt Skolverket (2005). Jag har i egen undervisning under min praktik upplevt att eleverna frågar mig när jag skriver en matematisk symbol som de inte vet. Jag får då avbryta genomgången som jag tänkte genomföra till att ägna tiden åt att förklara matematiska symboler. Detta leder vidare till en frågeställning om hur eleverna förhåller sig till matematiska symboler på gymnasiet. Under 1600talet inträffade övergången ifrån en retorisk matematik till en matematik som är grundad i symbolism, enligt Thompson (1996). Detta berodde bland annat på att det skulle bli enklare att kunna förstå och kommunicera matematik. Det är därför viktigt att eleverna kan matematiska symboler, dels för att kunna uttrycka sig i tal och skrift vid matematiska uttryck och dels för att Skolverket har mål i kursplanerna för matematik på gymnasiet att eleverna ska kunna matematiska symboler. Men vilken uppfattning har eleverna egentligen om matematiska symboler, kan de t ex förklara i textform de matematiska symboler de förväntas kunna. En annan intressant aspekt är hur eleverna brukar tolka en symbol. Enligt Skolverket (2005) ska nivån i undervisningen individanpassas och det kan då vara av betydelse att veta om eleven brukar uppfatta matematiska symboler i text eller bild och vad detta betyder för dem.1.1 Syfte och fr ågeställningar
Syftet med detta arbete är att undersöka vilken kunskap elever på gymnasiet har om matematiska symboler. Jag vill ta reda på om eleverna har någon djupare inlärning av matematiska symboler och hur de brukar se på matematiska symboler. Jag vill även veta om eleverna förstår matematik bättre genom text eller symboler samt hur eleverna gör för att lära sig matematiska symboler. Nedan följer de frågeställningar som jag har i syfte att besvara. · Kan ett antal elever på gymnasiet namnge samt beskriva 12 stycken olika matematiska symboler? · Hur ser eleverna själva på en matematisk symbol? · Verkar eleverna ha lättare för att förstå matematik genom symboler eller genom text? · Hur brukar eleverna enligt de själva göra för att lära sig matematiska symboler?1.2 Disposition
I kapitel 2 förklaras vanliga symboler och matematiska symboler med dess historia. En2 Teor etisk bakgr und
2.1 Symboler
Enligt Dewey (1916) används symboler för att lagra det som måste läras in. Han menar att denna kunskap, som oftast ärfacktekniskt ochytlig, inte omsätts till välbekanta handlingar och föremål. Symboler blir artificiellt och tillhör inte det praktiska och gripbara utan skiljer sig ifrån den normala verkligheten, anser han. Med det menar han att symboler är en värld för sig som inte har etablerat sig i människors vanliga sätt att tänka och kommunicera.
2.2 Matematiska symboler
Enligt Thompson (1996) har matematiken existerat i cirka 300 generationer och av dessa har 20 generationer varit symbolisk matematik. De övriga 280 generationerna benämner
Thompson tillretorisk matematik. Med en symbolisk matematik avses att det finns tecken att manipulera med inom matematiken och med en retorisk matematik avses att med ord kunna framställa matematiska meningar. Det fanns t ex en omfattande diskussion i olika länder kring storleken på kvoten mellan en cirkels diameter och omkrets innan det infördes symbolisk abstraktion som gav beteckningen
p
. Någon gång runt 1600talet i Europa förenades två traditioner. Den ena var orientalisk tradition med inslag av algebran och den andra var grekisk tradition med inslag av geometrin. Det gav en förberedelse för den moderna matematiken och en matematik med symboler.
Steinbring (2006) anser att det finns två stycken viktiga funktioner vid matematiska symboler. Den ena är en semiotisk funktion som innebär att den matematiska symbolen är "någonting som står för någonting annat". Den andra är en kunskapsteoretisk funktion och handlar om den matematiska symbolen inom ett ramverk av kunskapsteoretisk sammansättning av matematiskt kunnande. I den semiotiska funktionen finns relationen mellan matematiska symboler till "någonting annat" (objekt). Detta kan visas i en kunskapsteoretisk triangel enligt följande:
I bild nr 1 menar Steinbring (2006) att det finns tre styckenobjekt (t ex äpplen) och detta representeras i ensymbol som får beteckningen 3 enligt vårat talbegrepp. Pilarna representerar i detta fall ensocial interaktion som gör att talbegreppet blir förståeligt.
I klassrumsituationer anser Steinbring att det inte fungerar att ge eleverna färdiga matematiska symboler i början av deras läroprocess, utan dessa måste läras in genom en interaktiv social aktivitet. Han menar att eleverna behöver utveckla förståelsen mellan matematiska symboler och deras objekt.
I Skolverkets kursplaner (2005) för matematik på gymnasiet framkommer det att utbildningen ska leda till att eleverna får en förmåga till att kommunicera med matematikens språk och symboler. De mål som finns att sträva mot är att eleverna utvecklar sin förmåga att tolka, förklara ochanvända symboler. Ett annat strävansmål är att eleverna utvecklar sin förmåga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp och symboler. (Skolverket, 2005)
I en studie som genomfördes av Österholm (2006) jämfördes inläsningen på tre olika texter. I den ena inläsningen så fanns matematiska symboler med och i den andra fanns matematisk text. Den tredje texten var utan någon matematisk inblandning. Enligt Österholm visade resultatet att den svåraste inläsningen var med matematiska symboler. Den enklaste texten var utan matematisk inblandning och texten med matematik hamnade på andra plats.
