Malmö högskola
Lärarutbildningen Skolutveckling och ledarskapExamensarbete
10 poäng
Matematiksvårigheter efter årskurserna 2,
4 och 6
En undersökning av svårigheter och behovet av stöd
Difficulties in mathematics after the school years 2, 4 and 6
A study of difficulties and the need for supporting measures
Fredric Mehlin
Lärarutbildningen 60p Höstterminen 2005
Examinator: Jan Härdig
Malmö Högskola Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap Lärarutbildningen, 60 poäng Höstterminen 2005
Mehlin, Fredric. (2005). Matematiksvårigheter efter årskurserna 2, 4 och 6. En uppskattning av när matematiken börjar bli svår. (Difficulties in mathematics after the school years 2, 4 and 6). Skolutveckling och ledarskap, Lärarutbildningen 60 poäng, Malmö Högskola.
Syftet med följande examensarbete är att kartlägga vilken förmåga elever har att lösa ett antal matematikuppgifter när de gått ut årskurs 2, 4 och 6. Vidare är syftet att ta reda på när specialpedagogiska insatser behövs sättas in, detta genom att undersöka när och med vad elever i grundskolan får svårigheter inom matematiken.
Arbetet ger en översikt av tidigare forskning om grundskoleelevers matematikkunskaper och av olika typer av matematiksvårigheter. Med hjälp av diagnoser som elever i tre årskurser räknar igenom vill författaren bland annat undersöka om eleverna med matematiksvårigheter är fler i högre årskurser och vilka problem eleverna har med matematiken i de olika årskurserna.
Sammanfattningsvis pekar undersökningens resultat på att spridningen på elevers matematikresultat ökar från tredje till femte årskursen. Fler hamnar på efterkälken efterhand. Elevernas största problem i diagnoserna är slarv, dåliga färdigheter i huvudräkning och svårigheter med nya uppgiftsformer.
Nyckelord: gradvis utslagning, konstruktivism, matematiksvårigheter, specialpedagogik
Fredric Mehlin
Gullregnsvägen 113c 224 56 Lund
Handledare: Sten-Sture Olofsson Examinator: Jan Härdig
FÖRORD
Tack till de elever och pedagoger som deltog i examensarbetets undersökning. Tack också till min handledare Sten-Sture Olofsson för dina råd. Slutligen också ett tack till min flickvän och dotter för ert stöd och er peppning.
INNEHÅLL
1 INLEDNING 7
1.1 Bakgrund 7
2 PROBLEM OCH SYFTE 9
3 LITTERATURGENOMGÅNG 11
3.1 Matematiksvårigheter 11
3.2 Relevant forskning 12
3.2.1 Medelsta-matematik 12
3.2.2 Finska räknespår 13
3.2.3 Problem med problemlösning 13
3.2.4 Nationella utvärderingen 14
3.2.5 Ratkozeris undersökning i Malmö 15
3.2.6 Läroplanens uppdrag 15
4 TEORI 17
4.1 Konstruktivism 17
4.1.1 Kunskap som konstruktion 17
4.1.2 Didaktiska konsekvenser 18
4.2 Orsaker till svårigheter i matematik 19 4.2.1 Neuropsykologi och särskilt utbildningsbehov i matematik 19 4.2.2 Dyslexi och särskilt utbildningsbehov i matematik 19 4.2.3 Magnes situationsorienterade indelning 20
5 METOD 23 5.1 Val av metod 23 5.2 Undersökningens deltagare 24 5.3 Diagnoserna 24 5.4 Genomförandet 25 5.5 Bearbetning av data 26 5.6 Tillförlitlighet 27 5.7 Etik 28 6 RESULTAT 29
6.1 Elevernas poängresultat på diagnoserna 29
6.1.1 Årskurs 3 29
6.1.2 Årskurs 5 29
6.1.3 Årskurs 7 30
6.1.4 Eleverna med poängsummor under medel 30
6.2.1 Fel i årskurs 3 31 6.2.2 Fel i årskurs 5 31 6.2.3 Fel i årskurs 7 33 7 ANALYS AV RESULTAT 37 7.1 Slarv 37 7.2 Huvudräkning 37
7.3 Ovana vid nya uppgiftsformer 37
7.4 Svårigheter i de olika årskurserna 38
8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION 39
8.1 Sammanfattning 39 8.2 Diskussion 40 9 FORTSATT FORSKNING 43 REFERENSER 45 BILAGOR 49 Bilaga 1 49 Bilaga 2 50 Bilaga 3 52 Bilaga 4 54
1 INLEDNING
Detta examensarbete behandlar ämnesområdet matematiksvårigheter. Varje år går det ut elever från den svenska grundskolan utan att vara godkända i ämnet matematik. Dessa ungdomar riskerar att få det svårare än sina klasskamrater på en rad områden.
Ett av dessa områden är vardagslivet med dess otaliga räkneoperationer. De kunskaper som ryms inom matematikämnet är av stor betydelse för människan i hennes vardag, till exempel i mataffären, på banken eller när huset ska renoveras. Även i yrkeslivet ställs det krav på matematisk kunnighet.
Matematik är också ett av de skolämnen som upphöjts till kärnämne. Du kan alltså inte komma vidare i dina studier utan betyget godkänt i matematik efter genomgången grundskola.
I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet står det att undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Skolan åläggs också ett särskilt ansvar för de elever som har svårigheter att nå målen för undervisningen (Lpo-94). Nödvändigheten av att skolan lyckas ta detta ansvar för de elever som har svårigheter i ett av skolans kärnämnen, matematik, är det som motiverar ämnesvalet för detta examensarbete.
Hur ska skolan göra för att rusta dessa elever för livet efter grundskolan? Flera forskare inom matematikdidaktiken pekar på att det viktiga är att så tidigt som möjligt identifiera när det uppstår problem för en elev och då göra specialpedagogiska insatser (Adler & Malmer, 1996; Magne, 2003).
Frågan är bara när det är. När får grundskolans elever svårigheter att klara av matematiken? Inom det här området vill detta examensarbete söka svar. Förhoppningen är att undersökningen ska kunna bidra med en fingervisning om när det börjar bli svårt i grundskolans matematik. En sådan skulle underlätta för de pedagoger som arbetar med barn och matematik.
1.1 Bakgrund
Läser vi statistik över niondeklassarnas resultat på det nationella provet i matematik finner vi att situationen har sett mer eller mindre likadan ut
under 2000-talets första år. Mellan 12 och 16 procent av eleverna klarade inte nivån för godkänt (Skolverket 2000; 2001; 2002; 2003:1). Äldre forskning fick fram ungefär samma procenttal för 50 år sedan (Magne, 2003).
Skolverket har även testat vilka matematikkunskaper elever i årskurs 5 har. Det gjordes senast våren 2003. Då bedömdes strax under 10 procent av eleverna sakna grundläggande kunskaper och färdigheter i matematik (Skolverket, 2003:2), alltså något färre än de som strax ska lämna grundskolan. Det verkar som om fler elever har problem med matematiken i grundskolans senare år än i de tidigare.
I det här examensarbetet vill jag undersöka hur det ser ut med elevernas matematikkunskaper i årskurserna före och efter år 5.
2 PROBLEM OCH SYFTE
För att färre elever ska gå ut grundskolan med bristfälliga kunskaper och dåliga färdigheter i matematik krävs det bland annat specialpedagogiska insatser. Det kan dock vara svårt att veta när dessa ska sättas in. Då skulle det vara till stor hjälp för pedagogen att veta när det börjar bli svårt för grundskolans elever att klara av matematiken.
Syftet med det här examensarbetet är:
att kartlägga vilken förmåga elever har att lösa ett antal matematikuppgifter när de gått ut årskurs 2, 4 och 6.
att ta reda på när specialpedagogiska insatser behövs sättas in, detta genom att undersöka när och med vad elever i grundskolan får svårigheter inom matematiken.
Följande frågeställningar vill jag följaktligen söka svar på i examensarbetet:
Är det någon skillnad på hur mycket matematik eleverna kan efter utgången årskurs 2, 4 och 6?
Är eleverna med matematiksvårigheter fler i de högre årskurserna? Vilka problem har eleverna med matematiken i de olika årskurserna? Data till undersökningen kommer att samlas in med hjälp av en matematikdiagnos som ett antal elever i årskurs 3 respektive 5 och 7 räknar igenom och lämnar in.
