• No results found

Symbolens betydelse vid introduktion av algebra - med åldersaspekten som betydande faktor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Symbolens betydelse vid introduktion av algebra - med åldersaspekten som betydande faktor"

Copied!
47
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Malmö högskola

Lärarutbildningen Natur Miljö Samhälle

Examensarbete

10 poäng

Symbolens betydelse vid introduktion av

algebra

-med åldersaspekten som betydande faktor

The importance of the mathematical symbol when introducing algebra

Linda Ekman & Caroline Zettergren

Lärarexamen 180 poäng Handledare: Helena Mühr

Matematik och lärande

(2)
(3)

Sammanfattning

Vi har funderat över hur vi som blivande lärare skulle kunna förbättra elevernas förståelse inom algebra. Syftet med detta arbete var att ta reda på vad symbolen har för betydelse vid algebraräkning och huruvida det kan vara givande att introducera pre-algebra i större utsträckning i tidigare årskurs. Med symbol menar vi det tecken som representerar den okända variabeln i algebra. För att undersöka detta har en observationsstudie genomförts i årskurs fem och två tester i årskurs två och sju. Sammanlagt deltog 178 elever. Undersökningarna visade att valet av symbol har viss betydelse, men är dock ej helt avgörande, i synnerhet i grundskolans tidiga år. Vidare visade studien att barn i årskurs två är mogna för pre-algebra, vilket betyder att den kan introduceras i större utsträckning redan då. För att underlätta övergången från pre-algebra till algebra kan läraren variera valet av symbol. Förslagsvis en symbol det går att skriva inuti till att börja med, för att sedan successivt skifta till en symbol som ej går att skriva i.

(4)
(5)

Förord

Vi vill tacka vår handledare som genom arbetets gång kritiskt granskat och kommit med konstruktiv kritik. Även de personer som kontrolläst och givit feedback har varit till stor hjälp och förtjänar därför ett stort tack. Slutligen vill vi tacka de inblandade skolorna och eleverna som har ställt upp på våra undersökningar. Vi ser fram emot att tillämpa våra nyvunna kunskaper i vår framtida undervisning.

(6)
(7)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

2 Syfte och frågeställningar ... 3

3 Teoretisk bakgrund ... 4 3.1 Förväntad kunskapsnivå ... 4 3.2 Symbol ... 4 3.3 Pre-algebra ... 5 3.4 Algebra ... 6 3.5 Tidigare forskning ... 7 3.6 Åldersperspektiv ... 8 3.7 Matematikböcker ... 9 4 Metod ... 10 4.1 Urval ... 10 4.2 Datainsamlingsmetoder ... 11 4.3 Procedur ... 12

4.4 Databearbetning och tillförlitlighet ... 13

5 Resultat ... 14

5.1 Resultat observationsstudie ... 14

5.2 Resultat test årskurs två ... 16

5.3 Resultat test åk sju ... 19

6 Diskussion och slutsatser ... 23

6.1 Vilken betydelse har symbolen vid algebraräkning? ... 23

6.2 Övergången från pre-algebra till algebra ... 24

6.3 När bör pre-algebra introduceras? ... 25

6.4 Sammanfattning av slutsatser ... 28

6.5 Resultatets tillförlitlighet ... 28

6.6 Förslag till fortsatt forskning ... 29

7 Referenser ... 30

(8)
(9)

1 1

1 Inledning

Under vår verksamhetsförlagda tid inom lärarutbildningen, då vi varit ute och undervisat, har vi många gånger mött elever som är avigt inställda till algebra och finner det mycket svårt. Ett flertal undersökningar visar att svenska barn och ungdomars algebrakunskaper försämrats under de senaste tio till femton åren.1 Detta upplever vi som ett stort problem

eftersom algebra är ett så viktigt och grundläggande område inom matematiken. Det är viktigt att eleverna förstår grunderna eftersom de annars kan komma att få svårt för att förstå den fortsatta utvecklingen av matematiken. Efter att ha sett våra elevers svårigheter och attityder har vi valt att försöka finna lösningen till denna problematik.

Diskussioner har ofta under vår tid på lärarutbildningen förts kring hur vi som blivande lärare skulle kunna gå till väga för att underlätta för eleverna i deras algebra förståelse. En fråga vi har ställt oss är ifall det skulle bli enklare och mer lättförståeligt om symbolen som representerar det okända var något annat än en bokstav. Vår hypotes är att rätt vald symbol underlättar förståelsen för algebra. Vi kommer genom hela vårt arbete att benämna symbolerna bokstavssymbol och figursymbol. Då vi enbart skriver symbol kommer vi att syfta till symboler generellt. En annan faktor som kan vara av betydelse är tidsaspekten.2 Ju mer du övar på något desto säkrare blir du. Om elever ges tillfälle att börja träna på algebra i tidigare ålder, det vill säga med pre-algebra övningar, borde det resultera i att de känner sig säkrare inom området när den verkliga algebran inleds. Pre-algebra är ett förberedande stadie till algebra då eleverna arbetar med övertäckning av en term samt likhetstecknets betydelse.3 Enligt Piaget är barn mottagliga för denna typ av matematik redan i sjuårsåldern. Det borde därför vara det optimala att introducera pre-algebra i denna ålder i en större utsträckning än vad som görs idag.4 När inledande algebra påbörjas byts

den övertäckta termen ut mot en bokstavssymbol istället. 5 Detta genomförs när eleverna är

1 Persson, P-E (2005), Skolverket (1996), Nämnaren tema (1997) 2 Persson, P-E (2005), Oltenau, C (2000)

3 Nämnaren tema (1997) 4 Gardner, H (1983) 5 Nämnaren tema (1997)

(10)

2 2

mer mottagliga för abstrakt tänkande och då ska de grundläggande kunskaperna i algebra redan vara befästa.

(11)

3 3

2 Syfte och frågeställningar

Syftet är att ta reda på vilken betydelse symbolen har vid algebraräkning samt vid övergången från pre-algebra till algebra. Vidare är syftet att undersöka ifall det kan vara givande att introducera pre-algebra i större utsträckning i tidigare årskurs.

(12)

4 4

3 Teoretisk bakgrund

3.1 Förväntad kunskapsnivå

I kursplanen för matematik i grundskolan står det att man ska sträva efter att eleven utvecklar sin tal och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda

- grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter. - egenskaper hos några olika funktioner och motsvarande grafer.

Mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Eleven ska ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö. Inom denna ram skall eleven

- förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler.

Mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret

Eleven ska ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven

- kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.6

3.2 Symbol

Symboler används inom matematiken för att representera variabler som inte betecknar bestämda storheter utan står för vilka värden som helst inom sina variationsområden.7 Man

kan endast sägas förstå algebra då man förstår att en symbol endast är en representant för

6 Skolverket (2000)

(13)

5 5

ett okänt tal.8 I detta arbete kommer två olika uttryck för symbol att användas, bokstavssymbol och figursymbol. Det ända som skiljer de två är utseendet och inte innebörden.