2.3 Definition av matematiska symboler i enkätunder sökningen
Nedan ges den matematiska definitionen av de symboler jag valde att ha med i enkätundersökningen. Först står namnet på symbolen och även vad den används som. Sedan visas själva symbolen och med text finns en beskrivning till vad den står för. Addition (operation):+
. Kombinationen av två eller flera kvantiteter som bildar en summa. (Wolfram, 2006) Subtraktion (operation):-
. Vid en subtraktion subtraheras termer och resultatet ger en differens (skillnad). Själva symbolen blir då ett minustecken eller subtraktionstecken. Mindre kommer från ett latinskt ord som betyder mindre och subtraktion kommer även den ifrån ett latinskt ord för att dra ifrån. (Vejde, Roth, 1999) Likhet (relation):=
. Ett sätt att beteckna att en kvantitet är lika med en annan kvantitet. (Wolfram, 2006) Division (operation):¸
. Ett av flera sätt att beteckna division. Detta tecken är det vanliga på miniräknare. Andra sätt är t ex / . (Vejde, Roth, 1999)Kvadratrot (funktion): . En kvadratrot avx är ett nummers sådan att s2 = . Funktionenx x är därför den inversa funktionen av f x( ) = x2 för x³ 0 . (Wolfram, 2006) Pi (konstant):
p
. Ett reellt tal som är kvoten av en godtycklig cirkels omkrets och dess diameter. Detta mått är avrundat 3,14. (Vejde, Roth, 1999) Approximativt värde, närmevärde, avrundning (relation):
»
. Ett tal skrivet i decimalform som är en uppskattning för ett visst tal. Innehåller alltid ett visst fel och absolutbeloppet av det felet är högst hälften av det talet som har sista decimalen av en etta. (Thompson, 1991) Okänd kvantitet (variabel): x . En variabel är en symbol vars värde är en funktion, polynom, etc. Exempel är att variabeln i funktionen ( )f x är x. (Wolfram, 2006)Oändlighet:
¥
. Finns olika uttryck. T ex ”hur stort som helst” eller att det är ett tal som är större än något annat tal hur stort det än är. (Vejde, Roth, 1999) Delta:D
. Används för att beteckna skillnad eller förändring inom matematiken. (Stewart, 2003) Gränsvärde:lim
x®¥ . Gränsvärdet när x närmar sig oändlighet. (Stewart, 2003) Derivatan enligt Leibniz notation (differentialkalkyl):
dy
dx
. Ett synonym för ´( )f x . Symbolen indikerar en operation av differentialer. (Stewart, 2003)
3 Metod
3.1 Pr ocedur
Jag gjorde en litteraturundersökning för att kunna förstå mitt problemområde och skapa enkäter till empiriska undersökningen. Jag letade först i databaser på Mälardalens högskolas bibliotek. Första utdelning av enkäterna till elever genomfördes m h a kontakter med lärare i en gymnasieskola. Andra enkätundersökningen genomfördes efter att kontaktat en lärare via epost. Under båda enkätundersökningarna berättade jag för lärarna varför jag ville göra en enkätundersökning hos deras elever. Jag berättade allmänt om vad symboler kan vara för någonting innan jag gav ut enkäterna till eleverna. Efter sammanställning kunde jag få fram ett resultat till mina frågeställningar.3.2 Val av design och metod
Det finns enligt Patel och Davidson (2003) två aspekter att beakta vid insamling av information. Den ena är standardisering som avser frågornas utformning och inbördes ordning. Den andra är strukturering som avser hur fria frågorna är för intervjupersonen att kunna besvara med sina egna erfarenheter och inställningar. Enkätundersökningen för denna undersökning är gjord med en hög grad av standardisering och en mellangrad av strukturering. Frågorna är strukturerade utifrån lämplig placering i enkäten för att underlätta svar. Enkäten är även uppbyggd av dels fasta svarsalternativ men även öppna frågor för att låta eleverna besvara egna uppfattningar kring matematiska symboler. Det medför att det också blir en mer kvalitativ undersökning. Enkäten innehåller 19 frågor och är uppdelad i fyra olika delar. Del ett avser frågorna nr 1 till 13 som innehåller olika matematiska symboler och används i denna uppsats till att ta reda på om eleverna kan en del av de matematiska symboler som de förväntas kunna. Del två avser frågorna nr 13 och 14 och används för att kunna få någon uppfattning av hur eleverna kan tolka matematiska uttryck med text och symboler. Del tre avser frågorna nr 15, 16 och 17 och används till att ta reda på elevernas uppfattningar om vad en matematisk symbol är för någonting. Del fyra avser frågorna nr 18 och 19 och används till att ta reda på en antydan till var eleverna lär sig matematiska symboler (se bilaga 1). När jag valde symbolerna utgick jag ifrån mina egna upplevelser av vad en matematiklektion brukar innehålla ifrån första lektion i grundskolan ända fram till högskolans kurser på cnivå. En del symboler används mer flitigt än andra symboler i klassrummet, både som exempel och i matematikböcker. Ett exempel är att symbolen för addition används under hela utbildningstiden medan symbolen för gränsvärde kommer in senare i utbildningen och används inte lika mycket som symbolen för addition. Jag valde ut symboler som jag anser är vanligt förekommande på matematiklektioner. Det blev ändå en selektion bland de mest3.3 Under sökningsgr upp
Undersökningen genomfördes på två olika gymnasieprogram i Sverige. Det ena programmet var ett teoretiskt program i år två som läste kursen matematik C. Den andra var ett praktiskt program i år tre som läste kursen matematik A. På det teoretiska programmet deltog 24 elever och på det praktiska programmet deltog 10 elever. Den totala frekvensen blev därför 34 elever. Alla elever har besvarat åtminstone 50 procent av hela enkäten. Den första undersökningsgruppen genomfördes efter förfrågningar på en gymnasieskola. Den andra undersökningsgruppen genomfördes också efter förfrågningar och valdes för att få en större spridning mellan program eftersom de teoretiska programmen har mer matematik i sin utbildning. Jag hade från början tänkt att få tag på en undersökningsgrupp som läste på ett praktiskt program med matematik B eller C. Tanken var att kunna jämföra alla svar ifrån enkäten på ett bättre sätt mellan de olika programmen. Det var däremot svårt att få tag på denna urvalsgrupp och eftersom detta arbete har en tidsbegränsning använde jag de urvalsgrupper som gick att få tag på.3.4 Insamling och bear betning av data
Till denna uppsats har sammanställningen av resultaten blivit utformad till att innefatta text, figurer och elevers svar. Bearbetningen av data gjordes först med text som sedan i lämpligt sammanhang gjordes om till diagram. Det finns en uppsättning diagramtyper att välja mellan och till denna uppsats valdes mer överskådliga diagram. Förutom att diagram innehåller fasta frågor finns även diagram till öppna frågor.3.5 Tillför litlighet
Nedan förklaras uppsatsens undersökning inom det som Stukát (2005) nämner till undersökningens styrka och svagheter. 3.5.1 ReliabilitetFör att få en större svarsfrekvens användes det fasta svarsalternativ som gör det lätt för eleverna att besvara. För att veta mer om elevernas uppfattningar finns det i undersökningen även öppna frågor som är svårare för eleverna att besvara. Frågornas utformning är placerade på ett sådant sätt att eleverna lättare skall kunna sätta sig in i området. Alla elever ska kunna besvara fråga nr 1, vilket alla även gjorde. Sedan är det placerat så att symbolerna blir svårare och svårare. Efter det kommer fler frågor om vad de själva har för uppfattningar om matematiska symboler. En brist i undersökningen var fråga nr 15 om vanliga symboler. En del av svaren kan relateras till min egna beskrivning av symboler som jag gjorde innan eleverna började med enkäten. Det är en brist på fråga nr 16 som jag inte formulerat på ett sätt som tillåter att eleverna skriver ned hur de ser en bild. Jag fick enbart två svar som var nedskrivna och kryssade i annat svarsalternativ. Detta kompletteras och förbättras dock av fråga nr 15 och fråga nr 17.
