• No results found

Variationsmönster i algebra på mellanstadiet: En analys av läromedels algebraiska uttryck och ekvationer

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Variationsmönster i algebra på mellanstadiet: En analys av läromedels algebraiska uttryck och ekvationer"

Copied!
26
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Självständigt arbete I, 15hp

Variationsmönster i algebra på

mellanstadiet

En analys av läromedels algebraiska uttryck

och ekvationer.

Författare: Nathalie Axelsson Handledare: Susanne Erlandsson Examinator: Torsten Lindström Termin: HT20

Ämne: Matematikdidaktik Kurskod: 1GN02E

(2)

Abstrakt

Denna studie är en läromedelsanalys som granskar algebraiska uttryck och ekvationer i två läromedel för årskurs 6: Koll på Matematik 6A och Mattedirekt borgen 6A. Studiens syfte är att studera algebraiska uttryck och ekvationer utifrån

variationsteorins fusion, kontrast och generalisering. Syftet skapades till följd av att svenska elever inte når de bästa resultaten i algebra gentemot andra länder. Dessutom för att kunna undersöka varför flera elever upplever området som svårt och abstrakt. Två frågeställningar togs fram för granskning: Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer i två olika läromedel? Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer? Resultatet visar att läromedlen har likheter och skillnader i sin

presentation av algebraiska uttryck och ekvationer. Ett läromedel ger större utrymme för variabelns värde i olika ekvationer och behandlar även decimaler. Ett annat läromedel har större variation av olika variabler och behandlar aldrig decimaler. En variation kan även utläsas i kontrast, fusion och generalisering. Kontrast presenteras genom att visa flera felaktiga exempel för att visa vad något inte är. Dessutom genom jämförelse av två olika räknesätt för att kunna se samband, karaktärsdrag och skilja dem åt. Generalisering syns genom att visa samma figurer men uttrycka dem på olika sätt. Fusion uttryckts genom att variera innehållet från vad som tidigare varit känt för eleven. Slutsatsen är att läromedlen skapar goda förutsättningar för eleverna att upptäcka kritiska aspekter inom algebraiska uttryck och ekvationer.

Nyckelord

Algebra, variabel, uttryck, ekvation, variationsteori, läromedelsanalys, årskurs 6.

Tack

Jag vill rikta ett tack till kursansvarig Hanna Palmér, handledare Susanne Erlandsson och examinator Torsten Lindström för god vägledning och tillgänglighet under studiens gång.

(3)

Innehållsförteckning

1 Inledning

...

4 1.1 Syfte

...

5 1.2 Frågeställningar

...

5 2 Begrepp

...

6 2.1 Algebraiska uttryck

...

6 2.2 Algebraiska ekvationer

...

6 2.3 Läromedel

...

6 3 Forskningsöversikt

...

7 3.1 Algebrans svårigheter

...

7 3.1.1 Pre-algebra

...

7 3.1.2 Likhetstecknet

...

8 4 Teori

...

9 4.1 Variationsteori

...

9

4.1.1 Kontrast, generalisering och fusion

...

9

4.1.2 Kritiska aspekter

...

10

5 Metod

...

11

5.1 Val av metod och tillförlitlighet

...

11

5.1.1 Reliabilitet

...

11 5.1.2 Validitet

...

11 5.2 Urval

...

12 5.2.1 Koll på matematik 6A

...

12 5.2.2 Mattedirekt borgen 6A

...

12 5.3 Genomförande

...

12 5.4 Etiska principer

...

13 6 Resultat

...

14

6.1 Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer?

...

14

6.2 Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer?

...

15

6.2.1 Kontrast

...

16

6.2.2 Generalisering

...

17

6.2.3 Fusion

...

18

7 Analys

...

19

(4)

7.2 Analys av generalisering

...

19 7.3 Analys av fusion

...

20 8 Diskussion

...

21 8.1 Metoddiskussion

...

21 8.2 Resultatdiskussion

...

21 8.3 Vidare forskning

...

22 9 Referenslista

...

23 10 Bilagor

...

25 Bilaga 1

...

26

(5)

1 Inledning

Algebra är ett viktigt område som är en väg till tänkande på en högre nivå. Genom algebra kan vi lösa mer avancerade uppgifter och problem. Det är även användbart inom naturvetenskap och ekonomi samt är en nyckel till vidare studier på gymnasiet och högskolan (Persson, 2008). Efter analys av äldre elevers resultat och intervjuer kom forskaren Olteanu (2003) fram till att undervisningen i algebra gynnas främst genom att ske i långsam takt. Elever behöver tidigt se att användningen av

bokstavssymboler kan hjälpa dem att lösa ett problem som de inte kan lösa på samma sätt med sifferräkning. De flesta algebraiska begrepp är komplexa och elever upplever att de inte finner någon mening i alla algebraiska regler. Somliga accepterar reglerna men utan att reflektera över dem. Andra förstår och kan använda algebraiska regler men flera söker ständigt efter en djupare mening (Olteanu, 2003).

För betyget E i slutet av årskurs 6 ska eleven kunna välja och använda matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att lösa enkla algebraiska rutinuppgifter (Lgr 11, 2018). Däremot når inte svenska elever de bästa resultaten. Vart fjärde år genomför EU/OECD (Organisation for Economic Co-operation and

Development)så kallade TIMSS-test (Trends in international mathematics and

science study). I 2003 års undersökning var de svenska elevernas resultat sämre inom

algebra är inom andra områden. Analyser av resultatet år 2007 visar att algebra drar ner de svenska resultaten (Erixson, Frostfeldt Gustavsson, Kerekes, Lundberg, 2013). Under senare tester, år 2011 och 2015 ökade svenska elever sina resultat i matematik. Däremot drar algebra fortfarande ner resultaten och det leder till att Sverige

fortfarande befinner sig under EU/OECD:s genomsnitt. Ungefär en tredjedel av eleverna når inte upp till en medelgod nivå i matematik (Skolverket, 2016).

Finland och Taiwan är två länder som presterar över EU/OECD:s genomsnitt. Efter en analys av ett läromedel från respektive land kom Lo, Yang och Weng (2013) fram till en möjlig anledning till ländernas framgångar. Båda läromedel inleder undervisningen med att utveckla aritmetik och mönster. Elever lär sig först att skriva och utvärdera uttryck sedan lösa okända tal med "☐", och slutligen med bokstäverna “x” och “y”. Läromedlen inleder algebra systematiskt vilket kan ha bidragit till ländernas goda resultat i den internationella bedömningen.

För att svenska elever ska ha möjlighet att nå upp över EU/OECD:s genomsnitt behöver algebra utvecklas. Undervisningen är en viktig orsak till att svenska elever inte når större framgångar eftersom den främst handlar om att lära sig färdiga modeller och tillvägagångssätt som presenteras i läromedel. Den största delen av undervisningen går ut på att eleverna räknar i sina matematikböcker. Böckerna anger olika exempel på metoder men utan att beskriva i vilket sammanhang de ska användas vilket bidrar negativt till lärandet (Erixson et al, 2013). Att undervisningen utgår till största del från färdiga modeller och tillvägagångssätt är något som studenten har upptäckt under verksamhetsförlagda utbildningar samt att elever uppfattar algebra som något svårt och abstrakt. Med den bakgrunden väcktes studiens syfte. Eftersom undervisningen tenderar att utgå från färdiga modeller i läromedel behöver

läromedlen granskas för att belysa eventuella faktorer till elevers prestationer i

algebra. Förhoppningen är att få kunskap om olika läromedel och därmed bidra till att framtida elever når högre betyg i slutet av årskurs 6 och når upp över EU/OECD:s genomsnitt. Studien är begränsad till att analysera algebraiska uttryck och ekvationer i två olika läromedel för årskurs 6.