3.3 Pre-algebra

De första grunderna till algebra ska introduceras innan slutet av årskurs fem9 som

pre-algebra. Alla aktiviteter som görs i förberedande syfte inför den egentliga algebran kallas pre-algebra. Detta är ett förstadium där eleverna ska ”gissa” sig fram till ett obekant tal, vilket ofta görs genom att den ena ”termen” täcks över och sedan får eleven pröva sig fram för att hitta det tal som saknas eller så införs en tom ruta där eleven ska gissa vilket tal som rutan representerar. Tanken med detta är att eleverna ska få ett algebraiskt tänkande utan att räkna med bokstavssymboler10 samt att övergången till algebra ska ske mer naturligt.11

Övergången mellan pre-algebra och algebra, då den tomma rutan för första gången byts ut mot en bokstav, är särskilt kritisk. Det är här viktigt att eleverna får gott om tid på sig att ta till sig förändringen. Om övergången går för snabbt finns risk att eleverna tappas bort på vägen, antingen genom förlorat intresset eller att allting känns väldigt överväldigande och svårt.12 Ett mellanled skulle kunna vara att eleverna får sätta in egna symboler i räknehändelser och arbeta utefter dem.13 Det finns dock de som inte håller med om att uppgifter innehållande tom ruta kan räknas till algebra alls utan anser att det endast handlar om uteslutningsmetoden. Bara för att elever kan pröva sig fram till vilket tal som passar in så betyder det inte att de algebraiskt kan räkna ut det okända talet.14 För vissa är det inte algebra men det är pre-algebra vilket är grundläggande för elevers framtida algebra förståelse. Alla lär vi olika, ingen undervisningsmetod kan därför sägas vara optimal, men det finns studier att ta hjälp av som visar hur elever generellt sett uppfattar 8 Nämnaren (1997) 9 Skolverket (2000) 10 Persson, P-E (2005) 11 Nämnaren tema (1997) 12 Nämnaren tema (1997) 13 Persson, P-E (2005) 14 The roles of representation

(14)

6 6

bokstavssymboler. I Nämnaren15 skriver författarna Bergsten, Häggström och Lindberg

(1997) om matematikern Quinlands teorier om hierarkiskt ordnade nivåer av elevuppfattningar:

Nivå 1: bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som bokstavens plats i alfabetet.

Nivå 2: Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstaven. Nivå 3: Det är nödvändigt att pröva med flera tal.

Nivå 4: Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Det räcker att pröva med något av dessa tal.

Nivå 5: Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Man behöver inte pröva med något av dessa tal.

Många elever har svårt att se att algebra inte alltid behöver ”räknas ut”, utan att man ibland kan nöja sig med att lämna det som ett uttryck. De kan inte förstå att ett uttryck anger hur två tal förhåller sig till varandra, istället försöker de alltid finna ett specifikt värde för symbolerna. För att få eleverna att nå upp till en högre förståelsenivå kan det vara en god idé att verklighetsanknyta och översätta algebraiska uttryck till en nivå som eleverna kan identifiera sig med.16

3.4 Algebra

Algebra är ett område inom matematiken där man räknar med bokstäver. Ursprungligen betydde algebra ekvationslösning och påträffades för första gången i Persien år 830 e.Kr. av den arabiska matematikern al-Khwarizmi i form av Kompendium i ekvationslösning. I Nationalencyklopedin står att läsa: ”Ordet algebra anses härstamma från al-jabr, som i denna lärobok betyder "addera lika termer till båda sidor av en ekvation för att eliminera negativa termer"”.17 Dagens skolalgebra består av relationer mellan tal och användandet av

15 Nämnaren tema (1997) 16 Nämnaren tema (1997) 17 Nationalencyklopedin (2005)

(15)

7 7

variabler och bokstavssymboler. Många elever upplever skolalgebran som ett svårt område inom matematiken och även de duktiga eleverna kan känna frustration inför den.18

3.5 Tidigare forskning

I följande undersökning: Svenska 13-åringars kunskap inom matematik och naturvetenskap

i ett internationellt perspektiv,19 redogörs det för elevers kunskaper i matematik ur ett internationellt perspektiv. Undersökningen visar att svenska elever presterade ganska genomsnittligt överlag i matematik och något över genomsnittet i områdena beskrivande statistik och sannolikhetslära, mått och mätningar samt bråk och taluppfattning. Däremot fann man att de svenska eleverna låg under det internationella genomsnittet i algebra och ekvationer samt geometri. Ytterligare en undersökning genomfördes av TIMSS, en organisation som ägnar sig åt studier inom undervisning och uppnående, år 2003 vilken visade på en ytterligare försämring i jämförelse med tidigare undersökning.20 Anledningen

till detta kan vara att i svenska skolor introduceras algebra senare än i övriga länder, vilket ger resultatet att svenska ungdomar inte hinner få en övergripande förståelse för algebra. 21

I grundskolan är matematik ett av de ämnen som har mest tid till sitt förfogande jämfört med de övriga ämnena i Sverige. Men internationellt sett är den avsatta tiden för skolmatematik inte särskilt stor. I jämförelse med andra länder har Sverige relativt lite undervisningstid i matematik.22 För att skapa en god miljö för lärande krävs bland annat gott om tid. I Lusten att lära23 beskrivs meningsfull tid som ”den tid då man som lärare

möter eleverna och känner att man har tänt en gnista till fortsatt lärande och utveckling”.

Vidare är det viktigt att läraren i sin undervisning ger tid till reflektion så att eleverna verkligen får tid att befästa sina kunskaper. Samtal om matematik mellan elever och lärare måste finnas där alla får komma till tals, argumentera och tänka till. Konstruktiv feedback

18 Grønmo, L S (1999), Grønmo, L S & Rosén, B (1998), Nämnaren tema (1997) 19 Skolverket (1996)

20 Skolverket (2003) 21 Nämnaren tema (1997) 22 Skolverket (1996) 23 Skolverket (2003)s.34

(16)

8 8

är viktigt då elever numera endast får feedback i facit och i och med detta tas inte hänsyn till kvaliteten i lösningarna utan endast rätt svar. Tyvärr finns inte tillräcklig tid för detta då varje klass i dagens skola består av cirka 30 elever.24 Enligt en studie som genomförts på gymnasiet av Persson (2005) om elevers attityder till algebra framkom att de flesta upplevde tidspressen som en avgörande faktor för förståelse. En senare undersökning där två grupper jämfördes, varav den ena hade mer schemalagd matematikundervisning än den andra, visade att den grupp som haft mer matematikundervisning hade bättre förståelse inom algebra.25