3 LITTERATURGENOMGÅNG
I det här kapitlet definierar jag ett för uppsatsen centralt begrepp. Därefter gör jag en genomgång av relevant forskning som läsaren behöver ha med sig i den fortsatta läsningen.
3.1 Matematiksvårigheter
Forskaren Olof Magne har gjort en alfabetisk förteckning över termer som beskriver matematisk prestationsnedsättning (Magne, 1998). Listan börjar med akalkyli och avslutas med visuell agnosi. Sammanlagt innehåller den 59 olika begrepp. Magne konstaterar att det råder terminologisk förvirring.
Att skilja mellan olika orsaker till att elever presterar dåligt i matematik kan ibland vara viktigt. Det ska vi göra i kapitel 4. Just nu ska vi dock definiera ett övergripande begrepp som vi kan använda oss av i den här rapporten.
För ett sådant vänder vi oss åter till Magne (1998). Han pekar på att många av de ord som brukar användas för att beskriva att elever har svårigheter i matematik är defektorienterade. I stället för han fram uttrycket ”elever med särskilt utbildningsbehov i matematik”. Magne definierar det så här:
Särskilt utbildningsbehov i matematik (eller alternativ term) är att en person vid en bestämd tidpunkt bedömer eller bedöms behöva höja sin matematiska förmåga, därför att han/hon presterar under en fastställd standard för personens ålder eller under hans/hennes egen diagnostiserade prestationsnivå, beroende på ofullständig intellektuell, affektiv, viljemässig, motorisk eller sensorisk utveckling samt otillräcklig social stimulans och/eller fysisk skada (Magne, 1998, s. 20).
Magnes definition kommer hädanefter att användas i den här uppsatsen eftersom jag anser att den har flera fördelar. Den främsta är att den inte likställer personen med personens svårighet. I stället öppnar den för en förbättring om det särskilda behovet av utbildning blir tillgodosett.
En annan fördel är att den tillåter oss att tala gemensamt om personer med en rad olika typer av problem när det gäller matematik. Det passar oss väl i det här examensarbetet där vi i empirin aldrig kommer att gå
ner på individnivå, där vi kanske kunde ha hittat individuella orsaker till de särskilda behoven av utbildning.
3.2 Relevant forskning
Det här examensarbetet befinner sig i gränslandet mellan matematikdidaktikens och specialpedagogikens undersökningsområden. De elever som inte når upp till godkänd nivå ryms inte alltid inom det förstnämnda. I en aktuell forskningsöversikt (Grevholm, 2001) över matematikdidaktiken ägnas till exempel inget kapitel åt dem med matematiksvårigheter.
3.2.1 Medelsta-matematik
En forskare som kombinerar de här båda fälten är ovan nämnda Olof Magne. Tillsammans med forskaren Arne Engström gav han för ett par år sedan ut rapporten Medelsta-matematik (Engström & Magne, 2003). Studien spänner över 25 år och undersöker hur väl elever i grundskolan behärskar skolmatematiken. Vid tre separata tillfällen (1977, 1986 och 2002) har alla elever i en hemlig svensk statistisk ”medelkommun” räknat ett antal uppgifter. Deras svar har sedan analyserats av Engström och Magne.
Författarna själva konstaterar att studiens resultat egentligen bara kan anses säga sanningen om just de deltagande eleverna vid just de tre diagnostillfällena. Men de anser samtidigt att vissa av de tolkningar de kunnat göra av materialet tycks vara generella. Resultatet tyder bland annat på att elevers genomsnittliga kunskaper i matematik ökar för varje år de går i grundskolan och att det inte verkar finnas någon anledning att tro att kunskapsnivån hos svenska elever har sjunkit eller är på nedgång. Men de kommer också fram till att det är mycket stora skillnader i kunskap mellan de elever som kan mest och de som kan minst.
Sammanlänkad med detta rön är den fjärde slutsats som Engström och Magne drar, nämligen att frekvensen av elever i behov av särskild utbildning i matematik varken tycks öka eller minska. I Medelsta-matematik kallar författarna dem för de 15 procent svagaste. Dessa elever presterar ofta långt sämre än resten av elevunderlaget i undersökningarna. Det är bara i ett fåtal uppgifter och endast i de lägre årskurserna som de klarar gränsen för godkänt. De drabbas alltså av en gradvis utslagning ju högre upp i skolåren de kommer.
Eleverna i behov av särskild utbildning har generellt problem på alla de fem områden av matematikstoffet som Engström och Magnes diagnoser kartlägger. Författarnas hypotes är att det beror på bristande kognitiv
behärskning av stoffet, bristande logisk insikt. Det i sin tur kan bero på mekanisk inlärning och undervisning, anser de.
3.2.2 Finska räknespår
Förekomsten av en gradvis utslagning av de svagaste eleverna stöds också av den finska forskaren i matematikdidaktik Lisen Häggblom. I sin avhandling (Häggblom, 2000), Räknespår, följer hon barn från förskoleåldern tills de går sista årskursen i högstadiet. Hennes syfte är att kartlägga och analysera hur barn löser matematikuppgifter i olika åldrar. Hon vill också beskriva hur kunskaper och färdigheter förändras under skoltiden.
Resultaten visar att en kraftig positiv utveckling av elevers kunskaper sker under det första skolåret. Men sedan minskar lösningsfrekvensen med stigande ålder. Fler och fler får problem. I sin diskussion hänvisar Häggblom till Magnes hypotes om komplexitet som han anser vara orsaken till den gradvisa utslagningen av de svagaste. Hypotesen innebär att barnen har svårare att lösa uppgifter som ligger inom ett högre talområde. De har också svårare att klara av uppgifter med komplexa strukturer. Detta eftersom det kräver mer sammansatta tankefunktioner, menar Magne.
Häggblom undersöker barnens kunskaper på tre områden: taluppfattning, räkneoperationer och textuppgifter. Intressant att notera är att den gradvisa utslagningen inte är lika markant inom området textuppgifter som inom de andra två områdena.
3.2.3 Problem med problemlösning
Förmågan att lösa matematiska problem är en viktig del i tillämpningen av de matematikkunskaper en individ besitter. I problemlösandet får eleven möjlighet att utnyttja sin kreativitet och verkligen använda sina kunskaper. Även när det gäller det här området finns det genomförd forskning som syftar till att ta reda på vad de fel som elever gör beror på.
I sin doktorsavhandling låter Ebbe Möllehed (Möllehed, 2001) 100 barn i vardera årskurserna 4, 5, 6, 7, 8 och 9 lösa matematiska problem. Ungefär 10 000 lösningar har studerats i syfte att undersöka vilka faktorer som påverkar elever vid problemlösning i matematik.
I studiet av lösningarna letar han efter de hinder som eleverna stöter på. Han antar att anledningen till att de möter dessa hinder är att de har brister i olika förmågor, både kognitiva och matematiska. Han kallar
dessa förmågor för faktorer och listar 16 stycken: textförståelse, visuell förståelse, verklighetsuppfattning, uppmärksamhet, separation, relationer mellan helheter och dess delar, kombinationsförmåga, logik, proportionell förståelse, konstans, matematiska begrepp, talförståelse, räkneförmåga, samband mellan storheter, samband mellan enheter och noggrannhet.
Att eleverna inte förstår texten är det problem som dominerar överlägset i alla årskurser utom årskurs 4. Möllehed anser att det speciella fallet med fjärdeklassarna kan bero på att de bad sina lärare om hjälp med oklarheter i texten i högre grad än de äldre barnen. Det stora flertalet fel beror alltså på att elever missförstår den information som ges i texten. Räkneförmåga, uppmärksamhet (slarvfel) och relationer mellan helheter och dess delar är också tre faktorer som ställer till med problem för de elever som ingick i Mölleheds studie.
Precis som Engström och Magne konstaterar i sin rapport Medelsta-matematik, ser även Möllehed att elevernas totala kunskaper ökar ju högre upp i årskurserna de kommer. Han beskriver ett typexempel där 35 procent av eleverna i årskurs 4 redan kan lösa ett problem. Genom elevens utveckling och skolans undervisning kan ytterligare 35 procent av eleverna klara av uppgiften i årskurs 9. Men 30 procent misslyckas fortfarande med detta i samma årskurs.
Möllehed konstaterar att det finns en stor spridning mellan eleverna i samma årskurs och att en stor del av eleverna i årskurs 9 saknar de kognitiva förmågor som en fjärdedel av eleverna i årskurs 5 besitter. Möllehed, liksom Häggblom, hänvisar till Magnes teori om en gradvis utslagning, i synnerhet av de 15 procent svagaste eleverna.