(6)

1.1 Syfte

Syftet med denna läromedelsgranskning är att kartlägga algebraiska uttryck och ekvationer med inriktning på variation i två olika läromedel för årskurs 6.

1.2 Frågeställningar

Utifrån syftet har följande frågeställningar tagits fram:

● Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer i två olika läromedel? ● Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer?

(7)

2 Begrepp

I följande avsnitt presenteras begreppet algebra med särskild inriktning på algebraiska uttryck och algebraiska ekvationer. Dessutom presenteras läromedlets definition och dess betydelse för undervisning både förr och nu.

2.1 Algebraiska uttryck

Algebra beskrivs på flera olika sätt bland annat som en egen kultur som i sin tur kan beskrivas som ett språk, ett sätt att tänka, ett verktyg samt som generaliserad aritmetik (Olteanu, 2014). Algebra kan användas för att lösa komplicerade problem särskilt där aritmetiken fallerar kommer algebran in och möjliggör lösandet. Genom att tillämpa algebrans regler kan exempelvis förutsägelser om utfall av experiment göras (Persson, 2008).

Inom algebra finns området algebraiska uttryck. Ett uttryck kan användas för att på ett enklare sätt beskriva exempelvis vad något kostar. Ett exempel på detta kan vara en bok som har priset 100 svenska kronor. Kostnaden för boken är konstant men den totala kostnaden varierar beroende på hur många böcker som beställs. Antalet beställda böcker benämns med en bokstav som representerar ett obekant tal, en så kallad variabel. Kostnaden för antalet böcker kan skrivas som: “100 ⋅ x”. Detta kallas för ett uttryck. För att ett uttryck ska kallas för ett algebraiskt uttryck behöver det innehålla minst en variabel (Matteboken, 2020b).

2.2 Algebraiska ekvationer

Inom algebra finns även området algebraiska ekvationer. En algebraisk ekvation är en formel där det går att ta reda på värdet genom att lösa ut de okända variablerna. En formel är i sin tur ett samband mellan en eller flera variabler i form av ett algebraiskt uttryck (Matteboken, 2020a). En ekvation innehåller ofta en eller flera variabler exempelvis “5 + x = 10” eller “5 + x + y = 20”. En ekvation med variabeln x ställer frågan: För vilka värden på x är denna likhet sann? Svaret eller svaren på frågan är lösningen på ekvationen (Kilhamn & Olteanu, 2014b).

2.3 Läromedel

Läromedel beskrivs som en resurs för lärande och undervisning som inkluderar övningsböcker och ordböcker men också digitala resurser för informationshämtning och kommunikation. Ett annat läromedel är läroboken. Läroboken utgjorde under en mycket lång tid en norm för vad som var väsentligt och det var ur dem som eleverna skulle inhämta fakta. Läroboken förmedlade också samhällets uppfattning om vad som är önskvärd kunskap och hur den ska bearbetas och användas

(Nationalencyklopedin, 2020). Även idag spelar läroboken en viktig roll i undervisningen eftersom den identifierar ämnena och ordnar dem på ett sätt som eleverna bör utforska dem. Den specificerar även hur lektioner kan struktureras, bestämmer ordningsföljd och förmedlar lämpliga övningar och aktiviteter som är anpassade till eleverna (Johansson, 2003).

(8)

3 Forskningsöversikt

I detta avsnitt presenteras pre-algebra och vilken sorts introduktion till algebra som kan gynna eleverna bäst. Dessutom nämns svårigheter inom det matematiska området algebra samt vilken undervisning som bäst bidrar till lärande. Avsnittet är baserat på tidigare forskning.

3.1 Algebrans svårigheter

Enligt Drijvers (2003) beror svårigheter i algebra på att eleven inte kan relatera fullt ut till algebra och det finns brist på mening. Algebra anses vara för abstrakt gentemot de konkreta situationer de uppstår från. Dessutom upplevs det algebraiska språket

komplext då det innehåller symboler, beteckningar och konventioner. Däremot delar sig uppfattningen om algebra hos elever. När eleven behärskar algebraiska regler är det lättare att nå lösningar men det bedöms ha fel plats i undervisningen och flera har svårigheter i algebra (Persson, 2008). En vanlig svårighet är när uttryck innehåller två eller fler bokstäver. Då blir elever osäkra på om dessa representerar samma eller olika värden. Att två olika variabler kan representera olika eller samma tal skapar besvär för elever (Kilhamn & Olteanu, 2014a). En annan svårighet som förekommer är

exempelvis att uttrycket 3x gömmer ett multiplikationstecken men när 3x adderas med

7x blir elever förvirrade över att de ska lägga samman 3 och 7. En tredje svårighet är

att elever ofta ser variabler som förkortningar i början av undervisningen. Detta förstärks om pedagogen säger att a står för apelsiner, b för bananer och c för citroner. Eleverna blandar variablerna med frukterna istället för att inse att de representerar tal. Att variablernas värde varierar kan skapa förvirring hos elever. Till följd av det upplevs algebra som svårt, onödigt och abstrakt (Persson, 2008).

För att förhindra svårigheter är det viktigt att pedagogen är bekant med de olika aspekterna i algebra som variablernas olika betydelser samt förhållandet mellan process och objekt. Även att föra in algebran gradvis i grundskolan kan förhindra svårigheter. Det är en fördel att låta elever utveckla symbolism och mening samtidigt samt skapa övningar där vägen till lösningen är lika viktig som att finna svaret. Elever bör få möjlighet att reflektera över sina tankar och strategier samt konfronteras

återkommande med vanliga misstag i algebra för att göras medvetna om dem. Elever bör dessutom ständigt kontrollera sina lösningar för att uppnå en högre säkerhet (Persson, 2008).

3.1.1 Pre-algebra

Pre-algebra är det första introducerande steget i algebra som skapar en naturlig utveckling i undervisningen. I pre-algebra lär sig eleverna vad en ekvation innebär. Efter det introduceras det andra steget “inledande algebra” där variabler införs. En fördel är att inte introducera variablerna för snabbt utan istället ge eleverna en grundläggande förståelse för olika begrepp, mönster och likhetstecknet. Eleverna måste få utveckla kunskaper i pre-algebra och inledande algebra för att senare kunna lösa ekvationer (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997).

Pre-algebra anser Malmer (2008) att eleverna kan arbeta med i årskurs 1–5. Därför är det en fördel att introducera pre-algebra med hjälp av föremål. Om eleverna får genomföra laborativa övningar där de utgår från helheten kan de förstå relationer mellan storheter. Ett sätt att göra det är att visa stavar i olika färger med varierande

(9)

längd (figur 1). Eleverna kan därefter på egen hand skapa algebraiska uttryck i form av additioner och subtraktioner med hjälp av sina stavar, exempelvis:

“r + v = b b - v = r” (Malmer, 2008).

Figur 1: Cuisenairestavar

3.1.2 Likhetstecknet

För att kunna lösa ekvationer är det viktigt att förstå likhetstecknet betydelse. Likhetstecknet kan beskrivas som en symbol för “lika mycket som”, det vill säga att höger och vänster led står för lika stora tal (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997). De som har god förståelse för likhetstecknets betydelse har goda förutsättningar för att lösa algebraiska ekvationer korrekt. Det ger bättre resultat om läraren tidigt

presenterar likhetstecknet. Dessutom om det introduceras med en långsam progression för att eleverna ska få störst förståelse. Om svåra uppgifter presenteras för tidigt för elevernas förutsättningar leder det ofta till sämre förståelse av likhetstecknet längre fram. Exempelvis bör pedagogen inte presentera en uppgift som “12 - 3 + 2 =” då det innehåller både addition och subtraktion vilket ställer till det för eleven (McNeil et al, 2006). En vanlig svårighet är att eleverna tenderar att uppfatta likhetstecknet som det samma som “blir”. Detta innebär att eleven har svårt för förståelsen att höger och vänster led representerar lika stora tal. Senare kan det medföra svårigheter för

eleverna då de inte från början kan lösa en beräkning som exempelvis “4 + 7 =”. För elever som inte har förståelse av att 11 är lika mycket som 4 + 7 blir likhetstecknet en uppmaning att utföra ekvationen och sedan skriva svaret (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997)

(10)

4 Teori

Följande teoriavsnitt behandlar variationsteorin med viktiga begrepp som fusion, generalisering, kontrast och kritiska aspekter.

