Malmö högskola
Lärarutbildningen Skolutveckling och ledarskapExamensarbete
10 poängSpråket i matematiken – ett verktyg
att räkna med
– en kvalitativ intervjustudie om språkets betydelse för begreppsförståelsen
Language in Mathematics – a Tool to Count On
- A Qualitative Interview Study about the Significance of Language for Concept Understanding
Eva Bothén
Cecilia Jönsson
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, 60p Handledare: Karl-Åke Kronqvist 2007-01-18 Examinator: Elsa Foisack
Malmö högskola Lärarutbildningen
Skolutveckling och ledarskap
Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning Höstterminen 2006
Ab s t r a ct
Bothén, Eva. & Jönsson, Cecilia. (2006). Språket i matematiken – ett verktyg att räkna med. (Language in Mathematics – a Tool To Count On.). Skolutveckling och ledarskap, Specialpedagogisk påbyggnadsutbildning, Lärarutbildningen, Malmö högskola.
Syftet med vår studie var att ta reda på hur pedagoger tillvaratar barns informella kunskaper och hur de konkret arbetar för att utveckla barns begreppsuppfattning i matematik med hjälp av språket. Vi avsåg även att undersöka förutsättningarna för en sådan undervisning. Vi ville se till både individ-, grupp- och organisationsnivå. Ytterligare en specialpedagogisk frågeställning som vi avsåg att undersöka var hur barn i behov av särskilt stöd gynnas av detta arbetssätt. Vi genomförde tio kvalitativa forskningsintervjuer, som var delvis strukturerade, med pedagoger som arbetar med språket på ett medvetet sätt i sin matematikundervisning. Pedagogerna valdes ut efter ett riktat urval. Svaren sammanställdes och en analys av svaren gjordes. Resultatet visade att pedagogerna använde sig av laborativa övningar i stor utsträckning i sin undervisning och att samtalen kännetecknades av öppna frågor. För att möjliggöra en undervisning som har språket som verktyg behövs ett medvetet ställningstagande från pedagogens sida, utbildning i matematik, ledningens och kollegors stöd samt tid till planering och reflektion. Alla elever gynnas av en sådan undervisning eftersom den kan individualiseras så att den passar alla.
Nyckelord: specialundervisning, specialpedagog, matematiska begrepp, samtal, språk, informell, formell, matematik, Vygotskij
The aim of this paper was to study how educationalists use the children’s informal knowledge of mathematics, and how they work in order to develop the children’s understanding of concepts using the language as a means. We also intended to investigate the requirements for such teaching. We wanted to look into education
regarding individual, group and organizational level. An additional issue, that we wanted to study, was weather children in need of special education benefited from such teaching. We carried out ten qualitative interviews, which were partly structured, with educationalists who used language in order to achieve understanding of mathematical concepts. The educationalists were chosen by a directed selection. The answers were put together and analysed. The result showed that the educationalists used concrete material to a wide extent in their work and that the questions they used were open-ended. To enable a teaching where the language is used as a means for learning, the educationalist needs to make a deliberate decision how to work. Education in mathematics, the support of the management and other colleagues and the time to prepare and reflect are also needed. All children benefit from such education since this way of teaching enables the educationalist to individualize.
Keywords: special education, special needs educator, mathematical concepts, conversation, language, informal, formal, mathematics, Vygotsky
Eva Bothén Cecilia Jönsson Handledare: Karl-Åke Kronqvist Smidts gata 22 Råkvägen 7 Examinator: Elsa Foisack 235 37 Vellinge 237 36 Bjärred
F ör or d
Vi vill tacka alla pedagoger som deltagit i våra intervjuer och på så vis delgett oss sina erfarenheter och tankar. Utan ert fantastiska engagemang och intresse hade detta examensarbete inte kunnat skrivas. Till vår handledare Karl-Åke Kronqvist, som vi haft många intressanta samtal med, vill vi också rikta ett stort tack. Slutligen vill vi tacka våra familjer och då särskilt Lars och Henrik som med sin förståelse och stöttning hjälpt oss i detta arbete.
Uppdelning av arbetet är gjort enligt följande: Eva Bothén: Aktuella utredningar 5.1 och Litteratur 6.1. Cecilia Jönsson: Aktuella utredningar 5.2 och Litteratur 6.2. Övrig text är skriven gemensamt.
Eva Bothén och Cecilia Jönsson januari 2007
Innehållsförteckning
1 BAKGRUND... 9
2 INLEDNING ...11
2.1 STUDIENS BEGRÄNSNING...12
2.2 DEFINITION AV BEGREPP...12
3 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ...15
3.1 SYFTE...15
3.2 FRÅGESTÄLLNINGAR...15
4 STYRDOKUMENT...17
4.1 VAD SÄGER LÄROPLANERNA? ...17
5 AKTUELLA UTREDNINGAR OM MATEMATIK ...19
5.1 NATIONELLA UTREDNINGEN 2003 ...19
5.2 PISA...20
5.3 TIMSS...21
6 LITTERATUR...23
6.1 FORMELL SKOLMATEMATIK/SYMBOLER...23
6.2 SPRÅK OCH KOMMUNIKATION...26
6.3 BARN I BEHOV AV SÄRSKILT STÖD...30
7 TEORI ...33
7.1 VYGOTSKIJS SOCIOKULTURELLA TEORI...33
8 METOD...39 8.1 METODVAL...39 8.2 UNDERSÖKNINGSGRUPP...39 8.3 GENOMFÖRANDE...40 8.4 DATABEARBETNING...40 8.5 TILLFÖRLITLIGHET...41 8.6 ETISKA ASPEKTER...42 9 RESULTAT...45 9.1 INFORMANTERNAS BAKGRUND...45
9.2 HUR ARBETAR PEDAGOGER FÖR ATT UTVECKLA BARNS BEGREPPSFÖRSTÅELSE I MATEMATIK MED HJÄLP AV SPRÅKET?...45
9.4 VILKA FÖRUTSÄTTNINGAR BEHÖVER UPPFYLLAS FÖR ATT GENOMFÖRA EN SÅDAN UNDERVISNING PÅ
INDIVID-, GRUPP- OCH ORGANISATIONSNIVÅ?...48
9.4.1 Målmedvetet arbete ...49 9.4.2 Utbildning ...49 9.4.3 Tid ...49 9.4.4 Materiel ...50 9.4.5 Budget ...50 9.4.6 Grupper ...50 9.4.7 Lokaler ...50 9.4.8 Föräldrar...51 9.4.9 Kollegor...51 9.4.10 Skolledning ...51 9.4.11 Kommunala direktiv ...51
9.5 HUR GYNNAS BARN I BEHOV AV SÄRSKILT STÖD AV ETT SÅDANT ARBETSSÄTT? ...52
9.5.1 Vilka barn gynnas av detta arbetssätt? ...52
9.5.2 På vilket sätt gynnas de? ...52
9.6 ARBETAR PEDAGOGERNA MEDVETET EFTER NÅGON PEDAGOGISK TEORI?...53
10 ANALYS...55 11 DISKUSSION ...59 12 FORTSATT FORSKNING ...71 REFERENSER...73 BILAGA 1 BILAGA 2 BILAGA 3
1
Bakgrund
Matematik är ett ämne som intresserat oss båda sedan vi var barn. Samtidigt var det ett ämne som innebar att vi fick anstränga oss lite extra för att förstå. Det var både roligt och ibland svårt. För oss båda kändes svenskämnet lättare, vilket fick till följd att vi valde den inriktningen framför den matematiska på gymnasiet och senare då vi gick våra lärarutbildningar. Trots dessa val har intresset för matematik och viljan att lära mer funnits kvar hela tiden. Under de år som vi båda arbetat som grundskollärare har vi märkt att fler och fler barn får svårt att klara målen för matematik i årskurs fem. Alltför många barn, tonåringar och vuxna har otillräckliga kunskaper i matematik och detta misstänker vi beror på att de inte har förstått den grundläggande matematiken. En anledning till detta kan vara att deras matematikundervisning alltför tidigt har handlat om formell matematik. Detta kan få till följd att de räknar med formler och symboler utan att egentligen förstå vad de gör.