3.2.4 Nationella utvärderingen
Skolverket publicerade 2003 en rapport, Nationella utvärderingen (Skolverket, 2003:2), där bland annat kunskapsläget i matematik i grundskolan beskrivs. En forskargrupp vid Lärarhögskolan i Stockholm fick i uppdrag att undersöka måluppfyllelsen i ämnet.
Forskargruppen använder resultaten på nationella ämnesprov i matematik för åren 2001, 2002 och 2003 och konstaterar att mellan 10 och 15 procent av provdeltagarna inte nådde upp till gränsen för betyget godkänd. Det är beräkning, geometri och statistik som vållar störst problem för eleverna. Endast 80 procent av eleverna klarade kursplanens mål att uppnå för dessa områden. Bättre gick det på områdena
taluppfattning och algebra där 90 procent av eleverna nådde upp till kursplanens mål.
I Nationella utvärderingen konstateras också att fler elever än de 80-90 procent som klarade de nationella ämnesproven i slutändan fick betyget godkänt i slutbetyg. Detta efter att deras lärare hade gjort en samlad bedömning av deras kunskaper.
3.2.5 Ratkozeris undersökning i Malmö
En nyligen publicerad undersökning av elevers begreppsförståelse inom taluppfattning, uttryck och ekvationer kan också nämnas här. Det är en magisteruppsats i pedagogik skriven av Remzi Ratkoceri (Ratkozeri, 2005). En relativt liten undersökningsgrupp (127 elever) gör det svårt att generalisera, men undersökningen ger en ögonblicksbild av matematikkunskaperna hos ett antal elever i årskurs 9 i ett mångkulturellt Malmö då fler än hälften av ungdomarna har ett annat språk än svenska som modersmål.
Eleverna i Ratkozeris undersökning stöter på en rad problem när de ska lösa matematikuppgifter. De största av dem berör textförståelse, talförståelse, matematiska begrepp och uppmärksamhet. Problem med textförståelse innebär att många missförstår den fråga som ställs och därför svarar på en annan fråga. Dålig taluppfattning visar sig till exempel genom att eleven placerar decimaltecknet fel eller begår fel när tal ska skrivas om från en form till en annan. Problem med de matematiska begreppen yttrar sig bland annat genom att eleven inte kan skilja på räknesätten eller inte förstår vad procent innebär. Slutligen innebär problemen med dålig uppmärksamhet att det smyger sig in slarvfel i lösningsprocessen
3.2.6 Läroplanens uppdrag
I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet anges skolans övergripande uppdrag när det gäller matematik. Efter genomgången grundskola ska eleven behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet. Detta är ett mål som ska uppnås. Skolan ska i all utbildning ta hänsyn till elevernas olika förutsättningar och behov. Läroplanen ålägger skolan ett särskilt ansvar för de elever som har svårigheter att nå målen för utbildningen (Lpo-94). Där ingår givetvis de elever som har ett särskilt utbildningsbehov i matematik.
4 TEORI
I det följande ger jag först en beskrivning av den kunskapsteoretiska grundsyn som präglar det här examensarbetet. Anledningen till detta är en vilja att redovisa inom vilket teoretiskt ramverk som undersökningens fokus och inriktning har kommit till. Läsaren ska också få klart för sig vilka teoretiska grundantaganden som präglar examensarbetet.
Del två av kapitlet ägnar vi åt olika sätt att se på och klassificera de svårigheter som leder till att en elev bedömer sig eller bedöms ha ett särskilt utbildningsbehov i matematik. Vi ska också behandla svårigheternas orsaker.
4.1 Konstruktivism
I ett examensarbete som syftar till att ta reda på vad elever kan i matematik måste man rimligtvis precisera vad som menas med kunskap. Det kunskapsteoretiska synsätt som präglar den här uppsatsen är konstruktivismen. Vi ska här skissera de grundantaganden som konstruktivismen erbjuder om hur människor konstruerar sin värld och sin kunskap. Därefter följer några didaktiska konsekvenser av detta synsätt.
4.1.1 Kunskap som konstruktion
Konstruktivismen har blivit ett av de förhärskande synsätten inom matematik- och NO-didaktik och bygger på antaganden om hur vi människor gör det vi upplever begripligt genom att skapa mening och att tolka. Det finns flera olika riktningar inom konstruktivismen. Forskaren Paul Ernest skriver att det gemensamma för alla de olika formerna av konstruktivism dock är metaforen konstruktion, det vill säga snickeri, arkitektur eller konstruktionsarbete (Ernest, 1998).
Konstruktivismen antaganden om kunskap är en uppgörelse med behaviorismens syn på kunskap som något som läraren kan ge och som eleven passivt kan ta emot. I stället sätts den lärandes roll i centrum för inlärning. Konstruktivismens första och gemensamma princip är formulerad av forskaren Ernst von Glasersfeld och lyder ”kunskap mottas inte passivt utan konstrueras aktivt av det lärande subjektet” (Ernest, 1998). Denna konstruktion av kunskap görs utifrån de tidigare erfarenheter och konstruktioner som den lärande har gjort (Engström, 1998).
Efter att ha konstaterat detta om kunskap splittras konstruktivismen upp i fraktioner som främst skiljer sig åt kring hur de ser på den sociala delen av lärandet (Engström 1998). Men det tjänar inte det här examensarbetets syften att ta ställning i de frågor som skiljer dem åt. I stället övergår vi till vilka effekter vår teoretiska grundsyn skulle kunna ha på matematikdidaktiken.
4.1.2 Didaktiska konsekvenser
Forskaren i matematikdidaktik Heinrich Bauersfeld har pekat på att det kan komma att se mycket olika ut i klassrum beroende på om matematik ses som å ena sidan en objektiv sanning, en samhällelig skatt, som något existerande som ska upptäckas av eleverna eller å andra sidan som en konsekvens av de regler och konventioner som vi gemensamt sätter upp för användandet av matematik (Engström, 1998). Vår syn på kunskap har alltså konsekvenser för de didaktiska val vi gör inom ett ämne.
Även om konstruktivismen varken kräver eller utesluter några pedagogiska metoder (Ernest, 1998) ska jag lista de som jag anser vara de viktigaste effekterna på undervisning av att kunskap ses som konstruktioner, individuella eller sociala.
Undervisningen utgår från att eleven med hjälp av det den redan vet själv bygger upp lösningar och tankemodeller.
Undervisningen uppmuntrar eleven till att reflektera över vad den gör inom matematiken.
Undervisningen ger eleven möjlighet till laborativt arbete så att eleven själv kan konstruera sin matematik.
Undervisningen tillåter matematiska begrepp som eleverna själva utvecklar till en början. Endast efterhand formaliseras de.
Undervisningen uppmuntrar till samtal om matematik så att eleverna och läraren kan jämföra och lära sig av varandras sätt att se på matematik.
Undervisningen tar sin utgångspunkt i elevens verklighet, inte i påhittade situationer.
Undervisningen ser matematik som problemlösning utan på förhand givna svar.
Undervisningen ser skillnaden mellan matematiken i olika sociala sammanhang, till exempel i skolan och på gatan.
(Engström, 1998), (Ernest, 1998), (von Glasersfeld, 1998), (Mahler, 1998), (Kronqvist & Malmer, 1993).
4.2 Orsaker till svårigheter i matematik
I den här uppsatsen har vi redan antagit begreppet ”elever med särskilt utbildningsbehov i matematik” för dem som har matematiksvårigheter, och vi har argumenterat för dess fördelar. Men när vi nu ska titta på olika sätt att klassificera dessa matematiksvårigheter och deras orsaker behöver vi återigen skilja på dem och kanske även ge dem namn.
4.2.1 Neuropsykologi och särskilt utbildningsbehov i matematik
Barnpsykologen Björn Adler utgår delvis från neuropsykologiska grundfunktioner och skiljer mellan fyra olika huvudgrupper av barns matematiksvårigheter (Adler & Malmer, 1996):
- Akalkyli betecknar en total oförmåga att räkna och detta tillstånd uppträder oftast endast i samband med stora hjärnskador som går att påvisa.
- Allmänna matematiksvårigheter kallas den form av svårigheter som är kopplade till en allmän sänkt begåvningsnivå.
