• No results found

Lösningar

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Lösningar"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Lösningar eller svar till

problemsamling 2

1. Antag att 8 n1+k1=8 n2+k2.

Då följer att 8 Hn1-n2L = k2-k1. (Vi ska försöka visa att n1=n2 och

att k1=k2.)

Om n1!n2, så är †8 Hn1-n2L§ ¥ 8. Å andra sidan är †k2-k1§ < 8.

(Varför?) Dessa två olikheter tillsammans med likheten

8 Hn1-n2L = k2-k1 ger en motsägelse. Det följer att n1=n2, och

därmed att 8 Hn1-n2L = k2-k1=0, vilket betyder att även k1=k2.

2. Av a = 8 n + 3 följer att

a2=H8 n + 3L2=64 n2+48 n + 9 = 8I8 n2+6 nM + 1.

3. Om man för varje a œ80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7< dividerar a2 med 8, får

man resterna 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1. (Se tabellen nedanför!) För större a:n än 7 upprepas mönstret. (Varför?) Av entydigheten i uppgift 1 följer att 0, 1, 4 är de enda kvadratiska resterna mod 8.

a 0 1 2 3 4 5 6 7

a2 8 ÿ 0 +0 8 ÿ 0 +1 8 ÿ 0 +4 8 ÿ 1 +1 8 ÿ 2 +0 8 ÿ 3 +1 8 ÿ 4 +4 8 ÿ 6 +1

4. Det följer av föregående uppgift att varje summa a12+a22+a32 av tre kvadrater kan skrivas på formen 8In1+n2+n3M + r1+r2+r3, där

r1, r2, r3 œ80, 1, 4<. Det betyder att

RestIa12+a22+a32, 8M = RestIr1+r2+r3, 8M œ 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6<.

Dvs 8 n + 7 är ingen summa av tre kvadrater.

5. n2-1 =Hn - 1L Hn + 1L är en produkt av två jämna heltal (eftersom n är udda). Dessutom följer de jämna talen på varandra (som t.ex. 6 och 8 eller 8 och 10). Av två på varandra följande jämna tal är exakt ett delbart med 4, (eftersom vart fjärde heltal är delbart med 4). Detta garanterar att n2-1 är delbart med 2 ÿ 4 = 8.

5. n2-1 =Hn - 1L Hn + 1L är en produkt av två jämna heltal (eftersom n är udda). Dessutom följer de jämna talen på varandra (som t.ex. 6 och 8 eller 8 och 10). Av två på varandra följande jämna tal är exakt ett delbart med 4, (eftersom vart fjärde heltal är delbart med 4). Detta garanterar att n2-1 är delbart med 2 ÿ 4 = 8.

Återstår nu att visa att n2-1 dessutom är delbart med 3. Av de tre på varandra följande talen n - 1, n, n + 1 är (enligt

uppgiftstexten) det mittersta inte delbart med 3. Därför måste något av de andra två talen och därmed deras produkt Hn - 1L Hn + 1L vara delbart med 3. Ty vart tredje heltal är delbart med 3.

Sammantaget visar resonemanget ovanför att n2-1 är delbart med 2 ÿ 4 ÿ 3 = 24.

6. En sådan summa kan alltid skrivas som Hk - 1L + k + Hk + 1L, dvs som 3 k.

Generalisering? Få se ….

Är måhända summan av n på varandra följande heltal alltid delbar med n. Nej, ty om n = 2, så är 1 + 2 en sådan summa, men denna är inte delbar med 2.

Däremot är summan av ett udda antal på varandra följande tal delbar med det udda talet ifråga. En sådan summa (av n = 2 m + 1 stycken tal) kan nämligen skrivas som

Hk - mL + … + Hk - 2L + Hk - 1L + k + Hk + 1L + Hk + 2L + … + Hk + mL, dvs som H2 m + 1L k vilket är samma sak som n k, ett tal delbart med n. 7. Följer (enligt fundamentalsatsen), av att såväl x:s som y:s alla primtalsfaktorer måste återfinnas bland a:s dito, samt att x:s

primtalsfaktorer är skilda från y:s primtalsfaktorer (då SGDHx, yL = 1). 8. Antalet avslutande 0:or i ett tal är lika med antalet förekomster av 10:or i en faktorisering av nämnda tal. Vidare, varje förekomst av en 10:a är en följd av att det finns såväl en 2:a som en 5:a i

primtalsfaktoriseringen av talet ifråga. Betrakta nu talet 100!, och räkna antalet förekomster av 5:or och 2:or.