3.5.2 Validitet Enkätundersökningen kunde orimligt ha med alla symboler. Enkätundersökningen innehåller heller inte alla mer förekommande matematiska symboler. Det finns en brist vid jämförelse mellan programmen vid frågorna om matematiska symboler eftersom de inte läser på samma nivå i matematik. Alla symboler som har frågats i enkäten har inte kunnat jämföras mellan de olika programmen. 3.5.3 Generaliserbarhet Det som har påverkat generalisering är frekvensen och framförallt på det praktiska programmet där antalet deltagande elever varit lågt. Det har inte kunnat gå att göra någon generell slutsats till frågorna på grund av svarsfrekvensen. Det gick däremot att dra slutsatser på den grupp av elever som har undersökts.
3.6 For skar etik
Vetenskapsrådet (2002) har fyra olika regler för etik. För denna uppsats har följande inträffat. · Infor mationskr avet (Enligt Vetenskapsrådet ska alla berörda informeras om
forskningens syfte) Jag har informerat lärarna vad det är jag skall undersöka. Jag förklarade för eleverna varför jag gör denna uppsats och gav en grundläggande genomgång om innehållet i enkäten. · Samtyckeskravet (Enligt Vetenskapsrådet har alla har rätt att bestämma sin medverkan) Eleverna har själva valt att medverka. · Konfidentialitetskravet (Enligt Vetenskapsrådet ska det inte lämnas ut uppgifter om deltagande personer i undersökningen) Eleverna får vara helt anonyma. De kan också välja att inte vara det och då är det enbart jag som vet hur de har svarat. Skolan och klass är anonyma medan år och form av program inte är det eftersom det är av betydelse för uppsatsen att veta detta. · Nyttjandekravet (Enligt Vetenskapsrådet skall det insamlade materialet om enskilda personer enbart användas inom forskning) Svaren ifrån enkäterna kommer enbart att användas till denna uppsats.
4 Resultat och analys
4.1 Enkät
Frågorna som ställdes redovisas i bilaga 1.
Enkäten blev besvarad av en frekvens på totalt 34 elever. 24 av eleverna var ifrån år två och läste kursen matematik C på ett teknikprogram. 10 av eleverna var ifrån år tre och läste kursen matematik A på ett industriprogram. Jag redovisar de väsentligaste resultaten ifrån det totala antalet elever oberoende av program. Vid förekommande intressanta avvikelser mellan respektive program redovisar jag även det.
Jag har även med ett antal kommentarer ifrån eleverna och dessa har ingen inbördes ordning d v s elev nr ett i en fråga behöver inte vara elev nr ett i en annan fråga. Kommentarerna har med felaktiga svar men också rätta svar. Jag har skrivit exakta kommentarer ifrån eleverna och inte omformulerat dessa. Det står därför i förekommande fall stavfel men jag har inte bedömt den matematiska kunskapen på grund av detta.
I min bedömning för rätt och fel svar har jag förutom att använda korrekt definition enligt kapitel 2.3 även tolkat svar som ligger inom området för den korrekta definitionen. Om t ex ett svar inte är helt korrekt enligt definition men ändå har en antydan till att kunna bli rätt har jag i dessa fall givit korrekt svar. Det är mer utifrån individens tolkning som svaren anses korrekta eller felaktiga. Varje del i rubrikerna för frågorna nedan är i ordnad form kopplad till frågeställningarna för uppsatsen. Figurernas nr ifrån nr 1 till nr 12 är också frågornas nr ifrån enkäten.
4.1.1 Elever nas svar på om de kan namnge samt beskr iva 12 olika
matematiska symboler
Fråga nr 1: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen+
0 10 20 30 40 Elev er Elev er 32 29 Korrekt namngiv ning Korrekt beskriv ningKommentarer: Det var två elever som inte namngivit symbolen men har istället givit korrekt beskrivning. "plus. tex 2+2 = 4 två tal läggs ihopp. (Addera)" "Man kan lägga ihop" "plus" "addition" "Plus används för att lägga ihop två tal för att få fram summan av dom talen" "plustecken, används när man adderar 2 eller fler tal" "Plustecken, indikerar att man ska addera vänstra och högra talet" "Additionstecken, sätter ihop två värden" "Plustecken, används när man plussar tal, 3+3" "Det är ett adderingstäcken och det symboliserar att man tar 2 tal plus varandra" Fråga nr 2: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
-
0 10 20 30 40 Elev er Elev er 32 28Korrekt namngiv ning Korrekt beskriv ning
Figur 2 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
-
Kommentarer: Det var två elever som inte namngivit symbolen men har istället givit korrekt beskrivning. "Minus Subtrahera ta bort en summa från en annan" "Minustecken alltså subtraktionstecken. När man vill ta bort något, t.ex. 2 från 3. Skrivs 32. Tecknet anger även om talet är negativt" "Subtraktionstecken. Dra av värdet" "minus används för att få nåt mindre ex 73=4" "minus" "subtraktion" "Att man kan ta bort saker" "minustecken används vid subtraktion, d v s när man drar ifrån"Fråga nr 3: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
=
0 10 20 30 40 Elev er Elev er 31 23Korrekt namngiv ning Korrekt beskriv ning
Figur 3 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
=
Kommentarer: Alla eleverna verkar förstått vad tecknet betyder. De som skrivit enbart "lika med" har jag i detta fall inte ansett som korrekt beskrivning av symbolen, men jag anser att de vet vad symbolen innebär och används till. "lika med, tecknet betyder att uträkningen ger följande resultat" "är lika med. Svaret på det man räknat ut" "Lika med tecknet berättar vad summan blir efter en uträkning" "man får en sammanlagd summa" "Lika med, Den visar att det som står på ena sidan är de samma som står på andra sidan" "Likhetstecken, Visar att en sak är lika med en annan" "Är lika med. När två grejer är lika med varandra så finns den i mitten" Fråga nr 4: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen¸
0 10 20 30 40 Elev er Elev er 30 22Korrekt namngiv ning Korrekt beskriv ning
Figur 4 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
¸
Kommentarer: "Addera" "divideringstecken" "Delat, delar ett värde med ett annat" "Modulus, det som blir över när man har dividern" "Divisionstecken" "divition. Delar ett tal med ett annat" "delat" "man delar på saker"Fråga nr 5: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen 0 10 20 30 40 Elev er Elev er 30 21