- Dyskalkyli inbegriper specifika matematiksvårigheter, vilket innebär att svårigheterna är ojämna. Detta är matematikens motsvarighet till dyslexi.
- Pseudo-dyskalkyli innebär att eleven har matematiksvårigheter som har psykosociala förklaringar. Här ingår till exempel känslomässiga blockeringar.
Ovanstående erbjuder en orsaksorienterad klassificering av de problem som elever med särskilt utbildningsbehov i matematik har.
4.2.2 Dyslexi och särskilt utbildningsbehov i matematik
Matematikdidaktikerna Gudrun Malmer fokuserar i sina framställningar främst på den tredje av Adlers huvudgrupper, men anser att själva begreppet dyskalkyli är vagt och oprecist.
Malmer menar att alla, eller de flesta, av de elever som har dyslexi också har matematiksvårigheter (Malmer, 2002). Orsaken är att den som har dyslexi har problem med språk och symboler, vilka spelar en avgörande roll även i matematik.
4.2.3 Magnes situationsorienterade indelning
Där Adlers kategorisering tar sin utgångspunkt i svårigheternas mer medicinska orsaker, börjar Olof Magne från ett lite annorlunda håll. I hans framställning (Magne, 1998) är det vad som händer i den vardagliga matematiksituationen som styr. Då blir kategorierna och gränsdragningarna mycket mer komplexa, men också mer heltäckande. Magne fokuserar på vilka olika problem elever kan ha. Här är ett försök att referera hans genomgång.
- Själva tänkandet kan vara det som hindrar elever från att lyckas med matematiken. Elever kan ha nedsatt tankeförmåga och kan visa stora individuella olikheter i sitt tänkande. Ofta handlar det om en nedsatt förmåga till abstraktion.
- Brist på ansträngning kan stjälpa elever inom matematiken. Elever med särskilt utbildningsbehov i matematik har ofta låg arbetsförmåga och dålig motivation.
- Ångest, stress, ängslighet och avsky inför matematik är några av de känslomässiga störningar som kan finnas hos elever med särskilt utbildningsbehov i matematik. Ofta är det upprepade misslyckanden som blir en ond cirkel.
- Dålig koncentrationsförmåga är vanlig hos elever med matematiksvårigheter. De distraheras lätt, är rastlösa och har svårt att sitta stilla. Hyperaktivitet ingår också i denna problemkategori.
- Räkneafasier på grund av hjärnskador kan göra det svårt eller omöjligt för de elever som drabbas av dem att genomföra olika typer av beräkningar. Här rör det sig om neuropsykologiska orsaker till elevers särskilda utbildningsbehov i matematik.
Magne skriver att orsakerna till funktionsnedsättningar i matematik är dåligt utredda och att neurologiska skador kan påvisas hos högst 20 procent av grundskolans elever med särskilda utbildningsbehov i matematik. Han menar att vi måste söka andra än neurologiska förklaringar till svårigheterna i matematik (Magne, 1998). I en del av fallen kan en av orsakerna tänkas vara matematikundervisningens form
och den läroplan för matematikämnet som styr grundskolan (Magne, 1999).
5 Metod
5.1 Val av metod
Vårt syfte i det här examensarbetet har en kartläggande karaktär. Vi vill ta reda på vilken förmåga elever i olika årskurser har att lösa matematiska uppgifter. Dessutom vill vi undersöka om det finns någon form av brytpunkt där det börjar bli svårt för elever att klara matematiken. Undersökningen ska alltså även ha en jämförande funktion. Tanken är också att den ska kunna säga något om vad det är i grundskolans matematikstoff som vållar problem för elever.
Som vi konstaterade i kapitel 4, förespråkar konstruktivismen att vi studerar de konstruktioner som elever gör sig för att skapa förståelse och kunskap (Engström, 1998). Ett stort antal vetenskapliga tekniker för att samla in data skulle vara möjliga att använda (Ejvegård, 2003). Om vi verkligen ska nå förståelse kring vilka kunskaper elever har i matematik skulle man kunna hävda att observationer av elevers problemlösning i matematik, möjligen i grupp för att belysa hur de lär av varandra, är det bästa förfarandet. En kombination med uppföljande intervjuer med elever skulle ha potential att ge djup insikt i elevers tänkande och kunskaper om matematik.
I den här undersökningen skulle en sådan metod dock innebära flera nackdelar. Den första har med vårt fokus på svårigheter att göra. Många av de elever som skulle bli intervjuade skulle ge korrekta svar och inte uppvisa några matematikproblem. Onödig tid skulle behöva läggas på dessa intervjuer för att hitta de, för undersökningen, intressanta fall där elever verkligen har svårigheter med det matematiska stoffet.
Tid är en bristvara i ett examensarbete av den här omfattningen. Den skulle inte räcka till för att möta den kartläggande ambition som undersökningen har. Vi skulle hinna med alltför få observationer och intervjuer. Ambitionen här är också att kunna kvantifiera våra data så att de kan räknas och jämföras. Detta gör man bland annat för att kunna ge en överskådlig bild av sina data (Ejvegård, 2003).
För att få den typen av kvantitativa data till examensarbetet har därför fem olika grundskoleklasser blivit ombedda att räkna en matematikdiagnos och lämna in sina svar. Sammanlagt har 77 elever deltagit i undersökningen. De är fördelade på två klasser i årskurs tre, två klasser i årskurs fem och en klass i årskurs sju. Någon pilotstudie har inte genomförts, detta på grund av tidsbrist. I stället har en
specialpedagog och lärarna i några av de aktuella klasserna fått godkänna diagnosernas rimlighet i förväg.
5.2 Undersökningens deltagare
Valet av deltagande klasser har gjorts enligt devisen om att man tar vad man har. Det är mina tidigare kontakter i den kommun där undersökningen genomfördes som gjorde att valet föll just på denna. Till försvar för detta val kan dock sägas att den aktuella kommunen inte utmärker sig på något speciellt sätt. Som förortskommun till Malmö och Lund finns här en blandad befolkning.
Det finns en spridning hos elevunderlaget i undersökningen. Klasserna fördelar sig på tre olika skolor. Även socialt finns en spridning eftersom alla skolornas upptagningsområden har en blandning av boendeformer och familjeinkomster, om vi tillmäter såna omständigheter någon betydelse. I upptagningsområdet bor elever med ibland svåra sociala bakgrunder.
Klasserna som ingår i studien har valts med hjälp av rektorerna och utifrån klasslärarnas intresse och möjlighet att medverka. När det gäller undervisningsformerna i matematik vet jag i de flesta fall mycket lite. Känt för mig är dock att i alla fall några av eleverna tidigare har arbetat laborativt och är vana vid samtal om matematik.
5.3 Diagnoserna
Många undersökningar kring elevers kunskaper i matematik begränsar sig till att testa något eller några av grundskolematematikens kunskapsområden. Det är då möjligt att gå ner på djupet i dessa områden. I det här examensarbetet är ambitionen mer att ge ett ”flygfoto” av kunskapsläget i olika årskurser. Därför innehåller de använda diagnoserna uppgifter som är tänkta att testa de flesta av matematikens kunskapsområden.
För att säkerställa att diagnoserna ger en så bred bild som möjligt har Magnes och Thörns kognitiva taxonomi för den elementära matematikundervisningen (Engström & Magne, 2003) använts. Den delar in matematikstoffet i fem områden:
- verbala problem (P) eller det som brukar kallas benämnda uppgifter - taluppfattning (T) med bland annat naturliga tal, rationella tal, bråkform och procent
- geometriska uppgifter (G) som till exempel innefattar längder, mätning och pengar
- uppgifter som testar de fyra räknesätten (A ,S, M, D) - funktioner (F)
Diagnoserna innehåller de fyra första huvudområdena. Dock finns inte F-området representerat. Magne och Thörn delar vidare in varje huvudområde i underavdelningar. Alla dessa finns inte med i undersökningens diagnoser, men många. Det hade varit tidsmässigt omöjligt att testa dem alla eftersom det skulle innebära flera diagnostillfällen i varje klass.
Varje årskurs har ställts inför en egen diagnos. I den har eleverna testats i matematikstoff hämtat ur den senaste årskurs som de gick ut. Alltså har tredjeklasserna räknat uppgifter hämtade ur det stoff som normalt behandlas i årskurs 2 och så vidare. Beslutet att testa 3:or, 5:or och 7:or i stället för 2:or, 4:or och 6:or grundar sig på att eleverna ska ha haft en rimlig chans att ha blivit presenterade för alla de moment som ingår i diagnosen för deras årskurs.