4.1 Variationsteori

Variationsteorin växte fram ut fenomenografin som betyder att världen beskrivs beroende på hur den upplevs av andra. En grundtanke inom fenomenografin är att det finns ett begränsat antal olika sätt att uppfatta ett lärandeobjekt och hur det erfars, urskiljs och upplevs. Lärandeobjekt är den förmåga som pedagoger önskar att eleverna lär sig (Thorsten, 2018). Det är den kunskap som eleverna ska få möjlighet att utveckla i undervisningen exempelvis genom att lära sig lösa algebraiska

ekvationer som innehåller olika sorters räknesätt. Variationsteorin behandlar likt fenomenografin olika uppfattningar men skiljer sig genom att den förklarar hur lärandet går till. Dessutom hur elever med olika uppfattningar kan ta sig an

utmanande lärandeobjekt. Uppfattningarna är inget som är låst till individen, vilket gör att en och samma individ kan växla mellan olika uppfattningar (Thorsten, 2018). En grundläggande utgångspunkt inom variationsteorin är att vi lär oss genom att erfara skillnader. En varierande undervisning är grundläggande för att kunna urskilja nya aspekter som tidigare varit okända för individen. Dessa nya aspekter kallas för kritiska aspekter (Hansson, 2019). För att kunna göra urskiljningar är det en förutsättning att kunna jämföra aspekter och själva jämförandet är grunden för variationsteorin. Inom variationsteorin finns tre delar som är särskilt centrala för denna granskning. De delarna benämns som kontrast, generalisering och fusion (Magnusson, & Maunula, 2013).

4.1.1 Kontrast, generalisering och fusion

Kontrast är ett av tre begrepp som är grundläggande för denna granskning. Kontrast

kan beskrivas som att något hålls konstant medan andra faktorer varierar. Ett exempel på kontrast är att färgen på ett objekt varierar men objektet hålls konstant. Tanken är att upptäcka hur objekten skiljer eller liknar varandra (Marton, 2015). För att visa kontrast med ovanstående beskrivning jämförs tre äpplen. Äpplena har samma form men olika färger, ett rött, ett gult och ett grönt. Den som möter äpplena kan jämföra dem och upptäcka att färgen inte har någon betydelse för hur ett äpple definieras. I algebrans värld kan kontrast framträda genom en jämförelse av variablerna x och y. Variablerna jämförs med varandra såsom karaktärsdrag, likheter och skillnader för att kunna separera dem och förstå båda bokstävers egenskaper.

Kontrast handlar även om att visa vad något inte är. Exempelvis genom att visa flera algebraiska ekvationer och belysa likhetstecknet för att kunna urskilja ekvationer från algebraiska uttryck. Kontrast är nödvändigt för att eleverna ska kunna urskilja nya aspekter, så kallade kritiska aspekter. Detta sker när ett värde jämförs med ett annat som leder till att den gamla kunskapen ändras eller utvecklas. För att kontrasten ska framträda tydligt behöver andra aspekter vara konstanta som innehåll, storlek och färg. Allt för att aspekten i fokus ska framträda tydligare (Thorsten, 2018). När en aspekt har urskilts med hjälp av kontrast behöver den generaliseras.

Generalisering behandlar utredningen av gränserna för aspekten. Då är

(11)

innehåll. Generalisering skiljer sig från kontrast då det i stället är de aspekter som ska bortses från som undersöks (Thorsten, 2018). Ett exempel på generalisering är

ekvationerna: 12 + 3 = z och 24 + 9 = z. Båda ekvationer har en variabel kallad z där ett okänt värde gömmer sig. Värdet på z är olika i ekvationerna vilket visar att värdet beror på vilken kontext variabeln befinner sig i. Dessutom visar det att ekvationer kan se ut på olika sätt men det är inte innehållet som avgör om det är en ekvation eller inte. Utöver generalisering och kontrast finns ett tredje begrepp som är väsentligt för denna studie.

Fusion, som är den tredje delen innebär att lärandeobjektet betraktas som en helhet

igen. Då sammanförs alla aspekter som tidigare har analyserats. Det innebär att huvudaspekten och andra aspekter varierar samtidigt. Genom att utveckla och förändra helhetsbilden och göra den gradvis mer komplex blir kritiska aspekter synliga samt hur det påverkar både varandra och helheten (Thorsten, 2018). Marton (2015) beskriver fusion genom att visa några olika figurer. Samtliga figurer har samma form och färg. För att synliggöra fusion varieras figurerna och färgerna som tidigare haft samma färg och form till att ha olika former och olika färger samtidigt. Här varierar flera aspekter samtidigt vilket bidrar till att eleven kan upptäcka nya aspekter. Inom algebrans värld kan fusion förklaras genom att visa olika typer av ekvationer. Ekvationerna kan innehålla olika räknesätt och variabler men samtliga definieras som ekvationer om de har ett obekant tal där värdet ska lösas, till exempel:

12 + 3 = z och 24 - 12 =

De tre begreppen kan sammanfattas på följande sätt:

En överblick över lärandeprocessen innebär att den lärande börjar med att se lärandeobjektet som en odelbar helhet. Aspekter av lärandeobjektet kan dock göras urskiljningsbara via kontrast. Via generalisering undersöks sedan vilka aspekter som kan bortses från. Avslutningsvis sammanförs aspekterna till en helhet igen, via fusion (Thorsten, 2018 s. 26).

4.1.2 Kritiska aspekter

För att en kritisk aspekt ska kunna urskiljas måste den lärande erfara en variation för att den gamla informationen ska kunna utvecklas. Därför är det av största vikt att undervisningens innehåll och läromedel bidrar till variation (Hansson, 2019). Gränsen mellan vad som är en kritisk aspekt och vad som är en icke-kritisk aspekt är tunn. Skillnaden mellan en kritisk respektive icke-kritisk aspekt går mellan om du urskiljer den eller inte. Om en elev förstår att en variabel i en ekvation alltid representerar ett värde är det ingen kritisk aspekt för den individen men det kan vara det enligt någon annans uppfattning. De kritiska aspekterna är därav dynamiska och föränderliga eftersom de är skapade efter individens uppfattning (Magnusson, & Maunula, 2013). Inom området algebra finns ett antal olika kritiska aspekter. Det kan vara att förstå att en ekvation är en likhet som innehåller obekanta tal. Att en bokstav i en ekvation alltid representerar ett värde. Att lösningen till en ekvation med en eller flera variabler är de värden som gör ekvationen sann. Att det finns ekvationer som kan ha inga, en eller flera lösningar samt att se fördelar och nackdelar med olika metoder. Det är först när eleverna fått syn på en variation av olika metoder som de kan börja diskutera metodernas fördelar och nackdelar (Kilhamn & Olteanu, 2014b). Därför är det av största vikt att undervisning och läromedlet varierar.

(12)

5 Metod

I detta avsnitt presenteras metoden för denna läromedelsgranskning. Begreppen validitet och reliabilitet presenteras. Dessutom en beskrivning av urval och de valda läromedlens innehåll. Avsnittet avslutas med genomförande och etiska principer.