Resursbrist och brist på undervisningstimmar är inte det enda problemet, pre-algebra undervisning inleds för sent. Flera undersökningar har visat på samma resultat, att algebra är ett område som kräver god tid för att mogna fram.26 Det har visat sig vara en betydande

faktor vid inlärningen av algebra. Det är viktigt att det finns en progression i algebraundervisningen genom hela grundskolan, så att övergången till bokstavssymboler inte kommer som en överraskning. Algebraundervisningen bör ligga som ett stråk genom hela skoltiden, från pre-algebra via inledande algebra till den färdiga algebran. Detta visar att inte bara antalet matematiktimmar i veckan är viktigt utan även det långsiktiga tidsperspektivet är av betydelse, det vill säga att det är viktigt att eleverna arbetar med detta från förskolan hela vägen till eftergymnasial utbildning.27

3.6 Åldersperspektiv

Enligt Piaget är sjuårsåldern den blivande matematikens ålder, då barnet kan klara av att räkna antalet enheter i varje grupp och jämföra storleken på grupperna. I denna ålder börjar barnet att använda sig av mentala bilder för att klara av enkla beräkningar och klarar av att dra ifrån summor för att bekräfta likhet i antal. Med hjälp av deras vardagsliv, exempelvis när de spelar kula, köper godis eller byter bokmärken, lär de sig att utföra räkneoperationer som innefattar addition, subtraktion, multiplikation och division. Det är inte förrän i tonåren

24 Skolverket (1996) 25 Persson, P-E (2005) 26 Oltenau, C (2001) 27 Nämnaren tema (1997)

(17)

9 9

som barnet utvecklar ett mer abstrakt tänkande. Det behöver då inte längre anknyta de matematiska operationerna till fysiska föremål utan klarar av att utföra abstrakta operationer då symboler indirekt representerar föremålen. De matematiska åren i ens liv kan sägas ligga mellan sjuårsålder till 30-40årsålder, efter denna period avtar ens matematiska intellekt enligt Gardner (1983) och Lefrancois (1994).28

3.7 Matematikböcker

Redan i årskurs ett finns ett fåtal pre-algebra uppgifter med i vissa matematikböcker, tillexempel Matematikboken 1A och Talriket A 29, medan det i andra förekommer först i

årskurs två, som i Alfa C .30Uppgifter barnen får bekanta sig med är av typen ”tom ruta”

eller ett streck där det saknade talet ska skrivas in. Denna sorts uppgifter ändrar sig inte nämnvärt under låg- och mellanstadietiden, med andra ord ser eleverna ingen annan typ av pre-algebra än just denna. Första gången eleverna stöter på ett uttryck är på högstadiet. I en del matematikböcker förekommer pre-algebra uppgifter fortfarande i årskurs sju vilket vi funnit i Möte med matte.31 Det varierar beroende på matematikbok när och i vilken utsträckning algebra introduceras. Det vanligaste är att eleverna möter algebra som sista område i sjuan eller någon gång under årskurs åtta. Av sex granskade högstadieböcker är det endast Möte med matte som introducerar algebra först i årskurs åtta. Övriga matematikböcker som granskats är: Matte Direkt, Matte till 1000, Tetra, X Y Z samt Beta.32

28 Gardner, H (1983), Lefrancois, G R (1994)

29 Rockström, B & Lantz, M (1995), Öreberg, C et al. (1991) 30 Öreberg, C et al. (1984)

31 Skoogh, L et al. (2002)

32 Undvall, L & Olofsson, K-G & Forsberg, S (2001), Carlsson, L-G & Ingves, H & Öhman, K (1998), Skoogh, L et al. (2002). Carlsson, S & Hake, K-B & Öberg, B (2002). Björk, L-E et al. (1997). Mårtensson, G & Svensson, L (1988).

(18)

10 10

4 Metod

Vid användning av en observationsstudie får man en tydlig överblick över elevernas tankegångar då de i diskussion med varandra löser uppgifter och därför valdes detta tillvägagångssätt. En enkätundersökning i form av ett test är en effektiv metod då man vill genomföra en undersökning i en större grupp samt då uppgifterna som ska besvaras är av enkel karaktär och endast kräver ett svar och ingen utförlig motivering.33

Tre delundersökningar ingick i denna studie; först en observationsstudie i årskurs fem och sedan två test där tre klasser i årskurs två och fyra matematikgrupper i årskurs sju deltog. Dessa test bestod endast av två pre-algebrauppgifter i årskurs två och en algebrauttryck i årskurs sju.

4.1 Urval

Observation

Observationerna genomfördes i årskurs fem på två olika skolor i södra Sverige. Det föll sig naturligt att använda sig av våra partnerskolor då vi redan var bekanta med skolmiljön. Sammanlagt deltog 32 elever och det externa bortfallet var sju.

Test årskurs två

Undersökningen genomfördes i årskurs två på tre olika skolor i södra Sverige. Skolorna valdes även här ifrån våra partnerområden. Sammanlagt delades testet ut i tre klasser, till 58 elever. Det externa bortfallet var fem.

Test årskurs sju

(19)

11 11

Testet i årskurs sju utfördes på två olika skolor i södra Sverige. Återigen gjordes

undersökningen på våra partnerskolor. Testet delades ut till två matematikgrupper på varje skola. Åttioåtta elever fyllde i det och det externa bortfallet var fem.

4.2 Datainsamlingsmetoder

Observation

Inför observationsstudien i årskurs fem lämnades ett formulär (se bilaga 1) ut till föräldrarna för att få deras tillstånd att videofilma deras barn under observationen. Uppgifterna till denna (se bilaga 2a och 2b) konstruerades för att vi skulle få veta om symbolen har någon betydelse för lösningsfrekvensen. Hälften av grupperna skulle lösa uppgifter som innehöll bokstaven x som okänd variabel och de andra grupperna hade en stjärna som okänd variabel. Bokstaven x föll sig naturligt att välja, då den är vanligt förekommande inom algebra. Stjärnan valde vi för att den är en ganska neutral figursymbol som inte redan har någon speciell betydelse. Vi funderade över att använda andra figursymboler såsom ett hjärta, ett kinesiskt tecken eller en triangel. Anledningen till att vi inte valde dessa är att hjärtat betyder ofta kärlek för många, det kinesiska tecknet vore för invecklat och triangeln skulle kunna förknippas med geometri.

Test årskurs två

Uppgifterna till testet (se bilaga 3a och 3b) i årskurs två valdes för att vi var intresserade av att se ifall symbolen påverkade lösningsfrekvensen samt för att se om barnen i denna ålder är mogna för att börja med pre-algebra övningar. Vi valde samma figursymbol här som i observationen.

Test årskurs sju

Uppgifterna i testet (se bilaga 4a och 4b) till årskurs sju valde vi av samma anledning som enkäten till årskurs två. Men detta test gjordes svårare för att det skulle användas i en högre årskurs. Vi ville se om eleverna upplever det enklare att tyda ett uttryck om det innehåller figursymboler istället för bokstavssymboler. Dessa elever är inte bekanta med algebraiska

(20)

12 12

uttryck sedan tidigare då detta inte tas upp i matematikböckerna förrän senare i årskurs sju eller tidigt i årskurs åtta, beroende på matematikbok.