Hur vet vi då att uppgifterna verkligen är årskurstypiska? Svaret är att vi inte kan vara säkra. Uppgifterna är dock hämtade ur ett diagnosmaterial (Nordquist, 1993:1; Nordquist, 1993:2; Nordquist, 1993:3) med tre delar där respektive del riktar sig till en av de tre aktuella årskurserna. Dessutom har, som sagt, flera av de aktuella lärarna bedömt diagnoserna som rimliga.
Diagnoserna finns som bilagor till examensarbetet. Diagnos A har räknats av årskurs 3, diagnos B av årskurs 5 och diagnos C av årskurs 7.
5.4 Genomförandet
Vid diagnostillfällena i årskurs 3 och 5 har jag funnits på plats i klassrummet. I årskurs 7 har klassföreståndaren själv skött genomförandet av diagnosen. Eleverna har fått information om att syftet med diagnosen är att ta reda på vad elever i olika årskurser tycker är lätt respektive svårt i matematik.
Eleverna har arbetat enskilt utom i ett fall där en elev inte läser eller talar svenska och därför har fått hjälp med språket av en annan elev med samma modersmål. Eleverna har också blivit upplysta om att de kan få all hjälp de vill med att förstå texten i diagnosen. Detta för att undvika problem som har med läs- och skrivförmåga att göra.
Elever i årskurs 5 och 7 har haft tillgång till kladdpapper att göra eventuella uppställningar och uträkningar på. I årskurs 3 har detta inte behövts då de ännu inte använder sig av uppställningar. I alla tre årskurserna samlades endast svarsstencilerna in, inte kladdpapperna. Då går man ju miste om elevernas egentliga lösningar, säger kritikern. Ja, visst, men tiden skulle inte medge en analys av alla de lösningar som då skulle finnas tillgängliga. Jag hänvisar också till resonemanget om ”flygfotot” ovan.
Eleverna har haft obegränsat med tid till sitt förfogande. Ingen har dock arbetat mer än 40 minuter med sin diagnos. Eleverna har uppmanats att inte skriva sina namn på svarsstencilerna, detta för att garantera deras anonymitet.
5.5 Bearbetning av data
Det interna bortfallet i undersökningen är mycket litet, och det finns inte något mönster när det gäller uppgifter som inte har besvarats av eleverna. Däremot är en diskussion kring det externa bortfallet nödvändig här. Undersökningens fem skolklasser består totalt av 104 personer. Av dessa har 77 besvarat diagnoserna. Vi har en svarsfrekvens på 74 procent. Det externa bortfallet är alltså inte särskilt stort. Det ser dock helt annorlunda ut om vi ser på svarsfrekvensen årskursvis i stället. I årskurs 3 har 77 procent av eleverna deltagit i diagnosen. Motsvarande andel för årskurs 5 är 88 procent. 14 elever av 82 saknas i våra data. Det bortfallet beror endast till mycket liten del på frånvaro. I stället är anledningen till att de inte finns med att målsman inte har gett sin tillåtelse till elevernas medverkan. Hur påverkar detta undersökningen? Kanske inte alls. Men det skulle kunna vara så att tillfrågade målsmän till barn med särskilda utbildningsbehov i matematik har valt att inte ge sin tillåtelse till barnets medverkan av någon anledning. Åtminstone ett sånt fall förekommer. Detta kan ha justerat upp resultatet på diagnoserna.
Årskurs 7 är ett speciellt fall i den här undersökningen. För det första deltar bara en klass, vilket diskuteras under rubriken 5.6. Dessutom är det externa bortfallet mycket stort. Endast 9 av 22 elever har tagit del av diagnosen som riktar sig till dem. Hela 60 procent av dem saknas alltså i undersökningen, varför klassens resultat är mycket osäkert. Anledningen till det stora bortfallet i årskurs 7 är inte frånvaro, utan att endast 9 av tillståndsformulären till målsman kom tillbaka påskrivna till skolan igen. De andra eleverna kunde alltså inte delta vid diagnostillfället. När det gäller årskurs 7 kan vi därför inte säga någonting om klassens
matematikkunskaper, utan endast om de 9 elever som faktiskt räknat diagnosen.
Elevernas resultat på diagnoserna har behandlats årskursvis. Svaren har klassats som antingen korrekta eller felaktiga. Rätt svar har givit en poäng, och felaktigt svar har resulterat i en avdragen poäng. Därefter har ett medelvärde och en median för varje årskurs tagits fram. En sammanställning har sedan gjorts över vilka enskilda uppgifter som elevernas felaktiga svar fördelar sig.
5.6 Tillförlitlighet
Ofta skiljer vetenskapen på en undersöknings inre och yttre validitet. Den förstnämnda handlar om det sätt som själva undersökningen i sig är genomförd på, och den yttre avser bland annat hur det är möjligt att generalisera utifrån studien i fråga (Svenning, 2000).
Flera faktorer som kan påverka en undersöknings inre validitet har redan tagits upp i avsnitten 5.2 och 5.3. Det handlade då främst om urval och om innehållet i diagnoserna, undersökningens mätinstrument. Utifrån de begränsningar som redan gjorts i den här rapporten anser jag att undersökningens validitet måste betraktas som hög. Den insikt vi får i de deltagande elevernas matematikkunskaper är visserligen ytlig. Men undersökningen ger ändå det ”flygfoto” över kunskapsläget som den ger sig ut för att ge. Därmed mäter den också vad den avser att mäta.
När det gäller den här undersökningens yttre validitet krävs större självrannsakan. Urvalet är mycket litet. Detta gäller hela undersökningen i allmänhet och diagnostiseringen av årskurs 7 i synnerhet. Det gör det omöjligt att generalisera till en större population utifrån de resultat som framkommer här. Egentligen kan den här rapporten endast uttala sig om de elever som har deltagit i studien. Förhoppningen är att vi ändå ska kunna skönja mönster som kan vara till nytta för den som arbetar med barn och matematik.
Med reliabilitet avses ett resultats tillförlitlighet. Två undersökningar med samma syfte och metoder ska ge samma resultat om ingenting i populationen förändras (Svenning, 2000). Om vi utgår från en snäv definition av reliabilitet som bara kräver att en undersökning med exakt samma mätinstrument ska ge samma resultat, så bör den vara god i det här fallet. Vi har redan diskuterat störningar i form av externt bortfall. Till det ska också läggas att ingen egentlig kontroll har skett av diagnossituationen i årskurs 7, vilket öppnar för lägre tillförlitlighet där.
Annars finns det ingen anledning att misstänka att resultatet skulle se väldigt annorlunda ut en annan gång.
En vidare definition av reliabilitet kräver att två helt separata undersökningar med samma frågeställningar, fast med olika mätinstrument, ska ge samma resultat. Då blir den här undersökningens reliabilitet mer osäker. Diagnoserna vi använder oss av här tar visserligen upp de flesta av den elementära matematikens huvudområden. Men proven är ändå förhållandevis korta och täcker inte in alla underavdelningar. En annan forskare skulle kunna välja helt andra och då få andra resultat.
5.7 Etik
Innan en elev har tillåtits att räkna diagnosen har först tillstånd inhämtats från elevens målsman/målsmän enligt det beslut som fattats av riksdagen angående forskning där barn ingår (se Utbildningsdepartementet, 2002).
6 RESULTAT
Här går vi först igenom hur många poäng eleverna i de olika årskurserna fick på diagnoserna. Trots det mycket magra underlaget i årskurs 7 redovisas även siffrorna för den rakt upp och ned. Därefter tittar vi mer noggrant på vilka enskilda uppgifter som vållade problem.
6.1 Elevernas poängresultat på diagnoserna
6.1.1 Årskurs 3
Maxpoängen på diagnosen som testar matematikstoffet från årskurs 2 är 19 poäng. De elever som räknade diagnosen klarade sig mycket bra. Medelvärdet var högt, 17,5 poäng, vilket innebär 1,5 poäng ifrån maxpoängen. Medianvärdet var 18 poäng. Lägsta resultat var 12 poäng. I diagram 1 ser vi hur många elever som uppnådde en viss poäng på diagnosen. Notera att en klar majoritet av eleverna hade alla rätt eller bara ett poängs avdrag.