Att de svenska barnens kunskaper blivit sämre styrks även av undersökningar, både nationella och internationella gjorda 2003 (se kap.5). Vi upplever att förskolebarn, i vissa fall, lättare kan lösa ett problem än barn som gått i grundskolan ett par år. Ger du ett förskolebarn ett antal karameller att dela upp till en grupp barn så klarar även små barn ofta av det. Presenteras samma problem för ett skolbarn upplever många att det är svårt. Vi menar att det kan bero på att barnen tänker för mycket i siffror och symboler. Det blir viktigt att det som görs på matematiklektionerna blir rätt, det är en jakt på det enda rätta svaret. Undersökningarna visar också att undervisningen i huvudsak byggs upp på eget, tyst arbete i matematikboken. Matematiska samtal är i många fall sällsynta.
Vi upplever att många barn tycker att matematiken är intressant i början. Detta intresse har en tendens att försvinna för många barn allt eftersom åren går. Barnen ser inte heller meningen med matematiken, de ser inte att det är något som de har användning för när de blir äldre. Vi har funderat mycket på vad detta beror på. Vi menar att något måste göras för att fler barn ska tillgodogöra sig de kunskaper i matematik som de behöver i framtiden. Vår uppfattning är att fokus behöver läggas på ett arbetssätt som tar tillvara på de kunskaper som barnen har då de kommer till skolan. Vi menar att det viktigaste verktyget för att utveckla förståelsen av matematiska begrepp är språket.
I förskolan är många barn vana vid att syssla med matematiska begrepp, grundade på erfarenheter gjorda i vardagslivet. I läroplanen för förskolan, Lpfö 98 står det att ”förskolan skall sträva efter att varje barn utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang (s.9)” samt att varje barn ”utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum (s.9)”. I förskolan ska barnet även ”utveckla sitt ord- och begreppsförråd och sin förmåga att leka med ord, sitt intresse för skriftspråk och för förståelsen av symboler samt deras kommunikativa funktioner” (Skolverket, 2006, s.9).
I Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000 framgår tydligt att skolan bl.a. har som uppgift att ”ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem” (Skolverket, 2002, s.26). Som vi kan se bygger styrdokumenten på varandra (se 4.1 samt bilaga 1). Vi menar att det är viktigt att titta på övergången mellan det informella, erfarenhetsbaserade kunnandet och den formella symbolbaserade kunskapen. Vi vill ta reda på hur vi på bästa sätt tillvaratar och bygger vidare på barnens informella sätt att tänka med hjälp av språket. Hur ser en undervisning ut som i stor grad bygger på barnens erfarenheter? Detta anser vi är viktigt eftersom tidigare forskning tyder på att ett för tidigt införande av matematiska symboler har en hämmande effekt på barnets problemlösningsförmåga, intresse samt tilltro till sin egen förmåga (se kap.6). Vår uppfattning är att barn i behov av särskilt stöd gynnas av en undervisning som utgår från barnets begrepp och utifrån dem introducerar de konventionella symbolerna som kommer att behövas senare i livet. Samtidigt är vi övertygade om att detta är en undervisningsform som gynnar alla barn.
2
Inledning
Förra hösten läste vi en kurs som hette ”Språk – utveckling och lärande”. Karl-Åke Kronqvist (Malmö Högskola, 2006) höll i föreläsningarna om matematik. Han talade då om hur viktigt det är att ta tillvara barnets informella kunskaper. Med informella kunskaper menar Kronqvist det som barnet kan i matematik men som han/hon ännu inte har lärt sig beskriva med hjälp av matematiska symboler och formler. Om formell matematik, det vill säga formler och symboler, införs i ett för tidigt skede kommer barnet inte att förstå matematiken. Det är av yttersta vikt att ”skynda långsamt” eftersom barnet måste begripa vad och varför man gör på olika sätt i matematiken.
När vi tittat på den svenska undervisningen ur ett internationellt perspektiv i TIMSS 2003, Trends in International Mathematics and Science Study (Skolverket, 2004b), visar det sig att svenska elevers genomsnittliga prestation i matematik har försämrats markant sedan 1995 då den senaste TIMSS-mätningen gjordes. Enligt denna rapport är den vanligaste undervisningsformen i den svenska skolan arbete med uppgifter med eller utan lärares handledning där läroboken är den huvudsakliga grunden för lektionen. TIMSS befarar att denna undervisningsform är en del av förklaringarna till försämringen av matematikresultatet. Samtidigt menar studien att uppföljande undersökningar om vad som händer på lektionerna behövs för att utreda sambandet (Skolverket, 2004b). Samma år genomfördes en annan stor internationell studie, PISA, Programme for International Student Assessment (Skolverket, 2004a). Här var Sveriges medelvärde signifikant över genomsnittet. Men undersökningen visade på samma gång att de länder som låg före Sverige dragit ifrån samtidigt som andra länder börjar knappa in på oss. Flera länder uppvisade alltså en positiv utveckling vilket inte Sverige gjorde. Studien visade också att de svenska eleverna ofta var sämre på de uppgifter som krävde kritiskt granskande, analys, reflektion samt kommunikation och argumentation (Skolverket, 2004a). Vi ser alltså att något måste göras för att förbättra dessa färdigheter i matematikundervisningen.
Eftersom vi grundar vår uppfattning om barns lärande på Vygotskijs socialkulturella teorier ser vi språket som ett viktigt redskap som bildar en länk mellan det erfarenhetsbaserade kända och det formellt okända. Vygotskij menar att språket spelar
en central roll i barns lärande. Språket är tänkandets främsta verktyg. Han anser vidare att all utveckling börjar i det yttre, sociala samspelet innan det övergår till det inre, det blir internaliserat. Vygotskij menar vidare att det är lärarens uppgift att organisera den sociala dimensionen av lärandet (Partanen, 2007).
2.1 Studiens begränsning
Vi har valt att undersöka hur språket kan användas i matematikundervisningen för att utveckla barnens begreppsförståelse. TIMSS-utredningen ansåg det viktigt att ta reda på hur undervisningen i de svenska klassrummen ser ut. Vi har, istället för att slumpvis undersöka hur pedagoger arbetar, valt att söka efter goda exempel på hur det skulle kunna se ut. Vi har tittat på hur pedagogerna använder sig av språket i undervisningen. Vi har företrädelsevis inriktat oss på barnen i de yngre åldrarna och har intervjuat både pedagoger från förskola och skola. Framförallt har vi försökt se om barn i behov av särskilt stöd kan gynnas av en sådan undervisning. I arbetet har vi inte försökt analysera vilka metoder som är bäst. Inte heller har vi gått in och studerat gruppdynamik eller gruppsammansättningar vid samtal. För att begränsa studien har vi valt att inte belysa resultatet ur ett genusperspektiv.
2.2 Definition av begrepp
I denna studie gjordes tio intervjuer med personer med olika pedagogisk bakgrund. Vi har valt att använda ett gemensamt begrepp för dessa personer och kallar dem därför för pedagoger. Likaså har vi valt att använda ett gemensamt begrepp för barnen som det talas om. I vår studie skriver vi barn och avser då både barn som går i förskolan och elever som går i skolan. Undantag från detta sker endast i direkta citat och när vi skriver om vad som står i Läroplanen (Lpo94), Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000 (2002) och i de utredningar som undersökt svenska elevers matematikkunskaper. I studien använder vi oss av uttryck som återkommer i hela arbetet. När vi skriver om informell matematik menar vi de kunskaper som barnet utvecklar i sin vardag och som barnet kan använda sig av utan att pedagogen kräver att barnet använder sig av formella symboler. Kronqvist (2003) menar att arbete med den informella matematiken är ett medel för att nå den formella matematiken, vilket är målet för
betygskriterier 2000 och skriver att: ”för att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs balans mellan kreativa, problemlösande (informella) aktiviteter och (formell) kunskap om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer” (Kronqvist, 2003, s.13).
Ett begrepp är något som är språkligt identifierbart. Det har minst en egenskap. Längd har t.ex. egenskapen att den är endimensionell, till skillnad från area som är tvådimensionell. Till begreppet längd hör ett antal ord som beskriver begreppet såsom lång eller kort. Det finns även jämförelseord som beskriver begreppet längd såsom längre och kortare.
I denna studie skriver vi om ett ”sådant arbetssätt” eller ”detta arbetssätt”. Vi har valt denna kortare fras när vi menar ett arbetssätt där språket är det främsta verktyget för att utveckla begreppsförståelse i matematik. Vi har valt att skriva så för att göra texten lättare att läsa.
