– Kärnfysik uppgifter av Fredrik Axen

Fysik 1a: Övningsuppgifter i kärnfysik

1) Komplettera reaktionsformlerna: a) 210At  4He

b) 63Ni  + 

-c) 30P  + +

2) 23592U sönderfaller med -sönderfall. Dotterkärnan sönderfaller i

sin tur genom ett

–-sönderfall. Vilket ämne har då bildats?

Ange a) namn och b) kemisk beteckning.

3) Varför kan 126C inte spontant sönderfalla i 3 st 42He?

4) Aktiviteten A (kBq) för ett radioaktivt preparat kan beskrivas av

A  2,0 e0,037t, där t är tiden i sekunder. Beräkna preparatets halveringstid. 5) Hur stor är aktiviteten uttryckt i becquerel (Bq) från ett radioaktivt preparat

innehållande 1,0·1013 st atomer 90Sr?

6) 220Rn har halveringstiden 55,6 s. Vid ett tillfälle hade man 1,0 g 220Rn i en behållare.

Hur mycket 220Rn hade man 6,0 min senare?

7) Vid fission av uran-235 kan nedanstående reaktion äga rum: n 2 X Y n U 1 94 1 235 _{  }A _{ }

Identifiera kärnan AX.

8) Aktiviteten från 14C i en träbit från en forntida grav uppmättes med hjälp av en

detektor till 29 pulser/minut. En likadan träbit från ett nu levande träd gav aktiviteten 38 pulser/minut. Halveringstiden för 14C är 5730 år. Bestäm den gamla träbitens ålder.

9) 800 mg av nukliden 99Mo sönderfaller till 100 mg på 200 dygn. Bestäm

halveringstiden för 99Mo.

10)60Co är en radioaktiv isotop, som har använts vid behandling av bl a tumörer.

I Sverige framställs radioaktiva isotoper för medicinska ändamål vid Studsvik AB. Ett preparat som skickades från Studsvik hade aktiviteten 1,2 kBq.

Vid ett senare tillfälle mättes aktiviteten på nytt och den var då 1,05 kBq. Hur lång tid hade det gått sedan preparatet skickades från Studsvik? 11) Beräkna bindningsenergin per nukleon för nukliden 20Ne.

12) En reaktion som kan äga rum i solen är följande: He

3

2 + 42He  _{X + E}

b) Beräkna energin E.

13) a) Identifiera partikeln X i kärnreaktionen:

17O + X  18F + e– + 

e– är en elektron och  är en antineutrino.

b) Elektronen och antineutrinon antas dela på all energi som produceras i reaktionen. Bestäm denna energi uttryckt i MeV. Neutrinons vilomassa antas vara noll.

14) Hos en vuxen människa sker varje sekund 5000 -sönderfall med ursprung från den radioaktiva nukliden 40K. Vid varje sönderfall frigörs energin 0,40 MeV. Hur stor är

den absorberade dosen under 1 år om man antar att personens vikt är 70 kg?

15) Kärnkraftskatastrofen våren 1986 i Tjernobyl medförde att ca 10 kg 137Cs spreds ut.

Av detta nåddes ett visst område i Sverige av ca 3 g.

Vilken aktivitet gav dessa 3 g 137Cs upphov till våren 1998?

16) Ett radioaktivt preparat innehåller 39Ca-atomer. 39Ca är en +-aktiv kalciumisotop.

a) Hur länge dröjer det innan antalet 39Ca-atomer har reducerats till 5% av det

ursprungliga antalet?

b) Beräkna den maximala energin hos de utsända positronerna.

17) Den långa halveringstiden hos 238U gör det möjligt att beräkna åldern hos mycket

gamla material. 238U är startpunkten för en sönderfallsserie, som slutar med 206Pb. De

sönderfall som ligger mellan dessa nuklider i sönderfallsserien har mycket kortare halveringstider än 238U. Man kan således räkna med att 238U sönderfaller direkt till 206Pb.

Förhållandet mellan antalet bly- och uranatomer i en bergart bestämdes till 12 49

Beräkna bergartens ålder då man uppskattar att 80% av 206Pb-atomerna kommer från

Lösningar

1. a) Astat, At, har atomnummer 85 och helium, He, atomnummer 2. Man får At 210 85  He 4 2 + ZAX

Vid kärnreaktioner bevaras masstal och laddningstal: 210 = 4 + A  A = 206. 85 = 2 + Z  Z = 83  ZAX = 83 206_Bi Bi He At : Svar 210₈₅  4₂  206₈₃

b) Vid -sönderfall bildas även en antineutrino .

Nickel har atomnummer 28. Vi får således: Ni 63 28  X A Z +  

Masstalet bevaras, vilket ger A = 63.