Diagram 1 0 2 4 6 8 10 12 19 18 17 16 15 14 13 12 6.1.2 Årskurs 5
På diagnosen som testar matematikstoffet från årskurs 4 är maxpoängen 16. Här är spridningen mellan elevernas resultat större än i årskurs 3. Medelvärdet var 12,5 poäng, vilket innebär 3,5 poäng från maxpoängen. Medianvärdet var 13 poäng. Lägsta resultat var 7 poäng.
Diagram 2 visar hur många elever som uppnådde en viss poäng på diagnosen. Notera den ökade spridningen i jämförelse med årskurs 3. Långt färre prickade in full poäng.
A n tal el ev er Poäng
Diagram 2 0 2 4 6 8 10 12 16 15 14 13 12 11 10 8 7 6.1.3 Årskurs 7
Maxpoängen på den diagnos som testar matematikstoffet från årskurs 6 är 21 poäng. Medelvärdet för de nio elever som räknade diagnosen var 19,1 poäng. Medianvärdet var 19 poäng. Lägsta resultatet var 17 poäng. Diagram 3 visar spridningen i årskurs 7.
Diagram 3 0 2 4 6 8 10 12 21 20 19 18 17
6.1.4 Eleverna med poängsummor under medel
De elever som har poängsummor under medelvärdet ska här tas upp en extra gång. I årskurs 3 placerar sig 11 av 30 elever under medelpoängen 17,5. Det motsvarar 37 procent av gruppen. Av dessa har en elev hamnat lite extra mycket på efterkälken med sina 12 poäng.
I årskurs 5 var andelen elever med poängsummor under medelvärdet större. 16 elever av 38 placerar sig här. Det motsvarar 42 procent av gruppen. Av dem är det fem elever som bara får ihop hälften eller färre av diagnosens maxpoäng. A n tal el ev er Poäng Poäng A n tal el ev er
Spridningen i årskurs 7 är mycket liten. Dock kan vi konstatera att tre av nio elever hade poängsummor under medelpoängen.
6.2 Uppgifter med felaktiga svar
Följande uppgifter besvarades felaktigt av relativt många av eleverna i respektive årskurs. De redovisas i ordning med avseende på felfrekvens. En kort beskrivning ges av varje uppgift.
6.2.1 Fel i årskurs 3
Uppgift 5d orsakade mest besvär. Sju elever svarade fel på denna subtraktion (40-39) vilken skulle lösas med huvudräkning. 19, 10, 9 och 20 var förekommande svar.
Uppgift 6a besvarades felaktigt av 6 elever. Uppgiften är en benämnd uppgift, en subtraktion med kronor (20-12). 7, 10, 11, 13 och 18 var förekommande svar.
Uppgift 2a, 2b och 2c besvarades var och en fel av fyra elever. Uppgifterna är additioner där summan och ett av de ingående talen är givna. Det gäller till exempel att veta att 6+4=10 och 50+50=100. Ofta, men inte alltid, har eleverna fel på alla tre uppgifterna. Därför kan man misstänka att formen är svår.
Uppgift 3b och 3d besvarades felaktigt av respektive 3 elever. Båda är övningar i talföljd där talet som kommer före och efter ska anges. Några elever vänder på det och svarar till exempel 89 i stället för 91. Andra förstår principen, men tar 10-steg och svarar till exempel 90 i stället för 99.
Uppgift 5c besvarades felaktigt av tre elever. En subtraktion med 10-talsövergång (42-4). Svaren 2 och 48 förekommer i stället för 38.
Uppgift 6b besvarades felaktigt av tre elever. Den är en benämnd uppgift, en multiplikation med kronor (2x12) där prisuppgiften på en glass ska letas upp i föregående uppgift. En elev svarar 4 kronor, en annan att pengarna inte räcker och en tredje svarar inte alls.
6.2.2 Fel i årskurs 5
Uppgift 7 vållade störst problem i årskurs 5. 22 elever svarade fel på den. Det är en benämnd uppgift där någon dricker två glas som rymmer två deciliter saft ur en flaska som innehåller en liter. Frågan är hur många deciliter som återstår. Det absolut vanligaste svaret (16 stycken)
är 8 deciliter, varför det bör vara ett slarvfel. Eleverna har glömt att ”dricka” två glas.
Uppgift 6 besvarades felaktigt av 20 elever. Den är en övning i likhetstecken där olika tal ska fyllas i för att det ska bli 100 mellan alla likhetstecken. Alla fyra räknesätten ingår. Många ger ologiska svar och flera svarar blankt. Detta indikerar att formen är svår. De som har förstått formen har ändå ofta problem med subtraktionen och divisionen. Uppgift 4c och 4d besvarades felaktigt av 12 respektive 16 elever. De är två subtraktioner (448-149)(448-399) vilka ska räknas ut i huvudet. Mycket varierande svar där brister i huvudräkningsfärdigheten borde vara orsaken.
Uppgift 3b besvarades felaktigt av 10 elever. Den är en benämnd division med pengar. Sex av eleverna dividerar med fel antal personer, ett slarvfel.
Uppgift 5c och 5d besvarades felaktigt av nio respektive åtta elever. Dessa är skattningsövningar där det egna huvudets omfång och höjden på klassrummets dörr ska uppskattas. De felaktiga svaren är orimliga. Uppgift 2 besvarades felaktigt av sex elever. Den är en övning i uttryck med bråk. Av en hel pizza äter eleven en halv. Frågan är hur mycket som blir kvar. Svaret ska vara i bråkform. Fyra elever svarar 0,2. En svarar 1 och en svarar inte alls.
Uppgift 3a besvarades felaktigt av fem elever. Eleverna ska räkna hundralappar, 10-kronor och enkronor och summera dem. Fyra av eleverna ger ett dividerat svar som egentligen tillhör uppgift 3b. En räknar fel på en enkrona.
Uppgift 5b besvarades felaktigt av fem elever. Eleverna ska ange omkretsen på en oregelbunden figur. Figuren består av ett antal kvadratcentimetrar som är markerade. Det är alltså möjligt att räkna antalet centimetrar runt figuren. Generellt svarar eleverna med för liten omkrets.
Uppgift 4b besvarades felaktigt av fyra elever. Den är en addition (17+15) som ska räknas ut i huvudet. Svaren 22, 36 och 2 förekommer. Uppgift 5a besvarades felaktigt av fyra elever. Den är en areauppgift. En figur är indelad i kvadratcentimetrar. Bredvid avbildas en
kvadratcentimeter. Frågan är hur många som finns i figuren (6 stycken). Svaren 2, 4 och 7 förekommer.
Uppgifterna 8a och 8b besvarades felaktigt av 4 elever vardera. I dem ska bokstaven X bytas ut mot tal. Ett mönster anges och ska sedan kopieras två gånger med andra tal. Samtliga fyra fall är blanksvar. Eleverna har förmodligen inte förstått formen.
6.2.3 Fel i årskurs 7
Uppgift 9a besvarades felaktigt av flest elever i årskurs 7. Fyra elever svarade fel. Den är en volymuppgift där ett antal kubikcentimetrar ska placeras ovanpå en figur. Genomgående svarar eleverna med för liten volym.
Uppgift 8c besvarades felaktigt av tre elever. Den är en areauppgift där en rektangel ska delas i två lika stora trianglar. Arean på en triangel ska sedan räknas ut genom att dividera en tidigare uppgift med två. En elev svarar blankt och de andra två uppskattar fel eftersom de har ritat slarvigt.
Uppgift 10a besvarades felaktigt av tre elever. Den är en övning i likhetstecken där olika tal ska fyllas i för att det ska bli 24 mellan alla likhetstecken. Alla fyra räknesätten ingår. Två elever räknar fel i huvudet och en elev svarar blankt.
Uppgift 7c besvarades fel av två elever. Den är en benämnd övning i att räkna med tal uttryckta i procent. Frågan är hur många timmar 25 procent av dygnet är. En elev svarar blankt. Den andra eleven räknar förmodligen med minuter i stället för timmar och får därmed fel svar. Figurerna 1-3 visar de uppgifter som besvarades felaktigt av någon av eleverna i årskurs 3, 5 respektive 7. Figurerna visar också felfrekvens och i vilken/vilka del/delar av Magnes och Thörns kognitiva taxonomi för den elementära matematikundervisningen som de olika uppgifterna placerar sig.