3
Syfte och frågeställningar
3.1 Syfte
Syftet med föreliggande studie är att ta reda på hur pedagoger kan tillvarata barnens informella kunskaper och konkret arbeta för att utveckla barnens begreppsförståelse i matematik med hjälp av språket. Vi avser att ta reda på vilka förutsättningarna är för att genomföra en sådan undervisning. Är detta ett undervisningssätt som gynnar barn i behov av särskilt stöd och i så fall, på vilket sätt? Dessutom avser vi undersöka om pedagogerna arbetar medvetet efter någon pedagogisk teori.
3.2 Frågeställningar
Vi ämnar ta reda på hur pedagoger tar tillvara barnens informella kunskaper och hur de konkret arbetar för att utveckla barnens begreppsförståelse i matematik med hjälp av språket. Vi avser även att undersöka förutsättningarna för en sådan undervisning. Vi vill se till både individ-, grupp- och organisationsnivå.
Ytterligare en specialpedagogisk frågeställning som vi avser att undersöka är hur barn i behov av särskilt stöd gynnas av detta arbetssätt. Skollagen (1985:1100) förskriver att särskilt stöd skall ges till barn med svårigheter i skolarbetet. I Grundskoleförordningen (1994:1194) klarläggs att stödundervisning i första hand ska ges inom den klass eller grupp som barnet tillhör (kap 5, §5). Vi ser en förändring av arbetssättet i matematik som ett proaktivt arbete. Genom att bygga vidare på barnens informella kunskaper kan fler barn klara undervisningen i matematik utan särskilda insatser av en specialpedagog. Dessutom skulle en förändring av arbetssättet innebära att grundskoleförordningens intentioner följs eftersom barnet kan vara kvar i sin grupp. Samtidigt är vår uppfattning att detta arbetssätt är det som bäst lämpar sig för alla barn men kanske i synnerhet för elever i generella- eller specifika inlärningssvårigheter. Därför avser vi att ta reda på om vår uppfattning överensstämmer med de intervjuade pedagogernas.
Slutligen har vi för avsikt att vi ta reda på om det finns någon medveten strategi bakom pedagogernas undervisning och hur den i så fall ser ut. Har de någon pedagogisk teori
medveten övertygelse om hur barn lär sig och att den övertygelsen grundar sig på någon eller några pedagogiska teorier.
För att avgränsa vår studie har vi valt att koncentrera oss på följande frågeställningar:
• Hur arbetar pedagogerna för att tillvarata och utveckla barns begreppsförståelse i matematik med hjälp av språket?
• Vilka förutsättningar behöver uppfyllas för att genomföra en sådan undervisning på individ-, grupp- och organisationsnivå?
• Hur gynnas barn i behov av särskilt stöd av ett sådant arbetssätt? • Arbetar pedagogerna medvetet efter någon pedagogisk teori?
4
Styrdokument
4.1 Vad säger Läroplanerna?
Enligt Läroplan för förskolan, Lpfö 98, ska förskolan lägga grunden för ett livslångt lärande. Leken är då viktig för barnets utveckling och lärande. I leken och det lustfyllda lärandets olika former ska fantasi, inlevelse, kommunikation och förmåga till symboliskt tänkande samt förmågan att samarbeta och lösa problem stimuleras. Förskolan ska sträva efter att varje barn tillägnar sig och nyanserar innebörden i begrepp, ser samband och upptäcker nya sätt att förstå sin omvärld på. Arbetet ska vidare sträva efter att barnet utvecklar sitt ord- och begreppsförråd och sitt intresse för skriftspråk. Barnet ska även utveckla förståelse för symboler samt deras kommunikativa funktioner. Förskolan ska också sträva efter att barnet utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang. Förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt förmågan att orientera sig i tid och rum ska utvecklas. Det är arbetslagets uppgift att stimulera barnets nyfikenhet och begynnande förståelse av skriftspråk och matematik. Arbetslaget ansvarar även för att arbetet i barngruppen genomförs så att barnen upplever att det är roligt och meningsfullt att lära sig nya saker (Skolverket, 2006). Matematiken under förskoletiden är till stor del informell (se bilaga 1).
I Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo 94 (2005), står det, precis som i Lpfö 98, att skolan ska sträva efter att ”varje elev utvecklar nyfikenhet och lust att lära” (s.11). Skolan ansvarar också för att varje elev efter genomgången skola, ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (s.12) samt ”behärskar grundläggande begrepp och sammanhang inom de naturvetenskapliga, tekniska, samhällsvetenskapliga och humanistiska kunskapsområdena” (s.12). I Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000 (2002) står att eleverna ska ges möjlighet att uppleva tillfredsställelse och glädje över att förstå och lösa problem. Alla elever ska få möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Skolan ska i sin undervisning sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera. Eleverna ska dessutom kunna förklara och argumentera för
sitt tänkande både muntligt och skriftligt. Precis som i Lpfö 98 läggs mycket vikt vid kommunikativa färdigheter. För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Kursplanen skriver att detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som de som är i behov av särskilda utmaningar. När eleven går ut femte klass ska han/hon ha förvärvat grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i sin närmiljö (Skolverket, 2002). Målet med matematiken under skoltiden blir att kunna använda sig av formella lösningsmetoder (Kronqvist & Malmer, 1993).
Att utbildningen i stort syftar till att barnen ska ha användning av matematikkunskaperna i vardagslivet börjar redan i förskolan och fortsätter genom hela skolan. Även bedömningens inriktning när eleven uppnått skolår nio avser bl.a. elevens förmåga att använda och utveckla sitt matematiska kunnande för att tolka och hantera olika slags uppgifter och situationer som förekommer i skola och samhälle, enligt kursplanen. En annan viktig förmåga som eleven behöver är att kunna ge uttryck åt sina tankar muntligt och skriftligt med hjälp av det matematiska symbolspråket och med stöd av konkret materiel och bilder (Skolverket, 2002).
5
Aktuella utredningar om matematik
Vi har tittat på hur det i nuläget ser ut i ämnet matematik både ur ett nationellt och ur ett internationellt perspektiv. Lever skolan upp till läroplanens beskrivningar? Möter våra barn en undervisning som tillvaratar deras intresse och tilltro för matematik? Utvecklas deras förmåga att förstå, föra logiska resonemang och att kritiskt granska? Får de möjlighet att både muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande?
5.1 Nationella utredningen 2003
Nationella utvärderingen 2003, NU-03 (Skolverket, 2004c), genomfördes i slumpvis utvalda skolor där ett urval elever ur huvudsakligen skolår 9 deltog. Ett flertal av grundskolans ämnen utvärderades, bland annat genom prov i matematik, biologi, fysik och kemi. Kunskapsresultaten för årskurs 9-eleverna bedömdes på grund av ett stort bortfall som osäkra men pekade på en försämring sedan 1992. Andelen svagpresterande elever hade ökat samtidigt som andelen högpresterande hade minskat. Det försämrade utfallet för eleverna i årskurs 5 sedan 1992 var tydligt.
Målen om kommunikation, argumentation och begreppsförståelse var svårmätta. Det hände sällan att man diskuterade matematik i klassen, vare sig under lärarens ledning eller elever emellan. Matematikundervisningen tycktes ha reducerats till en rad enskilda projekt där läraren lotsade eleven genom läroboken. Utredningen visade att läroplanens och kursplanens ökade betoning på kommunikation inte tycktes ha slagit igenom i undervisningen. Istället framträdde bilden av en allt mer individualiserad undervisning där eleverna arbetade avskilt både från läraren och från de övriga studiekamraterna. Den överlägset vanligaste arbetsformen var att eleverna satt och arbetade var för sig med lärobokens uppgifter. Enskilt arbete hade blivit vanligare sedan 1992 och de gemensamma genomgångarna under lärarens ledning hade minskat. Mönstret var detsamma både i årskurs 5 och 9. I båda årskurserna var det, jämfört med 1992, vanligare att elever i samma klass arbetade med läromedel med olika svårighetsgrad. Den lust att lära och betydelse av ämnet som eleverna trots allt gav uttryck för visade på en stor potential, hos matematiken som skolämne, som inte tagits tillvara.