4.3 Procedur

Observation

Undersökningarna utfördes direkt efter lunch då eleverna ätit och haft rast. Eleverna delades in i åtta grupper, fyra grupper från vardera skola. Grupperna bestod av fyra elever åt gången, oberoende av kön. Då vi inte kände eleverna bad vi klassläraren om assistans med att sätta samman väl fungerande grupper. Vikt skulle läggas vid att alla elever skulle känna sig bekväma i gruppen samt att de skulle ligga på ungefär samma kunskapsnivå matematik grupperna emellan. På den ena skolan delade dock klassläraren in sina fyra duktigaste elever i samma grupp. Eleverna placerades i avskilda grupprum där de kunde arbeta ostört. Hälften av grupperna fick uppgifter med figursymbol och andra halvan bokstavssymbol. De hade obegränsat med tid för att lösa våra uppgifter. Observationerna videofilmades av oss. Då tanken med studien var att se om eleverna tillsammans kunde komma fram till hur uppgifterna skulle lösas, valde vi att inte ge några instruktioner.

Test årskurs två

Testet i årskurs två genomfördes under en paus i den ordinarie undervisningen på förmiddagen. Hälften av eleverna fick ett test innehållande figursymbol och den andra halvan bokstavssymbol. Vi delade ut testet och gav dem instruktionen att försöka lösa uppgifterna enskilt. Ingen ytterligare information gavs till eleverna.

Test årskurs sju

Testet i årskurs sju genomfördes under de första tio minuterna av en matematiklektion. Hälften av eleverna fick ett uttryck innehållande figursymboler och den andra halvan bokstavssymboler. Vi var närvarande när testet delades ut och instruktioner fanns på pappret. Eleverna blev tillsagda att uttrycket skulle lösas enskilt. Inga frågor besvarades.

(21)

13 13

4.4 Databearbetning och tillförlitlighet

Observation

Videoupptagningen av observationsstudien i årskurs fem transkriberades och svarsalternativen delades in i löser och löser inte samt fördelningen bland de lösta uppgifterna mellan bokstavssymbol och figursymbol. Reliabiliteten kan i vårt fall ha påverkats av att den ena klassläraren valde att placera sina fyra duktigaste elever i samma grupp, detta kan ha lett till missvisande resultat då deras kunskaper kan ha legat över genomsnittet och kan därför inte sägas representera den genomsnittliga femteklassaren.

Test årskurs två

Testen från årskurs två sammanställdes i kategorierna löser och löser inte samt fördelningen bland de lösta uppgifterna mellan bokstavssymbol och figursymbol.

Test årskurs sju

Testen från årskurs sju sammanställdes i kategorierna löser, löser delvis och löser inte samt fördelningen bland de lösta och delvis lösta uppgifterna mellan bokstavssymbol och figursymbol.

För samtliga delundersökningar bör försiktighet tas gällande generalisering av resultaten då studien är utförd i ett fåtal klasser i skolor belägna i mindre städer i södra Sverige. Vidare kan det externa bortfallet vara av betydelse då vi inte vet hur väl dessa elever skulle ha klarat av uppgifterna.

(22)

14 14

5 Resultat

I detta avsnitt presenteras resultaten från undersökningarna i följande ordning: observationsstudie i årskurs fem följt av testet i årskurs två och slutligen testet i årskurs sju.

5.1 Resultat observationsstudie

Elevsvaren har delats in i löser och löser inte.

Tabell 1. Sammanställning av resultat för de grupper som arbetat med stjärna i uppgifterna.

Uppgifter Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3 Grupp 4 1. 8 = 5+ Löser Löser Löser Löser

2. 4 =12 Löser Löser Löser Löser

3. 2 -2 = 6 Löser Löser Löser Löser 4. +3 = 2 Löser inte Löser inte Löser inte Löser inte

Som framgår av tabell 1 klarade ingen av grupperna att lösa uppgift fyra, men övriga uppgifter löstes av samtliga grupper.

Elevkommentarer:

Några exempel på utmärkande kommentarer från eleverna som hade stjärna i uppgiften följer här:

• Man ska skriva siffran inne i stjärnan. (grupp 2, uppgift 1).

• Man kanske kan säga att det är två stycken av stjärnorna liksom, så blir det liksom

gånger. (grupp 4, uppgift 3).

• Men det är ju inget tecken, då måste det va´ gånger. (grupp 1, uppgift 2). • Men då måste man kunna skriva vilken siffra man vill. (grupp 3, uppgift 4). • Det blir 20, skriv en nolla i stjärnan bara. (grupp 2, uppgift 4).

Tabell 2. Sammanställning av resultat för de grupper som arbetat med bokstav i uppgifterna.

(23)

15 15

Uppgifter Grupp 5 Grupp 6 Grupp 7 Grupp 8 1. 8 = 5+ x Löser Löser Löser Löser 2. 4x = 12 Löser inte Löser Löser inte Löser 3. 2x – 2 = 6 Löser inte Löser Löser inte Löser 4. X+3 = 2x Löser inte Löser inte Löser inte Löser inte

Som tabell 2 visar klarade ingen av grupperna att lösa uppgift fyra, men samtliga grupper löste uppgift ett. Lösningsfrekvensen för uppgift två och tre var 50 procent.

Elevkommentarer:

Några exempel på utmärkande kommentarer från eleverna som hade bokstav i uppgifterna följer här:

• Om vi sätter 8:a där, så kan vi bara lägga till på andra sidan så stämmer det ju. (grupp 7, uppgift 2).

• Elev1: fyra plus åtta blir tolv. Elev 2: men det står faktiskt inte plus. Elev 1: nä, men

det kan man bara skriva dit där. (grupp 6, uppgift 2).

• Elev 1 skriver en nolla ovanför x:et. Elev2: men nu stämmer inte den, 20 minus två

(24)

16 16

5.2 Resultat test årskurs två

Nedan följer svaren till de uppgifter som årskurs två genomförde. Först redovisas lösningsfrekvensen oberoende av symbol, följt av symbolfördelningen bland de lösta uppgifterna. Slutligen redovisas lösningsfrekvensen för figursymbol respektive bokstavssymbol. Elevsvaren har delats in i löser och löser inte.

Lösningsfrekvens för samtliga åk två

48% 52%

löser löser inte

Figur 1. Lösningsfrekvensen för samtliga elever i årskurs två oberoende av figursymbol och bokstavssymbol.

Som figuren visar klarade mindre än hälften av eleverna att lösa uppgifterna, 5 = 2 + respektive 5 = 2 + a och 6 – = 4 respektive 6 – a = 4, oberoende av om de fick en bokstavssymbol eller en figursymbol. Det framgår inte av figuren vilken symbol som har störst lösningsfrekvens, då ett delmål med detta test var att enbart se ifall barn i denna ålder klarar av uppgifter av denna sort.