Figur 1, årskurs 3 Figur 2, årskurs 5 Uppgift Antal felsvar Uppgiftstyp 1 d 1 ASMD 2 a 4 ASMD, T 2 b 4 ASMD, T 2 c 4 ASMD, T 3 a 1 T 3 b 3 T 3 d 3 T 4 b 2 ASMD, P, G 5 b 2 ASMD 5 c 3 ASMD 5 d 7 ASMD 6 a 6 ASMD, T 6 b 3 ASMD, T Uppgift Antal elever Uppgiftstyp 1 1 T 2 6 T 3 a 5 ASMD, P, T, G 3 b 10 ASMD, P, T, G 4 a 3 ASMD 4 b 4 ASMD 4 c 12 ASMD 4 d 16 ASMD 5 a 4 G 5 b 5 G 5 c 9 G 5 d 8 G 6 20 ASMD, G 7 22 ASMD, P, G 8 a 4 T 8 b 4 T
Figur 3, årskurs 7 Uppgift Antal elever Uppgiftstyp 5 a 1 ASMD 6 1 ASMD, P 7 b 1 T 7 c 2 T 8 a 1 P, G 8 c 3 P, G 9 a 4 P, G 10 a 3 ASMD, P, G 11 1 T
7 ANALYS AV RESULTAT
I genomgången i kapitel 6 av de frekventa felen i elevernas svar har jag redan delvis analyserat undersökningens resultat. Vissa drag framstår som extra framträdande, ofta i alla tre årskurserna. Vi ska här ta upp dem lite noggrannare.
7.1 Slarv
Det finns exempel från ett flertal uppgifter på att elever missar information som ges i texten. I årskurs 3 är det främst i uppgiften som testar kunskaperna i talföljd som detta visar sig när eleverna vänder på instruktionerna. I årskurs 5 är det mycket vanligt. I den uppgift med högst felfrekvens (22 fel) är det väldigt många som glömmer att ta till sig information. Följden blir att de drar av för få decilitrar från det ursprungliga innehållet i saftflaskan. I andra uppgifter dividerar flera elever med fel antal personer och fyller i svaren på fel rader så att de svarar på fel fråga. Även i årskurs 7 finns exempel på att elever inte verkar ha läst ordentligt.
Vad beror då detta på? De deltagande eleverna har fått instruktionen att alltid fråga om de har problem med texten i uppgifter eller om det är något de inte förstår. Att de ändå missar information kan tolkas som slarv. Om en elev till exempel delar upp en summa pengar på tre, trots att texten i uppgiften säger att ”du och tre kamrater” ska dela på summan, så har det troligen gått för fort i inhämtningen av information. Många blev också klara med sina diagnoser mycket snabbt, ofta redan efter en kvart.
7.2 Huvudräkning
Ett annat problemområde som ofta framträder i diagnossvaren är huvudräkning. I årskurs 3 räknar alla de deltagande eleverna i huvudet, och det blir fel ibland, vilket vi ska diskutera mer nedan. Tittar vi på svaren från årskurs 5 ser vi att de uppgifter som ska räknas ut i huvudet vållade problem. Detta gäller även enkla additioner. Också i årskurs 7 förekommer det fel som förefaller bero på svårigheter med huvudräkning.
7.3 Ovana vid nya uppgiftsformer
Ett tredje framträdande drag hos elevernas svar är svårigheter att hantera nya typer av problem. Ett exempel är uppgifterna med likhetstecken som förekommer i både årskurs 5 och 7 och där flera elever svarar blankt och
verkar ha svårt att förstå formen. I årskurs 3 vållar det problem när summan och ett av de ingående talen är givna i en addition i stället för de båda ingående talen. Ett annat exempel är en uppgift med X där formen kanske inte är den allra vanligaste. Alla elever som inte klarar den svarar blankt. Även skattningsövningarna vållade problem, och flera elever frågade hur de skulle kunna räkna ut omkretsen på sina huvuden. Den uppvisade svårigheten med att klara av problem som inte ser ut precis som de brukar göra kan ha flera orsaker. En skulle kunna vara att elevernas matematikböcker inte varierar uppgifternas form tillräckligt mycket. Då kan inte eleven använda sina färdigheter i andra typer av situationer. Samma resonemang gäller givetvis för lärarens undervisning.
7.4 Svårigheter i de olika årskurserna
I årskurs 3 är subtraktion ett återkommande problem. Tre av de uppgifter som besvarades fel innehåller moment där eleverna ska dra ifrån. Svårigheterna med detta skulle kunna bero på att de förmodligen har sysslat med detta räknesätt kortare tid än med addition, detta eftersom de flesta matematikböcker tar upp räknesätten separat. Dessutom räknar tredjeklassarna i den här undersökningen endast i huvudet, vilket ju även eleverna i högre årskurser har problem med. Både i årskurs 5 och 7 har flera av eleverna problem med de uppgifter som har med geometri att göra. Omkrets, area och volym verkar vara svåra områden för de deltagande eleverna. Detta skulle kunna bero på att geometrin ofta är det som hamnar sist i matematikböckerna. Därmed riskerar det att inte hinnas med ordentligt.
8 SAMMANFATTNING OCH DISKUSSION
Undersökningens resultat presenteras här på ett sammanfattande vis i förhållande till vart och ett av examensarbetets tre frågeställningar. Därefter diskuterar vi vad resultaten kan betyda för den som arbetar med barn och matematik.
8.1 Sammanfattning
Är det någon skillnad på hur mycket matematik eleverna kan efter utgången årskurs 2, 4 och 6?
Svaret på arbetets första frågeställning är ja. I de diagnoser som har använts i den här undersökningen finns en ökad svårighetsgrad. För varje diagnossteg blir det likartade stoffet mer komplicerat. Det införs också nya stoffområden efterhand. I både årskurs 5 och årskurs 7 klarar många elever av att hantera den ökade svårighetsgraden. Alltså kan vi dra slutsatsen att det lönar sig, kunskapsmässigt, att fortsätta att läsa matematik upp i årskurserna.
Är eleverna med matematiksvårigheter fler i de högre årskurserna?
Examensarbetets andra frågeställning är svårare att besvara. Om årskurs 7 kan vi över huvud taget inte säga särskilt mycket. Vi har heller inte slagit fast en klar definition av vilket diagnosresultat som ska tolkas som att ett särskilt utbildningsbehov i matematik föreligger.
Men klart är i alla fall att det finns skillnader mellan årskurs 3 och 5 i den här undersökningen. Femteklassarna har ett sämre resultat än tredjeklassarna. Deras medelvärde ligger längre från maxpoängen. Dessutom kan vi se en klart ökad spridning i årskurs 5. Andelen elever med resultat under medelvärdet ökar från 37 procent i årskurs 3 till 42 procent i årskurs 5. De elever som har hamnat på efterkälken är alltså fler i den högre årskursen.
Vilka problem har eleverna med matematiken i de olika årskurserna? Många av de felaktiga svar som gavs på diagnoserna i den här undersökningen kan tolkas som slarvfel. Eleverna verkar ha räknat för snabbt, en iakttagelse som är generell för årskurserna. En hel del fel tycks bero på dåliga färdigheter i huvudräkning. Ett ytterligare problem verkar vara en ovana hos eleverna vid nya uppgiftsformer. När ett stoff får en ny inramning blir det svårt för eleverna att generalisera.
Undersökningens tredjeklassare har svårigheter med subtraktion. I årskurs 5 och 7 är geometriområdet ett problem. Uppgifter som innefattar omkrets, area och volym verkar vara svåra för eleverna.
8.2 Diskussion
Ett av det här examensarbetets syften är att ta reda på när specialpedagogiska insatser behöver sättas in för att färre elever ska gå ut grundskolan utan betyget godkänd i matematik. Att döma av den här undersökningens resultat hade eleverna behövt stöd efter årskurs 3. Fler elever har ju halkat efter när de går i femte klass.
Hypotesen som säger att det sker en gradvis utslagning av elever inom matematiken stöds ju, som vi såg i kapitel 3, också av tidigare forskning genomförd av Magne (Magne, 1999), Engström (Engström & Magne, 2003), Häggblom (Häggblom, 2000) och Möllehed (Möllehed, 2001). Den som arbetar med barn och matematik måste på något vis försöka hjälpa fler elever att undvika denna utslagning. Det är läroplanen som ger skolan detta uppdrag (Lpo-94).
Till viss del är det givetvis ovan nämnda specialpedagogik som måste ge den här hjälpen till elever med ett särskilt utbildningsbehov i matematik. Men resultaten, både i det här examensarbetet och i tidigare forskning, tyder på att en större och bredare kraftsamling måste ske. Kanske behöver våra attityder till matematiken förändras.