5.2 PISA
2003 genomfördes även en internationell studie, PISA (Programme for International Student Assessment) (Skolverket, 2004a), kring femtonåringars kunskaper i matematik. Syftet med PISA var att undersöka i vilken grad olika utbildningssystem bidrar till att rusta femtonåringar för att möta framtiden. Stor vikt lades vid att kunna sätta in kunskaper i ett sammanhang, att förstå processer, tolka och reflektera över information samt förmågan att lösa problem. Meningen med matematikuppgifterna i PISA var att de skulle handla om situationer som eleverna kunde tänkas möta i såväl arbetsliv, privatliv som i utbildning. PISA ville undersöka hur pass väl eleverna behärskade matematiken på en funktionell nivå. Detta innebar en förskjutning i den alltför vanliga uppfattningen om matematik från att se matematik som en samling begrepp och färdigheter som ska behärskas, till att förstå matematik som en meningsfull, engagerande, problemlösande och stimulerande aktivitet.
Ytterligare ett mål med projektet var att få en bättre förståelse för orsaker till och konsekvenser av skillnader i förmåga. Finns det undervisningsstrategier och sätt att organisera undervisningen som är mer effektiva än andra när det gäller att uppnå de önskade utbildningsmålen? Detta kunde också belysas med det internationella perspektivet. Internationella jämförelser kan peka på ländernas starka och svaga sidor och därigenom ge vägledning för nationell skolpolitik, läroplansutveckling och undervisning. PISA har tillkommit för att fylla behovet av internationella jämförelser på skolans område. Totalt deltog 41 länder i undersökningen, varav 30 OECD-länder.
Resultatet från studien visade att de svenska eleverna hade ett resultat strax över OECD-genomsnittet. Sverige hade varken blivit bättre eller sämre sedan 2000. Under samma tid hade cirka en tredjedel av länderna förbättrat sig inom något område av PISA. Slutsatsen som kunde dras var att flera länder uppvisade en positiv utveckling mellan 2000 och 2003, dock inte Sverige. Av studien framkom även att svenska elever var bättre på uppgifter som var av rutinkaraktär där grundläggande kunskaper skulle tillämpas, samt uppgifter som innebar att olika områden inom matematiken skulle tolkas och användas. Däremot var de svenska eleverna ofta sämre på uppgifter som krävde kritiskt tänkande, analys, reflektion samt kommunikation och argumentation (Skolverket, 2004a).
5.3 TIMSS
Sverige deltog under 2003 även i den jämförande studien TIMSS 2003 (Trends in International Mathematics and Science Study) (Skolverket, 2004b) som leddes av IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement). IEA är en internationell sammanslutning av forskningsinstitutioner och nationellt ansvariga skolmyndigheter som med regelbundna intervaller genomför jämförande studier av länders undervisningssystem. Målsättningen för TIMSS 2003 var att beskriva och jämföra elevprestationer både nationellt och internationellt samt att redovisa elevernas erfarenheter av och inställning till matematik och naturvetenskapliga ämnen. De ville också försöka förklara och förstå trender inom länder och erhålla skillnader i prestationer mellan länder mot bakgrund av skolans organisation, elevens situation och attityder. Studien erbjöd dessutom möjligheter till jämförelser med resultaten i TIMSS 1995 eftersom den var utformad för att man skulle kunna undersöka förändringar över tid. I TIMSS 2003 samlades en mängd bakgrundsinformation in för att ge en bild av Sveriges läroplan, skolor, undervisning och elever ur ett internationellt perspektiv. För att få fram mönster och samband som kunde förklara skillnaderna i resultat menade utredarna att det krävs mer ingående analyser. Studien genomfördes i år 8 i 50 länder eller regioner över hela världen.
Sveriges resultat i TIMSS 2003 i matematik visade på den största försämring som uppmätts för något av de 16 länder som deltog i undersökningen både 1995 och 2003. I rapporten jämfördes Sveriges resultat med samma länder i de båda TIMSS-undersökningarna. Att en försämring av resultaten i såväl matematik som NO skett under de åtta år som förflutit mellan studierna var således väl underbyggt.
Både i matematik och NO var det vanligt att svenska elever arbetade med uppgifter under lärarens handledning. Både i Sverige och i de andra undersökta länderna var det vanligt med läroböcker i matematik, men Sverige hörde till de länder där störst andel hade läroboken som huvudsaklig grund för lektionerna. En mindre del av lektionerna ägnades åt genomgångar i Sverige än i de andra länderna i genomsnitt. Utredningen menade att man kunde befara att någon del av förklaringen till försämringen av matematikresultatet kunde finnas här. Utredningen slog fast att det behövs uppföljande studier och en fortsatt diskussion av vad som händer på lektionerna. Resultatet av
undersökningen tydde på att eleverna i Sverige arbetade i grupp något oftare och tränade räknefärdigheter mer 1995, jämfört med 2003. Mer än hälften av de svenska eleverna hävdade att de aldrig arbetade i smågrupper på matematiklektionerna. De svenska eleverna rapporterade vidare att de inte upplevde att de sysslade så mycket med att koppla det de lärt sig i matematik till sin vardag. Jämfört med attitydskattningar från TIMSS 1995 framkom indikationer på att de svenska elevernas attityder till matematik och NO hade förändrats. Intresset och värdet för ämnet tycktes ha minskat (Skolverket, 2004b).
6
Litteratur
Vad har tidigare forskning kommit fram till vad gäller barns informella/formella kunskaper, begreppsutveckling samt språk och kommunikation? Vad säger tidigare forskning om barn i behov av särskilt stöd? Vi har valt att dela upp detta kapitel i tre delar; Formell skolmatematik/symboler, Språk och kommunikation samt Barn i behov av särskilt stöd.
6.1 Formell skolmatematik/Symboler
På mitten av 1900-talet blev det alltmer vanligt med färdigkonstruerade uppgifter och läroböcker i matematik. Matematikläraren fungerade mer och mer som en serviceperson, vars uppgift var att se till att barnen gjorde det som stod i uppgifterna. Innan dess hade undervisningen inte inneburit arbete i egna böcker. 1981 startade GUMA-projektet, vilket initierades av Gudrun Malmer. Detta projekt ansågs vara radikalt för sin tid och var ett första försök att återerövra språkets betydelse i matematiken, vilket ansågs ha gått förlorat i och med införandet av läroböcker. Malmer såg förebilder i Anna Kruse, L. Gottfrid Sjöholm och Catherine Stern, vilka alla var verksamma under 1900-talets första hälft (Kronqvist, personlig kommunikation, 8 december, 2006). I GUMA-projektet utarbetades en teori som utgör en processkedja: Tanke – Handling – Språk – Symboler.
• I den första nivån, tanke, utgår pedagogen från barnets erfarenheter, dels de som barnet gjort före och utanför skolan och dels nya gemensamma erfarenheter. Tankar och frågor som kan ge upphov till matematiska diskussioner och problemsituationer tillvaratas.
• I den andra nivån, handling, utgör föremål i samspel med kreativitet grunden för ett laborativt arbetssätt. Exempel på detta är när barnens bilder fungerar som ett verktyg för problemlösning.
• Det tredje steget, språk, är när barnet får sätta ord och uttryck på sina handlingar och upptäckter. Det är många barn som tänker högt i detta steg. Med hjälp av det inre språket byggs begreppsinnehållet upp. Den verbala kommunikationen bekräftar och berikar samspelet. I detta tredje steg fungerar barnens bilder alltmer som symboler.
• Först i den fjärde och sista nivån uttrycks erfarenheter och begrepp på det matematiska symbolspråket (Kronqvist, 2003).
Kronqvist och Malmer (1993) menar att det är viktigt att den formella matematiken beskrivs som ett mål. Arbetet med den informella matematiken är ett medel för att i framtiden bli säkrare på den formella sidan av matematiken. Genom att börja med den informella matematiken får fler barn möjligheter att komma till sin rätt och på så vis utveckla självförtroende och intresse för den formella sidan av ämnet. Till utvecklingen av den informella matematiken hör att barnet börjar översätta problemsituationer till en bild eller använder ersättningsföremål för de ursprungliga föremålen. En förenklad representation av verkligheten görs. Den informella matematiken kan ses som en väg in i matematiken. Samtidigt är det en väg till matematiken för den som misslyckats tidigare. Den är dessutom en förebyggande metod för att undvika misslyckanden. Om större utrymme ges åt en matematik som är muntlig och handlingsinriktad är det dessutom lättare att på ett tidigt stadium observera om barnet inte förstår det matematiska sammanhanget, menar författarna.