5.1 Val av metod och tillförlitlighet

Studien bygger på att genom en läromedelsgranskning kunna identifiera algebraiska ekvationer och uttryck. Genom granskning kunna kartlägga läromedel med inriktning på variation för att skapa en tydlig bild om olikheter och likheter. Variation är viktigt för att skapa en förändring i tidigare inlärd kunskap. En förändring i någons förmåga att erfara ett fenomen kan endast åstadkommas genom en förändring i individens upplevelse. Det krävs att något varieras för att ny kunskap ska träda fram. När något varieras kan den lärande upptäcka nya aspekter som tidigare varit okända (Marton & Booth, 1997). Genom att tillämpa variationsteorin har det varit möjligt att fokusera på hur innehållet varierar avseende kontrast, generalisering och fusion. De tre

begreppen lägger grunden för att eleven ska kunna upptäcka kritiska aspekter som kan vara avgörande för elevens matematiska förmåga.

5.1.1 Reliabilitet

För att öka studiens trovärdighet är det en fördel att ta reliabilitet och validitet i beaktande. Reliabilitet innebär enligt Bryman (2016) i vilken grad en studie kan göras om och få samma resultat. Observation 1 och 2 bör ge samma resultat för att

reliabiliteten ska vara hög. Om resultaten inte stämmer överens är reliabiliteten låg. Författaren Eliasson (2018) anger att reliabilitet ställer frågor som: Är undersökningen pålitlig? Kan vi lita på att undersökningen ger samma resultat om vi upprepar den under liknande omständigheter? För att uppnå hög reliabilitet underlättar det att arbeta med de viktigaste variablerna genom att mäta dem på flera olika sätt, förbereda

undersökningen väl samt skapa tydliga rutiner om vad som ska göras och hur.

Dessutom kontrollera all insamlad data och gå igenom målet med uppgiften noggrant med eventuella samarbetspartners.

5.1.2 Validitet

Validitet fokuserar på om det som ska mätas verkligen mäts på korrekt sätt. Validitet innefattar frågor som: Kan vi lita på att undersökningen är giltig? Mäter den verkligen det vill mäta? Validitet är beroende av vad undersökningen är tänkt att mäta. För att uppnå hög validitet är det viktigt att reda ut din frågeställning (Eliasson, 2018). Perspektivet hänvisar till relevansen, noggrannheten och precisionen i data samt ifrågasätter om forskningen har ställt rätt frågor och tittat på rätt faktorer (Denscombe, 2018).

I denna läromedelsgranskning utfördes observation över läromedlen flera gånger för att säkerställa att granskningen genomförts korrekt. Antalet uppgifter inom algebra räknades om tillräckligt många gånger för att kunna avgöra att räkningen var korrekt. Uppgifterna räknades på flera olika sätt både framlänges med start på uppgift 1 och baklänges från kapitlets sista uppgift. Dessutom genom att räkna alla uppgifter som innehöll fyra deluppgifter och multiplicera dem med fyra och till sist addera

resterande uppgifter till totalsumman. Den insamlade datan är noga kontrollerad vilket skapar en trovärdighet till att andra kan få samma resultat om studien görs om under liknande omständigheter.

(13)

5.2 Urval

I denna läromedelsgranskning har två läromedel granskats. Det fanns tillgång till lärarhandledningar men de valdes bort till just denna granskning till följd av tidsbrist. Vilka läromedel som skulle granskas valdes i samfund med en annan student som deltog i förarbete. De två läromedlen som valdes ut var Koll på matematik 6A och

Mattedirekt borgen 6A. Koll på matematik hade båda studenter arbetat med under sina

verksamhetsförlagda utbildningar och det var en trygghet att välja ett läromedel som var bekant för båda medparter. Mattedirekt borgen valdes till följd av att en av studenterna haft en tidigare upplaga av läromedlet under sin skolgång. Dessutom fanns det ett eget kapitel med algebra i båda läromedlen vilket inte fanns lika tydligt i de andra som fanns uppe som förslag. Båda läromedel är utgivna av Sanoma

utbildning åren 2012 respektive 2016 vilket innebär att de är utgivna efter den senaste

läroplanen Lgr11. Tanken med granskningen var att till viss del jämföra två olika läromedel och då var det en förutsättning att de inte var helt olika från start. Därför valdes inriktning 6A eftersom 6B är en fortsättningsbok.

5.2.1 Koll på matematik 6A

Författarna till Koll på matematik anger att det är ett läromedel för årskurs 1–6 som har en A-bok och en B-bok. Läromedlet utgår från Lgr11 och arbetar mot

kunskapskraven i årskurs 6. Stor vikt läggs på att eleven ska ha möjlighet att utveckla samtliga matematiska förmågor. Till sist ger även läromedlet möjlighet att eleven blir medveten om sin kunskapsutveckling genom egen bedömning. Varje kapitel inleds med en introduktion där begrepp och de fem förmågorna i matematik presenteras. Efter det finns själva grundkursen som är indelad i tre avsnitt där varje avsnitt avslutas med uppgifter utifrån förmågorna. Det finns även sidor med fördjupning och utrymme att träna mer på avsnitten som kallas “träna mera” och “fördjupning” (Björklund & Dalsmyr, 2016).

5.2.2 Matte direkt borgen 6A

Läromedlet innehåller fem kapitel och samtliga har liknande struktur. Första delen i ett kapitel kallas för borggården som utöver eget arbete också innehåller “sant eller falskt” samt en del som kallas “arbeta tillsammans”. Varje kapitel inleds med en samtalsbild med frågor som anknyter till det specifika momentet samt de mål som kapitlet har tänkt uppfylla. Läromedlet erbjuder individanpassning till viss del genom att det finns två olika vägar att gå beroende på hur eleven upplever och presterar i bokens diagnos. Eleven kan välja att gå genom tornet eller rustkammaren. Den sista delen innehåller en sammanfattning och avslutas till sist med en utmaning (Carlsson, Falck, Liljegren & Picetti, 2012).

5.3 Genomförande

Inledningsvis utfördes en litteratursökning i databaserna ERIC, Swepub och LIBRIS för att finna relevanta referenser där vetenskapligt granskade artiklar och böcker har tillämpats i största möjliga mån. Efter det skapades ett analysschema (figur 2) som följdes med en granskning av algebra i två olika läromedel för årskurs 6. Läromedlen granskades utifrån variationsteorin med särskilt fokus på kontrast, fusion och

generalisering för att på så vis bedöma elevens tillgång till kritiska aspekter.

Innehållet i läromedlen granskades för att finna svar på studiens frågeställningar och syfte. Läromedlen granskades var för sig och jämfördes till sist med varandra under fem dagars tid.

(14)

Koll på matematik Mattedirekt borgen

Antal uppgifter

Uppgiftsbeskrivning som innehåller variabel Uppgiftsbeskrivning med variabeln x Annan bokstav än x

Annan variabel än bokstav

Figur 2: Analysschema

5.4 Etiska principer

Forskningsetiska principer syftar till att skapa normer mellan forskare och undersökningsdeltagare/uppgiftslämnare så att en god avvägning kan ske mellan forskningskravet och individskyddskravet vid konflikt. De fyra huvudkrav som de etiska principerna delas in i är: Informationskravet, samtyckeskravet,

konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2011). I denna studie deltar inga uppgiftslämnare men det finns data från läromedel och från tidigare

forskning. Därför är det av största vikt att plagiat tas i beaktande. Plagiat benämner att det måste framgå tydligt vem som gjort vad. Den som använder andras material måste uppmärksamma att materialet inte är forskarens eget för att undvika plagiat. När andras resultat används ska upphovsmannen uppges samt vilken originaltexten är (Vetenskapsrådet, 2017). Genom att ta hänsyn till plagiat och upphovsrätt har inga bilder, texter eller figurer tagits direkt från läromedlen och publicerats i arbetet. Istället har figurer och bilder återskapats och är på så vis inte kopierade. Syftet med studien är inte att bedöma läromedlen med kritiska ögon utan att få mer kunskap om olika läromedel.