Som exempel från den här undersökningen kan vi ge elevernas slarv. Att elever hastar igenom matematikuppgifter skulle antagligen till stor del kunna avhjälpas om matematik betraktades som något spännande som fick lov att ta tid. Detta i sin tur skulle förmodligen underlättas av att skolan visade mer respekt för elevens sätt att konstruera sin egen matematiska kunskap. Elever måste få vara med och bygga upp matematiken på det sätt som konstruktivistisk matematikdidaktisk forskning visar vägen för, och som vi beskrev i kapitel 4. Och skolan borde kanske i mindre utsträckning betrakta matematiken som en objektiv sanning som eleverna måste rätta sig efter. På det sättet kunde matematiken bli elevens egen.
Även ett annat exempel från det här examensarbetet, elevernas svårigheter att hantera gammalt stoff i ny skepnad, skulle förmodligen bli ett mindre problem om elever verkligen tilläts att konstruera personlig kunskap om matematik. Då blev inte matematiken abstrakta regler utan egentlig vardaglig mening för eleven. I stället blev den något som eleven verkligen kunde använda sig av i sitt liv, både i vardagen, i
sina vidare studier och på kommande arbetsplatser. Häri ligger pedagogens stora utmaning inom matematiken, tror jag.
Resultaten i den här undersökningen stöds till stor del av tidigare forskning. Detta gäller, som nämndes ovan, hypotesen om en gradvis utslagning av svaga elever (Magne, 1999; Engström & Magne, 2003; Häggblom, 2000; Möllehed, 2001). Det gäller också slutsatsen att det lönar sig att läsa matematik vidare upp i årskurserna (Engström & Magne, 2003). Mitt resultat som tyder på att slarv och dålig huvudräkning vållar problem för elever stöds av Mölleheds doktorsavhandling om problemlösning (Möllehed, 2001) och av Ratkozeris undersökning om elevers begreppsförståelse i matematik (Ratkozeri, 2005), fast de kallar dessa faktorer för uppmärksamhet och räkneförmåga.
Trots detta stöd finns det all anledning att vara självkritisk. Främst gäller detta det lilla antal elever som ingår i studien, vilket tidigare diskuterats. Det ger oss inga möjligheter att generalisera. Självkritiken gäller också den metod som använts. Tyvärr ger den inga djupare insikter i hur eleverna i undersökningen egentligen tänker, och det är bitvis mycket svårt att avgöra vad ett felaktigt svar beror på. Som redan diskuterats i kapitel 4 förespråkar konstruktivismen att vi studerar de konstruktioner som elever gör sig för att skapa förståelse och kunskap. För att uppnå detta behöver elevernas lösningar studeras ingående.
Än viktigare är de uppföljningar som skulle behöva göras med de elever som i diagnoserna visar att de börjar få problem med matematiken. Djupare intervjuer tillsammans med dem skulle hjälpa oss att förstå hur deras kunskapskonstruktioner kring matematik ser ut. Detta behov av djupare kunskap kring hur elever med särskilt utbildningsbehov tänker gäller givetvis både forskare och pedagoger. Kunskap om elevernas attityder och känslor gentemot matematiken skulle också ge en bättre bild av examensarbetets ämnesområde.
9 FORTSATT FORSKNING
Vad som skulle betyda mycket för kunskaperna om matematiksvårigheter är nyss nämnda forskning om elevers attityder och känslor inför matematik. Att samtala med elever om deras matematiserande skulle förmodligen tillföra mycket.
Ur konstruktivistisk synvinkel skulle det vara mycket spännande med en studie som inriktar sig på hur alla nya avsnitt som introduceras i undervisningen först kan förankras i elevernas verklighet och vardagsliv. Hur skulle det kunna gå till och vilka effekter kunde det få? En annan intressant fråga är hur pedagogen i en klass skulle kunna ta tillvara elevernas individuella sätt att tänka på matematik och att hitta lösningar på matematiska problem. Hur skulle elever med ett särskilt utbildningsbehov i matematik kunna bli hjälpta av sina klasskamrater? Hur kan matematikämnet bli en lagsport i stället för något som var och en sysslar med i sin bok?
REFERENSER
Adler, B & Malmer, G. (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Lund: Studentlitteratur.
Ejvegård, R. (2003). Vetenskaplig metod. Lund: Studentlitteratur.
Engström, A. (Red.)(1998). Matematik och reflektion – en introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken. Lund: Studentlitteratur.
Engström, A & Magne, O. (2003). Medelsta-matematik – hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet enligt Lgr 69, Lgr 80 och Lpo 94? Örebro: Örebro universitet.
Ernest, P. (1998). Vad är konstruktivism? I Engström, A. (Red.) Matematik och reflektion – en introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken. (ss. 21-33). Lund: Studentlitteratur.
Glasersfeld, E. von (1998). Kognition, kunskapskonstruktion och undervisning. I Engström, A. (Red.) Matematik och reflektion – en introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken. (ss. 34-53). Lund: Studentlitteratur.
Grevholm, B. (Red.)(2001). Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Häggblom, L. (2000). Räknespår – barns matematiska utveckling från 6 till 15 års ålder. Åbo: Åbo Akademis Förlag.
Kronqvist, K-Å & Malmer, G. (1993). Räkna med barn. Solna: Ekelunds förlag.
Lpo-94. (1994). Läroplan för grundskolan. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Magne, O. (1998). Att lyckas med matematik grundskolan. Lund: Studentlitteratur.
Magne, O. (1999). Den nya specialpedagogiken i matematik – en utmaning i läroplanstänkande. Malmö: Lärarhögskolan.
Magne, O. (2003). Fem föredrag om den nya undervisningen för elever med särskilda utbildningsbehov i matematik. Klepp: Info Vest Forlag.
Mahler, C. (1998). Kommunikation och konstruktivistisk undervisning. I Engström, A. (Red.) Matematik och reflektion – en introduktion till konstruktivismen inom matematikdidaktiken. (ss. 124-143). Lund: Studentlitteratur.
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla – nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik - en studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4-9. Malmö: Institutionen för pedagogik.
Nordquist, B. (1993:1). Diagnoser i matematik åk 2. Stockholm: Natur och Kultur.
Nordquist, B. (1993:2). Diagnoser i matematik åk 4. Stockholm: Natur och Kultur.
Nordquist, B. (1993:3). Diagnoser i matematik åk 6. Stockholm: Natur och Kultur.
Ratkozeri, R. (2005). Elevers begreppsförståelse i matematik. (Examensarbete.) Magisterkurs i pedagogik, Malmö: Lärarhögskolan.
Skolverket. (2000). Barnomsorg och skola i siffror 2000: Del 1 – betyg och resultat. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2001). Barnomsorg och skola i siffror 2001: Del 1 – betyg och utbildningsresultat. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2002). Barnomsorg, skola och vuxenutbildning i siffror 2002: Del 1 – betyg och utbildningsresultat. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2003:1). Barnomsorg, skola och vuxenutbildning i siffror 2003: Del 1 – betyg och utbildningsresultat. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2003:2). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003: huvudrapport. Stockholm: Skolverket.
Svenning, C. (2000). Metodboken. Eslöv: Lorentz förlag.
Utbildningsdepartementet. (2002). Etikprövning av forskning: regeringens proposition 2002/2003:50. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Bilagor
Bilaga 4 Hej!
Som lärarstudent vid Malmö högskola skriver jag just nu mitt examensarbete, en form av slutprov som ingår i utbildningen. I det ska vi lärarkandidater
genomföra en vetenskaplig undersökning.
Mitt arbete handlar om elevers matematikkunskaper i olika årskurser. För att jag ska kunna studera detta behöver jag låta ett antal skolklasser räkna igenom en diagnos. Utvald är bland andra den klass där barnet du är målsman för går. Regeringen har bestämt att den som genomför forskning där barn ingår måste be om tillåtelse från barnens målsmän. Därför undrar jag nu om du/ni samtycker till att det barn som du/ni är målsman/målsmän för deltar i min undersökning. Alla barn kommer att förbli anonyma och resultatet från undersökningen kommer inte att användas någon annanstans än i min forskningsrapport.
Var snäll och ringa in ja eller nej och skriv under nedan. Med vänliga hälsningar
Fredric Mehlin,
Lund, december 2005.
JA NEJ ____________________________________________