Även Wistedt (1993) har tittat på barnens informella kunskaper. Hon menar att om pedagogen använder barnens informella kunskaper i undervisningen och låter barnens tankar komma till uttryck, så stimuleras barnen att uttrycka och reflektera över sina matematiska kunskaper.
Ahlberg (1994) har tittat på hur barn i fem- sexårsåldern kan lösa problem i vardagslivet. De använder då ofta ändamålsenliga informella strategier. ”Lösningsmetoderna är intuitiva och erfarenhetsbaserade och skiljer sig från den formella matematik som barnen senare möter i skolan” (s.16). Barnen kan ha många olika strategier när de löser problem. De använder föremål av olika slag och ”modellerar” problemet med olika saker som finns till hands. De räknar i huvudet eller med fingrarna. När barn löser problem utan att räkna ger de ofta prov på logiskt tänkande. De har också en förmåga att se följder av olika handlingar, menar Ahlberg. Omfattande forskning har gjorts som visar att barn har utvecklat en förmåga att lösa matematiska problem redan innan de deltagit i någon formell undervisning (Fuson & Hall, 1983; Gelman & Gallistel, 1983; Ginsburg, 1977 ur Ahlberg, 1994). Men i
metoder, grundade på erfarenheter i vardagslivet, till den formella matematiken i skolan. Detta brott innebär ett helt nytt sätt att tänka. Barnen manipulerar plötsligt med symboler som de kanske egentligen inte förstår (Ahlberg, 1994). I boken Reflekterande samtal för pedagogisk utveckling (2002) skriver Ahlberg att det sätt på vilket lärarna bemöter detta skifte mellan representationsformer kan vara mycket betydelsefullt för många barn. Hur ser det ut just i den här övergången? Hur tar de pedagoger som möter barnet tillvara på dess informella sätt att tänka? Ahlberg menar att frågor som ”Vad vet ni om detta?”, ”Var har ni mött detta?” skulle kunna medföra att barnens erfarenheter i större utsträckning bildar plattform för deras matematiska utveckling (2002). Barnets möte med den formella skolmatematiken är ett kritiskt skede i utvecklingen av det matematiska kunnandet, skriver Ahlberg (2000). Den skrivna formella skolmatematiken är olik barnens tidigare sätt att räkna. Barnen kan därför inte utnyttja sina egna strategier som de använt när de löst problem i vardagslivet. En del barn överger därför vid skolstarten helt sina informella lösningsstrategier, vilket kan inverka negativt både på deras förståelse och på deras inställning till ämnet. För att de matematiska symbolerna ska få en innebörd, måste de kopplas till barnens eget språk. För att det ska ske måste symbolerna betyda något för barnen. De matematiska symbolerna måste därför införas i undervisningen med varsamhet. Då kan barnen koppla dem till sitt eget sätt att tänka vilket gör att möjligheterna att förstå de matematiska begreppen och symbolerna ökar. När barnen får tillfälle att använda det matematiska symbolspråket i olika sammanhang bygger de successivt upp sin förståelse för innebörden av matematiska modeller (Ahlberg, 2000).
Malmer (2002) menar, precis som Ahlberg, att symbolerna förs in alldeles för tidigt i undervisningen för många barn, och att de då sitter och fyller i tomma luckor utan förståelse för vad de egentligen gör och för vad symbolerna representerar. Hon har också funnit att barn i många fall kan lösa logiskt krävande exempel bara de inte har kravet på sig att kunna redovisa detta formellt – matematiskt. Malmer anser att det övergripande målet är att barnen skall få möjlighet att erhålla matematiska begrepp, grundade på förståelse. Detta måste ske innan de övergår till den abstrakta symbolframställningen. Även Sterner och Lundberg (2002) understryker i sin NCM-rapport att det är viktigt att barn uppmuntras att uttrycka sig med olika representationsformer, både informella och mer formella, i förskolan och i den
kreativitet och för att de ska utveckla tilltro till sitt eget tänkande så att de vågar ge sig i kast med matematiska problem som de inte finner formella lösningar på. Sterner och Lundberg har tittat på hur undervisningen ser ut i den svenska skolan och funnit att den vanligast förekommande arbetsformen i den svenska matematikundervisningen är mekanisk färdighetsträning och arbete i läroböcker. Detta bekräftas både i nationella och internationella undersökningar som NU-03, PISA (2004) och TIMSS (2004) (se kap.5). I NCM-rapporten (2002:2) menar Sterner och Lundberg att ett sådant arbetssätt kan leda till att barnen får svårigheter p.g.a. att undervisningen inte förmår möta och hjälpa dem att utveckla sina informella tankar, idéer och strategier så att det leder till meningsfull matematisk förståelse.
Solem och Reikerås (2004) menar att det formella språket från början är ett främmande språk för barnen. Om uppmärksamheten flyttas från ”att ta reda på” till ”att komma ihåg hur man gör” och ”Vilka tecken ska användas?”, finns det en risk att den kunskap som barnen redan utvecklat förloras. Solem och Reikerås hävdar att detta kan ske om skolan alltför tidigt kräver att barnen ska använda uttryckssätt som inte är naturliga för dem.
Johnsen Høines (2000) anser att barnen inte ska förknippa matematiken med formella matematiska symboler utan med tänkande, språk och handling. Författaren framhåller betydelsen av att låta barnen arbeta med bildframställning i olika former i den inledande matematikundervisningen. Om barnen får vara med om att skapa symboler och uppleva att de berättar något kommer barnen att utveckla värdefulla kunskaper om symbolfunktionen. Det är dock viktigt att barnen får vara med och bestämma vilka symboler som ska användas och att de förstår att vi måste ställa vissa krav på symbolerna för att de skall kunna användas i olika situationer. Detta för att fler än de själva ska förstå symbolerna.
6.2 Språk och kommunikation
Enligt Ahlberg (1994) är det viktigt att symbolerna kopplas till barnens eget språk för att det matematiska symbolspråket ska få innebörd för barnen. ”Barnen ska därför samtala om problem och därigenom upprätta en förbindelse mellan det egna språket och det formella matematiska symbolspråket” (s.31). Om barnen både talar, lyssnar, ritar bilder och räknar, ser de problemen i olika perspektiv. Detta kan leda till att förståelsen
av problemen förändras eller fördjupas. Ahlberg menar därför att barnen måste få möjlighet att skapa egna symboler genom att rita bilder när de ska lösa ett problem. Ahlberg (2001) menar vidare att det är viktigt att läraren talar med barnen och inte till dem om barnen ska få tillfälle att utveckla sin matematiska förmåga. Ahlberg (1994) anser att aktiviteterna bör sättas in i ett socialt händelseförlopp om barnen ska kunna lära sig att räkna och förstå betydelsen av att kunna räkna. Det blir meningsfullt för alla barn att räkna när de förstår räkningens funktion och att de inte enbart är av den uppfattningen att man ska räkna för att lära sig eller för att man ska lösa matematiska problem i skolan. Hon menar vidare att en genomtänkt avvägning mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer ger ökade förutsättningar för att barnen ska lära den matematik som de har behov. Genom att arbeta tematiskt och med problemlösning kan kunskap utvecklas om de språkliga och kommunikativa aspekterna av matematiken (Ahlberg, 1994:12 & 2001). Att arbeta med problemlösning i smågrupper kan hjälpa barnen att inta ett reflekterande förhållningssätt till de problem de försöker lösa. När barnen diskuterar i gruppen behöver de förklara hur de själva tänker och även bedöma kamraternas olika förslag. De kan då inse att man kan tänka på olika sätt och att man kan lära av varandra. En fördel med arbete i smågrupper är enligt Ahlberg att barnen vänjer sig vid att det kan ta tid att lösa problem och att de inte behöver ge upp om de inte genast har en lösningsmetod. Författaren menar att eftersom barns kommande intresse och matematiska kunnande till stor del grundläggs vid det första mötet med matematiken är det nödvändigt att från början lägga stor vikt vid val av innehåll och arbetssätt för att främja barnens kunskapsutveckling i önskvärd riktning (Ahlberg, 2000).