Korrekt namngiv ning Korrekt beskriv ning
Figur 5 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen Kommentarer: Jag har i detta fall inte givit rätt för korrekt beskrivning om eleverna enbart har skrivit roten ur. "roten ur" "Roten ur = delar tills det inte går längre" "roten ur, är alltid något gånger sig själv" "ingen aning" "Roten ur nått" "kvadratroten" "Roten ur. Man tar kvadratroten ur. 2 2 2 2 ¬ en sida ur en kvadratrot 4= " 2 "Roten ur. Får man reda på vilket tal man tar ggr sig självt för att få ett annat tal. T.ex. 25= " 5 "Roten ur, som upphöjd fast tvärtom" "Roten ur. Du ser vad du kan ta gånger sig själv för att det ska bli det som står under rottecknet. T.ex. 100 10 10 blir 100 × . Alltså är 100= 10 "
Fråga nr 6: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
p
0 10 20 30 40 Elever Elever 31 26 9 16 Korrekt namngivning Korrekt beskrivning Beskrivning som irrationellt tal Beskrivning som rationellt tal Figur 6 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolenp
Kommentarer: På det teoretiska programmen var beskrivningen ett irrationellt tal och på praktiska programmet var beskrivningen rationellt tal. "Tror det är pitagoras sats eller nått annat. De betyder i alla fall 3,14 eller nått sånt" "Pi alltid 3,14" "Pi används när man ska räkna med talet pi som är 3,14 (har jag för mig)" "Pi, 3,14 man använder för att räkna ut area av en cirkel m.m." "Står istället för ett tal" "Pi När man räknar med runda grejer" "Pi cirkelekvation" "Pi, en konstant, börjar med 3,14151265... oändligt många värdesiffror, används främst för att räkna ut areor och diameter/radie i cirklar" Fråga nr 7: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
»
0 10 20 30 40 Elever Elever 33 26 Korrekt namngivning Korrekt beskrivning Figur 7 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen»
Kommentarer: Namngivning och beskrivning ligger nära varann för detta tecken och det finns ingen som har direkt svarat fel på denna fråga. Alla elever verkar ha förstått denna symbol. De som jag givit korrekt beskrivning för är om de har utvecklat vad tecknet används till. "avrundningssymbol" "Det är en ungefär uträkning" "Ungefär eller avrundat" "Ungefär lika med, att svaret är avrundat eller att det är i närheten av det faktiska talet" "Vet inte vad de heter men de betyder att summan blir ca si o så mycket" "man får en ca summa" Fråga nr 8: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen x 0 5 10 15 20 Elever Elever 15 11 5 3 Okänt tal Variabel Multiplikation Ej besvarat
Figur 8 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen x Kommentarer: De som svarat variabel kommer ifrån det teoretiska programmet. Det förekom svar ifrån båda programmen att symbolens betydelse var multiplikation. "okänt tal" "Gånger" "Ett tal som ska lösas ur" "En variabel som används i ekvationer. Kan i stort sätt anta vilket värde som helst med undantag på vissa definitioner" "x det används i många matematiska uppgifter för att göra det lättare att få ut ett svar" "ex en variabel" "Är en variabel, x. Betyder att den kan sätta in olika värden för x. Används i ekvationer" "Det är x och symboliserar det okända" "Multiplikation, ena sidan plus sig själv lika många gånger som andra sidan"
Fråga nr 9: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
¥
0 5 10 15 20 25 Elever Elever 5 7 22 Oändlighet Sett symbolen men förstår den inte Anser sig inte förstå symbolen Figur 9 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen¥
Kommentarer: Flertalet elever anser sig inte kunna denna symbol. "har aldrig sätt symbolen" "oändlighet" "Det är oändlighetstecknet som symboliserar oändlighet" "Betyder oändlighet, något som aldrig tar slut" Fråga nr 10: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolenD
0 10 20 30 Elev er Elev er 21 2 11Delta Felaktig beskriv ning Ej besv arat
Figur 10 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
D
Kommentarer: Övervägande antalet elever som besvarat delta kommer ifrån det teoretiska programmet. "Delta, förändringen" "Delta förändring mellan t.ex. 2 punkter" "Delta" "Det är derivata som symboliserar derivata" "Delta t.ex. y värdets ena värde subtraherat med y värdets andra värde y1y2" "triangel typ"Fråga nr 11: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
lim
x®¥ 0 2 4 6 8 10 Elev er Elev er 9 Limes
Figur 11 Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
lim
x®¥ Kommentarer: "Limes" "x är oändligt" "lim det betyder att n® 0 t.ex., att det blir noll" "limes, derivatan när x går mot ¥ " "limes, när man vill ha ut derivatan" "lim står för limes, då x går mot ..." "limes, har något med kvärde att göra" "ett närmevärde då x fortsätter i all oändlighet" "används vid derivata, vad derivatan blir då x går mot noll" "Har med dividering att göra. När lim (gränsvärdet) på x går mot noll" "Det är limes som symboliserar gränsen för ett tal" "derivata" "limes derivatans definition" Fråga nr 12: Elevernas namngivning och beskrivning av symbolen
dy
dx
0 5 10 15 EleverKommentarer: En av eleverna beskrev symbolen till att det är Leibniz definition av derivata. "Derivata" "Ekvation" "man delar bokstäver med varandra" "delta y delat på delta x y x D D används vid uträkning av k" "derivatan av x och y" "lutningen i en graf" " delta y delta x samma sak som ' ( ) f x , linjens lutning"
"d står för mindre skillnad än D delta. Förändring i en viss punkt"
4.1.2 Hur elever na själva ser på symboler