(15)

6 Resultat

I följande avsnitt presenteras studiens resultat. Resultatet tar sin grund i granskningens syfte och frågeställningar. Därför presenteras här en överblick om algebraiska uttryck och ekvationer såsom skillnader och likheter. Resultatdelen avslutas med en

redovisning av utvalda uppgifter som visade kontrast, generalisering och fusion.

6.1 Hur presenteras algebraiska uttryck och ekvationer?

Läromedlen presenterade algebraiska uttryck och ekvationer på många liknande sätt. Det fanns uppgifter där värdet på ett obekant tal skulle besvaras. De innehöll uppgifter relaterade till elevens vardag med bilder som förklarade uppgifternas textdel.

Läromedlen varierade sina variabler, både värdet och vilken bokstav eller annan figur som skulle användas. Läromedlen gav möjligheter att träna på att använda flera variabler samt utrymme för individanpassning. Nedan finns exempel på likheter vid presentation av algebraiska uttryck och ekvationer i läromedlen Koll på matematik och Mattedirekt borgen. (Uppgifter är omformulerade och återskapade av

upphovsrättsliga skäl).

Koll på matematik Mattedirekt borgen

Uppgift: “Värdet på x” x + 200 = 800 x + 6 = 10 Uppgift relaterad till vardag

Amir är tre gånger så gammal som Yasmin. Tillsammans är de 24 år. Hur gammal är Yasmin?

Lisas pappa är 3 gånger så gammal som Lisa. Lisa är 4 år yngre än Sofia. Sammanlagt är de 49 år. Hur gamla är Lisa, Sofia och Lisas pappa?

Arbete med flera variabler

Förenkla uttrycket: y + 2 + 3y +2

Förenkla uttrycket:

y + y + 3 + 5

Figur 3: Presentation av uttryck och ekvationer

Figur 3 visar uppgifter som var ytterst lika varandra. Eleverna skulle i båda läromedel kunna räkna ut värdet på variabeln och förenkla uttryck. De behövde även kunna lösa längre textuppgifter som till viss del var relaterade till elevernas vardag. Uppgifterna relaterade till vardag gick båda ut på att någon var tre gånger så gammal som någon annan och de hade en sammanlagd ålder. Denna typ av uppgifter kan de stöta på i det verkliga livet om de exempelvis ska räkna ut hur mycket äldre eller yngre de är än någon i sin familj, vänkrets eller i andra sammanhang. Den enda skillnaden var att

Mattedirekt borgen angav tre personer i sitt exempel gentemot Koll på matematik som

hade två. En annan skillnad mellan läromedlen var att Koll på matematik tillämpade hundratal i “värdet på x” samt behandlade multiplikation när eleven skulle förenkla uttryck. I grund och botten skapade de uppgifter på liknande sätt.

En annan likhet mellan läromedlen var uttryck för olika sträckor. Uppgifterna gick ut på att skriva ett uttryck för en sträcka i relation till en som var lika lång. Dessutom behandlades olika geometriska figurer som kvadrat, triangel, parallelltrapets med mera samt deras längd och omkrets, se figur 4. Inget läromedel redogjorde uttryck för den geometriska figuren cirkeln.

(16)

Mattedirekt borgen Koll på matematik

Figur 4: Sträckor och uttryck för geometriska figurer.

I detta avsnitt har somliga likheter och skillnader redovisats i presentationen av algebra. En avslutande skillnad som kunde utläsas var att Koll på matematik innehöll en stor del av variabelns x värde i olika ekvationer. Denna skillnad märktes tydligt vid inledningen där de första 116 uppgifterna i kapitlet gick ut på att ta reda på just

variabeln x värde i olika ekvationer. En jämförelse med Mattedirekt borgen visade att de första två sidorna istället innehöll uppgifter där eleven skulle räkna ut åldrar på olika personer och djur. De uppgifterna i Koll på matematik som behandlade variabelns värde innehöll samtliga fyra räknesätt: multiplikation, division, addition och subtraktion. Dessutom behövde eleven räkna med decimaler vilket var något som aldrig syntes i Mattedirekt borgen.

6.2 Hur varieras innehållet inom algebraiska uttryck och ekvationer?

Innehållet varierades bland annat genom att uppgifterna visade olika tecken på

kontrast, generalisering och fusion. Dessutom varierade uppgiftsbeskrivningar genom att olika variabler användes. Nedan finns en tabell (figur 5) som visar hur stor andel av uppgiftsbeskrivningar som innehöll variabler och vilken som var mest

förekommande.

Koll på matematik Matte direkt borgen

Antal uppgifter 262 253

Uppgiftsbeskrivning som innehåller variabel 235 239

Uppgiftsbeskrivning med variabeln x 211 149

Annan bokstav än x 22 77

Annan variabel än bokstav 2 13

Figur 5: Resultat i analysschema. En beskrivning av analysschemat: (se bilaga 1).

Tabellen visar en överblick över kapitlen namngivna: “algebraiska ekvationer” och “algebraiska uttryck” i två olika läromedel. Koll på matematik innehöll flest antal uppgifter och flest antal uppgiftsbeskrivningar med variabler. Mattedirekt borgen innehöll fler uppgiftsbeskrivningar med andra variabler än bokstaven x gentemot koll

(17)

på matematik. I det sistnämnda läromedlet förekom variabeln x i 89,8 % av fallen och

i Mattedirekt borgen svarade x för 62,3 % av helheten. (Inga slutsatser om vilken representation eller metod som är mest gynnsam redovisas i denna studie för att undvika att rikta kritik mot läromedlen).

6.2.1 Kontrast

Kontrast visades i Koll på matematik 6A på liknande sätt genom hela läromedlet. Hur detta kunde se ut finns i exemplet nedan (figur 6). Uppgiften visade alternativ som var felaktiga vilket är en sorts kontrast. Denna form av kontrast var återkommande genom hela kapitlet.

a) Förenkla och välj mellan uttrycken i rutan:

y + y + y

b) Para ihop rätt uttryck med rätt förenklat uttryck:

Uttryck Förenklat uttryck A: y + y +y E: 2y + 4 B: 2y + y + 2y + y F: 3y C: y + 3 +y +1 G: 4y + 6 D: 3y + 2 + y + 4 H: 6y

Figur 6: Koll på matematik. Björklund & Dalsmyr, 2016.

Ett ytterligare sätt som kontrast syntes var genom att visa sambandet mellan addition och subtraktion samt mellan multiplikation och division. Läromedlet behandlade 30– 40 uppgifter på detta sätt. Uppgifterna gick ut på att lösa ekvationen genom att använda motsatt räknesätt vilket kan skapa en möjlig förutsättning för att eleven ska kunna skilja mellan olika räknesätt. Nedan redovisas fyra uppgifter som var vanligt förekommande (figur 7).

Lös ekvationen genom att använda motsatt räknesätt.

a) x + 2 = 10 b) x + 2,5 = 6 c) 4x = 20 d) x - 12 = 16

Figur 7: Koll på matematik. Björklund & Dalsmyr, 2016.

Mattedirekt borgen redovisade kontrast på liknande sätt genom att visa vad något inte

var. Den lärande skulle para ihop rätt uttryck med rätt påstående för att få se vad något inte var (figur 9). Dessutom fanns det en särskild ruta som kallades “sant eller falskt” där kontrast framträdde tydligt (figur 8).