Emanuelsson skriver i Små barns matematik (Doverborg & Emanuelsson, 2006) att barnen får en fördjupad förståelse när de erövrar alltfler uttrycksformer och översättningar mellan representationer. Representationer kan vara skrivna symboler, talade symboler, bilder etc. (se figur 5:1). Forskning i matematikdidaktik visar att det är viktigt att innebörden i en representation av ett begrepp, en idé eller ett problem blir tydlig för barnet. Därför bör övergångar mellan olika representationer lyftas fram och diskuteras enligt Emanuelsson.
Figur 5:1 Schemat kan ses som ett tankeinstrument. Det visar olika sätt att uttrycka idéer och begrepp i
matematik, i vilka sammanhang vi resonerar och löser problem. Pilarna belyser hur vi ibland går över från en representation till en annan. Talet sju kan visas med sju klossar, sju leksaksdjur eller med sju ritade bilar. Det kan sägas som ett tal i räkneramsan och det kan skrivas med symbolen 7 (Doverborg &
Emanuelsson (red), 2006, s.41). Reproducerad med tillstånd.
Malmer (2002) menar att det är pedagogens ansvar att planlägga arbetet så att bästa möjliga miljö för lärande skapas. Enligt henne innebär detta bl.a. att utrymme ska ges till reflekterande samtal där utbyte av erfarenheter, tankar och idéer kan ske. Författaren anser att varje pedagog som undervisar i matematik måste vara medveten om den betydelse språket har, inte enbart det språk textuppgifterna har, utan även det språk han/hon själv använder i undervisningen. Hon menar vidare att pedagogen behöver vara ”tvåspråkig” för att ständigt påminna barnen om det matematiska språket. Exempel på det kan vara att pedagogen säger ”vi ska nu addera termerna – söka summan”. Om man som pedagog vill se till att barnen får ett väl fungerande ordförråd måste man skapa inlärningssituationer där ord behövs och blir efterfrågade. Ett undersökande och laborativt arbetssätt kan vara exempel på tillfällen då barnen får berätta och beskriva sina upptäckter och iakttagelser (Malmer, 2002).
Även Wistedt (1993) anser att barnen ska få möjlighet att stimulera varandra genom att uttrycka tankar. Samtidigt är det inte meningen att de ska ta på sig didaktiska uppgifter. Detta ansvar måste ligga hos pedagogen. Solem och Reikerås (2004) menar även de att det är den vuxnes ansvar att hitta fram till barnets tänkande och språk, att ge dem möjlighet att förvalta och vidareutveckla den kompetens som de besitter.
Bilder Manipulativa modeller Skrivna symboler Omvärlds- situationer Talade symboler
Sterner och Lundberg (2002) menar att ett viktigt steg mellan barnens laborerande med objekt och abstrakt arbete med tal, är ett steg där de får föreställa sig objekten och utveckla förmåga att kunna skapa inre föreställningar. Genom sin förmåga att göra inre föreställningar om händelser och fenomen kan barnen, när de t.ex. ska lösa problem, kommunicera med sig själv via sitt inre tal. Det är därför av yttersta vikt att pedagoger utvecklar en undervisning som bidrar till att barnen lär sig skapa inre bilder, inre representationer av tal och händelser i matematik, så att de också kan utveckla formellt tänkande om matematik.
Löwing och Kilborn (2002) menar att mycket av det abstrakta som ofta hindrar barn från att förstå matematik är förklarbart och kan uttryckas på ett för barnen klarare språk. Det är med hjälp av vårt språk som vi tillägnar oss matematik. Vi får information, bearbetar den, kommunicerar den och konstruerar sedan ny kunskap. Konkretiseringens syfte måste vara att hjälpa barnen att språkligt uppfatta innebörden i en metod eller en räkneregel. Konkretiseringen bör alltså vara ett stöd för att bygga upp en ny tankeform. Detta kan enligt Löwing och Kilborn ske på två sätt. Dels kan man med språkets hjälp knyta en matematisk operation till en för barnen redan känd vardagshändelse. Dels kan man om språket inte räcker till demonstrera sammanhanget med hjälp av ett laborativt materiel och på det sättet hjälpa barnen att bygga upp lämpliga tankeformer. Det som lätt glöms bort vid konkretisering är att ta det sista viktiga steget – att knyta ihop det informella språket och tänkandet med det formella språket och tänkandet (Löwing & Kilborn, 2002). Även Dysthe (1996) menar att ett av syftena med att uttrycka sig muntligt och skriftligt i matematik är att barnet på så vis organiserar sina tankar. När barnet sätter ord på sina tankar och idéer, lyfts de upp och blir synliga för reflektion och eftertanke. På så vis kan en djupare förståelse uppnås. Även Löwing (2006) skriver att den primära idén med att konkretisera undervisningen är att göra kommunikationen så bra som möjligt och därmed också inlärningen. Konkretiseringen ska bidra till att ge förståelse och till att bygga upp ny kunskap utifrån de erfarenheter barnet redan har. Avsikten med att konkretisera, menar författaren, är att språket ska vara ett stöd för att med hjälp av ett materiel, erfarenhet eller en metafor belysa ett matematiskt begrepp, samband eller en räkneoperation.
Löwing (2006) såg i sin studie av pedagoger hur viktigt det var att pedagogen gjorde språket synligt och tolkbart för de barn som han/hon vände sig till. Författaren menar att detta är en språklig process som bör utgöra en röd tråd i undervisningen från förskolan till och med gymnasiet. Lösningen på problemet med matematiksvårigheter är enligt Löwing inte att undvika ett matematiskt språk och använda ett vardagsspråk. Det gäller istället att successivt utveckla barnens språk och därmed göra det möjligt för barnen att kommunicera och hantera även mer formell matematik. Bristen på ett adekvat språk kan vara en bidragande orsak till den kris som råder i dagens matematikundervisning enligt Löwing.
6.3 Barn i behov av särskilt stöd
Sterner och Lundberg (2002) menar att barn med språksvårigheter måste få lära sig multisensoriskt om undervisningen ska ha inverkan på deras lärande. Om barn får använda laborativt materiel enbart i syfte att komma fram till lösningar på t.ex. enkla additionsuppgifter finns en risk att de inte utvecklar någon djupare förståelse. Det laborativa materielets funktion är att lyfta fram det matematiska tänkandet och stödja språkliga förklaringar menar såväl Sterner och Lundberg som Löwing och Kilborn (2002). Sterner och Lundberg menar att barn med dyslexi alltid bör få möjlighet att uttrycka sina tankar i talat språk i samband med att de laborerar med åskådligt materiel. De muntliga framställningarna förstärker sedan förståelsen av de laborativa undersökningarna. Barnen använder på så sätt flera sinnen för sitt lärande. Barn med dyslexi behöver tydlig undervisning som bygger på förståelse för symbolers innebörder och hur de hanteras eftersom detta är en speciellt kritisk punkt i deras lärande i och om matematik. Miles, refererad av Sterner och Lundberg (2002) betonar matematikens språkliga karaktär och menar att det inte bara är skriven matematik som kan vålla problem för dessa barn utan även den muntliga kommunikationen där ett problem tycks vara att lära nya ord. Just förståelsen för de matematiska symbolernas innebörder och hur de används är en av stötestenarna för barn i läs- och skrivsvårigheter. Sterner och Lundberg menar därför att det är nödvändigt att alla pedagoger som undervisar i matematik lägger stor vikt vid att undervisningen bidrar till att barn utvecklar god taluppfattning. Pedagogerna ska även arbeta för att öka barnens förståelse för samband och relationer mellan tal och hur tankar och idéer uttrycks genom matematiska symboler. Det är nödvändigt att barn i läs- och skrivsvårigheter först får laborera med
åskådligt materiel. De måste få kommunicera sina upptäckter. Det viktiga i arbetet med det konkreta materielet är att det formella språket och tänkandet knyts ihop med det informella språket och tänkandet. Först då blir det laborativa arbetet ett stöd för barnen för att utveckla sin förståelse.
Även Ljungblad (2003) såg, i sin studie av barn i behov av särskilt stöd, tydligt hur viktig kommunikationen i matematikarbetet var för att kunna nå alla barns tankar. Samspelet och dialogen var helt avgörande för dessa barn. Genom att samtala om bilder kan en gemenskap byggas upp som blir till gemensamma begrepp och föreställningar. Hon menar vidare att för barn med specifika matematiksvårigheter är det ett måste att pedagogen ser både språket och matematiken eftersom det finns många sammankopplingar.