För att lättare kunna ta reda på hur eleverna ser en matematisk symbol har jag i elevernas egna kommentarer i fråga nr 15 och fråga nr 17 även lagt till hur de svarat på fråga nr 16. Detta är väsentligt för att kunna göra en bättre analys av hur t ex eleverna ser en matematisk symbol som en bild. Fråga nr 15: Hur anser eleverna att de brukar se på en vanlig symbol? Kommentarer: Det var 14 elever som gav en beskrivning av en symbol. De flesta var överens om att en symbol betyder någonting. Att symbolen också är till för att hjälpa och beskriva saker och ting, t ex genom att vara en bild. Några var även inne på att symboler används för att inte behöva skriva ned allting i textform. Något svar kan härledas ifrån den beskrivning jag hade i början på enkäten och ifrån frågan. Ett svar var att människor i olika länder kan använda symbolerna så att alla kan förstå ett gemensamt språk. En annan elev skrev att en symbol kunde vara vad som helst för eleven men för att denne skulle bry sig om symbolen behöver den betyda någonting. Eleven gav ett exempel på en symbol som eleven och många i dennes bekantskapskrets värderade mycket. Denna symbol är liknande en matematisk symbol men innebörden en helt annan. "En mera bildlig sak med information" (Svarade bild i fråga nr 16) "Någonting som visar vad något är" (Svarade bild i fråga nr 16) "en bild som betyder något" (Svarade bild i fråga nr 16) "En symbol för mej är nått som står för något" (Svarade bild i fråga nr 16) "En symbol är något som vill tala om något, utan att behöva skriva ord" (Svarade bild i fråga nr 16) "för att slippa använda en massa ord" (Svarade bild i fråga nr 16)
"En symbol för mig kan visserligen vara vad som helst men för att jag ska bry mig om den så måste den betyda någonting för mig..." (Svarade bild i fråga nr 16) "Jag bryr mig inte så mycket om dom. Men det är bra att dom finns, så att man kan förkorta saker och att människor i olika länder kan använda dom så att dom förstår" (Svarade bild i fråga nr 16) "en symbol kan hjälpa en på vägen när man gör något" (Svarade bild i fråga nr 16) "En bild" (Svarade bild i fråga nr 16) "Nåt som symboliserar något. Tecken ex" (Svarade bild i fråga nr 16) "Ett tecken som beskriver vad jag ska göra" (Svarade text i fråga nr 16) "En symbol för mej är nått som står för något" (Svarade text i fråga nr 16) "Det symboliserar nånting. T.ex att man ska stanna eller att man står för nånting" (Svarade text i fråga nr 16) "en symbol används för att hjälpa folk i livet. är t.ex. ett känneteken" (Svarade text i fråga nr 16) "Ett tecken som definierar nått." (Svarade text i fråga nr 16) "Någonting som beskriver/hjälper" (Svarade text i fråga nr 16) "en symbol är en förkortning/förenkling av vad som helst" (Svarade text i fråga nr 16) "Är en figur som visar något. Precis som ord betyder något betyder också en symbol nått" (Svarade text i fråga nr 16) "En symbol för mej är nått som står för något" (Svarade annat sätt i fråga nr 16) "Något som inte är en siffra eller bokstav. Tecken" (Svarade annat sätt i fråga nr 16)
Fråga nr 16: Hur anser eleverna att de brukar se på en matematisk symbol? 0 5 10 15 20 Elever Elev er 15 11 4 4 Ser sy mbolen som en bild Ser sy mbolen som en text Ser sy mbolen som både bild och text Annat sätt Figur 13 Hur anser eleverna att de brukar se på en matematisk symbol? Kommentarer: De flesta elever anser att de ser symboler som en bild. Svaren ifrån elever som anger både text och bild har eleverna kryssat i båda svarsalternativen eller skrivit ned detta i svarsalternativet för annat sätt. "Det är en bild vars innebörd har en större betydelse, den är global eftersom matematiken kan användas även om man inte talar samma språk." (Svarade bild) "Som något som behövs för att lösa ett tal" (Svarade annat sätt) "Ser det som ett tecken som betyder något. Men översätter också tecknet till text i huvudet" (Svarade bild, text och annat sätt) "Som en symbol" (Svarade annat sätt) "Ser det som ett sätt att tänka på" (Svarade annat sätt) "Jag ser den som en bild och en text" "BÅDE OCH!"
Fråga nr 17: Vad eleverna själva anser att de kan om matematiska symboler 0 5 10 15 20 Elev er Elev er 6 16 8 4
Förstår det jättebra Förstår det bra Förstår det ganska bra Förstår det inte
Figur 14 Vad eleverna själva anser att de kan om matematiska symboler Kommentarer: De flesta elever anser sig själva kunna förstå matematiska symboler bra. De flesta svarar med att matematiska symboler används till en betydelse för att hjälpa till vid förståelse av matematiska resonemang. En del är dock av uppfattningen att de inte gillar matematiska symboler. Beskrivning av hur elever har för egna tankar om matematiska symboler: Några elever var inne på att matematiska symboler är ett hjälpmedel. Att det t ex kan vara förkortningar istället för ord eller att de används för att lösa matematiska problem. Andra elever var inne på att matematiska symboler är av betydande karaktär, att de mer säger vad och hur de skall göra inom t ex olika räknesätt. Det fanns också elever som hade kritik emot matematiska symboler t ex att de krånglar till ett egentligen enkelt tal eller att de kunde ge svår ångest eftersom eleven ansåg att den inte var duktig i matematik. "... jag behärskar de vanligaste och känner till en del andra även om jag inte kan använda dem. Ofta innerbär de svår ångest, jag är inte så bra på matte." (Svarade bild i fråga nr 16) "Som en del av en siffra" (Svarade bild i fråga nr 16) "Visar vad man ska räkna ut." (Svarade bild i fråga nr 16) "Olika räknesätt, beskriver hur man ska göra" (Svarade bild i fråga nr 16) "något som krånglar till ett igäntligen enkelt tal" (Svarade text i fråga nr 16)
"En symbol som oftast hjälper" (Svarade text i fråga nr 16) "Oftast som en text. Jag byter ut symbolerna mot ord och läser talet" (Svarade text i fråga nr 16) "Som en naturlig del av matematiken" (Svarade text i fråga nr 16) "jag ser de som en symbol för hur jag skal räkna" (Svarade bild och text i fråga nr 16) "Den betyder något"
(Svarade bild, text och annat sätt i fråga nr 16)
"ett tecken som förkortar vilket räknesätt vi använder" (Svarade annat sätt i fråga nr 16) "Ett tecken som säger att man ska göra nåt" (Svarade annat sätt i fråga nr 16) "Som hjälpmedel" (Svarade annat sätt i fråga nr 16)
4.1.3 Elever nas svar på om de ver kar ha lättar e att för stå matematik genom
symboler eller text
Fråga nr 13: Kan du för klara följande text med hjälp av matematiska symboler: Tar jag summan av två tal som är x och y så blir svaret lika med tre. 0 5 10 15 20 25 30 Elever Elever 26 2 1 5
x +y=3 x*y=3 Korr ekt s var i
tex tfor m Ej bes var at
Figur 15 Kan du förklara följande text med hjälp av matematiska symboler: Tar jag summan av två tal som är x och y så blir svaret lika med tre.