(25)

17 17

Jämförelse bokstav/stjärna bland de lösta uppgifterna

29%

71%

bokstav stjärna

Figur 2. Procentuell skillnad mellan bokstav och stjärna bland de elever som löst uppgiften.

I figur 1 visas att endast 48 procent löste uppgifterna. Men i figur 2 kan ses att av dessa 48 procent hade 71 procent uppgifter innehållande stjärna, vilket är en stor majoritet.

(26)

18 18

Lösningsfrekvens för elever med stjärna åk två

69% 31%

löser löser inte

Figur 3. Lösningsfrekvens för de elever som fick en stjärna i uppgiften.

Lösningsfrekvens för elever med bokstav åk två

28%

72%

löser löser inte

Figur 4. Lösningsfrekvens för de elever som fick en bokstav i uppgiften.

Dessa diagram illustrerar den skillnad vi ville undersöka angående själva symbolens betydelse. Av figur 3 och 4 går att utläsa att av de elever som hade en stjärna i sin uppgift klarade mer än två tredjedelar att lösa den. För de elever som hade en bokstav i uppgiften blev resultatet nästan det omvända, det vill säga mer än två tredjedelar klarade inte av att lösa den.

(27)

19 19

5.3 Resultat test åk sju

Resultaten inleds med en presentation av lösningsfrekvensen för alla elever oberoende av symbol. Därefter redovisas fördelningen av symbol i relation till helt och delvis löst uppgift. Slutligen illustreras andelen elever som förstått helt och delvis beroende av symboltilldelning.

Vi har valt att dela in elevsvaren i tre olika kategorier efter hur väl de besvarat uppgiften, = 2 + respektive a = 2 + b. Dessa kategorier är: Förstår helt, förstår delvis samt

förstår inte. De elever som placerats i kategorin förstår helt har visat att de förstått både att

respektive a är större än respektive b och att den är två större. Eleverna i kategorin

förstår delvis har visat på en förståelse för att respektive a är större än respektive b men inte kunnat specificera hur mycket större. I den sista kategorin förstår inte har eleverna inte visat någon förståelse för denna uppgift. De har inte klarat av att säga något korrekt om storleksförhållandena. Resultat för alla 10% 27% 63% förstår helt förstår delvis förstår inte

Figur 5. Resultatet sammantaget för alla elever

oberoende av figursymbol och bokstavssymbol.

Figur 5 illustrerar i vilken utsträckning eleverna förstod uttrycket, den visar att en majoritet av eleverna inte kunde redogöra för något korrekt svar. Endast en tiondel av alla elever kunde ge ett fullständigt svar på uppgiften och något fler, nästan tre tiondelar, kunde ange rätt variabel som den största men nådde inte ända upp till att förstå helt.

(28)

20 20 Förstår helt 33% 67% Symbol Bokstav

Figur 6. Andelen elever av dem som gav ett korrekt svar

som haft figursymbol respektive bokstavssymbol i uppgiften.

Figur 6 illustrerar att två tredjedelar av de fullständigt korrekta svaren kom från elever som fått bokstäver i uppgiften. Lösningsfrekvensen för de elever med figursymbol var inte bättre, utan bara hälften så bra som de med bokstavssymbol.

Här följer några exempel på olika svarsalternativ vi fick på vår uppgift från de elever som gav ett korrekt svar:

• Stjärnan är två större än månen. • a är störst. Den är en 2 större än b.

(29)

21 21 Förstår delvis 62% 38% Symbol Bokstav

Figur 7. Andelen elever av dem som gav ett delvis korrekt svar som haft figursymbol respektive bokstavssymbol i uppgiften

För att fastställa ifall figursymboler främjar förståelsen för algebra infördes svarskategorin förstår delvis, som visar på någon grad av förståelse, vars resultat visas i figur 7. Ur figur 5 går att utläsa att knappt en tredjedel av alla elever förstod uppgiften till viss del, men av dessa elever hade en majoritet en figursymbol istället för en bokstavssymbol, se figur 7.

Här följer några exempel på olika svarsalternativ vi fick på vår uppgift från de elever som bara delvis givit ett korrekt svar:

• Om vi säger att stjärnan representerar fem och månen tre så kan det bli typ så här:

5=2+3 = 3+2=5

• Stjärnan är större men jag vet inte hur mycket större men kanske två gånger större. • a är störe än b. om b är 1+2 då blir a 3.

Här följer några exempel på olika svarsalternativ vi fick på vår uppgift från de elever som inte klarade av att lösa uppgiften:

• från en planet så ser det ut som en stjärna.

• Svaret blir 10. tjärnan har 10 hörn och där är en tvåa och 2+8=10. • Stjärnan är större än månen för att 2:an är stjärnan!? (på något sätt). • En måne är en stjärna så två halv månar är en stjärna.

(30)

22 22

• Månen är störst eftersom att stjärnor är mindre.

• b är större för att a är den första bokstaven i alfabettet så b är är större. • Det blir ett d. de är lika mycket värda. De är grannar.

• a och b = lika mycket (2). b= dubbelt så mycket. • Om man tänker sig en våg är b+_=a.

• Där är en 2 imellan. Det är bokstäver.

Bokstav 13% 20% 67% förstår helt förstår delvis förstår inte Symbol 7% 35% 58% förstår helt förstår delvis förstår inte

Figur 8. Resultat för eleverna som hade bokstavs- Figur 9. Resultat för eleverna som hade figur-

symboler i sin uppgift. symboler i sin uppgift.

Vi vill visa på skillnaden mellan de som helt och delvis förstått i en jämförelse av olika typer av symbol. Figurerna 8 och 9 illustrerar att i jämförelsen mellan bokstavssymbol- och figursymboluppgifterna var det större andel elever som sammantaget helt eller delvis förstod uppgiften bland dem som fick figursymboler i uppgiften i relation till de elever som hade bokstavssymboler. Dock var andelen som gav ett helt korrekt svar större bland de elever som fick räkna med bokstäver.

(31)

23 23

6 Diskussion och slutsatser

6.1 Vilken betydelse har symbolen vid algebraräkning?

Denna frågeställning grundar sig på att vi hade en hypotes om att eleverna skulle uppleva algebra enklare om vi bytte de vanligt förekommande bokstäverna mot figursymboler istället. Många elever vi mött under vår verksamhetsförlagda tid har uttryckt att de tycker att det är svårt att förstå varför det står en bokstav bland siffrorna och de kan inte förstå hur det kan ha med matematik att göra. Andra undersökningar ger också stöd för detta.34

Anledningen, tror vi, är att bokstäverna redan har en bestämd betydelse i form av alfabetet. Eleverna har inte blivit förberedda på att matematiken kan ta sig andra uttryck än i siffror. Detta kan bero på att eleverna under sin pre-algebra tid endast har arbetat med en tom ruta eller övertäckande av term och sedan blir negativt överraskade när det istället står en bokstav på denna plats.35 Man skulle kunna hävda att användandet av tom ruta inte är annat

än uteslutningsmetoden och har inget med algebra att göra.36 Förvisso är det sant att man inte algebraiskt räknar ut dessa tal men vi vill påstå att det är en oerhört viktig förberedande del inför algebran då eleverna lär sig arbeta med obekanta tal. Skulle detta förarbete saknas skulle eleverna bli överraskade då de för första gången stöter på en bokstav i matematiken. Algebra måste föregås av inledande algebra, som i sin tur måste föregås av pre-algebra.