Lundberg och Sterner (2006a) menar dock att sambandet mellan läs- och räknesvårigheter ska tolkas med stor försiktighet. Klart är att det finns flera viktiga gemensamma bakomliggande faktorer som kan ge upphov till både läs- och räknesvårigheter. Dessa faktorer kan vara låg intelligens, dåligt arbetsminne, gemensam gen, fonologiskt problem, svårigheter med automatisering, regelrigiditet eller ADHD. Med regelrigiditet menas här att hos en del barn kan man iaktta en viss stelhet i sättet att arbeta. Dessa barn håller sig strikt till vissa regler och blir oroliga när reglerna inte är tillämpliga. Författarna skriver att nyare forskning har visat att det finns gener som leder till flera olika typer av inlärningssvårigheter samtidigt (Plomin & Kovas, 2005 ur Lundberg & Sterner 2006a). Dessa generella gener kan ge upphov till att vissa personer uppvisar svårigheter både i läsning och i matematik. Lundberg och Sterner (2006b) gjorde en undersökning där 60 barn i skolår 3 prövades med en rad test i läsning och räkning. Lärarna bedömde barnen i fråga om motivation, uppmärksamhet och kognitiv utveckling. Ett år senare prövades barnen på nytt, dels med samma instrument som tidigare, men nu även med ytterligare några test. Lundberg och Sterner kom fram till att sambandet mellan läsning och räkning är högt. Endast ett fåtal barn visar påtagliga avvikelser i resultaten på det ena området i förhållande till det andra. Barn som läser bra räknar också bra. I enstaka fall kunde författarna se hur relativt dålig läsning förenades med goda prestationer i räkning. De observerade vidare ett högt samband mellan uppgiftsorientering, läsning och räkning. Att vara uppgiftsorienterad innebär att vara
åstadkomma goda prestationer, särskilt i räkning. Genom att ha följt barnen över ett år var det möjligt att på statistisk väg bedöma orsaksriktningen.
Malmer (2002) menar att skolans pedagoger har till uppgift att göra tankens verktyg, dvs. matematiken och modersmålet, mer attraktiva. På så sätt kan pedagogerna upptäcka hur viktigt sambandet mellan de två kärnämnena är för att utveckla det logiska tänkandet. Malmer anser att barnen först måste ha begreppen i form av ord kopplade till erfarenhet innan de kan översätta dem till det kortfattande matematiska symbolspråket. Detta är viktigt för alla barn, men för dem som har dyslektiska besvär och därmed svårigheter med symboler är det en nödvändighet. Matematiken kan, för dessa barn, vara det ämne där de får stimulans till att använda mera kreativa och informella lösningsvarianter. Därigenom kan de få känna att de kan lyckas.
Johnsen Høines (2000) förvånas över de kunskaper de barn, som hör till förlorarna i skolmatematiken, faktiskt har. Författaren menar att det oftast inte är barnens förkunskaper det är fel på, utan det sätt på vilket mötet med den formella matematiken sker. Detta antagande får hon stöd för hos H.P. Ginsburg och B.S. Allardis (1984), vilka hon refererar till, som gjort undersökningar där de funnit att även barn som är svaga i matematik har informella matematikkunskaper. Johnsen Høines skriver vidare att hon ofta ser en stor skillnad mellan barnens kunskaper och deras färdigheter i skolmatematiken när hon träffar på barn med svårigheter. Hon menar att ett medvetet språkbruk från lärarens sida skulle vara till hjälp för många av dem. Pedagogernas uppgift är att hjälpa barnet att upptäcka system och sammanhang genom erfarenheter. Detta ska ske genom att använda ett språk som fungerar som språk av första ordningen för barnet (se 7.1). Pedagogerna måste låta barnet förstå att det är inne i sitt eget huvud och med egna tankar, som han/hon räknar (Johnsen Høines, 2000).
7
Teori
Vår studie avser att utforska hur pedagoger med språket som verktyg, utvecklar barns begreppsförståelse i matematik. Vi är av den uppfattningen att språk och tänkande har ett intimt samband. Det är med hjälp av språket som barnet kan få redskap att förstå och utveckla nya begrepp. Vi är övertygade om att språklig aktivitet och tänkande utvecklas i en kontext, tillsammans med andra människor. De informella kunskaper barnet har med sig till skolan är särskilt viktiga att bygga vidare på. Eftersom vi har dessa uppfattningar har vi funnit Vygotskijs sociokulturella teori särskilt intressant att stödja vår studie på. Lev Vygotskij (1896-1934) anses vara grundaren av den sovjetiska psykologin och pedagogiken. Med bakgrund som litteraturforskare säger han att barnets kognitiva utveckling är beroende av språkbehärskning. Han menar att språket är tänkandets sociala uttryck (Johnsen Høines, 2000).
7.1 Vygotskijs sociokulturella teori
Aktiviteter som leder till lärande och utveckling har enligt Vygotskij vissa påtagliga kännetecken. De är exempelvis sociala. Vygotskij menar att inre processer - det som finns inuti huvudet – har föregåtts av yttre aktivitet tillsammans med andra i specifika kulturella miljöer. Det är när vi pratar med varandra som vi spar ett råmaterial som bildar underlag för vårt inre samtal, det vi i dagligt tal kallar tänkande. Utan detta råmaterial sker det inget inuti huvudet. Allt som så småningom finns i huvudet har tidigare varit yttre aktiviteter tillsammans med andra. Vygotskij menar att människors samspel inte bara är en metod som kan stödja lärandet och utvecklingen. Han menar att samspel är lärande och utveckling. I detta samspel spelar språket en viktig roll. Det är genom språkliga samspel som barnet får kontakt med och förvärvar det sociala verktyg vi kallar språk. Det är dessa språkliga verktyg som barnet sedan omformar till instrument för sitt tänkande (Strandberg, 2006). Samtalet mellan den vuxne och barnet eller mellan flera barn handlar, i stället för ensidig aktivitet som riktas från den vuxne till barnet, om ett samarbete där barnet och den vuxne påverkar varandra i ett slags ömsesidig assistans. Var och en av parterna bidrar utifrån sina egna förutsättningar och på sina egna premisser (Bråten, 1998). Vygotskij menar att det är viktigt att barnen får hjälp av mer kompetenta vuxna och/eller barn men att detta inte innebär att barnen
Aktiviteter som leder till lärande och utveckling är också medierande. Det innebär att människans relation till världen sker med hjälp och stöd av exempelvis verktyg, tecken, språk och andra människor. Med tecken, eller tankeverktyg, avses de symboler, bokstäver, ord, siffror, begrepp, noter, kartor, ikoner m.m. som människor skapat. De representerar verkligheten. De innehåller mening och de ges mening. Tecken skapar aktivitet inuti människors hjärnor. Det är de stödjande verktygen och tecknen som hjälper oss att lösa problem. Lärande är beroende av att det finns tillgång till verktyg och tecken som är intressanta, utmanande och relevanta för de områden som ska utforskas. Vygotskij talar om två typer av verktyg. Dels det som vi i vardagligt tal menar med verktyg, dvs. saker som vi använder när vi utför handlingar och dels verktyg som vi använder när vi tänker. Verktygen är oss behjälpliga när vi gör saker, exempelvis när vi gör en uträkning i matematik med hjälp av en miniräknare. Tecken är oss behjälpliga när vi tänker, exempelvis när vi försöker förstå matematik. Tecknen kan inspirera till aktivitet samtidigt som de är hjälpmedel för att strukturera vårt tänkande. Först kan barnet saker tillsammans med andra och/eller tillsammans med hjälpmedel. Sedan kan de klara det på egen hand (Strandberg, 2006).
Aktiviteter för lärande är enligt Vygotskij dessutom alltid situerade. Aktiviteterna äger rum i specifika situationer i kulturella sammanhang, rum och platser. Det är lättare att lära sig spanska i Spanien än i Danmark och det är lättare att lära sig läsa i en miljö som innehåller texter än i en som inte gör det (Strandberg, 2006).