(2)

100 != 1µ2µ3µ4µ5µ6µ7µ8µ9µ10 11µ12µ13µ14µ15µ16µ17µ18µ19µ20 21µ22µ23µ24µ25µ26µ27µ28µ29µ30 31µ32µ33µ34µ35µ36µ37µ38µ39µ40 41µ42µ43µ44µ45µ46µ47µ48µ49µ50 51µ52µ53µ54µ55µ56µ57µ58µ59µ60 61µ62µ63µ64µ65µ66µ67µ68µ69µ70 71µ72µ73µ74µ75µ76µ77µ78µ79µ80 81µ82µ83µ84µ85µ86µ87µ88µ89µ90 91µ92µ93µ94µ95µ96µ97µ98µ99µ100

Bland de 100 på varandra följande faktorerna finns det 5:or i följande faktorer:

5µ10µ15µ20µ25µ30µ35µ40µ45µ 50µ55µ60µ65µ70µ75µ80µ85µ90µ95µ100

Fyra stycken (vilka?) av dessa tjugo faktorer innehåller två 5:or, resten innehåller bara en 5:a. Så totalt finns det 24 stycken 5:or inuti 100!. Och hur många 2:or finns det? Svar: minst 24 stycken. Därmed finns det exakt 24 stycken 10:or, vilket betyder att 100! har 24 stycken avslutande 0:or.

9. (a) 4 n + 3 måste vara udda (Varför?). Eftersom inget udda tal kan innehålla primtalsfaktorn 2, följer att primtalsfaktorererna i 4 n + 3 är udda. Vidare, om vi dividerar en sådan primtalsfaktor p med 4 får vi p = 4 k + r, där r œ81, 3<. (Varför kan resten inte vara 0 eller 2?) Vi behöver visa att någon primtalsfaktorer är av typen 4 k + 3. Antag därför att | tvärtom | att primtalsfaktoriseringen av 4 n + 3 är lika med

H4 k1+1L ÿ … ÿ H4 kr+1L

Om man expanderar denna produkt får man ett tal av typen 4 K + 1, eller hur! Men att 4 n + 3 = 4 K + 1 strider mot entydigheten i

divisionsalgoritmen. (Jfr uppgift 1.)

Det följer att någon primtalsfaktorer i 4 n + 3 är av typen 4 k + 1. (b) Vi visar nu att det finns oändligt många primtal på formen 4 n + 3. För varje primtal på denna form, visar vi att det finns ett större dito. Betrakta därför ett godtyckligt primtal på formen qn på nämnda form.

Multiplicera nu qn med alla mindre primtal av den aktuella typen, och

öka sedan resultatet med en enhet, dvs. bilda talet

3 Problemsamling 2

(b) Vi visar nu att det finns oändligt många primtal på formen 4 n + 3. För varje primtal på denna form, visar vi att det finns ett större dito. Betrakta därför ett godtyckligt primtal på formen qn på nämnda form. Multiplicera nu qn med alla mindre primtal av den aktuella typen, och

öka sedan resultatet med en enhet, dvs. bilda talet

(1) a = 4 q1ÿq2ÿq3ÿ… ÿ qn - 1

Å ena sidan måste a, som är på formen

4 q1ÿq2ÿq3ÿ… ÿ qn - 1 = 4 m - 1 = 4 Hm + 1L + 3,

vara delbar med något primtal q av typen 4 k + 3. (Allt enligt (a)-delen i denna uppgift.) Å andra sidan är a inte delbar med något enda av primtalen q1, q2, q3, …, qn. (Varför?) Så, q måste vara större än qn. · ANM. Av de hundra första primtalen är följande av typ 4 k + 3:

83, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383<

References

Related documents

I en avhandling som berör musikens funktion och plats i förskolan samt synen på musikalisk kompe- tens, blir det därför nödvändigt att säga något om de filosofiska idéer som

Däremot lyfter Ohlsson (2004) upp i Arbetslag och lärande att samarbete och kommunikation i arbetslag inte alltid leder till en positiv utveckling av enskild kompetens och

[r]

Kalle kanin älskar

Teman som vuxit fram under analysen är att vara informerad, möjlighet till utbildning, informella och formella möjligheter till praktik och arbete, möten mellan olika

Syftet med studien är att undersöka hur andra professioner inom hälso- och sjukvård upplever socionomer i de multiprofessionella teamen, samt undersöka vilken status och

Är ett tal som är större än 1 och endast delbart med sig själv

Både vår studie och tidigare forskning pekar på att gruppverksamhet för våldsutsatta kvinnor medför förståelse, ökat upplevt socialt stöd, hjälper till att bryta isolering, har