Kommentarer: Eleven som givit korrekt svar i textform skrev att summan av de tal som symboliseras med x och y då man inte vet deras värde har summan 3.
Fråga nr 14: Kan du skriva om följande matematiska symboler till en helt vanlig text: 2 0 x- = 0 5 10 15 20 25 30 Elev er Elev er 25 9
Gav korrekta svar Gav felaktiga svar
Figur 16 Kan du skriva om följande matematiska symboler till en helt vanlig text: x-2= 0 Kommentar: Inget svar var identiskt med någon annans. Ibland har de korrekta svaren blandats med både symboler och text men ändå varit korrekta. Det är en något större andel som klarat av att genomföra en omskrivning av textform till matematiska symboler än att genomföra en omskrivning av matematiska symboler till textform. "nånting minus 2 är lika med noll" "man har x2=0 , så ska man ta reda på vad x är för något" "talet x subtraheras med 2 och svaret blir lika med noll" "Har 2 kr, köper 2 tuggummi för 1 kr st" "ett tal minus 2 är lika med 0" "Tar jag summan av två tal som är x och 2 så får jag svaret 0, x = 2" "Tar jag talet x och drar bort 2 får jag svaret 0" "x minus 2 är lika med 0" "Om du har x st äpplen men tappar 2, har du inga kvar"
4.1.4 Hur elever na br ukar gör a för att lär a sig matematiska symboler
Fråga nr 18: Elevernas svar på hur de lär sig matematiska symboler
0 10 20 30 40 Elev er Elev er 30 3 1
Jag lär mig under lektionen Brukar ej bry mig Annat sätt
Figur 17 Elevernas svar på hur de lär sig matematiska symboler Kommentarer: Fem av eleverna som svarade att de lär sig under lektionstid har även svarat att de lär sig utanför lektion. De flesta anser sig lära nya matematiska symboler under lektionstid. Bland elevernas svar framkom att någon pluggar till den lär sig, att någon lär sig både under lektion och utanför skolan, att någon inte lär sig så fort utan att det tar sin tid och en elev förklarade att om den hittat något intressant så lär den sig men är inte likgiltig till att lära sig nytt. "Jag lär mig den både under lektionen och utanför skolan" "lär mig inte så fort, tar sin tid" "Jag pluggar så jag lär mig"
Fråga nr 19: Hur eleverna letar svar om matematiska symboler Frågar lärare 12 Frågar klasskamrater 2 Frågar lärare och klasskamrater 7 Frågar lärare och klasskamrater och letar litteratur 4 Annat sätt 3 Brukar ej bry sig 1 Frågar lärare och letar litteratur 1 Frågar klasskamrater och letar litteratur 1 Ej besvarat 3 0 2 4 6 8 10 12 14 Antal elever Ej besvarat Frågar klasskamrater och letar litteratur Frågar lärare och letar litteratur Brukar ej bry sig Annat sätt Frågar lärare och klasskamrater och letar litteratur Frågar lärare och klasskamrater Frågar klasskamrater Frågar lärare
Figur 18 Hur eleverna letar svar om matematiska symboler
Kommentarer: Eleverna som gör på något annat sätt frågar föräldrar eller någon som vet. En elev gjorde så gott den kunde och chansade om det inte gick.
5 Slutsats
En fråga var om eleverna kan några av de matematiska symboler som de förväntas kunna. Övervägande frekvensen hos eleverna kunde namnge och beskriva alla matematiska symbolerna i uppsatsen på ett korrekt vis. Om hänsyn tas till vilket program och årskurs eleverna går och vad de förväntas kunna enligt Skolverket (2005) kan eleverna de flesta matematiska symboler som förekom i enkätundersökningen. Den högsta frekvensen på korrekt namngivning är symbolen för approximativt värde. Den minsta frekvensen på korrekt namngivning är dy dx följt av symbolen för oändlighet. Symbolen för oändlighethar
dessutom lägst antal frekvens på beskrivning av symbolen och de flesta anser sig inte förstå vad det betyder. Jämförs oändlighetochdy dx är det betydligt fler som försökt att förklara dy dx änoändlighet. Nästan alla svar är inte helt korrekta fördy dx men en del av eleverna verkar förstå att det har med derivata och förändring att göra. Den högsta frekvensen på korrekt beskrivning av en matematisk symbol är additionochsubtraktion. Detta utslag beror på att båda klassernas elever förväntas kunna symbolerna. Ett exempel som skiljer mellan de båda programmen är beskrivningen avpi som elever på det teoretiska programmet mestadels svarade som ett irrationellt tal medan det i praktiska programmet svarades enbart som ett rationellt tal. En del av eleverna tyckte att xinnebar multiplikation. Detta är inte helt fel eftersom det förekommer en symbolx för multiplikation i t ex en del miniräknare. Eleverna förväntas även kunna använda miniräknaren enligt Skolverket (2005). De elever som namngav gränsvärdet med limes kommer ifrån det teoretiska programmet som är det
förväntade resultatet. Eleverna var vid undersökningen inne i begreppet derivata på matematik C och alla kanske inte ännu lärt sig symbolen. Att de var inne i detta område vid
undersökningen gjorde förmodligen att de kunde namnge samt beskriva innebörden av delta. De hade dessa begreppsområden under pågående bearbetning inom matematik.
En annan fråga var hur eleverna brukar se på en matematisk symbol. De flesta av eleverna anser att de brukar se en matematisk symbol som en form avbild. Ett exempel är att en elev som svarat bild, ser en matematisk symbol som en del av en siffra. Denna bild motsvarar alltså en siffra och skulle kunna vara p som också motsvarar en siffra. Det blir i Steinbrings (2006) kunskapsteoretiska triangel någon form av bild som representerar ensymbol och siffran representerar objektet medan begreppet är t ex irrationellt tal.
Frekvensen av antalet elever som svarat bild är tätt följd av elever som ser matematiska symboler som entext. Det fanns en elev som brukade översätta matematiska symboler tilltext för att lättare kunna förstå uttrycket. I detta fall tolkar jag det, med hjälp av Steinbrings (2006) kunskapsteoretiska triangel, som att eleven är inne i en social interaktion för att lättare kunna förstå relationen mellanobjekt ochsymbol.