Sant eller falskt?

x - 8 betyder 8 mer än x Istället för likhet kan man säga ekvation b + 4 betyder 4 mer än b Ekvationen y + 14 = 21 har

lösningen 8

c + c + c = 3 + c Om b = 4 så är b + 2 = 6

(18)

Vilket uttryck betyder

a) hälften av x b) x delat med 4 c) en tredjedel av x

Figur 9: Mattedirekt borgen: Carlsson et al. 2012.

6.2.2 Generalisering

Koll på matematik behandlade generalisering på olika sätt bland annat genom att visa

hur en sträcka generaliserar (figur 10). Båda sträckorna i exemplet var 11 decimeter långa och eleven skulle lösa vad x var för att få reda på längden mellan A och B samt längden mellan B och C. Båda sträckorna hade en startpunkt och ett slut samt var lika långa men längden uttrycktes på olika sätt. En genom endast siffror och en med obekanta tal.

Figur 10:Koll på matematik. Björklund & Dalsmyr, 2016.

Likaså fanns uppgifter med olika geometriska figurers längd och omkrets. I en av de geometriska uppgifterna skulle den lärande skriva upp en ekvation för triangeln och räkna ut värdet på x. I exemplet nedan redovisas generalisering (figur 11). Båda trianglar hade tre hörn och tre sidor, vinklarna kunde vara olika stora men båda har vinkelsumman 180°. Även fast trianglarna såg ut på olika sätt så var båda av definition trianglar.

a) b)

Figur 11: Koll på matematik. Björklund & Dalsmyr, 2016.

Mattedirekt borgen innehöll även den generalisering av sträckor och geometriska

figurer. Något annat som dök upp återkommande i läromedlet var en generalisering av en variabel. I exemplet nedan fick variabeln x olika värden beroende på vilket

sammanhang den befann sig i. Variabeln generaliserades.

(19)

6.2.3 Fusion

Fusion innebär att flera avgörande aspekter varierar samtidigt (Thorsten, 2018). I figur 12 behövde eleven känna till flera aspekter såsom omkrets och att den okända variabeln representerade ett tal. Dessutom kunna räkna med både multiplikation och addition eftersom 2z dolde ett multiplikationstecken. I lösningsproceduren kan eleven behöva använda sig av motsatt räknesätt för att lösa uppgiften som till exempel division och subtraktion.

Triangelns omkrets är 90 cm. Ta reda på varje sidas längd med hjälp av en ekvation.

Figur 13: Koll på matematik. Björklund & Dalsmyr, 2016. Mattedirekt borgen

I läromedlet fanns tecken på fusion med uppgifter där flera aspekter varierade

samtidigt. Uppgiften i exemplet behandlade i sitt original frukter men nedan finns ett liknande förslag med andra figurer, se figur 14. Tidigare i läromedlet hade bokstäver varit den mest förekommande variabeln. Här introducerades något nytt med nya variabler samt att den lärande fick träna på att lösa delmoment för att nå fram till helheten. Kunskap om att symbolerna gömde obekanta tal och förmågan att använda fyra olika räknesätt kan vara avgörande aspekter för att nå en lösning.

Varje figur motsvarar ett tal. Du får hjälp med två figurer. Vilken figur ska stå istället för frågetecknet?

(20)

7 Analys

Syftet med denna läromedelsgranskning var att kartlägga algebraiska uttryck och ekvationer med särskild inriktning på variation i två olika läromedel för årskurs 6. Eftersom variation har visat vara en nyckel för att eleven ska upptäcka kritiska aspekter eller avgörande aspekter som det också kan kallas, är det nödvändigt att läromedlen varierar. Läromedlen granskades därför utifrån variationsteorin som omfattar kontrast, generalisering och fusion. Läromedlen Koll på matematik 6A och

Mattedirekt borgen 6A visade tecken på variation. Innehållet varierades genom att

presentera flera olika variabler och den lärande fick arbeta med fyra olika räknesätt. Dessutom visade båda läromedel ett innehåll som varierades utifrån kontrast, fusion och generalisering. I avsnittet presenteras en analys av kontrast, sedan generalisering och avslutar med fusion.

7.1 Analys av kontrast

Kontrast syntes främst genom uppgifter där det fanns ett korrekt svar och ett eller flera felaktiga. Kontrast syntes även genom uppgifter där lösningen kunde nås genom att använda motsatt räknesätt. Den lärande kunde erfara en kontrast genom att se samband mellan två olika räknesätt och framförallt förstå skillnader och likheter mellan dem. I figur 8 och 9 fick eleven bedöma och reda ut egenskaper. De fick se liknande objekt som kunde vara svåra att skilja mellan för någon individ. Kontrast av liknande objekt kan bidra till att eleven lär sig karaktärsdrag för dem. Figur 7 visar ett vanligt exempel där sambandet mellan addition och subtraktion samt sambandet mellan multiplikation och division var tydligt.

Författaren Lo (2014) menar att kontrastering sker när eleven upplever variation mellan sina tidigare och nya kunskaper. Det räcker inte att endast visa likheter utan också exempel på motsatser är av största vikt för att kunna urskilja de kritiska avgörande dragen. En uppgift som visade detta tydligt var figur 7 från Koll på

matematik. Uppgiften gick ut på att lösa ekvationer genom att använda motsatt

räknesätt. För den som hade kunskap om vilket räknesätt som var det motsatta fick i den uppgiften en tydlig bild av räknesätten för att kunna skilja mellan dem. Däremot menar Lo (2014) att det inte är en garanti att eleven utvecklar sina tidigare kunskaper även om det finns andra nya perspektiv i undervisningen. Det händer ganska sällan att eleven tar till sig den nya informationen och kontrasterar den till den gamla. Däremot betyder det inte att kontrast ska försvinna ur undervisningen av den anledningen utan det bör skapas förutsättningar så att elever kan fokusera på båda uppfattningar

samtidigt.

7.2 Analys av generalisering

Figur 11 visade två trianglar, en rätvinklig och en liksidig. Uppgifterna var att skapa en ekvation för triangeln och räkna ut värde på x. Denna generalisering har goda möjligheter att ge eleven kunskaper om olika trianglar. Genom att visa eleverna två olika trianglar, en rätvinklig och en liksidig skapas dimensioner av variation. Eleven kan förstå karaktärsdrag för figuren genom att upptäcka vad den liksidiga och rätvinkliga har gemensamt. Eleven upptäcker på detta sätt avgörande aspekter som definierar triangeln (Lo, 2014). Kunskap om att en rätvinklig triangel har en vinkel som är 90° och att en liksidig triangel har lika stora vinklar (60°) behövs för att få reda på värdet av x. Att undervisningen tidigare generaliserat olika geometriska figurer kan vara en nyckel för att eleven ska kunna lösa liknande uppgifter.

(21)

Likt uppgiften med olika trianglar kan samma resonemang användas om figur 10. Figur 10 visade två lika långa sträckor men som uttrycktes på olika sätt. Eleven kunde upptäcka att sträckor inte alltid benämns med enbart siffror. Det kan också skapas en uppfattning om framtida användningsområden såsom att räkna ut längden på ett högt träd eller diagonalen av en stor yta. En ytterligare avgörande aspekt som eleven kunde upptäcka var att två x kunde adderas. Om eleven fick något annat svar än fem hade eleven gjort på något annat sätt. Både uppgiften med trianglar och med sträckor skapade goda förutsättningar för eleven att upptäcka nya avgörande aspekter.