Vid -sönderfall ökar atomnumret med 1 enhet:

Z = 28 + 1 = 29  ZAX = 29 63_Cu      Cu Ni : Svar 63₂₈ 63₂₉

c) Vid -sönderfall bildas även en neutrino .

Fosfor, P, har atomnummer 15. Vi får således: P 30 15  X A Z +  + 

Masstalet bevaras, vilket ger A = 30.

Vid -sönderfall minskar atomnumret med 1 enhet:

Z = 15 – 1 = 14  ZAX = 14 30_Si Si P : Svar 30₁₅  30₁₄   2. 23592U    –   AZ?

Vid sönderfall minskar kärnladdningen med 2 enheter.

Vid –-sönderfall ökar kärnladdningen med 1 enhet. Efter ett sönderfall och ett –-sönderfall har således kärnladdningen totalt minskat med 1 enhet. Atomnumret för det bildade ämnet Z = 92 – 1 = 91.

Enligt tabell är detta ämne protaktinium, Pa. Svar: a) Protaktinium b) Pa

3. Massan för 42He är 4,0026032497 u enligt tabell.

Massan för 126C är 12,000000 u enligt tabell.

3 st 42He har större massa än 1 st 126C.

Det strider mot energiprincipen att 126C spontant skulle sönderfalla i 3 st He

4 2 .

Det saknas massa och därmed energi. Svar: Det saknas energi.

4. Aktiviteten beskrivs av A = 2,0·e–0,037·t.

Detta är sönderfallslagen A = Ao·e–·t.

Således är sönderfallskonstanten = 0,037 s–1. Sambandet = T 2 ln ger halveringstiden T: T = T 2 ln = 0ln,0372 _{s = 18,7 s} Svar: 19 s 5. Aktiviteten A = ·N T 2 ln  

, halveringstiden T för strontium-90 erhålles ur tabell.

T = 28,84 år = 28,84·365·24·3600 s = 9,095·108 s A = 13 8 1,0 10 10 095 , 9 2 ln _{ }  _{Bq = 7621 Bq} Svar: 7,6 kBq

6. Massan m minskar enligt sönderfallslagen

m = mo·e–·t , därär sönderfallskonstanten. = T 2 ln , där T är halveringstiden. t = 6,0 min = 360 s m = 1,0· 55,6360 ln2 – e  g = 0,0112 g Svar: 11 mg 7. Masstalet bevaras: 235 + 1 = 94 + A + 2.1 A = 140

Uran har atomnummer 92 och yttrium har atomnummer 39. Låt kärnan X ha atomnumret Z.

Laddningen bevaras: 92 + 0 = 39 + Z + 2.0

Z = 53

Ämnet med atomnummer 53 är jod. Den sökta kärnan är således 140I.

Svar: 140I

8. Vi mäter aktiviteten A i antal pulser/minut.

A = Ao·e–·t

Halveringstiden T = 5730 år Vi får: 29 = 38·e–·t

Förenkling och logaritmering ger –·t = ln2938. = ln 2T = ln 2 5730år–1 = 1,210·10–4 år–1 –1,210·10–4·t = ln 29 38 t =  ln29 38 1,21010–4 år = 2234 år Svar: 2200 år

9. Mängden 99Mo har minskat till 100 800  1 8. 1 8 1 2      3

Det har således förflutit 3 halveringstider. Halveringstiden är 200 3 dygn = 67 dygn. Svar: 67 dygn 10. Halveringstiden T för 60Co är 5,27 år. Sönderfallskonstanten  = ln 2 T  ln 2 5, 27 år–1 = = 0,132 år–1 Sönderfallslagen A = Ao.et 1,05 = 1,2.e0,132t t = ln 1, 05 1, 2       0,132 _{år = 1,02 år} Svar: 1,0 år

11. Neon, Ne, har atomnummer Z = 10. Nukliden 20Ne har således 10 protoner

och 10 neutroner. En neonatom med masstalet 20 kan bildas genom sammanslagning av 10 väteatomer och 10 neutroner. Vi beräknar

massdefekten m vid denna sammanslagning. Vid beräkningen bortser vi från elektronernas bindningsenergier.

m = (10·1,0078250321 + 10·1,0086649233 – – 19,9924401759) u = 0,17245938 u

Bindningsenergin är massdefekten omvandlad till energi: 0,17245938·931,49 MeV = 160,6 MeV.

Bindningsenergi per nukleon (20 st): 20 6 , 160 MeV/nukleon = 8,03 MeV/nukleon. Svar: 8,0 MeV/nukleon 12. 23He + 42He  X A Z + m

Nukliden X har masstalet A = 3 + 4 = 7 och atomnumret Z = 2 + 2 = 4.