Det förekom elever som inte såg matematiska symboler som vare sig bild eller text. Ett exempel på detta är att eleven såg det som ett sätt att tänka på, som en sak som behövs för att lösa ett tal.
En av frågeställningarna var om eleverna verkar ha lättare för att förstå matematik genom symboler eller genom text. Eleverna visar en viss antydan till att ha lättare för att skriva om en matematisk text till matematiska symboler än att skriva om matematiska symboler till textform i ett matematiskt problem. I en undersökning av Österholm (2006) uppfattas en helt vanlig text som att den är lättare att kunna utföra ett matematiskt problem på istället för symboler. Ett intressant utfall på frågan om omskrivning av matematisk symbol till textform var att ingen av svaren var identiskt likt en annan. Jag bedömde alla korrekta svaren som korrekta även om några lade till symboler i textformuleringen.
Nästan alla elever tycker att de lär sig nya matematiska symboler på lektionstid och de flesta brukar fråga läraren när de inte vet en symbol. En av de mindre svarsfrekvenserna och även en viktig del är att eleven frågar lärare och letar litteratur. Läggs det till att eleven även frågar klasskamrater hamnar dock den totala svarsfrekvensen på andra plats. Det fanns någon elev som inte gjorde någonting åt om den inte kunde matematiska symboler utan chansade istället.
6 Diskussion
Eftersom det inte är någon hög frekvens på enkätunderlaget går det inte att dra någon generell slutsats. Det går heller inte att göra någon generell slutsats till hur eleverna lär sig eller tolkar matematiska symboler eftersom det skulle innebära en annan forskningsmetod. Det finns däremot en rad antydningar i denna undersökning som pekar mot ett visst håll. Det finns tidigare forskning inom detta område. Jämförs de resultat som framkom i enkätundersökningen stämmer de förhållandevis bra överens med tidigare forskning. Vart lär sig t ex eleverna sin kunskap allra mest? Är det svårare för eleverna att läsa en text med matematiska symboler? Av den enklare undersökningen för denna uppsats finns en antydan till att det skulle vara svårare för elever att läsa en text med matematiska symboler. Det fanns även någon elev som sade sig översatta alla matematiska symboler till en text som denne istället kunde ”läsa” ut.6.1 Elever s kunskaper kr ing matematiska symboler
För de elever som deltagit framkom att de kan de matematiska symboler som de förväntas kunna enligt de styrdokument som finns för skolan. På en nivå A i matematik vet eleverna inte att pi är ett irrationellt tal med oändlig decimalutveckling. Pi har för enkelhetens skull alltid avrundats när eleverna börjar använda det i skolan. Detta för att inte göra det alltför svårt till användning, anser jag. I ett speciellt fall i undersökningen framkom det att en del elever tyckte att x betecknade multiplikation. Detta är ett exempel på hur några av de matematiska symbolerna kan ha flera
Det kan vara bra som lärare att känna till vilka matematiska symboler som eleven vet. Vet jag vilka symboler som eleven klarar kan jag också framföra en dialog på ett förståeligt sätt. Ett exempel är gällande eleven som brukade omvandla alla symboler till egen text och formuleringar. För att kunna möta eleven i en matematisk dialog kan det vara svårt att framföra all matematik i form av symboler. Jag behöver som lärare vara uppmärksam på hur eleven brukar uppfatta matematiska symboler för att kunna lägga upp den individuella undervisningen. Ett problem med matematiska symboler kan inträffa i klassrumssituationer. Om halva klassen ser de matematiska uttrycken som en form av bilder med ett innehåll och några istället följer lektionen på ett sätt i vilket de ser texter hur ska jag lägga upp lektionen som lärare. Har detta någon inverkan alls på om jag lägger upp en lektion med mycket symboler eller text på tavlan eller om jag försöker minska antalet symboler eller text och istället förklarar på ett retoriskt vis matematiska begrepp? Vid ett tillfälle då jag genomförde en lektion om linjens lutning fick jag direkt ställa mig till svars då jag skrev upp delta tecknet för att symbolisera förändringen i x och y led. En del av eleverna hade inte sett symbolen tidigare och jag fick oväntat gå igenom vad den symboliserar.
6.2 Elever nas uppfattningar om matematiska symboler
De flesta elever tycker att de ser en matematisk symbol som enbild. Det framkommer inte direkt vad som anses vara en bild. Med hjälp av tidigare svar ifrån fråga nr 15 och 17 och Steinbrings (2006) kunskapsteoretiska triangel kan man dock komma närmare till vad eleverna egentligen menar tycker jag. Att se en matematisk symbol som en bild eller text är inte avgörande för det som Steinbring menar med objekt. Jag menar att en bild och en text kan relatera till samma typ av objekt. Ett äpple kan visas som en bild men den kan också skrivas i text. Det intressanta tycker jag är på vilka olika sätt man kommer åt och förstår objektet som i detta fall skulle kunna vara att förstå ett äpple. Jag tycker att det finns uppfattningar bland eleverna som kan verka felaktiga om man jämför Steinbrings kunskapsteoretiska triangel. En elev svarade att en matematisk symbol är något som inte är en siffra eller bokstav utan är ett tecken. Det är korrekt anser jag att ett tecken är en matematisk symbol men jag anser även att bokstäver och siffror kan vara matematiska symboler.
6.3 Symboler eller text
För att underlätta skrivning av tal genomfördes en retorisk omprövning till matematiska symboler enligt Thompson (1996). Detta innebär att jag inte behöver skriva en oerhört stor textmassa för att beskriva t ex en matematisk ekvation utan det är istället en form av
hjälpmedel för att kunna beskriva en matematisk ekvation. Det förväntas enligt kriterierna i Skolverkets (2005) styrdokument att eleverna ska kunna argumentera och diskutera i matematiska termer och det är därför av betydelse att de t ex kan skriva om matematiska symboler till text, tycker jag. En del elever verkar även ha lättare för att förstå en matematisk text än matematiska symboler vid en matematisk problemformulering.
Enligt styrdokument skall undervisningen anpassas till individnivå och hur ska jag då göra som lärare när en del ser matematiska symboler som en bild och en del ser det som en text eller någonting annat. Det är inte rimligt att genomföra en matematiklektion som är helt textbaserat. Det har sin begränsning tidsmässigt eftersom det skulle ta väldigt lång tid och plats på tavlan för att skriva ned t ex ekvationer och formler. Matematikböcker skulle inte heller kunna klara av den omfattning av textmassa som skulle bli om det översattes till textform.