7.3 Analys av fusion

För att lärande ska uppstå behöver eleven ta hänsyn till alla kritiska aspekter och erfara dem samtidigt. När en talföljd ska beskrivas måste eleven ha tillägnat sig alla kritiska aspekter för att kunna erfara dem samtidigt i en ny situation (Erixson et al, 2013). Figur 14 visade fusion genom att flera kritiska aspekter varierade samtidigt. Båda läromedel hade en genomgående uppbyggnad av att variabeln x var den mest förekommande. Exemplet visade en variation genom att samtliga tidigare kända variabler nu hade ersatts med figurer som stjärna, kvadrat, hjärta med mera. För att lösa uppgiften behövde eleven först en överblick över helheten för att sedan räkna ut en figur. Lösningen på de olika delarna skulle leda fram till svaret som var vilken figur som skulle ersätta frågetecknet. Om den lärande gjorde något misstag längs vägen skulle frågetecknet eventuellt ersättas med en felaktig figur.

Enligt Lo (2012) lär sig eleven bättre om undervisningen är utformad så att förhållande mellan delar och helhet blir tydligt. Ett sätt att illustrera förhållandet mellan delen och helheten är att behålla en av beståndsdelarna konstant och variera helheten. Detta skulle kunna utföras exempelvis genom att skapa ekvationer med bokstäver. Med tidens gång kan bokstäverna bytas ut mot andra variabler eller

förslagsvis byta färg på bokstäverna. Ett annat förslag är att ändra till andra räknesätt, allt för att skapa förståelse för ekvationer. Figur 14 var ett exempel på fusion där delarnas (stjärna och triangel) värde hölls konstant. Deras bestämda värde utgjorde grunden för de andra figurernas obekanta värden vilket gjorde att de var

(22)

8 Diskussion

I detta avsnitt diskuteras metoden som används i denna studie samt resultatet med tillhörande analys och slutligen presenteras eventuell vidare forskning.

8.1 Metoddiskussion

Studien gick ut på att undersöka hur algebraiska uttryck och ekvationer presenterades i två olika läromedel för årskurs 6. Läromedlen gavs ut efter Lgr11 vilket kan bidra till att resultatet skiljer sig från liknande studier som är utförda med äldre läromedel eftersom läroplanen har förändrats. Det skiljer fyra år mellan läromedlen vilket kan bidra till att det finns en del olikheter. Dessutom medföljde inga lärarhandledningar till just denna granskning vilka kunde haft andra visioner och förklaringar av innehållet. Årskurs 6 valdes för att kunna relatera till kursplanens kunskapskrav för slutet av årskurs 6.

Till granskningen skapades ett analysschema. Analysschemat skapades före

genomförd analys för att inte dra några slutsatser i förväg. Tanken var att andra skulle kunna använda schemat vid egen granskning och få samma resultat. Dessutom

observeras innehållet flera gånger. Detta visar att studien är tillförlitlig och har en hög reliabilitet. Efter sammanställning jämfördes de olika läromedlen med varandra. Eftersom arbetet utförts manuellt kan det finnas någon felmarginal. Det tål att ha i åtanke att läromedlen granskades utifrån endast en persons perspektiv och det kan upplevas annorlunda i någon annans ögon.

Vid uppstarten deltog två studenter i arbetet men sedan arbetets tredje vecka deltar endast en student i studien. Läromedlen valdes i samfund med den andra studenten. Syftet var från början att undersöka algebra med variabler men det krävdes en omarbetning och anpassning efter en persons tidsperspektiv. Det nya syftet och frågeställningarna fick anpassas efter vad läromedlens kapitel om algebra innehöll. Studien blev relativt begränsad till följd av tidsaspekten. Två läromedel var det minsta valet som kunde göras för att kunna uppnå syftet i relation till tiden. Fler läromedel hade bidragit till att få ta del av hur olika läromedel varierar.

8.2 Resultatdiskussion

Bakgrunden till denna studies syfte kommer från rapporter av TIMSS. Generellt visar rapporterna att svenska elevers resultat i algebra har varit genomsnittet för

EU/OECD-länderna under en lång period. Under studiens gång visade tidigare

forskning att algebra är ett viktigt område som är en väg till tänkande på en högre nivå samt en nyckel till vidare högre studier (Persson, 2008). Därav kändes det viktigt att undersöka svenska läromedel i mellanstadiet. Områdena algebraiska uttryck och ekvationer granskades utifrån variationsteorins nyckelord: kontrast, fusion och

generalisering. Inga slutsatser drogs om läromedlens kvalité eller vilket som ansågs

bättre eller sämre. Tanken var att få mer information hur olika läromedel kan variera. I delarna analys och resultat presenterades en utredning av studiens frågeställningar. Inom kontrast konstaterades det som en positiv del att kontrast fanns eftersom det skapar möjligheter för eleven att upptäcka nya aspekter. Eleven får en möjlighet att utveckla sin tidigare kunskap när den får nya perspektiv. Däremot finns det ett möjligt problem som inte redovisats i analysen. I figurerna 7, 8 och 9 skulle eleven jämföra räknesätt samt välja rätt alternativ när det fanns flera felaktiga. Det är fullt möjligt att

(23)

en elev svarar “falskt” på en fråga som egentligen ska vara “sant” (figur 8). Eventuellt parar ihop ett uttryck med ett felaktigt och fortsätter med samma uppfattning.

Likadant den som inte upptäckt den avgörande aspekten att figur 7 “4x = 20” döljer ett multiplikationstecken kommer eventuellt lösa ekvationen med subtraktion utan att reflektera mer över det. Av denna anledning är det nödvändigt att läromedlen varierar för att eleven ska möta samma form av problem vid fler tillfällen.

Generalisering bedöms innefatta en väl utformad presentation för att eleven ska kunna upptäcka avgörande aspekter. Däremot finns det utrymme för att eleven som möter den liksidiga triangeln saknar kunskap om att den innehåller tre lika stora vinklar. Möjligheten finns att eleven anger att värdet på x är 50 respektive 70 eller 55 respektive 65 för att det också blir 120°. Med den bakgrunden är en slutsats att det inte endast krävs variation för att eleven ska upptäcka kritiska aspekter. Det krävs även förkunskaper vilket innebär att en sådan uppgift kan uppfattas som svår för elever som inte har med sig kunskaper om olika trianglar. Samma resonemang dras om fusion. För någon är det inget nytt att arbeta med andra variabler som frukter eller andra bokstäver, se figur 13 och 14. Den individen kommer lösa uppgifterna enkelt utan att få några nya perspektiv medan en annan individ möter stora problem. Slutsatsen efter denna granskning och analys är att läromedlen skapar goda

förutsättningar för eleverna att upptäcka kritiska aspekter inom algebraiska uttryck och ekvationer men det skiftar beroende på individen hur många kritiska aspekter denne upptäcker. Hur eleverna ska nå upp över EU/OECD:s genomsnitt går inte att svara på med säkerhet utifrån denna studie. I inledningen redovisades data från analyser av läromedel från två länder som presterar över EU/OECD:s genomsnitt. De hade en utvecklad systematisk introduktion till algebra vilket var något som kunde vara en orsak till att länderna presterar över snittet i matematik (Lo, Yang & Weng, 2013). Detta är något som skiljer sig från de svenska läromedlen som analyserats i denna studie. De svenska läromedlen presenterade algebra genom att använda variablerna x och y i olika ekvationer istället för andra variabler som frukter, lådor med mera. Läromedlen blandade uttryck och ekvationer genom hela avsnittet istället för att introducera endast uttryck. Om detta påverkar svenska elevers resultat går inte att bedöma eftersom det inte finns något underlag för tidigare årskurser.