Observationsstudien vi genomförde i årskurs fem gav bara delvis stöd för vår hypotes om att figursymboler skulle underlätta algebran. Det visade sig att den ena skolans elever hade stött på ganska mycket pre-algebra sedan tidigare och hade därför inga problem att lösa uppgifterna oberoende av bokstavssymbol/figursymbol. Den andra skolans elever var relativt nya inför denna typ av uppgift och skillnad kunde märkas mellan de olika grupperna. De hade enbart stött på ett fåtal exempel av denna sort i matematikboken från de första skolåren. Det är svårt att dra en slutsats då gruppernas kunskapsnivåer inte var homogena. Det verkar dock som att de som inte räknat så mycket pre-algebra uppgifter

34 Grønmo, L S (1999), Nämnaren tema (1997) 35 Persson, P-E (2005), Nämnaren tema (1997) 36 The roles of representation

(32)

24 24

tidigare hade lättare för att lösa uppgifterna innehållande stjärna än med bokstav. Detta resultat fick vi även i årskurs två där vi genomförde ett test. Mer än 70 procent av alla elever som lyckades lösa uppgiften hade en uppgift innehållande en stjärna. Dessa elever har endast vid ett fåtal tillfällen räknat uppgifter med tom ruta eller dylikt. Resultatet visar att valet av symbol har viss betydelse. Testet som genomfördes i årskurs sju visade att av dem som helt kunde förklara uttrycket var majoriteten elever som fick en bokstav i sitt uttryck. Vad som är intressant att poängtera är däremot att sammantaget av de elever som helt och delvis kunnat förklara uttrycket hörde majoriteten till gruppen som hade stjärna och måne i uttrycket. Detta syns tydligt i en jämförelse av figur 8 och 9.

6.2 Övergången från pre-algebra till algebra

Övergången från pre-algebra till algebra utgör ett kritiskt skede37 och av den orsaken anser

vi att det är viktigt att ta upp som frågeställning om läraren kan underlätta denna med hjälp av valet av symbol. En lyckad övergång från pre-algebra till algebra kan inte endast tillskrivas valet av symbol, många andra faktorer spelar också stor roll. Ofta är algebrauppgifterna på en för hög nivå för eleverna och de kan inte relatera matematiken till verkligheten. Av betydelse är att försöka komma ifrån att bara använda ett streck eller en tom ruta att fylla i sin pre-algebra. Risken med detta kan vara att eleverna kan skapa sig en felaktig uppfattning om algebra och tro att det alltid ser ut på detta sätt. När de sedan för första gången möter en bokstav i matematiken så blir de förvirrade. Faran med en hastig övergång från pre-algebra till algebra är att eleverna ser bokstaven som en del av alfabetet och inte kan se den som representant för en klass av tal.38 Om eleverna istället får konstruera sina egna uppgifter med egenvalda symboler för att ersätta den tomma rutan39 skapas en bättre förståelse för att vilket tecken som helst kan beteckna det okända. I våra undersökningar, från årskurs två och fem, skrev de flesta barnen in siffran i stjärnan. En förklaring kan vara att de upplever det enklare när de kan skriva siffror inuti symbolen då de vet att det är på den platsen siffran ska stå. Läraren bör därför, enligt oss, i början välja symbol efter detta kriterium. Vilken symbol som väljs, till exempel en boll, ett hjärta, en

37 Nämnaren tema (1997) 38 Nämnaren tema (1997) 39 Persson, P-E (2005)

(33)

25 25

fisk, spelar mindre roll så länge som eleverna kan skriva inuti den. När eleverna väl är bekanta med detta introduceras symboler som inte längre går att skriva inuti. På så vis vänjer sig eleverna vid att det okända kan ta sig många olika uttryck och övergången till bokstavsräkning blir mer naturlig.

6.3 När bör pre-algebra introduceras?

Under arbetets gång började vi fundera över om svenska elevers algebrakunskaper skulle kunna förbättras genom en tidigare introduktion av pre-algebra. Studier har visat att svenska elever är under genomsnittet ur ett internationellt perspektiv i algebra.40 Vår tanke

var då att deras förkunskaper möjligen var för dåliga och att det eventuellt beror på att de inte haft tillräcklig pre-algebra undervisning under grundskolans tidiga år. Efter att ha kritiskt granskat matematikböcker41 för olika årskurser fann vi en väldig brist på

pre-algebra övningar. Det kan vara så att avsaknaden på tillräcklig undervisning är orsaken till elevernas bristfälliga kunskaper inom området. Då väcktes frågan om när pre-algebra bör introduceras för att ett bättre resultat ska uppnås. Piaget är en framstående forskare inom matematik och beteendevetenskap vars teorier fortfarande är aktuella. Enligt honom klarar ett barn i sjuårsåldern av att göra enkla beräkningar såsom att räkna med kulor och pengar.42 De borde därför också klara av enkla pre-algebra uppgifter. Vi ville undersöka detta och genomförde därför ett test i årskurs två där eleverna fick lösa en enkel algebraisk uppgift.

Undersökningen visade att lösningsfrekvensen var betydligt högre hos de barn som hade en stjärna som symbol, se figur 2 s.17. Den visade också att cirka häften lyckades lösa uppgiften, se figur 1 s. 16, vilket visar på att de inte är för unga för denna typ av uppgifter. Bokstäver är för abstrakt för denna åldersgrupp43 vilket tydligt visade sig då endast åtta av 29 elever lyckades lösa uppgifter innehållande bokstav. Däremot bland de elever som fick lösa uppgifter innehållande stjärna var resultatet det omvända, 20 elever löste uppgiften och

40 Persson, P-E (2005), Skolverket (1996)

41 Rockström, B & Lantz, M (1995), Öreberg, C et al. (1991), Öreberg, C et al. (1984) 42 Gardner, H (1983)

(34)

26 26

nio klarade det inte. Denna undersökning visar på att barn är mogna för pre-algebra redan i tidig ålder men att valet av symbol bör vara genomtänkt och varierat, gärna uppgifter med symboler eleverna kan skriva inuti. Det finns dock en risk med detta, eleverna kan felaktigt få uppfattningen att de alltid ska skriva svaret inuti symbolen och förstår då inte att symbolen ska representera något okänt, som inte alltid har ett givet svar utan ibland bara anger förhållandet till ett annat tal.