6.4 Inlär ning av matematiska symboler
Det är nödvändigt för eleverna att lära sig matematiska symboler som övervägande delen av eleverna i enkätundersökningen gjorde under lektionstid. Enligt Dewey (1916) användes symboler under hans tidsepok för att lagra det som måste läras in. Jag anser att eleverna på den tiden lärde sig matematiska symboler som att de vore faktakunskaper. Enligt Steinbring (2006) behövs dock inlärningen av matematiska symboler ske i det sociala samspelet mellan lärare och elev som vanligtvis sker i klassrummen. Det är därför bra tycker jag att eleverna försöker lära sig matematiska symboler under lektionstid.6.5 För slag till fr amtida for skning
Av min enkätundersökning framgår det att jag hade tänkt göra en vidare intervju med eleverna för att komma fram genom diskussion till en mer förståelse kring deras kunskaper om matematiska symboler t ex vad det är för bild som eleverna egentligen ser i en matematisk symbol. Detta blev inte av för denna uppsats därför att uppsatsen blev större under arbetets gång än beräknat och måste begränsas någonstans. Ett förslag är att göra djupintervjuer med ett antal elever för att komma åt kunskapen på djupet. Ett annat förslag är att göra en enkätundersökning med alla de matematiska symboler som en elev förväntas kunna. Även om jag kan godkänna nivån av de matematiska grundernas semantik för symboler i denna undersökning, fanns det även felaktiga svar som eleverna förväntades kunna. Undersökningen skulle även kunna tillämpas i andra år än på gymnasiet.
7 Refer enser
Dewey, J. (1916).Democracy and Education. The Macmillan Company.
Tillgänglig December 18, 2006, från http://www.ilt.columbia.edu/Publications/dewey.html Patel, P. Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur. Skolverket. (2005). Styrdokument. Tillgänglig December 11, 2006, från
http://www.skolverket.se/sb/d/388/a/1103
Steinbring, H. (2006). What makes a sign a mathematical sign? an epistemological perspective on mathematical interaction. Educational Studies in Mathematics. Tillgänglig Oktober 15, 2006, från www.springerlink.com/index/J8058T833T068260.pdf
Stewart, J. (2003).Calculus, Early Transcendentals, fifth edition. USA: Thomson Learning, Brooks/Cole.
Stukát, S. (2005).Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur
Thompson, J. (1996).Matematiken i historien. Lund: Studentlitteratur. Thompson, J. (1991).Matematiklexikon. Västervik: Wahlström & Widstrand. Vejde, O. Roth, G. (1999).Liten ordbok i matematik. Borlänge: Olle Vejde Förlag.
Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Tillgänglig December 11, 20070129, från
http://www.vr.se/download/18.6b2f98a910b3e260ae28000360/HS_15.pdf Wolfram. (2006).MathWorld. Tillgänglig December 11, 20070129, från http://mathworld.wolfram.com/
Österholm, M. (2006). Kognitiva och metakognitiva perspektiv på läsförståelse inom matematik [Cognitive and metacognitive perspectives on reading comprehension in mathematics]. Doktorsavhandling, Linköpings Universitetet, Institutionen för matematik. Tillgänglig December 18, 2006, från http://www.divaportal.org/liu/abstract.xsql?dbid=7674
Bilaga 1
Enkätundersökning elever.Matematiska symboler
Denna text kan vara bra att läsa innan ni börjar fylla i formuläret. Dessa frågor handlar om matematiska symboler. En vanlig symbol som man stöter på i vardagen kan t ex vara en vägskylt. Någonting som beskriver en mening. En skylt med ett stoppmärke har ju den meningen att man måste stanna. På liknande sätt är det med matematiska symboler som t ex plus, minus, division och multiplikation. Man betecknar ju plus med meningen att man vill lägga ihop tal. Du behöver inte besvara frågorna om du inte vill. Jag är däremot tacksam om du vill besvara frågorna och att du besvarar frågorna på ditt egna sätt. Du kommer att vara helt anonym och dina betyg kommer inte att påverkas. Jag kommer att använda mig av svaren ni ger mig till en uppsats som skrivs på Mälardalens Högskola. År skur s på gymnasiet: 1. ÿ 2. ÿ 3. ÿ Pr ogr am___________________________________________________________________________________ 1. Förstår du följande matematiska symbol: o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 2. Förstår du följande matematiska symbol:+
¸
3. Förstår du följande matematiska symbol: o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 4. Förstår du följande matematiska symbol: o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord?=
p
5. Förstår du följande matematiska symbol:
"
o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 6. Förstår du följande matematiska symbol: o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 7. Förstår du följande matematiska symbol: o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra.»
8. Förstår du följande matematiska symbol: x o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 9. Förstår du följande matematiska symbol: o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord?
¥
10. Förstår du följande matematiska symbol:
D
o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 11. Förstår du följande matematiska symbol:lim
x®¥ o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du namnge och beskriva symbolen med egna ord? 12. Förstår du följande matematiska symbol:
dy
dx
o Förstår det inte. o Har sett den tidigare men vet inte vad den betyder. o Förstår det ganska bra.13. Kan du för klara följande text med hjälp av matematiska symboler: Tar jag summan av två tal som är x och y så blir svaret lika med tre. o Förstår det inte. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du beskriva texten med matematiska symboler? 14. Kan du skriva om följande matematiska symboler till en helt vanlig text: 2 0 x- =
15. Hur skulle du vilja för klar a en helt vanlig symbol (vad är en symbol för dig)? Med symbol menar jag till exempel en stoppskylt i tr afiken.
16. Hur brukar du se på en matematisk symbol? o Som en bild. o Som en text. o Annat sätt? (skriv ned vad du anser) 17. Vad vet du om matematiska symboler ? o Förstår det inte. o Förstår det ganska bra. o Förstår det bra. o Förstår det jättebra. Kan du med egna ord beskriva hur du ser på en matematisk symbol ?
19. Hur brukar du göra om du inte förstår en matematisk symbol, men är ändå tvungen att kunna den? o Brukar ej lära mig det fastän jag skulle behöva det. o Letar efter det själv i litteratur. o Frågar lärare. o Frågar klasskamrater. Annat sätt? (skriv ned vad du anser) Ett stort tack för att du besvarat denna enkät! OBS! Du kommer att vara helt anonym på denna enkät. J ag är dock intresserad av att intervjua några av er elever angående det ni har besvarat. Om du vill får du gärna skriva ned ditt namn. Då kommer enbart jag och ingen annan att veta vad just ni har besvarat. Namn:_____________________________________________________________________