8.3 Vidare forskning

För att utveckla studien och nå fler slutsatser kan vidare forskning utföras. En intressant del är att undersöka algebra i tidigare årskurser för att se huruvida svenska läromedel skiljer eller liknar de länder som presterar över EU/OECD:s genomsnitt. En sådan vidare forskning kunde bidragit till att få fler perspektiv på vad som bidrar till svenska elevers resultat i matematik. En annan intressant del är att undersöka fler läromedel i samma årskurs för att få en större spridning av variation. Studien förutsatte att det skulle finnas generalisering, fusion och kontrast men en analys av fler läromedel hade gett fler perspektiv på hur de behandlades. Studien kunde utvecklats vidare genom att ta fram exakta siffror på hur stor del kontrast,

generalisering och fusion får i respektive läromedel. Till följd av tidsbegränsning följde inte detta moment med i analysen. En sista möjlig vidare forskning är att undersöka algebra i olika läromedel som uppkom före Lgr11 för att på så sätt se hur presentationen av algebra och variation har utvecklats. Studenten har fått nya kunskaper och kommer se algebra på ett nytt sätt vilket skapar möjligheter för att utforma en god undervisning för elever under framtidens yrkesverksamhet.

(24)

9 Referenslista

Bergsten, C., Häggström, J & Lindberg, L. 1997. Algebra för alla - Nämnaren TEMA. Göteborg: Nämnaren Nationellt centrum för matematikutbildning. Bryman, A. 2016. Social research methods. Oxford university press. 5 uppl.

Björklund, E & Dalsmyr, H. 2016. Koll på matematik 6A. 1. uppl. Sanoma utbildning AB. Stockholm.

Carlsson, S., Falck, P., Liljegren G & Picetti, M. 2012. Matte direkt borgen 6A. 2. uppl. Stockholm: Sanoma utbildning AB.

Denscombe, M. 2018. Forskningshandboken. Lund: Studentlitteratur

Drijvers, P. 2003. Learning algebra in a computer algebra environment – Design

research on the understanding of the concept of parameter. Doktorsavhandling,

Universitetet i Utrecht

Eliasson, A. 2018. Kvantitativ metod från början. 4 uppl. Lund: Studentlitteratur AB. Erixson, L., Frostfeldt Gustavsson, K., Kerekes K & Lundberg, B. 2013. Att se det som inte syns – om talföljder i årskurs 3 och 4. I Lärarstiftelsen. Forskning om

undervisning och lärande. (s. 64–81).

Hansson, H. 2019. Betydelsen av att variera innehållsliga aspekter för yngre elevers lärande av platsvärde. I Lärarstiftelsen. Forskning om undervisning och lärande. 3 vol. (s. 48–74)

Häggström, J. 1995. Tidigare algebra. Göteborg universitet: Nämnare Nr4.

Johansson, M. 2003. Textbooks in mathematics education- a study of textbooks as the

potentially implemented curriculum. Institutionen för matematik, Luleå tekniska

universitet.

Kilhamn, C & Olteanu, C. 2014b. Olika sätt att lösa ekvationer. I Modul: Algebra, åk

4–6. Lärportalen-Skolverket.

Lgr 11. 2018. Läroplan för grundskolan. förskoleklassen och fritidshemmet: reviderad 2018. Stockholm: Skolverket.

Lo, M. 2014. Variationsteori – för bättre undervisning och lärande. 2 uppl. Lund: Studentlitteratur.

Lo, J., Yang, D., Weng, W. 2013. An analysis of algebra content in the Finland and Taiwan elementery schoool mathematics textbooks. I North American Chapter of the

International Group for the Psychology of Mathematics Education (s. 78-81).

University of Illinois Chicago.

Magnusson, J & Maunula, T. 2013. Variation av undervisningsinnehåll för att möjliggöra urskiljning av kritiska aspekter av begreppet densitet. I Lärarstiftelsen

(25)

Malmer, G. 2008. Bra matematik för alla- nödvändig för elever med

inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.

Marton, F. 2015. uppl 1. Necessary conditions of learning.

Marton, F & Booth, S. 2000. Om lärande. uppl 1. Lund: Studentlitteratur. Matteboken. 2020a. Formler och ekvationer.

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/formler-och-ekvationer [Hämtad 2020-11-25]

Matteboken. 2020b. Uttryck och variabler.

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/uttryck-och-variabler [Hämtad 2020-11-25]

McNeil, N., Grandau, L., Knuth, Eric, J., Alibali, Martha, W., Stephens, Ana, C., Hattikudur, S. & Krill, Daniel, E. 2006. Middle-School Students’ Understanding of

the Equal Sign: The Books They Read Can’t Help. Cognition and Instruction

Nationalencyklopedin. 2020. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/ variabel. [Hämtad 2020-11-20]

Olteanu, C. 2014. Vad är algebra och varför behövs den. I Matematiklyftet-

Skolverket. Linnéuniversitetet.

Olteanu, C. 2003. Vilka är elevernas svårigheter i algebra? Institutionen för matematik och naturvetenskap. Högskolan Kristianstad.

Persson, P. 2008. Algebra – en väg till eller resultatet av god taluppfattning? I: Tall of

tallforståelse - fra telleremser til algebra: - NTNU, Trondheim, Norge. s. 25–34

Skolverket. 2016. TIMSS 2015 svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och

naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Skolverket, Stockholm 2016.

Thorsten, A. 2018. Berättelseskrivande i skolan- Att studera, beskriva och utveckla ett

kunnande. Institutionen för beteendevetenskap och lärande. Linköpings Universitet

Vetenskapsrådet (2011). Forskningsetiska principer inom

humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm

Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Vetenskapsrådets rapportserie. Stockholm

(26)

10 Bilagor

Bilaga 1

Koll på matematik Mattedirekt borgen

Antal uppgifter

Uppgiftsbeskrivning som innehåller variabel Uppgiftsbeskrivning med variabeln x Annan bokstav än x

Annan variabel än bokstav

Förklaring av analysschema “överblick av läromedlen”:

● Schemat fylls i med siffror under respektive läromedel efter manuell analys.

● Uppgiftsbeskrivningar är den text eller bild som förklarar vad uppgiften går ut på. Om text eller bild innehåller en uppmaning att använda variabeln x har den räknats med i uppgiftsbeskrivning med variabeln x. Annan bokstav än x och Annan variabel än bokstav innebär om uppgiftsbeskrivningen exempelvis innehåller z, b, y, geometriska figurer, lådor, frågetecken, frukter och annat.

● Uppgifter som är uppdelade i flera delar exempelvis 1a, 1b, 1c, 1d, räknas som fyra uppgifter.

References

Related documents

Begrepp Beskriv begreppet Likhetstecknet Begrepp Beskriv begreppet Ekvation.. Begrepp Beskriv begreppet Variabel Begrepp Beskriv

● Ordet algebra härstammar från det arabiska ordet ”al-jabr” ● och betyder ungefär ”återställande” eller ”flytta över”.. ● Första boken om algebra skrevs av

Tänk på att ett likamedtecken (=), inte alltid betyder svar, utan att det ska vara lika mycket på båda sidor om tecknet.. Man kan tänka sig likamedtecknet som en våg, som

[r]

4) Olivia springer 0,4 mil om dagen. Till kvällen steg temperaturen med 11 grader.. Skriv först uttrycket utan parentes och sedan förenkla det.. Resultatet blir 7 mindre än det

Adam har dubbelt så mycket pengar som Eskil och Kännäth har 25 kronor mer än Adam.. Hur mycket pengar har var

att man räknar tal inom parentes först, och sedan gånger och delat, och sist plus och minus.... Hur räknar man

Nästa steg blir att få endast termer som innehåller x på ena sidan likhetstecknet och siffror på andra sidan likhetstecknet så att vi kan lösa den här ekvationen.. Hur ska vi