Aktiviteterna är kreativa. Människor kan inte bara använda sig av relationer, hjälpmedel och situationer. Vi kan omforma dem också, vilket vi lär oss särskilt mycket av. Barnet gör innan det vet att det gör. Genom att göra, skapar barnet det råmaterial som han/hon sedan kan omforma till vetande. Barnet använder sig av matematik innan det vet vad matematik är. Vygotskij menar att hatten på barnets huvud ska vara lite större än huvudet för att passa. ”Det innebär också att det inte ska vara så stort avstånd mellan det som eleverna kan och det som de får presenterat i undervisningssituationen” (Øzerk ur Bråten, 1998, s.95).
Vygotskijs lära. Det barnet klarar av idag kallar Vygotskij barnets bas. Det barnet inte kan idag, är den proximala utvecklingszonen (Partanen, 2007). Den proximala utvecklingszonen är alltså den närmast belägna förmågan i förhållande till det som barnet kan själv. Barnet kan prova vad det kan göra tillsammans med andra genom att göra som den andre. Det upptäcker i praktisk mening vad det kan tillsammans med andra eller, vad det är på väg att lära sig (Strandberg, 2006). När barnet arbetar i basen arbetar det med sitt inre språk. När det arbetar i utvecklingszonen sker det i dialog med någon som kan mer, en pedagog eller kamrat. Barnet överskrider då sin aktuella förmåga. Det sker genom ett yttre språk (Partanen, 2007).
Figur 6:1 Figur Partanen, 2006. Reproducerad med tillstånd.
Själva zonen är ett rum, en vidare värld, som skapas genom samarbete. De vetenskapliga begreppen öppnar upp ett rum eller en zon där barnets vardagliga informella begrepp kan ta plats. Barnet får en chans att lyfta in sina föreställningar i ett mer avancerat rum och fortsätta sina aktiviteter där. De vetenskapliga begreppen banar således väg för de vardagliga informella begreppens utveckling (Strandberg, 2006). Om barnet arbetar i utvecklingszonen växer så småningom basen. Barnet behöver även arbeta tyst för att befästa de kunskaper de har. Dagens utvecklingszon är således morgondagens bas (Partanen, 2007).
Vygotskij såg språket och tänkandet som två separata linjer från början där handlingen föregår ordet. Det går från konkret till abstrakt. I det viktiga yttre egocentriska språket föregår ordet förståelsen. Vygotskij menar att koncentration, språkförmåga och logiskt tänkande utvecklas bättre ju mer egocentriskt språk ett barn har. Detta yttre språk kommer sedan att utvecklas till ett inre språk. All utveckling börjar i det yttre sociala
Basen Den proximala utvecklings-zonen Yttre språk Inre språk
samspelet innan det övergår till det inre; en internalisering sker (Partanen, 2007). En internalisering innebär ett införlivande av något yttre med den egna personen (Strandberg, 2006).
Vygotskij menar att barnens egocentriska tal, när de talar med sig själva, är en viktig funktion för begreppsutvecklingen. Så småningom minskar det egocentriska talet och talet går över i inre (tyst) tal. Sedan övergår det till tänkande. När vi ställs inför en svår uppgift är det många, även vuxna, som börjar att ”tänka högt”. Vi väljer då det språk som känns lättast att uttrycka våra tankar genom. Målet för oss själva blir att klargöra våra egna begrepp. I skolan måste barnen få hjälp att klargöra sina egna begrepp. De måste då få använda ett språk som de har lätt att uttrycka sig genom (Johnsen Høines, 2000).
Vygotskij talar om språk av första och andra ordningen. Exempel på språk av första ordningen är när barnet är duktig på att läsa. Då fungerar skriftspråket som ett språk av första ordningen. Barnet behöver inte säga eller höra orden och behöver heller inte tala tyst inom sig själv. Det behövs inte ett muntligt språk som stöd för att kunna tolka ordbilden. Ett annat exempel är när barnet behärskar t.ex. engelska så väl att det inte behöver översätta språket till svenska utan förstår det direkt – det tänker till och med på engelska. Först då är engelska ett språk av första ordningen för barnet (Johnsen Høines, 2000). Ett språk av andra ordningen är ett språk som inte står i direkt kontakt med begreppsinnehållet och som därför måste översättas. Denna översättning förutsätter språk av första ordningen som översättningsled. Detta översättningsled kan betraktas som en länk mellan det nya språket och barnets begreppsvärld. Exempel på detta är när ett barn inte har använt sig av siffror i sin vanliga talbehandling. När barnet ser det skrivna talet 7, får han/hon inte en automatisk bild av antalet. Om någon däremot håller upp sju fingrar eller säger ”sju”, vilket är ett språk av första ordningen för barnet, blir detta ett översättningsled som gör att barnet kan förstå det skrivna talet 7 (Johnsen Høines, 2000).
När barn leker eller håller på med andra aktiviteter använder de sig ofta av rörelser och gester som uttrycksformer. ”Vygotskij jämför det språket med det muntliga språket när det gäller begreppsbildning. Han hävdar att teckning är en utveckling av gester och
småningom att upptäcka att strecken som ritas har en betydelse, men det är inte tillräckligt för att upptäcka symbolfunktionen. De kan förstå att tecknet liknar något och kan därmed skapa associationer till det, men det är mer abstrakt för barnen att se att ett tecken representerar något annat (Johnsen Høines, 2000).
Vygotskij menar att för att barnet skall kunna lära sig vetenskapliga begrepp är det viktigt att det på förhand har utvecklat informella begrepp i vardagslivet som det kan bygga vidare på. Inlärningen av vetenskapliga, formella begrepp kommer sedan att inverka på de informella begreppen och bidra till ökad systematik, medvetenhet och en hierarkisk organisation i barnets tänkande. Begrepp måste läras in, begreppsinlärning gör sedan vidare inlärning möjlig, och begreppen binder samman olika erfarenheter. De hjälper barnet att systematisera och hålla ordning i det sociala och materiella kaos som råder runt honom/henne. De hjälper även barnet att kunna systematisera uppfattningsförmågan och att utveckla långtidsminnet (Øzerk ur Bråten, 1998).
Vygotskij har utvecklat en modell för barnets väg mot att bilda verkliga begrepp. Det första steget kallar han för primitiva föreställningar. Den formen av föreställning grundas på subjektiva, osäkra, vaga och oreflekterade antaganden om tingens samband. Sedan upptäcker barnet likheter mellan tingen. Denna föreställning är av en konkret och faktisk art, kanske fortfarande inte abstrakt eller logisk. Denna nivå kallar Vygotskij för en komplex föreställning av begreppen. Det tredje och sista steget, den avancerade formen av komplex föreställning, inträffar då barnet får positiv respons på sitt tänkande genom kommunikation med vuxna och därmed börjar praktisera begrepp innan det är medvetet om detta. Genom denna yttre påverkan, vilket kan betraktas som en social konstruktion, bildas barnets begreppstänkande (Bråten, 1998).
Det finns ord och det finns begrepp, men det finns ingen självklar turordning i hur de ska användas. För en del öppnar ordet en utvecklingszon, för andra betyder ordet ingenting, för en tredje kan ordet redan vara integrerat i aktiviteten och lämnas därför utan ytterligare uppmärksamhet. Ord kan skapa en utvecklingszon där barnets aktivitet får ett nytt svängrum. ”När barnets praktiska aktiviteter möter och tillägnar sig den symbolvärld som kännetecknar mänskliga miljöer sker en specifik omorganisering i barnets liv och i barnets hjärna” (Strandberg, 2006, s.113). Vygotskij säger att det
händer är att språket med dess speciella form och innehåll börjar påverka aktiviteten. Förmågan att gå mellan aktivitet och tänkande börjar mycket tidigt. Det är själva sammanstrålningen mellan aktivitet och tänkande som är lärandets hävstång. Intellektuell utveckling tar kvalitativa språng. När barnets vardagliga, informella och konkreta kunskaper sammanstrålar med vetenskapliga kunskaper kan det ske ett kvalitativt språng.
Lärandet kan beskrivas som en tvåstegsmodell. Interaktion är den ena processen för lärande. Den processen är fysiskt påtaglig – det märks att vi pratar med varandra. I den andra processen (den intrapsykologiska) flyttar interaktionen in i huvudet och blir till ett inre samtal med mig själv. Psykologiska processer – tänkande, talande, läsande, problemlösande, lärande, emotioner och vilja – är inte sprungna ur en inre mental idévärld, utan kan förstås som aktiviteter. Det är i människors faktiska och praktiska liv som psykologiska processer har sin grund (Strandberg, 2006).