Då svenska elever upplever tidspressen som den största påverkande faktorn för varför de inte har tillräckliga kunskaper inom algebra44 måste vi lärare fråga oss hur vi kan minska denna känsla. Algebra är ett omfattande område inom matematik som måste ges tid att mogna fram.45 Då kan det verka märkligt att vi i Sverige introducerar algebra senare än i

övriga länder.46 Man kan fråga sig varför det skiljer sig när människor i alla länder mognar

i samma ålder, borde då inte alla börja med algebra samtidigt? Inte nog med att vi i Sverige börjar med algebra senare, vi har även, internationellt sett, lite tid avsatt för matematik i skolan. Med tanke på detta är det kanske inte så konstigt att svenska elever presterar sämre i algebra än elever i övriga länder. För att kunna befästa sina kunskaper krävs tid till reflektion och konstruktiv feedback. Det är viktigt att alla elever ges möjlighet att komma till tals och få argumentera för sin åsikt, men för detta krävs tid som idag inte finns. Enligt oss borde den bästa lösningen vara att elever ges tid genom hela grundskolan att bygga upp algebra kunskaper redan från tidig ålder. I en sådan situation får eleverna en kontinuerlig kontakt med algebra vilket torde resultera i en större erfarenhet och självsäkerhet. Förtjänsten med detta blir att när eleverna börjar på högstadiet har de redan tillräckliga kunskaper för att börja med den verkliga algebran med dess abstrakta tänkande. Läraren behöver då inte ta viktig tid från detta område för att repetera pre-algebra kunskaper som de redan borde ha med sig från mellanstadiet.47 Det är viktigt att vi tar till vara på tiden vi har till vårt förfogande, inte bara antalet matematiktimmar som finns per vecka utan även i ett långsiktigt perspektiv, att man börjar tidigt och låter matematiken mogna fram. Resultatet

44 Persson, P-E (2005) 45 Oltenau, C (2001) 46 Nämnaren tema (1997) 47 Skolverket (2000)

(35)

27 27

vi vill uppnå är att eleverna ska känna minskad stress och därmed bli mer mottagliga för kunskap.

Även om tanken bakom idén till tidigare och mer intensiv introducering av pre-algebra är god så finns vissa ovissheter med den. Risken är att ett större utrymme för pre-algebra tas på bekostnad av den övriga matematikundervisningen och den grundläggande aritmetiken. Lyckas läraren finna en bra balans mellan de två kan vi inte se något hinder för att lära pre-algebra samtidigt som aritmetik, för vi anser att de båda går hand i hand.

I kursplanen för matematik i grundskolan står att man i årskurs fem ska kunna bestämma obekanta tal i enkla formler.48 Vi anser att detta inte efterlevs och att kunskaperna är alltför

bristfälliga då elever börjar på högstadiet. Av de elever i årskurs sju, som deltog i vår enkätstudie, klarade över 50 procent inte av att tyda ett enkelt uttryck. Ett uttryck som enligt oss är inte är svårare än en enkel formel, som elever enligt kursplanen ska kunna lösa redan efter årskurs fem. Vi undrar då var det brister? Är det kursplanen som ställer för låga krav eller är det lärarna i grundskolans tidiga år som brister i sin undervisning? Enligt vår mening är det en kombination av de båda, för om kursplanen ställer högre krav tidigare tvingas lärarna anpassa sig efter dem. Vi menar inte att eleverna ska behärska algebra när de kommer upp på högstadiet men att en fullgod pre-algebra kunskap ska finnas som omfattar de fyra räknesätten, inte bara addition och subtraktion. Ett första steg i rätt riktning vore att skriva om matematikböckerna, då vi anser att de innehåller alldeles för lite pre-algebra uppgifter. De få uppgifter som finns ter sig i samma konstellation, det är alltid ett streck eller en tom ruta som ska fyllas i. Variation mellan olika utseende på den obekanta tror vi är viktigt för att barnet ska förstå att det kan se olika ut.

Vidare står i kursplanen för matematik i grundskolan att man efter årskurs nio ska kunna tolka och kunna använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.49 Vi

tycker att detta är rimliga uppnående mål men vi betvivlar att de uppnås i de flesta skolor.

48 Skolverket (2000) 49 Skolverket (2000)

(36)

28 28

Av egna erfarenheter har vi sett att det inte är så då vi under vår verksamhetsförlagda tid har lagt märke till brister inom i synnerhet användandet av grafer. Orsaken skulle kunna vara att då eleverna inte behärskar den grundläggande pre-algebran måste tid tas av undervisningen på högstadiet till att lära dem det som de redan borde kunna. Detta resulterar i att de tre åren då man skulle undervisa i algebra blir till ett eller två år och denna tid är inte tillräcklig för att uppnå målen.

6.4 Sammanfattning av slutsatser

Följande är resultaten i denna studie:

• Typen av symbol, som väljs för att representera det okända, har viss betydelse, framförallt i de tidiga skolåren.

• För att underlätta övergången från pre-algebra till algebra bör man välja en symbol som går att skriva inuti.

• Tendensen visar att elever är mogna för pre-algebra i tidig ålder.

6.5 Resultatets tillförlitlighet

Vi kan inte dra några generella slutsatser utifrån någon av undersökningarna då de bara har genomförts i södra Sverige och ingen av dem i en storstad. Eleverna som deltagit kan därför inte sägas representera Sveriges elever generellt då kunskapsnivån kan skilja sig mellan storstad och småstad samt mellan södra och norra Sverige.

Observationen som genomfördes i årskurs fem brister i tillförlitlighet då eleverna på den ena skolan hade mer förkunskaper inom algebra än de på den andra skolan. Även kunskapsnivån grupperna emellan skilde sig åt, vilket kan ha lett till ett felaktigt resultat. I efterhand har vi insett att uppgifterna vi valde inte var optimala för denna undersökning då de snarare undersökte elevernas algebra färdigheter hellre än symbolens betydelse. Skulle vi få möjlighet att göra om undersökningen hade vi valt att istället lämna ut ett test även till årskurs fem, utan nivåstegring på uppgifterna då det inte är elevernas algebra kunskaper vi ämnat undersöka utan själva symbolens betydelse.

(37)

29 29

6.6 Förslag till fortsatt forskning

Det vore intressant att genomföra en longitudinell undersökning som sträcker sig över hela grundskolans tid där två skolor jämförs. Den ena skolan skulle då arbeta med algebra som det görs idag och den andra efter vår modell med tidigarelagd och mer intensiv pre-algebra/algebra undervisning. Vår skola skulle då introducera pre-algebra i årskurs ett med laborativa inslag och ett varierat val av symbol. Nivån skulle sedan stegras så att eleverna i årskurs sex har så pass befästa algebrakunskaper att de behärskar formler innehållande alla de fyra räknesätten. Vår förhoppning är att de då skulle vara redo för att möta den mer abstrakta algebran på högstadiet. Detta skulle kunna mätas genom två test, ett i slutet av årskurs sex och ett i slutet av årskurs nio, för att se om kunskaperna har förbättrats.