Reaktionen är: 23He + 42He  Be 7 4 + m Masskillnad m = (3,0160293097 + 4,0026032497 – 7,0169292) u = = 0,00170336 u Reaktionsenergin E = m·931,49 MeV = 0,00170336·931,49 MeV = = 1,587 MeV MeV 1,6 b) Be a) : Svar 7₄

13. a) Syre, O, och fluor, F, har atomnumren 8 resp. 9. Man får 178O + Z

A_X  F 18

9 + 01e + ν

Det bildas en elektron, 01e, och en antineutrino, ν. Efter

sammanslagningen av O och X får vi tydligen ett

–-sönderfall. Vid –-sönderfall omvandlas en neutron i atomkärnan till en

proton. Masstalet bevaras och protontalet ökar med en enhet. Man får 17 + A = 18  A = 1

8 + Z = 9 – 1  Z = 0

Den okända partikeln är således en neutron X = 01n

b) Reaktionsformeln blir O 17 8 + 01n  F 18 9 + 01e + ν

Vid –-sönderfall bildas dotterkärnan som en envärt positiv jon. Vid

beräkningen av energin slås jonen och 01e ihop till en neutral atom.

Masskillnaden: m = (16,9991315 + 1,0086649233 – –18,0009377) u = 0,0068587 u

Kärnreaktionsenergin E = m·931,49 MeV

E = 0,0068587·931,49 MeV = 6,39 MeV

Svar: a) En neutron b) 6,4 MeV

14. Under 1 år sker 5000·365·24·3600 sönderfall = = 1,577·1011 sönderfall.

Vi antar att hela energin tas upp i kroppen.

E = 1,577·1011·0,40·106·1,60·10–19 J= 0,0101 J Absorberad stråldos = m E = 70 0101 , 0 Gy = 0,144 mGy Svar: 0,14 mGy 15. Massan av 1 atom 137Cs är 136,9 u = = 136,9·1,6605·10–27 kg = 2,27·10–25 kg Antalet atomer i 3 g 137Cs är No = 25 3 10 27 , 2 10 3     st = 1,32·1022 st

Enligt tabell är halveringstiden för cesium-137

= T 2 ln = 30ln,21 år–1 = 0,0230 år–1 = = 365 24 3600 0230 , 0   s–1 = 7,30·10–10 s–1

Antalet atomkärnor N följer lagen N = No·e–·t, där No är det ursprungliga

antalet.

Våren 1986 till våren 1998 = 12 år Insättning av t = 12 år ger

N = 1,32·1022·e0,023012 = 1,00·1022 st

A = ·N = 7,30·10–10·1,00·1022 Bq = 7,3·1012 Bq

Svar: 7.1012 Bq

16. a) Halveringstiden för Ca-39 erhålles ur tabell,

T = 860 ms Sönderfallslagen N = No.e–t, där  = lnT2 ger 0,05No = No. t   86 , 0 2 ln e

Förenkling och logaritmering ger ln 0,05 = 0ln,862t  t = ln2 05 , 0 ln 86 , 0   s = 3,72 s b) Kalcium har atomnummer 20.

Vid +-sönderfall bildas också en neutrino.

Sönderfallet kan beskrivas med formeln: Ca 39 20  X A Z +  + ν

Masstalet bevaras vid kärnreaktioner, dvs A = 39. Vid -sönderfall minskar atomnumret med 1 enhet:

Z = 20 – 1 = 19  ZAX = 3919K. Således: 3920Ca  K 39 19 +  + ν

Vid +-sönderfall omvandlas en proton till en neutron och en positron.

Dotternukliden bildas som en negativ jon, dvs den har en elektron extra jämfört med den neutrala atomen. Vid beräkningen av energin måste man ta hänsyn till dels denna elektron dels till den emitterade positronen. Vi får således räkna med två elektronmassor utöver de neutrala atomerna. Elektronmassan erhålls ur tabell, me = 0,00054858 u.

Massförlusten:

m = (38,9707177 – 38,9637069 – 2·0,00054858) u m = 0,00591364 u

Reaktionsenergin E = m·931,49 MeV = = 0,00591364·931,49 MeV = 5,51 MeV Detta blir positronens maximala energi. Svar: a) 3,7 s b) 5,5 MeV

17. Av 12 blyatomer antas 80%, dvs 0,80·12 = 9,6 vara sönderfallna uranatomer.

Av totalt (12 + 49) st = 61 st atomer var således (9,6 + 49)st = 58,6 st uranatomer från början.

Enligt tabell är halveringstiden T för 238U 4,5·109 år. Sönderfallskonstanten = T 2 ln = 4,5109 2 ln  _{år–1 = 1,540·10–10 år–1}

Antalet kvarvarande atomer N följer sönderfallslagen

N = No·e–·t  49 = 58,6·e–·t

Förenkling och logaritmering ger 58,6 49 ln = –·t. 6 , 58 49 ln = –1,540·10–10·t t = 1,540 10–10 6 , 58 49 ln   år = 1,16·109 år Svar: 1,2 miljarder år