(38)

30 30

7 Referenser

Björk, L-E et al. (1997). Matte till 1000. Falköping: Gummessons Tryckeri AB.

Carlsson, L-G & Ingves, H & Öhman, K (1998) Tetra A. Malmö: Bäcklunds Boktryckeri Aktiebolag.

Carlsson, S & Hake, K-B & Öberg, B (2002). Matte Direkt. Trelleborg: Berlings Skogs. Gardner, H (1994). De sju intelligenserna. Falun: Scandbook.

Grønmo, L S (1999). Att sätta ord på algebra, Nämnaren nr 1, s.19-25. Grønmo, L S & Rosén, B (1998). Att förstå algebra, Nämnaren nr 4, s.35-41. Johansson, B & Svedner, P O (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget

Lefrancois, G R (1994). Psychology for teaching. Wadsworth publishing company: Belmont, California

Mårtensson, G & Svensson, L (1988). Beta. Arlöv: Berlings Tryckeri.

National council of teachers of mathematics reston (2001). The roles of representation in

school mathematics. USA.

Nationalencyklopedin. Hämtat från http://www.ne.se. Uppdaterad 2005. Hämtat 15 november 2005.

Nämnaren Tema (1997). Algebra för alla. Kungälv: Grafikerna Livréna i Kungälv AB. Oltenau, C (2000). Varför är skolalgebran svår? Hämtat från http://tsunami.hkr.se/. Publicerad 02-2003. Hämtat 14 november 2005.

Oltenau, C (2001). Vilka är elevernas svårigheter i algebra? Hämtat från

http://tsunami.hkr.se/. Publicerad 03-2003. Hämtat 14 november 2005.

Persson, P-E (2005). Bokstavliga svårigheter. Faktorer som påverkar gymnasieelevers algebralärande. Luleå: Universitetstryckeriet.

(39)

31 31

Skolverket (2000) Grundskolan kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket/Fritzes.

Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr 221. Hämtat från http://www.skolverket.se. Publicerad 2003. Hämtat 15 november 2005. Skolverket (1996). Svenska 13-åringars kunskap inom matematik och naturvetenskap i ett

internationellt perspektiv. Hämtat från http://www.skolverket.se. Publicerad 1996. Hämtat 15 november 2005.

Skolverket (2003). TIMSS 2003-Trends in International Mathematics and Science Study.

Hämtat från http://www.skolverket.se. Uppdaterad 2005. Hämtat 16 januari 2006. Skoogh, L et al. (2002) Möte med matte D. Falköping: Elanders Gummessons. Undvall, L & Olofsson, K-G & Forsberg, S (2001) Matematikboken X. Örebro: DB Grafiska AB.

Öreberg, C et al. (1984) Alfa C. Kristianstad: Kristianstads Boktryckeri AB. Öreberg, C et al. (1991) Talriket A. Arlöv: Berlings.

(40)

32 32

(41)

33 33

8 Bilagor

Bilaga 1

Hejsan föräldrar,

Vi heter Linda och Caroline och vi går sista terminen på lärarhögskolan i Malmö. Det enda som är kvar för oss att göra innan vi är färdiga lärare är att skriva vårt examensarbete och det tänker vi göra inom ämnet matematik. Då ett examensarbete måste grunda sig i

forskning hoppas vi kunna göra denna forskning i bl a ert barns klass. Vi vill därför be om ert tillstånd att observera ert barn då han/hon löser matematikproblem. Vi kommer att dokumentera detta genom att videofilma. Filmen kommer endast att användas i

forskningssyfte och ingen annan än vi och ett fåtal lärare på Malmö lärarhögskola kommer att se den. Era barn kommer inte att namnges i vårat examensarbete, de kommer att få påhittade namn vid behov.

Vi vore väldigt tacksamma om ni ville ge ert tillstånd till att vi observerar ert barn. Tack på förhand/

Linda & Caroline

 Ja, vi ger tillåtelse att vårat barn observeras och filmas.  Nej, vi ger inte tillåtelse att vårat barn observeras och filmas. Elevens namn:____________________________________________ Målsmans underskrift:____________________________________

(42)

34 34

Bilaga 2a

1.

8 = 5 + x

2.

4x = 12

3.

2x – 2 = 6

4.

x + 3 = 2x

(43)

35 35

Bilaga 2b

1.

8 = 5 +

2. 4 =12

3. 2 – 2 = 6

4. + 3 =2

(44)

36 36

Bilaga 3a

1.

5 = 2 + a

(45)

37 37

Bilaga 3b

1.

5 = 2 +

(46)

38 38

Bilaga 4a

Vad kan man säga om storleksförhållandet mellan a och b?

(47)

39 39

Bilaga 4b

Vad kan man säga om storleksförhållandet

mellan och ?

Figure

Tabell 1.   Sammanställning av resultat för de grupper som  arbetat med stjärna i uppgifterna
Figur 1.  Lösningsfrekvensen för samtliga elever i årskurs två   oberoende av figursymbol och bokstavssymbol
Figur 2.   Procentuell skillnad mellan bokstav och stjärna   bland de elever som löst uppgiften.
Figur 3.  Lösningsfrekvens för de elever som fick en stjärna  i uppgiften.
+5

References

Related documents

Det här gör att respondenten som senast betalade 15 000 kr nu höjt sitt IRP med 5 000 kr, vilket vi menar är ett samband mellan vilja att acceptera (WTA) och det känslomässiga

Forskning skulle även kunna inrikta sig på att jämföra de skillnader som finns mellan hur de olika nätverken nyttjas av män respektive kvinnor, och därmed

Idag jobbar många inte bara för att få mat på bordet utan för eget självförverkligande..

En staccatoartad prosodi är bland annat kännetecknande för förortsslangen, och då uttalsdragen inte kan kopplas till något specifikt förstaspråk betraktas inte detta sätt att

Graden av arbetslöshet och av sysselsättning, andelen mottagare av försörj- ningsstöd, skolresultaten, utbildningsnivån och valdeltagandet är förhållanden som sammantaget

Justitiedepartementet har begärt att Botkyrka kommun ska inkomma med ett remissvar över promemorian ”Ett ändrat förfarande för att anmäla områden som omfattas av be- gränsningen

Boverket känner inte till att ordet invändning tidigare givits sådan långtgående betydelse och rätts- verkan i svensk rätt.. Inte heller synes ordet ges sådan betydelse enligt

invändningar ska göras utifrån en objektiv bedömning och länsstyrelserna ska genom ”samverkan sinsemellan bidra till att urvalet av områden blir likvärdigt runt om i